山东省泰安市2019年中考数学试题(含答案)
山东省泰安市2019年中考数学真题试题Word版含解析
2019年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π2．（4分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a43．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④5．（4分）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8 B．中位数是8C．平均数是8.2 D．方差是1.27．（4分）不等式组的解集是（）A．x≤2 B．x≥﹣2 C．﹣2＜x≤2 D．﹣2≤x＜2 8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．309．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为．16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x ﹣13的解为．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．2019年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小．【解答】解：∵||＝＜|﹣3|＝3∴﹣＜（﹣3）C、D项为正数，A、B项为负数，正数大于负数，故选：B．【点评】此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负数比较大小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“．2．（4分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a4【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项正确；B、a4•a2＝a6，故此选项错误；C、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；D、a2+a2＝2a2，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：42万公里＝420000000m用科学记数法表示为：4.2×108米，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解．【解答】解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；④不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（4分）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°【分析】过点E作EF∥11，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：过点E作EF∥11，∵11∥12，EF∥11，∴EF∥11∥12，∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，故选：C．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8 B．中位数是8C．平均数是8.2 D．方差是1.2【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）＝8，故B选项正确；平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项正确；方差为[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，故D选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．7．（4分）不等式组的解集是（）A．x≤2 B．x≥﹣2 C．﹣2＜x≤2 D．﹣2≤x＜2【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由①得，x≥﹣2，由②得，x＜2，所以不等式组的解集是﹣2≤x＜2．故选：D．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B 作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．9．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC ＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．【解答】解：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；故选：A．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如图所示：∵共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为＝；故选：C．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB的最小值是2故选：D．【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k．【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，求出k的取值范围；【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，解得k；故答案为：k．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为π．【分析】连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【解答】解：连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，由勾股定理得，OB＝＝3，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴CO＝CB，CH＝OC＝，∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x ﹣13的解为x1＝2，x2＝4 ．【分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，∴，得b＝﹣4，则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，解得，x1＝2，x2＝4．故意答案为：x1＝2，x2＝4．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是（2n﹣1）．【分析】根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（2n﹣1），【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是2．【分析】连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC ＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度．【解答】解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝1﹣2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的运算能力．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？【分析】（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数 40×50%﹣8＝12（人），第4组人数 40×50%﹣10﹣3＝7（人），所以a＝12，b＝7；（2）＝27°，所以“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），所以成绩高于80分的共有900人．【解答】解：（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数 40×50%﹣8＝12（人），第4组人数 40×50%﹣10﹣3＝7（人），∴a＝12，b＝7；（2）＝27°，∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），∴成绩高于80分的共有900人．【点评】本题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．【分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论；③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB+BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；（2）由（1）知，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB＝PB时，∴PB＝5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB＝AP时，如图2，由（1）知，BD＝4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP＝BD＝4，∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），③当PB＝AP时，设P（a，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2∴a＝，∴P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？【分析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：+＝1100，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，解得：m≤1000．答：A种粽子最多能购进1000个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．【分析】（1）想办法证明AG＝PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明PA ＝PF即可解决问题．（2）证明△AEP∽△DEC，可得＝，由此即可解决问题．（3）利用（2）中结论．求出DE，AE即可．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，∴∠AGP＝∠APG，∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，∴PA＝PF，∴PF＝AG，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴PF∥AG，∴四边形AGFP是平行四边形，∵PA＝PF，∴四边形AGFP是菱形．（2）证明：如图②中，∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED＝∠PEC＝90°，∴∠AEP＝∠DEC，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠EAP＝∠EDC，∴△AEP∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD，∴AE•AB＝DE•AP；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝＝，∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD，∴AE＝，∴DE＝＝，∵AE•AB＝DE•AP；∴AP＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用A、B、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．（2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标．把t当常数求直线BP 解析式，进而求直线BP与x轴交点C坐标（用t表示），即能用t表示AC的长．把△PBA 以x轴为界分成△ABC与△ACP，即得到S△PBA＝AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到关于t的方程，解之即求得点P坐标．（3）作点O关于直线AB的对称点E，根据轴对称性质即有AB垂直平分OE，连接BE交抛物线于点M，即有BE＝OB，根据等腰三角形三线合一得∠ABO＝∠ABM，即在抛物线上（AB下方）存在点M使∠ABO＝∠ABM．设AB与OE交于点G，则G为OE中点且OG⊥AB，利用△OAB面积即求得OG进而得OE的长．易求得∠OAB＝∠BOG，求∠OAB的正弦和余弦值，应用到Rt△OEF即求得OF、EF的长，即得到点E坐标．求直线BE解析式，把BE解析式与抛物线解析式联立，求得x的解一个为点B横坐标，另一个即为点M横坐标，即求出点M到y轴的距离．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）∴解得：∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2设直线BP解析式为y＝kx﹣2把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2∴k＝t﹣∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝∴C（，0）∵t＞3∴t﹣2＞1∴，即点C一定在点A左侧∴AC＝3﹣∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC（OB+PD）＝4∴＝4解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）∴t2﹣t﹣2＝∴点P的坐标为（4，）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F∴AB垂直平分OE∴BE＝OB，OG＝GE∴∠ABO＝∠ABM∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG∴OG＝∴OE＝2OG＝∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝∴EF＝OE＝，OF＝OE＝∴E（，﹣）设直线BE解析式为y＝ex﹣2把点E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣∴直线BE：y＝﹣x﹣2当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，等腰三角形性质，三角函数的应用．第（3）题点的存在性问题，可先通过画图确定满足∠ABO＝∠ABM的点M位置，通过相似三角形对应边成比例或三角函数为等量关系求线段的长．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．【分析】（1）过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得AG ＝MF，AM＝FG，由“AAS”可证△EFM≌△CEB，可得BE＝MF，ME＝BC＝AB，可得BE＝MA＝MF＝AG＝FG；（2）延长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得，且CH＝FH，可得GH＝HN，NC＝FG，即可求DG＝DN，由等腰三角形的性质可得DH⊥HG．【解答】解：（1）AG＝FG，理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形∴AG＝MF，AM＝FG，∵∠CEF＝90°，∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC∴△EFM≌△CEB（AAS）∴BE＝MF，ME＝BC∴ME＝AB＝BC∴BE＝MA＝MF∴AG＝FG，（2）DH⊥HG理由如下：如图，延长GH交CD于点N，∵FG⊥AD，CD⊥AD∴FG∥CD∴，且CH＝FH，∴GH＝HN，NC＝FG∴AG＝FG＝NC又∵AD＝CD，∴GD＝DN，且GH＝HN∴DH⊥GH【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△EFM≌△CEB是本题的关键．。
【中考真题】2019年山东省泰安市中考数学真题试卷(附答案)
【解析】
【分析】
根据实数的比较大小的规则比较即可.
【详解】
解： ；
因此根据题意可得-3是最小的
故选B.
【点睛】
本题主要考查实数的比较大小，关键在于绝对值符号的去掉，根据负数绝对值越大，反而越小.
2．A
【解析】
【分析】
根据整式的运算法则逐个计算即可.
【详解】
A正确，
B错误，
C错误，
D错误，
故选A.
一共有25种结果，其中15种结果是大于5的
因此可得摸出的小球标号之和大于5的概率为
故选C.
【点睛】
本题主要考查概率的计算的树状图，关键在于画树状图，根据树状图计算即可.
11．C
【解析】
【分析】
根据题意作 ,垂足为C，根据题意可得OC= ，因此可得 ,所以可得圆心角 ,进而计算的 的长.
【详解】
根据题意作 ,垂足为C
【详解】
解：原式
当 时，原式
【点睛】
本题主要考查分式的化简，根据化简的分式求值，这是中考的必考题，应当熟练掌握.
20．（l） ， ；（2） ；（3）成绩高于80分的共有900人
【解析】
【分析】
（1）根据第三组的学生人数除以所占的百分比，计算出总人数，再利用第二组所占的百分比乘以总人数，可计算的a的值，进而计算b的值.
绝密★启用前
2019年山东省泰安市中考数学真题试卷（附答案)
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题)
一、单选题
1．在实数 ， ， ， 中，最小的数是（）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（）
2019年山东泰安中考真题数学试题(解析版)(含考点分析)
{考点:解一元一次不等式组}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}8．（2019•山东省泰安市 T8）如图，一艘船由 A 港沿北偏东 65°方向航行 30 2 km 至 B 港， 然后再沿北偏西 40°方向航行至 C 港，C 港在 A 港北偏东 20°方向，则 A，C 两港之间的距离为
km A. 30 + 30 3
平均数是: 6 + 7 + 7 + 8 + 8 + 8 + 9 + 9 +10 +10 = 8.2 ， 10
方差是：
s = 1 [(6 − 8.2)2 + (7 − 8.2)2 + (7 − 8.2)2 + (8 − 8.2)2 + (8 − 8.2)2 10
+(8 − 8.2)2 + (9 − 8.2)2 + (9 − 8.2)2 + (10 − 8.2)2 + (10 − 8.2)2 ] = 1.848
因此本题选 D． {分值}4 {章节:[1-10-1]统计调查} {考点:计算器－方差} {类别:常考题} {难度:3-中等难度}
5x + 4 2(x −1)
{题目}7．（2019•山东省泰安市
T7）不等式组
2x + 35−来自3x − 22
1
的解集是(
)
A.x≤2
B. x −2
∠ GBH+ ∠ HBA － ∠ CBG － ∠ ABM =90 ° +25 ° － 40 ° － 45 ° =30 ° ， 所 以
CM = tan 30 BM = 3 30 =10 3 ，所以 AC = AM + CM = 30 +10 3 ，因此本题选 B． 3
2019泰安中考数学试题
2019年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（2019·泰安）在实数|－3.14|，－3，－，π中，最小的数是（）A．－B．－3 C．|－3.14| D．π【解答】解：∵||＝＜|－3|＝3∴－＜（－3）C、D项为正数，A、B项为负数，正数大于负数，故选：B．【点评】此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负数比较大小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“．2．（2019·泰安）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2＋a2＝a4【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项正确；B、a4•a2＝a6，故此选项错误；C、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；D、a2＋a2＝2a2，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（2019·泰安）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米【解答】解：42万公里＝420000000m用科学记数法表示为：4.2×108米，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（2019·泰安）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【解答】解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；④不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（2019·泰安）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2＋∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°【解答】解：过点E作EF∥11，∵11∥12，EF∥11，∴EF∥11∥12，∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC＋∠3＝180°，∴∠2＋∠3＝∠AEF＋∠FEC＋∠3＝30°＋180°＝210°，故选：C．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．6．（2019·泰安）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8 B．中位数是8 C．平均数是8.2 D．方差是1.2【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8＋8）＝8，故B选项正确；平均数为（6＋7×2＋8×3＋9×2＋10×2）＝8.2，故C选项正确；方差为[（6－8.2）2＋（7－8.2）2＋（7－8.2）2＋（8－8.2）2＋（8－8.2）2＋（8－8.2）2＋（9－8.2）2＋（9－8.2）2＋（10－8.2）2＋（10－8.2）2]＝1.56，故D选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．7．（2019·泰安）不等式组的解集是（）A．x≤2 B．x≥－2 C．－2＜x≤2 D．－2≤x＜2【解答】解：，由①得，x≥－2，由②得，x＜2，所以不等式组的解集是－2≤x＜2．故选：D．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．8．（2019·泰安）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30＋30B．30＋10C．10＋30D．30【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°－20°，∠ACB＝40°＋20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE＋CE＝30＋10，∴A，C两港之间的距离为（30＋10）km，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．9．（2019·泰安）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO 于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°【解答】解：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°－∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°－2×61°＝58°，∴∠P＝90°－∠DOC＝32°；故选：A．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．10．