2019年高考数学文科分类汇编：函数与导数

数 学

B 单元 函数与导数

B1 函数及其表示 14．、[2019·安徽卷] 若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为

f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1

16＋sin π6＝5

16

. 2．、[2019·北京卷] 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )

A ．y ＝e －

x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |

2．B [解析] 由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D. 21．、、[2019·江西卷] 将连续正整数1，2，…，n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ，F (n )为这个数的位数(如n ＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F (12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p (n )为恰好取到0的概率．

(1)求p (100)；

(2)当n ≤2019时，求F (n )的表达式；

(3)令g (n )为这个数中数字0的个数，f (n )为这个数中数字9的个数，h (n )＝f (n )－g (n )，S ＝{n |h (n )＝1，n ≤100，n ∈N *}，求当n ∈S 时p (n )的最大值．

21．解：(1)当n ＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以

恰好取到0的概率为p (100)＝11

192

.

(2)F (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，1≤n ≤9，

2n －9，10≤n ≤99，

3n －108，100≤n ≤999，4n －1107，1000≤n ≤2014.

(3)当n ＝b (1≤b ≤9，b ∈N *)，g (n )＝0；

当n ＝10k ＋b (1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N )时，g (n )＝k ； 当n ＝100时，g (n )＝11，即g (n )＝ ⎩⎪⎨⎪

⎧0，1≤n ≤9，

k ，n ＝10k ＋b ，11，n ＝100.

1≤k ≤9，0≤b ≤9，k ∈N *，b ∈N ， 同理有f (n )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n ≤8，

k ，n ＝10k ＋b －1，1≤k ≤8，0≤b ≤9，k ∈N *

，b ∈N ，

n －80，89≤n ≤98，

20，n ＝99，100.

由h (n )＝f (n )－g (n )＝1，可知n ＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90， 所以当n ≤100时，S ＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}． 当n ＝9时，p (9)＝0.

当n ＝90时，p (90)＝g （90）F （90）＝9171＝1

19

.

当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )＝g （n ）F （n ）＝k 2n －9＝k 20k ＋9，由y ＝k

20k ＋9

关于k

单调递增，故当n ＝10k ＋9(1≤k ≤8，k ∈N *)时，p (n )的最大值为p (89)＝8

169

.

又8169<119，所以当n ∈S 时，p (n )的最大值为119

. 3．[2019·山东卷] 函数f (x )＝1

log 2x －1

的定义域为( )

A ．(0，2)

B ．(0，2]

C ．(2，＋∞)

D ．[2，＋∞)

3．C [解析] 若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2.

B2 反函数

5．[2019·全国卷] 函数y ＝ln(3

x ＋1)(x ＞－1)的反函数是( ) A ．y ＝(1－e x )3(x ＞－1) B ．y ＝(e x －1)3(x ＞－1) C ．y ＝(1－e x )3(x ∈R ) D ．y ＝(e x －1)3(x ∈R )

5．D [解析] 因为y ＝ln(3

x ＋1)，所以x ＝(e y －1)3.因为x >－1，所以y ∈R ，所以函数y ＝ln(3

x ＋1)(x >－1)的反函数是y ＝(e x －1)3(x ∈R )．

B3 函数的单调性与最值 2．、[2019·北京卷] 下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( )

A ．y ＝e －

x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln x D ．y ＝|x |

2．B [解析] 由定义域为R ，排除选项C ，由函数单调递增，排除选项A ，D. 4．、[2019·湖南卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( )

A ．f (x )＝1

x

2 B ．f (x )＝x 2＋1

C ．f (x )＝x 3

D ．f (x )＝2－

x

4．A [解析] 由偶函数的定义，可以排除C ，D ，又根据单调性，可得B 不对．

19．、、、[2019·江苏卷] 已知函数f (x )＝e x ＋e －

x ，其中e 是自然对数的底数． (1)证明：f (x )是R 上的偶函数．

(2)若关于x 的不等式mf (x )≤e －

x ＋m －1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m 的取值范围．

(3)已知正数a 满足：存在x 0∈[1，＋∞)，使得f (x 0)

0＋3x 0)成立．试比较e a －1与a e －

1的大小，并证明你的结论．

19．解： (1)证明：因为对任意 x ∈R ，都有f (－x )＝e －x ＋e －(－x )＝e －

x ＋e x ＝f (x )， 所以f (x )是R 上的偶函数．

(2)由条件知 m (e x ＋e －x －1)≤e －

x －1在(0，＋∞)上恒成立．

令 t ＝e x (x >0)，则 t >1，所以 m ≤－t －1

t 2－t ＋1

＝