第7章随机型时间序列

1 1 2 1 1 12 22 k 2 1 12 22 0
34
（2）MA(q)模型的参数估计

美国科罗拉多州某一加油站连续57天的 OVERSHORT序列
35
MA模型的统计性质

常数均值
Ext E（ t 1 t 1 2 t 2 q t q）
许多经济现象的变化并不是时间的确定函数,而是具有 随机性的，因此也就需要建立随机时间序列模型来预测。
随机时间序列
1,2,3 随机时间序列是指一串随机变量 Yt , t T , T
所构成的序列。对每一个固定的时刻t，yt 是一个随机变量， 而对于一次特定的试验结果， y 是一个确定的样本函数， t Yt t变化的一族 称为随机时间序列的一个实现。如果 是随 随机变量，t取
y )( yt 1 y )
t
(y
t 1 10
11
t
2006
2007 2008 2009 2010 2011
2
1.5 1 2 1.5 2.5
2.5
2 1.5 1 2 1.5
2
2.5 2 1.5 1 2
2
t 1
(y
t 1
12
y)2
(y
t
y )( yt 2 y )
MA(q)模型常常表现为自相关系数q阶截尾
自相关系数
q阶截尾
偏自相关系数
拖尾
选择模型
MA(q)
33
常用MA模型的自相关系数

MA(1)模型
,k 0 ,k 1 ,k 2

MA(2)模型
,k 0 ,k 1 ,k 2 ,k 3
1 1 k 2 1 1 0

常数方差
Var ( xt ) Var ( t 1 t 1 2 t 2 q t q ) (1 12 q2 ) 2
36
ˆ1 k 1 k 1 ˆ k ˆ k 1, j ˆk j 定义偏自相关函数 ˆ kk , k 2,3 j 1 k 1 ˆ k 1, j ˆj 1 j 1
29
（1）AR(P)模型阶数的识别
自相关系数 拖尾
xt t 1 t 1 2 t 2 q t q q 0 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t

特别当 0 时，称为中心化 MA(q) 模型
t
(y
t 1
12
y)2
12
2006
2007 177.7
2008 450.0
2009 509.8
2010 575.3
2011 810.7
表中列出了2006年1 月至2011年10月的电 话用户数，计算自 相关函数
1
89.2
2
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
144.4
110.5 121.5 154.1 359.4 151.4 130.0 140.1 232.7 206.2 125.4
12 2 r2 1 12 1k 2 rk 1 12
k
rk 1k r0
28
AR(p)
yt 0 1 yt 1 2 yt 2 p yt p t
0 , 1 1 2 p k 1 k 1 2 k 2 p k p
自相关系数的计算
时间t 2000 2001 2002 原序列 2 3 2.5 2 3 2
k
滞后一期
滞后二期
k
Cov( yt , yt k ) Var ( yt )Var ( yt k )
2003
2004 2005
1.5
2 2.5
2.5
1.5 2
3
2.5 1.5
1
Cov( yt , yt k ) rk Var ( yt ) r0
, 上的一切值，则称
Y 为随机过程。 t
随机时间序列也称为离散时间参数的随机过程。
随机型时间序列预测过程 1.确定模型的基本类型或形式 2.模型识别，从大类模型中选择子模型 3.拟合模型，求解参数 4.检验拟合效果 5.预测
3
第一节 随机型时间序列的检验 第二节 平稳随机序列模型的预测


25
第二节 平稳随机序列模型的预测
平 稳 非 白 噪 声 序 列
计 算 样 本 相 关 系 数
模型 识别
参数 估计
N
模型 检验
Y
模 型 优 化
序 列 预 测
26
1.自回归模型
AR模型的定义


具有如下结构的模型称为 p 阶自回归模型，简 记为 AR( p) xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t p 0 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t Ex 0, s t s t 特别当 0 0 时，称为中心化AR( p)模型

