高中必修5不等式练习题及答案

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高中数学必修5基本不等式练习题

高中数学必修5基本不等式练习题

一.选择题1.若,,a b cR ,且a b ,则下列不等式中一定成立的是()A.a b b cB.ac bcC.20c abD 2()0a b c2.对于任意实数,,,a b c d ,命题①若,0,a b c则ac bc ;②若a b ,则22acbc ;③若22acbc ,则a b ;④若a b ,则11ab;⑤若0,0abcd,则acbd 。

其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.43.已知22,则2的取值范围是()A.,22B.[,0]2C.[,0)2D.[0,]24.已知,a bR ,且5a b ,则22ab的最小值是()A.32B.42C.82D. 105.下列命题中,其正确的命题个数为①1xx的最小值是2;②2221xx的最小值是2;③2log log 2x x 的最小值2;④,2xtan cot xx 的最小值是2;⑤33xx的最小值是 2.A.1B.2C.3D.46.若,a bR ,下列不等式中正确的是()A.22222a b ab abB.22222a b ab abC.22222ab a b abD.22222ab a b ab7.已知,x y 是正数,且191xy,则x y 的最小值是()A.6B.12C.16D.24 8.设0,0,4xy xy ,则x y syx取最小值时x 的值为()A.1B.2C.22D.4229.甲乙两人同时从A 地出发 B 地,甲在前一半路程用速度1v ,在后一半路程用速度2v (12v v ),乙在前一半时间用速度1v ,在后一般时间用速度2v ,则两人中谁先到达()A.甲B.乙C.两人同时D.无法确定10.若,x y R ,且224xy,则22xy xy的最小值为()A.222 B.122C.-2D.13二.填空题11.若14,24a b,则2a b 的取值范围是12.若xR ,则2x 与1x 的大小关系是13.函数2254xyx的最小值是14.已知4,x 函数14y xx,当x时,函数有最值是三.解答题15.已知正数,x y 满足21xy ,求11xy的最小值。

高中数学必修5第3章《不等式》基础训练题

高中数学必修5第3章《不等式》基础训练题

必修5第三章《不等式》基础训练题一、选择题1.若b <0,a +b >0,则a -b 的值( )A .大于0B .小于0C .等于0D .不能确定2.已知M =x 2+y 2-4x +2y ,N =-5,若x ≠2或y ≠-1,则( )A .M >NB .M <NC .M =ND .不能确定3.不等式(x -2)(x +3)>0的解集是( )A .(-3,2)B .(2,+∞)C .(-∞,-3)∪(2,+∞)D .(-∞,-2)∪(3,+∞)4.函数y =x (x -1)+x 的定义域为( )A .{x |x ≥0}B .{x |x ≥1}C .{x |x ≥1}∪{0}D .{x |0≤x ≤1}5.不论x 为何值,二次三项式ax 2+bx +c 恒为正值的条件是( )A .a >0,b 2-4ac >0B .a >0,b 2-4ac ≤0C .a >0,b 2-4ac <0D .a <0,b 2-4ac <06.下列命题中正确的是( )A .不等式x 2>1的解集是{x |x >±1}B .不等式-4+4x -x 2≤0的解集是RC .不等式-4+4x -x 2≥0的解集是空集D .不等式x 2-2ax -a -54>0的解集是R7.若关于x 的不等式2x -1>a (x -2)的解集是R ,则实数a 的取值范围是( )A .a >2B .a =2C .a <2D .a 不存在8.已知点M (x 0,y 0)与点A (1,2)在直线l :3x +2y -8=0的两侧,则( )A .3x 0+2y 0>10B .3x 0+2y 0<0C .3x 0+2y 0>8D .3x 0+2y 0<89.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x -y +1)(x +y -1)≥00≤x ≤2,表示的平面区域的面积是( )A .2B .4C .6D .810.在直角坐标系内,满足不等式x 2-y 2≤0的点(x ,y )的集合(用阴影表示)是( )二、填空题11.一个两位数个位数字为a ,十位数字为b ,且这个两位数大于50,可用不等关系表示为________.12.已知x <1,则x 2+2与3x 的大小关系为________.13.设集合A ={x |(x -1)2<3x -7,x ∈R },则集合A ∩Z 中有________个元素.14.不等式x +1x -2>0的解集是________.15.原点O (0,0)与点集A ={(x ,y )|x +2y -1≥0,y ≤x +2,2x +y -5≤0}所表示的平面区域的位置关系是________,点M (1,1)与集合A 的位置关系是________.必修5第三章《不等式》基础训练题命题:水果湖高中 胡显义答案1.解析:由题意知a >0,又b <0,∴a -b >0.答案:A2.解析:∵M =x 2+y 2-4x +2y=(x -2)2+(y +1)2-5>-5=N ,∴M >N .答案:A3.解析:不等式(x -2)(x +3)>0的解集是(-∞,-3)∪(2,+∞),故选C.答案:C4.解析:要使函数有意义,需,即x ≥1,或x =0.所以函数的定义域为{x |x ≥1}∪{0},故选C.答案:C5.解析:须a >0且Δ<0.答案:C6.解析:结合三个二次的关系.答案:B7.解析:不等式即为(2-a )x >1-2a ,当a ≠2时,不等式为条件不等式,不合要求;当a =2时,不等式即0·x >-3对一切x 成立,故a 的取值范围是a =2.答案:B8.解析:∵点M 和点A 在直线l 的两侧,又把点A 代入得3×1+2×2-8=-1<0,∴3x 0+2y 0-8>0,即3x 0+2y 0>8,故选C.答案:C9.解析:如图,不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ (x -y +1)(x +y -1)≥00≤x ≤2表示的平面区域为一等腰直角三角形,其斜边长为4,斜边上的高为2,得其面积为4.故选B.答案:B10.解析:不等式x 2-y 2≤0可化为(x +y )(x -y )≤0,即⎩⎪⎨⎪⎧ x +y ≥0x -y ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤0x -y ≥0,作出直线x +y =0和x -y =0,判定区域,可知选D.答案:D11.答案:50<10b +a <10012.解析:(x 2+2)-3x =(x -1)(x -2).∵x<1,∴x-1<0,x-2<0,∴(x-1)(x-2)>0,∴x2+2>3x.答案:x2+2>3x13.解析:由(x-1)2<3x-7得x2-5x+8<0,∵Δ<0,∴集合A为Ø,因此A∩Z的元素不存在.答案:014.解析:不等式等价于(x+1)·(x-2)>0,∴x>2或x<-1.答案:{x|x<-1,或x>2}15.解析:若点满足各不等式⇒点在不等式组所表示的平面区域内,否则,点不在不等式组所表示的平面区域内,代入原点(0,0),显然0+2×0-1<0.故原点不满足不等式x+2y-1≥0.∴点O在平面区域之外,同理点M在平面区域之内.答案:原点O在集合A所表示的平面区域之外点M在集合A所表示的平面区域之内。

