第十三章轴对称复习课教案、学案、
人教版八年级数学上册第十三章轴对称全章复习(第二课时)教学设计
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教师通过多媒体展示一组生活中的轴对称图形，如剪纸、建筑、图案等，引导学生观察并思考：这些图形有什么共同特点？它们在现实生活中有哪些应用？
2.学生观察、讨论，教师适时引导学生发现：这些图形都是轴对称的，它们具有美观、平衡的特点，广泛应用于日常生活和艺术设计中。
5.拓展作业：
-鼓励学生阅读与轴对称相关的书籍、文章，了解轴对称在历史、文化、艺术等方面的应用。
-组织学生参加学校或社区举求：
1.学生需独立完成作业，遇到问题可向同学和老师请教，培养自主解决问题的能力。
2.提交作业时，要求书写工整、条理清晰，解题过程和答案正确。
4.掌握轴对称图形的折叠与展开，培养空间想象能力和动手操作能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、操作、探索等活动，让学生在自主探究和合作交流中体验轴对称的性质和运用，提高解决问题的能力。
2.利用实际问题情境，引导学生运用轴对称的性质进行分析和解决，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.设计具有挑战性的问题和任务，激发学生的思维，培养他们勇于挑战、善于思考的品质。
3.教师总结：轴对称不仅是几何图形的一种特性，还广泛应用于现实生活中的各个方面。今天我们将进一步学习轴对称的相关知识。
（二）讲授新知
1.教师引导学生复习轴对称的定义，强调对称轴的概念，让学生理解轴对称图形的对称性质。
2.讲解轴对称的性质和定理，如对称轴上的点、线段、角的轴对称映像等，结合实例进行解释，让学生直观地理解轴对称的性质。
3.应用作业：
-利用轴对称性质，解决一道实际问题，如最短路线问题、图形面积计算等。
13.1.1轴对称教案
13.1.1轴对称教案一、教学内容本节课我们将学习人教版初中数学七年级上册第十三章“轴对称”的第一节内容，即13.1.1轴对称。
具体内容包括：理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质和判定方法，以及应用轴对称解决实际问题。
二、教学目标1. 让学生理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，能识别并绘制轴对称图形。
2. 培养学生运用轴对称的性质解决实际问题的能力。
3. 培养学生的空间想象力和创新意识。
三、教学难点与重点教学难点：轴对称的性质及其应用。
教学重点：轴对称的概念、性质和判定方法。
四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备、黑板、粉笔、尺子、圆规。
学具：练习本、铅笔、直尺、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入（1）展示一组轴对称的图片，如剪纸、建筑等，让学生观察并思考它们的特点。
（2）邀请学生分享观察到的特点，引导学生发现轴对称的概念。
2. 新课导入（1）讲解轴对称的定义，让学生明确轴对称的含义。
（2）通过实例讲解轴对称的性质，如对称轴、对称点等。
3. 例题讲解（1）找出给定图形的对称轴，并标出对称点。
（2）判断给定图形是否为轴对称图形，并说明理由。
4. 随堂练习（1）绘制给定图形的轴对称图形。
（2）运用轴对称的性质解决实际问题。
5. 小结六、板书设计1. 轴对称的概念2. 轴对称的性质3. 轴对称的判定方法4. 轴对称的应用七、作业设计1. 作业题目：2. 答案：（1）对称轴：_______；对称点：_______。
（2）是否为轴对称图形：_______；理由：_______。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生掌握轴对称的概念、性质和判定方法的情况，对实际问题的解决能力。
2. 拓展延伸：（1）探索轴对称与中心对称的关系。
（2）运用轴对称设计美丽的图案。
（3）研究轴对称在生活中的应用，如建筑、艺术等。
重点和难点解析1. 轴对称的概念及其性质的理解。
2. 轴对称图形的判定方法。
3. 教学过程中的实践情景引入和例题讲解。
人教版数学八年级上册 第十三章《轴对称》教案设计
第十三章《轴对称》教学分析一、本章在教材中的意义本章涉及到课标中图形的性质、图形的变化、图形与坐标三个部分的内容。
在图形的性质方面，本章主要学习线段的垂直平分线、等腰三角形和等边三角形的性质与判定，前有全等三角形作为探究、推理的基础，后面还会在平行四边形、圆的学习中讨论图形的对称性.在图形的变化方面，轴对称和平移、旋转都属于合同变换（将一个平面图形变换成与其相等或全等的图形的变换），初中阶段还会学习位似变换，教材在处理这些变换时，也都采取了相似的思路，即从实例中得到概念、从典型例子中总结性质、以性质为依据进行作图、在坐标系中作图探索坐标和变换的关系.在图形与坐标方面，本章的要求仅限于对称轴是坐标轴的情形，但在后续学习函数图象的对称性时，会遇到更复杂的情形.从学习过程的设计来看，本章教材在设计上加强了实验几何的成分。
（实验几何，即通过观察与实验认识几何图形、发现图形的性质、求解图形的关系。
）教材让学生通过画图、折纸、剪纸、度量等活动，探索发现几何结论，在发现结论的基础上，再经过推理证明这些结论。
二、本章教学目标和考试要求1.本章教学目标（1）通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质.（2）探索简单图形之间的轴对称关系，能够按照要求画出简单平面图形（点、线段、直线、三角形等）关于给定对称轴对称的图形；认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形.（3）理解线段垂直平分线的概念，探索并曾敏线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.（4）了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理；探索并掌握等腰三角形的判定定理；探索并掌握等边三角形的性质定理及等边三角形的判定定理.（5）能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论证、交流的过程中，发展空间观念，激发学习兴趣.2.教学重、难点重点：轴对称的性质，等腰三角形的性质和判定.难点：对图形性质的推理证明.3.2018年北京市中考说明对本章的要求考试内容考试要求A B C图形与几何图形的性质线段垂直平分线理解线段垂直平分线的概念尺规作图（基本作图）：过一点作已知直线的垂线，作一条线段的垂直平分线；能利用线段垂直平分线的性质与判定解决有关简单问题运用线段垂直平分线的有关内容解决有关问题等腰三角形和等边三角形了解等腰三角形和等边三角形的概念掌握等腰三角形和等边三角形的性质定理与判定定理；尺规作图（利用基本作图作三角形）；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；能用等腰三角形和等边三角形的性质定理与判定定理解决有关简单问题运用等腰三角形和等边三角形的有关内容解决有关问题图形的变化图形的轴对称了解轴对称的概念；理解轴对称的基本性质；了解轴对称图形的概念能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质；能利用轴对称的性质解决有关简单问题运用轴对称的有关内容解决有关问题图形与坐标坐标与图形运动在平面直角坐标系中，知道已知顶点坐标的多边形经过轴对称（对称轴为坐标轴）后的对应顶点坐标之间的关系在平面直角坐标系中，能写出已知顶点坐标的多边形经过轴对称（对称轴为坐标轴）后的图形的顶点坐标运用坐标与图形运动的有关内容解决有关问题三、本章教学建议1.本章知识结构框图生活中的轴对称轴对称作轴对称图形的对称轴画轴对称图形利用几何变换解决问题轴对称的概念轴对称的性质轴对称的作图线段的垂直平分线的性质坐标系中的轴对称等腰三角形等边三角形2.课时安排本章教学约15课时（含讲评），具体安排如下：13.1轴对称共3课时13.1.1轴对称1课时13.1.2线段的垂直平分线2课时13.2画轴对称图形共2课时13.3等腰三角形共6课时13.3.1等腰三角形4课时13.3.2等边三角形2课时13.4课题学习最短路径问题共2课时小结和单元检测共2课时3.教学中需要斟酌的问题（1）实例在教学中的合理运用。
新人教版第十三章《轴对称》全章导学案复习进程
第十三章轴对称13.1《轴对称（1）》导学案一、学习目标：1．理解轴对称图形及轴对称的定义，认识轴对称与全等的关系，了解轴对称图形与轴对称的联系与区别。
2．通过独立思考、小组合作、展示质疑，发展学生的观察、归纳、想象能力。
3．激情投入，快乐学习，感受对称美。
二、重点难点重点：对轴对称图形与轴对称概念的理解难点：轴对称图形与轴对称的联系与区别三、课时：第1课时四、导学过程：（一）合作探究（同学合作，教师引导）1、在一张半透明的纸上画△ABC，使AB＝AC,作BC上的高AD，沿直线AD折叠，直线两旁的部分重合吗？轴对称图形的定义：叫做轴对称图形，这条直线．．叫做它的2、在一张半透明的纸上建立一个平面直角坐标系，并描出点A（-1，3）、B（-2，-4）、C （-3，-1）、A1（1，3）、B1(2，-4)、C1(3，-1)，画出△ABC和△A1B1C1，沿y轴折叠，这两个三角形重合吗？轴对称的定义：那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线．．叫做，折叠后重合的点是对应点，叫做。
3、第2中的△ABC和△A1B1C1全等吗？把其中的△A1B1C1向下平移一个单位，得到△A2B2C2，△ABC和△A2B2C2全等吗？折一折，△ABC和△A2B2C2成轴对称吗？轴对称与全等的关系：两个图形成轴对称，则它们一定；两个图形全等，成轴对称。
4、你能说说轴对称图形与轴对称的区别和联系吗？区别：联系：(A) (B)(C) (D)（二）、精讲精练例1下列图案中，不是轴对称图形的是( )例2、下面四组图形中，右边与左边成轴对称的是（）A. B. C. D.例3、仔细观察下列图案，并按规律在横线上画出合适的图形_________例4、在镜中看到的一串数字是“309087”，则这串数字是。