（2019·泰安）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：画树状图如图所示：∵共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为＝；故选：C．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．（2019·泰安）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．12．（2019·泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB的最小值是2故选：D．【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（2019·泰安）已知关于x的一元二次方程x2－（2k－1）x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k－1）2－4（k2＋3）＝－4k＋1－12＞0，解得k；故答案为：k．【点评】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2－4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．14．（2019·泰安）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．15．（2019·泰安）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB 于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为π．【解答】解：连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，由勾股定理得，OB＝＝3，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴CO＝CB，CH＝OC＝，∴阴影都分的面积＝－×3×3×＋×3×－＝π，故答案为：π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．16．（2019·泰安）若二次函数y＝x2＋bx－5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋bx－5＝2x－13的解为x1＝2，x2＝4 ．【解答】解：∵二次函数y＝x2＋bx－5的对称轴为直线x＝2，∴，得b＝－4，则x2＋bx－5＝2x－13可化为：x2－4x－5＝2x－13，解得，x1＝2，x2＝4．故意答案为：x1＝2，x2＝4．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．17．（2019·泰安）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是（2n－1）．【解答】解：由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1＋C1A2＋C2A3＋C3A4＋…＋C n－1A n）＝（1＋2＋4＋8＋…＋2n－1），设S＝1＋2＋4＋8＋…＋2n－1，则2S＝2＋4＋8＋…＋2n－1＋2n，则2S－S＝2n－1，∴S＝2n－1，∴1＋2＋4＋8＋…＋2n－1＝2n－1，∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n－1），故答案为：（2n－1），【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（2019·泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是2．【解答】解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°－∠GCE，∠DEC＝90°－∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG＋∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（2019·泰安）（8分）先化简，再求值：（a－9＋）÷（a－1－），其中a＝．【解答】解：原式＝（＋）÷（－）＝÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝1－2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的运算能力．20．（2019·泰安）（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：组别分数人数第1组90＜x≤100 8第2组80＜x≤90 a第3组70＜x≤80 10第4组60＜x≤70 b第5组50＜x≤60 3 请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？【解答】解：（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数 40×50%－8＝12（人），第4组人数 40×50%－10－3＝7（人），∴a＝12，b＝7；（2）＝27°，∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），∴成绩高于80分的共有900人．【点评】本题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．21．（2019·泰安）（11分）已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB＋BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx＋b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x－；（2）由（1）知，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB＝PB时，∴P（0，0）或（10，0），②当AB＝AP时，如图2，由（1）知，BD＝4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP＝BD＝4，∴OP＝5＋4＋4＝13，∴P（13，0），③当PB＝AP时，设P（a，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AP2＝（9－a）2＋9，BP2＝（5－a）2，∴（9－a）2＋9＝（5－a）2∴a＝，∴P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．22．（2019·泰安）（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：＋＝1100，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600－m）个，依题意，得：3m＋2.5（2600－m）≤7000，解得：m≤1000．答：A种粽子最多能购进1000个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（2019·泰安）（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠BAE＋∠EAD＝90°，∠EAD＋∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∵∠AGP＝∠BAG＋∠ABG，∠APD＝∠ADE＋∠PBD，∠ABG＝∠PBD，∴∠AGP＝∠APG，∴AP＝AG，∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，∴PA＝PF，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴PF∥AG，∴四边形AGFP是平行四边形，∵PA＝PF，∴四边形AGFP是菱形．（2）证明：如图②中，∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED＝∠PEC＝90°，∴∠AEP＝∠DEC，∵∠EAD＋∠ADE＝90°，∠ADE＋∠CDE＝90°，∴∠EAP＝∠EDC，∴△AEP∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD，∴AE•AB＝DE•AP；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝＝，∵AE⊥BD，∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD，∴AE＝，∴DE＝＝，∵AE•AB＝DE•AP；∴AP＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（2019·泰安）（13分）若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，－2），且过点C（2，－2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，－2）、C（2，－2）∴解得：∴二次函数表达式为y＝x2－x－2（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D设P（t，t2－t－2）（t＞3）∴OD＝t，PD＝t2－t－2设直线BP解析式为y＝kx－2把点P代入得：kt－2＝t2－t－2∴k＝t－∴直线BP：y＝（t－）x－2当y＝0时，（t－）x－2＝0，解得：x＝∴C（，0）∵t＞3∴t－2＞1∴，即点C一定在点A左侧∴AC＝3－∵S△PBA＝S△ABC＋S△ACP＝AC•OB＋AC•PD＝AC（OB＋PD）＝4∴＝4解得：t1＝4，t2＝－1（舍去）∴t2－t－2＝∴点P的坐标为（4，）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F∴AB垂直平分OE∴BE＝OB，OG＝GE∴∠ABO＝∠ABM∵A（3，0）、B（0，－2），∠AOB＝90°∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG∴OG＝∴OE＝2OG＝∵∠OAB＋∠AOG＝∠AOG＋∠BOG＝90°∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝∴EF＝OE＝，OF＝OE＝∴E（，－）设直线BE解析式为y＝ex－2把点E代入得：e－2＝－，解得：e＝－∴直线BE：y＝－x－2当－x－2＝x2－x－2，解得：x1＝0（舍去），x2＝∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，等腰三角形性质，三角函数的应用．第（3）题点的存在性问题，可先通过画图确定满足∠ABO＝∠ABM的点M位置，通过相似三角形对应边成比例或三角函数为等量关系求线段的长．25．（2019·泰安）（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E 在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．【解答】解：（1）AG＝FG，理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形∴AG＝MF，AM＝FG，∵∠CEF＝90°，∴∠FEM＋∠BEC＝90°，∠BEC＋∠BCE＝90°∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC∴△EFM≌△CEB（AAS）∴BE＝MF，ME＝BC∴ME＝AB＝BC∴BE＝MA＝MF∴AG＝FG，（2）DH⊥HG理由如下：如图，延长GH交CD于点N，∵FG⊥AD，CD⊥AD∴FG∥CD∴，且CH＝FH，∴GH＝HN，NC＝FG∴AG＝FG＝NC又∵AD＝CD，∴GD＝DN，且GH＝HN∴DH⊥GH【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△EFM≌△CEB是本题的关键．。
2019年山东省泰安市中考数学试卷解析版
x 两，每枚白银重 y 两，根据题意可列方程组为
．
15 ．（ 4 分）如图，∠ AOB ＝ 90 °，∠B＝ 30 °，以点 O 为圆心， OA 为半径作弧交
AB 于点 A、点 C，交 OB 于点 D，
若 OA ＝ 3，则阴影都分的面积为
．
2
2
16 ．（ 4 分）若二次函数 y＝ x +bx ﹣5 的对称轴为直线
a
时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞
1 时， n 是正数；当原数的绝对值
＜1 时， n 是负数． 【解答】 解： 42 万公里＝ 420000000m 用科学记数法表示为：
8 4.2 × 10 米，
故选： B．
【点评】 此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为
“嫦娥四号”进入近地点约
200
公里、远地点约
42 万公里的地月转移轨道，将数据 42 万公里用科学记数法表示为（
）
A ． 4.2×10 9 米
8 B ． 4.2 ×10 米
7 C． 42 × 10 米
7 D．4.2 × 10 米
n
【分析】 科学记数法的表示形式为
a× 10 的形式，其中 1≤|a| ＜ 10 ， n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成
对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（ 4 分）在实数 |﹣ 3.14| ，﹣ 3，﹣
， π 中，最小的数是（
）
A ．﹣
B．﹣ 3
C． |﹣ 3.14|
D．π
【分析】 根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小．
【解答】 解：
2019山东省泰安市【中考数学 试题 真题真卷及答案】
2019年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π2．（4分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a4 3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④5．（4分）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8 B．中位数是8C．平均数是8.2 D．方差是1.27．（4分）不等式组的解集是（）A．x≤2 B．x≥﹣2 C．﹣2＜x≤2 D．﹣2≤x＜2 8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．309．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P 为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为．16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x ﹣13的解为．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：组别分数人数第1组90＜x≤100 8第2组80＜x≤90 a第3组70＜x≤80 10第4组60＜x≤70 b第5组50＜x≤60 3 请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP 是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．2019年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小．【解答】解：∵||＝＜|﹣3|＝3∴﹣＜（﹣3）C、D项为正数，A、B项为负数，正数大于负数，故选：B．【点评】此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负数比较大小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“．2．（4分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a4【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项正确；B、a4•a2＝a6，故此选项错误；C、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；D、a2+a2＝2a2，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：42万公里＝420000000m用科学记数法表示为：4.2×108米，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解．【解答】解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；④不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（4分）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°【分析】过点E作EF∥11，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：过点E作EF∥11，∵11∥12，EF∥11，∴EF∥11∥12，∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，故选：C．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8 B．中位数是8C．平均数是8.2 D．方差是1.2【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）＝8，故B选项正确；平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项正确；方差为[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，故D选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．7．（4分）不等式组的解集是（）A．x≤2 B．x≥﹣2 C．﹣2＜x≤2 D．﹣2≤x＜2【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由①得，x≥﹣2，由②得，x＜2，所以不等式组的解集是﹣2≤x＜2．故选：D．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．9．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．【解答】解：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；故选：A．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如图所示：∵共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为＝；故选：C．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P 为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB的最小值是2故选：D．【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k．【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，求出k 的取值范围；【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，解得k；故答案为：k．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为π．【分析】连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【解答】解：连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，由勾股定理得，OB＝＝3，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴CO＝CB，CH＝OC＝，∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x ﹣13的解为x1＝2，x2＝4．【分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，∴，得b＝﹣4，则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，解得，x1＝2，x2＝4．故意答案为：x1＝2，x2＝4．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是（2n﹣1）．【分析】根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（2n﹣1），【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是2．【分析】连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度．【解答】解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝1﹣2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的运算能力．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：组别分数人数第1组90＜x≤100 8第2组80＜x≤90 a第3组70＜x≤80 10第4组60＜x≤70 b第5组50＜x≤60 3请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？【分析】（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），所以a＝12，b＝7；（2）＝27°，所以“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），所以成绩高于80分的共有900人．【解答】解：（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），∴a＝12，b＝7；（2）＝27°，∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），∴成绩高于80分的共有900人．【点评】本题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．【分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论；③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB+BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；（2）由（1）知，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB＝PB时，∴PB＝5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB＝AP时，如图2，由（1）知，BD＝4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP＝BD＝4，∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），③当PB＝AP时，设P（a，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2∴a＝，∴P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？【分析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：+＝1100，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，解得：m≤1000．答：A种粽子最多能购进1000个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP 是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．【分析】（1）想办法证明AG＝PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明P A＝PF即可解决问题．（2）证明△AEP∽△DEC，可得＝，由此即可解决问题．（3）利用（2）中结论．求出DE，AE即可．