人教版A版高中数学高二版必修5习题一元二次不等式及其解法

人教版A版高中数学高二版必修5习题一元二次不等式及其解法

[A 基础达标]1.不等式6x 2+x -2≤0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-23≤x ≤12B. ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤-23或x ≥12 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤-23 解析:选 A.因为6x 2+x -2≤0⇔(2x -1)(3x +2)≤0,所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |-23≤x ≤12. 2.下列四个不等式:①-x 2+x +1≥0;②x 2-25x +5>0;③x 2+6x +10>0;④2x 2-3x +4<1.其中解集为R 的是( )A .①B .②C .③D .④解析:选C.①显然不可能; ②中Δ=(-25)2-4×5>0,解集不为R ;③中Δ=62-4×10<0.满足条件;④中不等式可化2x 2-3x +3<0所对应的二次函数开口向上,显然不可能.故选C.3.关于x 的不等式ax 2+bx -2>0的解集是⎝⎛⎭⎫-∞,-12∪⎝⎛⎭⎫13,+∞,则ab 等于( ) A .-24B .24C .14D .-14 解析:选 B.由已知可得-12,13是方程ax 2+bx -2=0的两根,由根与系数的关系得⎩⎨⎧-12+13=-ba ,⎝⎛⎭⎫-12×13=-2a ,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =2,所以ab =24. 4.在R 上定义运算⊙:a ⊙b =ab +2a +b ,则满足x ⊙(x -2)<0的实数x 的取值范围为( )A .(0,2)B .(-2,1)C .(-∞,-2)∪(1,+∞)D .(-1,2)解析:选B.由a ⊙b =ab +2a +b ,得x ⊙(x -2)=x (x -2)+2x +x -2=x 2+x -2<0,所以-2<x <1.5.已知2a +1<0,则关于x 的不等式x 2-4ax -5a 2>0的解集是( )A .{x |x >5a 或x <-a }B .{x |x <5a 或x >-a }C .{x |-a <x <5a }D .{x |5a <x <-a }解析:选B.因为x 2-4ax -5a 2>0,所以(x -5a )(x +a )>0.因为a <-12,所以5a <-a .所以不等式的解为x >-a 或x <5a .故选B.6.不等式2x 2-x +1>0的解集是________.解析:由Δ=1-4×2<0,则原不等式的解集为R .答案:R7.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x (x +2)>0,|x |<1的解集为________. 解析:原不等式组可化为⎩⎪⎨⎪⎧x <-2或x >0,-1<x <1,解得0<x <1. 答案:{x |0<x <1}8.关于x 的不等式ax 2+bx +2>0的解集为{x |-1<x <2},则关于x 的不等式bx 2-ax -2>0的解集为________.解析:因为ax 2+bx +2>0的解集为{x |-1<x <2},所以⎩⎨⎧2a =-2,-b a =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =1, 所以bx 2-ax -2>0,即x 2+x -2>0,解得x >1或x <-2.答案:{x |x >1或x <-2}9.解下列不等式:(1)(5-x )(x +1)≥0;(2)9x 2-6x +1<0.解:(1)原不等式可化为(x -5)(x +1)≤0,所以原不等式的解集为{x |-1≤x ≤5}.(2)因为Δ=0,方程9x 2-6x +1=0有两相等实根,x 1=x 2=13,所以不等式9x 2-6x +1<0的解集为∅.10.设f (x )=(m +1)x 2-mx +m -1.(1)当m =1时,求不等式f (x )> 0的解集;(2)若不等式f (x )+1>0的解集为⎝⎛⎭⎫32,3,求m 的值.解:(1)当m =1时,不等式f (x )>0为2x 2-x >0,因此所求解集为(-∞,0)∪⎝⎛⎭⎫12,+∞.(2)不等式f (x )+1>0,即(m +1)x 2-mx +m >0,由题意知32,3是方程(m +1)x 2-mx +m =0的两根, 因此⎩⎪⎨⎪⎧32+3=mm +132×3=m m +1⇒m =-97.[B 能力提升]1.已知f (x )=(x -a )(x -b )+2(a <b ),且α,β(α<β)是方程f (x )=0的两根,则α,β,a ,b 的大小关系是( )A .a <α<β<bB .a <α<b <βC .α<a <b <βD .α<a <β<b解析:选A.因为α,β为f (x )=0的两根,所以α,β为f (x )=(x -a )(x -b )+2与x 轴交点的横坐标.因为a ,b 为(x -a )(x -b )=0的根,令g (x )=(x -a )(x -b ),所以a ,b 为g (x )与x 轴交点的横坐标.可知f (x )图象可由g (x )图象向上平移2个单位得到,由图知选A.2.对于实数x ,规定[x ]表示不大于x 的最大整数,那么不等式4[x ]2-36[x ]+45<0的解集为________.解析:由题意解得32<[x ]<152,又[x ]表示不大于x 的最大整数,所以[x ]的取值为2,3,4,5,6,7,故2≤x <8.答案:[2,8)3.解关于x 的不等式x 2-ax -2a 2<0.解:方程x 2-ax -2a 2=0的判别式Δ=a 2+8a 2=9a 2≥0,得方程两根x 1=2a ,x 2=-a .(1)若a >0,则-a <x <2a ,此时不等式的解集为{x |-a <x <2a };(2)若a <0,则2a <x <-a ,此时不等式的解集为{x |2a <x <-a };(3)若a =0,则原不等式即为x 2<0,此时解集为∅.综上所述,原不等式的解集为:当a >0时,{x |-a <x <2a };当a <0时,{x |2a <x <-a };当a =0时,∅.4.(选做题)(2016·广东云浮月考)已知函数f (x )=x 2-(a +1)x +a .(1)当a =2时,求关于x 的不等式f (x )>0的解集;(2)求关于x的不等式f(x)<0的解集.解:(1)当a=2时,f(x)=x2-3x+2,因为f(x)>0,所以x2-3x+2>0,令x2-3x+2=0,解得x1=1,x2=2,所以原不等式的解集为(-∞,1)∪(2,+∞).(2)因为f(x)<0,所以f(x)=x2-(a+1)x+a=(x-a)(x-1)<0,令(x-a)(x-1)=0,解得x1=a,x2=1,当a>1时,原不等式的解集为(1,a);当a=1时,原不等式的解集为空集;当a<1时,原不等式的解集为(a,1).。

高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)

高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)

高中数学必修5一元二次不等式及其解法精选题目(附答案)1.一元二次不等式我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,即形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值,叫做这个一元二次不等式的解,其解的集合,称为这个一元二次不等式的解集.3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系表题型一:一元二次不等式解法1.解下列不等式:(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)4x2+4x+1>0;(4)-x2+6x-10>0.题型二:三个“二次”关系的应用2.若不等式ax 2+bx +2>0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12<x <13,则a +b 的值为( )A .14B .-10C .10D .-143.已知一元二次不等式x 2+px +q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12<x <13,求不等式qx 2+px +1>0的解集.题型三:解含参数的一元二次不等式4.解关于x 的不等式x 2+(1-a )x -a <0.巩固练习:1.不等式6x 2+x -2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-23≤x ≤12B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤-23 2.设a <-1,则关于x 的不等式a (x -a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a <0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B .{x |x >a } C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >a 或x <1aD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 3.在R 上定义运算⊙:a ⊙b =ab +2a +b ,则满足x ⊙(x -2)<0的实数x 的取值范围为( )A .(0,2)B .(-2,1)C .(-∞,-2)∪(1,+∞)D .(-1,2)4.不等式mx 2-ax -1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <-1或x >14 B .R C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-13<x <32 D .∅5.函数y =17-6x -x 2的定义域为( )A .[-7,1]B .(-7,1)C .(-∞,-7]∪[1,+∞)D .(-∞,-7)∪(1,+∞)6.已知全集U =R ,A ={x |x 2-1≥0},则∁U A =________.7.若二次函数y =ax 2+bx +c (a <0)的图象与x 轴的两个交点为(-1,0)和(3,0),则不等式ax 2+bx +c <0的解集是________.8.已知函数f (x )=⎩⎨⎧x 2+2x ,x ≥0,-x 2+2x ,x <0.若f (a )≤3,则a 的取值范围是________.9.解关于x 的不等式x 2-3ax -18a 2>0. 10.若函数f (x )=2 018ax 2+2ax +2的定义域是R ,求实数a 的取值范围.参考答案:1.[解] (1)Δ=49>0,方程2x 2+5x -3=0的两根为x 1=-3,x 2=12, 作出函数y =2x 2+5x -3的图象,如图①所示.由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-3<x <12.(2)原不等式等价于3x 2-6x +2≥0.Δ=12>0,解方程3x 2-6x +2=0,得x 1=3-33,x 2=3+33,作出函数y =3x 2-6x +2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤3-33或x ≥3+33. (3)∵Δ=0,∴方程4x 2+4x +1=0有两个相等的实根x 1=x 2=-12.作出函数y =4x 2+4x +1的图象如图所示.由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠-12,x ∈R.(4)原不等式可化为x 2-6x +10<0,∵Δ=-4<0, ∴方程x 2-6x +10=0无实根,∴原不等式的解集为∅. 2.解:由已知得,ax 2+bx +2=0的解为-12,13,且a <0. ∴⎩⎪⎨⎪⎧-b a =-12+13,2a =⎝ ⎛⎭⎪⎫-12×13,解得⎩⎨⎧a =-12,b =-2,∴a +b =-14.3.解:因为x 2+px +q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-12<x <13,所以x 1=-12与x 2=13是方程x 2+px +q =0的两个实数根,由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13-12=-p ,13×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=q ,解得⎩⎪⎨⎪⎧p =16,q =-16 .所以不等式qx 2+px +1>0即为-16x 2+16x +1>0,整理得x 2-x -6<0,解得-2<x <3.即不等式qx 2+px +1>0的解集为{x |-2<x <3}.4.[解] 方程x 2+(1-a )x -a =0的解为x 1=-1,x 2=a ,函数y =x 2+(1-a )x -a 的图象开口向上,则当a <-1时,原不等式解集为{x |a <x <-1};当a =-1时,原不等式解集为∅;当a >-1时,原不等式解集为{x |-1<x <a }. 5.设a ∈R ,解关于x 的不等式ax 2+(1-2a )x -2>0.5.解:(1)当a =0时, 不等式可化为x -2>0,解得x >2,即原不等式的解集为{x |x >2}.(2)当a ≠0时,方程ax 2+(1-2a )x -2=0的两根分别为2和-1a .①当a <-12时,解不等式得-1a <x <2,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-1a <x <2;②当a =-12时,不等式无解,即原不等式的解集为∅;③当-12<a <0时,解不等式得2<x <-1a ,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2<x <-1a ; ④当a >0时,解不等式得x <-1a 或x >2,即原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <-1a 或x >2. 练习:1.解析:选A 因为6x 2+x -2≤0⇔(2x -1)·(3x +2)≤0,所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-23≤x ≤12. 2.解析:选A ∵a <-1,∴a (x -a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a <0⇔(x -a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a >0.又a <-1,∴1a >a ,∴x >1a 或x <a .3.解析:选B 由a ⊙b =ab +2a +b ,得x ⊙(x -2)=x (x -2)+2x +x -2=x 2+x -2<0,所以-2<x <1.4.解析:选A 因为Δ=a 2+4m >0,所以函数y =mx 2-ax -1的图象与x 轴有两个交点,又m >0,所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D ,故选A.5.解析:选B 由7-6x -x 2>0,得x 2+6x -7<0,即(x +7)(x -1)<0,所以-7<x <1,故选B.6.解析:∁U A ={x |x 2-1<0}={x |-1<x <1}. 答案:{x |-1<x <1}7.解析:根据二次函数的图象知所求不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(3,+∞)8.解析:当a ≥0时,a 2+2a ≤3,∴0≤a ≤1;当a <0时,-a 2+2a ≤3,∴a <0.综上所述,a 的取值范围是(-∞,1].9.解:将x 2-3ax -18a 2>0变形得(x -6a )(x +3a )>0, 方程(x -6a )(x +3a )=0的两根为6a ,-3a .所以当a >0时,6a >-3a ,原不等式的解集为{x |x <-3a 或x >6a };当a =0时,6a =-3a =0,原不等式的解集为{x |x ≠0}; 当a <0时,6a <-3a ,原不等式的解集为{x |x <6a 或x >-3a }. 10.解:因为f (x )的定义域为R ,所以不等式ax 2+2ax +2>0恒成立. (1)当a =0时,不等式为2>0,显然恒成立;(2)当a ≠0时,有⎩⎨⎧ a >0,Δ=4a 2-8a <0,即⎩⎨⎧a >0,0<a <2,所以0<a <2.综上可知,实数a 的取值范围是[0,2).。

