概率统计常见题型及方法总结

常见大题：

1. 全概率公式和贝叶斯公式问题 B 看做“结果”，有多个“原因或者条件

i

A ”可以导致

B 这个“结果”发生，考虑结果B 发生的概率，或者求在B 发生的条件下，源于某个原因i

A 的概率问题

全概率公式：

()()()

1B |n

i i i P B P A P A ==∑

贝叶斯公式：

1(|)()()

()()n

i i i j

j

j P A B P A P B A P A P B

A ==∑｜｜

一（12分）今有四个口袋，它们是甲、乙、丙、丁，每个口袋中都装有a 只红球和b 只白球。先从甲口袋中任取一只球放入乙口袋，再从乙口袋中任取一只球放入丙口袋，然后再从丙口袋中任取一只球放入丁口袋，最后从丁口袋中任取一球，问取到红球的概率为多少？ 解 i B 表示从第i 个口袋放入第1+i 个口袋红球，4,3,2,1=i

i A 表示从第i 个口袋中任取一个球为红球， 2分

则

b

a a

B P +=

)(1， 2分 )()()()()(1111111B A P B P B A P B P A P += 111++++++++=

b a a b a b b a a b a a b

a a

+= 2分

依次类推 2分

b

a a

A P i +=

)( 二（10分）袋中装有m 只正品硬币，n 只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投掷r 次，已知每次都出现国徽，问这只硬币是次品的概率为多少？

、解 记B ={取到次品}，B ={取到正品}，A ={将硬币投掷r 次每次都出现国徽} 则()(),n m P B P B m n m n

=

=

++，()1P A B =，()1

2r P A B =―—５分 ()()1()212()()()()12

r r

r n

P B P A B n m n P B A n m n m P B P A B P B P A B m n m n ⨯+===++⨯+⨯++

三、（10分）一批产品共100件，其中有4件次品，其余皆为正品。现在每次从中任取

一件产品进行检验，检验后放回，连续检验3次，如果发现有次品，则认为这批产品不合格。在检验时，一件正品被误判为次品的概率为0.05，而一件次品被误判为正品的概率为0.01。（1）求任取一件产品被检验为正品的概率；（2）求这批产品被检验为合格品的概率。

解 设 A 表示“任取一件产品被检验为正品”， B 表示“任取一件产品是正品”，则

()96100P B =

，()4

100

P B =，()|0.95P A B =，()|0.01P A B = （1）由全概率公式得

()()()()()||0.9124P A P B P A B P B P A B =+=

（2）这批产品被检验为合格品的概率为

()3

3

0.91240.7596p P A ===⎡⎤⎣⎦

四、在电报通讯中不断发出信号‘0’和‘1’，统计资料表明，发出‘0’和‘1’的概

率分别为0.6和0.4，由于存在干扰，发出‘0’时，分别以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’，以0.2的概率收为模糊信号‘x ’；发出‘1’时，分别以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’，以概率0.1收到模糊信号‘x ’。

（1）求收到模糊信号‘x ’的概率；

（2）当收到模糊信号‘x ’时，以译成哪个信号为好？为什么？

解 设i A =“发出信号i ”)1,0(=i ， i B =“收到信号i ”),1,0(x i =。由题意知

6.0)(0=A P ， 4.0)(1=A P ， 2.0)|(0=A B P x ， 1.0)|(1=A B P x 。

（1）由全概率公式得

)

()|()()|()(1100A P A B P A P A B P B P x x x += 4分

16.04.01.06.02.0=⨯+⨯=。 2分

（2）由贝叶斯公式得

75.016

.06

.02.0)()()|()|(000=⨯==

x x x B P A P A B P B A P ， 3分

25

.075.01)|(1)|(01=-=-=x x B A P B A P 3分

二、随机变量函数的分布及其边缘密度及其独立性的判断记住如下知识点：

常见分布律和概率密度：

一般正态分布的计算转化为标准正态分布去做：

连续随机变量X: 二维随机变量的分布函数：

联合密度：

掌握如下解决随机变量函数分布的解题方法：

对于二维随机变量函数的概率密度，注意：除了求随机变量 Z=X+Y 的密度函数用公式：

()(,)(,)Z f z f x z x dx f z y y dy

+∞

+∞

-∞

-∞

=-=-⎰

⎰

注意：

先写出联合密度:(,y)f x ，根据联合密度写出

(,)f x z x -或者(,)f z y y -，

在平面x0z 或者y0z 上画出被积函数(,)f x z x -不为零的区

域，然后穿线通过区域确定x 的上下限。

他的函数Z = g ( X , Y )的概率密度，只能使用分布函数法 其步骤如下：

第一步 求联合密度:

(,y)f x ，根据联合密度写出

(,)f x z x -或者(,)f z y y -

第二步 求z 的分布函数：

()Z F z {}P Z z =≤{2}

P X Y z =+≤(,)(,)g x y z

f x y dxdy

≤=

⎰⎰

难点是画出二重积分的积分区域，然后把二重积分化为二次积分定上下限，