第2章随机过程习题与答案
随机过程习题和答案
一、设二维随机变量 ( ,) 的结合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：＝当时，＝设失散型随机变量X 听从几何散布：试求的特点函数，并以此求其希望与方差。
解：因此：袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球后放回，对每一个确立的 t对应随机变量t假如对 t时获得红球X (t )3e t假如对 t时获得白球试求这个随机过程的一维散布函数族 .设随机过程，此中是常数，与是相互独立的随机变量，听从区间上的均匀散布，听从瑞利散布，其概率密度为试证明为宽安稳过程。
解：（ 1）与没关（2），因此（3）只与时间间隔有关，因此为宽安稳过程。
设随机过程X (t ) U cos2t，此中 U 是随机变量，且E(U ) 5， D (U ) 5.求：（1）均值函数；（2）协方差函数；（3）方差函数 .设有两个随机过程X (t ) Ut 2， Y(t ) Ut 3 ,此中 U 是随机变量，且 D (U ) 5.试求它们的互协方差函数。
设 A, B是两个随机变量, 试求随机过程X (t) At 3B，t T ( ,)的均值函数和自有关函数.若 A, B互相独立,且 A ~ N (1,4), B ~ U (0,2),则m X(t)及R X(t1, t2)为多少？一队学生按序等候体检。
设每人体检所需的时间听从均值为 2 分钟的指数散布而且与其余人所需时间互相独立， 则 1 小时内均匀有多少学生接受过体检在这 1 小时内最多有40 名学生接受过体检的概率是多少（设学生特别多，医生不会安闲）解：令 N (t) 表示 (0, t) 时间内的体检人数，则N (t ) 为参数为 30 的poisson 过程。
以小时为单位。
则 E(N(1)) 30。
40 (30) k e 30。
P(N (1) 40)k!k 0在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐 1,2 路公共汽车的强度分别为 1，2，当 1 路公共汽车有N1人乘坐后出发； 2 路公共汽车在有N2人乘坐后出发。
随机过程课后习题答案
随机过程课后习题答案随机过程课后习题答案随机过程是概率论和数理统计中的一个重要分支，研究的是随机事件在时间上的演变规律。
在学习随机过程的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解习题，我们可以更好地理解和掌握随机过程的基本概念和性质。
下面是一些随机过程课后习题的答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自协方差函数为Cov[X(t), X(t+h)] =e^(-2|h|)，求该过程的自相关函数。
解：首先，自协方差函数Cov[X(t), X(t+h)]可以通过自相关函数R(t, h)来表示，即Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - E[X(t)]E[X(t+h)]。
由于该过程是平稳过程，所以E[X(t)]和E[X(t+h)]是常数，可以将其记为μ。
因此，Cov[X(t), X(t+h)] = R(t, h) - μ^2。
根据题目中给出的自协方差函数，我们有e^(-2|h|) = R(t, h) - μ^2。
将μ^2移到等式左边，得到R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。
所以，该过程的自相关函数为R(t, h) = e^(-2|h|) + μ^2。
2. 假设随机过程X(t)是一个平稳过程，其自相关函数为R(t, h) = e^(-3|h|)，求该过程的均值和方差。
解：由于该过程是平稳过程，所以均值和方差是常数，可以将均值记为μ，方差记为σ^2。
根据平稳过程的性质，自相关函数R(t, h)可以表示为R(h) = E[X(t)X(t+h)] =E[X(0)X(h)]。
根据题目中给出的自相关函数，我们有R(h) = e^(-3|h|)。
将t取为0，得到R(h) = E[X(0)X(h)] = μ^2。
所以，该过程的均值为μ。
根据平稳过程的性质，方差可以表示为Var[X(t)] = R(0) - μ^2。
将t取为0，得到Var[X(t)] = R(0) - μ^2 = e^(-3*0) - μ^2 = 1 - μ^2。
随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
第2章-随机过程习题及答案
第二章 随机过程分析1.1 学习指导 1.1.1 要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。
1. 随机过程的概念随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。
可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。
2. 随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。
ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤x 1]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤x 1] (2-1)如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为1111111(,)(, ) (2 - 2)∂=∂F x t f x t x对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤x 1和ξ(t 2) ≤x 2同时成立的概率{}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤称为随机过程ξ(t )的二维分布函数。
如果2212122121212(,;,)(,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ∂=∂⋅∂存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ(t )的二维概率密度函数。
对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把{}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5)=≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ(t )的n 维分布函数。