பைடு நூலகம்
偏自相关系数 P阶截尾
选择模型 AR(P)
选择合适的模型ARMA拟合北京市城乡居民定 期储蓄比例序列。
（2）AR(P)模型的参数估计
30
（3）模型的检验

残差的自相关函数是否为白噪声序列
（4）模型的预测
31
2.移动平均模型 MA模型的定义

具有如下结构的模型称为 q 阶自回归模 型，简记为 MA(q)
32
（1）MA(q)模型阶数的识别

rk 识别工具：自相关函数 k r0
rk E( yt yt k )
yt t 1 t 1 q t q
当1 k q时rk 2 ( k 1 k 1 q k q ) 当k大于q时rk 0
270.3
242.7 280.8 310.6 322.8 188.3 202.2 186.5 217.3 216.4 158.6
514.7
540.7 488.4 588.2 568.1 384.4 516.9 513.6 510.9 390.3 489.0
594.2
564.8 514.8 473.2 478.9 414.9 453.7 553.6 544.2 448.0 637.4
正整数m, t1 , t2 ,, tm T， 正整数， 有

Ft1 ,t2tm ( x1 , x2 ,, xm ) Ft1 ,t2 tm ( x1 , x2 ,, xm )

满足如下条件的序列称为宽平稳序列
1) EXt , 为常数，t T 2) (t , s) (k , k s t )，t , s, k且k s t T
27
AR(1)
yt 0 1 yt 1 t

假定序列满足弱平稳，则
E( yt ) ,Var( yt ) r0 , Cov( yt , yt k ) rk
0 , 1 1
1 2 r1 1 12
2 r0 Var( yt ) 1 12
9
平稳时间序列的统计性质

常数均值 自协方差函数和自相关函数只依赖于时间的平移长度 而与时间的起止点无关 延迟k自协方差函数 (k ) (t , t k ),k为整数 延迟k自相关系数
k (k ) (0)
自相关系数的性质
对称性
10
平稳性的检验（图检验方法）
396.0
509.0 422.7 433.9 441.6 498.7 465.9 585.6 696.4 654.0 521.5
553.0
798.0 544.0 580.9 472.4 493.5 488.2 491.7 496.3
13
14
例1时序图
检验中国纱年产量序列的平稳性
15
例1自相关图
弱平稳-特征统计量

均值
方差 自协方差 自相关系数
t EX t
DXt E( X t t )2 2


(t, s) E( X t t )(X s s )
(t , s) (t , s)
DX t DX s
8

平稳时间序列的统计定义 满足如下条件的序列称为严平稳序列
4
第一节 随机型时间序列的检验 一、平稳性检验


二、纯随机性检验 纯随机序列的定义 纯随机性的性质
平稳时间序列的定义
特征统计量 平稳时间序列的统计性质 平稳性的检验
纯随机性检验
5
一、平稳性检验
平稳时间序列的定义

严平稳

严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为 只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移 而发生变化时，该序列才能被认为平稳。 宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳 性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定， 所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证 序列的主要性质近似稳定。
6

宽平稳

严平稳-概率分布

概率分布的意义

随机变量族的统计特性完全由它们的联合分布函数 或联合密度函数决定

时间序列概率分布族的定义 {Ft1 ,t2 ,,tm ( x1 , x2 ,, xm )}
m (1,2,, m), t1 , t2 ,, tm T

实际应用的局限性
7
16
例2时序图
检验1962年1月—1975年12月平均每头奶牛月产奶量序列的平稳性
17
例2.自相关图
18
例3时序图
检验1949年——1998年北京市每年最高气温序列的平稳性
19
例3自相关图
20
二、纯随机性检验
21
白噪声检验例题
对北京市城乡居民定期储蓄所占比例序列的平 稳性与纯随机性进行检验 对北京市每年最高气温序列的平稳性与纯随机 性进行检验

时序图检验

根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质， 平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在 一个常数值附近随机波动，而且波动的范围 有界、无明显趋势及周期特征 平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自 相关系数来描述就是随着延迟期数的增加， 平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零

自相关图检验

11