统计学三大分布与正态分布的关系

统计学三大分布与正态分布的关系[1] 张柏林 41060045 理实1002班

摘要:本文首先将介绍2χ分布,t 分布,F 分布与正态分布的定义及基本性质,然后

用理论说明2χ分布,t 分布,F 分布与正态分布的关系,并且利用数学软件MATLAB 来验证之、

1、 三大分布函数[2]

1、12χ分布

2()n χ分布就是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布就是由别奈

梅(Benayme)、赫尔默特(Helmert)、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发现,它就是由正态分布派生出来的,主要用于列联表检验。

定义:若随机变量12n ,,X X …X 相互独立,且都来自正态总体01N （，）

,则称统计量222

212n =+X X χ++…X 为服从自由度为n 的2χ分布,记为22~()n χχ、

2χ分布的概率密度函数为

12221

0(;),

2()200n x

n x e x n

f x n x --⎧≥⎪⎪=Γ⎨⎪⎪<⎩ 其中伽玛函数1

(),0t x x e

t dt x +∞

--Γ=

>⎰,2χ分布的密度函数图形就是一个只取非负

值的偏态分布,如下图、

卡方分布具有如下基本性质:

性质1:22(()),(())2E n n D n n χχ==;

性质2:若221122(),()X n X n χχ==,12,X X 相互独立,则21212~()X X n n χ++;

性质3:2

n χ→∞→时，（

n ）正态分布; 性质4:设)(~2

2n α

χχ,对给定的实数),10(<<αα称满足条

件:αχχα

χα

==>⎰+∞

)

(2

22)()}({n dx x f n P 的点)(2

n α

χ为)(2n χ分布的水平α的上侧分位数、 简称为上侧α分位数、 对不同的α与n , 分位数的值已经编制成表供查用、

2()n χ分布的上α分位数 1、2t 分布

t 分布也称为学生分布,就是由英国统计学家戈赛特在1908年“student”的笔名首次发表的,这个分布在数理统计中也占有重要的位置、

定义:设2

~0~X N χ（，1），Y （n ）,,X Y 相互独立,,则称统计量/X

T Y n

=

服从自由度为n 的t 分布,记为~()T t n 、

t 分布的密度函数为

12

21

(

)2(;)(1),.()2

n n x t x n t n n n π+-+Γ=+-∞<<+∞Γ

t 分布的密度函数图

t 分布具有如下一些性质:

性质1:()n f t 就是偶函数,2

2

1,()()2t n n f t t e ϕπ-→∞→=;

性质2:设)(~n t T α,对给定的实数),10(<<αα 称满足条

件;αα

α==>⎰+∞

)

()()}({n t

dx x f n t T P 的点)(n t α为)

(n t 分布的水平α的上侧分位数、 由密度函数

)(x f 的对称性,可得 ).()(1n t n t αα-=-类似地,我

们可以给出t 分布的双侧分位数

,

)()()}(|{|)

()

(2/2/2/αααα=+

=

>⎰

⎰

+∞

-∞

-n t n t dx x f dx x f n t T P 显然有.2

)}({;2

)}({2/2/α

ααα=-<=>n t T P n t T P

对不同的α与n , t 分布的双侧分位数可从附表查得、

t 分布的上α分位数 1、3F 分布

F 分布就是随机变量的另一种重要的小样本分布,应用也相当广泛、 它可用

来检验两个总体的方差就是否相等,多个总体的均值就是否相等、 F 分布还就是方差分析与正交设计的理论基础、

定义:设22~(),~()X n Y m χχ,,X Y 相互独立,令则称统计量//X n

F Y m

=服从为第一自由度为n ,第二自由度为m 的F 分布、

F 分布的密度函数图

F 分布具有如下一些性质:

性质1:若~(,),1/~(,)F F n m F F m n 则; 性质2:若)(~n t X ,则2~(1,)X F n ; 性质3:设),(~m n F F α,对给定的实数

),10(<<αα称满足条件;

ααα==

>⎰

+∞

)

,()()},({m n F dx x f m n F F P

的点),(m n F α为),(m n F 分布的水平α的上侧分位数、

F

分布的上α分位数

F 分布的上侧分位数的可自附表查得、

性质4:.)

,(1

),(1m n F n m F αα-=

此式常常用来求F 分布表中没有列出的某些上侧

分位数、 1、4正态分布

正态分布就是数理统计中的一种重要的理论分布 ,就是许多统计方法的理论基础、 高斯(Gauss)在研究误差理论时首先用正态分布来刻画误差的分布,所以正态分布又称为高斯分布、 正态分布有两个参数,μ与σ,决定了正态分布的位置与形态、 为了应用方便,常将一般的正态变量X 通过u 变换转化成标准正态变量u,以使原来各种形态的正态分布都转换为μ=0,σ=1的标准正态分布N （0，1）

、 正态分布的密度函数与分布函数

若连续型随机变量X 具有概率密度()f x 为

22

()21

(),,2x f x e

x μσπσ

--=-∞<<+∞其中,(0)μσσ>为常数,则称X 服从参数

为μσ，的正态分布,记为2~()X N μσ，、

正态分布的密度函数图

特征1:正态曲线(normal curve)在横轴上方均数处最高; 特征2:正态分布以均数为中心,左右对称;

特征3:正态分布有两个参数,即均数μ与标准差σ、 μ就是位置参数,σ

固定不变时,μ越大,曲线沿横轴越向右移动;反之,μ越小,则曲线沿横轴越向左移动、 σ就是形状参数,当μ固定不变时,σ越大,曲线越平阔;σ越小,曲线

越尖峭、 通常用2N μσ（，）表示均数为μ,方差为2σ的正态分布、 用