画法几何及机械制图之投影
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画法几何及机械制图 05投影变换
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练习3 已知AB∥MN，在MN上找一点C，
使∠ABC为60°，求点C的两面投影。
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本题高于考核难度
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本章学习结束
要熟悉：辅助投影面选择原则 点的投影变换规律及标记规范
a’
a1’
X
V H
a
返回
点在V/H1体系中的投影
a1 H1
a1
返回
3.点的两次变换
a1
a1 X1
返回
三、点的投影变换规
4、规定：
（1）新投影轴标记
▲进行第一次投影变换时：
新设立的投影面与原投影面的交线 记作“X1”
▲进行第二次投影变换时：
第二个新投影面与第一个新投影面的交线记作“X2”
（2）新投影面标记
要掌握：投影变换的基本规则及其应用
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▲在H面上设立的新投影面（⊥H） 记作：V1 在V面上设立的新投影面（⊥V） 记作：H1
▲在H1面上设立的新投影面（⊥H1） 亦记作：V1 在V1面上设立的新投影面（⊥V1） 亦记作：H1
（3）点的影像的标记
▲点A（或B）在H1面上的影像， 记作：a1 （b1） ▲点A（或B）在V1面上的影像， 记作：a1′（b1′）
a1’
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把一般位置直线变为H1投影面平行线
a’
b’ XV
H
a
b
a1
b1
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四、线的投影变换
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练习3 已知AB∥MN，在MN上找一点C，
使∠ABC为60°，求点C的两面投影。
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本章学习结束
要熟悉：辅助投影面选择原则 点的投影变换规律及标记规范
a’
a1’
X
V H
a
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点在V/H1体系中的投影
a1 H1
a1
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3.点的两次变换
a1
a1 X1
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三、点的投影变换规
4、规定：
（1）新投影轴标记
▲进行第一次投影变换时：
新设立的投影面与原投影面的交线 记作“X1”
▲进行第二次投影变换时：
第二个新投影面与第一个新投影面的交线记作“X2”
（2）新投影面标记
要掌握：投影变换的基本规则及其应用
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▲在H面上设立的新投影面（⊥H） 记作：V1 在V面上设立的新投影面（⊥V） 记作：H1
▲在H1面上设立的新投影面（⊥H1） 亦记作：V1 在V1面上设立的新投影面（⊥V1） 亦记作：H1
（3）点的影像的标记
▲点A（或B）在H1面上的影像， 记作：a1 （b1） ▲点A（或B）在V1面上的影像， 记作：a1′（b1′）
a1’
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把一般位置直线变为H1投影面平行线
a’
b’ XV
H
a
b
a1
b1
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四、线的投影变换
画法几何及机械制图 第二章 点直线和平面的投影1
距离
例 已知长方形ABCD中边BC的两投影和边AB的正面投影 （a'b'//OX)，求作长方形的两投影。
d c 分析： D
a
C
X
a
b
O A B
因为ABBC,且 ABH 根据直角投影定理 有ab bc
b d c
空间两直线互相垂直，若其 中有一条直线平行于某投影面， 则两直线在该投影面上的投影仍 互相垂直。
c
a
c
L
ZAB
b0
c0
AB
两直线的相对位置
两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉。
1.平行两直线
当两直线平行则两直线同面投影均相互平行；
反之，若两直线同面投影平 行，则该两直线平行。
直线 AB∥CD
注意：若要判断两直线是否平行 ，对于一般 位置直线，只需看其两组投影即可，而对于特 殊位置直线，则要看其三组投影
YH Z
b
a X O
YW
1)在与其垂直的投影面上的投 影积聚为一点； 2)另两个投影显实长，且分别 垂直于相应的投影轴。
YH
投影面上的直线的投影
直线的投影——投影特性
一般位置直线：与任何基本投影面都不平行也不垂直 z b' a'
b' B b" a'
a"
b"
x
A a b b a" aO NhomakorabeayW
yH
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
试判断图中CD与 AB是否平行？
AB 与 CD 不平行