例5、下列图形中对称轴最多的是 ( )A、圆B、正方形C、等腰三角形D、线段（三）课堂练习1、在实际生活中，轴对称无处不在，请你用给定的图形“○○，△△，————”（两个圆，两个三角形，两条线段）为构件，尽可能多地构思独特且有实际生活意义的成轴对称的一对图形，并写出一两句诙谐、贴切的解说词。
第十三章轴对称教案
第十三章轴对称教案教案标题：第十三章轴对称教案教学目标：1. 理解轴对称的概念，并能够识别轴对称图形。
2. 掌握绘制轴对称图形的方法。
3. 运用轴对称的概念解决问题。
教学重点：1. 轴对称的概念及特点。
2. 轴对称图形的绘制方法。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、彩色粉笔、绘图纸、铅笔、直尺、剪刀等。
2. 学生准备：学习用书、绘图工具等。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）1. 利用课件或黑板上展示一些轴对称图形，引发学生对轴对称的认识和兴趣。
2. 提问学生：你们能否找出这些图形中的轴对称线？轴对称线有什么特点？步骤二：讲解轴对称的概念及特点（10分钟）1. 通过示意图和实例，向学生解释轴对称的定义和特点。
2. 强调轴对称的概念是指一个图形可以通过某条线对折后，两边完全重合。
步骤三：绘制轴对称图形（15分钟）1. 以具体的图形为例，向学生展示绘制轴对称图形的方法。
2. 指导学生使用直尺和铅笔，在绘图纸上练习绘制轴对称图形。
3. 强调绘制时要保持对称性，即对折后两边要完全重合。
步骤四：巩固练习（15分钟）1. 分发练习册或工作纸，让学生独立完成一些绘制轴对称图形的练习题。
2. 监督学生的练习过程，及时纠正错误并给予指导。
步骤五：应用拓展（10分钟）1. 提供一些实际问题，让学生运用轴对称的概念解决问题。
2. 鼓励学生思考并提供合理的解决方法。
步骤六：总结与评价（5分钟）1. 回顾本节课所学内容，强调轴对称的重要性和应用。
2. 对学生的表现进行评价，并鼓励他们在日常生活中多观察和运用轴对称的概念。
教学延伸：1. 鼓励学生在课后继续练习绘制轴对称图形，提高技巧和速度。
2. 推荐相关绘画或几何学习资源，帮助学生进一步了解轴对称的应用。
教学反思：本节课通过引导学生认识轴对称的概念，讲解绘制轴对称图形的方法，并应用解决问题，帮助学生掌握了轴对称的基本知识和技能。
在教学过程中，教师应注意引导学生思考和互动，激发学生的学习兴趣和积极性。
人教版数学八年级上册第十三章《轴对称》教案
第十三章轴对称13.1.1 轴对称教学目标：1．了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系．2．探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的作用．3．了解线段垂直平分线的概念．教学重、难点：轴对称的概念和性质教学过程：一、问题导入：引言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！二、课本精讲：问题1 如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．教师：你能举出一些轴对称图形的例子吗？问题2观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．教师：你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？教师：你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别与联系吗？两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称．两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合．问题3 如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，点A′,B′,C′分别是点A，B，C的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN 有什么关系？教师：你能说明其中的道理吗？上面的问题说明“如果△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，那么，直线MN 垂直线段AA′，BB′和CC′，并且直线MN 还平分线段AA′，BB′和CC′”．如果将其中的“三角形”改为“四边形”“五边形”…其他条件不变，上述结论还成立吗？问题3 如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，点A′,B′,C′分别是点A，B，C的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN 有什么关系？经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．教师：你能用数学语言概括前面的结论吗？成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段．问题4 下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？结论：直线l 垂直线段AA′，BB′，直线l平分线段AA′，BB′（或直线l 是线段AA′，BB′的垂直平分线）．教师：你能用数学语言概括前面的结论吗？轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．三、巩固提高：教科书60页练习1、2题。
人教版数学八年级上册 第十三章 轴对称 综合提高复习 教案
第十三章 轴对称综合提高复习 年 级初二 学 科 数学 版 本 人教版 课程内容第十三章 轴对称综合提高复习一、学习目标：1. 总结本章所学的轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定等知识；2. 培养学生用轴对称的观点认识线段的中垂线、角的平分线、等腰三角形等几何图形；3. 归纳总结本章学习过程中用到的数学思想方法，培养分析问题的能力。
二、重点难点：重点：将所学知识有机地组织起来，形成科学合理的知识结构，并能综合运用。
难点：通过归纳总结解题思想和方法，形成分析问题解决问题的能力。
三、考点分析：中考对本章的要求是通过具体实例识别轴对称、轴对称图形；理解轴对称图形和利用轴对称进行图案设计，探索图形之间的变换关系；掌握等腰三角形的性质和等腰三角形、等边三角形的识别，并能运用其性质解答实际问题。
从中考试题来看，本章知识以基础题为主，题型多以填空题、选择题的形式出现，也有简单的作图题和解答题。
等腰三角形图形的折叠与拼图和轴对称性质的应用是中考的热点题型。
【思维导图】【典型例题】知识点一：轴对称的应用例1. 已知AOB α∠=，P 是AOB ∠内一点，分别作点P 关于,OA OB 的对称点',''P P 。
（1）求证：'''2P OP α∠=；（2）若P 点在AOB ∠外，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立请证明，若不成立请说明理由。
思路分析：本题考查的是轴对称的性质。
成轴对称的两个图形、或者轴对称图形在对称轴两侧的部分是“一模一样”的，严谨地说就是对应线段相等、对应角度相等、对应面积相等、对应点的连线被对称轴垂直平分等等。
解答过程：（1）如图（1）所示，当点P 在∠AOB 内部时，连接OP',P P 关于OA 对称，则OA 垂直平分'P P∴'OP OP =，OA 平分'P OP ∠∴'2P OP AOP ∠=∠，同理可证''2POP BOP ∠=∠∴''''''2()22P OP P OP POP AOP BOP AOB α∠=∠+∠=∠+∠=∠= （2）如图（2）所示，当点P 在AOB ∠外部时，结论还成立。
最新人教版初中八年级上册数学第十三章《轴对称复习课》精品教案
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.在直角坐标系中，点P(a,2)与点A(-3,m)关于y轴对称，则a,m
的值分别为（ A ）
A. 3，-2
B. -3，-2
C. 3，2
D. -3，2
3.如图， △ABC中，∠A=36 °，AB=AC, BD平分∠ABC交
AC于点D,则图中的等腰三角形共有3
个.
A
A
课堂小结
轴对称与轴 对称图形
定义 性质 画法
等腰三角形与 等边三角形
性质 判定
逆向应用确定对称轴
在坐标系中画轴对称图形，确 定对称点坐标的方法：对称轴 x=(xA+xA ′) ÷2
应用最广泛的性质 “三线合一”
重要模型
角平分线+垂线= 等腰三角形
角平分线+平行线= 等腰三角形
课后训练
1.在等腰三角形、圆、长方形、正方形、直角三角形中，一定 是轴对称图形的有（ D ）个
（2）连接B″O,B′O,BO, ∵ △ABC和△A′B′C′关于直线MN对称， A
M A′
∴ ∠BOM=∠B ′ OM.
B′ E
∵ △A″B″C″和△A′B′C′关于直线EF对称B，
∴ ∠B ′ OE= ∠B ″ OE. ∴ ∠B ′ OB ″ = 2(∠B ′ OM+ ∠B ′ OE)
C C′ C″
【解析】本题考查的是对称轴的画法及轴对称的性质，连接
△A′B′C′和△A″B″C″中的任意一对对应点，作所得线段的垂直
平分线即为直线EF，根据轴对称的性质可求角的数量关系. 【答案】（1）如图（2）所示，连接B ′ B ″,作线段B ′ B ″的垂
直平分线EF,则直线EF是△A ′ B ′ C ′和△A ″ B ″ C ″的对称轴.
最新人教版初中八年级上册数学第十三章《轴对称(小结复习课)》精品教案
分析：说明点E在AF的垂直平分线上可以选择① EA=EF；②过点E作AF的垂线然后证明该垂线是 AF的中线；③过点E作AF的中线然后证明该中线 是AF的高.
B
A E
F D
GC
本题源自《教材帮》
重点解析 3
解：∵EG是线段BD的垂直平分线，
∴BE=DE，∠EGB=∠EGD=90°.
∵在Rt△BEG和Rt△DEG中， BE=DE，
9、什么是轴对称变换的性质 新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对 应点的线段被对称轴垂直平分.
