浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题Word版含解析

浙江省宁波市2019-2020学年上学期期末考试
高一数学试题
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.已知集合，，，则（）
A. B. C. D.
2.若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为
A. 1
B.
C.
D. 2
3.M是边AB上的中点，记，，则向量
A. B. C. D.
4.函数的零点所在区间是
A. B. C. D.
5.已知为锐角，则
A. B. C. D.
6.函数的图象可能是
A. B.
C. D.
7.以下关于函数的说法中，正确的是
A. 最小正周期
B. 在上单调递增
C. 图象关于点对称
D. 图象关于直线对称
8.若向量，满足，，且，则，的夹角为
A. B. C. D.
9.设函数的定义域为A，且满足任意恒有的函数是
A. B. C. D.
10.已知函数，的值城是，则
A. B. C. 2 D. 0
二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）
11.已知，则______，______．
12.设，则______，______．
13.已知向量，，则______；若，则______．
14.已知函数一部分图象如图所示，则______，函数的单调递增区间为______．
15.已知一个扇形的弧长为，其圆心角为，则这扇形的面积为______．
16.已知且，函数，满足对任意实数，，都有
成立，则实数a的取值范围为______．
17.已知单位向量，，满足，向量满足，则的取值范围是______．
三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）
18.已知集合，．
1求；
2已知，若，求实数a的取值范围．
19.已知函数
1求函数的最小正周期；
2现将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的值域．
20.如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC 和DC上，且，．
1求的值；
2求的最小值，并求出此时t的值．
21.如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，角，的终边与单位圆分别交、两点．
1求的值；
2若，，求的值．
22.设，其中．
1当时，分别求及的值域；
2记，，若，求实数t的值．
浙江省宁波市2019-2020学年上学期期末考试
高一数学试题参考答案
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1.已知集合，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
故
选A
2.若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为
A. 1
B.
C.
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由幂函数的单调性结合选项得答案．
【详解】幂函数在区间上单调递减，
，
由选项可知，实数m的值可能为．
故选：C．
【点睛】本题考查幂函数的单调性，是基础题．
3.M是边AB上的中点，记，，则向量
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】
由题意得，
∴．选C．
4.函数的零点所在区间是
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】
【分析】
计算各区间端点的函数值，根据零点的存在性定理判断．
【详解】在上为增函数，
且，，，
，
的零点所在区间为．
故选：C．
【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理，对数运算，属于基础题.
5.已知为锐角，则
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】
【分析】
利用诱导公式变形，结合平方关系把根式内部的代数式化为完全平方式，开方得答案．【详解】为锐角，
∴
．
故选：D．
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题．
6.函数的图象可能是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性和对称性，利用，进行排除即可.
【详解】，
则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除B，D，
，排除C，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．
7.以下关于函数的说法中，正确的是
A. 最小正周期
B. 在上单调递增
C. 图象关于点对称
D. 图象关于直线对称
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三角函数的周期性，单调性以及对称性分别进行判断即可．
【详解】函数的最小正周期，故A错误，
当时，，，
此时函数为增函数，故B正确，
，
即图象关于点不对称，故C错误，
，则图象关于直线不对称，故D错误，
故选：B．
【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，结合三角函数的周期性，单调性以及对称性是解决本题的关键．
8.若向量，满足，，且，则，的夹角为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
对两边平方计算，再代入夹角公式即可求出答案．
【详解】由可得，
即，，
，
，的夹角为．
故选：A．
【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，向量的夹角公式，属于基础题．
9.设函数的定义域为A，且满足任意恒有的函数是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
满足任意恒有，则函数关于中心对称，由此可得结论．【详解】满足任意恒有
函数关于中心对称
的对称中心为
故选：C．
【点睛】本题考查函数的对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题.
10.已知函数，的值城是，则
A. B. C. 2 D. 0 【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件判断函数的奇偶性，利用奇偶性的性质结合值域得到，即可得到结论．【详解】，
即函数是奇函数，得图象关于原点对称，
函数的值城是，
，
则，
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键．
二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）
11.已知，则______，______．
【答案】 (1). 3 (2).