虽然ab∥cd，并 且a’b’∥c’d’， 但侧面投影a”b” 与c”d ”相交。 作出第三面 投影来判断。
例 已知长方形ABCD中边BC的两投影和边AB的正面投影 （a'b'//OX)，求作长方形的两投影。
d c 分析： D
a
C
X
a
b
O A B
因为ABBC,且 ABH 根据直角投影定理 有ab bc
b d c
空间两直线互相垂直，若其 中有一条直线平行于某投影面， 则两直线在该投影面上的投影仍 互相垂直。
c
a
c
L
ZAB
b0
c0
AB
两直线的相对位置
两直线的相对位置有三种情况：平行、相交、交叉。
1.平行两直线
当两直线平行则两直线同面投影均相互平行；
反之，若两直线同面投影平 行，则该两直线平行。
直线 AB∥CD
注意：若要判断两直线是否平行 ，对于一般 位置直线，只需看其两组投影即可，而对于特 殊位置直线，则要看其三组投影
YH Z
b
a X O
YW
1)在与其垂直的投影面上的投 影积聚为一点； 2)另两个投影显实长，且分别 垂直于相应的投影轴。
YH
投影面上的直线的投影
直线的投影——投影特性
一般位置直线：与任何基本投影面都不平行也不垂直 z b' a'
b' B b" a'
a"
b"
x
A a b b a" aO NhomakorabeayW
yH
投影特性：1． a b、 ab、a b均小于实长
试判断图中CD与 AB是否平行？
AB 与 CD 不平行
虽然ab∥cd，并 且a’b’∥c’d’， 但侧面投影a”b” 与c”d ”相交。 作出第三面 投影来判断。
画法几何与机械制图第章立体的投影平面与立体表面相交(截交线)
圆
倾斜于轴线
椭圆
例4：求左视图
● ● ●
截交线的 截交线的已知投影？ 空间形状？ 截交线的侧面投 影是什么形状？
●
● ● ● ●
●
●
●
●
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例4：求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、短 轴随截平面与圆 柱轴线夹角的变 化而改变。
图3-30
㈢ 圆球表面的截交线
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面与圆球面的 水平面与圆球面的交 交线的投影，在侧视上为 线的投影，在俯视图上 部分圆弧，在俯视图上积 为部分圆弧，在侧视图 聚为直线。 上积聚为直线。
y
二、平面立体的切割与穿孔
例：已知缺口三棱锥的正面投 影，补全它的水平投影和侧面 投影。P55
y
y
★ 空间分析 ★ 投影分析 两个截平面一个是水平面，一个是正垂 ★ 求截交线 注意： 面，都在正面投影中积聚。 ★ 分析棱线的投影 要逐个截平面分析和绘制截交线和 水平截面在水平投影中反映实形，在侧 ★ 检查 尤其注意检查截 截平面之间的交线。 面投影中积聚。 交线投影的类似性
当平面立体只有局部被截切时，先 假想为整体被截切，求出截交线后再
y
y
二. 平面立体的切割与穿孔
已知一个具有正垂的三棱柱穿孔的正六棱 柱的正面投影，补全穿孔六棱柱的水平投 影，作出它的侧面投影。P56
y
y 分析：正垂的三棱柱孔在正投影面上积 聚，三个截面的交线积聚成三角形的三 个顶点。 找到各截面与棱边的交点的正面投影。
2.2 平面与立体表面相交（截交线）
几个基本概念
倾斜于轴线
椭圆
例4：求左视图
● ● ●
截交线的 截交线的已知投影？ 空间形状？ 截交线的侧面投 影是什么形状？
●
● ● ● ●
●
●
●
●
★找特殊点 ★补充中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
例4：求左视图
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点 ★分析轮廓素线的投影
椭圆的长、短 轴随截平面与圆 柱轴线夹角的变 化而改变。
图3-30
㈢ 圆球表面的截交线
例：求半球体截切后的俯视图和左视图。
两个侧平面与圆球面的 水平面与圆球面的交 交线的投影，在侧视上为 线的投影，在俯视图上 部分圆弧，在俯视图上积 为部分圆弧，在侧视图 聚为直线。 上积聚为直线。
y
二、平面立体的切割与穿孔
例：已知缺口三棱锥的正面投 影，补全它的水平投影和侧面 投影。P55
y
y
★ 空间分析 ★ 投影分析 两个截平面一个是水平面，一个是正垂 ★ 求截交线 注意： 面，都在正面投影中积聚。 ★ 分析棱线的投影 要逐个截平面分析和绘制截交线和 水平截面在水平投影中反映实形，在侧 ★ 检查 尤其注意检查截 截平面之间的交线。 面投影中积聚。 交线投影的类似性
当平面立体只有局部被截切时，先 假想为整体被截切，求出截交线后再
y
y
二. 平面立体的切割与穿孔
已知一个具有正垂的三棱柱穿孔的正六棱 柱的正面投影，补全穿孔六棱柱的水平投 影，作出它的侧面投影。P56
y
y 分析：正垂的三棱柱孔在正投影面上积 聚，三个截面的交线积聚成三角形的三 个顶点。 找到各截面与棱边的交点的正面投影。
2.2 平面与立体表面相交（截交线）
几个基本概念
机械制图投影基础
OX轴— V面与H面的交线 OY轴— H面与W面的交线 X OZ轴— V面与W面的交线
Z O
Y
29
投影符号标记
a 点A的正面投影 V a●
a 点A的水平投影
A
●
X
a 点A的侧面投影
a●
Z
● a
o
W
H Y
空间点用大写字母
表示，点的投影用
小写字母表示。
30
V面不动
投影面展开
V
Z
V
a
a′ A
X
aX
a H
正投影法
中心投影 斜投影法
正投影
7
正投影应用—正等测图 8
斜投影应用—斜二测图 9
多面正投影应用—组合体
10
11