高中数学:基本不等式(含答案)

高中数学:基本不等式(含答案)

高中数学:必修5 基本不等式一、基础知识1.重要不等式:a 2+b 2≥2ab (a ,b ∈R )一般地,对于任意实数a ,b ,有a 2+b 2≥2ab ,当且仅当______________时,等号成立.2.基本不等式如果a >0,b >0,那么2a bab +≤,当且仅当______________时,等号成立. 其中,2a b+叫做正数a ,b 的算术平均数,ab 叫做正数a ,b 的几何平均数. 因此基本不等式也可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.基本不等式的证明(1)代数法:方法一 因为a >0,b >0,所以我们可以用a ,b 分别代替重要不等式中的a ,b ,得22()()2a b a b +≥⋅,当且仅当a b =时,等号成立.即2a bab +≥( a >0,b >0),当且仅当a =b 时,等号成立. 方法二 因为2222()()2()0a b ab a b ab a b +-=+-=-≥, 所以20a b ab +-≥,即2a b ab +≥,所以2a bab +≤. 方法三 要证2a bab +≥,只要证2a b ab +≥,即证20a b ab +-≥,即证2()0a b -≥,显然2()0a b -≥总是成立的,当且仅当a =b 时,等号成立.(2)几何法:如图,AB 是圆的直径,C 是AB 上一点,AC =a ,BC =b ,过点C 作垂直于AB 的弦DE ,连接AD ,BD .易证Rt Rt ACD DCB △∽△,则CD 2=CA ·CB ,即CD =______________.这个圆的半径为2a b +,显然它大于或等于CD ,即2a bab +≥,当且仅当点C 与圆心重合,即a =b 时,等号成立.2a bab +≤的几何意义:半径不小于半弦.4.重要不等式和均值不等式的常用变形公式及推广公式(1)2b a a b +≥(a ,b 同号);2b aa b +≤-(a ,b 异号). (2)12a a +≥(a >0);12a a+≤-(a <0). (3)114a b a b +≥+(a >0,b >0);22a a b b≥-(a >0,b >0).(4)222a b ab +≤,2()2a b ab +≤,4ab ≤a 2+b 2+2ab ,2(a 2+b 2)≥(a +b )2(,)a b ∈R . (5)12212(,,,,2)nn n a a a a a a a n n n+++≥∈≥∈R N ,.(6)2121212111()()(,,,n n na a a n a a a a a a ++++++≥为正实数,且2)n n ≥∈N ,.5.均值不等式链若a >0,b >0,则2112a b a b+≤≤≤+,当且仅当a =b 时,等号成立.其中211a b +分别叫做a ,b 的调和平均数和平方平均数.6.最值定理已知x >0,y >0,则若x+y 为定值s ,则当且仅当x =y 时,积xy 有最大值24s (简记:和定积最大); 若xy 为定值t ,则当且仅当x =y 时,和x +y有最小值简记:积定和最小).参考答案:重难易错点:一、利用基本不等式判断不等式是否成立要判断不等式是否成立,关键是把握其运用基本不等式时能否严格遵循“一正、二定、三相等”这三个条件.例1.(1)设f (x )=ln x ,0<a <b ,若p =f ),q =()2a b f +,r =12(f (a )+f (b )),则下列关系式中正确的是 A .q =r <pB .p =r <qC .q =r >pD .p =r >q(2)给出下列不等式:①12x x +≥;②1||2x x+≥;③21(0)4x x x +>>;④1sin 2sin x x +≥;⑤若0<a <1<b ,则log a b +log b a ≤-2.其中正确的是______________. 【答案】(1)B ;(2)②⑤.【点析】基本不等式常用于有条件的不等关系的判断、比较代数式的大小等.一般地,结合所给代数式的特征,将所给条件进行转换(利用基本不等式可将整式和根式相互转化),使其中的不等关系明晰即可解决问题.二、利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式的一般思路:先观察题中要证明的不等式的结构特征,若不能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到能使用基本不等式的形式;若题目中还有其他条件,则先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有“1”时,要注意“1”的代换.另外,解题时要时刻注意等号能否取到.例2.(1)已知a >0,b >0,c >0,求证:222a b c a b c b c a++≥++;(2)已知a >b ,ab =2,求证:224a b a b+≥-.观察a-b,a2+b2,可联想到通过加减2ab的方法配凑出(a-b)2,从而化为可使用基本不等式的形式,结合ab =2可使问题得到解决.三、利用基本不等式求最值(1例3.(1)已知f(x)=x+1x+2(x<0),则f(x)有A.最大值为4B.最小值为4 C.最小值为0 D.最大值为0(2)已知0<x<4,则x(4-x)取得最大值时x的值为A.0 B.2 C.4 D.16(3)已知函数f(x)=2x(x>0),若f(a+b)=16,则f(ab)的最大值为_______________;(4)已知a,b∈R,且ab=8,则|a+2b|的最小值是_______________.【答案】(1)D;(2)C;(3)16;(4)8.【点析】利用基本不等式求最值要牢记三个关键词:一正、二定、三相等,即①一正:各项必须为正;②二定:各项之和或各项之积为定值;③三相等:必须验证取等号时条件是否具备.(2使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项、凑项、凑系数等.例4.(1)已知x>0,则函数y=231x xx++的最小值为_______________;(2)若x>1,则函数y=11xx+-的最小值为_______________;(3)若0<x<125,则函数y=x(12-5x)的最大值为_______________.(31”的替换,或构造不等式求解.例5.(1)已知a>0,b>0,a+b=1,则11a b+的最小值为_______________;(2)已知a>0,b>0,11a b+=2,则a+b的最小值为_______________;(3)若正实数x,y满足x+y+3=xy,则xy的最小值是_______________;(4)已知x >0,y >0,x +y +xy =3,则x +y 的最小值是_______________. 【答案】(1)4;(2)2;(3)9;(4)2.【点析】在构造不等式求最值时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用.例如,当a >0,b >0时,a 2+b 2≥2ab 逆用就是ab ≤222a b +;2a b+≥ab 逆用就是ab ≤2()2a b +等.还要注意“添项、拆项、凑系数”的技巧和等号成立的条件等.四、基本不等式在实际中的应用利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型,一般来说,都是从具体的几何图形,通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型2bax ab x+≥(a >0,b >0,x >0)上靠拢. 例6.如图,要规划一个矩形休闲广场,该休闲广场含有大小相等的左右两个矩形草坪(如图中阴影部分所示),且草坪所占面积为18 000 m 2,四周道路的宽度为10 m ,两个草坪之间的道路的宽度为5 m .试问,怎样确定该矩形休闲广场的长与宽的尺寸(单位:m ),能使矩形休闲广场所占面积最小?【答案】当矩形休闲广场的长为140 m ,宽为175 m 时,可使休闲广场的面积最小.【点析】本题容易出现的思维误区:①未能理清草坪边长与休闲广场边长之间的关系;②求出目标函数后不会运用基本不等式求最值,缺乏必要的配凑、转化变形能力,从而无法利用基本不等式求最值,或者不会利用基本不等式等号成立的条件求变量的取值.五、忽略等号成立的条件导致错误例7、函数22()2f x x =+的最小值为_______________.【错解】2222223211()22222x x f x x x x x +++===++≥+++,所以函数()f x 的最小值为2.【错因分析】错解中使用基本不等式时,等号成立的条件为22122x x +=+,即22x +=1,显然x 2≠-1,即等号无法取到,函数()f x 的最小值为2是不正确的. 【正解】()21222+++=x x x f ,令()()t t t g t x t 1,2,22+=≥+=.易知函数()tt t g 1+=在[)∞+,2上六、忽略等号成立的一致性导致错误例8、若x>0,y>0,且x+2y=1,则11x y+的最小值为_______________.基本不等式:基础习题强化1.已知01x <<,则(1)x x -取最大值时x 的值为A B C D 2.若实数,a b 满足323a b +=,则84a b +的最小值是A .B .4C .D .3.若0,0,x y >>且22x y +=,则21x y+的最小值是A .3BC .3D .924.若1a >,则211a a a -+-的最小值是A .2B .4C .1D .35.已知2212,202b m a a n b a -=+>=≠-()(),则m ,n 之间的大小关系是 A .m >nB .m <nC .m =nD .不能确定6.己知,a b 均为正实数,且直线60ax by +-=与直线()3250b x y --+=互相垂直,则23a b +的最小值为 A .12B .13C .24D .257.已知0a >,0b >,11a b a b +=+,则12a b+的最小值为A .4B .C .8D .168.若正数a ,b 满足3ab a b =++,则ab 的取值范围为________________. 9.已知,,a b c +∈R ,且3a b c ++=,则111a b c++的最小值是________________.10.若实数a ,b 满足12a b+=ab 的最小值为________________. 11.设230<<x ,则函数4(32)y x x =-的最大值为________________. 12.已知a >0,b >0,ab =8,则当a 的值为________________时,22log log (2)a b ⋅取得最大值.能力提升13.已知a ,b 都是正实数,且满足2a b ab +=,则2a b +的最小值为A .12B .10C .8D .614.已知1,1a b >>,且11111a b +=--,则4a b +的最小值为 A .13B .14C .15D .1615.已知不等式1)()9ax y x y++≥(对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值为 A .8B .6C .4D .216.若正实数,a b 满足1a b +=,则A .11a b+有最大值4 B .ab 有最小值14C .a b +有最大值2D .22a b +有最小值2217.已知0,0a b >>,若不等式3103m a b a b--≤+恒成立,则m 的最大值为 A .4B .16C .9D .318.设实数x ,y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩,则xy 的最大值为A .252B .492C .12D .1419.已知a >0,b >0,c >0,且a +b +c =1,则111a b c++的最小值为_________________. 20.在4×+9×=60的两个中,分别填入一个自然数,使它们的倒数之和最小,则中应分别填入____________和____________.21.若a ,b ,c >0且(a +c )(a +b )=423-,则2a +b +c 的最小值为________________. 22.已知正实数a ,b 满足:1a b +=,则222a ba b a b +++的最大值是________________.其他23.某校要建一个面积为450平方米的矩形球场,要求球场的一面利用旧墙,各面用钢筋网围成,且在矩形一边的钢筋网的正中间要留一个3米的进出口(如图所示).设矩形的长为x 米,钢筋网的总长度为y 米. (1)列出y 与x 的函数关系式,并写出其定义域;(2)问矩形的长与宽各为多少米时,所用的钢筋网的总长度最小?24.(1)求函数2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值;(2)已知正数a ,b 和正数x ,y ,若a +b =10,1a bx y+=,且x +y 的最小值是18,求a ,b 的值.25.已知函数2()21,f x x ax a a =--+∈R .(1)若2a =,试求函数()(0)f x y x x=>的最小值; (2)对于任意的[0,2]x ∈,不等式()f x a ≤成立,试求a 的取值范围.26.(天津文理)已知a ,b ∈R ,且360a b -+=,则128ab+的最小值为_______________. 27.(江苏)在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为_______________.28.(山东理)若0a b >>,且1ab =,则下列不等式成立的是A .()21log 2aba ab b +<<+ B .()21log 2a b a b a b<+<+ C .()21log 2a b a a b b +<+<D .()21log 2a ba b a b +<+< 29.(天津文理)若,a b ∈R ,0ab >,则4441a b ab++的最小值为________________.30.(江苏)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x 吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x 的值是________________. 31.(山东文)若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,2),则2a b +的最小值为________________.【参考答案】1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】D 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】D 7.【答案】B8.【答案】[)+∞,9 9.【答案】3 10.【答案】 11.【答案】9212.【答案】4 13.【答案】C 14.【答案】B 15.【答案】C 16.【答案】C 17.【答案】B 18.【答案】A19.【答案】9 20.【答案】6 4 21.【答案】2 22.23.【答案】(1)9003(0150)y x x x=+-<<;(2)长为30米,宽为15米时,所用的钢筋网的总长度最小. 24.【答案】(1)9;(2)28a b =⎧⎨=⎩或82a b =⎧⎨=⎩. 25.【答案】(1)2-;(2)3[,)4+∞.26.【答案】0.25 27.【答案】9 28.【答案】B 29.【答案】4 30.【答案】30 31.【答案】8。

