计算电磁学3-有限元法、里兹法、伽辽金法、矩量法
计算电磁学中的有限元方法
计算电磁学中的有限元方法随着计算机技术的不断发展和应用，计算电磁学研究的范围和深度不断提高，其应用领域也越来越广泛。
有限元方法是计算电磁学研究中重要的数值分析方法之一，其可模拟复杂电磁场问题，有着广泛的应用。
本文将简要介绍计算电磁学中的有限元方法的一些基本原理和应用。
一、有限元法基本理论有限元方法是数值分析中一种重要的数学工具，其基本思想是将整个计算区域分割成若干个简单的单元，然后在每个单元内选取一个适当的基函数，通过求解基函数系数来表示数值解。
这种思想很容易扩展到计算电磁场问题上，因为电磁场分布可以被视为由一些小电磁场单元组成。
有限元方法的基本过程包括建立有限元模型、离散化、求解以及后处理。
其中建模是有限元方法中最重要的一个环节。
在建模过程中，首先需要选取合适的计算区域，并将其离散化为若干个小单元（如三角形、四边形等）。
然后，我们需要选取适当的基函数，并确定它们所对应的系数的初始值。
一旦有限元模型被建立，我们就可以进行求解了。
具体来说，有限元法的求解过程需要求解一个大规模的稀疏矩阵方程，其中系数矩阵和右侧向量都与电磁场有关。
这个过程需要借助计算机的优势，通过矩阵解法算法完成求解。
最后，我们通过后处理来获得我们需要的电磁场信息或工程参数，例如电势、磁场强度、感应电动势等。
二、有限元法应用领域有限元法在计算电磁学中广泛应用。
其应用范围涉及电机、变压器、电力电子、雷达、电磁兼容等多个领域。
有限元法可用于仿真复杂的电磁场分布问题，例如在电机设计中，有限元法可用于电机磁场分析、电机振动分析以及谐波分析等。
在电力电子领域中，有限元法可用于设计电感元件和变压器等。
另外，有限元法在雷达技术中也有着广泛的应用，可用于雷达天线设计和仿真。
三、有限元法的优缺点有限元法作为一种数值分析方法，具有一定优缺点。
有限元法的主要优点在于它具有很强的适应性和通用性，可用于模拟各种复杂的材料和几何形状。
此外，有限元法允许我们针对不同的模型选择不同的元素类型和元素尺寸，因此可以根据实际需求自由选择不同的模型。
计算电磁学3-有限元法、里兹法、伽辽金法、矩量法
电磁波方程
Yee格式及蛙跳机制
电磁波方程的离散
激励源
Mur吸收边界条件
解的数值稳定性
Yee格式及蛙跳机制
n d 2 l E dl = 0 dt A H dS 1 = 0 H n1 dS H n dS A A t d H d l = E dA J dA 0 l A dt A
t H x 0
E
n 1 z i , j , k 1/2
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Hz
n 1 2 i 1/2, j 1/2, k
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n 1 2 J Source _y
f x x
xi
1 2 f x x f x x O x i i 2x
离散
计算机处理
1.积分 f xi x
电磁学的数值计算方法
电磁学的数值计算方法电磁学是研究电场和磁场相互作用的学科，它在日常生活和科学研究中起着重要的作用。
随着计算机技术的快速发展，数值计算方法在电磁学中的应用也越来越广泛。
本文将介绍几种常用的电磁学数值计算方法，并探讨其原理和应用。
一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是一种基于离散化空间和时间的数值计算方法，常用于求解求解具有边值条件的偏微分方程。
在电磁学中，有限差分法可以用来求解电磁场的静电场、静磁场以及时变电磁场等问题。
该方法通过将空间和时间进行网格离散化，将偏微分方程转化为差分方程，并用迭代方法求解得到数值解。
二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种广泛应用于各种物理问题求解的数值计算方法，电磁学也不例外。
该方法通过将求解区域划分为有限的小元素，并在局部内部逼近真实场量的变化。
在电磁学中，有限元法可以用来求解电场、磁场以及电磁波传播等问题。
通过选择合适的元素类型和插值函数，以及建立元素之间的边界条件，可以得到电磁场的数值解。
三、时域积分法（Time Domain Integral Method）时域积分法是一种基于格林函数的数值计算方法，通过积分形式表示电磁场的边界条件和过渡条件，进而求解电磁场。
时域积分法广泛应用于求解电磁波的辐射和散射问题，如天线辐射和散射、电磁波在介质中的传播等。
该方法通过离散化电磁场的源和观测点，并利用格林函数的性质进行数值积分，得到电磁场的数值解。
四、有限时域差分法（Finite-Difference Time-Domain Method）有限时域差分法是一种基于电磁场的离散化网格和时间的有限差分法，是求解各种电磁问题最常用的数值计算方法之一。
有限时域差分法通过离散化时空域，将麦克斯韦方程组转化为差分方程组，并通过时间步进的方式求解得到电磁场的数值解。
该方法适用于求解各种电磁波传播、辐射和散射等问题。
各种计算电磁学方法比较