多面正投影应用—零件图
二、正投影的基本性质
显实性 (全等性)
A BC
当空间直线或平
面平行于投影面时， a
其投影反映直线的 实长或平面的实形， 这种投影性质称为
b c
H
全等性。
E
D e
及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。
49
例1：判断下列直线的空间位置
a'
b'
aC' ′
dd
bd'′
aC
b
bd
a
AB为水平线
CD为侧平线
50
二、直线上点的投影
判别方法： 点在直线上，其投影必在直线的
同面投影上。即具有从属性。
V
不垂直于投影面的直线上点，将 a
线段分割成比例，投影后仍成同比例。 即具有定比性（定比分割）。
aZ
W
a″ O
Z O
Y
29
投影符号标记
a 点A的正面投影 V a●
a 点A的水平投影
A
●
X
a 点A的侧面投影
a●
Z
● a
o
W
H Y
空间点用大写字母
表示，点的投影用
小写字母表示。
30
V面不动
投影面展开
V
Z
V
a
a′ A
X
aX
a H
正投影法
中心投影 斜投影法
正投影
7
正投影应用—正等测图 8
斜投影应用—斜二测图 9
多面正投影应用—组合体
10
11
多面正投影应用—零件图
二、正投影的基本性质
显实性 (全等性)
A BC
当空间直线或平
面平行于投影面时， a
其投影反映直线的 实长或平面的实形， 这种投影性质称为
b c
H
全等性。
E
D e
及与三个投影面夹角，且与三根投影轴都倾斜。
49
例1：判断下列直线的空间位置
a'
b'
aC' ′
dd
bd'′
aC
b
bd
a
AB为水平线
CD为侧平线
50
二、直线上点的投影
判别方法： 点在直线上，其投影必在直线的
同面投影上。即具有从属性。
V
不垂直于投影面的直线上点，将 a
线段分割成比例，投影后仍成同比例。 即具有定比性（定比分割）。
aZ
W
a″ O
画法几何及机械制图第七章 轴测投影图
在斜二轴测图中，由于坐标面xOz平行于轴测投影面P， 根据平行投影的特性，在坐标面上的图形以及平行于该面的 图形，其轴测投影均反映实形，X轴和Z轴的轴向伸缩系数均 为1，且轴间角为90°；Y轴的轴向伸缩系数以及轴间角则随 着投影方向的不同而不同。
二、斜二轴测图的画法
1.分析：物体的正面的圆，在斜二测中都能反映实形。
当剖切平面通过机件的肋板或薄壁等结构的纵向 对称平面时，这些结构都不画剖面符号，并用粗 实线将它与邻接部分分开。如在图中表现不够清 晰时，也允许在肋板或薄壁部分加画细点表示被
剖切部分。
在轴测装配图中，为了区分相邻零件，剖面线应 画成方向相反，或画成不同间隔、相互错开的形 式。
2.作图：
（1）在正投影图上选定坐标轴，将具有大小不等的端面选 为正面，即使其平行于XOY坐标面。
（2）画斜二测的轴测轴，根据坐标分别定出每个端面的圆 心位置。
（3）按圆心位置，依次画出圆柱、圆锥及各圆孔。
（4）擦去多余线条，加深后完成全图。
三、两种轴测图的比较
正等轴测图的三个轴向角相等，且均为120°，故三个坐 标轴方向可用三角板直接作出；又因轴向简化系数 p=q=r=1,故可按标注的尺寸（或从视图中量取的尺寸）用 1:1进行作图。
斜二轴测图的三个轴间角分别为90°、135°和135°，故三 个坐标轴方向也可用三角板直接作出；又轴向伸缩系数 p1=r1=1，q1=0.5，故量取尺寸也较方便。
第四节 轴测剖视图
在轴测图中，如果需要表达物体的内部结构形状，可以假 想用剖切平面沿坐标面方向将物体剖开，画出轴测剖视图，轴之间的夹角 XOZ、XOY、称为YO轴Z间角。
（三）轴测图的分类
按投影方法的不同，可将轴测图分为两类： 1）正轴测图——用正投影法得到的轴测图（物体斜 放）。 2）斜轴测图——用斜投影法得到的轴测图（物体正 放）。 按轴向伸缩系数的不同，可将轴测图分为三类： 1）等轴测图——三个轴向伸缩系数均相等的轴测图。 2）二等轴测图——两个轴向伸缩系数相等的轴测图。 3）三测轴测图——三个轴向伸缩系数均不相等的轴 测图。
二、斜二轴测图的画法
1.分析：物体的正面的圆，在斜二测中都能反映实形。
当剖切平面通过机件的肋板或薄壁等结构的纵向 对称平面时，这些结构都不画剖面符号，并用粗 实线将它与邻接部分分开。如在图中表现不够清 晰时，也允许在肋板或薄壁部分加画细点表示被
剖切部分。
在轴测装配图中，为了区分相邻零件，剖面线应 画成方向相反，或画成不同间隔、相互错开的形 式。
2.作图：
（1）在正投影图上选定坐标轴，将具有大小不等的端面选 为正面，即使其平行于XOY坐标面。
（2）画斜二测的轴测轴，根据坐标分别定出每个端面的圆 心位置。
（3）按圆心位置，依次画出圆柱、圆锥及各圆孔。
（4）擦去多余线条，加深后完成全图。
三、两种轴测图的比较
正等轴测图的三个轴向角相等，且均为120°，故三个坐 标轴方向可用三角板直接作出；又因轴向简化系数 p=q=r=1,故可按标注的尺寸（或从视图中量取的尺寸）用 1:1进行作图。
斜二轴测图的三个轴间角分别为90°、135°和135°，故三 个坐标轴方向也可用三角板直接作出；又轴向伸缩系数 p1=r1=1，q1=0.5，故量取尺寸也较方便。
第四节 轴测剖视图
在轴测图中，如果需要表达物体的内部结构形状，可以假 想用剖切平面沿坐标面方向将物体剖开，画出轴测剖视图，轴之间的夹角 XOZ、XOY、称为YO轴Z间角。
（三）轴测图的分类
按投影方法的不同，可将轴测图分为两类： 1）正轴测图——用正投影法得到的轴测图（物体斜 放）。 2）斜轴测图——用斜投影法得到的轴测图（物体正 放）。 按轴向伸缩系数的不同，可将轴测图分为三类： 1）等轴测图——三个轴向伸缩系数均相等的轴测图。 2）二等轴测图——两个轴向伸缩系数相等的轴测图。 3）三测轴测图——三个轴向伸缩系数均不相等的轴 测图。