知识梳理
10、画轴对称图形的方法
画轴对称图形的方法可以归纳为“一找、二画、三连”： 找：在原图形上找特殊点（如线段端点等）； 画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点； 连：依次连接各对称点； 连接对称点得到的图形即为所求.
教科书本课课后习题第一题。完成后同桌之 间相互订正
A C
l B 分析：点B在直线l上，则点B的对称点是其本身，只需要分别作出点A，C关于直线l对 称的点A′，C′，依次连接 点A′，B，C′即可.
重点解析 4
4、如图，已知△ABC和直线l，作出△ABC关于直线l对称的图形.
A C
A和A′，B和B′，C和C′是
B
l
关于直线l对称的点.
C′ A′
重点解析 5
知识梳理
2、两个图形成轴对称的定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两 个图形关于这条直线（成轴）对称.这条直线叫做对称轴.
知识梳理
3、线段垂直平分线的定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
几何语言：如图所示，直线l是线段AB 的垂直平分线. 则：AO=BO，l⊥AB.
初中数学八年级上册第十三章轴对称教案、导学案 人教版
第十三章轴对称13．1 轴对称13．1.1 轴对称1．理解轴对称图形和两个图形关于某条直线对称的概念，了解轴对称及轴对称图形的的性质．2．能识别简单的轴对称图形及其对称轴．重点：轴对称与轴对称图形的概念．难点：轴对称与轴对称图形的性质．一、自学指导自学1：自学课本P58－59页“思考1及思考2”，了解轴对称图形、轴对称的概念，以及它们之间的区别和联系，完成下列填空．(5分钟)总结归纳：(1)如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．(2)把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．自学2：自学课本P59页“思考3”，了解轴对称及轴对称图形的的性质．(5分钟)如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点．(1)设AA′交对称轴于点P，将△ABC或△A′B′C′沿MN折叠后，点A与点A′重合，则有△ABC≌△A′B′C′，PA＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90度．(2)MN与线段AA′的关系为MN垂直平分线段AA′．总结归纳：(1)经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．(2)成轴对称的两个图形是全等形．(3)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．(4)轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．如图所示的图案中，是轴对称图形的有A，B，C，D．2．下列图形中，不是轴对称图形的是(D)A．角B．等边三角形C．线段D．直角梯形3．下图中哪两个图形放在一起成轴对称B与F，C与D．4．轴对称与轴对称图形有什么区别与联系？答：区别为轴对称是指两个图形沿对称轴折叠后重合，而轴对称图形是指一个图形的两部分沿对称轴折叠后能完全重合；联系是都有对称轴、对称点和两部分完全重合的特性．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 下列图形是轴对称图形吗？如果是，指出轴对称图形的对称轴．①等边三角形；②正方形；③圆；④平行四边形．解：①等边三角形的对称轴为三条中线所在的直线；②正方形的对称轴为两条对角线所在的直线和两组对边中点所在的直线；③圆的对称轴为过圆心的直线．点拨精讲：对称轴是一条直线．探究2 如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，若AB＝2 cm，∠C＝80°，则AE＝2_cm，∠D＝80°．点拨精讲：根据成轴对称的两个图形全等，再根据全等的性质得到对应线段相等，对应角相等．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．指出下列哪组图形是轴对称，并指出对称轴．①任意两个半径相等的圆；②正方形的一条对角线把一个正方形分成的两个三角形；③长方形的一条对角线把长方形分成的两个三角形．解：①两圆心所在的直线和连接两圆心的线段的垂直平分线；②正方形两条对角线所在的直线；③不是轴对称关系．点拨精讲：是不是轴对称看是否能沿某条直线折叠后重合．2．下列两个图形是轴对称关系的有A，B，C.3．如图，在网格中，由个数相同的白色方块与黑色方块组成一幅图案，请仿照此图案，在旁边的网格中设计出一个轴对称图案．(不得与原图案相同，黑、白方块的个数要相同)(3分钟)1.可用折叠法判断是否为轴对称图形．2．多角度、多方法思考对称轴的条数．3．对称轴是一条直线，一条垂直于对应点连线的直线．4．轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)第十三章轴对称13．1 轴对称13．1.1 轴对称1．理解轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．2．了解轴对称图形的对称轴，两个图形关于某直线对称的对称轴、对应点．3．掌握线段垂直平分线的概念．4．理解和掌握轴对称的性质．重点轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念．难点轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别和联系．一、作品展示1．让部分学生展示课前的剪纸作品．2．小组活动：(1)在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的？为什么要这样？(2)这些窗花(图案)有什么共同的特点？二、概念形成(一)轴对称图形1．在学生充分交流的基础上，教师提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”．2．结合教材图13.1－1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置．3．学生举例，试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子．4．概念应用：(1)教材第60页练习第1题．(2)补充：判断下面的图形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形，它们的对称轴是什么？(二)两个图形关于某条直线对称1．观察教材中的图13.1－3，思考：图中的每对图形有什么共同的特点？2．两个图形成轴对称的定义．观察右图：把△A′B′C′沿直线l对折后能与△ABC重合，则称△A′B′C′与△ABC关于直线l 对称，简称“轴对称”，点A与点A′对应，点B与B′对应，点C与C′对应，称为对称点，直线l叫做对称轴．3．举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗？4．讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称的区别．(三)轴对称的性质观察教材中图13.1－4，线段AA′与直线MN有怎样的位置关系？你能说明理由吗？引导学生说出如下关系：PA＝PA′，∠MPA＝∠MPA′＝90°.类似的，点B和点B′，点C和点C′是否有同样的关系？你能用语言归纳上述发现的规律吗？结合学生发表的观点，教师总结并板书．对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．在这个基础上，教师给出线段的垂直平分线的概念，然而把上述规律概括成图形轴对称的性质．上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也有同样的关系？从而得出：类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一个对应点所连线段的垂直平分线．三、归纳小结主要围绕下列几个问题：(1)概念：轴对称图形，两个图形关于某条直线对称，对称轴，对称点；(2)找轴对称图形的对称轴．四、布置作业教材习题13.1第1，2，3题．数学教学应该选在牵一发而动全身的关键之处进行，轴对称图形的认识的教学就是要抓住“对折”与“完全重合”两个关键之处．不然就是隔靴搔痒. 当“部分重合”与“完全重合”理解了，轴对称图形的概念也会在学生脑海中留下深刻的印象．13．1.2 线段的垂直平分线的性质(1)1．理解线段垂直平分线的性质和判定，并会运用此性质解决问题．2．会用尺规作图过直线外一点作已知直线的垂线．重、难点：线段垂直平分线的性质和判定定理的理解与运用．一、自学指导自学1：自学课本P61页“探究”，理解线段垂直平分线的性质与判定定理，完成下列填空．(5分钟)1．如图，l⊥AB，垂足为C，AC＝BC，则△PAC≌△PBC，PA＝PB.2．如图，PA＝PB，若PC⊥AB，垂足为C，则AC＝BC；若AC＝BC，则PC⊥AB．总结归纳：(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．(2)与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．(3)线段的垂直平分线是到线段两个端点的距离相等的点的集合．自学2：自学课本P62页“例1”，掌握经过已知直线外一点作这条直线的垂线的方法．(5分钟)如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄距离相等，请你在图中确定学校的位置．解：①连接AB，AC，BC；②分别作AC，BC的垂直平分线交于点P，则点P就是所要确定的学校的位置．点拨精讲：此题主要运用了作线段垂直平分线解决问题的方法．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(5分钟)1．课本P62页练习题1，2.2．下列条件中，不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是(C)A．MA＝MB，NA＝NBB．MA＝MB，MN⊥ABC．MA＝NA，MB＝NBD．MA＝MB，MN平分AB小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 如图，AB ＝AC ＝8 cm ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，若△ADB 的周长为18，求DC 的长．解：∵DM 是AB 的垂直平分线，∴AD ＝BD ，设CD 的长为x ，则AD ＝AC －CD ＝8－x ，∵C △ADB ＝AB ＋AD ＋BD ＝8＋(8－x)＋(8－x)＝18，∴x ＝3，即CD 的长为3 cm .点拨精讲：由线段垂直平分线的性质得AD ＝BD 进而求解．探究2 如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC，DE ⊥AB 于E ，DC ⊥AC 于C ，求证：直线AD 是CE 的垂直平分线．证明：∵AD 平分∠BAC，DE ⊥AB ，DC ⊥AC ，∴DE ＝CD ，∴点D 在CE 的垂直平分线上．在Rt △AED 与Rt △ACD 中，∵AD＝AD ，DE ＝DC ，∴Rt △AED ≌Rt △ACD(HL )，∴AE ＝AC ，∴点A 在CE 的垂直平分线上，∴直线AD 是CE 的垂直平分线．