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，∴∠AGP＝∠APG，∴AP＝AG，∵P A⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，∴P A＝PF，∴PF＝AG，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴PF∥AG，∴四边形AGFP是平行四边形，∵P A＝PF，∴四边形AGFP是菱形．（2）证明：如图②中，∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED＝∠PEC＝90°，∴∠AEP＝∠DEC，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠EAP＝∠EDC，∴△AEP∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD，∴AE•AB＝DE•AP；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝＝，∵AE⊥BD，∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD，∴AE＝，∴DE＝＝，∵AE•AB＝DE•AP；∴AP＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用A、B、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．（2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标．把t当常数求直线BP解析式，进而求直线BP与x轴交点C坐标（用t表示），即能用t表示AC的长．把△PBA 以x轴为界分成△ABC与△ACP，即得到S△PBA＝AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到关于t的方程，解之即求得点P坐标．（3）作点O关于直线AB的对称点E，根据轴对称性质即有AB垂直平分OE，连接BE 交抛物线于点M，即有BE＝OB，根据等腰三角形三线合一得∠ABO＝∠ABM，即在抛物线上（AB下方）存在点M使∠ABO＝∠ABM．设AB与OE交于点G，则G为OE中点且OG⊥AB，利用△OAB面积即求得OG进而得OE的长．易求得∠OAB＝∠BOG，求∠OAB的正弦和余弦值，应用到Rt△OEF即求得OF、EF的长，即得到点E坐标．求直线BE解析式，把BE解析式与抛物线解析式联立，求得x的解一个为点B横坐标，另一个即为点M横坐标，即求出点M到y轴的距离．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）∴解得：∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2设直线BP解析式为y＝kx﹣2把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2∴k＝t﹣∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝∴C（，0）∵t＞3∴t﹣2＞1∴，即点C一定在点A左侧∴AC＝3﹣∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC（OB+PD）＝4∴＝4解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）∴t2﹣t﹣2＝∴点P的坐标为（4，）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F∴AB垂直平分OE∴BE＝OB，OG＝GE∴∠ABO＝∠ABM∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG∴OG＝∴OE＝2OG＝∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝∴EF＝OE＝，OF＝OE＝∴E（，﹣）设直线BE解析式为y＝ex﹣2把点E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣∴直线BE：y＝﹣x﹣2当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，等腰三角形性质，三角函数的应用．第（3）题点的存在性问题，可先通过画图确定满足∠ABO＝∠ABM的点M位置，通过相似三角形对应边成比例或三角函数为等量关系求线段的长．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．【分析】（1）过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得AG＝MF，AM＝FG，由“AAS”可证△EFM≌△CEB，可得BE＝MF，ME＝BC＝AB，可得BE＝MA＝MF＝AG＝FG；（2）延长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得，且CH＝FH，可得GH＝HN，NC＝FG，即可求DG＝DN，由等腰三角形的性质可得DH⊥HG．【解答】解：（1）AG＝FG，理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形∴AG＝MF，AM＝FG，∵∠CEF＝90°，∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC∴△EFM≌△CEB（AAS）∴BE＝MF，ME＝BC∴ME＝AB＝BC∴BE＝MA＝MF∴AG＝FG，（2）DH⊥HG理由如下：如图，延长GH交CD于点N，∵FG⊥AD，CD⊥AD∴FG∥CD∴，且CH＝FH，∴GH＝HN，NC＝FG∴AG＝FG＝NC又∵AD＝CD，∴GD＝DN，且GH＝HN∴DH⊥GH【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△EFM≌△CEB是本题的关键．。
泰安2019中考数学试题及答案
泰安2019中考数学试题及答案一、选择题1. 设函数f(x) = 2x - 1，下列哪个是f(x)在(x = 2)处的值？A) 1 B) 3 C) 4 D) 5解析：将x = 2代入函数表达式中得f(2) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3，选项B为正确答案。
2. 若两个数的和是24，差是16，则这两个数分别是：A) 20和4 B) 12和10 C) 18和6 D) 15和11解析：设两个数为x和y，则有x + y = 24和x - y = 16。
将两个方程联立可得x = 20，y = 4，选项A为正确答案。
3. 若正方形ABCD的边长为8cm，点E是边BC的中点，连接AE 并延长到边CD的一点F，则AE : EF : FD 的比值为：A) 1 : 1 : 2 B) 1 : 2 : 1 C) 1 : 3 : 2 D) 1 : 2 : 3解析：由题意可知三角形AED与三角形BCF相似，而EF是BC的一半，故AE : EF : FD = 1 : 2 : 3，选项D为正确答案。
二、填空题1. 已知两个数的比是4 : 5，较小的数是25，则较大的数是\_\_\_。
解析：设较大的数为x，则有x : 25 = 5 : 4，通过比例的性质可得x = 25 * (5/4) = 31.25。
2. 将5x - 7 + 3x + 12 简化后的多项式为 \_\_\_。
解析：合并同类项可得8x + 5。
三、解答题1. 计算： 2/3 + 5/6 - 1/4 = \_\_\_。
解析：首先确定通分为12，得到 8/12 + 10/12 - 3/12 = 15/12 = 1 1/4。
2. 某矩形的长是宽的2倍，面积为48平方米，求矩形的长和宽各是多长。
解析：设矩形的宽为x，则矩形的长为2x。
根据题意可得2x * x = 48，解得x = 4或x = -6，考虑到宽不可能为负数，所以宽为4m，长为8m。
四、解答题（证明）已知：△ABC是等边三角形，角E是边AB的延长线上的点，连线CE交BC于点D。
山东省泰安市2019年中考试卷(数学解析版)
2019年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）在实数| 3.14|-，3-，π中，最小的数是( )A ．B ．3-C ．| 3.14|-D ．π选B ．2．（4分）下列运算正确的是( ) A ．633a a a ÷=B ．428a a a =C ．236(2)6a a =D ．224a a a +=【解析】A 、633a a a ÷=，故此选项正确；B 、426a a a =，故此选项错误；C 、236(2)8a a =，故此选项错误；D 、2222a a a +=，故此选项错误；选A ．3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为( ) A ．94.210⨯米B ．84.210⨯米C ．74210⨯米D ．74.210⨯米【解析】42万公里420000000m =用科学记数法表示为：84.210⨯米， 选B ．4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是( ) A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④【解析】①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确； ②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确； ③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；④不是轴对称图形，故本选项错误． 选A ．5．（4分）如图，直线121//1，130∠=︒，则23(∠+∠= )A ．150︒B ．180︒C ．210︒D ．240︒【解析】过点E 作1//1EF ， 121//1，1//1EF ， 12//1//1EF ∴，130AEF ∴∠=∠=︒，3180FEC ∠+∠=︒，23330180210AEF FEC ∴∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒，选C ．6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是( ) A ．众数是8B ．中位数是8C ．平均数是8.2D ．方差是1.2【解析】由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A 选项正确；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是1(88)82+=，故B 选项正确；平均数为1(6728392102)8.210+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 选项正确； 方差为22222222221[(68.2)(78.2)(78.2)(88.2)(88.2)(88.2)(98.2)(98.2)(108.2)(108.2)] 1.5610-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=，故D 选项错误；选D ．7．（4分）不等式组542(1),2532132x x x x +-⎧⎪+-⎨->⎪⎩…的解集是( )A ．2x …B ．2x -…C ．22x -<…D ．22x -<…【解析】()54212532132x x x x ⎧+-⎪⎨+-->⎪⎩①②…，由①得，2x -…， 由②得，2x <，所以不等式组的解集是22x -<…． 选D ．8．（4分）如图，一艘船由A 港沿北偏东65︒方向航行至B 港，然后再沿北偏西40︒方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20︒方向，则A ，C 两港之间的距离为( )km ．A．30+B．30+C．10+D．【解析】根据题意得，6520CAB ∠=︒-︒，402060ACB ∠=︒+︒=︒，AB = 过B 作BE AC ⊥于E ， 90AEB CEB ∴∠=∠=︒，在Rt ABE ∆中，45ABE ∠=︒，AB =30AE BE AB km ∴===， 在Rt CBE ∆中，60ACB ∠=︒，CE ∴==，30AC AE CE ∴=+=+A ∴，C 两港之间的距离为(30km +，选B ．9．（4分）如图，ABC ∆是O 的内接三角形，119A ∠=︒，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则P ∠的度数为( )A ．32︒B ．31︒C ．29︒D ．61︒【解析】如图所示：连接OC 、CD ， PC 是O 的切线， PC OC ∴⊥， 90OCP ∴∠=︒， 119A ∠=︒，18061ODC A ∴∠=︒-∠=︒， OC OD =，61OCD ODC ∴∠=∠=︒， 18026158DOC ∴∠=︒-⨯︒=︒， 9032P DOC ∴∠=︒-∠=︒；选A ．10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为()A．15B．25C．35D．45【解析】画树状图如图所示：共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为153 255=；选C．11．（4分）如图，将O沿弦AB折叠，AB恰好经过圆心O，若O的半径为3，则AB的长为()A．12πB．πC．2πD．3π【解析】连接OA、OB，作OC AB⊥于C，由题意得，12OC OA=，30OAC∴∠=︒，OA OB=，30OBA OAC∴∠=∠=︒，120AOB∴∠=︒，∴AB的长12032180ππ⨯==，选C．12．（4分）如图，矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是( )A ．2B ．4CD ．【解析】如图：当点F 与点C 重合时，点P 在1P 处，11CP DP =， 当点F 与点E 重合时，点P 在2P 处，22EP DP =， 12//PP CE ∴且1212PP CE =当点F 在EC 上除点C 、E 的位置处时，有DP FP = 由中位线定理可知：1//PP CE 且112PP CF = ∴点P 的运动轨迹是线段12P P ， ∴当12BP PP ⊥时，PB 取得最小值矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为AB 的中点， CBE ∴∆、ADE ∆、1BCP ∆为等腰直角三角形，12CP = 145ADE CDE CPB ∴∠=∠=∠=︒，90DEC ∠=︒ 2190DP P ∴∠=︒ 1245DPP ∴∠=︒2190P PB ∴∠=︒，即112BP PP ⊥， BP ∴的最小值为1BP 的长在等腰直角1BCP 中，12CP BC ==1BP ∴=PB ∴的最小值是选D ．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x k x k --++=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 114k <-． 【解析】∴△22(21)4(3)41120k k k =--+=-+->， 解得114k <-； 答案：114k <-． 14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为 911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩．【解析】设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得： 911(10)(8)13x yy x x y =⎧⎨+-+=⎩， 答案：911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩．15．（4分）如图，90AOB ∠=︒，30B ∠=︒，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A 、点C ，交OB 于点D ，若3OA =，则阴影都分的面积为34π ．【解析】连接OC ，作CH OB ⊥于H ， 90AOB ∠=︒，30B ∠=︒， 60OAB ∴∠=︒，26AB OA ==，由勾股定理得，OB = OA OC =，60OAB ∠=︒， AOC ∴∆为等边三角形， 60AOC ∴∠=︒， 30COB ∴∠=︒，CO CB ∴=，1322CH OC ==，∴阴影都分的面积226031133033333602223604πππ⨯⨯=-⨯⨯+⨯-=，答案：34π．16．（4分）若二次函数25y x bx =+-的对称轴为直线2x =，则关于x 的方程25213x bx x +-=-的解为 12x =，24x = ．【解析】二次函数25y x bx =+-的对称轴为直线2x =，∴22b-=， 得4b =-，则25213x bx x +-=-可化为：245213x x x --=-， 解得，12x =，24x =． 故意答案为：12x =，24x =．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线:1l y x =+与y 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111OA B C ，正方形1222C A B C ，正方形2333C A B C ，正方形3444C A B C ，⋯⋯，点1A ，2A ，3A ，4A ，⋯⋯在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，4C ，⋯⋯在x 轴正半轴上，则前n 1)n - ．【解析】由题意可得，点1A 的坐标为(0,1)，点2A 的坐标为(1,2)，点3A 的坐标为(3,4)，点4A 的坐标为(7,8)，⋯⋯， 11OA ∴=，122C A =，234C A =，348C A =，⋯⋯，∴前n 111223341)2482)n n n OA C A C A C A C A --++++⋯+=++++⋯+，设112482n S -=++++⋯+，则1224822n n S -=+++⋯++， 则221n S S -=-， 21n S ∴=-，11248221n n -∴++++⋯+=-，∴前n (21)n -，1)n -，18．（4分）如图，矩形ABCD 中，AB =12BC =，E 为AD 中点，F 为AB 上一点，将AEF ∆沿EF折叠后，点A 恰好落到CF 上的点G 处，则折痕EF 的长是【解析】如图，连接EC ， 四边形ABCD 为矩形，90A D ∴∠=∠=︒，12BC AD ==，DC AB ==E 为AD 中点，162AE DE AD ∴=== 由翻折知，AEF GEF ∆≅∆，6AE GE ∴==，AEF GEF ∠=∠，90EGF EAF D ∠=∠=︒=∠， GE DE ∴=， EC ∴平分DCG ∠， DCE GCE ∴∠=∠，90GEC GCE ∠=︒-∠，90DEC DCE ∠=︒-∠， GEC DEC ∴∠=∠，1180902FEC FEG GEC ∴∠=∠+∠=⨯︒=︒，90FEC D ∴∠=∠=︒，又DCE GCE ∠=∠， FEC EDC ∴∆∆∽，∴FE ECDE DC=，22EC DE =∴6FE =FE ∴=答案：三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：2541(9)(1)11a a a a a --+÷--++，其中a = 【解析】原式228925141()()1111a a a a a a a a ----=+÷-++++22816411a a a a a a -+-=÷++2(4)11(4)a a a a a -+=+- 4a a-=，当a原式1=-20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）:请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a ，b 的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？【解析】（1）抽取学生人数1025%40÷=（人)，第2组人数4050%812⨯-=（人)，第4组人数4050%1037⨯--=（人)，12a ∴=，7b =；（2）33602740︒⨯=︒， ∴ “第5组”所在扇形圆心角的度数为27︒；（3）成绩高于80分：180050%900⨯=（人)，∴成绩高于80分的共有900人．21．（11分）已知一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m y x =的图象交于点A ，与x 轴交于点(5,0)B ，若OB AB =，且152OAB S ∆=． （1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P 为x 轴上一点，ABP ∆是等腰三角形，求点P 的坐标．【解析】（1）如图1，过点A 作AD x ⊥轴于D ，(5,0)B ，5OB ∴=，152OAB S ∆=， ∴115522AD ⨯⨯=， 3AD ∴=，OB AB =，5AB ∴=，在Rt ADB ∆中，4BD ==，9OD OB BD ∴=+=，(9,3)A ∴，将点A 坐标代入反比例函数m y x =中得，9327m =⨯=， ∴反比例函数的解析式为27y x=， 将点(9,3)A ，(5,0)B 代入直线y kx b =+中，9350k b k b +=⎧⎨+=⎩， ∴3434k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AB 的解析式为3344y x =-； （2）由（1）知，5AB =，ABP ∆是等腰三角形，∴①当AB PB =时，5PB ∴=，(0,0)P ∴或(10,0)，②当AB AP =时，如图2，由（1）知，4BD =，易知，点P 与点B 关于AD 对称，4DP BD ∴==，54413OP ∴=++=，(13,0)P ∴，③当PB AP =时，设(,0)P a ，(9,3)A ，(5,0)B ，22(9)9AP a ∴=-+，22(5)BP a =-，22(9)9(5)a a ∴-+=-658a ∴=， 65(8P ∴，0)， 即：满足条件的点P 的坐标为(0,0)或(10,0)或(13,0)或65(8，0)．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？【解析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：1500150011001.2x x+=，解得： 2.5x=，经检验， 2.5x=是原方程的解，且符合题意，1.23x∴=．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子(2600)m-个，依题意，得：3 2.5(2600)7000m m+-…，解得：1000m…．答：A种粽子最多能购进1000个．23．（13分）在矩形ABCD中，AE BD⊥于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分ABD∠，交AE于点G，PF BD⊥于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE EC⊥，如图②，求证：AE AB DE AP=；（3）在（2）的条件下，若1AB=，2BC=，求AP的长．【解答】（1）证明：如图①中，四边形ABCD 是矩形，90BAD ∴∠=︒，AE BD ⊥，90AED ∴∠=︒，90BAE EAD ∴∠+∠=︒，90EAD ADE ∠+∠=︒，BAE ADE ∴∠=∠，AGP BAG ABG ∠=∠+∠，APD ADE PBD ∠=∠+∠，ABG PBD ∠=∠， AGP APG ∴∠=∠，AP AG ∴=，PA AB ⊥，PF BD ⊥，BP 平分ABD ∠，PA PF ∴=，PF AG ∴=，AE BD ⊥，PF BD ⊥，//PF AG ∴，∴四边形AGFP 是平行四边形，PA PF =，∴四边形AGFP 是菱形．（2）证明：如图②中，AE BD ⊥，PE EC ⊥，90AED PEC ∴∠=∠=︒，AEP DEC ∴∠=∠，90EAD ADE ∠+∠=︒，90ADE CDE ∠+∠=︒，EAP EDC ∴∠=∠，AEP DEC ∴∆∆∽， ∴AE AP DE DC=， AB CD =，AE AB DE AP ∴=；（3）解：四边形ABCD 是矩形，2BC AD ∴==，90BAD ∠=︒，BD ∴=，AE BD ⊥，1122ABD S BD AE AB AD∆∴==，AE ∴， DE ∴AE AB DE AP =；112AP ∴==． 24．（13分）若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴、y 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B -，且过点(2,2)C -．（1）求二次函数表达式；（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且4PBA S ∆=，求点P 的坐标；（3）在抛物线上(AB 下方）是否存在点M ，使A B O A B M ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．【解析】（1）二次函数的图象经过点(3,0)A 、(0,2)B -、(2,2)C -∴930002422a b c c a b c ++=⎧⎪++=-⎨⎪++=-⎩ 解得：23432a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴二次函数表达式为224233y x x =-- （2）如图1，设直线BP 交x 轴于点C ，过点P 作PD x ⊥轴于点D设(P t ，2242)(3)33t t t --> OD t ∴=，224233PD t t =-- 设直线BP 解析式为2y kx =-把点P 代入得：2242233kt t t -=-- 2433k t ∴=- ∴直线24:()233BP y t x =-- 当0y =时，24()2033t x --=，解得：32x t =- 3(2C t ∴-，0) 3t >21t ∴-> ∴332t <-，即点C 一定在点A 左侧 33(3)322t AC t t -∴=-=-- 111()4222PBA ABC ACP S S S AC OB AC PD AC OB PD ∆∆∆=+=+=+=∴213(3)24(22)42233t t t t -+--=- 解得：14t =，21t =-（舍去）∴2243216102233333t t --=--= ∴点P 的坐标为10(4,)3 （3）在抛物线上(AB 下方）存在点M ，使ABO ABM ∠=∠．如图2，作点O 关于直线AB 的对称点E ，连接OE 交AB 于点G ，连接BE 交抛物线于点M ，过点E 作EF y ⊥轴于点FAB ∴垂直平分OEBE OB ∴=，OG GE =ABO ABM ∴∠=∠(3,0)A 、(0,2)B -，90AOB ∠=︒3OA ∴=，2OB =，ABsin OB OAB AB ∴∠==，cos OA OAB AB ∠==1122AOB S OA OB AB OG ∆== 613OA OB OG AB ∴==2OE OG ∴==90OAB AOG AOG BOG ∠+∠=∠+∠=︒OAB BOG ∴∠=∠Rt OEF ∴∆中，sin EF BOG OE ∠==cos OF BOG OE ∠==2413EF ∴==，3613OF == 24(13E ∴，36)13- 设直线BE 解析式为2y ex =- 把点E 代入得：243621313e -=-，解得：512e =- ∴直线5:212BE y x =-- 当2524221233x x x --=--，解得：10x =（舍去），2118x =∴点M横坐标为118，即点M到y轴的距离为118．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，EFC∆是等腰直角三角形，点E在AB上，且90CEF∠=︒，FG AD⊥，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．【解析】（1）AG FG=，理由如下：如图，过点F作FM AB⊥交BA的延长线于点M四边形ABCD是正方形∠=︒=∠B BAD∴=，90AB BC⊥，90FM ABMAD⊥∠=︒，FG AD∴四边形AGFM是矩形=，AG MF∴=，AM FG∠=︒，CEF90∠+∠=︒BEC BCEFEM BEC∴∠+∠=︒，9090∠=∠=︒，EF EC=∴∠=∠，且90M BFEM BCEEFM CEB AAS∴∆≅∆()∴=，ME BCBE MF=∴==ME AB BC∴==BE MA MF∴=，AG FG（2）DH HG⊥理由如下：如图，延长GH交CD于点N，FG AD⊥⊥，CD AD∴//FG CD∴FG FH GHCN CH NH==，且CH FH=，GH HN∴=，NC FG=AG FG NC∴==又AD CD=，GD DN∴=，且GH HN= DH GH∴⊥。