高中数学必修5:一元二次不等式 知识点及经典例题(含答案)

高中数学必修5:一元二次不等式 知识点及经典例题(含答案)

一元二次不等式【知识概述】本节主要为大家讲解一元二次不等式的解法,以及利用一元二次不等式解决其他相关数学问题.通过本节课的学习,要求同学们掌握简单的一元二次不等式或可化为一元二次不等式的分式不等式的解法,能够解决已知二次函数零点的分布考查一元二次方程中未知参数的取值范围的问题.b-4ac)三个二次之间的关系(下表中a>0,△=2【学前诊断】1.[难度] 易不等式0)1)(2(>-+x x 的解集是( )A. }12|{>-<x x x 或B. }12|{<<-x xC. {|12}x x x <->或D. }21|{<<-x x 2. [难度] 易方程0)12(2=+++m x m mx 有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围是( )A. 41->mB. 41-<mC. 41≥mD. 41->m 且0≠m 3. [难度] 中若不等式220ax bx +->的解集是(-2,-41),则a =___________,b =____________【经典例题】例1. 解下列关于x 的不等式(1)(5)(32)6:x x +-≥(2)2(12)20ax a x -++>.例2. 已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}24x x <<,求不等式20cx bx a ++<的解集.例3. 若关于x 的不等式2230ax ax -+>对一切实数x 都成立,求a 的取值范围.例4. 若关于x 的不等式2(2)20x a x a -++≥在区间(],1-∞上总成立,求a 的取值范围.例5.若关于x 的不等式22320x ax a +-≤在区间[]1,2-上总成立,求a 的取值范围.例6.若对(],1x ∈-∞-,不等式21()2()12x x m m --<恒成立,求实数m 的取值范围.【本课总结】不等式是高考的基本内容之一,作为重要的工具性知识,在高考数学试卷中一直占有较高的比例,由于不等式内容的高渗透性特征,所以本部分内容的考查形式比较灵活,可以出现在各种题型内,如选择、填空、解答题都可以渗透不等式内容,所以新课标卷对不等式的考查都是小题和大题兼顾,而且由于高考试卷命题的综合性特征明显,单纯考查不等式的题目不是很多,常在一些函数、数列、解析几何和实际应用问题的试题中有所涉及,并在其中充分发挥着工具性作用,不等式高考题的落脚点在于不等式的基础知识和不等式的解法,特别是一元二次不等式(包括含参数和不含参数的)的解法.不等式部分要求考生要有足够的运算求解能力和转化化归能力,且由于解题途径的多样性,又对考生的综合运用所学知识分析和解决问题的能力有较高要求.具体学习时要注意一下几点:1.要特别重视四位一体的综合思维模式,即将二次函数、二次方程、二次不等式、二次函数图像作为有机整体进行思考,并能进行必要的转化,此思维模式中包含重要的数学思想,如数形结合思想、转化思想等,通过数形结合将抽象问题直观化,通过转化则可将复杂问题简单化、将陌生问题熟悉化.2.解一元二次不等式时,要转化为标准形式,即二次项系数大于零,在此背景下才能直接套用不等式的解集公式.3.如果不等式的系数中包含字母参数,则在解不等式时一般要进行分类讨论,在含参问题的讨论中,充分利用二次函数图像突出其直观性是重要的思想方法.此类问题的难点在于含参问题的讨论,许多同学的困惑在于如何确定分类讨论的标准,一般来说此类问题的讨论分三个层次:先讨论二次项系数的符号,如本题中分k=0,k>0;再讨论判别式的符号;在有根的情况下,如有必要再讨论两根之大小关系,若该二次三项式可以因式分解,则不需讨论判别式而直接讨论两根之大小..4. 在含参数的不等式中求参数取值范围,是高考命题的一个趋势.已知不等式恒成立求参数的取值范围,是一种重要的数学模型,如(1)()()f x a x D ≥∈恒成立,求参数a 的取值范围;(2)()()f x g x ≥恒成立,求式中参数m 的取值范围等,此类数学模型一般有两种基本解法,一是转化为求函数的最小值:如()()f x a x D ≥∈恒成立max ()(),f x a x D ⇔≥∈二是分离参数法,将参数m 与自变量x 进行分离,分离参数是一种重要的方法,可避免分类讨论的痛苦,在研究不等式恒成立的问题时非常有效..5.要关注求解不等式的逆向思维问题,即若给出不等式的解集研究原不等式.6.要关注在其他数学问题背景中涉及到一元二次不等式的相关问题,此类问题具有一定的综合性,对解题方法的选择有一定灵活性.【活学活用】1 . [难度] 易若10<<a ,则不等式0)1)((>--a x x a 的解集是( ) A. a x a 1<< B. a x a <<1 C. a x 1>或a x < D. a x 1<或a x > 2. [难度] 中解关于x 的不等式0))((2<--a x a x .3. [难度] 中对于任意实数x ,一元二次不等式0)4()1()12(2>-+++-m x m x m 恒成立,求实数m 的取值范围.。

(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(含答案解析)(1)

(典型题)高中数学必修五第三章《不等式》测试卷(含答案解析)(1)