点拨精讲：证线段垂直平分线的方法1即定义，证垂直平分线的方法2即线段垂直平分线的判定方法．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．如图，在△ABC 中，EF 是AC 的垂直平分线，AF ＝12，BF ＝3，则BC ＝15.2．如图，直线AD 是线段BC 的垂直平分线．求证：∠ABD＝∠ACD.证明：∵直线AD 是线段BC 的垂直平分线，∴AB ＝AC ，DB ＝DC.在△ABD 与△ACD 中⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，DB ＝DC ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD(SSS )，∴∠ABD ＝∠ACD.3．在锐角△ABC 内一点P 满足PA ＝PB ＝PC ，则点P 是△ABC(D )A ．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三边垂直平分线的交点(3分钟)线段的垂直平分线的性质和判定有时是交叉使用，线段垂直平分线的性质是证明线段相等的常用定理．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)13．1.2 线段的垂直平分线的性质(2)会画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．重、难点：会画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．一、自学指导自学1：自学课本P62－63页“思考及例2”，掌握轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的作法，完成下列填空．(7分钟)如图，△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？点拨精讲：作线段垂直平分线是根据线段垂直平分线的判定，而作对称轴是根据轴对称的性质作对称轴．总结归纳：(1)如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．(2)对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(8分钟)1．课本P64页练习题1，2，3.2．下列图形是不是轴对称图形？如果是轴对称图形的，画出对称轴的条数．解：(略)3．角、线段、直线、圆、扇形、正方形、等边三角形、直角三角形、等腰梯形和长方形中是轴对称图形的有哪些？分别有几条对称轴？解：轴对称图形有：角、线段、直线、圆、扇形、正方形、等边三角形、等腰梯形和长方形；角、扇形、等腰梯形只有1条对称轴，直线、圆有无数条对称轴，正方形有4条对称轴，等边三角形有3条对称轴，长方形、线段有2条对称轴．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)探究1 正三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴，正七边形有7条对称轴(分别画出图形的对称轴)……正n边形有n条对称轴．探究2 如图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为810076．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．课本P64－65页复习巩固题1，2，3，7，8.2．下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是(A)3．如图，把一圆形纸片对折后，然后沿虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是(B)4．画出下列图形的对称轴．(3分钟)1.作对称轴的步骤：先找出任意一对对应点，再作出对应点所连线段的垂直平分线．2．对称轴是一条直线；一个图形可能没有对称轴，也可能有很多条，不要多画，也不要漏画．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)13．1.2 线段的垂直平分线的性质第1课时线段的垂直平分线的性质与判定掌握线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．重点线段的垂直平分线的性质和判定，能灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．难点灵活运用线段的垂直平分线的性质和判定解题．一、问题导入我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．那么，线段的垂直平分线有什么性质呢？这节课我们就来研究它．二、探究新知(一)线段的垂直平分线的性质教师出示教材第61页探究，让学生测量，思考有什么发现？如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3…是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3…到点A与点B的距离，你有什么发现？学生回答，教师小结：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．性质的证明：教师讲解题意并在黑板上绘出图形：上述问题用数学语言可以这样表示：如图，设直线MN是线段AB的垂直平分线，点C是垂足，点P是直线MN上任意一点，连接PA，PB，我们要证明的是PA＝PB.教师分析证明思路：图中有两个直角三角形，△APC和△BPC，只要证明这两个三角形全等，便可证得PA＝PB.教师要求学生自己写已知，求证，自己证明．学生证明完后教师板书证明过程供学生对照．已知：MN⊥AB，垂足为点C，AC＝BC，点P是直线MN上任意一点．求证：PA＝PB.证明：在△APC和△BPC中，∵PC＝PC(公共边)，∠PCB＝∠PCA(垂直定义)，AC＝BC(已知)，∴△APC≌△BPC(SAS)．∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)．因为点P是线段的垂直平分线上一点，于是就有：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．(二)线段的垂直平分线的判定你能写出上面这个命题的逆命题吗？它是真命题吗？这个命题不是“如果…那么…”的形状，要写出它的逆命题，需分析命题的条件和结论，将原命题写成“如果…那么…”的形式，逆命题就容易写出．鼓励学生找出原命题的条件和结论．原命题的条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点与这条线段两个端点的距离相等”．此时，逆命题就很容易写出来．“如果有一个点与线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”写出逆命题后，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．请同学们自行在练习册上完成．学生给出了如下的四种证法．已知：线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.求证：P点在AB的垂直平分线上．证法一过点P作已知线段AB的垂线PC，∵PA＝PB，PC＝PC，∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．∴AC＝BC，即P点在AB的垂直平分线上．证法二取AB的中点C，过P，C作直线．∵PA＝PB，PC＝PC，AC＝CB，∴△APC≌△BPC(SSS)．∴∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，即PC⊥AB，∴P点在AB的垂直平分线上．证法三过P点作∠APB的平分线．∵PA＝PB，∠1＝∠2，PC＝PC，△APC≌△BPC(SAS)．∴AC＝BC，∠PCA＝∠PCB(全等三角形的对应边相等，对应角相等)．又∵∠PCA＋∠PCB＝180°，∴∠PCA＝∠PCB＝90°，∴P点在AB的垂直平分线上．证法四过P作线段AB的垂直平分线PC.∵AC ＝CB ，∠PCA ＝∠PCB＝90°，∴P 在AB 的垂直平分线上．四种证法由学生表述后，有学生提问：“前三个同学的证明是正确的，而第四个同学的证明我有点弄不懂．”师生共析：如图(1)，PD ⊥AB ，D 是垂足，但D 不平分AB ；如图(2)，PD 平分AB ，但PD 不垂直于AB.这说明一般情况下，“过P 作AB 的垂直平分线”是不可能实现的，所以第四个同学的证法是错误的．从同学们的推理证明过程可知线段的垂直平分线的性质的逆命题是真命题，我们把它称为线段的垂直平分线的判定．要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，那么我们必须找到两个与线段两个端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据． 例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的垂线． 已知：直线AB 和AB 外一点C.(如下图) 求作：AB 的垂线，使它经过点C.作法：(1)任意取一点K ，使点K 和点C 在AB 的两旁． (2)以点C 为圆心，CK 长为半径作弧，交AB 于点D 和点E.(3)分别以点D 和点E 为圆心，大于12DE 的长为半径作弧，两弧相交于点F.(4)作直线CF.直线CF 就是所求作的垂线．师：根据上面作法中的步骤，想一想，为什么直线CF 就是所求作的垂线？请与同伴进行交流．生：从作法的第(2)(3)步可知CD ＝CE ，DF ＝EF ，∴C ，F 都在AB 的垂直平分线上(线段的垂直平分线的判定)． ∴CF 就是线段AB 的垂直平分线(两点确定一条直线)．师：我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段的垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段的垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法找线段的中点．三、课堂练习教材第62页练习第1，2题．四、课堂小结本节课我们学习了线段的垂直平分线的性质和判定，并学会了用尺规作线段的垂直平分线．五、布置作业1．教材习题13.1第6题．2．补充题：(1)下图是某跨河大桥的斜拉索，图中PA＝PB，PO⊥AB，则必有AO＝BO，为什么？(2)如左下图，△ABC中，AC＝16 cm，DE为AB的垂直平分线，△BCE的周长为26 cm.求BC的长．(3)有A，B，C三个村庄(如右上图)，现准备建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置．本节证明了线段的中垂线的性质定理及判定定理、用尺规作线段的中垂线．在课堂中，学生证明过程、作图方法原理的理解及掌握都比较好，但要强调作业中不用三角板等工具而要用尺规来作图，解决实际问题时可以直接用定理而不是借助于全等．第2课时画对称轴会画轴对称图形的对称轴．重点轴对称图形的对称轴的画法．难点轴对称图形的对称轴的画法．一、提出问题如果两个平面图形成轴对称，你能用什么办法验证？不经过折叠，你能用什么方法画出它的对称轴？二、探究新知我们已经学过，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，所以我们只要找到两个图形的一对对应点，然后画出以对应点为端点的线段的垂直平分线即可，如何作线段的垂直平分线呢？