米勒模型
米勒模型
米勒模型1、 米勒模型表达式的证明：符号说明：息前税前收益 EBIT债务 B债务成本 r B利息 r B B公司税 T C股利的个人所得税 T S利息的个人所得税 T B无杠杆公司价值 V U证明：在存在个人所得税和公司所得税的情况下，根据企业的息前税前收益，可以有： 股东收益为： ()()()S C B T T B r EBIT −×−×−11债权人收益为：()B B T B r −×1从而，所有股东的总现金流量为：()()()S C B T T B r EBIT −×−×−11+()B B T r −×1上式可改写为：()()()()()BS C B B S C T T T T B r T T EBIT −−×−−×−×+−×−×1111111 上式的第一项是无杠杆公司在所得税后的现金流量，它一定等于无杠杆公司的价值V U ；而购买债券的个人在支付税后获得：()B B T B r −×1 。
因此，上式的第二项一定等于： ()()BS T C T T B −−−−××1111 因此，杠杆公司的价值必为：()()BS C U T T T B V −−×−−×+1111 从而证明了米勒模型。
2、 米勒模型进一步证明了MM 理论 （1）MM 理论的结论：在没有税收的情况下，MM 命题1证明资本结构不能影响企业价值，其结论的关键在于假设个人能以与公司相同的利率借贷；命题2说明权益的期望收益率与企业的财务杠杆相关。
这些结论与现实世界有很大差距，因为MM 理论认为资本结构无关紧要，而实际中，它非常重要；当加入公司税之后，企业价值显得与财务杠杆正相关，暗示着企业应当采用全部由债务组成的资本结构，但经过附加其他实际因素比如个人税，对本结论修正后发现，企业应当选择适度的债务水平。
米勒模型
税收追随者效应：静态资产组合论点
主要考虑在给定企业财务杠杆的情况下投资 者的资产组合问题，中心议题是：投资者的 税收处境与企业的负债水平决定或至少影响 到投资者对企业普通股的投资数量。
税收追随者效应：动态杠杆论点
这种观点假定企业的所有权为给定条件， 然后集中研究投资者的税负处境是如何影 响到投资者对企业改变负债水平的决定。
[1
(1Tc )(1Tps )] B (1 Tpb )
米勒市场均衡模型：情形1
VL
VU
[1
(1Tc )(1Tps )] B (1 Tpb )
如果Tc=Tps=Tpb=0，即不考虑公司所得税和 个人所得税，则该模型与MM无税模型相同；
VL VU
米勒市场均衡模型：情形2
历史意义与税差学派的犹疑不定相反米勒的观点明确肯定米勒没有过多地卷入税差学派在企业所得税个人所得税和资本利得税之间差异的瓜葛而是遵循一般米勒没有过多地卷入税差学派在企业所得税个人所得税和资本利得税之间差异的瓜葛而是遵循一般市场均衡理论从投资者之间在边际税率上的差别这个角度为学术界在资本结构理论方面的研究开辟了一片新的天地转变了关于资本结构理论的争议贝南市场均衡理论从投资者之间在边际税率上的差别这个角度为学术界在资本结构理论方面的研究开辟了一片新的天地转变了关于资本结构理论的争议贝南1995
CFL=股东的净现金流量+债权人的净现金流量 =(EBIT-I)(1-Tc)(1-Tps)+I(1-Tpb) =EBIT(1-Tc)(1-Tps)- I(1-Tc)(1-Tps)+ I(1-Tpb)
=无负债企业净现金流量+债务融资净现金流量
修正mm定理和米勒模型的含义
修正mm定理和米勒模型的含义修正mm定理和米勒模型是金融领域中两个重要的概念，它们在投资、风险管理和资本市场等方面起着不可忽视的作用。
修正mm定理是指在一定的条件下，市场是有效的，投资者可以通过构建多元化的投资组合来实现风险和收益的最优平衡。
而米勒模型则是描述了市场上的投资者会根据同样的信息和理性预期来做出投资决策的假设。
本文旨在探讨修正mm定理和米勒模型的含义，分析它们在实际应用中的意义和局限性，并提出一些未来研究的方向。
修正mm定理是现代金融理论中的基石之一，它认为市场是有效的，即市场价格能够充分反映资产的价值。
在市场有效的假设下，所有投资者都会做出理性的决策，市场价格会在市场供求的作用下自发达到均衡。
修正mm定理在投资组合理论中扮演着重要的角色，指导着投资者如何选择投资组合以达到最优的风险和收益平衡。
通过构建多元化的投资组合，投资者可以降低个别资产的特定风险，实现整体投资组合风险的最优分配。
米勒模型则是对投资者行为的一种理性假设，认为投资者在做出决策时会考虑市场上的所有信息，并根据这些信息做出理性的投资选择。
米勒模型假设市场上的投资者是理性的、信息完全的，并且在投资组合选择上具有相同的预期。
根据米勒模型，市场上的资产价格反映了所有投资者的理性预期，因此市场价格具有高度的有效性。
米勒模型在解释市场价格形成和波动等方面提供了一种简单而有力的理论框架。
然而，修正mm定理和米勒模型在实际应用中也存在一些局限性。
首先，修正mm定理基于市场有效性的假设，但实际市场并不总是完全有效的，存在着信息不对称、交易成本高昂等问题。
这些因素可能导致市场价格出现偏离，使投资者无法获得预期的收益。
其次，米勒模型假设所有投资者具有相同的理性预期，忽略了市场上的异质性和非理性行为。
实际市场中存在大量的非理性行为，如情绪交易、投机行为等，这些行为可能影响市场价格的形成和波动。
针对修正mm定理和米勒模型的以上局限性，需要进一步研究和探讨。
MM模型(Modigliani-Miller-Models-米勒一莫迪利安尼模型
MM模型MM模型(Modigliani Miller Models,米勒一莫迪利安尼模型，公司资本结构与市场价值不相干理论)MM模型的含义MM理论是莫迪格利安尼（Modigliani）和默顿·米勒（Miller）所建立的公司资本结构与市场价值不相干模型的简称。
美国经济学家莫迪格利安尼和米勒于1958年发表的《资本成本、公司财务和投资管理》一书中，提出了最初的MM理论，这时的MM理论不考虑所得税的影响，得出的结论为企业的总价值不受资本结构的影响。
此后，又对该理论做出了修正，加入了所得税的因素，由此而得出的结论为：企业的资本结构影响企业的总价值，负债经营将为公司带来税收节约效应。
该理论为研究资本结构问题提供了一个有用的起点和分析框架。
MM模型的两种类型“MM”理论主要有两种类型：无公司税时的MM模型和有公司税时的MM模型。
1）无公司税时MM理论指出，一个公司所有证券持有者的总风险不会因为资本结构的改变而发生变动。
因此，无论公司的融资组合如何，公司的总价值必然相同。
资本市场套利行为的存在，是该假设重要的支持。
套利行为避免了完全替代物在同一市场上会出现不同的售价。
在这里，完全替代物是指两个或两个以上具有相同风险而只有资本结构不同的公司。
MM理论主张，这类公司的总价值应该相等。
可以用公式来定义在无公司税时的公司价值。
把公司的营业净利按一个合适的资本化比率转化为资本就可以确定公司的价值。
公式为：VL=Vu=EBIT/K=EBIT/Ku式中，VL为有杠杆公司的价值，Vu为无杠杆公司的价值；K= Ku为合适的资本化比率，即贴现率；EBIT 为息税前净利。
根据无公司税的MM理论，公司价值与公司资本结构无关。
也就是说，不论公司是否有负债，公司的加权平均资金成本是不变的。
2) 有公司税时MM理论认为，存在公司税时，举债的优点是负债利息支付可以用于抵税，因此财务杠杆降低了公司税后的加权平均资金成本。
避税收益的现值可以用下面的公式表示：避税收益的现值=tc*r*B/r=tc*B式中：tc为公司税率；r为债务利率；B为债务的市场价值。
米勒奥尔模型
米勒奥尔模型默顿·米勒和丹尼尔·奥尔(Daniel Orr)在1996年创建了一种能在现金流入量和现金流出量每日随机波动情况下确定目标现金余额的模型。
又称最佳现金余额模型。
在米勒-奥尔模型中，既引入了现金流入量也引入了现金流出量。
模型假设日净现金流量（现金流入量减去现金流出量）服从正态分布。
每日的净现金流量可以等于其期望值，也可以高于或低于其期望值。
我们假设净现金流量的期望值为零。
下图说明了米勒-奥尔模型的基本原理。
该模型是建立在对控制上限（H）、控制下限（L）以及目标现金余额（Z）这三者进行分析的基础之上的。
企业的现金余额在上、下限间随机波动，在现金余额处于H和L之间时，不会发生现金交易。
当现金余额升至H时，比如说点X，则企业购入H—Z单位（美元）的有价证券，使现金余额降至Z。
同样地，当现金余额降至L，如点Y（下限），企业就需售出Z—L单位有价证券，使现金余额回升至Z。
这两种情况都是使现金余额回到Z。
其中，下限L的设置是根据企业对现金短缺风险的愿意承受程度而确定的。
与鲍摩尔模型相同的是，米勒-奥尔模型也依赖于交易成本和机会成本，且每次转换有价证券的交易成本被认为是固定的，而每期持有现金的百分比机会成本则是有价证券的日利率。
与鲍摩尔模型不同的是，米勒-奥尔模型每期的交易次数是一个随机变量，且根据每期现金流入与流出量的不同而发生变化。
因此，每期的交易成本就决定于各期有价证券的期望交易次数。
同理，持有现金的机会成本就是关于每期期望现金额的函数。
给定企业设定的L，米勒-奥尔模型就可以解出目标现金余额Z和上限H。
现金余额返回政策的期望总成本等于期望交易成本和期望机会成本之和。
米勒和奥尔确定令期望总成本最小的Z（现金返回点）和H（上限）的值为：其中：σ2 是日净现金流量的方差。
式中F为每次转换有价证券的交易成本，K为日机会成本，上标“*”代表最小值。
米勒-奥尔模型中的平均现金余额为：在米勒一奥尔模型的基本公式中，F为融入资金的固定成本，即售出短期有价证券的固定发生的成本。
《公司理财》第10章-资本结构理论
资本结构理论的概念
资本结构是资金来源中负债与股东权益之 间的对比关系。资本结构理论是研究资本 结构与公司价值之间关系的一种理论，也 就是说，该理论是研究在怎样的资本结构 下能够实现公司价值最大化目标。
理论界一般将资本结构理论的发展划分为以 下三个阶段： 一、早期的资本结构理论 二、现代资本结构理论 三、新资本结构理论
