高三第一学期期中测试数学试题

江苏省无锡市天一中学-高三第一学期期中测试

数学试题

注意事项：

1. 答卷前考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填写在答题纸上，其中考号的涂写

务必从左面第1列开始. 2. 交卷时，只交答题纸.

一、填空题：（每小题5分,14小题，共70分，把答案填在答题纸指定的横线上） 1．集合{3,2},{,},{2},a

A B a b A

B A B ====若则 ．

2．“1x >”是“2x x >”的 条件．

3．复数2(2)(1)12i i i

+--的值是 ．

4．若向量,0,(

),a b

a b a b c a b a c a a

⋅⋅≠=-⋅⋅与不共线且则向量的夹角为 ． 5．为了了解高三学生的身体状况．抽取了部分男生的体重，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1︰2︰3，第2小组的频数为12，则抽取的男生人数是 ．

6．设x 、y 满足条件310x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩

≤≤≥，则

22(1)z x y =++的最小值 ．

7．奇函数()[3,7]f x 在区间上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为-1，则

2(6)(3)f f -+-=

．

8．在∆ABC 中,60A ︒

∠=,3AC =,那么BC 的长度为 ． 9．设等差数列112{}0,9,n k k a d a d a a a =的公差不为若是与的等比中项，则k 等于 ． 10．以下伪代码：

Read x 1f x≤2 Then

0．0．

y←2x －3 Else y←log 2x End 1f Pr1nt y

表示的函数表达式是 ．

2．四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如图：则四棱锥P ABCD -的表面积为 ．

12．如下图，在一个边长为3 cm 的正方形内部画一个边长为2 cm 的正方形，向大正方形内

随机投点，则所投的点落入小正方形内的概率是____________

13．设直线1l 的方程为022=-+y x ，将直线1l 绕原点按逆时针方向旋转 90得到直线2l ，则2l 的方程是

14．已知,a b 是不相等的两个正数，在,a b 之间插入两组数：12,,,n x x x 和12,,,n y y y ，

（ n N *∈，且2)n ≥，使得,a 12,,

,,n x x x b 成等差数列，12,,,,n a y y y b ,成等比数

列．老师给出下列四个式子：①1

()2n

k k n a b x =+=∑

；②211(2n k k x n =>∑；

③

ab

=ab >

．（只需填序号）

二、解答题：（本大题6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并将解答过程写在指定的方框内） 15．（14分）

在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足（2a －c ）cosB=bcosC. （1）求角B 的大小；

（2）设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n ==>⋅且的最大值是5，求k 的值

.

俯

视图

左视图

主视图

16．（15分）

已知等腰梯形PDCB 中（如图1），PB=3，DC=1，PB=BC =2，A 为PB 边上一点，且P A=1，将△P AD 沿AD 折起，使面P AD ⊥面ABCD （如图2）.

（1）证明：平面P AD ⊥PCD ；

（2）试在棱PB 上确定一点M ，使截面AMC

把几何体分成的两部分1:2: MACB

PDCMA V V ；

（3）在M 满足（2）的情况下，判断直线PD

是否平行面AMC.

17．（14分）

已知过点A （0，1），且方向向量为22(1,):(2)(3)1a k l C x y =-+-=的直线与，

相交于M 、N 两点.

（1）求实数k 的取值范围； （2）求证：AM AN ⋅=定值；

（3）若O 为坐标原点，且12,OM ON k ⋅=求的值.

18．（16分）设常数0a ≥，函数2

()ln 2ln 1f x x x a x =-+-((0,))x ∈+∞.

（1）令()()g x xf x '=(0)x >，求()g x 的最小值，并比较()g x 的最小值与零的大小； （2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数；

（3）求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．

19．（本小题满分15分）

设函数,223,2

)1(,)(2b c a a

f c bx ax x f >>-=++=且求证： （1）4

330-<<

->a b a 且； （2）函数)(x f 在区间（0，2）内至少有一个零点；

（3）设21,x x 是函数)(x f 12|x x |-<

20．（本题满分16分）

设x 轴、y 轴正方向上的单位向量分别是i 、j ，坐标平面上点n A 、()

*n B n N ∈分别

满足下列两个条件：①1OA j =且1n n A A i j +=+；②13OB i =且1233n

n n B B i +⎛⎫

=⨯ ⎪⎝⎭

.

（1）求n OA 及n OB 的坐标；

（2）若四边形11n n n n A B B A ++的面积是n a ，求()

*n a n N ∈的表达式；

（3）对于（2）中的n a ，是否存在最小的自然数M ，对一切()

*n N ∈都有n a M <成

立？若存在，求M ；若不存在，说明理由．