使用矩量法( ）的微波软件有，， ， , ， ， 和；使用有限元法( ） 的微波软件有和；使用时域有限差分法( ） 的微波软件有 和，使用有限积分法( ） 的微波软件有 。RTCrp。RTCrp。
，是公司推出的三维电磁彷真软件；是世界上第一个商业化的三维结构电磁场彷真软件，业界公认的三维电磁场设计和分析的电子设计工业标 准。提供了一简洁直观的用户设计介面、精确自适应的场解器、拥有空前电性能分析能力的功能强大后处理器，能计算任意形状三维无源结构的参数和全 波电磁场。软件拥有强大的天线设计功能，它可以计算天线参量，如增益、方向性、远场方向图剖面、远场图和带宽；绘製极化特性，包括球形 场分量、圆极化场分量、第三定义场分量和轴比。使用，可以计算：① 基本电磁场数值解和开边界问题，近远场辐射问题；② 埠特徵阻抗和传输常数；③ 参数和相应埠阻抗的归一化参数；④ 结构的本征模或谐振解。而且，由 和 构成的高频解决方桉，是目前唯一以物理原型爲基础的高频设计解决方桉，提供了从系统到电路直至部件级的快速而精确的设计手 段，覆盖了高频设计的所有环节。jLBHr。jLBHr。
下面来介绍较流行几种的微波软件的功能和应用。
，是公司推出的微波电路和通信系统彷真软件，是国内各大学和研究所使用最多的软件之一。其功能非常强大，仿真手段丰富多样，可实现包括时域和频域、数字与模拟、线性与非线性、杂散等多种仿真分析手段，并可对设计结果进行成品率路的设计工具。主要应用于：射频和微波电路的设计，通信系统的设计，设计和向量彷真。
在频域，数值算法有：有限元法 ( ）、矩量法( ），差分法( ），边界元法( ），和传输线法( ）。b5E2R。b5E2R。
计算电磁学和有限单元法以及其在磁选中的应用
计算电磁学和有限单元法以及其在磁选中的应用摘要本文介绍了有限元法及计算电磁学中有限元算法，并以此为理论对某磁选机进行磁系设计和计算，结合矿物加工学科知识对该磁选机分选特点进行评价。
计算电磁学中磁系计算理论的引入能很好的指导磁选机的设计，其学科知识的交叉以及应用对矿物加工学科及计算电磁学学科有重要意义。
关键词：有限元法；计算电磁学；磁选设备；矿物加工；磁选1.前言1.1有限元法简介1956年M..J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。
他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。
1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。
1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element）这一术语。
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变分原理和加权余量法。
在1963年前后，经过J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher,T.H.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。
1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。
1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。
各种计算电磁学方法比较和对应软件
各种计算电磁学方法比较和对应软件求几种计算电磁学方法的区别和比较计算电磁学是指对一定物质和环境中的电磁场相互作用的建模过程，通常包括麦克斯韦方程计算上的有效近似。
计算电磁学被用来计算天线性能，电磁兼容，雷达散射截面和非自由空间的电波传播等问题。
计算电磁学的主要思想有，基于积分方程的方法，基于微分（差分）方程的方法，及其他模拟方法。
1.基于积分方程的方法1.1 离散偶极子近似（discrete dipole approximation，DDA）DDA是一种计算电磁波在任意几何形状物体上散射和吸收的方法，其表达式基于麦克斯韦方程的积分形式。
DDA用有限阵列的可极化点来近似连续形式的物体。
每个点通过对局部电场的响应获得对应的偶极子矩量，然后这些偶极子通过各自的电场相互作用。
因此，DDA有时也被认为是耦合偶极子近似。
这种线性方程的计算一般采用共轭梯度迭代法。
由于离散矩阵的对称性，就可能在迭代中使用FFT计算矩阵的向量乘法。
1.2 矩量法（Method of Moments，MoM ），边界元法（Boundary Element Method，BEM ）MoM和BEM是求解积分形式（边界积分形式）的线性偏微分方程的数值计算方法，已被应用于如流体力学，声学，电磁学等诸多科技领域。
自从上世纪八十年代以来，该方法越来越流行。
由于只计算边界值，而不是方程定义的整个空间的数值，该方法是计算小表面（体积）问题的有效办法。
从概念上讲，它们在建模后的表面建立网格。
然而对于很多问题，此方法的效率较基于体积离散的方法（FEM，FDTD）低很多。
原因是，稠密矩阵的生成将意味着存储需求和计算时间会以矩阵维数的平方律增长。