• 缺点：然而MM理论和米勒模型都忽视了负债增加的负效 应，即负债增加所带来的财务危机成本和代理成本。
第10章 资本结构理论课后题
• （4）公司和个人都能按照无风险利率借入或借出款项。 • （5）现在的和未来的投资者对公司未来的息税前利润的
预期是相同的，即在公司息税前收益方面信息是对称的。
• 息税前收益（EBIT）的估算
•
预期利润表
• 销售收入= ∑（各种产品销售量Q × 各种产品销售价格P）
• －销售成本=主营业务成本+期间成本
• 有公司所得税时的第二MM定理是在第一定理的基础上得 出的。
二、有公司所得税时的MM定理
• 将上式代入所罗列的现代公式，就可得到MM的平均资本成 本公式。
• KA=KEL ×E/VL ＋KD×(1－TC) ×D/VL • 经过整理，得： • KA=KEU ×（1-D/VL×TC ）
• 上式表明，平均资本成本是负债率D/VL的反函数，即公司 负债率越高，平均资本成本越低，进而公司价值越大。由 此得出的结论是公司应百分之百的负债。
• 1、两个公司的价值多少？
• 2、U公司和L公司的KS为多少？
• 3、U公司和L公司的KA为多少？
• 4、两公司的市场价值和资本成本是否达到了市场均衡值，如果没有， 怎样实现？
MM模型(Modigliani-Miller-Models-米勒一莫迪利安尼模型
MM模型MM模型（Modigliani Miller Models,米勒一莫迪利安尼模型，公司资本结构与市场价值不相干理论）MM模型的含义MM理论是莫迪格利安尼（Modigliani ）和默顿•米勒（Miller ）所建立的公司资本结构与市场价值不相干模型的简称。
美国经济学家莫迪格利安尼和米勒于1958年发表的《资本成本、公司财务和投资管理》一书中，提出了最初的MM理论，这时的MM理论不考虑所得税的影响，得出的结论为企业的总价值不受资本结构的影响。
此后，又对该理论做出了修正，加入了所得税的因素，由此而得出的结论为：企业的资本结构影响企业的总价值，负债经营将为公司带来税收节约效应。
该理论为研究资本结构问题提供了一个有用的起点和分析框架。
MM模型的两种类型“ MM ”理论主要有两种类型：无公司税时的MM模型和有公司税时的MM模型。
1）无公司税时MM理论指出，一个公司所有证券持有者的总风险不会因为资本结构的改变而发生变动。
因此，无论公司的融资组合如何，公司的总价值必然相同。
资本市场套利行为的存在，是该假设重要的支持。
套利行为避免了完全替代物在同一市场上会出现不同的售价。
在这里，完全替代物是指两个或两个以上具有相同风险而只有资本结构不同的公司。
MM理论主张，这类公司的总价值应该相等。
可以用公式来定义在无公司税时的公司价值。
把公司的营业净利按一个合适的资本化比率转化为资本就可以确定公司的价值。
公式为：VL=Vu=EBIT/K=EBIT/Ku式中，VL为有杠杆公司的价值，Vu为无杠杆公司的价值；K= Ku为合适的资本化比率，即贴现率；EBIT为息税前净利。
根据无公司税的MM理论，公司价值与公司资本结构无关。
也就是说，不论公司是否有负债，公司的加权平均资金成本是不变的。
2）有公司税时MM理论认为，存在公司税时，举债的优点是负债利息支付可以用于抵税，因此财务杠杆降低了公司税后的加权平均资金成本。
避税收益的现值可以用下面的公式表示：避税收益的现值=tc*r*B/r=tc*B式中：tc为公司税率；r为债务利率；B为债务的市场价值。
米勒模型 DEBT AND TAXES中英对照版
DEBT AND TAXESMerton Miller, 1977这里的关于负债和税收的观点带点儿异端邪说的意味。
过去数年里我已就此观点和我在芝加哥大学金融团队的同事们交流过，在主要论点的证明上，尤金·法玛、查尔斯·厄普顿和约瑟夫·威廉姆斯最近给我很大的帮助。
我长期的朋友和合作伙伴，佛朗哥·莫迪格里亚尼可以对下面要讲的观点不承担任何责任，当然，并不表示我认为他会反对这个观点，而是因为他正在专心准备他在类似的全国性会议——美国经济协会上的主题演讲。
有点巧合得是，我和莫迪格里亚尼合作的第一篇论文距离今天大约二十年了。
那篇论文的贡献就在于，引导我们用经济学标准工具分析一些公司财务问题，特别是使用竞争市场的均衡分析。
那时以前，财务领域学术讨论最初的焦点集中在市场真正获益的经验主义论题上。
市场从一个公司的股利或它的收益或两者的加权组合而得益呢？还是净收益或净营运收益或它们两者之间的某个东西？对这些问题或与之相关的利率行为问题的回答，被假定为在一个框架内为公司选择一个最优资本结构的基础，该框架类似于经济学家有差别的买方垄断的模型。
在那篇论文中，我们首先从暗含了经济学家基本工作的理性行为和完全市场假设上来处理这个问题。
并且，我们证明了，在这样两个假设条件下，考虑公司和投资者有充分的可利用的机会时，下面简单的原理将适用：在均衡点，任何公司的市场价值一定独立于他的资本结构。
这个命题的套利证明目前在几乎每一本财务教科书中都能找到。
然而，紧接着几乎相同的，就是给学生一个警告，别对它太认真。
一些人以公司或投资者不可能或不会按那样运作为由而不考虑这个命题。
在这个谈话中我将回答这些抱怨，其他人反对这个不变性的命题是因为他是从一个没有税的世界中推导出来的，而那个世界不是我们的。
他们指出，在我们的世界，公司的价值会由于负债的使用而增加，因为利息支出能从公司应税收入中扣除。
然而，为了收获更多的利润，股票持有人必须遭受越来越大的破产风险和跌到破产这一不幸状态的直接和间接成本。
公司金融 权衡理论与米勒模型资本结构
第四专题 资本结构：债务运用的限制根据有税时的MM 理论，财务杠杆能够增加公司价值，公司应当最大限度地发行债务。
这与现实世界不一致，现实世界中公司一般只采用适当的债务。
尽管如此，MM 理论向我们揭示了如何探讨资本结构的决定因素。
MM 理论之所以与现实世界不一致，其原因是MM 理论是在严格的假设条件下得出的，这些假设条件与现实世界不符。
如：忽视了负债可能带来的破产成本、忽视了个人税收等。
本专题考察负债的破产成本和个人税对资本结构的影响。
一、财务困境成本 1.破产风险或破产成本债务的作用具有两面性：一方面债务为公司提供了税收优惠，增加公司价值；另一方面债务也给公司带来利息和本金的支付压力，轻则使公司陷入支付困境，重则使公司陷入破产境地，发生财务困境成本或破产成本，降低公司价值。
例如：Knight 公司计划的经营时间为一年半以上。
公司预测未来的现金流量为100美元或50美元，发生的概率均为50%，公司没有其他资产，以前发行的债务需要支付的利息和本金为49美元。
Day 公司预期有相同的现金流量，但需要支付的利息和本金为60美元。
两家公司的现金流量列示如下：Knight 公司 Day 公司繁荣期 衰退期 繁荣期 衰退期 （概率：50%） （概率：50%）（概率：50%）（概率：50%） 现金流量 100 50 100 50 债务本息的支付 49 49 60 50 分配给股东的部分 51 1 40 0就Knight 公司而言，无论是处于繁荣期还是处于衰退期，现金流量均能保证向债权人支付利息和本金，债权人获得全额偿还。
但就Day 公司而言，在繁荣期，现金流量能保证向债权人还本付息，在衰退期，现金流量则不能保证向债权人还本付息。
由于公司无其他资产，同时，公司为有限责任公司，因此，公司不得不进行破产清算，在公司破产时，债权人将有10美元的债务得不到偿还。
我们假设：（1）债权人和股东是风险中立者；（2）利率为10%。
数学米勒模型的推导过程
数学米勒模型的推导过程米勒模型（Miller Model）是一个用来描述氮氧化物在大气中传输和转化的数学模型。
它是由1955年诺贝尔化学奖得主Miller在1959年提出的，该模型主要解决了氮氧化物化学物种在大气中传输的问题。
米勒模型的推导过程如下：1.假设氮氧化物（NOₓ）主要由NO和NO₂两种化合物组成，且假设它们在大气中的转化过程可用一个简化的反应示意式来表示：NO+O₃→NO₂+O₂2.假设大气中的NO是一个稳定状态（即稳定的排放量），则可以认为大气中的NO₂主要是由NO与大气中的臭氧（O₃）反应而来。
3. 接下来，我们需要考虑NO₂的光解反应（photolysis）。
假设该光解反应的速率与大气中的光照强度（I）呈线性关系，则可以将光解反应速率表示为：d[NO₂]/dt = - k₁[NO₂]I其中d[NO₂]/dt表示NO₂的浓度变化率，k₁表示光解的速率常数，[NO₂]表示NO₂的浓度，I表示光照强度。
4.同时，NO₂还可以通过与臭氧反应生成臭氧和一些其他化学物种：NO₂+O₃→NO₃+O₂这个反应的反应速率可以用k₂[NO₂][O₃]来表示，其中k₂表示该反应的速率常数，[O₃]表示臭氧的浓度。
5.臭氧（O₃）自己也可以通过相互作用生成其他物种，例如与氢氧自由基（OH）反应生成水（H₂O）：O₃+OH→HO₂+O₂同样地，这个反应的速率可以用k₃[O₃][OH]来表示，其中k₃是反应的速率常数，[OH]是氢氧自由基的浓度。
6.将上述反应的动力学方程整合到一起，可以得到描述NO₂浓度随时间变化的微分方程：d[NO₂]/dt = (k₁[NO₂]I - k₂[NO₂][O₃]) - k₃[O₃][OH]7.最后，我们需要考虑NO的排放量，假设NO的排放量源源不断，且符合稳定状态。
则NO的浓度变化率可用0表示。
综上所述，以上步骤导出了描述氮氧化物(NOₓ)在大气中传输和转化的数学模型--米勒模型。
miller金字塔 知识应用能力
miller金字塔知识应用能力
米勒金字塔是一种用来衡量一个人的知识应用能力的模型。
它由
美国心理学家George A. Miller在1956年提出。
根据米勒金字塔模型，一个人的知识应用能力可以分为以下几个
层次：
1. 信息感知能力：这是知识应用的基础，指的是一个人对外界
信息的感知和理解能力。
一个具有较强信息感知能力的人可以准确地
理解和获取信息。
2. 信息组织能力：在获取了大量的信息后，一个人需要能够对
这些信息进行整理和组织。
这包括对信息进行分类、概括和归纳等操作。