画法几何与机械制图-第1章-投影法和点、线、面的投影-1.1 投影的基本知识&1.2 点的投影
a
Y
点A在点B的： 左边、前边、 上边。
X坐标大的在左边；Y坐标大的在前边；Z坐 坐标大的在左边； 坐标大的在前边； 标大的在上边。 标大的在上边。
Z V
a' A a' a" B b a H a XA- XB b' O Y b Y ZA- ZB b" Z a'' b" YA- YB
X
O b'
W
X
Y
a′● ′ ax a●
az
●
a″ ″
点的投影到投影轴的距离， 点的投影到投影轴的距离，等于点的相应坐标
Z V
Bb' b" b'
Z b''
X
b
c'
D d，d'
O
d" c"
W
X
b c'
d' d c
O d"
c" YW
H
Cc
YH
Y
面上， 点在 面上， 点在 点在H面上 点在OX轴上 轴上。 Β点在V面上， C点在 面上， D点在 轴上。 点在 面上
一、点在一个投影面上的投影
过空间点A 作投影面P 过空间点A，作投影面P的正 投射线与投影面P交于a 点,a’即 投射线与投影面P交于a’点,a 即 为点A 面上的投影。 为点A在P面上的投影。 点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。 间位置。
解决办法？ 解决办法？
A
●
P
●
a′ ′
P B1 B2
●
B3
●
●
b′ ′
●
采用多面投影。
画法几何与机械制图说课稿 点的投影说课稿
画法几何与机械制图说课稿点的投影说课稿画法几何与机械制图说课稿点的投影说课稿《点的投影》尊敬的各位领导评委老师，大家好，我是来自**，今天说课的题目是《点的投影》。
我说课分为4个大部分，第一:说教材《点的投影》是《画法几何与机械制图》这本教材里面的第二章第一节所要学习的知识。
《画法几何与机械制图》是机电专业中重要的一门专业基础课程，但是因为学生的基础差，对空间想象力的建立有一定的困难，而学生一但无法跨越由“空间”到“面”的表达方式，将无法完成本课程的学习，对学生的将来就业质量会有很大的影响。
这就要求我们首先就得帮助同学们跨越这个障碍。
我们知道，一个无论是多么复杂的形体，它的基本图形元素无非就是点线面，而这三个基本图形元素中点是最简单的，而我们想要学生跨越这个由“空间”到“面”的表达方式，那么我们首先就要教会他们最简单最基本的空间点是如何从空间转化到面也就是点的投影这块着手，只有这样，他们才有信心才能从中领略《画法几何与机械制图》这门课程的乐趣，这样也就提高他们学习的积极性、主动性，为今后直线的投影、面的投影等的学习打下良好的基础。
二、确立目标，分析教材、分析学生确定重、难点确立目标:那么，根据教学大纲的教学要求，《点的投影》这堂课的目标就是要求学生掌握点的投影规律。
只要掌握点的投影规律，学生以后才可以轻松地把空间点转化为了面的表示方式，才可以轻松解决已知两个投影面上的投影要求作出第三个投影面上的投影的问题，才可以轻松地由平面点想象出空间点等一系列问题。
分析教材(确定重点):通过对教材的分析我把本堂课的重点内容定义为点的投影标识以及点的投影规律。
点的标识重要，是因为，这个是《画法几何与机械制图》里面的公约，俗语都说无规矩不成方圆，如果我们这个公约都搞混了的话，那我们就没有办法成就“方圆”了，也就是没有办法利用这个“规矩”去帮助我们顺利完成本课程的学习了。
而点的投影规律是我们能够顺利完成由空间到面表达转化的桥梁，所以也当然为重点了。
机械制图正投影及三视图画法
• 二、投影法的分类
若投射光源为点光源或投 射线汇交于一点，这样的
投影法叫做中心投影法
用相互平行的投射线，在 投影面上作出物体投影的
方法叫做平行投影法
第一节 正投影法概述
• 二、投影法的分类
相对于中心投影法，平行投影法更能反映物体轮廓的 真实大小。平行投影法又可分为两类:
正投影法与斜投影法，一般用正投影法绘制机械图样
第二节 三视图的形成及其投影规律
• 一、三视图的形成
为了能够准确地反映物体的长、宽、高的形状及位置，通常用 三面投影体系来表达其形状与大小，基本表达方法是三视图
三面投 影体系 的建立 与展开
第二节 三视图的形成及其投影规律
• 一、三视图的形成
➢主视图：从工件的前方向后
投影，在V面上所得到的视图
➢俯视图：从工件的上方向下
• 二、直线的投影
直线与点的相对位置关系
a' c'
A X
V
b' C
0B
b
a' c' b'
X
0
b
ac
c
H
a
若点的投影分别在直线的三面同名投影上（会将线段的各个投影分 割成和空间相同的比例），则可判断点在线上；反之，若点的投影 有一个不在直线的同名投影上，则该点必不在此直线上。
第三节 立体表面几何元素投影分析
第三节 立体表面几何元素投影分析
• 一、点的投影
点的三 面投影 的形成
空间点A的三面投影仍为点,分别用对应的小写字 母a、a′、a〞来标记
第三节 立体表面几何元素投影分析
• 一、点的投影
点投影“宽相等” 的三种作法
第三节 立体表面几何元素投影分析
画法几何及机械制图-点的两面投影
投影面展开
§2-2 点的两面投影
二、点的两面投影的投影特性
1.点的两面投影
v a’
X
axX
符号规定 空间点——大写字母
H 投影——小写字母 V 投影——小写字母加一撇
O 投影面展开
去边框
H
a
§2-2 点的两面投影
二、点的两面投影的投影特性
1.点的两面投影
v a’
X
axX
符号规定 空间点——大写字母
§2-2 点的两面投影
二、点的两面投影的投影特性
B
3.其它分角点的投影图
V
空间位置
c CX
投影图
c’
b b’ a’
A
O
d
a
d’
c
b
a’
D
b’