相反的，有限元矩阵的存储需求和计算时间只会按维数的大小线性增长。
即使可以采用矩阵压缩技术加以改善，计算成功率和因此增加的计算复杂性仍强烈依赖问题的本质。
BEM可用在能计算出格林函数的场合，如在线性均匀媒质中的场。
介绍计算电磁学基础知识及数值方法汇总
介绍计算电磁学基础知识及数值方法汇总计算电磁学是研究电磁场与电磁波的产生、传播和相互作用规律的一门学科。
它在现代科学和工程领域中具有广泛的应用，包括电子、通信、雷达、天气预报和医学成像等领域。
为了解决电磁学中的复杂问题，人们发展了许多数值方法来模拟和分析电磁场。
电磁学基础知识包括静电学、静磁学和电磁波学。
静电学研究静止电荷与电场之间的关系，电场的产生和性质。
其中包括库仑定律、高斯定律和电势等基本概念。
静磁学研究静止电流和磁场之间的关系，包括安培定律、毕奥-萨伐尔定律和洛伦兹定律等内容。
电磁波学研究电磁场的传播和相互作用，包括法拉第电磁感应定律、麦克斯韦方程组和电磁辐射等内容。
在研究和应用电磁学问题时，数值方法起到了重要的作用。
数值方法是指使用计算机计算和模拟电磁场的技术手段。
其中最常用的数值方法包括有限差分法（Finite Difference Method，FDM）、有限元法（Finite Element Method，FEM）和边界元法（Boundary Element Method，BEM）。
有限差分法是一种基于离散化方法的数值方法，它将电磁场方程中的微分方程转化为离散的代数方程。
通过在空间上取离散的点和在时间上取离散的时间步长，可以逐步求解方程组，得到电磁场的数值解。
有限差分法适用于各种电磁场问题，特别是在二维和三维空间中。
有限元法是一种将连续问题离散化为有限个简单子区域的数值方法。
它通过将电磁场区域划分为有限个单元，利用单元的形状函数和节点的数值解，近似求解电磁场方程。
有限元法可以处理任意形状的几何体，适用于复杂的电磁学问题。
边界元法是一种基于边界条件的数值方法。
它将电磁边界上的边界积分方程转化为离散的代数方程，通过求解边界上的电荷密度或矢量势，得到电磁场的数值解。
边界元法适用于边界形式简单的电磁问题，例如无限大平面和球面问题。
除了这些传统的数值方法，还有一些其他的数值方法被广泛应用于电磁学中，例如有限时域差分法（Finite Difference Time Domain，FDTD）和有限元时域法（Finite Element Time Domain，FETD）。
有限元法的基础理论
一、里兹法与迦辽金法（摘自电磁场有限元方法 金建铭） 1. 里兹法里兹法是一种变分方法，其中边值问题用变分表达式（也称泛函）表示，泛函的极小值对应于给定边界条件下的控制微分方程。
通过求泛函相对于其变量的极小值可得到近似解。
2. 伽辽金法伽辽金法属于残数加权方法类型，它通过对微分方程的残数求加权的方法得到方程的解。
若u是方程的近似解，将u 代入方程可得到非零的残数： r Luf =- u的最佳近似应能使残数r 在Ω内所有点上有最小值。
残数加权方法要求： 0i i R rd ωΩ=Ω=⎰这里i R 表示残数的加权积分，i ω是所选的加权函数。
在伽辽金法中，加权函数与近似解展开中所用的函数相同。
通常，这样可得到最精确的解。
二、有限元方法里兹法和伽辽金法中，在整个解域内找出能表示或至少近似表示问题真实解的试探函数是非常重要的。
然而对于许多问题，这个步骤是十分困难的，对二维和三维问题尤其如此。
为此，我们可将整个区域划分成小子域，并应用定义在每个子域上的试探函数。
因为子域是小区域，因而在每一子域内函数的变化不大，所以定义在子域上的试探函数通常比较简单。
这正是有限元法的基本思想。
应用里兹法的过程通常称为里兹有限元法或变分有限元法，而应用伽辽金方法的过程通常称为伽辽金有限元方法。
有限元法与经典里兹法和伽辽金法的不同之处是在试探函数的公式上。
在经典里兹法和伽辽金法中，试探函数由定义在全域上的一组基函数组成。
这种组合必须能够（至少近似）表示真实解，也必须满足适当的边界条件。
在有限元法中，试探函数是由定义在组成全域的子域上的一组基函数构成。
因为子域很小，所以定义在子域上的基函数能够十分简单。
三、关于形函数（摘自有限元法在电磁计算中的应用 张榴晨）对于一个待求的微分方程，用一组线性独立的尝试函数i ψ和待定系数i C 来表示方程的近似解，并用加权余数法（迦辽金法）来求解这些待定系数。
求解待定系数的代数方程组为：1[]1,2,,ni j i j i d C q d j n ψψψΩΩ=∇∇Ω=Ω=∑⎰⎰这里j ψ为所选择的加权函数，应用迦辽金法时，所选取的加权函数即为尝试函数。
计算电磁学简介
计算电磁学简介一. 计算电磁学的重要性在现代科学研究中，“科学试验，理论分析，高性能计算”已经成为三种重要的研究手段。
在电磁学领域中，经典电磁理论只能在11 种可分离变量坐标系中求解麦克斯韦方程组或者其退化形式，最后得到解析解。
解析解的优点在于：①可将解答表示为己知函数的显式，从而可计算出精确的数值结果;②可以作为近似解和数值解的检验标准;③在解析过程中和在解的显式中可以观察到问题的内在联系和各个参数对数值结果所起的作用。