3. 信息分析能力：信息分析能力是指在组织好的信息基础上，
能够深入分析信息并找出其中的规律和关联。
这需要具备一定的逻辑
思维和分析能力。
4. 问题解决能力：问题解决能力是指在面临具体问题时，能够
利用已有知识进行推理和解决问题的能力。
这包括对问题的理解、问
题分解、制定解决方案、实施和评估等步骤。
5. 创新能力：创新能力是知识应用能力的最高层次，指的是能
够独立思考和提出新的创意和解决方案。
这需要个人具备一定的创造
性思维和创新意识。
米勒金字塔模型强调了知识应用能力的层次性和发展过程，每个
层次都是建立在前一个层次的基础上。
通过对自己的知识应用能力进
行评估和提升，可以帮助个人更好地应对各种复杂的学习和工作环境。
圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型(学生版)-2024年中考数学
圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型(米勒最大视角(张角)模型、定角定高(探照灯)模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。
实际上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借助圆的特性来探究最值情形。
而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。
模型1.米勒最大张角(视角)模型【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。
米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC 的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。
【模型证明】如图1，设C'是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC'B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC'B小于∠ACB，故∠ACB最大。
在三角形AC'D中，∠ADB=∠AC D+∠DAC ∴∠ADB>∠AC D又∵∠ACB=∠ADB∴∠ACB>∠AC D【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。
若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。
否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
1(2023·广东珠海·九年级统考期末)如图，在足球训练中，小明带球奔向对方球门PQ，仅从射门角度大小考虑，小明将球传给哪位球员射门较好()A.甲B.乙C.丙D.丁2(2023·四川宜宾·校考二模)如图，已知点A 、B 的坐标分别是0,1 、0,3 ，点C 为x 轴正半轴上一动点，当∠ACB 最大时，点C 的坐标是()A.2,0B.3,0C.2,0D.1,03(2023·江苏南京·九年级统考期中)如图，在矩形ABCD 中，AB =4，AD =8，M 是CD 的中点，点P 是BC 上一个动点，若∠DPM 的度数最大，则BP =．4(2023·陕西西安·校考模拟预测)足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB 的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD 上行进时，当存在一点Q ，使得∠CQA =∠ABQ (此时也有∠DQB =∠QAB )时，恰好能使球门AB 的张角∠AQB 达到最大值，故可以称点Q 为直线CD 上的最佳射门点．(1)如图2所示，AB为球门，当运动员带球沿CD行进时，Q1，Q2，Q3为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点；(2)如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB为球门，CD⊥AB于点D，AB=3a，BD=a．某球员沿CD向球门AB进攻，设最佳射门点为点Q．①用含a的代数式表示a，若此时守DQ的长度并求出tan∠AQB的值；②已知对方守门员伸开双臂后，可成功防守的范围为54门员站在张角∠AQB内，双臂张开MN垂直于AQ进行防守，求MN中点与AB的距离至少为多少时才能确保防守成功．(结果用含a的代数式表示)5(2023上·北京东城·九年级校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于⊙C及⊙C外一点P，M，N是⊙C上两点，当∠MPN最大，称∠MPN为点P关于⊙C的“视角”．直线l与⊙C相离，点Q在直线l上运动，当点Q关于⊙C的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线l关于⊙C的“视角”．(1)如图，⊙O的半径为1，①已知点A(1,1)，直接写出点A关于⊙O的“视角”；已知直线y=2，直接写出直线y=2关于⊙O的“视角”；②若点B关于⊙O的“视角”为90°，直接写出一个符合条件的B点坐标；(2)⊙C的半径为1，①点C的坐标为(1,2)，直线l:y=kx+b(k>0)经过点D( -23+1,0)，若直线关于⊙C的“视角”为60°，求k的值；②圆心C在x轴正半轴上运动，若直线y=3x+1关于⊙C的“视角"大于120°，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．3模型2. 定角定高模型(探照灯模型)定角定高模型：如图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值(定高)，∠BAC为定角，则AD有最小值，即△ABC的面积有最小值。
米勒模型
图中连续向上倾斜的曲线的得出：要使应税投资者进入 公司债券市场，则要求公司债券的利率必须高到足够补 偿个人所得税中的利息收入的纳税额。既然个人所得税 是累进制的，需求利率也要保持上升，以使投资者进入 越来越高的税收等级。 需求曲线与水平直线在均衡点相交，即由公司税率得出 的免税率决定了市场均衡。则存在一个公司总债务的均 衡水平B*，而且将公司部门视为整体，存在一个均衡 债务——股权比率，但是作为任何单一个体的公司是没 有最优债务比率的。从这个意义上讲，尽管在计算公司 所得税时可扣除利息支付，但在平衡时，任何公司的价 值都将于其资本结构无关。即杠杆公司的股东没有从杠 杆的节税效应中获得收益。
对于上面的公式假设：
所有税收都是按比例税率征收的； 与早期MM理论一致，此表达式是以“永久 年金”形式给出的。
公式的重要含义
当所有税率假设为零时，公式即为标准无税 MM模型，GL=0 当tc= tps，即没有个人所得税，那么债券杠 杆产生的收益近似等于tcBL。但是，当tps小 于tpb，那么债券杠杆产生的收益就会少于 tcBL
实际上，考虑tc、tps、tpb ，杠杆的收益会 全部消失甚至为负。 原因：投资者是根据所有税收支付后的净收益 来决定购买或出售证券。因此，如果tps低于 tpb，付税债券的税前收益就必须足以抵消税 收的不利影响。否则，应税投资者将不愿意 持有债券。
Taxes and market equilibrium
MM的公司税模型
负债会因利息的抵税作用而增加企业价值，对投资 者来说，也意味着更多的可分配经营收入。 命题一：负债公司的价值等于相同风险等级的无负 债公司的价值加上负债的节税利益。 VL=VU+TD 命题二：在考虑所得税情况下，负债企业的权益资 本成本率等于同一风险等级中某一无负债企业的权 益资本成本率加上一定的风险报酬率。 KSL=KSU+(KSU-KD)(1-T)(D/S)
MM模型(Modigliani-Miller-Models-米勒一莫迪利安尼模型
MM模型MM模型（Modigliani Miller Models,米勒一莫迪利安尼模型，公司资本结构与市场价值不相干理论）MM模型的含义MM理论是莫迪格利安尼（Modigliani ）和默顿•米勒（Miller ）所建立的公司资本结构与市场价值不相干模型的简称。
美国经济学家莫迪格利安尼和米勒于1958年发表的《资本成本、公司财务和投资管理》一书中，提出了最初的MM理论，这时的MM理论不考虑所得税的影响，得出的结论为企业的总价值不受资本结构的影响。
此后，又对该理论做出了修正，加入了所得税的因素，由此而得出的结论为：企业的资本结构影响企业的总价值，负债经营将为公司带来税收节约效应。
该理论为研究资本结构问题提供了一个有用的起点和分析框架。
MM模型的两种类型“ MM ”理论主要有两种类型：无公司税时的MM模型和有公司税时的MM模型。
1）无公司税时MM理论指出，一个公司所有证券持有者的总风险不会因为资本结构的改变而发生变动。
因此，无论公司的融资组合如何，公司的总价值必然相同。
资本市场套利行为的存在，是该假设重要的支持。
套利行为避免了完全替代物在同一市场上会出现不同的售价。
在这里，完全替代物是指两个或两个以上具有相同风险而只有资本结构不同的公司。
MM理论主张，这类公司的总价值应该相等。
可以用公式来定义在无公司税时的公司价值。
把公司的营业净利按一个合适的资本化比率转化为资本就可以确定公司的价值。
公式为：VL=Vu=EBIT/K=EBIT/Ku式中，VL为有杠杆公司的价值，Vu为无杠杆公司的价值；K= Ku为合适的资本化比率，即贴现率；EBIT为息税前净利。
根据无公司税的MM理论，公司价值与公司资本结构无关。
也就是说，不论公司是否有负债，公司的加权平均资金成本是不变的。
2）有公司税时MM理论认为，存在公司税时，举债的优点是负债利息支付可以用于抵税，因此财务杠杆降低了公司税后的加权平均资金成本。