2019年山东省泰安中考数学试卷-答案
山东省泰安市2019年初中学业水平考试数学答案解析第Ⅰ卷（选择题）一、选择题1.【答案】B【解析】【分析】根据实数的比较大小的规则比较即可. 【详解】解： 3.14=3.14-；因此根据题意可得3-是最小的故选B .【考点】实数的比较大小2.【答案】A【解析】根据整式的运算法则逐个计算即可.A .正确，63633a a a a -÷==B .错误，44262a a a a +==⋅C .错误，()32628a a =D .错误，2222a a a +=故选A .【考点】整式的计算法则3.【答案】B【解析】根据科学记数法的表示方法表示即可.解：42万公里84.210=⨯米故选B .【考点】科学记数法的表示方法4.【答案】A【解析】根据题意首先将各图形的对称轴画出，在数对称轴的条数即可.①有两条对称轴；②有两条对称轴；③有四条对称轴；④不是对称图形，故选A .【考点】图形的对称轴5.【答案】C【解析】根据题意作直线l 平行于直线l 1和l 2，再根据平行线的性质求解即可.解：作直线l 平行于直线l 1和l 212l l l ∥∥，1430;35180︒︒∴∠=∠=∠+∠=，245∠=∠+∠，2+3=4+5+3=30180210︒︒︒∴∠∠∠∠∠+=，故选C .【考点】平行线的性质6.【答案】D【解析】首先根据图形数出各环数出现的次数，在进行计算众数、中位数、平均数、方差.根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是102+92+83+72+61=8.210⨯⨯⨯⨯⨯， 方差是222222(108.2)2(98.2)3(88.2)2(78.2)(68.2) 1.5610⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+-=， 故选D【考点】统计的基本知识7.【答案】D【解析】根据不等式的性质解不等式组即可. 解：542(1)2532132x x x x +≥-⎧⎪+-⎨->⎪⎩化简可得：22x x ≥-⎧⎨<⎩， 因此可得22x -≤<，故选D .【考点】不等式组的解8.【答案】B【解析】根据题意作BD 垂直于AC 于点D ，根据计算可得45DAB ︒∠=，60BCD ︒∠=;根据直角三角形的性质求解即可.解：根据题意作BD 垂直于AC 于点D .可得AB = ，652045DAB ︒︒︒∠=-=204060DCB ︒︒︒∠=+=，所以可得cos 45302AD AB ︒===，sin 45302BD AB ︒===，tan 60BD CD ︒===因此可得30AC AD CD =+=+故选B .【考点】解直角三角形的应用9.【答案】A【解析】根据题意连接OC ，COP ∆为直角三角形，再根据BC 的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的COP ∠的度，再根据直角三角形可得P ∠的度数.【详解】根据题意连接OC .因为119A ∠=︒，所以可得BC 所对的大圆心角为2119238BOC ︒︒∠=⨯=，因为BD 为直径，所以可得23818058COD ︒︒︒∠=-=，由于COP △为直角三角形，所以可得905832P ︒︒︒∠=-=，故选A .【考点】圆心角的计算10.【答案】C【解析】根据树状图首先计算出总数，再计算出小球标号之和大于5的数，利用概率的计算公式可得摸出的小球标号之和大于5的概率.解：根据题意可得树状图为：一共有25种结果，其中15种结果是大于5的因此可得摸出的小球标号之和大于5的概率为153255= 故选C .【考点】概率的计算的树状图11.【答案】C【解析】根据题意作OC AB ⊥,垂足为C ，根据题意可得OC=32，因此可得30OAB ︒∠=,所以可得圆心角120AOB ︒∠=,进而计算的AB 的长.根据题意作OC AB ⊥,垂足为C ，∵O 沿弦AB 折叠，AB 恰好经过圆心O ，若O 的半径为3 ∴32OC =，30OAB ︒∠=， ∴圆心角120AOB ︒∠=， ∴120232360AB ππ⨯⨯==， 故选C .【考点】圆弧的计算12.【答案】D【解析】根据题意要使PB 最小，就要使DF 最长，所以可得当C 点和F 点重合时，才能使PB 最小，因此可计算的PB 的长.解：根据题意要使PB 最小，就必须使得DF 最长，因此可得当C 点和F 点重合时，才能使PB 最小. ∵当C 和F 重合时，P 点是CD 的中点∴2CP =，∴BP ===故选D .【考点】矩形中的动点问题第Ⅱ卷（选择题）二、填空题13.【答案】114k -＜ 【解析】根据根与系数的关系可得要使22(21)30x k x k --++=有两个不相等的实数根，则必须0△＞，进而可以计算出k 的取值范围.解：根据根与系数的关系可得要使22(21)30x k x k --++=有两个不相等的实数根，则0△＞. 22(21)4(3)k k =--+△114k ∴-＜ 故答案为114k -＜. 【考点】二元一次方程的根与系数的关系14.【答案】911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩【解析】根据题意甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同.故可得911x y = ，再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可得(10)(8)13y x x y +-+=,因此可得二元一次方程组.根据题意可得甲袋中的黄金9枚和乙袋中的白银11枚质量相等，可得911x y =，再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两.故可得(10)(8)13y x x y +-+=.因此911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩所以答案为911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩【考点】二元一次方程组的应用15.【答案】34π 【解析】根据题意连接OC ，可得阴影部分的面积等于两个阴影部分面积之和，再根据弧AC 所对的阴影部分面积等于弧AC 所对圆心角的面积减去OAC △的面积，而不规则图形BCD 的面积等于OBC △的面积减去弧DC 所对圆心角的面积.进而可得阴影部分的面积.解：根据题意连接OC∵OA OC =，90903060OAB B ∠=︒-∠=︒-︒=︒∴ACO △为等边三角形∴60AOC ︒∠=∴阴影部分面积26013333cos30360212ππ︒⨯⨯-⨯⨯==-∴阴影部分面积213303322360424ππ⨯-=-=⨯⨯ ∴阴影部分面积=阴影部分面积1+阴影部分面积324π= 故答案为34π。
2019年山东省泰安市中考数学真题(答案+解析)
2019年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π【答案】B【解析】∵||＝＜|﹣3|＝3，∴﹣＜（﹣3），C、D项为正数，A、B项为负数，正数大于负数，故选：B．2．下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a4【答案】A【解析】A.a6÷a3＝a3，故此选项正确；B.a4•a2＝a6，故此选项错误；C.（2a2）3＝8a6，故此选项错误；D.a2+a2＝2a2，故此选项错误；故选：A．3．2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米【答案】B【解析】42万公里＝420000000m用科学记数法表示为：4.2×108米，故选：B．4．下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【答案】A【解析】①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；④不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．5．如图，直线l1∥l2，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°【答案】C【解析】过点E作EF∥l1，∵l1∥l2，EF∥l1，∴EF∥l1∥l2，∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，故选：C．6．某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8 B．中位数是8C．平均数是8.2 D．方差是1.2【答案】D【解析】由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）＝8，故B选项正确；平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项正确；方差为[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，故D选项错误；故选：D．7．不等式组的解集是（）A．x≤2 B．x≥﹣2 C．﹣2＜x≤2 D．﹣2≤x＜2【答案】D【解析】，由①得，x≥﹣2，由②得，x＜2，所以不等式组的解集是﹣2≤x＜2．故选：D．8．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30【答案】B【解析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°【答案】A【解析】如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；故选：A．10．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】画树状图如图所示：∵共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为＝；故选：C．11．如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π【答案】C【解析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．12．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF 中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．【答案】D【解析】如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2，∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°，∴∠DP2P1＝90°，∴∠DP1P2＝45°，∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长，在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝2，∴PB的最小值是2，故选：D．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是k．【解析】∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，解得k；故答案为：k．14．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．【解析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故答案为：．15．如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为π．【解析】连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，由勾股定理得，OB＝＝3，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴CO＝CB，CH＝OC＝，∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．16．若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为x1＝2，x2＝4．【解析】∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，∴，得b＝﹣4，则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，解得，x1＝2，x2＝4．故意答案为：x1＝2，x2＝4．17．在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是（2n﹣1）．【解析】由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（2n﹣1），18．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF 沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是2．【解析】如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝6，由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为：2．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．解：原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝1﹣2．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？解：（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），∴a＝12，b＝7；（2）＝27°，∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），∴成绩高于80分的共有900人．21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB+BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；（2）由（1）知，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB＝PB时，∴PB＝5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB＝AP时，如图2，由（1）知，BD＝4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP＝BD＝4，∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），③当PB＝AP时，设P（a，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2，∴a＝，∴P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A 种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：+＝1100，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，解得：m≤1000．答：A种粽子最多能购进1000个．23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，∴∠AGP＝∠APG，∴AP＝AG，∵P A⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，∴P A＝PF，∴PF＝AG，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴PF∥AG，∴四边形AGFP是平行四边形，∵P A＝PF，∴四边形AGFP是菱形．（2）证明：如图②中，∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED＝∠PEC＝90°，∴∠AEP＝∠DEC，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠EAP＝∠EDC，∴△AEP∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD，∴AE•AB＝DE•AP；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝＝，∵AE⊥BD，∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD，∴AE＝，∴DE＝＝，∵AE•AB＝DE•AP，∴AP＝＝．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y 轴的距离；若不存在，请说明理由．解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2），∴，解得：，∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2.（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D，设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3），∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2，设直线BP解析式为y＝kx﹣2，把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2，∴k＝t﹣，∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2，当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝，∴C（，0），∵t＞3，∴t﹣2＞1，∴，即点C一定在点A左侧，∴AC＝3﹣，∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC（OB+PD）＝4，∴＝4，解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去），∴t2﹣t﹣2＝，∴点P的坐标为（4，）.（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F，∴AB垂直平分OE，∴BE＝OB，OG＝GE，∴∠ABO＝∠ABM，∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°，∴OA＝3，OB＝2，AB＝，∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝，∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG，∴OG＝，∴OE＝2OG＝，∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°，∴∠OAB＝∠BOG，∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝，∴EF＝OE＝，OF＝OE＝，∴E（，﹣），设直线BE解析式为y＝ex﹣2，把点E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣，∴直线BE：y＝﹣x﹣2，当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝，∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．解：（1）AG＝FG，理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD，∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD，∴四边形AGFM是矩形，∴AG＝MF，AM＝FG，∵∠CEF＝90°，∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°，∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC，∴△EFM≌△CEB（AAS），∴BE＝MF，ME＝BC，∴ME＝AB＝BC，∴BE＝MA＝MF，∴AG＝FG.（2）DH⊥HG.理由如下：如图，延长GH交CD于点N，∵FG⊥AD，CD⊥AD，∴FG∥CD，∴，且CH＝FH，∴GH＝HN，NC＝FG，∴AG＝FG＝NC，又∵AD＝CD，∴GD＝DN，且GH＝HN，∴DH⊥GH.。
2019年山东省泰安市中考数学试卷解析版