例1 如图(1)，已知点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？分析：我们只要连接点A 和点B ，作出线段AB 的垂直平分线，就可以得到点A 和点B 的对称轴，为此作出到点A ，B 距离相等的两点，即线段AB 的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB 的垂直平分线．教师具体分析画法、写出画法，根据画法作出图形． 学生模仿教师的画法，边写画法，边画图． 作法：如图(2)．(1)分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧(想一想，为什么)，两弧相交于C ，D 两点；(2)作直线CD.CD 就是所求作的直线．这个作法实际上就是线段的垂直平分线的尺规作图． 教师引导学生思考：(1)在作法中为什么有CA ＝CB ，DA ＝DB?(2)可以用这种方法找线段的中点吗？四等分点呢？ 三、举例分析例2 如图(1)，△ABC 和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴．教学方法：启发学生把问题转化为已解决问题，只要画出点A 、点A′连线的垂直平分线即可，如图(2)．例3 图(1)是一个五角星，请画出它的对称轴．教学方法：引导学生思考五角星有几条对称轴，点A可以和哪些点成对应点？最后化归到例2，由学生自己完成．四、巩固练习教材第64页练习第1，2，3题．五、课堂小结本节课你有什么收获？还有哪些不懂的地方吗？六、布置作业教材习题13.1第7，8题．通过前两节的学习，这节画对称轴的习题课就可以全部交由学生自己完成．画轴对称图形的对称轴就是利用两个对称点找到对称轴，即画出这对对应点连线的垂直平分线，让学生用尺规作图，独立完成．13．2 画轴对称图形(1)了解轴对称变换的意义，能够按要求作出简单平面图形经过一次轴对称变换后的图形．重、难点：借助轴对称的意义，画出一个图形关于某一条直线对称的图形．一、自学指导自学：自学课本P67－68页“归纳、思考与例1”，会作已知图形关于某条直线对称的图形，能利用轴对称的一些性质设计图案，完成下列填空．(5分钟)如图，观察下面作线段AB关于直线l对称图形的过程并填空：总结归纳：几何图形都可以看作由点组成，对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(7分钟)1．课本P68页练习题1，2.2．如图，以虚线为对称轴，画出图形的另一半，并说明完成后图形可能代表什么含义．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 如图，已知△ABC，直线MN，求作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于直线MN对称．解：如图，①过点A作AD⊥MN于D，延长AD至点A′，使A′D＝AD，得点A关于直线MN的对称点A′；②同样作出点B，C关于直线MN的对称点B′，C′；③连接A′B′，B′C′，A′C′，则△A′B′C′就是所求作的三角形．点拨精讲：首先作出点A，B，C关于直线MN的对称点A′，B′，C′，使直线MN为线段AA′，BB′，CC′的垂直平分线，然后连接A′B′，B′C′，A′C′，得△A′B′C′.探究2 如图在2×2的正方形格点图中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格点图中所有与△ABC成轴对称也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有2个．学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．如图，把一个正方形纸片按以下方向对折后，沿虚线剪下，再展开，则所得的图形是(D)2．下列说法正确的是(C)A．任何一个图形都有对称轴B．两个全等三角形一定关于某直线对称C．若△ABC与△ADE成轴对称，则△ABC≌△ADED．点A，点B在直线l两旁，且AB与直线l交于点O，若AO＝BO，则点A与点B关于直线l对称3．如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A＝130°，∠B＝110°，那么∠BCD的度数等于60°．4．如图，是画出的风筝的一半，请将另一半补充完整．(3分钟)连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分是作轴对称图形的重要依据，作轴对称图形的方法：①找——在原图形上找特殊点(如线段的端点)；②作——作各个特殊点关于对称轴的对称点；③连——依次连接各对称点．(学生总结本堂课的收获与困惑)(2分钟)(10分钟)13．2 画轴对称图形(2)探索x轴、y轴对称的每对对称点的规律，利用规律作出关于x轴、y轴对称的图形．重、难点：用坐标轴表示轴对称．一、自学指导自学：自学课本P69－70页“思考、例2及归纳”，掌握x轴、y轴对称的每对对称点的规律，完成下列填空．(7分钟)1．如图，在坐标系中作出B，C两点关于x轴对称的点；总结归纳：点(x，y)关于x轴的对称点是(x，－y)；关于x轴对称的点的坐标的特点是：横坐标相等，纵坐标互为相反数．2．如图，在坐标系中作出B，C两点关于y轴对称的点．总结归纳：点(x，y)关于y轴的对称点是(－x，y)；关于y轴对称的点的坐标的特点是：纵坐标相等，横坐标互为相反数．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．(8分钟)1．课本P70－71页练习题1，2，3.2．点P(－5，6)关于x轴对称点为Q，则点Q的坐标为(－5，－6)；点P(－5，6)关于y轴对称点为M，则点M的坐标为(5，6)．3．点A(2，－3)向上平移6个单位后的点关于x轴对称的点的坐标是(2，－3)．4．点P(3，4)关于y轴对称的点的坐标是P′(a，b)，则a－b＝－7．5．若点M(a，－5)与点N(－2，b)关于x轴对称，则a＝－2，b＝5；若这两点关于y轴对称，则a＝2，b＝－5．小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1 已知点A(－3，2)，且点A与点B，点B与点C，点C与点D分别关于x轴、y 轴对称．(1)写出B，C，D的坐标；(2)问四边形ABCD是什么四边形？(3)试求四边形ABCD的面积．解：(1)点B(－3，－2)，点C(3，－2)，点D(3，2)；(2)四边形ABCD是长方形；(3)S长方形ABCD＝BC·AB＝4×6＝24.探究2 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别是(－1，5)，(－5，3)，(－3，－1)，作出△ABC关于x轴、y轴的对称图形．。
人教版八年级数学上册 第十三章 轴对称 章末复习教案
第十三章 轴对称 章末复习一、思维导图二、典型例题例1 把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是( )【知识点】轴对称图形的知识【思路点拨】本题主要考查了学生的立体思维能力即操作能力，实际动手操作（折纸或者将图③按轴对称补全），可得到正确结论.故选C . 【解题过程】按图实际动手操作，可得到正确结论. 【答案】C例2 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，△BCE 的周图3长为8cm ，且AC －BC=2cm ，求AB ，BC 的长.【知识点】线段垂直平分线的性质 【数学思想】方程思想【思路点拨】由题意知，DE 是线段AB 的垂直平分线，由其性质知BE =AE ，从而得AC +BC =8，又AC -BC =2，即得到关于AC 、BC 的方程组，则易解出. 【解题过程】∵DE ⊥AB ，D 为AB 中点，∴DE 垂直平分AB ，∴BE =AE ， ∵BC +BE +EC =8，∴BC +AE +EC =8，即BC +AC =8，又∵AC －BC =2，∴8,2,BC AC AC BC +=⎧⎨-=⎩ 解得5,3.AC BC =⎧⎨=⎩∵AB =AC ， ∴AB =5(cm )，BC =3(cm ). 【答案】AB =5(cm )，BC =3(cm ).例3 已知，点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且OB =OC . ⑴如图1，若点O 在BC 上，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，求证：AB =AC ；⑵如图2，若点O 在△ABC 的内部，求证：AB =AC ； ⑶若点O 在△ABC 的外部，AB =AC 成立吗？请画图表示.图2图1【知识点】等腰(等边)三角形的性质与判定【思路点拨】证明两条线段相等或者两个角相等，都可联想到证明两个三角形全等或等腰三角形.⑴因为AB 、AC 在同一个三角形中，所以考虑证明等腰三角形，从而去找角等，即∠B =∠C ，通过HL 得到三角形全等解决；⑵可类比⑴问求证；⑶由题意知OE =OF ，OB =OC ，所以作图时应使∠A 的平分线所在直线与边BC 的垂直平分线重合；还要分别考虑点O 在△ABC 的内部和外部.【解题过程】⑴如图1，∵OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，∴∠OEB= ∠OFC=90°，又由题意知OE=OF，OB=OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠B=∠C，∴AB=AC⑵如图3，过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分别是垂足，由题意知OE=OF，OB=OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL），∴∠OBE=∠OCF，又由OB=OC 知∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC⑶不一定成立. (注:由题意OE=OF，OB=OC，只有当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时：如图①②，有AB=AC成立;否则，AB≠AC，如图③④⑤⑥)图②图①图⑥图⑤图④三、章末检测题《轴对称》章末检测题(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(每小题4分，共48分)1. 下列图形一定是轴对称图形的是( )A.平行四边形B.正方形C..三角形D.梯形【知识点】轴对称图形定义【思路点拨】所学的平面几何图形中，常见的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等边三角形、长方形、正方形、菱形、等腰梯形、圆等.【解题过程】选项A平行四边形不一定是轴对称图形;选项B正方形一定是轴对称图形，并且是四条对称轴;选项C三角形不一定是轴对称图形;选项D梯形不一定是轴对称图形.【答案】B2.已知A、B两点的坐标分别是(-2，3)和(2，3)，则下面四个结论：①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④A、B之间的距离为4，其中正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【知识点】用坐标表示轴对称【数学思想】数形结合【思路点拨】由平面直角坐标系中点坐标的对称规律或直接在平面直角坐标系标出点观察即可.【解题过程】由平面直角坐标系中点坐标的对称规律可得，点A关于x轴对称坐标的是(-2，-3); 点A关于y轴对称的坐标是(2，3); 点A关于原点对称的坐标是(2，-3)；因为A、B有相同的纵坐标，所以AB∥x轴，A、B之间的距离为｜x A-x B｜=4.