电磁场 第3章作业题解答

和
1
1 x
2
xd
2 x
可以解得
xd
1
2U 0 x 1 2 d
(0 x d )
和
2
1U 0 x 2d U 0 ( d x 2d ) 1 2 d
根据 E ，可以得到平板电容器中两种介质中的电场分布为
E1 1 ex d1 2 U0 ex dx 1 2 d
解：已知空间的电位分布，由 E 和 2 / 0 可以分别计算出电场强度和体电荷 密度。 (1) E ex 2 Ax B (2) E A ex yz ey xz ez xy
02 2 A 0
利用公式： sh( x y) sh x ch y ch x sh y ，得
C1 D1 nπ(x a) nπy sh sin nπa b b ch b nπ a x nπy CD 令常数 En 1 1 ，则通解可写成： x, y En sh sin nπa b b ch b
(V/m) (C/m2 )
3.11 如题 3.11 图所示的平板电容器中， 分别以两种不同的方式填充两种不同的介质 1 和 2 。 当两极板之间外加电压 U 0 时，试求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容。 解：对于图 a：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与 x 有关，均满足一维拉普拉斯方程：
，则由题意可知
et E1t ex 20 ey 10 E1 et E1t en E1n ex 20 ey 10 ez 50 en E1n ez 50 en D1n 2 0en E1n ez 100 0
E1t E2t et E1t et E2t 两种电介质的交界面上无自由电荷，则边界条件为 或 ，则 D1n D2 n en D1n en D2 n
x, y
将上式对 n 求和，得该边值问题的解：
( x, y) En sh
n 1

nπ a x nπy sin b b
02 0
(3) E e (2 A sin Bz ) e A cos ez B
02 0 4 A sin


Bz
Bz A sin 0 3 A sin
无限长导体圆柱上电位为 0，即 (a) 0 ，可得 D C ln a ，则通解可写为：
C ln

a
( a)
C a C 0 a
导体圆柱表面的面电荷密度为： S n
S

介质中 空气中
a
《电磁场与天线 A》作业题解答
第 3 章 静电场及其边值问题的解法
3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度： (1) x, y, z Ax 2 Bx C ； (3) , , z A 2 sin B z ； (2) x, y, z Axyz ； (4) r , , Ar 2 sin cos 。
nπx nπx nπy 则通解亦为： x, y C2 ch C1 sh D1 sin b b b nπa nπa nπy 代入边界条件： 3 a, y C2 ch 0 C1 sh D1 sin b b b (0 y b)

U0 x 2d
(0 x d )
U d ex 0 dx 2d
根据 E ，可以得到平板电容器中的电场强度： E ex 对 x 0 平板上 en ex ，面电荷密度分别为
U0 1 2d S en D ex E U 0 2 2d
1 sin 0 2 r sin
z
即
d d sin d d
0
绝缘缝隙
0 无限大导体平面 y o
将上述方程分别直接积分，得出通解为
C ln tan D 2

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x
（题第 3.16 图）
et E2t = et E1t ex 20 ey 10 en D2 n en D2 n ez 100 0 en E2 n 5 ez 20 0
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《电磁场与天线 A》作业题解答
E2 = et E2t + en E2 n ex 20 ey 10 ez 20 所以，zx100 0 ey 50 0 ez 100 0
3.6 有 2 0 和 5 0 的两种电介质分别分布在 z 0 和 z 0 的半无限大空间。 已知 z 0 时
E ex 20 ey 10 ez 50 V / m 。试求 z 0 时的 D 。
E1 , D1 解：设 E2 , D2 ( z 0) ( z 0)
和
E2 2 ex
d 2 1 U 0 ex dx 1 2 d
对 x 0 平板上 en ex ，面电荷密度为： S en D1 ex 1 E1 总电量为：


1 2 U 0 1 2 d
Q S 2S
(4) E er 2 Ar sin cos e Ar cos cos e Ar sin
02 0 6 A sin cos

A cos 2 cos A cos sin sin
nπa sh nπa nπa b C ，代入通解得 由于 D1 0 ，则 C1 sh C2 ch 0 C2 nπa 1 b b ch b
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《电磁场与天线 A》作业题解答
x, y
C1 nπx nπa nπx nπa nπy sh ch ch sh D1 sin nπa b b b b b ch b
单位长度导体圆柱上的电量为： s1 a 1 s 2 a 1 l 1 或：
l C C a 1 0 a 1 l 1 C π( 0 ) a a
于是得到导体圆柱外的电位和电场强度分别为

π( 0 )
U0
和
E e
1 e r
1 r sin ln tan 0 2
U0
3.18 题图所示矩形空间区域内的电位分布，已知边界条件为： (1) 1 U 0 ， 2 3 4 0 ； (2) 2 U 0 ，
1 0 ， 3 4 0 ； n
） 1 ( ) （ 0 ( a) ( ) ( ) （ ） 2 ( a) 0
1、2 均满足一维拉普拉斯方程，即
2 1 2 2 1 d d1 0 d d 1 d d 2 0 dr d
C1 sh(k y x) C2 ch(k y x) D1 sin(k y y ) D2 cos(k y y )
由边界条件 2 4 0 ，即由 ( x, b) ( x,0) 0 可得：
D2 0 和
ky
nπ b
(n 1, 2, 3, )
d 2 ( x) 2 0 dx
2
y
y
且由介质分界面的边界条件 1 2 可知， 两种介质中的电位分布是相
o x x
同的，其通解为：
o
( x) Cx D
根据已知条件
x 0
0 U0
，解得 D 0 和 C
x2d
U0 ，即平板电容器中的电位分布为： 2d
介质中 空气中
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《电磁场与天线 A》作业题解答
将上述两方程分别直接积分两次，得通解：
1 C1 ln D1
和
2 C 2ln D
2
在介质分界面上任一点电位皆连续 1 2 ，则 C1 C2 C 和 D1 D2 D ，即
1 ( ) 2 ( ) ( ) C ln D
l
ln
a

和
E e
π( 0 )
l

1
3.16 顶端夹角为 2 0 的带电导体圆锥垂直于无限大的接地导体平面，但两者之间有一缝隙。 当圆锥所加电压为 U 0 时，试求圆锥体与导体平面之间的电位分布及电场强度。 解：由于圆锥体与导体平面之间的电位分布均仅为坐标 的函数，满足一维的拉普拉斯程
d 2 0 ，两种介质中的电位分布的通解可以分别设为 dx 2
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《电磁场与天线 A》作业题解答
1 C1 x D1 (0 x d )
根据已知条件 1 x 0 0 和 2
x2 d
和
2 C 2 x D2 d ( x 2 d )
x d
U 0 ，以及分界面处的边界条件 1 x d 2

y S上 y S下
总电量为：
Q 1
U0 U S S 2 0 S 1 2 U 0 2d 2d 2d
电容器的电容为： C
Q S 1 2 U0 2d
对于图 b：忽略边缘效应，同样可认为电位分布也只与 x 有关，均满足一维拉普拉斯方 程 2 ( x)
解：(1) 本题属于二维边值问题： ( x, y) ，其电位 满足的 Laplace 方程 2 0 可用分离变量法求解。
2 2 由题意可知：y 方向具有齐次边界条件，则 k y 0 ， k x2 k y 0 ，其通解形式为：