2019 年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12 小题，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超出一个，均记零分）1．（ 4 分）在实数 |﹣ 3.14|，﹣ 3，﹣，π中，最小的数是（）A ．﹣B．﹣ 3 C． |﹣ 3.14| D．π2．（ 4 分）以下运算正确的选项是（）6 3 3 4 2 8 2 3 6 2 2 4A ．a ÷ a ＝ aB ．a ?a ＝ a C．（ 2a ）＝ 6a D． a +a ＝a 3．（ 4 分） 2018 年 12 月 8 日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地址约200 公里、远地址约42 万公里的地月转移轨道，将数据42 万公里用科学记数法表示为（）9米8米7米D．×107米A ．× 10B ．× 10 C． 42× 104．（ 4 分）以下图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A ．①②B ．②③C．②④D．③④5．（ 4 分）如图，直线11∥ 12，∠ 1＝ 30°，则∠2+∠ 3＝（）A ．150°B ．180°C． 210°D． 240°6．（ 4 分）某射击运动员在训练中射击了10 次，成绩以下图：以下结论不正确的选项是（A ．众数是8C．均匀数是）B．中位数是8D．方差是7．（ 4 分）不等式组的解集是（）A ．x≤ 2B ．x≥﹣ 2 C．﹣ 2＜x≤ 2 D．﹣ 2≤ x＜ 28．（ 4 分）如图，一艘船由40°方向航行至 C 港，C A 港沿北偏东65°方向航行 30 港在 A 港北偏东 20°方向，则km 至 B 港，而后再沿北偏西A，C 两港之间的距离为（）km．A ．30+309．（ 4 分）如图，△ABC B ．30+10是⊙ O 的内接三角形，∠C． 10+30A＝ 119°，过点D． 30C 的圆的切线交BO 于点P，则∠ P 的度数为（）A ．32°B ．31°C． 29°D． 61°10．（ 4 分）一个盒子中装有标号为1， 2， 3， 4，5 的五个小球，这些球除标号外都同样，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于 5 的概率为（）A．B．C．D．11．（4 分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰巧经过圆心O，若⊙O 的半径为3，则的长为（）A ．πB ．πC． 2πD． 3π12．（ 4 分）如图，矩形ABCD 中， AB＝ 4，AD ＝ 2，E 为为 DF 中点，连结PB，则 PB 的最小值是（）AB 的中点，F 为EC 上一动点，PA ．2B ．4 C．D．二、填空题（本大题共 6 小题，满分24 分，只需求填写最后结果，每题填对得 4 分）13．（ 4 分）已知对于x 的一元二次方程x2﹣（ 2k﹣ 1） x+k2+3＝ 0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是．14．（ 4 分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9 枚（每枚黄金重量同样），乙袋中装有白银11 枚（每枚白银重量同样），称重两袋相等，两袋相互互换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了13 两（袋子重量忽视不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，依据题意可列方程组为．15．（ 4 分）如图，∠ AOB＝90°，∠ B＝ 30°，以点O 为圆心， OA 为半径作弧交AB 于点A、点 C，交 OB 于点 D ，若 OA ＝3，则暗影都分的面积为．16．（ 4 分）若二次函数2 2y＝x +bx﹣ 5 的对称轴为直线 x＝2，则对于 x 的方程 x +bx﹣5＝ 2x﹣ 13 的解为．17．（ 4 分）在平面直角坐标系中，直线l ：y＝ x+1 与 y 轴交于点 A1，以下图，挨次作正方形OA1B1C1，正方形 C1A2B2C2，正方形 C2A3B3C3，正方形 C3A4B4C4，，点 A1，A2， A3， A4，在直线l 上，点 C1， C2， C3， C4，在x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线长的和是．18．（ 4 分）如图，矩形ABCD 中， AB＝ 3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△ AEF 沿 EF 折叠后，点 A 恰巧落到 CF 上的点 G 处，则折痕EF 的长是．三、解答题（本大题共7 小题，满分78 分，解答应写出必需的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（ 8 分）先化简，再求值：（ a﹣ 9+ ）÷（ a﹣ 1﹣），此中 a＝．20．（ 8 分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的竞赛成绩，依据成绩（成绩都高于50 分），绘制了以下的统计图表（不完好）：组别分数人数第 1 组90＜ x≤ 100 8第 2 组80＜ x≤ 90 a第 3 组70＜ x≤ 80 10第 4 组60＜ x≤ 70 b第 5 组50＜ x≤ 60 3 请依据以上信息，解答以下问题：（1）求出 a， b 的值；（2）计算扇形统计图中“第 5 组”所在扇形圆心角的度数；（ 3）若该校共有1800 名学生，那么成绩高于80 分的共有多少人？21．（11 分）已知一次函数y＝ kx+b 的图象与反比率函数y＝的图象交于点A，与 x 轴交于点 B（ 5， 0），若 OB＝ AB，且 S△OAB＝．（ 1）求反比率函数与一次函数的表达式；（ 2）若点 P 为 x 轴上一点，△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．22．（11 分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的风俗．某商场在端午节到临之际用 3000 元购进 A、B 两种粽子 1100 个，购置 A 种粽子与购置 B 种粽子的花费同样．已知 A 种粽子的单价是 B 种粽子单价的 1.2倍．（ 1）求 A、B 两种粽子的单价各是多少？（ 2）若计划用不超出7000 元的资本再次购进A、B 两种粽子共2600 个，已知A、 B 两种粽子的进价不变．求 A 种粽子最多能购进多少个？23．（ 13 分）在矩形ABCD 中， AE⊥ BD 于点 E，点 P 是边 AD 上一点．（ 1）若 BP 均分∠ ABD ，交 AE 于点 G， PF⊥ BD 于点 F，如图①，证明四边形 AGFP 是菱形；（2）若 PE ⊥EC，如图②，求证： AE ?AB＝ DE ?AP；（3）在（ 2）的条件下，若 AB＝ 1， BC＝ 2，求 AP 的长．24．（ 13 分）若二次函数2y＝ ax +bx+c 的图象与x 轴、 y 轴分别交于点A（ 3， 0）、B（ 0，﹣2），且过点C（ 2，﹣ 2）．（ 1）求二次函数表达式；（ 2）若点 P 为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝ 4，求点P 的坐标；（ 3）在抛物线上（ AB 下方）能否存在点M，使∠ ABO＝∠ ABM ？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明原因．25．（14 分）如图，四边形ABCD 是正方形，△ EFC 是等腰直角三角形，点 E 在 AB 上，且∠CEF ＝90°， FG⊥AD ，垂足为点 C．（1）试判断 AG 与 FG 能否相等？并给出证明；（2）若点 H 为 CF 的中点， GH 与 DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明原因．2019 年山东省泰安市中考数学试卷参照答案与试题分析一、选择题（本大题共12 小题，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每题选对得4 分，选错、不选或选出的答案超出一个，均记零分）1．（ 4 分）在实数|﹣ 3.14|，﹣ 3，﹣， π中，最小的数是（）A ．﹣B ．﹣ 3C ． |﹣ 3.14|D ． π【剖析】 依据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小．【解答】 解：∵ ||＝ ＜|﹣3|＝3∴﹣＜（﹣ 3）C 、D 项为正数， A 、 B 项为负数，正数大于负数，应选： B ．【评论】 本题主要考察利用绝对值来比较实数的大小，本题要掌握性质”两负数比较大小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“．2．（ 4 分）以下运算正确的选项是（）63 34 282362 2＝a 4A ．a ÷ a ＝ aB ．a ?a ＝ aC ．（ 2a ） ＝ 6aD ． a +a【剖析】 直接利用归并同类项法例以及积的乘方运算法例、同底数幂的乘除运算法例分别计算得出答案．【解答】 解： A 、 a 6÷ a 3＝a 3，故此选项正确；4 2 6B 、 a ?a ＝ a ，故此选项错误；2 36 C 、（2a ） ＝ 8a ，故此选项错误； 22 2D 、a +a ＝ 2a ，故此选项错误； 应选： A ．【评论】 本题主要考察了归并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握有关运算法例是解题重点．3．（ 4 分） 2018 年12 月8 日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地址约200 公里、远地址约42 万公里的地月转移轨道，将数据42 万公里用科学记数法表示为（）98米77米A ．× 10 米B ．× 10C ． 42× 10 米D ．×10 【剖析】 科学记数法的表示形式为a × 10n的形式，此中 1≤ |a|＜ 10，n 为整数．确立 n的值时， 要看把原数变为 a 时，小数点挪动了多少位， n 的绝对值与小数点挪动的位数相 同．当原数绝对值＞ 1 时， n 是正数；当原数的绝对值＜1 时， n 是负数．【解答】 解： 42 万公里＝ 420000000m 用科学记数法表示为： × 108米，应选： B ．【评论】 本题考察了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a ×10n的形式，此中 1≤ |a|＜ 10， n 为整数，表示时重点要正确确立a 的值以及 n 的值．4．（ 4 分）以下图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）A ．①②B ．②③C ． ②④D ． ③④【剖析】 依据轴对称图形的观点分别确立出对称轴的条数，从而得解．【解答】 解： ① 是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；② 是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；③ 是轴对称图形且有4 条对称轴，故本选项错误；④ 不是轴对称图形，故本选项错误．应选： A ．【评论】 本题考察了轴对称图形的观点，轴对称图形的重点是找寻对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（ 4 分）如图，直线 11∥ 12，∠ 1＝ 30°，则∠ 2+∠ 3＝（）A ．150°B ．180°C ． 210°D ． 240°【剖析】过点 E 作 EF ∥ 11，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：过点 E 作 EF ∥11，∵11∥ 12， EF∥ 11，∴ EF∥ 11∥ 12，∴∠ 1＝∠ AEF ＝ 30°，∠ FEC +∠ 3＝ 180°，∴∠ 2+∠ 3＝∠ AEF+∠ FEC +∠ 3＝ 30° +180°＝210°，应选： C．【评论】本题考察平行线的性质，重点是依据平行线的性质解答．6．（ 4 分）某射击运动员在训练中射击了10 次，成绩以下图：以下结论不正确的选项是（）A ．众数是 8 B．中位数是 8C．均匀数是D．方差是【剖析】依据众数、中位数、均匀数以及方差的算法进行计算，即可获得不正确的选项．【解答】解：由图可得，数据8 出现 3 次，次数最多，因此众数为8，故 A 选项正确；10 次成绩排序后为：6， 7， 7， 8， 8， 8， 9，9， 10， 10，因此中位数是（ 8+8）＝ 8，故 B 选项正确；均匀数为（6+7 × 2+8× 3+9 × 2+10× 2）＝，故 C 选项正确；方差为2 2 2 2 2[（ 6﹣） +（ 7﹣） +（ 7﹣） +（ 8﹣） +（ 8﹣） +（8﹣）2 2 2 2 2+（ 9﹣） +（ 9﹣） +（ 10﹣） +（ 10﹣） ]＝，故 D 选项错误；应选： D．【评论】本题主要考察了众数、中位数、均匀数以及方差，用“先均匀，再求差，而后平方，最后再均匀”获得的结果表示一组数据偏离均匀值的状况，这个结果叫方差．7．（ 4 分）不等式组的解集是（）A ．x≤ 2 【剖析】B ．x≥﹣ 2 C．﹣ 2＜x≤ 2 先求出两个不等式的解集，再求其公共解．D．﹣ 2≤ x＜ 2【解答】解：，由①得， x≥﹣ 2，由②得， x＜ 2，因此不等式组的解集是﹣2≤ x＜ 2．应选： D．【评论】本题主要考察了一元一次不等式组解集的求法，其简易求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．8．（ 4 分）如图，一艘船由 A 港沿北偏东65°方向航行30km 至 B 港，而后再沿北偏西40°方向航行至 C 港，C 港在 A 港北偏东20°方向，则A，C 两港之间的距离为（）km．A ．30+30B ．30+10C． 10+30D． 30【剖析】依据题意得，∠CAB＝ 65°﹣ 20°，∠ ACB＝ 40° +20°＝ 60°， AB ＝ 30 ，过 B 作BE⊥ AC 于E，解直角三角形即可获得结论．【解答】解：依据题意得，∠ CAB＝ 65°﹣ 20°，∠ ACB＝ 40° +20°＝ 60°，AB＝ 30，过 B作 BE⊥AC于 E，∴∠AEB＝∠ CEB ＝ 90°，在 Rt△ABE 中，∵∠ ABE ＝ 45°， AB＝ 30，∴AE＝ BE＝AB＝ 30km，在 Rt△CBE 中，∵∠ ACB ＝ 60°，∴ CE＝BE＝ 10km，∴ AC＝ AE+CE＝ 30+10，∴A， C 两港之间的距离为（ 30+10 ） km，应选： B．【评论】本题考察认识直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．9．（ 4 分）如图，△ ABC 是⊙ O 的内接三角形，∠A＝ 119°，过点 C 的圆的切线交BO 于点P，则∠ P 的度数为（）A ．32°B ．31°C． 29°D． 61°【剖析】连结OC、 CD ，由切线的性质得出∠OCP＝ 90°，由圆内接四边形的性质得出∠ ODC ＝ 180°﹣∠ A＝ 61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD ＝∠ ODC ＝ 61°，求出∠DOC ＝ 58°，由直角三角形的性质即可得出结果．【解答】解：以下图：连结OC、 CD，∵PC 是⊙O 的切线，∴ PC⊥ OC，∴∠ OCP＝ 90°，∵∠ A＝ 119°，∴∠ ODC ＝ 180°﹣∠ A＝ 61°，∵OC＝ OD，∴∠ OCD ＝∠ ODC ＝ 61°，∴∠ DOC ＝ 180°﹣ 2× 61°＝ 58°，∴∠ P＝ 90°﹣∠ DOC ＝ 32°；应选： A．【评论】本题考察了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；娴熟掌握切线的性质是解题的重点．10．（ 4 分）一个盒子中装有标号为1， 2， 3， 4，5 的五个小球，这些球除标号外都同样，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于 5 的概率为（）A．B．C．D．【剖析】第一依据题意画出树状图，而后由树状图求得全部等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于 5 的状况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图以下图：∵共有 25 种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于 5 的有 15 种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为＝；应选： C．【评论】本题考察的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法能够不重复不遗漏的列出全部可能的结果，用到的知识点为：概率＝所讨状况数与总状况数之比．11．（4 分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰巧经过圆心O，若⊙O 的半径为3，则的长为（）A ．πB ．πC． 2πD． 3π【剖析】连结 OA、 OB，作 OC⊥ AB 于 C，依据翻转变换的性质获得OC＝OA，依据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，依据弧长公式计算即可．【解答】解：连结OA、 OB，作 OC⊥ AB 于 C，由题意得， OC＝OA，∴∠ OAC＝ 30°，∵ OA＝ OB，∴∠ OBA＝∠ OAC＝ 30°，∴∠ AOB＝ 120°，∴的长＝＝2π，应选： C．【评论】本题考察的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的重点．12．（ 4 分）如图，矩形ABCD 中， AB＝ 4，AD ＝ 2，E 为 AB 的中点， F 为 EC 上一动点， P 为 DF 中点，连结PB，则 PB 的最小值是（）A ．2B ．4 C．D．【剖析】依据中位线定理可得出点点P 的运动轨迹是线段P1P2，再依据垂线段最短可得当 BP ⊥P1P2时， PB 获得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥ P1P2，故BP 的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点 F 与点 C 重合时，点P 在 P1处， CP1＝ DP 1，当点 F 与点 E 重合时，点P 在 P2处， EP2＝DP 2，∴P1P2∥ CE 且 P1P2＝ CE当点 F 在 EC 上除点 C、E 的地点处时，有DP ＝ FP由中位线定理可知：P1P∥ CE 且 P1P＝CF∴点 P 的运动轨迹是线段P1P2，∴当 BP⊥ P1P2时， PB 获得最小值∵矩形 ABCD 中， AB＝ 4， AD ＝2， E 为 AB 的中点，∴△ CBE、△ ADE 、△ BCP1为等腰直角三角形， CP 1＝ 2∴∠ ADE＝∠ CDE＝∠ CP1B＝45°，∠ DEC ＝ 90°∴∠ DP 2P1＝ 90°∴∠ DP 1P2＝ 45°∴∠ P2P1B＝90°，即 BP 1⊥ P1P2，∴BP 的最小值为 BP1的长在等腰直角 BCP1中， CP1＝ BC＝ 2∴BP1＝ 2∴PB 的最小值是 2应选： D．【评论】本题考察轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的重点是学会利用特别地点解决问题，有难度．二、填空题（本大题共 6 小题，满分24 分，只需求填写最后结果，每题填对得 4 分）x2﹣（ 2k﹣ 1） x+k2+3＝ 0 有两个不相等的实数根，13．（ 4 分）已知对于x 的一元二次方程则实数 k 的取值范围是k ．【剖析】依据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣ 1）2 2﹣ 4（ k +3）＞ 0，求出 k的取值范围；【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（ 2k﹣ 1）2﹣ 4（ k2+3）＝﹣ 4k+1 ﹣12＞ 0，解得 k ；故答案为： k ．【评论】本题考察了一元二次方程ax 2 +bx+c＝ 0（ a≠ 0）的根与△＝ b 2﹣ 4ac 有以下关系：①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜ 0 时，方程无实数根．14．（ 4 分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9 枚（每枚黄金重量同样），乙袋中装有白银11 枚（每枚白银重量同样），称重两袋相等，两袋相互互换 1 枚后，甲袋比乙袋轻了13 两（袋子重量忽视不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，依据题意可列方程组为．【剖析】依据题意可得等量关系：① 9 枚黄金的重量＝ 11 枚白银的重量；②（ 10 枚白银的重量 +1 枚黄金的重量）﹣（ 1 枚白银的重量+8 枚黄金的重量）＝13 两，依据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设每枚黄金重x 两，每枚白银重y 两，由题意得：，故答案为：．【评论】本题主要考察了由实质问题抽象出二元一次方程组，重点是正确理解题意，找出题目中的等量关系．15．（ 4 分）如图，∠ AOB＝90°，∠ B＝ 30°，以点O 为圆心， OA 为半径作弧交A、点 C，交 OB 于点 D ，若 OA ＝3，则暗影都分的面积为π．AB 于点【剖析】连结 OC，作 CH ⊥ OB 于 H，依据直角三角形的性质求出AB，依据勾股定理求出 BD ，证明△ AOC 为等边三角形，获得∠ AOC＝ 60°，∠ COB＝ 30°，依据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【解答】解：连结 OC，作 CH ⊥ OB 于 H，∵∠ AOB＝ 90 °，∠ B＝30°，∴∠ OAB＝ 60 °， AB＝2OA＝ 6，由勾股定理得， OB＝＝3 ，∵OA＝ OC，∠ OAB＝60°，∴△ AOC 为等边三角形，∴∠ AOC＝ 60°，∴∠ COB＝ 30°，∴CO＝CB，CH ＝ OC＝，∴暗影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．【评论】本题考察的是扇形面积计算、等边三角形的判断和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的重点．2 216．（ 4 分）若二次函数 y＝x +bx﹣ 5 的对称轴为直线 x＝2，则对于x 的方程 x +bx﹣5＝ 2x ﹣ 13 的解为x1＝2， x2＝ 4 ．【剖析】依据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．2【解答】解：∵二次函数 y＝ x +bx﹣ 5 的对称轴为直线 x＝2，∴，得 b ＝﹣ 4，22则 x +bx ﹣5＝ 2x ﹣ 13 可化为： x ﹣ 4x ﹣ 5＝2x ﹣ 13，解得， x 1＝ 2， x 2＝ 4．成心答案为： x 1＝2， x 2＝ 4．【评论】 本题主要考察的是抛物线与x 轴的交点，利用抛物线的对称性求得 b 的值是解题的重点．17．（ 4 分）在平面直角坐标系中，直线 l ：y ＝ x+1 与 y 轴交于点A 1，以下图，挨次作正 方形 OA 1B 1C 1，正方形 C 1A 2B 2C 2，正方形 C 2A 3B 3C 3，正方形 C 3A 4B 4C 4， ，点 A 1，A 2， A 3， A 4 ， 在直线 l 上，点 C 1， C 2， C 3， C 4， 在 x 轴正半轴上，则前 n 个正方形 对 角 线 长 的 和 是（2n ﹣1）．【剖析】 依据题意和函数图象能够求得点A 1，A 2，A 3，A 4 的坐标，从而能够获得前n 个正方形对角线长的和，本题得以解决．【解答】 解：由题意可得，点 A 1 的坐标为（ 0，1），点 A 2 的坐标为（ 1， 2），点 A 3 的坐标为（ 3， 4），点 A 4 的坐标为（ 7， 8）， ，∴ OA 1＝ 1， C 1A 2＝ 2， C 2A 3＝ 4，C 3A 4＝ 8， ，∴前 n 个正方形对角线长的和是：（ OA 1+C 1A 2+C 2A 3+C 3A 4+ +C n ﹣ 1A n ）＝（ 1+2+4+8+ +2n ﹣1），设 S ＝1+2+4+8+ +2n ﹣1，则 2S ＝ 2+4+8+ +2 n ﹣ 1 n，+2 n则 2S ﹣S ＝ 2 ﹣ 1，∴1+2+4+8+ +2n﹣1＝2n﹣ 1，∴前 n 个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（ 2n﹣ 1），【评论】本题考察一次函数图象上点的坐标特点、规律型：点的坐标，解答本题的重点是明确题意，利用数形联合的思想解答．18．（ 4 分）如图，矩形ABCD 中， AB＝ 3，BC＝12，E为AD中点，F为AB 将△ AEF 沿 EF 折叠后，点 A 恰巧落到 CF 上的点 G 处，则折痕EF 的长是 2 上一点，．【剖析】连结 EC，利用矩形的性质，求出EG，DE 的长度，证明∠ FEC ＝90°，最后证△FEC∽△ EDC，利用相像的性质即可求出【解答】解：如图，连结EC，∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ A＝∠ D＝ 90°， BC＝ AD ＝ 12，DC ＝ AB＝ 3，∵E 为 AD 中点，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF ≌△ GEF ，ECEF均分∠ DCF ，再证的长度．∴AE＝ GE＝ 6，∠ AEF ＝∠ GEF ，∠ EGF＝∠ EAF ＝90°＝∠ D ，∴GE＝ DE，∴EC 均分∠ DCG ，∴∠ DCE＝∠ GCE，∵∠ GEC＝ 90°﹣∠ GCE，∠ DEC ＝90°﹣∠ DCE ，∴∠ GEC＝∠ DEC，∴∠ FEC＝∠ FEG +∠ GEC＝× 180°＝90°，∴∠ FEC＝∠ D＝ 90°，又∵∠ DCE ＝∠ GCE，∴△ FEC∽△ EDC，∴，∵ EC＝＝＝ 3 ，∴，∴FE＝2，故答案为： 2．【评论】本题考察了矩形的性质，轴对称的性质，相像三角形的判断与性质等，解题关键是能够作出适合的协助线，连结 CE，结构相像三角形，最后利用相像的性质求出结果．