避税收益的现值可以用下面的公式表示：避税收益的现值=tc*r*B/r=tc*B式中：tc为公司税率；r为债务利率；B为债务的市场价值。
专题24 米勒定理(隐圆模型)
隐圆模型---米勒定理【模型专题】模型隐圆模型－－－－－米勒定理（最大张角问题）【模型背景】1471年，德国数学家米勒（Joannes miiller）向诺德尔（Christion roder）提出这样一个问题：如图，点A、B直线l的同一侧，在直线l上取一点P，使得∠APB最大，求P点位置．【模型描述】圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角．相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半．如图，∠P＝∠ACB－∠PBC．换句话说，对同一个圆而言，圆周角＞圆外角．【模型通解】结论：当点P不与A、B共线时，作△PAB的外接圆，当圆与直线l相切时，∠APB最大．证明：在直线l上任取一点M（不与点P重合），连接AM、BM，∠AMB即为圆O的圆外角，∴∠APB＞∠AMB，∠APB最大．∴当圆与直线l相切时，∠APB最大．【模型拓展】特别地，若点A、B与P分别在一个角的两边，如下图，则有OP²＝OA·OB．（切割线定理）考法1踢球问题【例题】1．如图，已知足球球门宽AB约为52米，一球员从距B点52米的C点（点A､B､C均在球场底线上），沿着与AC成45°角的CD方向带球．试问，该球员能否在射线CD上找到一点P，使得点P为最佳射门点（即∠APB 最大）？若能找到，求出此时点P到点C的距离；若找不到，请说明理由．【变式】2．足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（）A．点C B．点D或点EC．线段DE(异于端点)上一点D．线段CD(异于端点)上一点【变式】3．问题探究：（1）如图①，AB为⊙O的弦，点C是⊙O上的一点，在直线AB上方找一个点D，使得∠ADB=∠ACB，画出∠ADB；（2）如图②，AB是⊙O的弦，点C是⊙O上的一个点，在过点C的直线l上找一点P，使得∠APB<∠ACB，画出∠APB；（3）如图③，已知足球门宽AB约为52米，一球员从距B点52米的C点（点A、B、C均在球场的底线上），沿与AC成45°的CD方向带球．试问，该球员能否在射线CD上找一点P，使得点P最佳射门点（即∠APB最大）？若能找到，求出这时点P与点C的距离；若找不到，请说明理由．考法2坐标问题【例题】4．在平面直角坐标系中，点A(0,2)、B(a,a+2)、C(b,0)（a>0,b>0），若AB=42且∠ACB最大时，b的值为（）A．2+26B．−2+26C．2+42D．−2+42【变式】5．如图，在平面直角坐标系中，点A（2，0）、B（5，0），点P是直线y＝x＋1上的一个动点，连接AP．BP．当∠APB最大时，求点P的坐标．【变式】6．已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标是_____________．【变式】7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，则称点P为线段AB的“等角点”．显然，线段AB的“等角点”有无数个，且A、B、P三点共圆．①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，直接写出点C的坐标和⊙C的半径；②y轴正半轴上是否有线段AB的“等角点”？如果有，求出“等角点”的坐标；如果没有，请说明理由；（2）当点P在y轴正半轴上运动时，∠APB是否有最大值？如果有，说明此时∠APB最大的理由，并求出点P的坐标；如果没有请说明理由．考法3视角问题【例题】8．问题提出（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=2AD，E为CD的中点，则∠AEB∠ACB（填“＞”“＜”“=”）；问题探究（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由；问题解决（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB=6米），下边沿到地面的距离BD=11.6米．如果小刚的睛睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离．【变式】9．1471年，德国数学家米勒提出了雕塑问题：假定有一个雕塑高AB＝3米，立在一个底座上，底座的高BC＝2.2米，一个人注视着这个雕塑并朝它走去，这个人的水平视线离地1.7米，问此人应站在离雕塑底座多远处，才能使看雕塑的效果最好，所谓看雕塑的效果最好是指看雕塑的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点，如图：过A、B两点，作一圆与EF相切于点M，你能说明点M为所求的点吗？并求出此时这个人离雕塑底座的水平距离？考法4求线段和角度问题【例题】10．如图，∠MAN＝45°，B、C为AN上两点，AB＝1，BC＝3，D为AM上的一个动点，过B、C、D三点作⊙O，当sin∠BDC的值最大时，⊙O的半径为_________【变式】11．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．【变式】12．问题发现：（1）如图①，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝90°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝45°，则点P 与⊙O的位置关系是；若∠AQB＜45°，则点Q与⊙O的位置关系是．问题解决：如图②、图③所示，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，∠DAB＝135°，且AB＝1，AD＝22，点P是BC边上任意一点．（2）当∠APD＝45°时，求BP的长度．（3）是否存在点P，使得∠APD最大？若存在，请说明理由，并求出BP的长度；若不存在，也请说明理由．【变式】13．如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y(x＞0)经过点D，连接MD，BD．轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=6x（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD 的度数最大？。
米勒模型名词解释
嘿，朋友！今天咱们来聊聊米勒模型。
您知道吗，这米勒模型就像是一个神秘的魔法盒子，藏着好多关于企业资本结构的秘密。
咱先来说说啥是资本结构。这就好比您盖房子，用多少砖头、多少木材、多少水泥，这比例得讲究吧？企业也是一样，有股权融资，有债权融资，怎么搭配能让企业发展得更好，这就是资本结构要研究的事儿。
比如说，您开个小店，想扩大规模，是找亲戚朋友借钱，还是找银行贷款，或者自己再投点钱？这时候您要是懂米勒模型，就能心里有数，做出更明智的选择。
米勒模型也不是一成不变的，就像天气会变，市场也会变。经济形势好的时候，它给出的答案可能和形势不好的时候不一样。
所以说，米勒模型对于企业来说，那可真是太重要啦！能让企业在复杂的金融世界里是企业在资本结构决策中的得力助手，能帮企业在融资的道路上走得稳稳当当！
那米勒模型在这当中扮演啥角色呢？它呀，就像是个超级聪明的军师，能帮企业算出怎么组合股权和债权，才能让企业的价值最大化。
比如说，企业要扩大生产，得筹钱。是多发行股票好呢，还是多借点债？这时候米勒模型就登场啦！它会综合考虑各种因素，像税收啦、财务困境成本啦等等。
税收，您想想，企业交税少了，是不是钱就多啦？米勒模型会算清楚税收对企业融资的影响。
再说说财务困境成本。企业借太多债，万一还不上，那可麻烦啦，得破产！这就是财务困境成本。米勒模型能把这也考虑进去，算出一个最优的比例。
打个比方，这就好比您做饭，盐放多了太咸，放少了没味，米勒模型就是帮您找到那个刚刚好的量。
它可不是随便算算，那可是有一套复杂又精妙的算法和理论。但咱别怕，其实理解起来也不难。
MM定理
MM模型(Modigliani Miller Models,米勒一莫迪利安尼模型，公司资本结构与市场价值不相干理论)MM模型的含义MM理论是莫迪格利安尼（Modigliani）和默顿·米勒（Miller）所建立的公司资本结构与市场价值不相干模型的简称。
MM定理的基本假设有：第一，资本市场是完善的，即所有的市场主体均可方便地获取所需要的各种相关信息。
第二，信息是充分的、完全的，不存在交易费用和成本。
第三．任何一种证券均可无限分割。
投资者是理性经济人，以收益最大化为投资目标。
第四，公司未来平均预期营业收益以主观随机变量表示。
投资者具有一致性预期，对每一公司未来息前税前收益的概率分布及期望值有相同的估计。
而且，未来各期预期营业收益的概率分布的期望值与现期的相同。
第五，所有债务都是无风险的。
个人和机构都可按照无风险利率无限量地借入资金。
而且，不存在公司所得税。
MM理论的修正:MM理论的发展经历了不断修正的过程,由完善资本条件下的MM 理论逐渐形成了含公司税的MM理论、含个人税的MM理论以及权衡理论。
(一)完善资本条件下MM理论莫迪格利安尼(Modigliani)和米勒(Miller)对完善的资本市场做出了如下假设:一是不存在税收,二是市场是没有矛盾冲突的,不存在交易成本,三是直接破产成本间接破产成本是不存在的,四是个人和公司的借贷利率相同。
在完善资本市场的假设条件下,莫迪格利安尼(Modigliani)和米勒(Miller)认为公司的价值不受财务杠杆作用的影响,杠杆公司的价值V L等于无杠杆公司的价值V U,这就是著名的MM命题I(无税)的基本思想,即任何公司的市场价值与其资本结构无关,企业的市场价值只由预期收益的现值水平决定。