【答案】B3.若等腰三角形的顶角为40°，则它的底角为（）A.40°B.50°C.60°D.70°【知识点】等腰三角形的性质【思路点拨】因为等腰三角形的中，顶角+2倍底角=180°，所以只要知道顶角或者底角一个值，可以求出其余两个值.【解题过程】∵等腰三角形的顶角为40°，∴它的底角=（180°－顶角）÷2=（180°－40°）÷2=70°【答案】D4.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为( )A.68°B.32°C.22°D.16°【知识点】平行线的性质、等腰三角形的性质【思路点拨】在等腰三角形中“知一角可求其余两角”，可求出∠C得度数；再用“两直线平行，内错角相等”得出∠B=∠C.【解题过程】∵CD=CE，∴∠D=∠CED=74°，∴∠C=180°-74°×2=180°-148°=32°，又∵AB∥CD，∴∠B=∠C=32°【答案】B5.等腰三角形ABC在直角坐标系中，底边的两端点坐标是(-2，0)，(6，0)，则其顶角顶点的坐标，能确定的是()A.横坐标B. 横坐标及纵坐标C.纵坐标D. 横坐标或纵坐标【知识点】用坐标表示轴对称、等腰三角形的性质【数学思想】数形结合【思路点拨】因为等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线，所以其顶角顶点在底边的垂直平分线上，此垂直平分线上所有点的横坐标都是2. 所以等腰三角形ABC的顶角顶点的横坐标为x=2，纵坐标取y≠0的任意值.【解题过程】由题意得等腰三角形ABC的顶角顶点的横坐标为坐标取y≠0的任意值.【答案】A6.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，则这个等腰三角形的顶角为()A. 30°B. 150°C. 30°或150°D.60°【知识点】等腰三角形的性质【数学思想】分类讨论【思路点拨】由“腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°”可想到此等腰三角形为锐角等腰三角形或者为钝角等腰三角形，画出图形即可求解.【解题过程】①当等腰三角形为锐角等腰三角形，如图1，由题可知在Rt△ADC 中，∠ADC=90°，∠ACD=60°，∴Rt△ADC中∠A=30°.②当等腰三角形为钝角等腰三角形，如图2，由题可知在Rt△AEC中，∠AEC=90°，∠ACE=60°，∴Rt△AEC中∠EAC=30°，∴∠BAC=180°-30°=150°.【答案】C7.等腰三角形底边长6cm ，一腰上的中线把它的周长分成两部分的差为2cm ，则腰长为( )A.4cmB. 8cmC. 4cm 或8cmD. 以上都不对【知识点】等腰三角形的性质、中线的性质 【数学思想】分类讨论，数形结合，方程思想【思路点拨】要考虑“腰比底长” 和“腰比底短”两种情况；由题意结合图形它的周长分成两部分的差为2cm ”实质为“腰－底=2”或者“底－腰=2”. 【解题过程】设腰长为xcm ，根据题意得：x -6=2或6-x =2，解得：x =8或x =4，∴腰长为：4cm 或8cm ． 【答案】C8.下列说法中正确的是( ) A.关于某直线对称的两个三角形是全等的 B.全等三角形是关于某直线对称的C.两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧D.若点A 、B 关于直线MN 对称，则线段AB 垂直平分MN 【知识点】轴对称的知识【思路点拨】根据轴对称的性质可以判断【解题过程】因为关于某直线对称的两个图形既要满足特殊的位置关系还要满足大小关系，所以关于某直线对称的两个三角形是全等的，但两个全等的三角形不一定关于某直线对称，故A 对B 错；两个图形关于某直线对称，它们可以与对称轴有交点，所以这两个图形不一定分别位于这条直线的两侧，C 错；D 应为若点A 、B 关于直线MN 对称，则MN 垂直平分线段AB .【答案】A9.如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D.若ED=4，则CE的长为()A.10B.8C.5D.2.5【知识点】含30°角的直角三角形的性质【思路点拨】由垂直平分线易证△EBC为等腰三角形，再由“含30°角的直角三角形的性质”即可求.【解题过程】由题意知，DE是线段BC的垂直平分线，由其性质知EB=EC，∴∠ECD=∠B=30°，∴在【答案】B10.如图是一个风筝的图案，它是以直线AF为对称轴的轴对称图形，下列结论不一定成立的是()A. △ABD≌△ACDB. AF垂直平分EGC. 直线BG，CE的交点在AF上D. △DEG是等边三角形【知识点】轴对称的知识【思路点拨】根据轴对称的性质可以判断【解题过程】由轴对称的性质可得选项A、B、C正确，△DEG是等腰三角形，不一定是等边三角形.【答案】D11.如图所示，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，则∠B的度数为()A.60°B.40°C.80°D.100°【知识点】轴对称的知识、三角形内角和定理【思路点拨】利用轴对称的知识将两个已知的角度转化到一个三角形中.【解题过程】∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴△ABC≌△A′B′C′，∴∠A′=∠A=60°，∠C′=∠C=40°，∠B′=180°-∠A′-∠C′=80°，∴∠B=∠B′=80°【答案】C12.已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，点P1和点P关于OA对称，点P2和点P关于OB对称，则P1、O、P2三点构成的三角形是()A.直角三角形B.钝角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【知识点】轴对称的知识，等边三角形的判定【思路点拨】如图，根据轴对称的性质可求得∠P1OP2=2∠AOB=60°，OP1 = OP =O P2，所以△P1OP2为等边三角形.【解题过程】如图，∵点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，连接P1P2交OA于点M，交OB于点N，∠AOB=∠2+∠3. 又根据轴对称的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，OP1 = OP =O P2，∴∠P1OP2=∠1+∠2+∠3+∠4=2∠AOB=2×30°=60°. ∴△P1OP2为等边三角形2【答案】D二、填空题(每小题4分，共24分)13.已知点P(3，-1)关于y轴的对称点Q的坐标为(a+b，1-b)，则a b的值为.【知识点】用坐标表示轴对称【数学思想】方程思想【思路点拨】关于y 轴对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标不变.【解题过程】由题意得 ∴∴a b =(-5)2=25.【答案】2514.如图所示，四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，BC 上，将△BMN 沿MN 翻折，得△FMN ，若MF ∥AD ，FN ∥DC ，则∠B = .【知识点】轴对称的知识、三角形内角和定理（或四边形内角和360°） 【思路点拨】 将已知角度和未知角度转化到一个三角形中（或一个四边形中）. 【解题过程】∵MF ∥AD ，∴∠BMF =∠A =100°，∵FN ∥DC ，∴∠BNF =∠C =70°， 由翻折可得，△BMN ≌△FMN ，∠BMN =21×100°=50°，∠BNM =21×70°=35°， ∴∠B =180°-50°-35°=95°（在四边形BNFM 中，∠BMF =100°，∠BNF =70°， ∠F =∠B ）【答案】∠B =95°15.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，如果MB +CN =6，那么线段MN 的长为 .【知识点】等腰三角形的判定、角平分线的定义【思路点拨】∠ABC 和∠ACB 的由角平分线和MN ∥BC 可得出∠EBC=∠MEB ，∠NEC=∠ECB ，即△BME 和△CNE 为等腰三角形，MN=ME+EN=BM+CN . 【解题过程】∵∠ABC 、∠ACB 的平分线相交于点E ，∴∠MBE=∠EBC ，∠ECN=∠ECB . ∵MN ∥BC ，∴∠EBC=∠MEB ，∠NEC=∠ECB ，∴BM=ME ，EN=CN. 又∵MN=ME+EN ，∴MN=BM+CN ．∵BM+CN=6 ∴MN=6，【答案】616.如图，在Rt△ABC中，D、E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE=.【知识点】等腰三角形的性质、三角形内角和定理【数学思想】方程思想【思路点拨】△CDE中∠CDE+∠CED+∠DCE=180°，而利用等腰三角形的“等边对等角”将其转化为∠ACB+2∠DCE=180°是本题解决的关键.【解题过程】∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD，∵AC=AE，∴∠ACE=∠AEC.又∵∠CDE+∠CED=∠BCD+∠ACE=∠ACB+∠DCE. ∴在△CDE中，∠CDE+ ∠CED+∠DCE=90°+2∠DCE=180°，∴∠DCE=45°.【答案】45°17.如图，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的中垂线，△BCE的周长为13，BC=6，则AB的长为.【知识点】线段垂直平分线的性质【数学思想】方程思想【思路点拨】由题意知，DE是线段AB的垂直平分线，由其性质知AE = BE，从而得AC+BC=13，又BC=6，即得到关于AC的方程，则易解出.【解题过程】∵DE⊥AB，D为AB中点，∴DE垂直平分AB，∴BE=AE，∵BC+BE+EC=13，∴BC+AE+EC=13，即BC+AC=13. 又∵BC=6，∴6+AC=13，∴AC=7【答案】718.如图，A（2，-1）为平面直角坐标系内一点，O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P 共有个.x【知识点】等腰三角形的知识【数学思想】数形结合、分类讨论【思路点拨】“以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形”应考虑分为三类：①当∠O为顶角，OP=OA；②当∠A为顶角，AO=AP；③当∠P为顶角，PO=P A. 【解题过程】如图①当∠O为顶角，OA=OP时：以O为圆心，OA长为半径作圆，交x轴于点P1，P2；②当∠A为顶角，AO=AP时：以A为圆心，AO长为半径作圆，交x轴于点P3；③当∠P为顶角，PO=P A时：作线段OA的垂直平分线，交x轴于点P4.x【答案】4三、解答题(每小题7分，共14分)19. 如图，是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形（至少画出两种）．【知识点】轴对称图形的定义【思路点拨】题目要求在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形，所以关键是观察此图中已有的“轴对称部分”就要着重画图中余下那一个（或那两个）小正方形的轴对称图形．【解题过程】有多种画法，答案不唯一，根据轴对称图形的定义，有多种画法，题目要求在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形.【答案】参考图如下图：20.