这种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有规则边界的简单问题。
当遇到不规则形状或者任意形状边界问题时，则需要比较复杂的数学技巧，甚至无法求得解析解。
20 世纪60 年代以来，随着电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法也迅速发展起来，并在实际工程问题中得到了广泛地应用，形成了计算电磁学研究领域，已经成为现代电磁理论研究的主流。
简而言之，计算电磁学是在电磁场与微波技术学科中发展起来的，建立在电磁场理论基础上，以高性能计算机技术为工具，运用计算数学方法，专门解决复杂电磁场与微波工程问题的应用科学。
相对于经典电磁理论分析而言，应用计算电磁学来解决电磁学问题时受边界约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问题。
原则上来讲，从直流到光的宽广频率范围都属于该学科的研究范围。
近几年来,电磁场工程在以电磁能量或信息的传输、转换过程为核心的强电与弱电领域中显示了重要作用。
二. 电磁问题的分析过程电磁工程问题分析时所经历的一般过程为：三. 计算电磁学的分类(1) 时域方法与谱域方法电磁学的数值计算方法可以分为时域方法(Time Domain或TD)和频域方法(Frequeney Domain或FD)两大类。
时域方法对Maxwell方程按时间步进后求解有关场量。
最著名的时域方法是时域有限差分法(Finite Difference Time Domain或FDTD)。
计算电磁学综述
计算电磁学综述摘要：本文介绍了计算电磁学及其电磁学的发展历史，并对计算电磁学中的几种常见数值计算方法进做了简单的介绍，并比较了各类数值方法的优缺点，介绍了一些常用的计算电磁软件，最后对计算电磁学近年来的进展和未来研究热点进行了综述。
关键词：计算电磁学，数值计算方法，电磁软件一、引言计算电磁学（Computational Electromagnetics），顾名思义它是对电磁问题进行求解计算的方法技术，同时这也是一门具有巨大实用价值的学科。
随着当今世界计算机技术的突飞猛进，许多传统学科物理、化学、生物等都在计算机的辅助下，不断发展进步，因此计算电磁学可以说是数学理论、电磁理论和计算机的有机结合，它是一门计算的艺术。
计算机技术和电磁学相结合的学科。
计算电磁学这门交叉学科也在这样的时代背景下应运而生，并得到真正的普及和发展壮大。
电磁学作为物理学的一个子类，其研究历史悠久。
中外古人都有许多对于电磁现象发现和记载以及规律的总结。
在19世纪之前，人们还没有发现电学和磁学之间的联系，19世纪之后，人们才发现电和磁之间的内在联系。
1819年丹麦物理学家H.C.奥斯特（1777-1851年）发表了《关于磁针上电流碰撞的实验》的论文，第一次揭示了电流可以产生磁场。
1820年法国物理学家A.M.安培（1775-1836年）对这一物理现象做了进一步研究，并讨论了两平行导线有电流通过时的相互作用问题，提出了著名的安培定理，人们才开始认识到电和磁的关系。
1831年英国物理学家M.法拉第（1791-1867年）首次报道了电磁感应现象，即通过移动磁体可在导线上感应出电流，他最先提出了电场和磁场的观点，认为电力和磁力两者都是通过场起作用的，使人们对电和磁的关系有了更为深刻的认识。
奥斯特、安培和法拉第等人的工作为电磁学的建立奠定了实验基础。
电磁学真正上升为一门理论则应归功于伟大的苏格兰物理学家J.C.麦克斯韦（1831-1879年）。
计算电磁学
在分析典型电磁问题的解决过程的过程中，“计算电磁学的本质”简要总结和讨论了过去40年中计算电磁学的重要成就。
“计算电磁学的基本知识”由五章组成。
第一章介绍了电磁定律的各种数学表达式，这是后续各章的基础。
第二章，第三章和第四章分别介绍了矩量法，有限元法和时域有限差分法，它们是计算电磁学的核心内容。
第五章介绍了混合方法，它是前几章内容的灵活应用。
内容有效性
“计算电磁学的精髓”可以作为从事电磁场理论和数值计算的研究生，教师和科学技术人员的参考，也可以作为从事电磁场应用的人员（例如天线，微波电路，微波）的参考遥感等
作者简介
盛新庆，博士，研究员，博士生导师。
2001年，他入选中国科学院“百人计划”。
1991年，1994年和1996年，他获得了中国科学技术大学电子工程与信息科学系的学士学位，硕士学位和博士学位。
1996年4月，他前往伊利诺伊大学电气与计算机工程系计算电磁学
中心。
他于1998年9月加入香港城市大学电气工程系，先后担任研究员和高级研究员。
2001年12月，他回到中国科学院电子研究所工作。
主要从事计算电磁学和微波遥感研究。
取得的突出成就如下：首先，复合有限元法，边界元法和多层快速多极技术等复合单元技术已成功地应用于电大涂层体的散射计算。
其次，将多层快速多极技术应用于均匀介电体的散射计算。
发表了39篇期刊论文和40篇会议论文。
电磁场计算方法与技术的研究
电磁场计算方法与技术的研究电磁场是物质界中的一个现象，在物理学的研究中占有极为重要的地位。
随着科技的不断发展，电磁场计算方法和技术也得到了越来越广泛的应用。
本文将探讨电磁场计算的方法和技术。