(二)含公司税的MM理论在完全资本市场下不存在税收,所以公司的价值与债务无关,但是在考虑公司税的情况下,债务融资就有一个重要的优势,因为公司支付的债务利息可以抵减应纳税额,而现金股利和留存收益则不能。
模型29 圆内最大张角之米勒角问题(解析版)
模型介绍故事背景：米勒问题和米勒定理1471年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”.米勒问题：已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大.证明：如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。
=+=AC D ADB AC D DAC ADB AC DACB ADBACB AC D∠∠∠∠∠∠∠∠∠’’’’’在△中所以＞又因为所以＞米勒定理在解题中的应用常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。
若能从题设中挖出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。
否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。
例题精讲【例1】．平面直角坐标系内，已知点A （1，0），B （5，0），C （0，t ）．当t ＞0时，若∠ACB 最大，则t 的值为（）A ．B ．C ．D ．解：如图①，作过A 、B 两点的⊙M 与y 轴相切于点C ，∵∠AC 'B ＜∠APB ，∠APB ＝∠ACB ，∴∠AC'B＜∠ACB，∴⊙M与y轴相切于点C时，∠ACB最大．如图②，作MH⊥AB，连接OM、MA、MB，∵⊙M与y轴相切于点C，∴∠OCM＝90°，∵A（1，0），B（5，0），∴AB＝4，∵MH⊥AB，∴AH＝AB＝2，∴OH＝1+2＝3，∴MC＝MA＝MB＝3，∴，∴，∴，故选：C．变式训练【变式1-1】．如图，在正方形ABCD中，边长为4，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，当∠DPM的度数最大时，则BP＝4﹣2．解：作△PMD的外接圆，则圆心O在DM的中垂线上移动，∵∠DOM＝2∠DPM，∴当∠DOM最大时，∠DPM最大，当⊙O与BC相切时，∠DOM最大，∵M是CD的中点，CD＝4，∴CM＝DM＝2，连接OP，则OP⊥BC，∵∠C＝90°，ON⊥CD，∴四边形OPCN是矩形，∴OP＝NC＝2+1＝3＝OM，在Rt△MON中，由勾股定理得，ON＝＝＝2，即PC＝2，∴BP＝BC﹣PC＝4﹣2，故答案为：4﹣2．【变式1-2】．如图，∠AOB＝60°，M，N是OB上的点，OM＝4，MN＝．（1）设⊙O过点M、N，C、D分别是MN同侧的圆上点和圆外点．求证：∠MCN＞∠MDN；（2）若P是OA上的动点，求∠MPN的最大值．（1）证明：当C在MD上或在MC上时，如图，显然∠MCN＞∠MDN（三角形的外角大于不相邻的内角），当C不在MD上或在MC上时，如图，设MD与圆交于E点，连接NE，则∠MEN＝∠MCN（同弧上的圆周角相等），而∠MEN＞∠MDN，∴∠MCN＞∠MDN；（2）解：设过M、N作圆F与OA相切于点Q，由（1）知：∠MQN即为所求角，作MN的垂直平分线分别交OA、OB于G、H，则圆心F在GH上，设FQ＝FM＝r，∵∠AOB＝60°，∠OHG＝90°，∴∠OGH＝30°，∴FG＝2r，HF＝＝，则GH＝，解得r＝，则∠MQN＝∠MFN＝30°，∴∠MPN的最大值为30°．【例2】．在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（﹣1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使∠MPN最大，则P点的坐标为（1，0）．解：过点M、N、P三点的圆的圆心在线段MN的中垂线：y＝﹣x+3上，∠MPN为弦MN所对应的圆周角，∴当圆的半径最小时有∠MPN最大，∵P在x轴上运动，∴当圆与x轴相切时，圆的半径最小，即此时∠MPN最大．设此时P点坐标为：（p，0），则圆心Q的坐标为（p，﹣p+3），∵MQ＝PQ，∴（1﹣p）2+（p+1）2＝（3﹣p）2，解得：p＝1或p＝﹣6（舍），∴P点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）．变式训练【变式2-1】．如图，某雕塑MN位于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿OB方向行走．已知∠AOB＝30°，MN＝2OM＝40m，当观景视角∠MPN最大时，游客P行走的距离OP是20米．解：如图，取MN的中点F，过点F作FE⊥OB于E，以直径MN作⊙F，∵MN＝2OM＝40m，点F是MN的中点，∴MF＝FN＝20m，OF＝40m，∵∠AOB＝30°，EF⊥OB，∴EF＝20m，OE＝EF＝20m，∴EF＝MF，又∵EF⊥OB，∴OB是⊙F的切线，切点为E，∴当点P与点E重合时，观景视角∠MPN最大，此时OP＝20m，故答案为：20．【变式2-2】．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E，F分别是边CD，BC上的动点，且∠AFE＝90°（1）证明：△ABF∽△FCE；（2）当DE取何值时，∠AED最大．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AFE＝90°，∴∠AFB+∠EFC＝90°，∵∠EFC+∠FEC＝90°，∴∠AFB＝∠FEC，∴△ABF∽△FCE．（2）取AE的中点O，连接OD、OF．∵∠AFE＝∠ADE＝90°（对角互补），∴A、D、E、F四点共圆，∴∠AED＝∠AFD，∴当⊙O与BC相切时，∠AFD的值最大，易知BF＝CF＝4，∵△ABF∽△FCE，∴＝，∴＝，∴EC＝，∴DE＝DC﹣CE＝6﹣＝．∴当DE＝时，∠AED的值最大．1．在平面直角坐标系中，点A（0，2）、B（a，a+2）、C（b，0）（a＞0，b＞0），若AB＝4且∠ACB最大时，b的值为（）A．2+2B．﹣2+2C．2+4D．﹣2+4解：∵B（a，a+2）∴点B在y＝x+2这条直线上，又AB＝4，A（0，2），∴B（4，6），如图，当△ABC的外接圆与x轴相切时，∠ACB有最大值．取点G为AB中点，∴G（2，4），过点G且垂直于AB的直线为：y＝﹣x+6，设圆心F（m，﹣m+6），∵FC＝FB，∴（﹣m+6）2＝（m﹣4）2+（﹣m+6﹣6）2解得m＝2﹣2．故选：B．2．如图，A，B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大．球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角．若AB＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（）A．2B．3C．D．解：当△DBC∽△DCA时，∠ACB最大，∴，∴CD2＝BD•AD＝1×（1+4）＝5，∴CD＝，故球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为故选：C．3．已知点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），点C为x轴正半轴上一动点，当∠ACB最大时，点C的坐标是（，0）．解：过点A、B作⊙P，点⊙P与x轴相切于点C时，∠ACB最大，连接PA、PB、PC，作PH⊥y轴于H，如图，∵点A、B的坐标分别是（0，1）、（0，3），∴OA＝1，AB＝3﹣1＝2，∵PH⊥AB，∴AH＝BH＝1，∴OH＝2，∵点⊙P与x轴相切于点C，∴PC⊥x轴，∴四边形PCOH为矩形，∴PC＝OH＝2，∴PA＝2，在Rt△PAH中，PH＝＝＝，∴C点坐标为（，0）．故答案为（，0）．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，M是CD的中点，点P是BC上一个动点，若∠DPM的度数最大，则BP＝8﹣2．解：作△PMD的外接圆，则圆心O在DM的中垂线上移动，∵∠DOM＝2∠DPM，∴当∠DOM最大时，∠DPM最大，当⊙O与BC相切时，∠DOM最大，∵M是CD的中点，CD＝4，∴CM＝DM＝2，连接OP，则OP⊥BC，∵∠C＝90°，ON⊥CD，∴四边形OPCN是矩形，∴OP＝NC＝2+1＝3＝OM，在Rt△MON中，由勾股定理得，ON＝＝＝2，即PC＝2，∴BP＝BC﹣PC＝8﹣2，故答案为：8﹣2．5．某儿童游乐场的平面图如图所示，场所工作人员想在OD边上的点P处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果更佳，必须要求∠APB最大，已知：∠DOC ＝60°，OA＝400米，AB＝200米，问在OD边上是否存在一点P，使得∠APB最大？若存在，请求出此时OP的长和，∠APB的度数；若不存在，请说明理由．解：如图，当经过A，B的⊙T与OD相切于P时，∠APB的值最大，作TH⊥OC于H，交OD于Q，连接TA，TB，OT．设TP＝TA＝TB＝r，∵TA＝TB，TH⊥AB，∴AH＝HB＝100（m），∵∠OHQ＝90°，∠O＝60°，OH＝OA+AH＝（400+100）（m），∴QH＝OH＝（400+300）（m），∠OQH＝30°，∴TQ＝2PT＝2r，∵TH＝＝，∴2r+＝400+300，整理得：3r2﹣（1600+1200r+600000+240000＝0，∴（r﹣200）（3r﹣1000﹣1200）＝0，∴r＝200或（1000+1200）（舍弃），∴AT＝200m，∴AT＝2AH，∴∠ATH＝30°，∠ATB＝2∠ATH＝60°，∴∠APB＝∠ATB＝30°，∴OP＝OQ﹣PQ＝800+200﹣600＝（200+200）（m）．