3-1拉格朗日中值定理
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3.1 拉格朗日中值定理 一、定理 二、例题 三、推论
定理3-1（拉格朗日（Lagrange）中值定理） 如果函数满足下列条件：
（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导， 那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使得:
f (b) f (a) f '( ),
ba
y
几何直观 C B
A
Oa ξ
bx
由定理的条件可知,
b
aa
推论1 若函数 f (x)在区间 I上满足f '(x) 0，则 f (x)在区间 I 上必为一常数． 证 设 x1, x2 为区间 I 上任意两点（不妨设 x1 x2），显然
f (x) 在 [x1, x2 ] 上满足拉格朗日中值定理的条件，
所以 f (x2 ) f (x1) f '( )( x2 x1) (x1 x2 )
解 f (x) 4x3 5x2 +x2 是初等函数，故它在闭区 [0 ，1]
间 上连续，在开区间(0,1)内可导，所以函数在 [0，1]上满
足拉格朗日中值定理的条件．
令
f
'(x)
f
(1) f 1 0
(0)
,即
12 x2 10x+1 0,
得
5 13
5 + 13
x1 12 , x2 12 ,
即存在
由于 f '( ) 0 ，则 f (x2 ) f (x1) 0 ，即 f (x2 ) f (x1) 也就是说，函数 f (x) 在区间 I上任意两点的函数值相等，
故 f (x) 在区间 I上为一常数．
推论2 若两个函数 f (x)与g(x) 的导数在区间 I 内相等，即
f '(x) g'(x)(x I )，则 f (x) g(x) C （常数）．
1,2
5 13 12
0,1 ,
使得
f '( ) f (1) f (0) .
10
因此，拉格朗日中值定理对函数 f (x) 4x3 5x2 + x 2
在区间[0，1]上成立．
注：只需要有一个根满足就行，这是一个存在性定理。
例2 意
证明：对任
0 a b, 不等式
b a ln b b a 成立．
证明略（思考）
b
a
a
解 设 f (x) ln x ．显然它在 [a, b]上满足
拉格朗日中值定理的条件，所以有
ln b ln a
1
b a (ln x)' x
，
(a b)
即 ln b ln b ln a b a .
a
因为
0a b
，故
Hale Waihona Puke Baidu
ba ba ba,
b
a
所以
b a ln b b a .
曲线 y f (x)在 [a,b]上是一条连续的曲线弧 AB,
曲线弧 AB 内部每一点处都有不垂直于 x 轴的切线.
如图所示，连接端点A和B作弦AB,则
f '( ) K AB f (b) f (a) . ba
例1 验证拉格朗日中值定理对函数 f (x) 4x3 5x2 + x 2
在区间[0 ，1]上的正确性．
定理3-1（拉格朗日（Lagrange）中值定理） 如果函数满足下列条件：
（1）在闭区间上连续, （2）在开区间内可导， 那么在(a,b)内至少存在一点ξ，使得:
f (b) f (a) f '( ),
ba
y
几何直观 C B
A
Oa ξ
bx
由定理的条件可知,
b
aa
推论1 若函数 f (x)在区间 I上满足f '(x) 0，则 f (x)在区间 I 上必为一常数． 证 设 x1, x2 为区间 I 上任意两点（不妨设 x1 x2），显然
f (x) 在 [x1, x2 ] 上满足拉格朗日中值定理的条件，
所以 f (x2 ) f (x1) f '( )( x2 x1) (x1 x2 )
解 f (x) 4x3 5x2 +x2 是初等函数，故它在闭区 [0 ，1]
间 上连续，在开区间(0,1)内可导，所以函数在 [0，1]上满
足拉格朗日中值定理的条件．
令
f
'(x)
f
(1) f 1 0
(0)
,即
12 x2 10x+1 0,
得
5 13
5 + 13
x1 12 , x2 12 ,
即存在
由于 f '( ) 0 ，则 f (x2 ) f (x1) 0 ，即 f (x2 ) f (x1) 也就是说，函数 f (x) 在区间 I上任意两点的函数值相等，
故 f (x) 在区间 I上为一常数．
推论2 若两个函数 f (x)与g(x) 的导数在区间 I 内相等，即
f '(x) g'(x)(x I )，则 f (x) g(x) C （常数）．
1,2
5 13 12
0,1 ,
使得
f '( ) f (1) f (0) .
10
因此，拉格朗日中值定理对函数 f (x) 4x3 5x2 + x 2
在区间[0，1]上成立．
注：只需要有一个根满足就行，这是一个存在性定理。
例2 意
证明：对任
0 a b, 不等式
b a ln b b a 成立．
证明略（思考）
b
a
a
解 设 f (x) ln x ．显然它在 [a, b]上满足
拉格朗日中值定理的条件，所以有
ln b ln a
1
b a (ln x)' x
，
(a b)
即 ln b ln b ln a b a .
a
因为
0a b
，故
Hale Waihona Puke Baidu
ba ba ba,
b
a
所以
b a ln b b a .
曲线 y f (x)在 [a,b]上是一条连续的曲线弧 AB,
曲线弧 AB 内部每一点处都有不垂直于 x 轴的切线.
如图所示，连接端点A和B作弦AB,则
f '( ) K AB f (b) f (a) . ba
例1 验证拉格朗日中值定理对函数 f (x) 4x3 5x2 + x 2
在区间[0 ，1]上的正确性．