三、解答题（本大题共7 小题，满分78 分，解答应写出必需的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（ 8 分）先化简，再求值：（ a﹣ 9+）÷（a﹣1﹣），此中a＝．【剖析】先依据分式的混淆运算次序和运算法例化简原式，再将 a 的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝?＝，当 a＝时，原式＝＝1﹣2．【评论】本题主要考察分式的化简求值，解题的重点是掌握分式的混淆运算次序和运算法例及二次根式的运算能力．20．（ 8 分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的竞赛成绩，依据成绩（成绩都高于50 分），绘制了以下的统计图表（不完好）：组别分数人数第 1 组90＜ x≤ 100 8第 2 组80＜ x≤ 90 a第 3 组70＜ x≤ 80 10第 4 组60＜ x≤ 70 b第 5 组50＜ x≤ 60 3请依据以上信息，解答以下问题：（1）求出 a， b 的值；（2）计算扇形统计图中“第 5 组”所在扇形圆心角的度数；（ 3）若该校共有1800 名学生，那么成绩高于80 分的共有多少人？【剖析】（ 1）抽取学生人数10÷ 25%＝ 40（人），第 2 组人数40× 50%﹣8＝ 12（人），第 4 组人数40× 50%﹣ 10﹣3＝ 7（人），因此 a＝ 12， b＝ 7；（ 2）＝27°，因此“第 5 组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于 80 分： 1800× 50%＝ 900（人），因此成绩高于 80 分的共有 900人．【解答】解：（ 1）抽取学生人数 10÷ 25% ＝ 40（人），第 2 组人数 40× 50%﹣ 8＝ 12（人），第 4 组人数 40× 50%﹣ 10﹣3＝ 7（人），∴ a＝ 12， b＝ 7；（2）＝27°，∴“第 5 组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于 80 分： 1800× 50%＝ 900（人），∴成绩高于 80 分的共有 900 人．【评论】本题考察了统计图，娴熟掌握条形统计图与扇形统计图是解题的重点．21．（11 分）已知一次函数y＝ kx+b 的图象与反比率函数y＝的图象交于点A，与 x 轴交于点 B（ 5， 0），若 OB＝ AB，且 S△OAB＝．（ 1）求反比率函数与一次函数的表达式；（ 2）若点 P 为 x 轴上一点，△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．【剖析】（ 1）先求出 OB，从而求出 AD，得出点 A 坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（ 2）分三种状况，① 当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；②当 AB＝ AP 时，利用点 P 与点 B 对于 AD 对称，得出DP＝ BD＝ 4，即可得出结论；2 2 2 2③当 PB＝ AP 时，先表示出 AP ＝（ 9﹣ a）+9，BP ＝（ 5﹣a），从而成立方程求解即可得出结论．【解答】解：（ 1）如图1，过点 A 作 AD ⊥ x 轴于 D，∵ B（ 5， 0），∴ OB＝ 5，∵ S△OAB＝，∴ ×5×AD＝，∴ AD＝ 3，∵ OB＝ AB，∴ AB＝ 5，在 Rt△ADB 中， BD ＝＝ 4，∴OD ＝OB+BD＝ 9，∴A（ 9， 3），将点 A 坐标代入反比率函数y＝中得，m＝9× 3＝27，∴反比率函数的分析式为y＝，将点 A（ 9， 3）， B（ 5， 0）代入直线y＝ kx+b 中，，∴，∴直线 AB 的分析式为y＝x﹣；（2）由（ 1）知， AB＝ 5，∵△ ABP 是等腰三角形，∴①当 AB＝PB 时，∴ PB＝ 5，∴ P（ 0， 0）或（ 10， 0），②当 AB＝ AP 时，如图 2，由（ 1）知， BD ＝ 4，易知，点 P 与点 B 对于 AD 对称，∴ DP＝ BD＝ 4，∴ OP＝ 5+4+4＝ 13，∴ P（13， 0），③当 PB＝ AP 时，设 P（ a， 0），∵ A（ 9， 3），B（ 5， 0），2 2 2 2∴ AP ＝（ 9﹣a） +9，BP ＝（ 5﹣ a），2＝（ 5﹣ a）2∴（ 9﹣ a） +9∴a＝，∴P（，0），即：知足条件的点 P 的坐标为（ 0， 0）或（ 10， 0）或（ 13，0）或（， 0）．【评论】本题是反比率函数综合题，主要考察了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类议论的思想解决问题是解本题的重点．22．（11 分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的风俗．某商场在端午节到临之际用 3000 元购进 A、B 两种粽子 1100 个，购置 A 种粽子与购置 B 种粽子的花费同样．已知 A 种粽子的单价是 B 种粽子单价的 1.2倍．（ 1）求 A、B 两种粽子的单价各是多少？（ 2）若计划用不超出7000 元的资本再次购进A、B 两种粽子共2600 个，已知A、 B 两种粽子的进价不变．求 A 种粽子最多能购进多少个？【剖析】（ 1）设 B 种粽子单价为x 元 /个，则 A 种粽子单价为 1.2x 元/ 个，依据数目＝总价÷单价结适用3000 元购进 A、B 两种粽子1100 个，即可得出对于x 的分式方程，解之经查验后即可得出结论；（2）设购进 A 种粽子 m 个，则购进 B 种粽子（ 2600﹣m）个，依据总价＝单价×数目联合总价不超出7000 元，即可得出对于m 的一元一次不等式，解之取此中的最大值即可得出结论．【解答】解：（ 1）设 B 种粽子单价为x 元 /个，则 A 种粽子单价为 1.2x 元 /个，依据题意，得：+＝1100，解得： x＝，经查验， x＝ 2.5 是原方程的解，且切合题意，∴＝3．答： A 种粽子单价为 3 元 / 个， B 种粽子单价为 2.5 元 /个．（2）设购进 A 种粽子 m 个，则购进 B 种粽子（ 2600﹣m）个，依题意，得：（ 2600 ﹣m）≤ 7000，解得： m≤ 1000．答： A 种粽子最多能购进1000 个．【评论】本题考察了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的重点是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（ 2）依据各数目之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（ 13 分）在矩形ABCD 中， AE⊥ BD 于点 E，点 P 是边 AD 上一点．（ 1）若 BP 均分∠ ABD ，交 AE 于点 G， PF⊥ BD 于点 F，如图①，证明四边形AGFP 是菱形；（2）若 PE ⊥EC，如图②，求证： AE ?AB＝ DE ?AP；（3）在（ 2）的条件下，若 AB＝ 1， BC＝ 2，求 AP 的长．【剖析】（ 1）想方法证明 AG＝ PF ， AG∥PF ，推出四边形AGFP 是平行四边形，再证明PA＝ PF 即可解决问题．（ 2）证明△ AEP∽△ DEC ，可得＝，由此即可解决问题．（3）利用（ 2）中结论．求出 DE ， AE 即可．【解答】（ 1）证明：如图①中，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ BAD＝ 90°，∵AE⊥ BD ，∴∠ AED＝ 90°，∴∠ BAE+∠ EAD ＝ 90°，∠ EAD +∠ ADE＝90°，∴∠ BAE＝∠ ADE ，∵∠ AGP＝∠ BAG+∠ ABG，∠ APD ＝∠ ADE +∠ PBD，∠ ABG＝∠PBD，∴∠ AGP＝∠ APG，∴ AP＝ AG，∵PA⊥ AB， PF⊥ BD ， BP 均分∠ ABD ，∴PA＝ PF，∴PF＝ AG，∵AE⊥ BD ， PF⊥BD，∴ PF∥ AG，∴四边形 AGFP 是平行四边形，∵PA＝ PF，∴四边形AGFP 是菱形．（ 2）证明：如图②中，∵AE⊥ BD ， PE⊥ EC，∴∠ AED＝∠ PEC＝90°，∴∠ AEP＝∠ DEC ，∵∠ EAD+∠ ADE ＝90°，∠ ADE +∠ CDE＝90°，∴∠ EAP＝∠ EDC ，∴△ AEP∽△ DEC ，∴＝，∵AB＝ CD ，∴AE?AB＝ DE ?AP；（3）解：∵四边形 ABCD 是矩形，∴ BC＝ AD＝ 2，∠ BAD＝ 90°，∴BD＝＝，∵AE⊥ BD ，∴S△ABD＝ ?BD?AE＝ ?AB?AD，∴AE＝，∴DE＝＝，∵AE?AB＝ DE ?AP；∴AP＝＝．【评论】本题属于相像形综合题，考察了相像三角形的判断和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的重点是正确找寻相像三角形解决问题，属于中考常考题型．224．（ 13 分）若二次函数 y＝ ax +bx+c 的图象与x 轴、 y 轴分别交于点A（ 3， 0）、B（ 0，﹣2），且过点C（ 2，﹣ 2）．（ 1）求二次函数表达式；（ 2）若点 P 为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝ 4，求点 P 的坐标；（ 3）在抛物线上（ AB 下方）能否存在点M，使∠ ABO＝∠ ABM ？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明原因．【剖析】（ 1）用 A、 B、 C 三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．（ 2）设点 P 横坐标为t，用 t 代入二次函数表达式得其纵坐标．把t 当常数求直线BP 解析式，从而求直线 BP 与 x 轴交点 C 坐标（用 t 表示），即能用 t 表示 AC 的长．把△ PBA 以 x 轴为界分红△ ABC 与△ ACP ，即获得 S △ PBA ＝ AC （ OB+PD ）＝ 4，用含 t 的式子代入即获得对于 t 的方程，解之即求得点P 坐标．（ 3）作点 O 对于直线 AB 的对称点 E ，依据轴对称性质即有AB 垂直均分 OE ，连结 BE交抛物线于点 M ，即有 BE ＝ OB ，依据等腰三角形三线合一得∠ ABO ＝∠ ABM ，即在抛物线上（ AB 下方）存在点 M 使∠ ABO ＝∠ ABM ．设 AB 与 OE 交于点 G ，则 G 为 OE 中点且 OG ⊥ AB ，利用△ OAB 面积即求得 OG 从而得 OE 的长．易求得∠ OAB ＝∠ BOG ，求∠ OAB 的正弦和余弦值， 应用到 Rt △ OEF 即求得 OF 、EF 的长，即获得点 E 坐标． 求直线 BE 分析式，把 BE 分析式与抛物线分析式联立，求得x 的解一个为点 B 横坐标，另一个即为点 M 横坐标，即求出点M 到 y 轴的距离．【解答】 解：（ 1）∵二次函数的图象经过点A （ 3，0）、B （ 0，﹣ 2）、C （ 2，﹣ 2）∴解得：∴二次函数表达式为y ＝ x 2﹣ x ﹣2（ 2）如图 1，设直线 BP 交 x 轴于点 C ，过点 P 作 PD ⊥ x 轴于点 D设 P （ t ， t 2﹣ t ﹣ 2）（t ＞ 3）∴ OD ＝t ， PD ＝ t 2﹣ t ﹣ 2设直线 BP 分析式为y ＝ kx ﹣ 2把点 P 代入得： kt ﹣2＝t 2﹣ t ﹣2∴ k ＝ t ﹣∴直线 BP ：y ＝（t ﹣） x ﹣2当 y ＝ 0 时，（ t ﹣） x ﹣ 2＝ 0，解得： x ＝∴ C （，0）∵ t ＞ 3∴t﹣ 2＞ 1∴，即点 C 必定在点 A 左边∴ AC＝ 3﹣∵ S△PBA＝ S△ABC+S△ACP＝AC?OB+ AC?PD＝AC（ OB+PD ）＝ 4 ∴＝ 4解得： t1＝4， t2＝﹣ 1（舍去）∴t 2﹣ t﹣ 2＝∴点 P 的坐标为（ 4，）（ 3）在抛物线上（AB 下方）存在点M，使∠ ABO＝∠ ABM ．如图 2，作点 O 对于直线 AB 的对称点 E，连结 OE 交 AB 于点 G，连结 BE 交抛物线于点 M，过点 E 作 EF ⊥ y 轴于点 F∴AB 垂直均分 OE∴BE＝ OB， OG＝ GE∴∠ ABO＝∠ ABM∵A（ 3， 0）、B（ 0，﹣ 2），∠ AOB＝ 90°∴ OA＝ 3，OB＝ 2， AB＝∴ sin∠ OAB ＝，cos∠ OAB＝∵S△AOB＝ OA ?OB＝ AB?OG∴OG ＝∴OE＝ 2OG＝∵∠ OAB+∠ AOG＝∠ AOG+∠ BOG＝ 90°∴∠ OAB＝∠ BOG∴ Rt△OEF 中， sin∠ BOG ＝，cos∠BOG＝∴ EF＝OE＝，OF＝OE＝∴E（，﹣）设直线 BE 分析式为y＝ ex﹣ 2把点 E 代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣∴直线 BE ：y＝﹣x﹣ 2当﹣x﹣ 2＝x2﹣x﹣ 2，解得：x1＝ 0（舍去）， x2＝∴点M 横坐标为，即点M 到y 轴的距离为．【评论】本题考察了待定系数法求二次函数、一次函数分析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，等腰三角形性质，三角函数的应用．第（3）题点的存在性问题，可先通过绘图确立知足∠ABO＝∠ ABM 的点 M 地点，经过相像三角形对应边成比率或三角函数为等量关系求线段的长．25．（14 分）如图，四边形ABCD 是正方形，△ EFC 是等腰直角三角形，点 E 在 AB 上，且∠ CEF ＝90°， FG⊥AD ，垂足为点C．（1）试判断 AG 与 FG 能否相等？并给出证明；（2）若点 H 为 CF 的中点， GH 与 DH 垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明原因．【剖析】（ 1）过点 F 作 FM ⊥ AB 交 BA 的延伸线于点M，可证四边形AGFM 是矩形，可得 AG＝ MF ，AM＝ FG ，由“ AAS”可证△ EFM ≌△ CEB，可得 BE＝ MF ，ME ＝ BC＝AB，可得 BE＝ MA＝ MF ＝ AG＝FG ；（ 2）延伸 GH 交 CD 于点 N，由平行线分线段成比率可得，且CH＝FH，可得 GH＝ HN ， NC＝ FG，即可求DG ＝ DN，由等腰三角形的性质可得DH ⊥HG ．【解答】解：（ 1） AG＝ FG，原因以下：如图，过点 F 作 FM ⊥AB 交 BA 的延伸线于点M∵四边形ABCD 是正方形∴AB＝ BC，∠ B＝ 90°＝∠ BAD∵FM ⊥AB，∠ MAD ＝ 90°， FG ⊥ AD∴四边形AGFM 是矩形∴AG＝ MF， AM ＝ FG ，∵∠ CEF＝ 90°，∴∠ FEM +∠ BEC＝ 90°，∠ BEC+∠ BCE＝ 90°∴∠ FEM ＝∠ BCE，且∠ M＝∠ B＝ 90°， EF＝ EC∴△ EFM ≌△ CEB（ AAS）∴BE＝MF ，ME＝BC。
中考真题2019山东省泰安市中考数学试卷 解析版
2019年山东省泰安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3C．|﹣3.14|D．π2．（4分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a4 3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④5．（4分）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8B．中位数是8C．平均数是8.2D．方差是1.27．（4分）不等式组的解集是（）A．x≤2B．x≥﹣2C．﹣2＜x≤2D．﹣2≤x＜2 8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．309．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P 为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为．16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x ﹣13的解为．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：组别分数人数第1组90＜x≤1008第2组80＜x≤90a第3组70＜x≤8010第4组60＜x≤70b第5组50＜x≤603请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP 是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．2019年山东省泰安市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3C．|﹣3.14|D．π【分析】根据绝对值的大小进行比较即可，两负数比较大小，绝对值大的反尔小．【解答】解：∵||＝＜|﹣3|＝3∴﹣＜（﹣3）C、D项为正数，A、B项为负数，正数大于负数，故选：B．【点评】此题主要考查利用绝对值来比较实数的大小，此题要掌握性质”两负数比较大小，绝对值大的反尔小，正数大于负数，负数的绝对值为正数“．2．（4分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a4【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、a6÷a3＝a3，故此选项正确；B、a4•a2＝a6，故此选项错误；C、（2a2）3＝8a6，故此选项错误；D、a2+a2＝2a2，故此选项错误；故选：A．【点评】此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：42万公里＝420000000m用科学记数法表示为：4.2×108米，故选：B．【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出对称轴的条数，从而得解．【解答】解：①是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；②是轴对称图形且有两条对称轴，故本选项正确；③是轴对称图形且有4条对称轴，故本选项错误；④不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5．（4分）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°【分析】过点E作EF∥11，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：过点E作EF∥11，∵11∥12，EF∥11，∴EF∥11∥12，∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，故选：C．【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8B．中位数是8C．平均数是8.2D．方差是1.2【分析】根据众数、中位数、平均数以及方差的算法进行计算，即可得到不正确的选项．【解答】解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，故A选项正确；10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）＝8，故B选项正确；平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C选项正确；方差为[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，故D选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查了众数、中位数、平均数以及方差，用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果叫方差．7．（4分）不等式组的解集是（）A．x≤2B．x≥﹣2C．﹣2＜x≤2D．﹣2≤x＜2【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：，由①得，x≥﹣2，由②得，x＜2，所以不等式组的解集是﹣2≤x＜2．故选：D．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．30【分析】根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，过B作BE⊥AC于E，∴∠AEB＝∠CEB＝90°，在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，∴AE＝BE＝AB＝30km，在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，∴CE＝BE＝10km，∴AC＝AE+CE＝30+10，∴A，C两港之间的距离为（30+10）km，故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，方向角问题，三角形的内角和，是基础知识比较简单．9．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°【分析】连接OC、CD，由切线的性质得出∠OCP＝90°，由圆内接四边形的性质得出∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，由等腰三角形的性质得出∠OCD＝∠ODC＝61°，求出∠DOC＝58°，由直角三角形的性质即可得出结果．【解答】解：如图所示：连接OC、CD，∵PC是⊙O的切线，∴PC⊥OC，∴∠OCP＝90°，∵∠A＝119°，∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝61°，∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；故选：A．【点评】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握切线的性质是解题的关键．10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的小球的标号之和大于5的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图如图所示：∵共有25种等可能的结果，两次摸出的小球的标号之和大于5的有15种结果，∴两次摸出的小球的标号之和大于5的概率为＝；故选：C．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π【分析】连接OA、OB，作OC⊥AB于C，根据翻转变换的性质得到OC＝OA，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠AOB，根据弧长公式计算即可．【解答】解：连接OA、OB，作OC⊥AB于C，由题意得，OC＝OA，∴∠OAC＝30°，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAC＝30°，∴∠AOB＝120°，∴的长＝＝2π，故选：C．【点评】本题考查的是弧长的计算、直角三角形的性质、翻转变换的性质，掌握弧长公式是解题的关键．12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P 为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2B．4C．D．【分析】根据中位线定理可得出点点P的运动轨迹是线段P1P2，再根据垂线段最短可得当BP⊥P1P2时，PB取得最小值；由矩形的性质以及已知的数据即可知BP1⊥P1P2，故BP的最小值为BP1的长，由勾股定理求解即可．【解答】解：如图：当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，∴P1P2∥CE且P1P2＝CE当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF∴点P的运动轨迹是线段P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°∴∠DP2P1＝90°∴∠DP1P2＝45°∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，∴BP的最小值为BP1的长在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2∴BP1＝2∴PB的最小值是2故选：D．【点评】本题考查轨迹问题、矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题，有难度．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是k．【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＞0，求出k 的取值范围；【解答】解：∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，解得k；故答案为：k．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量＝11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）﹣（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）＝13两，根据等量关系列出方程组即可．