【解析】
【分析】
根据即可得出，从而得出，的值，进而得出的值．
【详解】；
；
；
．
故答案为：．
【点睛】考查分数指数幂的运算，以及对数的定义，对数的运算性质．
12.设，则______，______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由已知展开两角和的正切求，由同角三角函数基本关系式化弦为切求．
【详解】由，
得，
．
故答案为：；．
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用及两角和的正切，是基础题．13.已知向量，，则______；若，则______．
【答案】 (1). (2). 2
【解析】
【分析】
直接由向量模的公式计算；再由向量共线的坐标运算列式求解值．
【详解】，；
由，，且，
得，即．
故答案为：；2．
【点睛】本题考查向量模的求法，考查向量共线的坐标运算，是基础题．
14.已知函数一部分图象如图所示，则______，函数的单调递增区间为______．
【答案】 (1). 2 (2). ，
【解析】
【分析】
根据图象先求出函数的周期，和，利用五点对应法求出函数的解析式，结合函数单调性的性质进行求解即可．
【详解】由图象知，
则周期，
即，即，
即，
由五点对应法得，即，
则，
由，，
得，，
即函数的单调递增区间为，，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件求出的解析式是解决本题的关键．
15.已知一个扇形的弧长为，其圆心角为，则这扇形的面积为______．
【答案】2
【分析】
根据孤长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可.
【详解】扇形的半径为，圆心角为，
弧长 ,
这条弧所在的扇形面积为，故答案为 .
【点睛】本题主要考査扇形的面积公式和弧长公式，意在考查对基础知识与基本公式掌握的熟练程度，属于中档题.
16.已知且，函数，满足对任意实数，，都有
成立，则实数a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意知函数在R上为增函数，利用分段函数的单调性列不等式组，从而求出a的取值范围．
【详解】函数，
对任意实数，，都有成立，
则在R上为增函数；
当时，函数为增函数，则有，即；
当时，函数为增函数，则有；
由在R上为增函数，则，即有；
由可得a的取值范围为：
故答案为：
【点睛】本题考查了分段函数的单调性与应用问题，注意各段的单调性，以及分界点的情况，是易错题．
17.已知单位向量，，满足，向量满足，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
由题意，不妨设，，，根据可得到点和的距离和为，可得直线AB的方程，则表示点点到直线直线AB上点的距离，即可求出范围．
【详解】由题意，单位向量，，满足，不妨设，，，
，，
，
，
即到点和的距离和为，
则直线AB的方程为，
表示点点到线段AB上点的距离，
，
最大值为到的距离即为，
故的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】本题考查向量的坐标运算，考查两点的距离公式和点到直线的距离公式，向量模的几何意义，属于中档题．
三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）
18.已知集合，．
1求；
2已知，若，求实数a的取值范围．
【答案】（1），（2）.
【解析】
【分析】
（1）由指数不等式、对数不等式的解法得：A=，B=，故A∩B=；
（2）由集合的包含关系得：C⊆B，则：a≥4，得到的范围是．
【详解】（1）解不等式x-4≤4，得：3≤x≤6，即A=，
解不等式log3（2x+1）＞2，得：x＞4，即B=，
故A∩B=，
（2）由集合的包含关系得：C⊆B，则：a≥4，
所以的范围是．
【点睛】本题考查了指数不等式、对数不等式的解法及集合的包含关系，属简单题．
19.已知函数
1求函数的最小正周期；
2现将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象，求在区间上的值域．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）首先利用平面向量的数量积运算和三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式转换为正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．
（2）利用函数的关系式和函数的图象的平移变换的应用求出函数的值域．
【详解】1函数
，
，
函数的最小正周期；
2由于，
将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，
得到函数的图象，
由于，
故：，
所以：，
故：的值域为．
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
20.如图所示，在等腰梯形ABCD中，已知，，，，动点E和F分别在线段BC 和DC上，且，．
1求的值；
2求的最小值，并求出此时t的值．
【答案】（1）3；（2）
【解析】
【分析】
1结合向量的数量积公式即可求出
2利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于的代数式，根据具体的形式求最值．【详解】1，
2
，
，，
，
故当时，的最小值为．
【点睛】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值．
21.如图，在平面直角坐标系中，角，的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，角，的终边与单位圆分别交、两点．
1求的值；
2若，，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
1根据三角函数的定义求出，和，的值，利用两角和差的余弦公式进行求解
2先求出的三角函数值，结合两角和差的正弦公式求的值即可.
【详解】1由、，
得，、，，
则．
2，，
，，，，
则，
．
【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，结合三角函数的定义求出对应角的三角函数值，以及利用两角和差的公式进行求解是解决本题的关键．
22.设，其中．
1当时，分别求及的值域；
2记，，若，求实数t的值．【答案】（1）；（2）或或或
【解析】
【分析】
1当时，求出函数和的解析式，结合二次函数的性质进行求解即可
2根据，得到两个集合的值域相同，求出两个函数对应的最值建立方程即可
【详解】1当时，由，
当且仅当时，取等号，即的值域为．
设，则，
则，
当且仅当，即时，取等号，
故的值域为．
2，，即此时函数的值域为，
，
，得或，
当时，即或，
，即，
即，则，得或成立．
当时，即时，
，
即，即，
即或或，
或满足条件，
综上或或或成立．
【点睛】本题主要考查函数值域的应用，结合复合函数值域关系求出的最值是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度．。