已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E、F分别是AB、AC的延长线上的点，且BE=CF.求证：DE=DF.【知识点】等腰三角形的性质、全的三角形的判定【思路点拨】因为DE、DF在两个不同的三角形中，要证明“DE=DF”只需证明△ADE≌△ADF即可.【解题过程】∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠DAE=∠DAF. 又∵BE=CF，∴AB+BE=AC+CF，∴AE=AF. ∵在△ADE和△ADF中，AE= AF，∠EAD=∠F AD，AD=AD，∴△ADE≌△ADF(SAS) ，∴DE=DF.四、解答题(每小题10分，共40分)21.如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE.【知识点】等腰三角形的性质【思路点拨】作底边上的高，是等腰三角形的常用辅助线.【解题过程】方法一：过点A作AF⊥BC，垂足为F∵ AB =AC ，AD =AE ，∴ DF =EF ，BF =CF ∴ BF -DF =CF -EF 即 BD =CE方法二：不添加辅助线，利用等腰三角形的性质和三角形的外角定理得到角等，再证明△ABD ≌△ACE (略).22.如图，在△ABC 中，AB =AC ，E 在AC 上，D 在BA 延长线上，且AD =AE ，连接DE . 求证：DE ⊥BC.【知识点】等腰三角形的性质【思路点拨】需求证“DE ⊥BC ”，但DE 与BC 不相交，所以易想到 延长DE 交BC 于F ，从而转化为求∠DFB =90°或∠DFC =90°.【解题过程】延长DE 交BC 于F ，∵AD =AE ，∴∠D =∠AED ，∴∠BAC =∠D +∠AED =2∠D . ∵AB =AC ， ∴∠B =∠C ，∵∠B +∠C +∠BAC =180°， ∴2(∠B +∠D )=180°. ∴∠B +∠D =90°，∴∠DFB=90°， ∴DE ⊥BC .23.如图，△ABC 为等边三角形，P 为BC 上一点，△APQ 为等边三角形.(1)求证：AB ∥CQ ；(2)是否存在点P ，使得AQ ⊥CQ ？若存在，指出点P 的位置；若不存在，请说明理由.【知识点】等边三角形的性质、平行线的判定、全等三角形的判定【思路点拨】(1)△ACQ可以看做由△ABP绕点A旋转得到，从而易得到三角形全，继而得到角的相等，再证得线平行；(2) 特殊三角形中的“动点问题”，常常从特殊点、特殊位置去探索.【解题过程】(1)∵△ABC、△APQ均为等边三角形，∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠P AQ=60°，∴∠BAP=∠CAQ，∴△ABP≌△ACQ（SAS），∴∠B=∠ACQ =60°，∴∠ACQ=∠BAC，∴AB∥CQ.(2)存在，当点P为BC的中点时，AQ⊥CQ. 理由如下：∵点P为BC的中点，∴∠CAP=30°.又△APQ为等边三角形，∴∠CAQ=30°. 由(1)知∠ACQ=60°，∴∠AQC=90°，即AQ⊥CQ24.如图，在△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上的一点，∠ADB=60°，E是AD上的一点，且DE=DB.求证：AE=BE+BC【知识点】等腰（等边）三角形的性质和判定、三角形全等的判定【思路点拨】证明“线段和差”的几何命题，常常采用“截长补短”的方法【解题过程】法一:如图1，延长DC到F，使CF=BD，连接AF.∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACF，∵BD=CF，∴△ABD≌△ACF，∴∠F=∠D=60°，AD=AF，∴△ADF是等边三角形，∴AD=DF，∵DE=DB，∴△DBE是等边三角形，∴DE=DB=BE，∴AE=BF，∵BF=BC+CF=BC+BE，∴AE=BE+BC.法二：如图2，延长EB 到P ，使BP =BC ，连接AP 、CP .∵∠ADB =60°，DE =DB ，∴△DBE 为等边三角形，∴∠PBC =∠EBD =60°，又BP =BC ，∴△BPC 为等边三角形，∴PB =PC ，又AB =AC ，AP =AP ，∴△ABP ≌△ACP ，∴∠BP A =∠CP A =21∠BPC =30°，∴∠EAP =∠DEB -∠BP A =60°-30°=30°， ∴∠BP A =∠EAP ， ∴AE =PE =BE +BP =BE +BC .法三：如图3，作AH ⊥BC 于H ，则易得∠DAH =30°，则有AD =2DH ，AE +DE =2DB +2BH ，易知△DBE 是等边三角形，故DB =DE =BE ，而AB =AC ，故2BH =BC ，∴AE =DB +BC =BE +BC.图3图2图1五、解答题(每小题12分，共24分)25.如图所示，∠ABC =90°，AB =BC ，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，CD ⊥AE 交AE 的延长线于D . 求证:CD =21AE .【知识点】等腰三角形的性质、角平分线的性质【思路点拨】由“AE 平分∠BAC 交BC 于E ，CD ⊥AE ”易联想到等腰三角形的“三线合一”，故延长AB 交CD 的延长线于F ，即可证明.【解题过程】方法一：如图，延长AB 交CD 的延长线于F .∵∠ABC =90°，∴∠ABE =∠CBF =90°，又∵CD ⊥AE ，∴∠BCF +∠F =90°，∠BAE +∠F =90°， ∴∠BCF =∠BAE ，又∵AB =BC ，∴△ABE ≌△CBF ，∴AE =CF ，又∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAD =∠F AD ，又∵AD ⊥CF ，∴∠ACD+∠CAD =∠AFD +∠F AD =90°，∴∠ACD =∠AFD ，∴AC =AF ，∴CD =DF ，∴CD =21CF ，∴CD =21AE . 方法二：同方法一，先证明△ABE ≌△CBF ，得AE =CF . 又∵AE 平分∠BAC ，∴∠CAD =∠F AD ，又∵AD =AD ，∠ADC =∠ADF =90°，∴△ADC ≌△ADF ，∴CD =DF ，∴CD =21CF ，∴CD =21AE .26.如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB =110°，∠BOC =α . 将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD .⑴求证：△COD 是等边三角形；⑵当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由； ⑶探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？【知识点】等腰（等边）三角形的性质和判定、三角形内角和定理【数学思想】分类讨论、方程思想【思路点拨】 ⑴等边三角形的判定方法；⑵判断“三角形的形状”，主要类型有：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形；⑶△AOD 是等腰三角形应分类考虑：①AO =AD ；②OA =OD ；③OD =AD .【解题过程】⑴证明：∵△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ∴CO=CD ，∠OCD =60°， ∴△COD 是等边三角形⑵解：当α=150°，即∠BOC=150°时，△AOD是直角三角形. 理由如下：∵由题意得△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°∴∠ADO=90°，即△AOD是直角三角形(3)解：∵∠AOB=110°，∠BOC=α，∴∠AOC=360°－110°－α=250°－α又∵△COD是等边三角形，∴∠ COD=∠ODC =60°，∴∠AOD=250°－α－60° =190°-α，∠ADO=α-60°①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO.∵∠AOD=190°-α，∠ADO=α-60°，∴190°-α=α-60°，∴α=125°②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO.∵∠OAD=180°-(∠AOD+∠ADO)=50°，∴α-60°=50°，∴α=110°.③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，∴190°-α=50°，∴α=140°.综上所述:当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形.。
2024年13.1.1轴对称教案
2024年13.1.1轴对称教案一、教学内容本节课选自教材第十三章第一节，主题为“轴对称”。
详细内容包括：理解轴对称的概念，掌握轴对称的性质，学会识别和绘制轴对称图形，以及解决与轴对称相关的实际问题。
二、教学目标1. 知识与技能：使学生理解轴对称的定义，掌握轴对称的性质，能够识别和绘制轴对称图形。
2. 过程与方法：通过观察、分析、实践等环节，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对轴对称美的感受，提高审美情趣，增强对数学学科的兴趣。
三、教学难点与重点教学难点：轴对称性质的灵活运用。
教学重点：轴对称的定义、性质和识别。
四、教具与学具准备教具：多媒体教学设备、三角板、圆规。
学具：直尺、圆规、剪刀、彩纸。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示一组轴对称图形，如剪纸、建筑等，引导学生观察并思考这些图形的共同特点。
2. 例题讲解（1）讲解轴对称的定义和性质。
（2）通过示例，展示如何识别轴对称图形。
（3）讲解如何绘制轴对称图形。
3. 随堂练习（1）让学生在纸上画出几个轴对称图形，并指出对称轴。
（2）给出几个非轴对称图形，让学生判断并说明理由。
4. 小组讨论（1）轴对称在实际生活中的应用。
（2）如何利用轴对称性质解决实际问题。
5. 课堂小结六、板书设计1. 13.1.1 轴对称2. 定义：轴对称的概念及性质3. 示例：轴对称图形的识别和绘制4. 练习：随堂练习题目及解答七、作业设计1. 作业题目（1）找出生活中的轴对称图形，并说明对称轴。
（2）在平面直角坐标系中，给出点A（2，3），求点A关于直线y=2x+1的对称点B的坐标。
2. 答案（1）答案不唯一，如：窗户、门等。
（2）B点坐标为（1，1）。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生掌握了轴对称的定义、性质和识别方法，但在解决实际问题时，还需加强练习。
2. 拓展延伸：（1）研究轴对称在建筑、艺术等领域的应用。
（2）探索轴对称与其他几何变换（如平移、旋转）的关系。
八年级数学上册 13章总复习 教案
第十三章轴对称复习【教材分析】
【教学流程】
3．如图，△ABC中，AB=5，AC=4
AC的垂直平分线交BC于点D，则△
是( )
A．15 B．9 C．10 D、
4、（2015苏州）如图，在△ABC中，
为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为
A．35°B．45°C．55 °D．
例1.如图，△ABC中，AB=AC，E为BC中点，BD AC，垂足为D，∠EAD=20°。
求：∠ABD的度数。
例2、已知，如图：△ABC中AB=AC E为AC 延长线上的一点且CE=BD DE交BC于F
做DG ∥CE交BC于
∠3=∠E
∴∠1=∠B
与点P’(8,b+2).