6．某商场引进消毒机器人每天进行全场消毒工作，该机器人采取精准直线喷射技术，实现了准确、快速和节约的目标．在设置参数的时候，工作人员通过对商场门口身形高大的“大黄蜂”进行多次消毒试验发现：如图，若对A点进行消毒，适当调整机器人CD到AB的距离，使得sin（α﹣β）的值尽可能的大，能提高消毒的效率．已知“大黄蜂”AB身高2.5米，机器人CD高0.4米．则当sin（α﹣β）最大时，机器人CD和“大黄蜂”AB之间距离BC等于米．如图，过点C作CF⊥AE于点F，设BC＝x米，根据题意得：CD⊥BE，AB⊥BE，AB＝2.5米，CD＝0.4米，∴CD∥AB，∴△CDE∽△BAE，∴，即，解得：CE＝x米，∵a＝β+∠CAF，∴∠CAF＝a﹣β，∴当sin（a﹣β）最大时，sin∠CAF最大，∴（sin∠CAF）2最大，即最大，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝x2+＝，在Rt△CDE中，DE2＝CD2+CE2＝x2+，∵CD•CE＝DE•CF，∴CD2•CE2＝DE2•CF2，∴CF2＝＝＝，∴＝＝，∵x≠0，∴＝，∵最大，∴400x2++4264最小，即400x2+最小，∵（﹣）2≥0，即400x2+﹣2≥0，∴400x2+≥2，∴当＝，即x＝或（舍去）时，400x2+最小，即当sin（α﹣β）最大时，机器人CD和“大黄蜂”AB之间距离BC为米．故答案为：米．7．已知A（2，0），B（6，0），CB⊥x轴于点B，连接AC画图操作：（1）在y轴正半轴上求作点P，使得∠APB＝∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（1）的条件下，①若tan∠APB＝，求点P的坐标；②当点P的坐标为（0，2）时，∠APB最大拓展延伸：（3）若在直线y＝x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标．解：（1）∠APB如图所示；（2）①如图2中，∵∠APB＝∠ACB，∴tan∠ACB＝tan∠APB＝＝，∵A（2，0），B（6，0），∴AB＝4，BC＝8，∴C（6，8），∴AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）．②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，此时AK＝PK＝4，AC＝8，∴BC＝＝4，∴C（6，4），∴K（4，2），∴P（0，2），故答案为（0，2）．（3）如图3中，当经过AB的圆与直线相切时，且点P在x轴的上方时，∠APB最大．∵直线y＝x+4交x轴于M（﹣3，0），交y轴于N（0，4），∵MP是切线，∴∠MPA＝∠MBP，∵∠PMA＝∠BMP，∴△PMA∽△BMP，∴＝，∴MP2＝MA•MB，∴MP＝3，作PK⊥OA于K．∵ON∥PK，∴＝＝，∴＝＝，∴PK＝，MK＝，∴OK＝﹣3，∴P（﹣3，）．8．问题提出（1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD的中点，则∠AEB＞∠ACB（填“＞”“＜”“＝”）；问题探究（2）如图②，在正方形ABCD中，P为CD边上的一个动点，当点P位于何处时，∠APB最大？并说明理由；问题解决（3）如图③，在一幢大楼AD上装有一块矩形广告牌，其侧面上、下边沿相距6米（即AB＝6米），下边沿到地面的距离BD＝11.6米．如果小刚的眼睛距离地面的高度EF为1.6米，他从远处正对广告牌走近时，在P处看广告效果最好（视角最大），请你在图③中找到点P的位置，并计算此时小刚与大楼AD之间的距离．解：（1）∠AEB＞∠ACB，理由如下：如图1，过点E作EF⊥AB于点F，∵在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为CD中点，∴四边形ADEF是正方形，∴∠AEF＝45°，同理，∠BEF＝45°，∴∠AEB＝90°．而在直角△ABC中，∠ABC＝90°，∴∠ACB＜90°，∴∠AEB＞∠ACB．故答案为：＞；（2）当点P位于CD的中点时，∠APB最大，理由如下：假设P为CD的中点，如图2，作△APB的外接圆⊙O，则此时CD切⊙O于点P，在CD上取任意异于P点的点E，连接AE，与⊙O交于点F，连接BE，BF，∵∠AFB是△EFB的外角，∴∠AFB＞∠AEB，∵∠AFB＝∠APB，∴∠APB＞∠AEB，故点P位于CD的中点时，∠APB最大：（3）如图3，过点E作CE∥DF交AD于点C，作线段AB的垂直平分线，垂足为点Q，并在垂直平分线上取点O，使OA＝CQ，以点O为圆心，OA长为半径作圆，则⊙O切CE于点G，连接OG，并延长交DF于点P，此时点P即为小刚所站的位置，由题意知DP＝OQ＝，∵OA＝CQ＝BD+QB﹣CD＝BD+AB﹣CD，BD＝11.6米，AB＝3米，CD＝EF＝1.6米，∴OA＝11.6+3﹣1.6＝13米，∴DP＝米，即小刚与大楼AD之间的距离为4米时看广告牌效果最好．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0）．（1）对于坐标平面内的一点P，给出如下定义：如果∠APB＝45°，那么称点P为线段AB的“完美点”．①设A、B、P三点所在圆的圆心为C，则点C的坐标是（4，3），⊙C的半径是3；②y轴正半轴上是否有线段AB的“完美点”？如果有，求出“完美点”的坐标；如果没有，请说明理由；（2）若点P在y轴负半轴上运动，则当∠APB的度数最大时，点P的坐标为（0，﹣）．解：（1）①∵点A与点B的坐标分别是（1，0），（7，0），∴OA＝1，OB＝7．∴AB＝6．过点C作CD⊥AB于点D则AD＝BD＝AB＝3．∴OD＝AO+AD＝4．∵∠APB＝45°，∴∠ACB＝2∠APB＝90°，．∵CD⊥AB，CA＝CB，∴CD＝AB＝3．∴C（4，3）．∴AC＝，∴⊙C的半径是3．故答案为：（4，3）；3；②y轴正半轴上有线段AB的“完美点”，理由：设⊙C交y轴于点D，E，连接CD，CE，过点C作CG⊥CD于点G，CF⊥AB于点F，如图，则∠AEB＝∠ADB＝∠APB＝45°．∴D，E为y轴正半轴上线段AB的“完美点”．则EG＝DG＝DE，CD＝CE＝3．∵CG⊥DE，CF⊥AB，∠O＝90°，∴四边形OFCG为矩形．∴CG＝OF＝4，OG＝CF＝3．在Rt△CGE中，∵EG2＝CE2﹣CG2，∴EG＝＝．∴GE＝DG＝．∴OE＝OG﹣GE＝3﹣，OD＝OG+DG＝3+．∴E（0，3﹣），D（0，3+）．∴y轴正半轴上有线段AB的“完美点”，“完美点”的坐标为（0，3+）或（0，3﹣）；（2）设⊙C与y轴负半轴切于点P，在y轴负半轴上任取一点Q（与点P不重合），连接BQ，AQ，BQ与⊙C交于点D，连接AD，如图，则∠APB＝∠ADB，∵∠ADB＞∠AQB，∴∠APB＞∠AQB．∴当P运动到⊙C与y轴相切时，∠APB的度数最大．连接PC并延长交⊙C于点E，连接AE，如图，∵OP是⊙C的切线，∴CP⊥OP，∴∠OPA+∠ABE＝90°．∵PE为⊙C的直径，∴∠PAE＝90°，∴∠APE+∠E＝90°，∴∠OPA＝∠E，∴∠E＝∠OBP，∴∠OPA＝∠OPB，∵∠AOP＝∠POB＝90°，∴△OAP∽△OPB，∴，∴OP2＝OA•OB．∴OP＝．∴P（0，﹣）．故答案为（0，﹣）．10．问题提出（1）如图①，△ABC内接于⊙O，过点A作⊙O的切线l，在l上任取一点D，连接BD、CD，则∠BAC与∠BDC的大小关系为∠BAC≥∠BDC；问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD边上一点，当∠BEC最大时，求cos∠BEC的值；问题解决（3）如图③，某商场在一部向下运行的手扶电梯BC的终点C的正上方竖直悬挂一幅高度DE＝4m的广告画．已知广告画的最低点D到地面AC的距离为6.5m，该电梯的高AB为4m，它所占水平地面的长AC为8m．小明从点B出发，站在该电梯上观看广告画DE，其观看视角为∠DPE．已知小明的眼睛P到脚底的距离PQ为1.5m，电梯在竖直AB方向上的下降速度为20cm/s，求当小明站在电梯上多长时间时，∠DPE取得最大值．解：（1）设CD与圆O交于点E，连接BE，如图，则∠BAC＝∠BEC，∵∠BEC是△BDE的外角，∴∠BEC＞∠BDC，∴∠BAC＞∠BDC，当点D与点A重合时，∠BAC＝∠BDC，∴∠BAC≥∠BDC；故答案为：∠BAC≥∠BDC；（2）作BC的垂直平分线PQ交BC于点Q，交AD于点P，连接BP、CP，作△PBC的外接圆圆O，圆O与直线PQ交于另一点N，如图，则PB＝PC，圆心O在PN上，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴OP⊥AD，∴圆O与AD相切于点P，∴PQ＝AB＝6，BQ＝BC＝4，∴PQ＞BQ，∴∠BPC＜90°，∴圆心O在弦BC的上方，设EC与圆O交于点M，连接MB，则∠BPC＝∠BMC≥∠BEC，∴当点E与点P重合时，∠BEC最大，连接OB、EN，则∠BON＝2∠BEN＝∠BPC，∵OB＝OP＝6﹣OQ，∴BQ2+OQ2＝OB2，∴42+OQ2＝（6﹣OQ）2，∴OQ＝，∴OB＝，∴cos∠BEC＝cos∠BOQ＝＝，即当∠BEC最大时，cos∠BEC的值为；（3）过点P作BC的平行线，交CE于点M，作△PDE的外接圆圆O，连接PO并延长与圆O交于另一点N，连接，如图，根据（2）的结论得，圆O与PM相切时，∠DPE最大，此时OP⊥PM，即∠MPN＝90°∴∠MPD+∠DPN＝90°，∵PN是圆O的直径，∴∠PDN＝90°，∴∠DNP+∠DPN＝90°，∴∠DNP＝∠MPD，∵∠DNP＝∠DEP，∴∠MPD＝∠DNP，∵∠PMD＝∠EMP，∴△PMD∽△EMP，∴DM：PM＝PM：EM，∴PM＝DM•EM，∵MC＝PQ＝1.5m，∴DM＝CD﹣MC＝5m，EM＝ED+DM＝9m，∴PM＝＝＝3（m），∴QC＝PM＝3m，在Rt△ABC中，根据勾股定理得BC＝4（m），∴BQ＝BC﹣CQ＝m，∵BC：AB＝4：4＝，∴小明站在电梯上，从点B到点Q时，沿竖直AB方向下降的距离为1m，∴下降时间为100：20＝5（s），即小明站在电梯上5s时，∠DPE取得最大值．