Ⅰ 分角内的点A
Ⅱ 分角内的点B
X
O
Ⅲ 分角内的点C
c’
d d’
Ⅳ 分角内的点D a
§2-2 点的两面投影
二、点的两面投影的投影特性
特殊位置点的投影：
≡b
V
§2-2 点的两面投影
一、两投影面系形成的条件 二、点的两面投影的投影特性
§2-2 点的两面投影
一、两投影面系形成的条件
1.两面投影体系
2.四个分角
3.有关规定
V
V 面——正立投影面
Ⅱ
H 面——水平投影面 Ⅲ X
Ⅰ
O
OX 轴——投影轴
Ⅳ
(V 、H 投影面的交线)
V 、H 投影面应相互垂直
§2-2 点的两面投影
H 投影——小写字母 V 投影——小写字母加一撇
O 投影面展开
去边框
H
§2-2 点的两面投影
二、点的两面投影的投影特性
1.点的两面投影
v a’
X
axX
符号规定 空间点——大写字母
H 投影——小写字母 V 投影——小写字母加一撇
O 投影面展开
去边框
H
a
§2-2 点的两面投影
二、点的两面投影的投影特性
1.点的两面投影
v a’
X
axX
符号规定 空间点——大写字母
§2-2 点的两面投影
二、点的两面投影的投影特性
B
3.其它分角点的投影图
V
空间位置
c CX
投影图
c’
b b’ a’
A
O
d
a
d’
c
b
a’
D
b’
Ⅰ 分角内的点A
Ⅱ 分角内的点B
X
O
Ⅲ 分角内的点C
c’
d d’
Ⅳ 分角内的点D a
§2-2 点的两面投影
二、点的两面投影的投影特性
特殊位置点的投影：
≡b
V
§2-2 点的两面投影
一、两投影面系形成的条件 二、点的两面投影的投影特性
§2-2 点的两面投影
一、两投影面系形成的条件
1.两面投影体系
2.四个分角
3.有关规定
V
V 面——正立投影面
Ⅱ
H 面——水平投影面 Ⅲ X
Ⅰ
O
OX 轴——投影轴
Ⅳ
(V 、H 投影面的交线)
V 、H 投影面应相互垂直
§2-2 点的两面投影
H 投影——小写字母 V 投影——小写字母加一撇
O 投影面展开
去边框
H
画法几何及机械制图-点的三面投影
§2-3 点的三面投影
一、三投影面系形成的条件和点的投影特性
2.点的三面投影
Z
V a’
az
符号规定
W 投影——小写字母加两撇
投影面展开
X aX A a
90°
90°
O a”
aY Y
§2-3 点的三面投影
一、三投影面系形成的条件和点的投影特性
1.点的三面投影
Z
V a’
aZ
符号规定
W 投影——小写字母加两撇
§2-3 点的三面投影
一、三投影面系形成和点的投影特性 二、点的投影与坐标的关系 三、点的投影作图
§2-3 点的三面投影
一、三投影面系形成的条件和点的投影特性
1.三面投影体系
Z
V
有关规定
W 面——侧立投影面 Ｙ 轴——H、Ｗ 面的交线 Z 轴——V、Ｗ 面的交线
X
O
Y
V 、H、W 投影面应两两相互垂直
Z
作图步骤：
a’
a’’
1.画坐标轴；
10 mm
20 mm
2.求作点的投影； 3.整理作图线。
X ax
O
15 mm
10mm YW
a
aYH
YH
§2-3 点的三面投影
三、点的投影作图
例1 已知点A (15 ,10 ,20 )，求作点A 的三面投影。
Z
作图步骤：
a’
a’’
1.画坐标轴；
10 mm
20 mm
Z
Y 相等的其它作图方法：
b’
b’’
作45° 辅助线， 使y 相等。
X
O
YW
45°
画圆弧，使y
相等。
一、三投影面系形成的条件和点的投影特性
2.点的三面投影
Z
V a’
az
符号规定
W 投影——小写字母加两撇
投影面展开
X aX A a
90°
90°
O a”
aY Y
§2-3 点的三面投影
一、三投影面系形成的条件和点的投影特性
1.点的三面投影
Z
V a’
aZ
符号规定
W 投影——小写字母加两撇
§2-3 点的三面投影
一、三投影面系形成和点的投影特性 二、点的投影与坐标的关系 三、点的投影作图
§2-3 点的三面投影
一、三投影面系形成的条件和点的投影特性
1.三面投影体系
Z
V
有关规定
W 面——侧立投影面 Ｙ 轴——H、Ｗ 面的交线 Z 轴——V、Ｗ 面的交线
X
O
Y
V 、H、W 投影面应两两相互垂直
Z
作图步骤：
a’
a’’
1.画坐标轴；
10 mm
20 mm
2.求作点的投影； 3.整理作图线。
X ax
O
15 mm
10mm YW
a
aYH
YH
§2-3 点的三面投影
三、点的投影作图
例1 已知点A (15 ,10 ,20 )，求作点A 的三面投影。
Z
作图步骤：
a’
a’’
1.画坐标轴；
10 mm
20 mm
Z
Y 相等的其它作图方法：
b’
b’’
作45° 辅助线， 使y 相等。
X
O
YW
45°
画圆弧，使y
相等。
画法几何与机械制图立体的投影21立体及其表面上的点与线立体的三面投影三视图
S
⑴ 棱锥的组成
由一个底面和若干
侧棱面组成。侧棱线交 于有限远的一点——锥
A
C
s
顶。
B
s
⑵ 棱锥的三视图
⑶时，在棱其锥棱底处锥面于面AB图上C是示取水位点平置
面，同在样俯采视用图平上面反上映取实 点形法。。侧棱面SAC为侧垂
a a
k n
b s kn
k (n) c a(c) b c
面，另两个侧棱面为一
1(2)
a3(4)
O A
O1 A1 1″ 3″ a
2″ 4″
利用投影 的积聚性
2.圆锥体
⑴ 圆锥体的组成
由圆锥面和底面组成。
⑵ 圆圆锥锥体面的是三由视直线图SA ⑶绕转而与轮在成它廓图。相线示交素位的置线轴，的线俯投OO视1影旋图与
s
●
为 腰称三一为曲角圆母S面称形。线的为，另。锥可三两圆顶角个见锥，形视性面直的图上的线底为过判S边等锥A断
CDE的正面投影，求作侧面和水平投影。
分析：
a' b'
AB是圆柱体上的素线 （直线）；
(e')c'
