高考数学立体几何建系困难问大题精做理科

2019高考数学立体几何建系困难问大题精做理科

1.已知三棱锥P ABC -（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形ABCD 的正方形，ABE △和BCF △均为正三角形，在三棱锥P ABC -中： （1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；

（2）若点M 在棱PA 上运动，当直线BM 与平面PAC 所成的角最大时，求二面角P BC M --的余弦值．

图一

图二

2．矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点E 为AD 中点，沿BE 将ABE △折起至PBE △，如图所示，点P 在面BCDE 的射影O 落在BE 上．

（1）求证：面PCE ⊥面PBE ；

（2）求平面PCD 与平面PBE 所成锐二面角的余弦值．

3．如图1，在矩形ABCD 中，AB =BC =点E 在线段DC 上，且DE ，现将AED △沿AE 折到AED '△的位置，连结CD '，BD '，如图2．

（1）若点P 在线段BC 上，且BP =

，证明：AE D P ⊥'； （2）记平面AD E '与平面BCD '的交线为l ．若二面角B AE D --'为

2π

3

，求l 与平面D CE '所成角的

正弦值．

4．如图，在四棱锥P ABCD

-中，已知底面ABCD是边长为1的正方形，侧面PAD⊥平面ABCD，

=，PA与平面PBC．

PA PD

（1）求侧棱PA的长；

（2）设E为AB中点，若PA AB

≥，求二面角B PC E

--的余弦值．

【解析】（1）设AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．

由题意，得PA PB PC ==1PO =， 1AO BO CO ===．

∵在PAC △中，PA PC =，O 为AC 的中点，∴PO AC ⊥，

∵在POB △中，1PO =，1OB =，PB =，222PO OB PB +=，∴PO OB ⊥． ∵AC

OB O =，AC ，OB ⊂平面，∴PO ⊥平面ABC ，

∵PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC ．

（2）由（1）知，BO PO ⊥，BO AC ⊥，BO ⊥平面PAC ， ∴BMO ∠是直线BM 与平面PAC 所成的角，且1

tan BO BMO OM OM

∠==

， ∴当OM 最短时，即M 是PA 的中点时，BMO ∠最大． 由PO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥，∴PO OB ⊥，PO OC ⊥，

于是以OC ，OB ，OD 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图示空间直角坐标系，

则()0,0,0O ，()1,0,0C ，()0,1,0B ，()1,0,0A -，()0,0,1P ，11,0,22M ⎛⎫

- ⎪⎝⎭，

()1,1,0BC =-，()1,0,1PC =-，3

1,0,2

2MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．

设平面MBC 的法向量为()111,,x y z =m ，

则由00

BC MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得：1111030x y x z -=⎧⎨-=⎩．令11x =，得11y =，13z =，即()1,1,3=m ．

设平面PBC 的法向量为()222,,x y z =n ，

由0

0BC PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得：222200x y x z -=⎧⎨-=⎩，令1x =，得1y =，1z =，即()1,1,1=n ．

cos ,⋅=

==⋅n m m n n m ．由图可知，二面角P BC M --

2．【答案】（1）详见解析；（2

）

11

． 【解析】（1）在四棱锥P BCDE -

中，BE CE ==，2BC =，从而有CE BE ⊥， 又∵PO ⊥面BCDE ，而CE ⊂面BCDE ，∴CE PO ⊥，而PO 、BE ⊂面PBE ，且PO

BE O =，

由线面垂直定理可证CE ⊥面PBE ，又CE ⊂面PCE ，由面面垂直判断定定理即证面PCE ⊥面PBE ． （2）由条件知OP ⊥面BCDE ，过点E 做OP 的平行线EZ ，

又由（1）知EC ⊥面PBE ，以EB 、EC 、EZ 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 如图所示：

P ⎝⎭

，()

C

，D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

，22CP ⎛=

⎝⎭，22DC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭

， 面PBE 的一个法向量为()10,1,0=n ， 设面

PCD 的法向量为()2,

,x y z =n

，则有00x

x y +==，

设平面PCD 与平面PBE 所成锐二面角为θ

，与12,n n 互补，则cos θ

， 故平面PCD 与平面PBE 所成二面角的余弦值为11

． 3．【答案】（

1）详见解析；（2

． 【解析】证明：（1）先在图1中连结DP ，在Rt ADE △中，由

AD BC ==，DE

得1

tan

2

DAE ∠=

，在Rt

PCD △中，由DC AB ==，PC BC BP ====

， 得1

tan 2

PDC ∠=，∴tan tan PDC DAE ∠=∠，则PDC DAE ∠=∠，

∴90DOE ∠=︒，从而有AE OD ⊥，AE OP ⊥，即在图2中有'AE OD ⊥，AE OP ⊥， ∴AE ⊥平面'POD ，则AE D P ⊥'；

解：（2）延长AE ，BC 交于点Q ，连接'D Q ，根据公理3得到直线'D Q 即为l ， 再根据二面角定义得到2π

'

3

D OP ∠=

．在平面'POD 内过点O 作底面垂线， 以O 为原点，分别为OA ， OP ，及所作垂线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则(

0,D '-，()1,0,0E -，()11,0,0Q -，()3,4,0C -

， ('11,1,D Q =-，()2,4,0EC =-，

('1,ED =-，

设平面D EC '的一个法向量为(),,x y z =n ，由240

'0EC x y ED x y

⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩

n n ，取1y =，得2,1,⎛= ⎝⎭n ． ∴l 与平面'D CE 所成角的正弦值为'15

cos ,'5

'D Q D Q D Q

⋅=

=

⋅n n

n ． 4．【答案】

（1）1PA =或PA ；（2．