一、电磁场的基本性质电磁场是一种能量和动量的传递媒介，它是由电荷和电流产生的。
它包括电场和磁场，它们之间的关系描述了电磁场本身的性质。
电场和磁场的产生和变化都受到麦克斯韦方程组的描述。
在实际研究中，我们需要根据麦克斯韦方程组建立数学模型，通过数值计算的方法来得到电磁场的分布规律。
二、电磁场计算的方法1. 有限差分法有限差分法是一种常用的电磁场计算方法，它基于离散化的思想，将空间和时间离散化为等间距的点，通过有限差分近似代替微分运算。
这种方法可以用于求解各种边值问题，包括静电场、静磁场和电磁波等。
有限差分法具有高效、简单、精度较高等特点，但是其精确度受到空间剖分的影响，如果空间间距过大，会导致精度不足。
2. 有限元法有限元法也是一种常用的电磁场计算方法，它是一种离散化方法，将连续的物理场离散为有限个离散元素。
通过有限元法可以得到各个单元内部的电磁场，从而推导出连续介质内部电磁场的分布规律。
3. 边界元法边界元法是一种将边界上的物理量加以积分来求解内部物理场的方法。
它将物理场分为积分区域内、积分区域外两部分，利用格林公式和边界条件将积分区域外的物理量转化为边界上的物理量，从而求解内部物理场。
边界元法具有高效、高精度、适应性强等优点。
三、电磁场计算的技术1. 计算机辅助设计软件计算机辅助设计软件可以用来模拟、计算电磁场分布规律，可以方便地建立模型，进行计算和分析，从而进行电磁场的优化设计。
2. 多物理场仿真软件多物理场仿真软件可以模拟多种物理场之间的耦合和相互作用，包括电场、磁场、温度场等。
它们不仅可以对各种物理场进行计算和分析，还可以对各种现象进行多方位的仿真，提高了计算精度和准确性。
3. 电磁场测量和检测仪器电磁场测量和检测仪器可以用来检测和测量电磁场的分布规律。
电磁场的计算方法总结
电磁场的计算方法总结电磁场是电荷和电流在空间中产生的一种物理现象。
在科学研究和工程设计中，准确计算和描述电磁场对于解决问题和优化系统至关重要。
本文将对电磁场的计算方法进行总结，并介绍常用的计算技术和工具。
1. 静电场的计算方法静电场是指电荷静止或运动缓慢时产生的电磁场。
计算静电场常用的方法包括：- 库伦定律：用于计算离散点电荷之间的电场强度和势能。
根据库伦定律，两个电荷之间的作用力正比于它们的电荷量，反比于它们之间的距离的平方。
- 超级位置法：将连续分布的电荷视为无数个点电荷的叠加，通过积分计算得到电场强度和势能。
2. 磁场的计算方法磁场是由电流或磁化物质产生的一种物理现象。
计算磁场常用的方法包括：- 安培定律：用于计算电流在空间中产生的磁场强度和磁感应强度。
安培定律表明，一段电流元产生的磁场强度正比于电流元的大小，反比于它们之间的距离和它们之间夹角的正弦值。
- 超级电流法：将连续分布的电流视为无数个电流元的叠加，通过积分计算得到磁场强度和磁感应强度。
3. 电场与磁场的相互作用电场和磁场是密切相关的，它们之间存在相互作用。
计算电场与磁场相互作用的方法包括：- 洛伦兹力公式：描述电荷在电场和磁场中受到的作用力。
洛伦兹力公式表明，电荷在电场中受到的力等于电场强度与电荷量的乘积，而在磁场中受到的力等于磁感应强度、电荷量和电荷的速度之间的叉积的大小。
- 麦克斯韦方程组：描述电磁场的运动规律。
麦克斯韦方程组由四个偏微分方程组成，分别描述了电场和磁场的变化规律。
4. 电磁场的数值计算电磁场的数值计算方法是利用计算机模拟和数值计算技术来求解电磁场的分布和性质。
常用的数值计算方法包括：- 有限元法：将问题的区域划分为有限数量的小单元，利用有限元法的基本原理和方程来求解电磁场的分布和性质。
有限元法适用于复杂几何形状和材料分布的问题。
- 有限差分法：将问题的空间区域划分为网格，并利用有限差分方法来近似求解微分方程，从而得到电磁场的分布和性质。
电磁场数值计算方法
电磁场数值计算方法引论计算电磁学：现代数学方法、现代电磁场理论与现代计算机相结核的一门新兴学科。
目的：求解电磁场分布以及计算电磁场与复杂目标的相互作用。
电磁场计算方法分类分类方法按数学模型：微分方程、积分方程、变分方程。
按求解域：频域、时域法。
按近似性：解析法、半解析法、渐进法和数值法。
1、解析法求出电磁分布的数学表达式。
其优点：（1）、精确（2）、参数改变时不要重新推导（3）、解中包含了对某些参数的依赖关系，容易发现规律性主要方法有：分离变量法、级数展开法、格林函数法、保角变换法和积分变换法。
缺点：只有个别情况才能用解析法解决，一般情况较难应用。
2、渐进法由求解物体的线度l与波长λ的关系可以划分为（1）、低频区。
lλ≈（2）、谐振区。
lλ（3）、高频区。
lλ低频区：静态场近似，电路近似（等效电路）高频区：光学近似。
GO 几何光学法 GTD 几何绕射光学UTD 一般几何绕射 UAT 一致渐进理论PTD 衍射的物理理论 STD 衍射谱理论缺点：求解复杂系统的电磁场问题时可能引起大的误差，只能应用于简单的电大系统。
3、数值法把数学方程离散化，把连续问题化为离散问题，把解析方程化为代数方程。
把连续连续的场分布转换为计算离散点的场值或者表达场的级数表达式的数值化系数。
（1）、有限差分法——求解电磁场满足的微分方程。