【解答】解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，由题意得：，故答案为：．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为π．【分析】连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC＝60°，∠COB＝30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．【解答】解：连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，由勾股定理得，OB＝＝3，∵OA＝OC，∠OAB＝60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠COB＝30°，∴CO＝CB，CH＝OC＝，∴阴影都分的面积＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，故答案为：π．【点评】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x ﹣13的解为x1＝2，x2＝4．【分析】根据对称轴方程求得b，再解一元二次方程得解．【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，∴，得b＝﹣4，则x2+bx﹣5＝2x﹣13可化为：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，解得，x1＝2，x2＝4．故意答案为：x1＝2，x2＝4．【点评】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性求得b的值是解题的关键．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是（2n﹣1）．【分析】根据题意和函数图象可以求得点A1，A2，A3，A4的坐标，从而可以得到前n个正方形对角线长的和，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，点A1的坐标为（0，1），点A2的坐标为（1，2），点A3的坐标为（3，4），点A4的坐标为（7，8），……，∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，∴前n个正方形对角线长的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+C n﹣1A n）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），设S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，则2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，则2S﹣S＝2n﹣1，∴S＝2n﹣1，∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，∴前n个正方形对角线长的和是：×（2n﹣1），故答案为：（2n﹣1），【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型：点的坐标，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是2．【分析】连接EC，利用矩形的性质，求出EG，DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出EF的长度．【解答】解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝6由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC＝＝＝3，∴，∴FE＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当的辅助线，连接CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．【解答】解：原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝1﹣2．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及二次根式的运算能力．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：组别分数人数第1组90＜x≤1008第2组80＜x≤90a第3组70＜x≤8010第4组60＜x≤70b第5组50＜x≤603请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？【分析】（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），所以a＝12，b＝7；（2）＝27°，所以“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），所以成绩高于80分的共有900人．【解答】解：（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数40×50%﹣8＝12（人），第4组人数40×50%﹣10﹣3＝7（人），∴a＝12，b＝7；（2）＝27°，∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），∴成绩高于80分的共有900人．【点评】本题考查了统计图，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．【分析】（1）先求出OB，进而求出AD，得出点A坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）分三种情况，①当AB＝PB时，得出PB＝5，即可得出结论；②当AB＝AP时，利用点P与点B关于AD对称，得出DP＝BD＝4，即可得出结论；③当PB＝AP时，先表示出AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，进而建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB+BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；（2）由（1）知，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB＝PB时，∴PB＝5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB＝AP时，如图2，由（1）知，BD＝4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP＝BD＝4，∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），③当PB＝AP时，设P（a，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2∴a＝，∴P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？【分析】（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据数量＝总价÷单价结合用3000元购进A、B两种粽子1100个，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，根据总价＝单价×数量结合总价不超过7000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．【解答】解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：+＝1100，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，解得：m≤1000．答：A种粽子最多能购进1000个．【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP 是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．【分析】（1）想办法证明AG＝PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明P A＝PF即可解决问题．（2）证明△AEP∽△DEC，可得＝，由此即可解决问题．（3）利用（2）中结论．求出DE，AE即可．【解答】（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，∴∠AGP＝∠APG，∴AP＝AG，∵P A⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，∴P A＝PF，∴PF＝AG，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴PF∥AG，∴四边形AGFP是平行四边形，∵P A＝PF，∴四边形AGFP是菱形．（2）证明：如图②中，∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED＝∠PEC＝90°，∴∠AEP＝∠DEC，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠EAP＝∠EDC，∴△AEP∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD，∴AE•AB＝DE•AP；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝＝，∵AE⊥BD，∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD，∴AE＝，∴DE＝＝，∵AE•AB＝DE•AP；∴AP＝＝．【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．【分析】（1）用A、B、C三点坐标代入，用待定系数法求二次函数表达式．（2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标．把t当常数求直线BP解析式，进而求直线BP与x轴交点C坐标（用t表示），即能用t表示AC的长．把△PBA 以x轴为界分成△ABC与△ACP，即得到S△PBA＝AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到关于t的方程，解之即求得点P坐标．（3）作点O关于直线AB的对称点E，根据轴对称性质即有AB垂直平分OE，连接BE 交抛物线于点M，即有BE＝OB，根据等腰三角形三线合一得∠ABO＝∠ABM，即在抛物线上（AB下方）存在点M使∠ABO＝∠ABM．设AB与OE交于点G，则G为OE中点且OG⊥AB，利用△OAB面积即求得OG进而得OE的长．易求得∠OAB＝∠BOG，求∠OAB的正弦和余弦值，应用到Rt△OEF即求得OF、EF的长，即得到点E坐标．求直线BE解析式，把BE解析式与抛物线解析式联立，求得x的解一个为点B横坐标，另一个即为点M横坐标，即求出点M到y轴的距离．【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）∴解得：∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2设直线BP解析式为y＝kx﹣2把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2∴k＝t﹣∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝∴C（，0）∵t＞3∴t﹣2＞1∴，即点C一定在点A左侧∴AC＝3﹣∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC（OB+PD）＝4∴＝4解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）∴t2﹣t﹣2＝∴点P的坐标为（4，）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F∴AB垂直平分OE∴BE＝OB，OG＝GE∴∠ABO＝∠ABM∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG∴OG＝∴OE＝2OG＝∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝∴EF＝OE＝，OF＝OE＝∴E（，﹣）设直线BE解析式为y＝ex﹣2把点E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣∴直线BE：y＝﹣x﹣2当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，一元二次方程的解法，轴对称的性质，等腰三角形性质，三角函数的应用．第（3）题点的存在性问题，可先通过画图确定满足∠ABO＝∠ABM的点M位置，通过相似三角形对应边成比例或三角函数为等量关系求线段的长．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．【分析】（1）过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M，可证四边形AGFM是矩形，可得AG＝MF，AM＝FG，由“AAS”可证△EFM≌△CEB，可得BE＝MF，ME＝BC＝AB，可得BE＝MA＝MF＝AG＝FG；（2）延长GH交CD于点N，由平行线分线段成比例可得，且CH＝FH，可得GH＝HN，NC＝FG，即可求DG＝DN，由等腰三角形的性质可得DH⊥HG．【解答】解：（1）AG＝FG，理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形∴AG＝MF，AM＝FG，∵∠CEF＝90°，∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC∴△EFM≌△CEB（AAS）∴BE＝MF，ME＝BC∴ME＝AB＝BC∴BE＝MA＝MF∴AG ＝FG，（2）DH⊥HG理由如下：如图，延长GH交CD于点N，∵FG⊥AD，CD⊥AD∴FG∥CD∴，且CH＝FH，∴GH＝HN，NC＝FG∴AG＝FG＝NC又∵AD＝CD，∴GD＝DN，且GH＝HN∴DH⊥GH【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△EFM≌△CEB是本题的关键．。
山东省泰安市2019年中考数学试题(解析版)
泰安市2019年初中学业水平考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）1.在实数| 3.14|-，3-，π中，最小的数是（ ）A. B. 3- C. | 3.14|- D. π 【答案】B根据实数的比较大小的规则比较即可. 【详解】解：-3.14=3.14；因此根据题意可得-3是最小的故选B.【点睛】本题主要考查实数的比较大小，关键在于绝对值符号的去掉，根据负数绝对值越大，反而越小.2.下列运算正确的是（ ）A. 633a a a ÷=B. 428a a a ⋅=C. ()32626a a =D. 224a a a += 【答案】A根据整式的运算法则逐个计算即可.【详解】A 正确，63633a a a a -÷==B 错误，44262a a a a +==⋅C 错误，()32628a a =D 错误，2222a a a +=故选A.【点睛】本题主要考查整式的计算法则，关键在于幂指数的计算法则，是常考点.3.2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里，远地点约42万公里的地月转移轨道.将数据42万公里用科学记数法表示为（ ）A. 94.210⨯米B. 84.210⨯米C. 74210⨯米D. 74.210⨯米【答案】B根据科学记数法的表示方法表示即可.详解】解：42万公里=84.210⨯米故选B. 【点睛】本题主要考查科学记数法的表示方法，关键在于指数的计算. 4.下列图形：其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ） A. ①② B. ②③C. ②④D. ③④ 【答案】A根据题意首先将各图形的对称轴画出，在数对称轴的条数即可. 【详解】1有两条对称轴；2有两条对称轴；3有四条对称轴；4不是对称图形故选A. 【点睛】本题主要考查图形的对称轴，关键在于对称轴的概念的掌握.5.如图，直线12l l ，130∠=︒，则23∠+∠=（ ）A. 150°B. 180°C. 210°D. 240°【答案】C【根据题意作直线l 平行于直线l 1和l 2，再根据平行线的性质求解即可.【详解】解：作直线l 平行于直线l 1和l 212////l l l1430;35180︒︒∴∠=∠=∠+∠=245∠=∠+∠2+3=4+5+3=30180210︒︒︒∴∠∠∠∠∠+=故选C.【点睛】本题主要考查平行线的性质，关键在于等量替换的应用，两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等.6.某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（ ）A. 众数8B. 中位数是8C. 平均数是8.2D. 方差是1.2 【答案】D首先根据图形数出各环数出现的次数，在进行计算众数、中位数、平均数、方差.【详解】根据图表可得10环的2次，9环的2次，8环的3次，7环的2次，6环的1次.所以可得众数是8，中位数是8，平均数是102+92+83+72+61=8.210⨯⨯⨯⨯⨯ 方差是222222(108.2)2(98.2)3(88.2)2(78.2)(68.2) 1.5610⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+-=故选D【点睛】本题主要考查统计的基本知识，关键在于众数、中位数、平均数和方差的概念.特别是方差的公式.7.不等式组542(1)2532132x x x x +≥-⎧⎪+-⎨->⎪⎩的解集是（ ） A. 2x ≤B. 2x ≥-C. 22x -<≤D. 22x -≤<【答案】D根据不等式的性质解不等式组即可.【详解】解： 542(1)2532132x x x x +≥-⎧⎪+-⎨->⎪⎩化简可得：22x x ≥-⎧⎨<⎩ 因此可得22x -≤<故选D.【点睛】本题主要考查不等式组的解，这是中考的必考点，应当熟练掌握.8.如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为（ ）km .A. 30+B. 30+C. 10+D. 【答案】B 根据题意作BD 垂直于AC 于点D ，根据计算可得45DAB ︒∠=，60BCD ︒∠=;根据直角三角形的性质求解即可.【详解】解：根据题意作BD 垂直于AC 于点D.可得AB= ，652045DAB ︒︒︒∠=-=204060DCB ︒︒︒∠=+=所以可得cos 45302AD AB ︒===sin 45302BD AB ︒===tan 60BD CD ︒===因此可得30AC AD CD =+=+故选B.【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，根据特殊角的三角函数值计算即可.9.如图，ABC ∆是O 的内接三角形，119A ∠=︒，过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则P ∠的度数为（ ）A. 32°B. 31°C. 29°D. 61°【答案】A 根据题意连接OC ，COP ∆为直角三角形，再根据BC 的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的COP ∠的度，再根据直角三角形可得P ∠的度数.【详解】根据题意连接OC.因为119A ∠=︒所以可得BC 所对的大圆心角为2119238BOC ︒︒∠=⨯=因为BD 为直径，所以可得23818058COD ︒︒︒∠=-=由于COP ∆为直角三角形所以可得905832P ︒︒︒∠=-=故选A.【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍.10.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5，的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（ ） A. 15 B. 25 C. 35 D. 45【答案】C根据树状图首先计算出总数，再计算出小球标号之和大于5的数，利用概率的计算公式可得摸出的小球标号之和大于5的概率.【详解】解：根据题意可得树状图为：一共有25种结果，其中15种结果是大于5的因此可得摸出的小球标号之和大于5的概率为153255= 故选C.【点睛】本题主要考查概率计算的树状图，关键在于画树状图，根据树状图计算即可.11.如图，将O 沿弦AB 折叠，AB 恰好经过圆心O ，若O 的半径为3，则AB 的长为（ ）A. 12πB. πC. 2πD. 3π【答案】C 根据题意作OC AB ⊥,垂足为C ，根据题意可得OC=32，因此可得30OAB ︒∠=,所以可得圆心角120AOB ︒∠=,进而计算的AB 的长.【详解】根据题意作OC AB ⊥,垂足为CO 沿弦AB 折叠，AB 恰好经过圆心O ，若O 的半径为332OC ∴=,30OAB ︒∠= ∴圆心角120AOB ︒∠=∴AB =120232360ππ⨯⨯= 故选C.【点睛】本题主要考查圆弧的计算，关键在于确定圆心角.12.如图，矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是（ ）A. 2B. 4C.D.【答案】D 根据题意要使PB 最小，就要使DF 最长，所以可得当C 点和F 点重合时，才能使PB 最小，因此可计算的PB 的长.【详解】解：根据题意要使PB 最小，就必须使得DF 最长，因此可得当C 点和F 点重合时，才能使PB 最小.当C 和F 重合时，P 点是CD 的中点2CP ∴=BP ∴===故选D.【点睛】本题主要考查矩形中的动点问题，关键在于问题的转化，要使PB 最小，就必须使得DF 最长.二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）13.已知关于x 的一元二次方程22(21)30x k x k --++=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_____. 【答案】114k <- 根据根与系数的关系可得要使22(21)30x k x k --++=有两个不相等的实数根，则必须>0∆，进而可以计算出k 的取值范围.【详解】解：根据根与系数的关系可得要使22(21)30x k x k --++=有两个不相等的实数根，则>0∆. 22(21)4(3)k k ∆=--+114k ∴<- 故答案为114k <-. 【点睛】本题主要考查二元一次方程的根与系数的关系，根据方程根的个数，列不等式求解.14.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各种多少两？设黄金重x 两，每枚白银重y 两，根据题意可列方程组为____.【答案】911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩根据题意甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相同.故可得911x y = ，再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两，可得(10)(8)13y x x y +-+=,因此可得二元一次方程组.【详解】根据题意可得甲袋中的黄金9枚和乙袋中的白银11枚质量相等，可得911x y =，再根据两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两.故可得(10)(8)13y x x y +-+=.因此911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩所以答案为911(10)(8)13x y y x x y =⎧⎨+-+=⎩【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，关键在于理解题意，这是中考的必考题,必须熟练掌握.15.如图，90AOB ∠=︒，30B ∠=︒，以点O 为圆心，OA 为半径作弧交AB 于点A ，点C ，交OB 于点D ，若3OA =，则阴影部分的面积为_____.【答案】34π根据题意连接OC ，可得阴影部分的面积等于两个阴影部分面积之和，再根据弧AC 所对的阴影部分面积等于弧AC 所对圆心角的面积减去OAC ∆的面积，而不规则图形BCD 的面积等于OBC ∆的面积减去弧DC 所对圆心角的面积.进而可得阴影部分的面积.【详解】解：根据题意连接OC,90903060OA OC OAB B ︒︒︒︒=∠=-∠=-=ACO ∴∆为等边三角形60AOC ︒∴∠=∴阴影部分面积1=26013333cos3036022ππ︒⨯⨯-⨯⨯=∴阴影部分面积2=2133033223604ππ⨯-⨯⨯= ∴阴影部分面积=阴影部分面积1+阴影部分面积2=34π 故答案为34π。
2019年泰安市中考数学试题与答案