一、选择题1.已知正数x ,y 满足1431x y +=+,则x y +的最小值为( ) A .53B .2C .73D .62.设实数x ,y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是( )A .2B .-2C .1D .-13.已知a b >,不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立,且0x R ∃∈,使得20020ax x b ++=成立,则22a b a b+-的最小值为( )A .1BC .2D.4.若x 、y 满足约束条件36022x y x y y +-≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩,则22x y +的最小值为( )A .5B .4C .2D5.已知实数,x y 满足24240x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩,则32z x y =-的最小值是 ( )A .4B .5C .6D .76.设,x y 满足约束条件321104150250x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则z x y =+的最小值为( )A .3B .4C .5D .107.若函数()1xy a a =>的图象与不等式组40,20,1x y y x -≤⎧⎪-≥⎨⎪≤+⎩,表示的区域有公共点,则a 的取值范围为( ) A .[]2,4B.⎤⎦C .(][)1,24,⋃+∞D.([)2,⋃+∞8.已知函数()32f x x ax bx c =+++,且()()()01233f f f <-=-=-≤,则( )A .c 3≤B .3c 6<≤C .6c 9<≤D .c 9>9.设x ,y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩,则1z x y =-+的最小值是( )A .1-B .0C .1D .210.在ABC 中,BAC ∠的平分线交BC 于D .若3BAC π∠=,4AB AC +=,则AD 长度的最大值为( ) AB .2C .3D.11.设函数2()1f x mx mx =--,若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3},()4f x m <-+恒成立,则实数m 的取值范围为( ) A .m ≤0 B .0≤m <57C .m <0或0<m <57D .m <5712.已知不等式230ax bx a --≥的解集是[]4,1-,则b a 的值为( ) A .-64B .-36C .36D .64二、填空题13.若正实数x 、y 、z ,满足3z x y +=,4z y x +=,则x y x y z++-的最小值为_______.14.已知x ,y 满足不等式组220,10,30x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩,则11x z y -=+,则z 的最大值为________.15.若关于x 的不等式250ax x b -+< 的解集为{|23}x x << ,则+a b 的值是__________.16.若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立,则实数m 的最小值为________ 17.在下列函数中, ①1y x x=+②1123212y x x x ⎛⎫=++< ⎪-⎝⎭③()2114141x y x x x x ⎛⎫=++> ⎪+⎝⎭ ④22221πsin cos 0,sin cos 2y x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中最小值为2的函数是__________.18.若关于x 的不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭,则称这两个不等式为“对偶不等式”.若不等式()2220x x θ-+<和不等式()224sin 210x x θ++<为“对偶不等式”,且,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则θ=______.19.若实数x ,y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则3z x y =-的最小值为__________.20.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足570a a ,1122S =,则7811572a a a a a 的最小值为_________.三、解答题21.2020年受疫情影响,全球经济均受到不同程度的冲击.为稳妥有序地推进复工复产,2月11日晚,郑州市相关政府部门印发了《郑州市关于应对新型冠状病毒肺炎疫情促进经济平稳健康发展的若干举措》的通知,并出台多条举措促进全市经济平稳健康发展.某工厂为拓宽市场,计划生产某种热销产品,经调查,该产品一旦投入市场就能全部售出.若不举行促销活动,该产品的年销售量为28万件,若举行促销活动,年销售量y (单位;万件)与年促销费用()0x x ≥(单位;万元)满足3010(ky k x =-+为常数).已知生产该产品的固定成本为80万元,每生产1万件该产品需要再投入生产成本160万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定成本和生产成本,不包括促销成本). (1)求k 的值,并写出该产品的利润L (单位:万元)与促销费用x (单位:万元)的函数关系﹔ (2)该工厂计划投入促销费用多少万元,才能获得最大利润?22.已知m R ∈,命题p :对任意[]0,1x ∈,不等式2223x m m -≥-恒成立;命题q :存在[]1,1x ∈-,使得m ax ≤成立.(1)若p 为真命题,求m 的取值范围;(2)当1a =时,若p q ∨为真,p q ∧为假,求m 的取值范围. 23.已知()f x 是偶函数,()g x 是奇函数,且2()()2f x g x x x +=+-. (1)求()f x 和()g x 的解析式;(2)设2()33h x mx mx =+-(其中m R ∈),解不等式()()h x g x <.24.已知函数2221,()?23,x ax x af x x ax x a ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪+-≥⎪⎩,其中 0a >. (1)若()()01ff =,求a 的值.(2)若函数()f x 的图象在x 轴的上方,求a 的取值范围. 25.已知函数()()21,4f x ax bx a b R =++∈,且()10f -=,对任意实数x ,()0f x ≥成立.(1)求函数()f x 的解析式;(2)若0c ≥,解关于x 的不等式()2131424f x c x x c ⎛⎫⎛⎫>+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 26.某单位计划建造一间背面靠墙的小屋,其地面面积为12m 2,墙面的高度为3m ,经测算,屋顶的造价为5800元,房屋正面每平方米的造价为1200元,房屋侧面每平方米的造价为800元,设房屋正面地面长方形的边长为x m ,房屋背面和地面的费用不计. (1)用含x 的表达式表示出房屋的总造价; (2)当x 为多少时,总造价最低?最低造价是多少?【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+,再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选:B 【点睛】方法点睛:利用基本不等式求最值时,常用到常量代换,即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式,再利用基本不等式求解.2.C解析:C 【分析】先作出约束条件对应的可行域,然后分析目标函数的几何意义,结合图形即可求解. 【详解】作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示:移动直线x y z +=,可知当其过点A 时取得最小值, 解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩,求得10x y =⎧⎨=⎩,即(1,0)A ,代入求得101=+=z ,所以x y +的最小值是1, 故选:C. 【点睛】方法点睛:该题考查的是有关线性规划的问题,解题方法如下: (1)根据题中所给的约束条件画出可行域; (2)根据目标函数的意义找到最优解; (3)解方程组求得最优解的坐标; (4)代入求得最小值,得到结果.3.D解析:D 【分析】根据条件对于一切实数x 不等式恒成立和0x R ∃∈使得方程成立结合二次不等式、二次方程、二次函数,可得1ab =,将22a b a b+-化成2a b a b -+-,再结合基本不等式求解即可.【详解】解:因为不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立,所以0440a ab >⎧⎨-≤⎩,又因为0x R ∃∈,使得20020ax x b ++=成立,所以440ab -≥,所以440ab -=, 即0,0,1a b ab >>=,所以222()2222a b a b ab a b a b a b a b+-+==-+≥---,当且仅当2a b a b-=-时取得最小值. 故选:D. 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.4.C解析:C 【分析】由不等式组作出可行域,如图,目标函数22xy +可视为可行域中的点与原点距离的平方,故其最小值应为原点到直线2x y +=的距离平方,根据点到直线的距离公式可得选项. 【详解】由不等式组做出可行域如图,目标函数22xy +可视为可行域内的点与原点距离的平方,故其最小值为原点到直线2x y +=的距离的平方,由点到直线的距离公式可知,原点到直线2x y +=的距离为22d ==,所以所求最小值为2. 故选:C.【点睛】本题主要考查线性规划问题,首先由不等式组作出相应的可行域,作图时,可将不等式0Ax By C ++≥转化为y kx b ≤+(或y kx b ≥+),明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.5.C解析:C【分析】由约束条件画出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组得到最优解的坐标,代入目标函数得到答案.【详解】由实数x,y满足2424x yx yy-≥⎧⎪+≤⎨⎪≤⎩得到可行域如图:z=3x﹣2y变形为y=32x﹣2z,由24yx y=⎧⎨-=⎩,解得B(2,0)当此直线经过图中B时,在y轴的截距最大,z最小,所以z的最小值为3×2﹣2×0=6;故选C.【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.6.B解析:B【分析】结合题意画出可行域,然后运用线性规划知识来求解【详解】如图由题意得到可行域,改写目标函数得y x z =-+,当取到点(3,1)A 时得到最小值,即314z =+=故选B 【点睛】本题考查了运用线性规划求解最值问题,一般步骤:画出可行域,改写目标函数,求出最值,需要掌握解题方法7.B解析:B 【分析】由约束条件作出可行域,再由指数函数的图象经过A ,B 两点求得a 值,则答案可求. 【详解】解:由约束条件40,20,1x y y x -⎧⎪-⎨⎪+⎩作出可行域如图:当1x =时,2y a =≤;当4x =时,42y a =≥,则42a ≥故a 的取值范围为42,2⎡⎤⎣⎦.故选:B . 【点睛】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,属于中档题.8.C解析:C 【分析】由()()()123f f f -=-=-可求得a b ,的值,代回不等关系得出c 的取值范围 【详解】由()()()123f f f -=-=-可得184********a b c a b ca b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩解得611a b =⎧⎨=⎩则()32611f x x x x c =+++ 所以()16f c -=-,()013f <-≤所以0c 63-≤<,解得6c 9≤<, 故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的性质,运用待定系数法求出参量的值,然后结合题意求出取值范围,较为基础.9.C解析:C 【分析】作出约束条件所表示的平面区域,结合图象确定目标函数的最优解,代入求解,即可得到答案. 【详解】作出x ,y 满足约束条件261322x y x y y -≤⎧⎪⎪+≥⎨⎪≤⎪⎩,所对应的可行域,如图所示,目标函数1z x y =-+可化为1y x z =+-,当直线1y x z =+-过点A 时, 此时直线在y 轴上的截距最大值,此时目标函数取得最小值,又由2132y x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得(2,2)A , 所以目标函数的最小值为min 2211z =-+=. 故选:C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力,属于基础题.10.A解析:A 【分析】根据题意,设,,,AD t AB c AC b ===由三角形面积公式1sin 2S a b θ=⋅⋅可表示出,,ACD ABD ABC ∆∆∆三者之间的关系,进而得边长关系为3,t bc =最后通过基本不等式求得AD 的最大值。

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)