（麦氏方程、泊松方程以及波动方程）△、用差商近似代替导数，用查分近似代替微分。
△、把微分方程转化为差分方程（代数方程）。
特点：简单，物理概念明确。
（2）、矩量法——求解电磁场积分方程。
△、把未知函数展开为选定基函数表示的级数，存在未知函数。
△、把求解未知函数问题转变为求解系数问题。
△、再选择合适权函数，计算加权平均意义下的误差。
△、令误差为零，积分方程变为关于系数的代数方程。
△、矩量法在应用时若直接采用分解法和迭代法求解则计算量非常大，例如计算电大目标散射问题的计算，为解决这个问题，产生了一系列的快速算法。
计算电磁学报告综述
南京理工大学计算电磁学结课报告指导老师：陈如山教授樊振宏副教授姓名：***学号：*********班级：电磁场与微波技术5班2011年6月22日目录概述 (3)1时域有限差分方法（FDTD） ....................... 错误!未定义书签。
1.1 FDTD中Yee网格及稳定性条件 (3)1.1.1 FDTD中Yee网格 (3)1.1.2 FDTD中的稳定性条件 (10)1.2 FDTD中边界条件的选择与施加 (14)1.3 FDTD中激励源的形式 (19)2矩量法（Method of Moment,简称MoM） (23)2.1积分方程（Integral Equation，简称IE） (23)2.1.1电场积分方程（EFIE） (23)2.1.2磁场积分方程（MFIE） (24)2.1.3混合积分方程（CFIE） (25)2.2 MoM中Galerkin方法的操作过程 (26)2.3树形结构的理解 (27)3有限元方法（FEM） (29)3.1 FEM中第一类，第二类边界条件的处理 (29)3.2 FEM中边界条件的选择与施加 (30)3.3 FEM二维节点基函数的构造及基本特点 (30)4总结 (35)5感谢 (36)6参考文献 (37)概述计算电磁学自20世纪60年代兴起，至今已有四十余年。
虽文献浩瀚，所述问题各异，然而，体例大致相仿：首先叙述麦克斯韦方程的离散化，再讲解程序实现的数值结果。
计算电磁学中的离散方法大概不出三种：矩量法，有限元法和时域有限差分法。
其离散机制不同，数值性能也各有不同。
本文就是分别从有限元法和时域有限差分法，矩量法，有限元法三个方面阐述了计算电磁学的机理。
1时域有限差分方法（FDTD）1.1 FDTD中Yee网格及稳定性条件1.1.1 FDTD中的Yee网格FDTD方法是由微分形式的麦克斯韦旋度方程出发进行差分离散，从而得到一组时域推进公式。
下面给出麦克斯韦旋度方程及其在直角坐标系中的FDTD离散形式,包括三维，二维和一维。
计算电磁学 第9讲 有限元法
最 小 势 能 原 理
一个小球在曲面上运动，当到达曲面的最低点位置时，系统 就会趋向于稳定平衡。
信息科学与工程学院 孔凡敏
Email:kongfm@
第九讲 有限元法 9.1 有限元概述
No.5
主要特点 优异的解题能力 与其他数值方法相比较，有限元法在适应场域边界几何形 状及媒质物理性质变异情况的复杂问题求解上，有突出优 点： 不受几何形状和媒质分布的复杂程度限制； 不同媒质分界面上的边界条件是自动满足的； 不必单独处理第二、三类边界条件； 离散点配置比较随意，通过控制有限单元剖分密度 和单元插值函数的选取，可以充分保证所需的数值 计算精度。
1 + y ′ 2 dx ds sec αdx dt = = = v 2 gy 2 gy
ds
O
A(x1, y1)
dx
x
滑行总时间为
J [ y ( x)] = T [ y ( x)] = ∫ dt = ∫
0
T
x2
1 + y ′2 2 gy
B(x2, y2) y
x1
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（ 1）
最速降线问题
信息科学与工程学院 孔凡敏
信息科学与工程学院 孔凡敏
Email:kongfm@
第九讲 有限元法 9.1 有限元概述 主要特点 离散化过程保持了明显的物理意义。
No.3
因为变分原理描述了支配物理现象的物理学中的最小作用原 理（如力学中的最小势能原理、静电学中的汤姆逊定理等）。 因此，基于问题固有的物理特性而予以离散化处理，列出计 算公式，可保证方法的正确性、数值解的存在与稳定性等前 提要素。
kongfmsdueducn射频和微波器件设计射频和微波器件设计射频和微波器件设计射频和微波器件设计电真空器件设计电真空器件设计电真空器件设计电真空器件设计天线天线天线天线天线罩及天线阵设计仿真天线罩及天线阵设计仿真天线罩及天线阵设计仿真天线罩及天线阵设计仿真目标特性研究和目标特性研究和目标特性研究和目标特性研究和rcs仿真仿真仿真仿真高速互连结构设计高速互连结构设计高速互连结构设计高速互连结构设计光电器件仿真设计光电器件仿真设计光电器件仿真设计光电器件仿真设计电磁兼容分析电磁兼容分析电磁兼容分析电磁兼容分析no12第九讲第九讲第九讲第九讲有限元法有限元法有限元法有限元法92有限元数学基础有限元数学基础有限元数学基础有限元数学基础
电磁场的数值计算方法
电磁场的数值计算方法：数值计算方法是一种研究并解决数学问题数值近似解的方法，广泛运用于电气、军事、经济、生态、医疗、天文、地质等众多领域。