e"
c" BC一部分是前半圆柱
d'
d"
面上的曲线，另一部分
是前半圆弧回转面上的
曲线；
水平和正面投 CDE是圆弧回转面上纬
影是全等的图 圆的一段。
形。
曲面立体
相切处无线
作业： P9 : 1~5 P10：1、3、4、6、7
影，四点在这个纬圆上，其 投影必定在纬圆的投影上。
1）正面投影中过 e' 作一 个纬圆投影（积聚为一过 e' 的水平直线）。
画法几何及机械制图课件第三章点直线平面的投影
1.一般位置平面
一般位置平面和三个投影面既不垂直也不平行，与三个 投影面都倾斜，所以，如用平面形(例如三角形)表示一般位 置平面，则它的三个投影均不是实形，但具有类似形。
2.投影面垂直面
只垂直于一个投影面的平面，称为投影面垂直面
根据其所垂直的投影面不同，可以分为三种： 1)铅垂面——垂直于H面； 2)正垂面——垂直于V面； 3)侧垂面——垂直于W面。
在右图中，虽然ab∩cｄ ＝k，a′b′∩c′ｄ′＝k′， 且k′k⊥OX，但因AB是侧平线， 察看侧面投影，a″b″和c″ ｄ″虽然相交，但该交点与 k′的连线与Z轴不垂直，故此 两直线不相交。
若只凭V、H两投影来判断，则需看简单比(abk)与 (a′b′k′)是否相等，若相等则相交，不相等则不相交。
3.交叉两直线
若两直线既不平行又不相交，则它们是交叉直线
同面投影可能相交，但交点不符合空间一个点的投影规律。 交点是两直线上的一对重影点的投影，用其可帮助判断两 直线的空间位置。
两种特殊情况
1.当两直线有两个投 影均互相平行，且又 同时平行于第三个投 影面时，一般应观察 该两直线所平行的那 个投影面上的投影来 判断两直线是否平行。
（1）X坐标大，在左面, XA<XB,,A在右，B在左；
（2）Y坐标大，在前面， YA>YB,,A在前，B在后；
（3）Z坐标大，在上面， ZA<ZB,,A在上，B在下。
2. 重影点和可见性
当空间两点位于对投影面的同一条投影线上时，这两点在 该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点
点A、B在对H面的同一条投射线上，它们在H面的投影重 合，称为对H面的重影点。而点C、D则称为对V面的重影点。
二、平面对投影面的相对位置及其投影特性
画法几何及机械制图第2章点、直线和平面的投影
P
●b B1 B2 ● B3 ●
●
采用多面投影。
二、点的三面面或V面）
◆水平投影面（简称水
平面或H面）
X
◆侧面投影面（简称侧
面或W面）
投影轴
OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线
Z
oW
H
Y
三个投影面 互相垂直
空间点A在三个投影面上的投影
主视俯视长相等且对正 主视左视高相等且平齐 俯视左视宽相等且对应
三等关系
长对正 高平齐 宽相等
叠加物体的三视图
重点分析以下几个问题： • 物体的组成——由哪些基本体组成 • 这些基本体的形状和位置 • 基本体之间的叠加形式
根据物体的形状，将其分解成若干部 分，弄清各部分的形状和它们的相对位置 及组合形式，分别画出各部分的投影。
例1：画出所给叠加体的三视图。
立板 肋板
分解形体
叠加方式
底板
• 底板和立板右面平齐叠加
• 肋板与底板和立板对称叠加
投影作图 • 分块画图 ①底板 ②立板 ③肋板
看得见的线画实线 看不见的线画虚线
表面平齐， 应无线。
例2：画出所给叠加体的三视图。
B
A
C a)
解题步骤：
先画出平板A，再画出半圆柱B，最后画出半 圆柱面C的三视图。
第2章点、直线和平面的投影
2·1 投影基础
一、投影法概述
投射线通过物体，向选定的平面投射，并在该面上 得到图形的方法，称为投影法。
投射中心
投射线
物体 投影面
投影
该图形称为投影图（投影）。
二、投影法的分类：
中心投影 投影分类
平行投影
画法几何及机械制图
明细栏填写
填写装配体的名称、规格、数量等基本信息， 以及标准件和非标准件的零件表。
03
常用几何图形的画法
圆周及圆弧连接
圆周的画法
根据给定的圆心和半径，使用圆 规或圆规和直尺的组合，可以准 确地画出圆周。
圆弧连接
在两个圆或圆弧之间，通过连接 其上的切点来形成圆弧连接。切 点是两个圆或圆弧在某一点相切 的点。
尺寸标注
正确标注零件的定形、定位尺寸，满 足加工和测量要求。
标题栏填写
填写零件的名称、材料、数量、比例 等基本信息。
装配图绘制
装配视图选择
选择主视图和其他视图，以全面、清晰地表 达装配体的结构和装配关系。
技术要求标注
标注装配体的性能要求、试验方法等，反映 装配体的使用特性。
装配尺寸标注
标注装配体的总体尺寸、配合尺寸和安装尺 寸，满足装配和使用要求。
椭圆的画法
定义
椭圆是由一个平面与一个固定椭圆形的立体表面相交，形成的平面曲线。
画法
使用椭圆模板或通过几何作图方法，如使用直尺和圆规，可以绘制出各种形状 的椭圆。
抛物线、渐开线及螺旋线的画法
抛物线
抛物线是一种常见的二次曲线，形状像一个开口的抛物线。 可以使用抛物线模板或通过几何作图方法绘制。
渐开线
旋转视图
将机件旋转到某一特定 方向，然后进行投影得 到的视图。
局部放大图
将机件的某一部分放大， 然后进行投影得到的视 图。
06
零件图和装配图的绘制与识
读
零件图的绘制与识读
零件图的绘制
在零件图中，需要详细地表示出零件的结构、尺寸、技术要 求等，以便于生产和使用。绘制零件图时，需要注意图形的 比例、视图的选择、尺寸的标注、技术要求的标注等。
填写装配体的名称、规格、数量等基本信息， 以及标准件和非标准件的零件表。
03
常用几何图形的画法
圆周及圆弧连接
圆周的画法
根据给定的圆心和半径，使用圆 规或圆规和直尺的组合，可以准 确地画出圆周。
圆弧连接