2019年泰安市中考数学试题与答案一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）1．（4分）在实数|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的数是（）A．﹣B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π2．（4分）下列运算正确的是（）A．a6÷a3＝a3B．a4•a2＝a8C．（2a2）3＝6a6D．a2+a2＝a43．（4分）2018年12月8日，我国在西昌卫星发射中心成功发射“嫦娥四号”探测器，“嫦娥四号”进入近地点约200公里、远地点约42万公里的地月转移轨道，将数据42万公里用科学记数法表示为（）A．4.2×109米B．4.2×108米C．42×107米D．4.2×107米4．（4分）下列图形：是轴对称图形且有两条对称轴的是（）A．①②B．②③C．②④D．③④5．（4分）如图，直线11∥12，∠1＝30°，则∠2+∠3＝（）A．150°B．180°C．210°D．240°6．（4分）某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论不正确的是（）A．众数是8 B．中位数是8C．平均数是8.2 D．方差是1.27．（4分）不等式组的解集是（）A．x≤2 B．x≥﹣2 C．﹣2＜x≤2 D．﹣2≤x＜2 8．（4分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为（）km．A．30+30B．30+10C．10+30D．309．（4分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A＝119°，过点C的圆的切线交BO于点P，则∠P的度数为（）A．32°B．31°C．29°D．61°10．（4分）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除标号外都相同，从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于5的概率为（）A．B．C．D．11．（4分）如图，将⊙O沿弦AB折叠，恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则的长为（）A．πB．πC．2πD．3π12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（）A．2 B．4 C．D．二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是．14．（4分）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻十三两，问金、银一枚各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等，两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意可列方程组为．15．（4分）如图，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点A、点C，交OB于点D，若OA＝3，则阴影都分的面积为．16．（4分）若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x ﹣13的解为．17．（4分）在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+1与y轴交于点A1，如图所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，点A1，A2，A3，A4，……在直线l上，点C1，C2，C3，C4，……在x轴正半轴上，则前n个正方形对角线长的和是．18．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．（8分）先化简，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．20．（8分）为弘扬泰山文化，某校举办了“泰山诗文大赛”活动，从中随机抽取部分学生的比赛成绩，根据成绩（成绩都高于50分），绘制了如下的统计图表（不完整）：请根据以上信息，解答下列问题：（1）求出a，b的值；（2）计算扇形统计图中“第5组”所在扇形圆心角的度数；（3）若该校共有1800名学生，那么成绩高于80分的共有多少人？21．（11分）已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．22．（11分）端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个，购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同．已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍．（1）求A、B两种粽子的单价各是多少？（2）若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个，已知A、B两种粽子的进价不变．求A种粽子最多能购进多少个？23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形；（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE•AB＝DE•AP；（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．24．（13分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．25．（14分）如图，四边形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，点E在AB上，且∠CEF＝90°，FG⊥AD，垂足为点C．（1）试判断AG与FG是否相等？并给出证明；（2）若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由．参考答案一、选择题1．B 2.A 3.B 4.A 5.C 6.D 7.D 8.B 9.A 10.C 11.C 12.D二、填空题（本大题共6小题，满分24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分）13． k．14．．15．π．16． x1＝2，x2＝4．17．（2n﹣1），18． 2．三、解答题（本大题共7小题，满分78分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）19．解：原式＝（+）÷（﹣）＝÷＝•＝，当a＝时，原式＝＝1﹣2．20．解：（1）抽取学生人数10÷25%＝40（人），第2组人数 40×50%﹣8＝12（人），第4组人数 40×50%﹣10﹣3＝7（人），∴a＝12，b＝7；（2）＝27°，∴“第5组”所在扇形圆心角的度数为27°；（3）成绩高于80分：1800×50%＝900（人），∴成绩高于80分的共有900人．21．解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB＝5，∵S△OAB＝，∴×5×AD＝，∴AD＝3，∵OB＝AB，∴AB＝5，在Rt△ADB中，BD＝＝4，∴OD＝OB+BD＝9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y＝中得，m＝9×3＝27，∴反比例函数的解析式为y＝，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y＝kx+b中，，∴，∴直线AB的解析式为y＝x﹣；（2）由（1）知，AB＝5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB＝PB时，∴PB＝5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB＝AP时，如图2，由（1）知，BD＝4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP＝BD＝4，∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），③当PB＝AP时，设P（a，0），∵A（9，3），B（5，0），∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2∴a＝，∴P（，0），即：满足条件的点P的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．22．解：（1）设B种粽子单价为x元/个，则A种粽子单价为1.2x元/个，根据题意，得：+＝1100，解得：x＝2.5，经检验，x＝2.5是原方程的解，且符合题意，∴1.2x＝3．答：A种粽子单价为3元/个，B种粽子单价为2.5元/个．（2）设购进A种粽子m个，则购进B种粽子（2600﹣m）个，依题意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，解得：m≤1000．答：A种粽子最多能购进1000个．23．( 1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AED＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，∴∠BAE＝∠ADE，∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，∴∠AGP＝∠APG，∴AP＝AG，∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，∴PA＝PF，∴PF＝AG，∵AE⊥BD，PF⊥BD，∴PF∥AG，∴四边形AGFP是平行四边形，∵PA＝PF，∴四边形AGFP是菱形．（2）证明：如图②中，∵AE⊥BD，PE⊥EC，∴∠AED＝∠PEC＝90°，∴∠AEP＝∠DEC，∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠EAP＝∠EDC，∴△AEP∽△DEC，∴＝，∵AB＝CD，∴AE•AB＝DE•AP；（3）解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∴BD＝＝，∵AE⊥BD，∴S△ABD＝•BD•AE＝•AB•AD，∴AE＝，∴DE＝＝，∵AE•AB＝DE•AP；∴AP＝＝．24．解：（1）∵二次函数的图象经过点A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）∴解得：∴二次函数表达式为y＝x2﹣x﹣2（2）如图1，设直线BP交x轴于点C，过点P作PD⊥x轴于点D设P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2设直线BP解析式为y＝kx﹣2把点P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2∴k＝t﹣∴直线BP：y＝（t﹣）x﹣2当y＝0时，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝∴C（，0）∵t＞3∴t﹣2＞1∴，即点C一定在点A左侧∴AC＝3﹣∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC•OB+AC•PD＝AC（OB+PD）＝4∴＝4解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）∴t2﹣t﹣2＝∴点P的坐标为（4，）（3）在抛物线上（AB下方）存在点M，使∠ABO＝∠ABM．如图2，作点O关于直线AB的对称点E，连接OE交AB于点G，连接BE交抛物线于点M，过点E作EF⊥y轴于点F∴AB垂直平分OE∴BE＝OB，OG＝GE∴∠ABO＝∠ABM∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°∴OA＝3，OB＝2，AB＝∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝∵S△AOB＝OA•OB＝AB•OG∴OG＝∴OE＝2OG＝∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°∴∠OAB＝∠BOG∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝∴EF＝OE＝，OF＝OE＝∴E（，﹣）设直线BE解析式为y＝ex﹣2把点E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣∴直线BE：y＝﹣x﹣2当﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝∴点M横坐标为，即点M到y轴的距离为．25．解：（1）AG＝FG，理由如下：如图，过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形∴AG＝MF，AM＝FG，∵∠CEF＝90°，∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC∴△EFM≌△CEB（AAS）∴BE＝MF，ME＝BC∴ME＝AB＝BC∴BE＝MA＝MF∴AG＝FG，（2）DH⊥HG理由如下：如图，延长GH交CD于点N，∵FG⊥AD，CD⊥AD∴FG∥CD∴，且CH＝FH，∴GH＝HN，NC＝FG∴AG＝FG＝NC又∵AD＝CD，∴GD＝DN，且GH＝HN∴DH⊥GH。
2019年山东省泰安市中考数学试卷附分析答案
24．（13 分）若二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象与 x 轴、y 轴分别交于点 A（3，0）、B（0，﹣ 2），且过点 C（2，﹣2）． （1）求二次函数表达式； （2）若点 P 为抛物线上第一象限内的点，且 S△PBA＝4，求点 P 的坐标； （3）在抛物线上（AB 下方）是否存在点 M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点 M 到 y 轴的距离；若不存在，请说明理由．
2019 年山东省泰安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正 确的选项选出来，每小题选对得 4 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4 分）在实数|﹣3.14|，﹣3， ，π中，最小的数是（ ）
A．
B．﹣3
C．|﹣3.14|
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A．30+30
B．30+10
C．10+30
D．30
【解答】解：根据题意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30 ，
过 B 作 BE⊥AC 于 E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在 Rt△ABE 中，∵∠ABE＝45°，AB＝30 ，
∴AE＝BE AB＝30km， 在 Rt△CBE 中，∵∠ACB＝60°，
a
第3组
70＜x≤80
10
第4组
60＜x≤70
b
第5组
50＜x≤60
3
请根据以上信息，解答下列问题：
第 4页（共 27页）
（1）求出 a，b 的值； （2）计算扇形统计图中“第 5 组”所在扇形圆心角的度数； （3）若该校共有 1800 名学生，那么成绩高于 80 分的共有多少人？
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泰安市2019年初中学生学业考试
数学试题
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共20小题，每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1.下列四个数：-3，3
-，π-，-1，其中最小的数是（）
A．π- B．-3 C．-1 D．3
-
2.下列运算正确的是（）
A．222
2
+=
g B．224
a a a
a a a
=
C．22
a a a
(1)(1)1
-++=-
a a a
+=++ D．2
(12)124
3.下列图案：
其中，中心对称图形是（）
A．①② B．②③ C. ②④ D．③④
4.“2014年至2016年，中国同‘一带一路’沿线国家贸易总额超过3万亿美元”．将数据3万亿美元用科学记数法表示为（）
A．14
310
⨯美元 C. 12
⨯美元⨯美元 B．13
310
310
D ．11310⨯美元
5.化简22211(1)(1)x x x
--
÷-的结果为（ ） A ．11x x -+ B ．11x x +- C.1x x + D ．1x x - 6.下面四个几何体：
其中，俯视图是四边形的几何体个数是（ ）
A ．1
B ．2 C.3 D ．4
7.一元二次方程2660x x --=配方后化为（ ）
A ．2(3)15x -=
B ．2(3)3x -= C. 2(3)15x +=
D ．2(3)3x +=
8.袋内装有标号分别为1、2、3、4的4个球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，主其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为（ ）
A ．14
B ．
516 C. 716 D ．12 9.不等式组29611
x x x k +>+⎧⎨-<⎩，的解集为2x <．则k 的取值范围为（ ） A ．1k > B ．1k < C.1k ≥ D ．1k ≤
10.某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，
每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为（ ）
A ．10001470010(140%)x x -=+
B ．10001470010(140%)x x +=+ C. 10001470010(140%)x x -=- D ．10001470010(140%)x x
+=- 11.为了解中考体育科目训练情况，某校从九年级学生中随机抽取部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为A 、B 、C 、D 四个等级），并将测试结果绘制成了如图所示的两幅不完整统计图．根据统计图中提供的信息，结论错误．．．．
的是（ ）
A ．本次抽样测试的学生人数是40
B ．在图1中，α∠的度数是126o
C.该校九年级有学生500名，估计D 级的人数为80
D ．从被测学生中随机抽取一位，则这位学生的成绩是A 级的概率为0.2
12.如图，ABC ∆内接于O e ，若A α∠=，则OBC ∠等于（ ）
A ．1802α-o
B ．2α C. 90α+o D ．90α-o
13.已知一次函数2y kx m x =--的图象与y 轴的负半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而减小，则下列结论正确的是（ ）
A ．2,0k m <>
B ．2,0k m << C. 2,0k m >>
D ．0,0k m <<
14.如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME AM ⊥，ME 交AD 的延长线于点E ．若12AB =，5BM =，则DE 的长为（ ）
A ．18
B ．1095 C. 965 D ．253
15.已知二次函数2y ax bx c =++的y 与x 的部分对应值如下表： x -1
0 1 3 y
-3 1 3 1 下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为1x =；③当1x <时，函数值y 随x 的增大而增大；④方程20ax bx c ++=有一个根大于
4．其中正确的结论有（ ）
A ．1个
B ．2个 C.3个 D ．4个
16.某班学生积极参加爱心活动，该班50名学生的捐款统计情况如下
表： 金额/元
5 10 20 50 100 人数 4 1
6 15 9 6 则他们捐款金额的中位数和平均数分别是（ ）
A ．10，20.6
B ．20，20.6 C.10，30.6 D ．20，30.6
17.如图，圆内接四边形ABCD 的边AB 过圆心O ，过点C 的切线与边AD 所在直线垂直于点M ，若55ABC ∠=o ，则ACD ∠等于（ ）
A ．20o
B ．35o C.40o D ．55o
18.如图，在正方形网格中，线段A B ''是线段AB 绕某点逆时针旋转角α得到的，点A '与A 对应，则角α的大小为（ ）
A ．30o
B ．60o C.90o D ．120o
19.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 是边CD 上的一点，且BC EC =，CF BE ⊥交AB 于点F ，P 是EB 延长线上一点，下列结论： ①BE 平分CBF ∠；②CF 平分DCB ∠；③BC FB =；④PF PC =．
其中正确结论的个数为（ ）
A ．1
B ．2 C.3 D ．4
20.如图，在ABC ∆中， 90C ∠=o ， 10AB cm =，8BC cm =，点P 从点A 沿AC 向点C 以1/cm s 的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2/cm s 的速度运动(点Q 运动到点B 停止)，在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为（ ）
A ．219cm
B ．216m C. 215m D ．212m
第Ⅱ卷（非选择题 共60分）
二、填空题（本大题共4小题，满分12分.只要求填写最后结果，每小题填对得3分）
21.分式72x -与2x x
-的和为4，则x 的值为 ． 22.关于x 的一元二次方程22(21)(1)0x k x k +-+-=无实数根，则k 的取值范围为 ．
23.工人师傅用一张半径为24cm ，圆心角为150o 的扇形铁皮做成一个
圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 ． 24.如图， 30BCA ∠=o ，M 为AC 上一点， 2AM =，点P 是AB 上的一动点， PQ AC ⊥，垂足为点Q ，则PM PQ +的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共5小题，满分48分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
25.如图，在平面直角坐标系中，Rt AOB ∆的斜边OA 在x 轴的正半轴上，90OBA ∠=o ，且1tan 2
AOB ∠=，25OB =，反比例函数k y x =的图象经过点B ．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若AMB ∆与AOB ∆关于直线AB 对称，一次函数y mx n =+的图象过点M A 、，求一次函数的表达式．
26.某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元.大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元.
(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元?销售完后，该水果商共赚了多少元钱?
(2)该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱
桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%．若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？
27.如图，四边形ABCD中，AB AC AD
==，AC平分BAD
∠，点P是AC 延长线上一点，且PD AD
⊥．
（1）证明：BDC PDC
∠=∠；
（2）若AC与BD相交于点E，1
CE CP=：，求AE的长.
AB=，:23
28.如图，是将抛物线2
=-平移后得到的抛物线，其对称轴为1
y x
x=，与x轴的一个交点为(1,0)
A-，另一交点为B，与y轴交点为C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点N 为抛物线上一点，且BC NC ⊥，求点N 的坐标；
（3）点P 是抛物线上一点，点Q 是一次函数3322
y x =+的图象上一点，若四边形OAPQ 为平行四边形，这样的点P Q 、是否存在？若存在，分别求出点P Q 、的坐标，若不存在，说明理由．
29.如图，四边形ABCD 是平行四边形，AD AC =，AD AC ⊥，E 是AB 的中点，F 是AC 延长线上一点．
（1）若ED EF ⊥，求证：ED EF =；
（2）在（1）的条件下，若DC 的延长线与FB 交于点P ，试判定四边形ACPE 是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)；
（3）若ED EF =，ED 与EF 垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由．。