本文综述了电磁场数值计算方法的发展历史、分类，详细介绍了三种典型的数值计算方法—有限差分法、有限元法、矩量法, 对每种方法的解题思路、原理、步骤、特点、应用进行了详细阐述, 并就不同方法的区别进行了深入分析, 最后对电磁场数值计算方法的应用前景作了初步探讨。
关键词：电磁场；数值计算；有限差分法；有限元法；矩量法引言自从1864 年Maxwell 建立了统一的电磁场理论，并得出著名的Maxwell 围绕电磁分布边值问题的求解国内外专家学者做了大量的工作。
在数值计算方法之前, 电磁分布的边值问题的研究方法主要是解析法，但其推导过程相当繁琐和困难,缺乏通用性,可求解的问题非常有限。
上个世纪六十年代以来,伴随着电子计算机技术的飞速发展,多种电磁场数值计算方法不断涌现,并得到广泛地应用,相对于解析法而言,数值计算方法受边界形状的约束大为减少,可以解决各种类型的复杂问题。
但各种数值计算方法都有一定的局限性,一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，因此如何充分发挥各种方法的优势,取长补短, 将多种方法结合起来解决实际问题,即混合法的研究和应用已日益受到人们的关注。
本文综述电磁场的数值计算方法，对三种常用的电磁场数值计算方法进行分类和比较。
电磁场数值计算方法的发展历史在上世纪四十年代，就有人试探用数值计算的方法来求解具有简单边界的电磁场问题，如采用Ritz ，以多项式在整个求解场域范围内整体逼近二阶偏微分方程在求解域中的解。
五十年代，采用差分方程近似二阶偏微分方程，诞生了有限差分数值计算方法，开始是人工计算，后来采用机械式的手摇计算机计算，使简单、直观的有限差分法得到应用和发展，该方法曾在欧、美风行一时。
1964 年美国加州大学学者Winslow 以矢量位为求解变量，用有限差分法在计算机上成忻州师范学院物理系本科毕业论文（设计）1965年，Winslow 首先将有限元法从力学界引入电气工程中，1969 年加拿大MeGill 大学P. Silvester运用有限元法成功地进行了波导的计算Chari合作将有限元法应用于二维非线性磁场的计算，成功地计算了直流电机、同步电机的恒定磁场。
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实验得到
经过数学 简化形式
通信
饮食娱乐 军事
电磁技术的发展
……
遥感探测 医疗
常用数值方法
全波数 值方法
时域有 限差分 方法 FDTD
算法 原理
算法优点
算法缺点
适合求解 问题
用差分 1. 算法简单，剖分简单，程序通用，易 1. 于上手； 代替微 分，直 2. 结果直观； 2. 接离散 3. 灵活性强，适用范围广（非均匀媒质， 麦氏方 色散媒质，各向异性媒质，时变媒 3. 程 质）； 4. 一次仿真可得到宽频的解。 4. 5. 不需要做矩阵求逆的工作。 离散泛 1. 函方程， 求解泛 2. 函变分 剖分灵活，可对任意几何形状精确建 模； 基于问题物理特性的离散化处理，可 保证方法的正确性，数值解的存在与 稳定性等； 3. 矩阵为稀疏矩阵； 4. 程序通用。
B m
电磁纷繁复杂的现象 -- 麦克斯韦的理顺
1 q1 ˆ12 E12 r 2 4πε0 r12
S E dS V 0 dV
D
B m
真空中
l
E dl
d dt
A
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D 0 E B 0 H
x y z
Hz
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t x , y ,z
y
x , y ,z
Hy
t
t x , y ,z
z
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t x , y ,z
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x , y , z
0
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t x , y ,z
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t x , y , z
z
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矩量法 MoM
离散积 1. 剖分灵活，可算任意结构导体/均匀介 1. 程序通用性差； 1. 开域问 分方程 质体； 2. 形成满阵； 题； 2. 较大(多 2. 基于源产生的远场表达式得到方程， 3. 单频解。 自动满足无限远处的辐射边界条件 尺度)导 3. 只需要剖分导体/介质体，剖分效率高， 体/均匀 无传递误差； 介质体 4. 结果精确 。 目标。
i
x 0
x 为有限值，
要足够小
1 x lim f xi x0 x 2
x f xi 2
时域有限差分方法
Finite-Difference Time-Domain Method （FDTD） E