11．问题背景（1）如图（1）△ABC内接于⊙O，过A作⊙O的切线l，在l上任取一个不同于点A的点P，连接PB、PC，比较∠BPC与∠BAC的大小，并说明理由．问题解决（2）如图（2），A（0，2），B（0，4），在x轴正半轴上是否存在一点P，使得cos∠APB 最小？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．拓展应用（3）如图（3），在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥CD于D，E是AB上一点，AE＝AD，P是DE右侧四边形ABCD内一点，若AB＝8，CD＝11，tan∠C＝2，S△DEP＝9，求sin∠APB的最大值.解：符合条件的点P应该是以AB为弦所在圆恰好与过N点且与AN垂直的直线相切时的切点．（1）问题背景：如图1，设直线BP交⊙O于点A′，连接CA′，则∠CA′B＞∠P，而∠CA′B＝∠CAB，∴∠BPC＜∠BAC；（2）问题解决：如图2，过点B、A作⊙C与x轴相切于点P，连接AC、PC、BC，∵x轴的坐标轴上的点除了点P外都在圆外，∴∠APB最大，即cos∠APB最小，由点B、A的坐标，根据中点公式得，点C的纵坐标为（2+4）＝3，设点P（x，0），则点C（x，3），∵点P、B都是圆上的点，∴CB＝CP，∴x2+（4﹣3）2＝32，解得：x＝±2（舍去负值），故点P的坐标为：（2，0）；（3）拓展应用：过点B作BH⊥CD于点H，过点A作AM⊥DE于点M，延长AM到点N使MN＝AM，过点N作DE的平行线l，过点F作FG⊥l于点G，FG交DE于点Q，以AB为直径作⊙F交直线l于点P′，在梯形ABCD中，AB＝8，CD＝11，则CH＝11﹣8＝3，∵tan C＝＝＝2，解得：BH＝6＝AD＝AE，＝×AD×AE＝18，在等腰直角三角形ADE中，S△ADE∵MN＝AM，＝S△ADE＝9，∴S△DEN∵直线l∥DE，＝S△DEN＝9＝S△DEP，∴S△P′ED∴从面积看，点P′符合点P的条件，即点P可以和点P′重合，∵FG⊥l，而直线l∥DE，∴GF⊥DE，而∠AED＝45°，故△EFQ为等腰直角三角形，∵BE＝AB﹣AE＝8﹣6＝2，∴EF＝BF﹣BE＝4﹣2＝2，则FQ＝EF＝，∴FG＝EQ+QG＝MN+QG＝AM+＝3+＝＜BF，∴⊙F与直线l有两个交点，则点P′符合题设中点P的条件，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，故sin∠APB的最大值为1．12．已知：∠MBN＝90°，点A在射线BM上，点C在射线BN上，D在线段BA上，⊙O 是△ACD的外接圆；（1）若⊙O与BN的另一个交点为E，如图1，当，BD＝1，AD＝2时，求CE的长；（2）如图2，当∠BCA＝∠BDC时，判断BN与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）如图3，在BN上作出C点，使得∠ACD最大，并求当AD＝2，时，⊙O的半径．解：（1）连接AE，∵∠AEC+∠ADC＝180°，∠BDC+∠ADC＝180°，∴∠BDC＝∠AEC，∵∠CBD＝∠ABE，∴△ABE∽△CBD，∴，∵BC＝，AD＝2，BD＝1，∴AB＝AD+BD＝2+1＝3，∴，∴BE＝2，∴CE＝BE﹣BC＝；（2）BN是⊙O的切线，理由如下：连接CO并延长交⊙O于点F，连接DF，则∠CDF＝90°，∴∠CFD+∠FCD＝90°，∵∠BCA＝∠BDC，∠B＝∠B，∴∠BAC＝∠BCD，∵∠CAD＝∠CFD，∴∠CFD＝∠BCD，∴∠FCB＝∠FCD+∠BCD＝∠FCD+∠CFD＝90°，∴BC⊥OC，∵OC是半径，∴BC是⊙O的切线，即BN是⊙O的切线；（3）过点A，C，D三点作⊙O，当BC是⊙O的切线时，∠ACD最大，连接CO并延长交⊙O于点G，连接AG，DG，则∠CDG＝90°，∠CAG＝90°，∴∠CGD+∠DCG＝90°，∵BC是⊙O的切线，∴BC⊥OC，∴∠BCO＝90°，∴∠BCD+∠DCG＝90°，∴∠BCD＝∠CGD，∵∠CGD＝∠CAD，∴∠BCD＝∠BAC，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴，∴BC2＝BD•BA，∵AD＝2，∴BA＝BD+AD＝BD+2，∴BC2＝BD（BD+2）＝BD2+2BD，∵BC2+BA2＝AC2，AC＝2BD，∴BC2＝AC2﹣BA2＝（2BD）2﹣（BD+2）2＝11BD2﹣4BD﹣4，∴11BD2﹣4BD﹣4＝BD2+2BD，∴5BD2﹣3BD﹣2＝0，∴BD＝﹣（舍去）或BD＝1，∴BD＝1，∴BA＝BD+AD＝1+2＝3，AC＝2BD＝2，∵∠B＝90°，∴AB⊥BC，∵CG⊥BC，∴CG∥AB，∴∠BAC＝∠ACG，∵∠CBA＝∠CAG＝90°，∴△BAC∽△ACG，∴，∴，∴CG＝4，∴OC＝2，即⊙O的半径为2．13．【发现问题】（1）如图①，点A，B在∠MON的边OM上，过A，B两点的圆交ON于C，D两点，点E在线段CD上（不与点C，D重合），点F在射线DN上（不与点D重合）．试探究∠AEB和∠AFB之间的大小关系，并说明理由；【探究问题】（2）如图②，∠MON＝90°，点A，B在射线ON上，点P是射线OM上一动点，AB ＝3OB＝3，当∠APB最大时，请求出此时OP的长；【解决问题】（3）如图③，一足球球门宽AB约为4米，一球员从距A点5米的O点（点O，A，B 均在一条直线上），沿与OM成一定角度的ON方向带球．试问，该球员能否在射线ON 上找到一点P，使得点P为最佳射门点（即∠APB最大）？若能找到，求出此时该球员跑过的路程长；若找不到，请说明理由．解：（1）∠AEB＞∠AFB，理由：如图，延长AE交圆于点H，连接BH，AD，BD，∵∠AHB＝∠ADB，∠AEB＞∠AHB，∴∠AEB＞∠ADB，同理可得∠ADB＞∠AFB，∴∠AEB＞∠AFB；（2）如图，作线段AB的垂直平分线，垂足为K，在线段AB的垂直平分线上取一点T，以点T为圆心，TB长为半径作⊙T，当⊙T与射线OM相切于点P'时，∠AP'B最大，即∠APB最大，连接TP'，BT，∵OM是⊙T的切线，∵TP'⊥OM，∴TK⊥AB，∴∠TKO＝∠KOP'＝∠OP'T＝90°，∴四边形OKTP'是矩形，∴OP'＝KT，∵AB＝3OB＝3，∴OB＝1，AK＝BK＝，∴OK＝TP'＝TB＝，∴OP'＝KT＝＝2，∴当∠APB最大时，OP的长为2；（3）能找到，如图，作经过点A，B且与射线ON相切的⊙C，切点为P，此时∠APB 最大，连接PC并延长交OC于点D，连接AD，由解图可知∠D＝∠PBA，∠PAD＝90°，∴∠D+∠APD＝90°，∵PC是⊙C的半径，ON与⊙C相切，∴∠OPD＝90°，∴∠OPA+∠APD＝90°，∴∠D＝∠OPA＝∠OBP，∵∠O＝∠O，∴△POA∽△BOP，∴PO2＝OA•OB，∵AB＝4，OA＝5，∴OB＝9，∴PO＝，答：此时该球员跑过的路程长为3米．14．问题探究（1）如图1，C，D是∠AOB的边OA上两点，直线OB与⊙I相切于点P，点P1是直线OB上异于点P的任意一点，请在图1中画出∠CP1D，试判断∠CPD与∠CP1D的大小关系，并证明；（2）如图2，已知矩形ABCD中，点M在边BC上，点E在边AB上，AB＝8，AE＝6，当∠AME最大时，请求出此时BM的长；问题解决（3）如图3，四边形ABCD是某车间的平面示意图，AB＝4米，AD＝8米，∠A ＝∠D＝60°，∠BCD＝90°，工作人员想在线段AD上选一点M安装监控装置，用来监视边BC，现只要使得∠BMC最大，就可以让监控装置的效果达到最佳．问在线段AD 上是否存在点M，使∠BMC最大？若存在，请求出DM的长；若不存在，请说明理由．解：（1）在直线OB上取任意一点P1（不和P重合），连接DP1交⊙O于E、连接CP1和CE，如图：∠CPD与∠CP1D的关系是：∠CPD＞∠CP1D，证明如下：∵＝，∴∠CPD＝∠CED，而∠CED＞∠CP1D，∴∠CPD＞∠CP1D；（2）如图：由（1）知，作线段AD的垂直平分线，垂足为G，在线段AE的垂直平分线上取点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O，当⊙O与线段BC相切于M'时，若M与M'重合，此时∠AME最大，∵BC是⊙O的切线，∴OM'⊥BC，∵OG⊥AE，∴∠BGO＝∠B＝∠OM'B＝90°，∴四边形OGBM'是矩形，∴BM'＝OG，OM'＝BG，∵AB＝8，AE＝6，∴BE＝2，∵EG＝3，∴OM'＝OE＝BG＝EG+BE＝5，∴OG＝＝4，∴BM'＝OG＝4，故当∠AME最大时，BM的长为；（3）存在，理由如下：如图：当过B、C的⊙O与AD相切于M时，连接BM、CM，此时∠BMC最大，连接OB、OC，分别延长AB、DC交于F，则△ADF是等边三角形，∴∠BFC＝60°，AF＝DF＝AD＝8，∵BF＝AF﹣AB＝4，∴在Rt△BCF中，CF＝2，BC＝6，过O作OG⊥BC于G，交AF于K，交AD于J，则BG＝BC＝3，∵KJ⊥BC，∴∠BGJ＝90°＝∠BCD，∴KJ∥DF，∴BK＝FK＝BF＝2，KG＝CF＝，∴AK＝AB+BK＝6，∵KJ∥DF，∴＝，即＝，∴KJ＝6，设OB＝r，∵KJ∥DF，∴∠MJO＝∠D＝60°，∴OJ＝＝，∴OG＝KJ﹣KG﹣OJ＝6﹣﹣＝5﹣，在Rt△OGB中，OG2＝OB2﹣BG2＝r2﹣9，∴r2﹣9＝（5﹣）2，整理得r2﹣60r+252＝0，解得r＝30﹣18或30+18（舍去），∴OM＝30﹣18，∴JM＝OM＝10﹣6，由等边三角形的对称性可得DJ＝KF＝2，∴DM＝JM+DJ＝10﹣6+2＝12﹣6，故在线段AD上存在M，使∠BMC最大，符合条件的DM的长为12﹣6．