如果n n 12n 12n n 12n 12n 12n(x )() (2 - 6)∂=∂∂∂F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，，存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ(t )的n 维概率密度函数。
随机过程第二章期末练习题
应用统计与随机过程课程习题集
湖南大学信息科学与工程学院
<答案> X(t)的均值和相关函数都具有各态历经性 7、平稳过程 X(t)=u sin(ω t+ Φ)是否具有各态历经性？ m 0 <答案>具有各态历经性
计算题
1、已知随机过程 X(t)和 Y(t)的功率谱密度为
分别求 X ( t ) 和 Y ( t ) 的自相关函数和均方值。 2、随机过程 X ( t ) 定义为 X ( t ) = f ( t + ε ) ，其中 f ( t ) 是具有周期 T 的周期信号，ε是在 区间[0，T]内均匀分布的随机变量。证明 X ( t ) 是平稳随机过程。 （提示：利用周期函数的性 质 ）
3
1
应用统计与随机过程课程习题集
湖南大学信息科学与工程学院
2 2 机变量序列，已知 E[X (k)]=0， E[X (k)] = σ 。则 X(t)既是广义平稳随机过程， X 又是狭义平稳随机过程。 （V）
填空题
1、自然界的信号通常可以分两大类：＿＿＿＿信号和＿＿＿＿信号。 2、随机过程 X(t)的一维分布函数取决于＿＿＿＿和＿＿＿＿。 3、随机过程的数学期望表示＿＿＿＿。 4、随机过程的方差描述了＿＿＿＿。 5、自相关函数反映了＿＿＿＿。 6、＿＿＿＿、＿＿＿＿与＿＿＿＿是刻画随机过程在某个孤立时刻状态的数字特征， 而＿＿＿＿和＿＿＿＿则是刻画随机过程自身在两个不同时刻状态之间的线性依从关系的 数字特征。 7、对于均值为 mX 、相关函数为 RX ( ) 的各态经历随机过程的任意样本函数 x(t ) ，必 有： lim
1 T 2T
T
T
随机过程课后题答案
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
随机过程复习题2的答案
随机过程复习题2的答案1. 定义：随机过程是定义在概率空间上的随机变量序列，这些随机变量随时间或空间的变化而变化。
2. 分类：- 离散时间随机过程：随机变量序列的索引是离散的，例如整数序列。
- 连续时间随机过程：随机变量序列的索引是连续的，例如时间序列。
3. 基本特征：- 概率分布：描述随机过程在任意时刻的状态分布。
- 联合分布：描述随机过程在多个时刻的状态分布。
4. 重要随机过程：- 泊松过程：描述在固定时间或空间内随机事件发生的次数。
- 布朗运动（Wiener过程）：连续时间随机过程，具有独立增量和正态分布的增量。
5. 随机过程的数学描述：- 随机变量函数：每个时刻的随机变量可以看作是时间的函数。
- 样本路径：随机过程在特定样本空间中的实现。
6. 随机过程的性质：- 平稳性：如果随机过程的统计特性不随时间变化，则称其为平稳的。
- 遍历性：如果随机过程在足够长的时间后，其统计特性与初始状态无关，则称其具有遍历性。
7. 随机过程的应用：- 信号处理：分析和处理信号中的随机成分。
- 金融数学：模拟股票价格的变动。
8. 随机过程的数学工具：- 期望：随机过程在某一时刻的期望值。
- 方差：随机过程在某一时刻的方差，衡量其波动大小。
- 协方差和相关系数：描述不同时刻随机变量之间的关系。
9. 随机过程的极限定理：- 大数定律：随着时间的增长，随机过程的样本均值趋于其期望值。
- 中心极限定理：在一定条件下，随机过程的和趋于正态分布。
10. 随机过程的模拟：- 使用计算机模拟随机过程，例如通过生成随机数来模拟泊松过程或布朗运动。
结束语：随机过程是理解现实世界中不确定性现象的重要工具。
通过对随机过程的学习，我们能够更好地分析和预测各种随机现象，为科学研究和工程实践提供理论支持。
《随机过程及其在金融领域中的应用》习题二答案
0
sin
ux
f
xdx
0
sin
ux
f
xdx
0
0
sin
u
x
f
xdx
sin ux 0
f
x dx
0
令其中一式中的 x t
0
sin
ut
f
t
d
t
0
sin
ux
f
xdx
0
sin ut 0
证明：
X u
eiux f xdx
cos ux i sin ux f xdx
cos ux
f
xdx
i
sin
ux
f
xdx
（a）充分性：
当f
x
f
x时,sin ux
f
x
为奇函数
，
则i
c o vY Y, E Y 2 E Y 2 3 80
故（X,Y）的协方差矩阵为
cov X , X cov Y , X
1
cov X ,Y cov Y ,Y
18 0
0
3 80
4、已知二维随机变量（X,Y）服从联合正态分布，且
dFX
x
e tx f xdx
etxexdx etxdx
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和 t2 的确定函数。随机过程 x (t)的相关函数表示在任意两个时刻上获得的随机变量之间的
关联程度。
随机过程 x (t)的协方差函数的定义如下：
B(t1,t2 ) E [ (t1) a(t1)][ (t2 ) a(t2 ) ]
[x1 a(t1)][x2 a(t2 )] f2 (x1, x2;t1,t2 )dx1dx2 (2 - 11)
式中，a(t1)、a(t2)分别是在 t1 和 t2 时刻得到的 x (t)的均值；f2 (x1, x2; t1, t2)是 x (t) 的二维概率密度函数。
B(t1, t2) 与 R(t1, t2)之间有如下关系式：
B(t1, t2 ) R(t1, t2 ) a(t1)a(t2 )
若 a(t1) = a(t2)=0，则 B(t1, t2) = R(t1, t2)。 随机过程 x (t)和 η(t)的互相关函数的定义如下：
5. 高斯过程 高斯过程又被称为正态随机过程。如果随机过程 x(t)的任意 n 维（n =1, 2, ...）分布均 服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程，其 n 维正态概率密度函数表示式为
x2;t1,t2 )
2F2 (x1, x2;t1,t2 ) x1 x2
存在，则称 f2(x1, x2; t1, t2)为随机过程 x (t)的二维概率密度函数。 对于任意时刻 t1，t2，…，tn，把
(2 - 4)
Fn (x1，x2， ，xn；t1，t2， ，tn ) P(t1) x1,(t2) x2, ,(tn ) xn
E (t)
xf1(x, t)dx
(2 - 7)
.页脚.