高中数学必修5基本不等式精选题目(附答案)1.重要不等式当a ,b 是任意实数时,有a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a =b 时,等号成立. 2.基本不等式(1)有关概念:当a ,b 均为正数时,把a +b2叫做正数a ,b 的算术平均数,把ab 叫做正数a ,b 的几何平均数.(2)不等式:当a ,b 是任意正实数时,a ,b 的几何平均数不大于它们的算术平均数,即ab ≤a +b2,当且仅当a =b 时,等号成立.(3)变形:ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 22≤a 2+b 22,a +b ≥2ab (其中a >0,b >0,当且仅当a=b 时等号成立).题型一:利用基本不等式比较大小1.已知m =a +1a -2(a >2),n =22-b 2(b ≠0),则m ,n 之间的大小关系是( ) A .m >n B .m <n C .m =nD .不确定2.若a >b >1,P =lg a ·lg b ,Q =12(lg a +lg b ),R =lg a +b 2,则P ,Q ,R 的大小关系是________.题型二:利用基本不等式证明不等式3.已知a ,b ,c 均为正实数, 求证:2b +3c -a a +a +3c -2b 2b +a +2b -3c3c ≥3.4.已知a ,b ,c 为正实数, 且a +b +c =1,求证:⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c -1≥8.题型三:利用基本不等式求最值5.已知lg a +lg b =2,求a +b 的最小值.6.已知x >0,y >0,且2x +3y =6,求xy 的最大值.7.已知x >0,y >0,1x +9y =1,求x +y 的最小值.8.已知a >0,b >0,2a +1b =16,若不等式2a +b ≥9m 恒成立,则m 的最大值为( )A .8B .7C .6D .5题型四:利用基本不等式解应用题9.某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米长造价45元,顶部每平方米造价20元,求:(1)仓库面积S 的最大允许值是多少?(2)为使S 达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?巩固练习:1.下列结论正确的是( ) A .当x >0且x ≠1时,lg x +1lg x ≥2 B .当x >0时,x +1x≥2 C .当x ≥2时,x +1x 的最小值为2 D .当0<x ≤2时,x -1x 无最大值2.下列各式中,对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A .lg(x 2+1)≥lg(2x ) B .x 2+1>2x C.1x 2+1≤1 D .x +1x ≥23.设a ,b 为正数,且a +b ≤4,则下列各式中正确的一个是( ) A.1a +1b <1 B.1a +1b ≥1 C.1a +1b <2D.1a +1b ≥24.四个不相等的正数a ,b ,c ,d 成等差数列,则( ) A.a +d2>bcB.a +d2<bcC.a+d2=bc D.a+d2≤bc5.若x>0,y>0,且2x+8y=1,则xy有()A.最大值64B.最小值1 64C.最小值12D.最小值646.若a>0,b>0,且1a+1b=ab,则a3+b3的最小值为________.7.(2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.8.若对任意x>0,xx2+3x+1≤a恒成立,则a的取值范围是________.9.(1)已知x<3,求f(x)=4x-3+x的最大值;参考答案:1.解:因为a>2,所以a-2>0,又因为m=a+1a-2=(a-2)+1a-2+2,所以m≥2(a-2)·1a-2+2=4,由b≠0,得b2≠0,所以2-b2<2,n=22-b2<4,综上可知m>n.2.解:因为a>b>1,所以lg a>lg b>0,所以Q=12(lg a+lg b)>lg a·lg b=P;Q=12(lg a+lg b)=lg a+lg b=lg ab<lga+b2=R.所以P<Q<R.3.[证明]∵a,b,c均为正实数,∴2ba+a2b≥2(当且仅当a=2b时等号成立),3c a+a3c≥2(当且仅当a=3c时等号成立),3c 2b +2b3c ≥2(当且仅当2b =3c 时等号成立),将上述三式相加得⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a +a 2b +⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a +a 3c +⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b +2b 3c ≥6(当且仅当a =2b =3c时等号成立),∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a +a 2b -1+⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a +a 3c -1+⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b +2b 3c -1≥3(当且仅当a =2b =3c 时等号成立),即2b +3c -a a +a +3c -2b 2b +a +2b -3c 3c ≥3(当且仅当a =2b =3c 时等号成立).4.证明:因为a ,b ,c 为正实数,且a +b +c =1, 所以1a -1=1-a a =b +c a ≥2bc a . 同理,1b -1≥2ac b ,1c -1≥2abc . 上述三个不等式两边均为正,相乘得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c -1≥2bc a ·2ac b ·2abc =8,当且仅当a =b =c =13时,取等号.5.解:由lg a +lg b =2可得lg ab =2, 即ab =100,且a >0,b >0,因此由基本不等式可得a +b ≥2ab =2100 =20, 当且仅当a =b =10时,a +b 取到最小值20. 6.解:∵x >0,y >0,2x +3y =6, ∴xy =16(2x ·3y )≤16·⎝⎛⎭⎪⎫2x +3y 22=16·⎝ ⎛⎭⎪⎫622=32,当且仅当2x =3y ,即x =32,y =1时,xy 取到最大值32. 7.解:∵1x +9y =1, ∴x +y =(x +y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +9y=1+9x y +y x +9=y x +9xy +10, 又∵x >0,y >0, ∴y x +9xy +10≥2y x ·9xy +10=16,当且仅当y x =9xy ,即y =3x 时,等号成立. 由⎩⎪⎨⎪⎧y =3x ,1x +9y=1,得⎩⎨⎧x =4,y =12,即当x =4,y =12时,x +y 取得最小值16.8.解析:选C 由已知,可得6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +1b =1,∴2a +b =6⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +1b ·(2a +b )=6⎝ ⎛⎭⎪⎫5+2a b +2b a ≥6×(5+4)=54,当且仅当2a b =2b a 时等号成立,∴9m ≤54,即m ≤6,故选C.9.[解] (1)设铁栅长为x 米,一堵砖墙长为y 米,而顶部面积为S =xy ,依题意得,40x +2×45y +20xy =3 200,由基本不等式得3 200≥240x ×90y +20xy =120xy +20xy , =120S +20S .所以S +6S -160≤0,即(S -10)(S +16)≤0, 故S ≤10,从而S ≤100,所以S 的最大允许值是100平方米,(2)取得最大值的条件是40x =90y 且xy =100, 求得x =15,即铁栅的长是15米. 练习:1.解析:选B A 中,当0<x <1时,lg x <0,lg x +1lg x ≥2不成立;由基本不等式知B 正确;C 中,由对勾函数的单调性,知x +1x 的最小值为52;D 中,由函数f (x )=x -1x 在区间(0,2]上单调递增,知x -1x 的最大值为32,故选B.2.解析:选C 对于A ,当x ≤0时,无意义,故A 不恒成立;对于B ,当x =1时,x 2+1=2x ,故B 不成立;对于D ,当x <0时,不成立.对于C ,x 2+1≥1,∴1x 2+1≤1成立.故选C. 3.解析:选B 因为ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫422=4,所以1a +1b ≥21ab ≥214=1.4.解析:选A 因为a ,b ,c ,d 成等差数列,则a +d =b +c ,又因为a ,b ,c ,d 均大于0且不相等,所以b +c >2bc ,故a +d2>bc .5.解析:选D 由题意xy =⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +8y xy =2y +8x ≥22y ·8x =8xy ,∴xy ≥8,即xy 有最小值64,等号成立的条件是x =4,y =16.6.解析:∵a >0,b >0,∴ab =1a +1b ≥21ab ,即ab ≥2,当且仅当a =b =2时取等号,∴a 3+b 3≥2(ab )3≥223=42,当且仅当a =b =2时取等号,则a 3+b 3的最小值为4 2.7.解析:由题意,一年购买600x 次,则总运费与总存储费用之和为600x ×6+4x =4⎝ ⎛⎭⎪⎫900x +x ≥8900x ·x =240,当且仅当x =30时取等号,故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.8.解析:因为x >0,所以x +1x ≥2.当且仅当x =1时取等号, 所以有xx 2+3x +1=1x +1x +3≤12+3=15, 即x x 2+3x +1的最大值为15,故a ≥15. 答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫15,+∞(2)已知x ,y 是正实数,且x +y =4,求1x +3y 的最小值. 9.解:(1)∵x <3, ∴x -3<0,∴f (x )=4x -3+x =4x -3+(x -3)+3 =-⎣⎢⎡⎦⎥⎤43-x +(3-x )+3≤-243-x·(3-x )+3=-1, 当且仅当43-x=3-x , 即x =1时取等号, ∴f (x )的最大值为-1. (2)∵x ,y 是正实数,∴(x +y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x +3y =4+⎝ ⎛⎭⎪⎫y x +3x y ≥4+2 3.当且仅当y x =3xy ,即x =2(3-1),y =2(3-3)时取“=”号. 又x +y =4, ∴1x +3y ≥1+32, 故1x +3y 的最小值为1+32.。

2019年人教版高中数学必修五考点练习:基本不等式的配凑技巧(含答案解析)

2019年人教版高中数学必修五考点练习:基本不等式的配凑技巧(含答案解析)

6a 2b 当且仅当 b = a 且2a+b-1=0,即a=2- 3,b=2 3-3时取等号.
32 故b+a的最小值为7+4 3. 答案:7+4 3
10. 【解析】选D. log4 (3a 4b) log2 ab, 可得 3a 4b ab, 且 a 0,b 0
3a 4b 1, 即 3 4 1,
5
10
A.3
B. 3
3
C. 2
D.3
9. 已知x>y>0,求
的最小值及取最小值时的x、y的值.
2 10. 若b>a>1,且3logab+6logba=11,则a3+b-1的最小值为________.
二、“1”的变换
14 1. 已知a>0,b>0,a+b=2,则y=a+b的最小值是
7
A. 2
B.4
9
C. 2
4. 已知 x , y , z 0 , 1 且 x y z 2 ,求 xy yz zx 的最大值.
5. 已知实数x,y满足x2+y2-xy=1 ,则x+y的最大值为________. 6. 设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是________.
12 7. 若实数a,b满足a+b= ab,则ab的最小值为( )
3y 4x
31
+ x+y
·
∴x+y= x y 3 =2+2+ x +3y≥4+2 x 3y=8,当且仅当x=4,y=2时取等号,
32 故x+y的最小值是8.
16 1 8. 解析:已知x>0,y>0,且x+16y=xy. 即 x +y=1.
( ) 16 1
16y x

则x+y=(x+y) x y =16+1 + x +y≥17+2

(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》测试题(答案解析)(4)

(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》测试题(答案解析)(4)