在两个圆或圆弧之间，通过连接 其上的切点来形成圆弧连接。切 点是两个圆或圆弧在某一点相切 的点。
尺寸标注
正确标注零件的定形、定位尺寸，满 足加工和测量要求。
标题栏填写
填写零件的名称、材料、数量、比例 等基本信息。
装配图绘制
装配视图选择
选择主视图和其他视图，以全面、清晰地表 达装配体的结构和装配关系。
技术要求标注
标注装配体的性能要求、试验方法等，反映 装配体的使用特性。
装配尺寸标注
标注装配体的总体尺寸、配合尺寸和安装尺 寸，满足装配和使用要求。
椭圆的画法
定义
椭圆是由一个平面与一个固定椭圆形的立体表面相交，形成的平面曲线。
画法
使用椭圆模板或通过几何作图方法，如使用直尺和圆规，可以绘制出各种形状 的椭圆。
抛物线、渐开线及螺旋线的画法
抛物线
抛物线是一种常见的二次曲线，形状像一个开口的抛物线。 可以使用抛物线模板或通过几何作图方法绘制。
渐开线
旋转视图
将机件旋转到某一特定 方向，然后进行投影得 到的视图。
局部放大图
将机件的某一部分放大， 然后进行投影得到的视 图。
06
零件图和装配图的绘制与识
读
零件图的绘制与识读
零件图的绘制
在零件图中，需要详细地表示出零件的结构、尺寸、技术要 求等，以便于生产和使用。绘制零件图时，需要注意图形的 比例、视图的选择、尺寸的标注、技术要求的标注等。
画法几何及机械制图第三章 立体的投影
1
3-1 平面立体及其表面取点
以若干个多边形平面所围成的立体叫做平面立体。 工程中常见的平面立体是棱柱（主要是直棱柱）及棱锥 （常以棱台的形式出现）。 一、棱柱 1.投影 用前一章的知识，研究平面立体上各个多边形的投 影，即研究各多边形的边及顶点的投影，综合起来，就 是平面立体的投影。2Fra bibliotek图3-1
11
2.四棱台上挖方槽 从图3-7（a)的立体图上观察到，所谓开槽，实质上 是三个平面P、Q、R截切立体的结果。 该题给出四棱台的三面投影及正面投影上给出槽形， 试补作槽的另外两个投影。
12
图3-7
13
3-2 回转体及其表面取点
由曲面或曲面与平面所围成的立体叫做曲面立体， 而本节只论述曲面立体中的回转体，即圆柱、圆锥、圆 球等。
19
图3-10
20
3.表面上取点 (1)辅助素线法 从圆锥面的形成可知，圆锥面可理解成若干直素线 所包围的面，这些素线都通过锥顶。在图3-11的立体图 上，圆锥面上有一点M，它在素线SA上，按线上的点的 作图方法，根据已知的正面投影m′，求出另两投影m及 m″。此法在解决处于转向轮廓线上的点最为方便，见图 3-11的投影图。图中另有一点N，已知其水平投影n，求 另外两投影n′及n″，其作法相同。
17
图3-9
18
二、圆锥 1.形成 圆锥是由一圆锥面和一底平面所围成。圆锥面的形 成，是一条与轴线斜交的直母线绕轴线作圆周运动，回 转的轨迹即是圆锥面。母线在回转过程中的任一位置称 为素线，母线与轴线的夹角α始终不变，α＜90°，称为 半锥角，见图3-10（a)。 2.投影分析 图3-10（b)是圆锥的三面投影图。圆锥面和底面的 水平投影重合，中心线的交点是圆锥轴线及锥顶S的投 影。
3-1 平面立体及其表面取点
以若干个多边形平面所围成的立体叫做平面立体。 工程中常见的平面立体是棱柱（主要是直棱柱）及棱锥 （常以棱台的形式出现）。 一、棱柱 1.投影 用前一章的知识，研究平面立体上各个多边形的投 影，即研究各多边形的边及顶点的投影，综合起来，就 是平面立体的投影。2Fra bibliotek图3-1
11
2.四棱台上挖方槽 从图3-7（a)的立体图上观察到，所谓开槽，实质上 是三个平面P、Q、R截切立体的结果。 该题给出四棱台的三面投影及正面投影上给出槽形， 试补作槽的另外两个投影。
12
图3-7
13
3-2 回转体及其表面取点
由曲面或曲面与平面所围成的立体叫做曲面立体， 而本节只论述曲面立体中的回转体，即圆柱、圆锥、圆 球等。
19
图3-10
20
3.表面上取点 (1)辅助素线法 从圆锥面的形成可知，圆锥面可理解成若干直素线 所包围的面，这些素线都通过锥顶。在图3-11的立体图 上，圆锥面上有一点M，它在素线SA上，按线上的点的 作图方法，根据已知的正面投影m′，求出另两投影m及 m″。此法在解决处于转向轮廓线上的点最为方便，见图 3-11的投影图。图中另有一点N，已知其水平投影n，求 另外两投影n′及n″，其作法相同。
17
图3-9
18
二、圆锥 1.形成 圆锥是由一圆锥面和一底平面所围成。圆锥面的形 成，是一条与轴线斜交的直母线绕轴线作圆周运动，回 转的轨迹即是圆锥面。母线在回转过程中的任一位置称 为素线，母线与轴线的夹角α始终不变，α＜90°，称为 半锥角，见图3-10（a)。 2.投影分析 图3-10（b)是圆锥的三面投影图。圆锥面和底面的 水平投影重合，中心线的交点是圆锥轴线及锥顶S的投 影。
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正立投影面
分角
a’
V
A
2
V
1
X
ax
a
O H
Wang chenggang
X 3
4
投影轴
O H
水平投影面 4/86
一、点在两投影面体系第一分角中的投影
2、点的两面投影
a’
X
ax
V
a’
A 两面投影图
O
X
ax
V O
a H
aH
保持V面正李位置不变,使H面绕OX轴相下旋转90º! 5/86 Wang chenggang
Z
a’
V
a’
V
a’’w
A
X
ax
a’’
W O
X
ax
O
a H
a H
Y
保持V面正李位置不变,使H面绕OX轴,W面绕OZ轴分别
相下相后旋转90º! 7/86 Wang chenggang
二、点在三投影面体系第一分角中的投影
2、点的三面投影
三面投影图
a’
V
a’’w
a’
相等!