15．如图，抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于A，B两点（点B在点A左侧），与y轴交于点C，直线y＝kx+b经过点A，C，且OA＝2OC＝4．（1）求抛物线的解析式；（2）点E为AC上方抛物线上一动点，过点E作EF∥y轴交AC于点F，求线段EF的最大值；（3）在（2）的结论下，若点G是x轴上一点，当∠CGF的度数最大时，求点G的坐标．解：（1）∵OA＝2OC＝4，∴A（4，0），C（0，2），将A（4，0），C（0，2）代入y＝ax2+x+c，∴，解得，∴y＝﹣x2+x+2；（2）将点A（4，0），C（0，2）代入y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+2，设E（t，﹣t2+t+2），则F（t，﹣t+2），∴EF＝﹣t2+t+2+t﹣2＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，当t＝2时，EF的最大值为2；（3）∵t＝2，∴E（2，3），F（2，1），设G（x，0），作△CFG的外接圆M，设圆M的半径为r，当圆M与x轴相切时，∠CGF最大，此时M（x，r），∵MC＝MF＝r，∴x2+（r﹣2）2＝r2，（2﹣x）2+（1﹣r）2＝r2，解得x＝4﹣，∴G（4﹣，0）．16．如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y＝（x＞0）经过点D，连接MD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；（3）动点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向运动，运动时间为t秒，当t为何值时，∠BPD的度数最大？（请直接写出结果）解；（1）C（0，3）∵CD⊥y，∴D点纵坐标是3，∵D在y＝上，∴D（2，3），将点A（﹣1，0）和D（2，3）代入y＝ax2+bx+3，得到，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（2）M（1，4），B（3，0），作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；∴M'（﹣1，4），D'（2，﹣3），∴M'D'直线的解析式为y＝﹣x+∴N（，0），F（0，）；（3）设P（0，t），作△PBD的外接圆N，当⊙N与y轴相切时此时圆心N到BD的距离最小，圆心角∠DNB 最大，则∠BPD的度数最大；则N（r，t），∴PN＝ND，∴r＝，∴t2﹣6t﹣4r+13＝0，易求BD的中点为（，），直线BD的解析式为y＝﹣3x+9，∴BD的中垂线解析式y＝x+，N在中垂线上，∴t＝r+，∴t2﹣18t+21＝0，∴t＝9﹣2，∴t的值为9﹣2．。
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米勒模型概述
考虑公司税的MM模型包括了公司赋税因素，但却没有考虑个人所得税的影响。
l976年米勒在美国金融学会上提出了一个把公司所得税和个人所得税都包括在内的模型来估算负债杠杆对公司价值的影响。
该模型用个人所得税对修正的MM理论进行了校正，认为修正的MM理论高估了负债的好处，实际上个人所得税在某种程度上抵消了个人从投资中所得的利息收入，他们所交个人所得税的损失与公司追求负债，减少公司所得税的优惠大体相等。
于是，米勒模型又回到最初的MM理论中去了。
米勒模型的内容
设：TC为公司税率，TS为个人股票所得税，TD为债券所得税。
这里需要注意的是：股票收益包括股利和资本利得两个部分，所以T；为加权平均的股利和资本利得税率；所有的债券收入均为利息，利息按个人利息的最高税率课税。
MM理论的所有假设不变，在考虑公司和个人所得税的情况下，无负债企业的公司价值为：
上述公式中，分子表明无负债企业的收入在扣除公司所得税和投资者的股本所得税后的公司净利。
很明显，与不考虑个人所得税时的模型相比，公司净利变小了，个人赋税降低了投资者的实际可得收入，在其他条件不变的情况下，这些课税会降低无负债企业的价值。
公式就是估算有负债企业价值的米勒模型。
米勒模型有几个十分重要的含义：
（1）代表负债杠杆效应，即负债所带来的公司价值的增加额，它相当于仅考虑公司税时MM模型中的TD;
（2）如果忽略所有的税率，则上式的结果与MM无公司税时的情形一样；
（3）如果忽略个人所得税，即TS = TD = 0，则上式与MM公司税模型相同；
（4）如果有个人所得税，但TS = TD，与MM公司税模型也相同。
米勒模型案例分析
案例一:米勒模型的案例分析[1]
根据企业借款可以产生节税利益与个人拥有债权获取利息收入后要多缴个人所得税的矛盾，建立了米勒模型：Vg=Vu[1-(1-Tc)×(1-Te)/(1-Td)×D]
其中:Vg——有负债公司的市价
Tc——公司所得税率
Td——债权收益税率
Vu——无负债公司的市价
Te——股权收益税率
D——负债的市价
从上述模型中可以看出：
当[1-(1-Tc)×(1-Te)/(1-Td)]>0时，企业负债融资可增加企业价值。
具体地说．当债权收益税率为0或股权收益税率大于或等于债权收益税率时，该不等式显然成立，此时企业负债融资可增加企业的总价值；
当股权收益税率低于债权收益税率且债权收益税率为非累进税率时，如果此时不等式仍然成立，那么企业负债融资可增加企业价值；
当股权收益税率低于债权收益税率且债权收益税率为累进税率时，如果此时不等式仍然成立，那么要使投资者愿意购入债权，企业只有提高债权的利率，使投资者购人债权获得的课税后收益大于或等于购买股权并进行风险因素调整后获得的课税后收益。
当企业负债融资越多，投资者的利息收入越高。
课税等级也越高。
税负越来越重。
最后Td的升高使[1-(1-Tc)×(1-Te)/(1-Td)]>0不再成立，此时企业负债融资产生的节税收益已不能抵补负债的利息开支，此时企业就会放弃负债融资．否则企业的总价值就会下降。
这样企业负债与股权的均衡状态就形成了．这个均衡状态是由企业所得税率、债权收益税率，股权收益税率以及投资者的课税等级所决定的。
即当边际节税利益等于边际个人所得税时，负债比处于均衡状态。
(一)债权报酬的个人所得税税率发生变化
假设股权报酬的个人所得税税率20%及企业所得税税率30%，保：t-t不变，债权报酬个人所得税税率依次为1O%、44%，50%，代入1-(1-Tc)×(1-Te)/(1-Td),有：1-(1-30%)×(1-20%)/(1-10%)=1-70%×80%÷90%=0.38
1-(1-30%)×(1-20%)/(1-10%)=1-70%×80%÷56%=0.1-(1-30%)×(1-20%)/(1-50%)=1-70%×80%÷9 0%=-0.12根据米勒模型可知，当[1-(1-Tc)×(1-Te)/(1-Td)]>0时，负债融资可增加企业价值：[1-(1-Tc)×(1-Te)/(1-Td)]<0时，负债融资会减少企业价值。
假设．当股权报酬个人所得税税率2O%，企业所得税税率30%，债权报酬个人所得税税率为1O%时，使[1-(1-Tc)×(1-Te)/(1-Td)]>0成立，拥有负债的公司价值比没有负债的公司价值小：当股权报酬个人所得税税率20%，企业所得税税率30%，债权报酬个人所得税税率为44%时，使[1-(1-Tc)×(1-Te)/(1-Td)]=0成立，则拥有负债的公司价值与没有负债的公司价值相等．此时，税收屏蔽作用消失。
(二)股权报酬的个人所得税税率发生变化
假设债权报酬的个人所得税税率20%及企业所得税税率30%保持不变，股权报酬的个人所得税税率依次为O、20%、50%，代入1-(1-Tc)×(1-Te)/(1-Td)，有：
1-(1-30%)×(1-0%)/(1-20%)=1-70%×1÷80%=0.125
1-(1-30%)×(1-20%)/(1-20%)=1-70%×80%÷80%=0.3
1-(1-30%)×(1-50%)/(1-20%)=1-70%×50%÷80%=0.5625
根据米勒模型可知，在债权报酬个人所得税税率20%，企业所得税税率3O%，股权报酬个人所得税税率依次为O、20%、50%的情况下，可使[1-(1-Tc)×(1-Te)/(1-Td)]>0成立，故拥有负债的公司价值比没有负债的公司价值大。
这表明，只要有债权报酬个人所得税和企业所得税存在，无论是否存在股权报酬的个人所得税，负债经营对企业都有利，都会增加企业价值。
(三)企业所得税税率发生变化
假设债权报酬和股权报酬的个人所得税税率都保持20%不变．企业所得税税率依次为O、30%、50%，代入1-(1-Tc)×(1-Te)/(1-Td)，有：
1-(1-0%)×(1-20%)/(1-20%)=1-80%÷80%=0
1-(1-30%)×(1-20%)/(1-20%)=1-70%×80%÷80%=0.125
1-(1-50%)×(1-20%)/(1-20%)=1-50%×80%÷80%=0.5
根据米勒模型可知，当债权报酬个人所得税税率20%，股权报酬个人所得税税率20%，企业所得税税率为O时，[1-(1-Tc)×(1-Te)/(1-Td)]=0成立．拥有负债的公司价值和没有负债的公司价值相等；当债权报酬个人所得税税率20%，股权报酬的个人所得税税率20%，企业所得税税率为30%或50%时，[1-(1-Tc)×(1-Te)/(1-Td)]>0都成立．拥有负债的公司价值比没有负债的公司价值大．在这种情况下，负债都增加了企业价值。
综上所述，在一定条件下，税收屏蔽效应不会被个人所得税完全抵消，削减后的税收屏蔽效应是可以发挥作用的。