误差与错误
泰勒展开公式
f xi x f xi f x x
xi
1 f x 1 f x 2 3 x + x x 2 3 2! x x 3! x x
2 3
i i
f x x
xi，前向
1 f xi f xi x x
能计算问题的 1. 复杂媒 电尺度受限制； 质问题； 算子本身存在 2. 时域信 近似； 号求解； 有数值色散误 3. 宽频问 差（传递）； 题 建模上存在锯 齿误差。 1. 复杂媒 质问题； 2. 闭域问 题。
有限元 方法 FEM
1. 有数值色散误 差； 2. 矩阵通常性态 差，难以采用 迭代求解方式 高效求解； 3. 单频解。
f x x
xi
1 lim f x0 x
x xi 2
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E
B C
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很小
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B m
FDTD方法仿真电磁波
建模 离散 编程 验证 优化
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E
n 1 z i , j , k 1/2
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n 1 2 i , j 1/2, k 1/2
Hz
n 1 2 i 1/2, j 1/2, k
Hz x
n 1 2 i 1/2, j 1/2, k
n 1 2 J Source _y
的全局最优解。
它最早由美国密歇根大学教授John H. Holland在1962年提 出，现在已经广泛应用于各种工程领域的优化问题之中。
遗传算法
借鉴生物界自然选择原理和自然遗传机制而形成的一种迭代 式自适应概率性全局优化搜索算法； 它模拟自然界中生物进化的发展规律，在人工系统中实现待 定目标的优化； 模拟达尔文“优胜劣汰、适者生存”的原理激励好的结构； 模拟孟德尔遗传变异理论在迭代过程中保持已有结构，同时 寻找更好的结构；
算法提出依据
群体 竞争 淘汰的 群 体 变异 子群
婚配
种群
算法提出依据
群体 淘汰
遗传基因重组过程
淘汰的 个体
变异
选择
新种群 交配
种群
父代染色体1 父代染色体2
生物进化过程
子代染色体1
子代染色体2
课程小结
宋巍 北京理工大学信息与电子学院
电磁仿真中心
Center for ElectroMagnetic Simulation (CEMS)
简单易懂、通用、鲁棒性强、适合并行处理，可用于解决各
种复杂优化问题。
算法提出依据
达尔文 (Darwin) 的进化论
进化论是生物学最基本的理论之一。生物学上的所谓 进化或者演化（Evolution），旧称“天演”，是指生 物在变异、遗传与自然选择作用下的演变发展，物种 淘汰和物种产生过程。地球上原来无生命，大约在30 多亿年前，在一定的条件下，形成了原始生命，其后， 生物不断的进化，直至今天世界上存在着170多万个物 种。 达尔文用自然选择来解释生物进化。自然选择就是指 生物由于环境中某些因素的影响而使得有利于一些个 体的生存，而不利于另外一些个体生存的演化过程。 简而言之——物竞天择，适者生存
北京理工大学 Beijing Institute of Technology
课程追求
电磁学的基本知识 计算机编程计算
风格
不是那么
学术 理论学习
内容
不是那么
有电磁学自身特色
FDTD FEM MoM
完备
的计算机程序
– 计算电磁学
编程实践
要能
用
计算电磁商业软件
的使用
电磁学的基本知识
Coulomb’s Law 库仑定律
遗传算法（Genetic Algorithm） 及 课程小结
宋巍 北京理工大学信息与电子学院
电磁仿真中心
Center for ElectroMagnetic Simulation (CEMS)
北京理工大学 Beijing Institute of Technology
遗传算法（GA）
遗传算法（Genetic Algorithm，GA）是进化计算的一个分 支，是一种模拟自然界生物进化过程的随机搜索算法。 GA思想源于自然界“自然选择”和“优胜劣汰”的进化规 律，通过模拟生物进化中的自然选择和交配变异寻找问题
电磁纷繁复杂的现象 -- 麦克斯韦的理顺
1 q1 ˆ12 E12 r 2 4πε0 r12
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离散
计算机处理
1.积分 f xi x
2.微分
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矢量算子
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图1-20 Yee 的空间和时间离散模式（a）Yee 空间网格；（b）蛙跳机制
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