Z
az
a’’
X
ax
O
X
ax
O
Yw
a
a’
a’
V
b’
b’
A
B
X
ax
a’’ Ob’’ W X
反Z映两点上下,前后 a’’
b’’
O
Yw
b a
b
H a Yh
反映两点左右,前后
两点的相对位置,是指它们上下左右前后间的关系 13/86 Wang chenggang
例：已知A点在B点之前5毫米，上9毫米，右8毫米，求A点的投影
Z
a′
a"
9
b′
8
X
第2章 点、直线、平面的投影
摘 要： 本章主要介绍投影法的基本知识，并将投影法直接 应用于基本几何体的投影及形成立体表面的基本要素—— 点、直线、平面的投影分析，从而为组合体的投影表达、 读图分析提供必要的理论基础及方法。
2.1 投影法
2.2 点的投影
2.3 直线的投影 2.4 平面的投影
2.5 换面法
az
a’’
Z
a’
az
a’’
X
ax
O
Yw
X
45º
a Yh
ax
Wang chenggang
O Yh
Yw
9/86
二、点在三投影面体系第一分角中的投影 3 点的直角坐标
a’
a’
V
Ya A
Za
Xa
a’’
X
ax
Za O W X
Xa
Z
a’’ Za
O Ya
Yw
Ya a
H
a Yh
将投影轴视为笛卡尔坐标系的坐标轴,, 则点的投影与其 直角坐标一一对应.
O
b" YW
b
5
a YH
Wang chenggang
14/86
返回
二、点在三投影面体系第一分角中的投影
5、重影点
当空间两个点处于同一投射线上时，它门在与该投射线垂直 的投影面上的投影必重合，。此两点称为该投影面的Z重影点。
a’
a’
a’’
b’
X
ax
A
b’
B
a’’
W O b’’
X
b’’
O
Yw
ab H a (b) Yh
V
H
Wang chenggang
18/86
例2-5：已知AB直线的投影，在其上作出一点C， 使AC：CB=2：3。
分析:利用平行线截的比例线段先在一面投影山作出2:3的 投影点
c’
作图:
c 2
5
Wang chenggang
19/86
三. 直线与投影体系的关系 （1） 直线的分类
一般位置直线：与三个投影面都倾斜的直线(简称一般位置线
投影面
形体 投射线
投射线
形体
投影(图)
投射方向
投影(图)
利用投影能把三维物体表达在平面上
点的一个投影不能确定点的空间位置! 3/86
Wang chenggang
2.2 点的投影
一、点在两投影面体系第一分角中的投影
1、两投影面体系的建立 用两个相互垂直的平面为影
2、点的两面投影
平面,构成两投影面体系
在投影图上常把不可见的投影点加上括号。 15/86 Wang chenggang
例：判断A、B两点，C、D两点的相对位置。
A点在B点的正上方
Z
a′
a"
b′
c′ d′
X
O
c"(d") YW
c
d
a(b)
C点在D点的正左侧
YH
16/86
Wang chenggang
2-3 直线的投影 一、概述：
直线的投影一般仍为直线，特殊情况投影为一点。
H
a
（1）同一点的两面投影连线垂直于投影轴
Yh
（2）点的投影到投影轴的距离，等于该点与相邻投影面的距离。
水平投影到OX轴的距离等于其侧面投影到OZ轴的距 8/86
离!
Wang chenggang
二、点在三投影面体系第一分角中的投影
2、点的三面投影
例:已知A点的正面投影和侧面投影,求其水平投影
Z
a’
一、点在两面体系第一分角中的投影
2、点的两面投影
a’
V 两面投影图
a’
点的投影规律
X
ax
O
X
ax
O
a
a
H
（1）同一点的两面投影连线垂直于投影轴 （2）点的投影到投影轴的距离，等于该点与相邻投影面的距离。
6/86
Wang chenggang
二、点在三投影面体系第一分角中的投影
1、三投影面体系的建立 2、点的三面投影
Z
a’ a’’
b’
b’’
X
O
Yw
b
a Yh
直线的投影可由直线上任意两点的同面投影确定。 17/86
Wang chenggang
二、直线上的点 1．点在直线上，点的投影必在直线的同面投影上。反之，若点 的各面投影均在直线的同面投影上，点一定在直线上。
2．直线上的点，分直线段的长度比，等于其投影分直线段投影 的长度之比。
直线 )
投影面平行线：仅平行于一个投影面的直线
特
殊
(∥V：正平线；∥H：水平线；∥W：侧平线)
位
投影面垂直线：垂直于一个投影面的直线
置
直
(⊥V：正垂线；⊥H：铅垂线；⊥W：侧垂线)
线
Wang chenggang
20/86
Z
1、投影面平行线
Va
b
z
A
a
Wang chenggang
1/86
2.1 投影法
2.1.1 投影法的形成及分类 物体在光线照射下,能在面上产生影子!
承影面
光线
S 投影中心
几何元素
影子
物体
光源
Wang chenggang
投影面
投影的三要素
2/86
2.1.1 投影法的形成及分类
投影法
投影面
中心投影法 平行投影法
平行投影法
斜投影法 正投影法
10/86
Wang chenggang
二、点在三投影面体系第一分角中的投影 例2-2：已知点A（25，20，30），试求其三面投影 。
Z
a’
a’’
X
25 O
YW
a YH
Wang chenggang
11/86
特殊位置点的投影
1:投影面上的点: 投影面上的点,到该投影面的距离为0,故它的
一个投影与本身重合,另两面投影在投影轴上,.
B点在V面上
2:投影轴上的点:
B’
Z B”
投影面轴的点,到两个投影面的距离
为0,故它有两面投影重合在投影轴上,
另一投影与坐标圆点重合.,.
X a’
b c’ O
a’’ c’’YW
a c
A点在H面上 YH
Wang chenggang
C点在OY轴上
12/86
二、点在三投影面体系第一分角中的投影 4、两点的相对位置 反映两点上下,左右