平移算符、对称性与守恒

−∞
������ ������ ������������ ������ ℎ ������ ������ ������������ ������������ ������������
+∞
=
−∞
������ ������ ∗ (������) −������ℎ ������������
+∞
1
2������ℎ
那么多次测量动量的平均值就表示为：
+∞ +∞
������ = ������ ������ ������ ������ ������
+∞
=
−∞
1
2������ℎ
������
������ ������������ ℎ
������ ∗ (������)������������ ������������ ������ ������������
������
即有：������ = ������(������) ������ℎ ������������ ������ (������) ，其中令������ = ������ℎ ������������ ，称为哈密顿算符。 角动量算符可以通过动量算符给出：������ = ������ × ������。这里不作详细展开。下面来 证明动量和能量为什么是守恒的。 三、 对称缘何守恒？ 回归到第一个话题， 为什么对称就意味着守恒？当然我们可以用拉格朗日方 程和诺顿定理去证明，但过程相对复杂。由于我们已经掌握了算符的概念，因此 我们就可以利用力学算符来证明守恒定律了。 我们知道，在无任何“势”存在的时空中，纯四维时空（三维时空加上时间
算符、对称与守恒
一、 概念准备 从现代物理学的高度来审视，对称性和守恒律是基本的自然法则。在经典力 学中，牛顿运动三定律只适用于宏观物体，而动量、角动量、能量三大守恒定律 对宏观物体和微观领域都是普遍成立的。每一种对称性都对应着一个守恒定律 （我们熟知的就是下面四个）： 空间平移对称性 动量守恒定律 空间转动对称性 角动量守恒定律 时间平移对称性 能量守恒定律 整体规范对称性 电荷守恒定律 二、 算符的推导 为了用最简单又最新的 （对于我来说算符这概念是很新的）概念来导出对称 和守恒， 我们先来回顾一下课堂上对动量算符的推导。我们已知存在傅里叶积分 变换使得：
2������ℎ
������ −
−∞
������ �������Hale Waihona Puke Baidu���� ℎ
������ ������ ������������ ������������
=
−∞ ������
������ ∗ (������) ������ℎ
������ ������(������)������������ ������������
+∞
������ (������) = 1 ������ ������ = 1
2������ℎ
������ −
−∞ +∞
������ ������������ ℎ
������ (������)������������
2������ℎ
������
−∞
������ ������������ ℎ
������(������)������������
堡测不准关系我们知道：△ ������ △ ������
≡
ℎ 2
，就是说，存在一个新的守恒，由以
上的概念我们可以得出必然存在了更深化的新的对称！ ！
������ℎ
−∞
������ −������ ������������ ������ ℎ ������ ������ ������������ ������������ ������������
+∞
=
−∞
������ ������ ∗ (������) ������ℎ ������������
+∞
������
−∞
������ ������������ ℎ
������ ������ ������������ ������������
=
−∞
������ ∗ (������) −������ℎ
������ ������(������) ������������ ������������
������ = ������(������) −������ℎ
−∞ +∞
=
−∞ +∞
������ ∗ (������) 1 ������ ∗ (������) 1
2������ℎ
+∞
������������
−∞
������ ������������ ℎ
������ ������ ������������ ������������
=
−∞ +∞
2������ℎ
−������ℎ
−∞ +∞
=
−∞ +∞
������ ∗ (������) 1 ������ ∗ (������) 1
2������ℎ
������������ −
������ ������������ ℎ
������ ������ ������������ ������������
−∞ +∞
=
−∞ +∞
2������ℎ 1
那么多次测能量的平均值就表示为：
+∞ +∞
������ = ������ ������ ������ ������ ������
+∞
=
−∞
1
2������ℎ
������ −
������ ������������ ℎ
������ ∗ (������)������������ ������������ ������ ������������
四、 对称破缺 关于对称性破缺其实是大家很熟知也很常见的，例如星系的非对称现象、动植 物体内物质的非对称分布（有点„„）以及各种天然的非对称事物，都是宇宙对 称性破缺的表现。这时候可能有人会说： “这只是局部而言的，全局来说，整个 宇宙也许是对称的。 ”不错！的确是这样，因此物理学上的对称破缺的表述是： 由于某一种对称被破坏， 引发出了更深化更高层次的对称的现象。 就像之前所说 的引入波包来描述自由粒子时使得空间平移对称性自发破缺， 因为这个时候我们 研究的粒子处在一个波包中， 它可以在波包中的任意位置被探测到（概率是不一 样的） ，且每个位置都仅仅是可能的，因此可以认为粒子在波包中的行为是随机 的，这样一来就使得形成局部不对称，从而使得动量不再能被测准。但是由海森
������
������ ������(������) ������������
于是我们将������������ 定义为一维动量算符（当然可以通过其它方法得出，我用的只 是课堂的方法） ，推广得：������ = −������ℎ∇。 接下来我们试用同样的方法推导哈密顿算符（即能量算符） 。类似地存在傅 里叶积分变换使得：
+∞
������(������) = 1 ������ ������ = 1
2������ℎ
������
−∞ +∞
������ ������������ ℎ
������ (������)������������
2������ℎ
������ −
−∞
������ ������������ ℎ
������(������)������������
维，这是我个人的描述，不科学之处请包涵。另外物理的时空是多维的，这里选 四维是方便理解）是严格对称的，亦即你可以再这个时空中选取任意坐标系，你 所观察的物理量的不会发生任何改变的。由于动量对应于空间位置的平移，于是 我们选取空间函数Γ x, iy, z （也是个人描述,在复平面上加上 z 轴） ，我们将动量 作用于这个函数得到另一个函数 Θ x, iy, z = ������Γ x, iy, z , 如果 Θ x, y, z 是一个恒 量的话，那么我们就可以说动量在对称空间上守恒量。而事实上，由于不存在任 何的 “势函数 V” ,且若果所选取的空间是孤立的， 这时Γ x, iy, z ≡ x������ + iy������ + z������， 即 全空间（依然是我的描述） 。于是: Θ x, iy, z = ������Γ x, iy, z = ������ = −iℎ∇ x������ + iy������ + z������ ≡ −������������(������ + ������������ + ������) 我们立即可以注意到上面的恒等式右端是一个确定的常矢量！ ！所以动量对应于 空间平移对称是守恒的！ 同样我们只要将哈密顿算符作用于全时间： ������ ������ ≡ iℎ ������������ 所以能量对应于时间平移对称是守恒的！ ������ ������ = iℎ 对于角动量的守恒证明大家可以自己动手试试，这里不作详细。提示：可以 运用球坐标和动量守恒的结果。对于电荷守恒的证明是基于麦克斯韦方程组的， 有兴趣的话可以一起探讨一下。本文主要是想围绕算符展开对守恒定律的证明。