轴对称，则a=_____ b=_______.
轴对称，则a=_____ b=_______.
是AC的垂直平分线，AC=5
13厘米，则△ABC的周长
2题图 3题图
3、如图：点B、C、D、E、F在∠MAN的边上，
A=15°，AB=BC=CD＝DE=EF，则∠ MEF 。
4．（2015聊城）在如图所示的直角坐标系
中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC
、已知：如图所示，等边三角形ABC中，
BC延长线上一点，CE=CD，
是BE的中点.
（2）连结C′D，由对称性得CD＝CD′，∠CDA ＝∠CDA＝60°；所以∠。
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课题：第十三章轴对称复习课教案
教学目标：
1.通过题组训练，深化对轴对称性质的理解；
2.经历典例的思考与反思的过程，体会研究轴对称图形的思想方法，提升解题的应变能力，逐步形成用轴对称的视角识别图形与构造图形的基本解题策略．
重点、难点：
重点：逐步形成用轴对称的视角识别图形与构造图形的基本解题意识．.
难点：掌握用轴对称的眼光识别图形与构造图形的基本策略.
教学方法：讲授式，启发式和探究式的综合教学方法
教具准备：多媒体、课件、三角板
教学环节教师活动学生活动设计意图
一、
小题夯基础7~10分钟出示练习题，并指导学生完成相关知识的回
顾：
1.如图，六边形ABCDEF是轴对称图形，
CF所在的直线是它的对称轴，若∠AFC+
∠BCF=150°，则∠AFE+∠BCD的大小是
（）．
A.150°B．300°
C．210°D．330°．
师提问：本题你用到了轴对称图形的什么知
识？
2.已知，图1是轴对称图形，AF所在的直
线为对称轴，连接CD，BE，求证：CD=BE
小归纳：这两道小题的共同的特点是什么？
学生：快速
在学案纸
上完成练
习
学生：做题
并用手势
展示答案
完成解题
后的反思，
进行相关
知识的回
顾
两小题的
共性为“已
知轴对称
通过小题带动学
生对知识的复
习，使复习更具
靶向性．
检测题是对本节
课所必需的预备
性的、基础性的
和相关性的知识
与技能的检
验．作用在于判
断具体学情，以
便抓缺漏，及时
补．使全体学生
都进入新的最佳
准备状态．
采用“手势展示
．．．．
答案
．．”的方式，
关注学生课堂学
习的参与度和学
习效果，体现全．
员性
．．.
2小题在1题选
择题的基础上变
成证明题，直接
用轴对称图形性
C
F
E
D
B
A
C
A
B
D
F
E
图1
归纳提升
指导复习
二、
小题悟方法
7分钟
轴
对
称
图
形
全等
线段等
角等
数量
关系
2．在2题中连接DB，CE，它们与AF的
位置关系是什么？请说明理由
轴
对
称
图
形
全等
线段等
角等
数量
关系
垂直
平行
位置
关系
几
何
图
形
先判断
第二组题
1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC
边上的高，点E、F是AD的任意两点，
若△ABC的面积为12cm2，则图中阴影
部分的面积是___________ cm2
解题后反思：
本题求面积和的方法是什么？
2．如图，已知方格纸中是4个相同的正方
形，则∠1+∠2 =____________
解题后反思：
本题两角和的方法是什么？
师生共析：
1本小题的共性是已知虽然没有说轴对称图
形，但依据所给条件及图形特征可以判断是
轴对称图形，然后利用对称性“一移二拼”
化零为整
2．见题三问
提炼解题策略：
拿到一道题时，先问自己三个问题
1.此图是轴对称图形吗？
图形，利用
性质解题”
学生完成
解题后，进
行相关知
识的回顾
学生：在学
案纸上独
立思考完
成题目的
解答
学生交流
解题思路，
可能一题
多解
学生加深
认识：
利用对称
性解题可
以事半功
倍，所以今
后解题时
见到图形
必须先判
．．
断．其对称
性，充分利
用对称性
质解题
培养学生建立
“进行知识整
合”的意识
第二组题目——
没有告诉是轴对
称图形，但识别
出了两个基本的
轴对称图形，等
腰三角形，角；
并利用性质解题
学生初步感受
“解题时见到图
形应关注
．．其轴对
称性的重要
．．
整体思想是初中
教学的难点，本
组通过小题学方
法为今后学习搭
台阶，自然的突
破难点．.
1
2
．
三、
典例学经验20分钟
例题1
用轴对称思考，增加解题的靶向性
四、
小结
3分钟2．它的对称轴是谁？
3．此题能否运用对称性解题？
例1．如图，已知D为等边三角形ABC内
一点，且DB=DA,BP=AB,∠DBP=∠DBC,
求∠BPD的度数
4分钟后，此题没有思路的学生请按照下面
的提示思考：
（1）如图，已知D为等边三角形ABC内
一点，且∠DBP=∠DBC, ,BP=AB,DB=DA
①寻找轴对称图形
．．．．．．．，②求∠BPD的度数
7分钟后，找到轴对称图形也没能找到解题
思路的学生继续按下面的提示思考：
（2）如图，已知D为等边三角形ABC内
一点，且∠DBP=∠DBC ，BP=AB,DB=DA,
①寻找轴对称图形，②画出对称轴，③
．．．．．．．求∠
BPD的度数
10分钟后，找到轴对称图形也没能找到解
题思路的学生继续按下面的提示思考：
（3）如图，已知D为等边三角形ABC内
一点，且∠DBP=∠DBC, BP=AB,DB=DA,
①寻找轴对称图形，②画出对称轴，③
．．．．．．．每个
轴对称图形能帮你实现什么？④求∠BPD
的度数
2. 利用拆分图的方式讲解，并用几何画板
强调：当点D位置发生变化，但只要满足
的条件不变，∠P的度数就不变，因为这个
图中的轴对称性不变
学生：独立
思考完成
题目的解
答
学生在黑
板板演过
程
学生：体会
用轴对称
思考，用全
等表达
引导学生较复杂
图进行拆图，提
炼基本图．
采用分层教学
4、7、10分钟后，
此题没有思路的
学生按照分层提
示思考此题
P
A
B C
D
五、作业师：现在，大家回顾一下本节课的学习过程，
想一想，
本节课都有哪些收获？
你认为本节课的重点是什么？
你还有哪些疑点？
引导学生分组交流课堂心得，或整理笔记
我的收获：
课上检测题及课后作业
1．（贵阳中考）如图，正方形ABCD的边
长为4cm，则图中阴影部分的面积为
cm2．
2．如图：△ABC中，∠BAC＝54°，∠BAC
的角平分线交BC于D，若AB-AC=CD，
则∠ABC的度数为________
C
D
B
A
3.如图，在△ABC中，∠BAC=54°，∠BAC
的
外角平分线交直线BC于D，若
AB+AC=BD，
求∠ABC的度数。
学生归纳
总结本节
课所学内
容：
本节课我
有哪些收
获？
我认为本
节课的重
点是什
么？
我还有哪
些疑点？
学生完成
检测
学生两人
一组互换
互判
提出疑点
学生及时归纳总
结,培养良好的
学习习惯．
理清知识脉络和
使用方法；强化
所学知识和技能
技巧．
通过检测与作
业，内化知识，
检验学生掌握知
识的情况，发现
和弥补教与学中
遗漏与不足．
A
B C
D
E
D C B A
A
B
C
D
4. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE•⊥AB 于E ，若△DEB 的周长为10cm ，则AB 的长为 cm .
5.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，DE 是AB 的垂直平分线，
垂足是点D ，交BC 于E .
若△EAC 的周长为
24cm ,AC=14cm ，则AB 的长为 cm .
6.如图，∠AOB=50°, OC 是∠AOB 的平分线，AC ⊥AO ，BC ⊥BO ，则∠BAC 的度数为 .
7. 如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．
O
D
E
A B
C
C A O B
附：板书设计
板书设计
用轴对称的视角识别图形
屏幕
板演例1的分析过
程及详细表达
轴对称图形 判断 已知
隐含
全等。