.
其中，f 1(x, t)为 x (t)的概率密度函数。随机过程 x (t)的均值是时间的确定函数，记作 a(t)，它表示随机过程 x (t)的 n 个样本函数曲线的摆动中心。
随机过程 x (t)的方差的定义如下：
D[ (t)] E [ (t) a(t)]2
(2 - 9)
也就是说，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t，对于均值 a(t)的偏
离程度。
随机过程 x (t)的相关函数的定义如下：
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t2 )]
x1x2 f2 (x1, x2;t1,t2 )dx1dx2
(2 - 10)
式中， x (t1)和 x (t2)分别是在 t1 和 t2 时刻观测得到的随机变量。R(t1, t2)是两个变量 t1
称为随机过程 x (t)的 n 维分布函数。如果
(2 - 5)
fn
(x1，x2，
，xn；t1，t2，
，tn
)
n Fn
(x1，x2， ，xn；t1，t2， x1x2 xn
，tn
)
(2 - 6)
存在，则称 fn(x1, x2, …, xn; t1, t2, …, tn)为随机过程 x (t)的 n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程 x (t)在任意给定时刻 t 的取值 x (t)是一个随机变量，其均值为
F1)
对于任意时刻 t1 和 t2，把 ξ(t1) ≤ x1 和 ξ(t2) ≤ x2 同时成立的概率
(2 - 2)
F2(x1, x2; t1, t2) P (t1) x1, (t2) x2
称为随机过程 x (t)的二维分布函数。如果
(2 - 3)
f2 (x1,
平稳随机过程具有各态历经性(遍历性)。因此，在求解各种统计平均时，无需无限多次 的样本，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值代替平稳随机过程的“统计平均” 值即可，从而使测量和计算大为简化。
平稳过程 x(t)的功率谱密度与其自相关函数是一付立叶变换对。据此，可以得到两条 结论：平稳过程 x(t)的功率等于其自相关函数在零点的取值 R(0)；各态历经过程任一样本 函数的功率谱密度等于平稳过程的功率谱密度。
2. 随机过程的分布函数和概率密度函数
如果 ξ(t)是一个随机过程，则其在时刻 t1 取值 ξ(t1)是一个随机变量。ξ(t1)小于或
等于某一数值 x1 的概率为 P[ ξ(t1) ≤ x1 ]，随机过程 ξ(t)的一维分布函数为 F1(x1, t1) = P[ξ(t1) ≤ x1]
(2-1)
如果 F1(x1, t1)的偏导数存在，则 ξ(t)的一维概率密度函数为
(2 - 12)
Rξη (t1, t2 ) E[ (t1)(t2 )]
(2 - 13)
4. 平稳过程及其性质 平稳过程包括严平稳过程（强平稳过程或狭义平稳过程）和广义平稳过程。如果随机过 程 x(t)的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数 n 和所有实 数 D，有
fn (x1, x 2 , , x n；t1,t2, ,tn ) fn (x1, x2, , xn；t1 ,t2 , ,tn )
(2 - 14)
则称该随机过程是严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程。 严平稳随机过程的一维分布函数和均值都与时间无关，二维分布函数和自相关函数都只
与时间间隔有关。 把对严平稳随机过程的要求降低到仅仅均值与时间无关和自相关函数只与时间间隔有
.页脚.
.
关的随机过程定义为广义平稳随机过程。严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成 立。
.
第二章 随机过程分析
1.1 学习指导
1.1.1 要点
随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、
通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。
1. 随机过程的概念
随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不
同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。
(2 - 8)
随机过程 x (t)的方差常记作 σ2(t)。随机过程 x (t)的方差的另一个常用的公式为
D ξ t E ξ 2 t 2a t ξ t a2 t
E[ξ 2 (t)] 2a t E ξ t a2 (t)
x E[ξ 2 (t)] a2 (t)=
2 f1(x, t)dx a2 (t)