一、选择题1.若实数x ,y 满足1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值为( )A .3-B .0C .1D .32.已知关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解,则实数a 的取值范围为( ) A .2a ≤B .2a ≥C .52a ≥D .52a ≤3.已知x ,y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,则2z x y =+的最大值为( )A .3B .3-C .1D .324.已知正项等比数列{}n a 中979a a =,若存在两项m a 、n a ,使2127m n a a a =,则116m n+的最小值为( ) A .5 B .215C .516D .6545.已知实数x ,y 满足222y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,3z x y =-,则z 的最小值是( )A .2-B .4-C .6-D .8-6.当x ,y 满足不等式组11y x y x y ≤⎧⎪≥-⎨⎪+≤⎩时,目标函数2=+t x y 最小值是( )A .-4B .-3C .3D .327.若正数x ,y 满足35x y xy += ,则43x y + 的最小值为( ) A .275B .245C .5D .68.已知0,0x y >>,且21x y +=,则xy 的最大值是( ) A .14B .4C .18D .89.若a ,b 是任意实数,且a >b ,则下列不等式成立的是( )A .a 2>b 2B .1b a< C .lg(a -b )>0D .11()()33ab<10.设x ,y 满足约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩,且z x ay =+的最小值为7,则a =( )A .5-B .3C .5-或3D .5或3-11.已知集合{}24120A x x x =--≤,{}440B x x =->,则AB =( )A .{}12x x <≤B .{}2x x ≥-C .{}16x x <≤D .{}6x x ≥-12.已知4213332,3,25a b c ===,则 A .b a c << B .a b c << C .b c a <<D .c a b <<二、填空题13.若实数a ,b 满足22221a b +=,则22141a b ++的最小值为___________. 14.设实数s ,t 满足0t >,且24s t +=,则128s s t+的最小值是____________. 15.若x >1,y >1,且a b x y xy ==,则a +4b 的最小值为___________. 16.已知0a >,0b >且3a b +=.式子2021202120192020a b +++的最小值是___________.17.设ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,且3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+,则()tan A C -的最大值为__________. 18.已知实数,x y 满足102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则3yx +的最大值为_______.19.实数,x y 满足2025040x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩,则24z x y =+-的最大值是___.20.非负实数x ,y ,满足360x y +-≥,则521z x y =+-的最小值为__________.三、解答题21.为摆脱美国政府针对中国高科技企业的封锁,加强自主性,某企业计划加大对芯片研发部的投入.据了解,该企业研发部原有100名技术人员,年人均投入a 万元,现把原有技术人员分成两部分:技术人员和研发人员,其中技术人员x 名(x ∈N 且4575x ≤≤),调整后研发人员的年人均投入增加()4%x ,技术人员的年人均投入调整为225x a m ⎛⎫-⎪⎝⎭万元.(1)要使这100x -名研发人员的年总投入不低于调整前100名技术人员的年总投入,求调整后的技术人员的人数最多多少人?(2)是否存在这样的实数m ,使得技术人员在已知范围内调整后,同时满足以下两个条件:①技术人员的年人均投入始终不减少;②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.若存在,求出m 的范围;若不存在,说明理由. 22.已知函数()()()23f x x a x =-+. (1)当72a >-时,解关于x 的不等式()46f x x >+; (2)若关于x 的方程()80f x +=在(–),1∞上有两个不相等实根,求实数a 的取值范围. 23.已知函数2()()f x x ax a R =-∈. (1)若2a =,求不等式()3f x ≥的解集;(2)若[1,)x ∈+∞时,2()2f x x ≥--恒成立,求a 的取值范围.24.已知函数2()12af x x x =-+ (1)若()0f x ≥,在R 上恒成立,求实数a 的取值范围; (2)若[]1,2,()2x f x ∃∈≥成立,求实数a 的取值范围. 25.已知函数2()3f x x x m =++. (1)当m =-4时,解不等式()0f x ≤; (2)若m >0,()0f x <的解集为(b ,a ),求14a b+的最大値. 26.已知函数2()(3)2f x ax a x =+-+(其中a ∈R ). (1)当a =-1时,解关于x 的不等式()0f x <; (2)若()1f x ≥-的解集为R ,求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】画出约束条件所表示的平面区域,根据目标函数的几何意义,结合图形,即可求出结果. 【详解】由x ,y 满足条件1,,1,x y y x y +≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩作出可行域,如图.则()()1,1,2,1B C ---,由1x y y x+=⎧⎨=⎩得11,22A ⎛⎫⎪⎝⎭目标函数2z x y =+,化为2y x z =-+ 则z 表示直线2y x z =-+在y 轴上的截距.由图可知,当直线2y x z =-+过点C 时,z 有最大值. 所以z 的最大值为:2213z =⨯-= 故选:D【点睛】方法点睛:解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2.D解析:D 【分析】由题意得分离参数将不等式等价于不等式1a x x ≤+在区间[1,2]上有解,设()1f x x x =+,由函数()1f x x x=+在[1,2]上单调递增,可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意得:关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[1,2]上有解,等价于不等式1a x x≤+在区间[1,2]上有解,设()1f x x x =+,则函数()1f x x x =+在[1,2]上单调递增,所以()()(152)2f f f x ≤=≤,所以实数a 的取值范围为52a ≤, 故选:D. 【点睛】方法点睛:对于不等式有解的问题,常常有以下情况:()m f x >有解⇔()min m f x >,()m f x <有解⇔()max m f x <. 3.A解析:A 【分析】由题意首先画出可行域,然后结合目标函数的几何意义求解最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最大值,联立直线方程:11y x y =-⎧⎨+=⎩,可得点A 的坐标为:()2,1A -,据此可知目标函数的最大值为:max 2213z =⨯-=. 故选:A【点睛】方法点睛:求线性目标函数()0z ax by ab =+≠的最值,当0b >时,直线过可行域且在y 轴上截距最大时,z 值最大,在y 轴截距最小时,z 值最小;当0b <时,直线过可行域且在y 轴上截距最大时,z 值最小,在y 轴上截距最小时,z 值最大.4.A解析:A 【分析】根据条件可先求出数列的公比,再根据2127m n a a a =可得出5m n +=,利用基本不等式即可求出116m n +的最小值. 【详解】正项等比数列中,2979a q a ==,所以3q =. 因为11222111127m n m n m n a a a q a q a qa --+-=⋅==,所以5m n +=. 因为1161116116116()()(17)(17)5555n m n mm n m n m n m n m n+=++=++≥⋅+=, 当且仅当16n mm n=,即4n m =时取等号,因为m 、n *N ∈,所以1m =,4n =, 所以116m n +的最小值为5. 故选:A. 【点睛】本题考查等比数列的基本量的计算,考查利用基本不等式求最值,属于基础题.5.D解析:D 【分析】根据约束条件画出可行域,将问题转化为133zy x =-在y 轴截距最大值的求解问题,利用数形结合的方式可求得结果. 【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示:由3z x y =-得:133zy x =-, ∴当z 取最小值时,133zy x =-在y 轴截距最大; 由图象可知,当133zy x =-过点A 时,在y 轴截距最大,由222x x y =-⎧⎨+=⎩得:()2,2A -,min 2328z ∴=--⨯=-. 故选:D . 【点睛】本题考查线性规划中的最值问题的求解,关键是能够将所求最值转化为直线在y 轴截距的最值的求解问题,属于常考题型.6.B解析:B 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示,结合目标函数的几何意义可得2=+t x y 在点(1,1)A --处取得最小值()()min 2113t =⨯-+-=-,本题选择B 选项.点睛:求线性目标函数z =ax +by (ab ≠0)的最值,当b >0时,直线过可行域且在y 轴上截距最大时,z 值最大,在y 轴截距最小时,z 值最小;当b <0时,直线过可行域且在y 轴上截距最大时,z 值最小,在y 轴上截距最小时,z 值最大.7.A解析:A 【解析】正数x ,y 满足35x y xy +=,则13155y x+=,()1349362743433325555255x y x y x y y x y x⎛⎫+=++=++≥+=⎪⎝⎭ 故答案为A.点睛:这个题目考查的是含有两个变量的表达式的最值的求法,解决这类问题一般有以下几种方法,其一,不等式的应用,这个题目用的是均值不等式,注意要满足一正二定三相等;其二,二元化一元,减少变量的个数;其三可以应用线线性规划的知识来解决,而线性规划多用于含不等式的题目中.8.C解析:C【分析】根据基本不等式求解即可得到所求最大值. 【详解】由题意得,221121112222228x y xy xy +⎛⎫⎛⎫=⨯≤⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当11,42x y ==时等号成立,所以xy 的最大值是18. 故选C . 【点睛】运用基本不等式解题时,既要掌握公式的正用,也要注意公式的逆用,例如222a b ab+≥逆用就是222a b ab +;(,0)2a b ab a b +≥>逆用就是2(,0)2a b ab a b +⎛⎫> ⎪⎝⎭等.当应用不等式的条件不满足时,要注意运用“添、拆项”等技巧进行适当的变形,使之满足使用不等式的条件,解题时要特别注意等号成立的条件.9.D解析:D 【详解】试题分析:A 中1,2a b ==-不成立,B 中1,12a b =-=-不成立,C 中0,1a b ==-不成立,D 中由指数函数单调性可知是成立的10.B解析:B 【分析】画出可行域,讨论当0a =时,当0a <时,当0a >时三种情况,分别求出目标函数的最值,即可筛选出符合题意的a 的值. 【详解】根据题中约束条件1x y ax y +≥⎧⎨-≤-⎩可画出可行域如图所示,两直线交点坐标为:11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭, 当0a =时,z x ay =+无最小值; 当0a <时,z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处取最大值,无最小值. 当0a >时,z x ay =+在11,22a a A -+⎛⎫⎪⎝⎭处有最小值: 21121222a a a a z a -++-=+⨯=,则22172a a +-=,解得3a =,故选B.【点睛】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值,属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点,由于参数的引入,提高了思维的技巧、增加了解题的难度, 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性,此类问题一般从目标函数的结论入手,对目标函数变化过程进行详细分析,对变化过程中的相关量的准确定位,是求最优解的关键.11.C解析:C 【分析】根据不等式的解法,求得集合{}26A x x =-≤≤,{}1B x x =>,结合集合交集的运算,即可求解. 【详解】由题意,集合{}{}2412026A x x x x x =--≤=-≤≤,{}{}4401B x x x x =->=>,根据集合交集的概念与运算,可得{}16A B x x ⋂=<≤. 故选:C. 【点睛】本题考查集合的交集的概念及运算,其中解答中正确求解集合,A B ,结合集合的交集的概念及运算求解是解答的关键,着重考查运算求解能力,属于基础题.12.A解析:A 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===,且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增,所以b <a <c . 故选A.点睛:本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题,解答比较大小问题,常见思路有两个:一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ );二是利用函数的单调性直接解答;数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用;三是借助于中间变量比较大小.二、填空题13.6【分析】由条件可得则由均值不等式可得答案【详解】实数满足即所以则当且仅当又即时取得等号故答案为:6【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件:(1)一正二定三相等一正就是各解析:6 【分析】由条件可得()22312a b ++=,则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭由均值不等式可得答案. 【详解】实数a ,b 满足22221a b +=,即2212a b +=,所以()22312a b ++=则()222222142141131a b a b a b ⎛⎫⎡⎤+=⨯+++ ⎪⎣⎦++⎝⎭()2222214221455463133b a a b ⎛⎛⎫+=⨯+++≥⨯+=⨯+= ⎪ +⎝⎭⎝ 当且仅当2222141b a a b +=+, 又2212a b +=,即22120a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 时,取得等号. 故答案为:6 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方,这时改用勾型函数的单调性求最值.14.【分析】变换得到利用均值不等式计算得到答案【详解】当且时即时等号成立故答案为:【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值意在考查学生的计算能力和转化能力 解析:716【分析】变换得到22816132s t s s s t s s t+=++,利用均值不等式计算得到答案. 【详解】24s t +=,222178321163216162s s s s t s t s s t s s t t +=+=++≥-+=+, 当232t s s t =且0s <时,即23s =-,163t =时等号成立. 故答案为:716. 【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值,意在考查学生的计算能力和转化能力. 15.9【分析】首先由已知确定然后利用基本不等式求最小值【详解】因为所以又所以所以当且仅当时等号成立所以的最小值为9故答案为:9【点睛】易错点睛:易错点睛:利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件 解析:9【分析】首先由已知确定1,1a b >>,然后利用基本不等式求最小值.【详解】因为a b x y xy ==,所以1a y x -=,1b x y -=,又1,1x y >>,所以10,10a b ->->, 111(1)(1)()b a b a b x y x x -----===,所以(1)(1)1a b --=,4(1)4(1)559a b a b +=-+-+≥=,当且仅当14(1)a b -=-时等号成立,所以4a b +的最小值为9.故答案为:9.【点睛】易错点睛:易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.16.2【分析】令从而可得再利用基本不等式即可求解【详解】令则且∴∴当且仅当取等号即时成立故答案为:2【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件:(1)一正二定三相等一正就是各项必 解析:2【分析】令2019a x +=,2020b y +=,从而可得1()14042x y +=,再利用基本不等式即可求解. 【详解】令2019a x +=,2020b y +=, 则2019x >,2020y >且4042x y +=, ∴1()14042x y +=, ∴202120211111120212021()201920204042x y a b x y x y ⎛⎫⎛⎫+=+=+⋅+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1111222y x x y⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭≥, 当且仅当y x x y=取等号,即2021,2,1x y a b ====时成立. 故答案为:2【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方17.【分析】利用正弦定理将化为然后利用三角形内角和定理将用代换再利用两角和的正弦公式展开整理可得再由同角三角函数关系可得将其代入展开式消去结合基本不等式即可求出的最大值【详解】解:∵由正弦定理边角互化得解析:12【分析】利用正弦定理将3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+化为3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+,然后利用三角形内角和定理将B 用()A C π-+代换,再利用两角和的正弦公式展开整理可得2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅,再由同角三角函数关系可得3tan tan 2A C =,将其代入()tan A C -展开式消去tan A ,结合基本不等式即可求出()tan A C -的最大值.【详解】解:∵ 3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+由正弦定理边角互化得3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+,又∵ ()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦,∴ 3sin cos 2sin cos sin cos cos sin A C A C C A A C +⋅=⋅+,∴ 2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅∵ 当cos 0C ≤或cos 0A ≤时,等式不成立,∴ ,0,2A C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3tan tan 2A C =, ∴ ()22tan tan tan tan tan tan 112tan ==32123132tan tan tan tan C A C C A C C C A C C C-==++++-, 又∵ tan 0C >,∴2tan tan 3C C ≥=+当且仅当23tan tan C C ==,即tan 3C =等号成立, ∴ ()tan tan tan tan tan tan 1tan =213A C A C C C A C -≤++-=【点睛】 本题主要考查正弦定理,两角差的正切公式及基本不等式的应用,需要注意的是在利用基本不等式时,要根据条件确定tan 0C >.18.【分析】根据约束条件画出可行域目标函数可以看成是可行域内的点和的连线的斜率从而找到最大值时的最优解得到最大值【详解】根据约束条件可以画出可行域如下图阴影部分所示目标函数可以看成是可行域内的点和的连线 解析:78【分析】根据约束条件,画出可行域,目标函数可以看成是可行域内的点(),x y 和()3,0-的连线的斜率,从而找到最大值时的最优解,得到最大值.【详解】根据约束条件102801x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩可以画出可行域,如下图阴影部分所示, 目标函数3y x +可以看成是可行域内的点(),x y 和()3,0-的连线的斜率, 因此可得,当在点A 时,斜率最大联立2801x yx+-=⎧⎨=⎩,得172xy=⎧⎪⎨=⎪⎩即71,2A⎛⎫⎪⎝⎭所以此时斜率为()7072138-=--,故答案为78.【点睛】本题考查简单线性规划问题,求目标函数为分式的形式,关键是要对分式形式的转化,属于中档题.19.21【分析】画出满足的可行域当目标函数经过点时取得最大值求解即可【详解】画出满足的可行域由解得点则目标函数经过点时取得最大值为【点睛】本题考查的是线性规划问题解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化解析:21【分析】画出,x y满足的可行域,当目标函数24z x y=+-经过点()7,9B时,z取得最大值,求解即可.【详解】画出,x y满足的可行域,由20250x yx y-+=⎧⎨--=⎩解得点()7,9B,则目标函数24z x y=+-经过点()7,9B时,z取得最大值为718421+-=.【点睛】本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.20.3【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义即可得到结论【详解】解:解:不等式组为对应的平面区域为如图阴影所示由得平移直线由图象可知当直线经过点时直线的截距最小此时最小代入目标函数得即 解析:3【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义即可得到结论.【详解】解:解:不等式组为00360x y x y ⎧⎪⎨⎪+-≥⎩,对应的平面区域为如图阴影所示,由521z x y =+-得5122z y x +=-+,平移直线5122z y x +=-+, 由图象可知当直线5122z y x +=-+经过点()0,2时, 直线5122z y x +=-+的截距最小,此时z 最小. 代入目标函数521z x y =+-得02213z =+⨯-=.即目标函数521z x y =+-的最小值为3.故答案为:3【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,属于中档题.三、解答题21.(1)最多75人;(2)存在,{}7m ∈.【分析】(1)根据题意直接列出不等式可求解;(2)由①可得2125x m ≥+,由②可得100325x m x ≤++,分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.【详解】(1)依题意可得调整后研发人员的年人均投入为()14%x a +⎡⎤⎣⎦万元,则()()10014%100x x a a -+≥⎡⎤⎣⎦,(0a >)解得075x ≤≤, 4575x ,所以调整后的技术人员的人数最多75人;(2)①由技术人员年人均投入不减少有225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,解得2125x m ≥+. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有()()210014%25x x x a x m a ⎛⎫-+≥-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭,两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥-⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 整理得100325x m x ≤++, 故有2100132525x x m x +≤≤++,因为10033725x x ++≥=,当且仅当50x =时等号成立,所以7m ≤, 又因为4575x ≤≤,当75x =时,225x 取得最大值7,所以7m ≥, 77m ∴≤≤,即存在这样的m 满足条件,使得其范围为{}7m ∈.【点睛】本题考查不等式的应用,解题的关键是正确理解题中数量关系,建立正确的不等式,进而求解.22.(1)3|2x x ⎧<-⎨⎩或}2x a >+;(2)112a <-或51325a <<. 【分析】(1)对一元二次不等式分解因式,通过72a >-得出322a +>-,可得不等式的解集; (2)关于x 的方程()80f x +=在(–),1∞上有两个不相等实根,可得0∆>,设()22(32)38g x x a x a =+--+,则有()10g >且对称轴小于1,解不等式可得实数a 的取值范围.【详解】(1)∵()()()2346f x x a x x =-+>+∴22(12)3(2)0x a x a -+-+>,即()3202x x a ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭ 73,222a a >-+>- 3|2x x ⎧∴<-⎨⎩或}2x a >+ (2)解法一:∵22(32)380x a x a +--+=在(–),1∞上有两个不相等实根∴2412550a a ∆=+->112a <-或52a > 设()22(32)38g x x a x a =+--+,则()10g >∴()232380a a +--+> ∴135a <, 又()g x 的对称轴为324a x -=-,∴3214a --<,∴72a < ∴综上112a <-或51325a <<. 解法二: ∵22(32)380x a x a +--+=在(,1)-∞上有两个不相等实根 ∴223823x x a x ++=+ 令2238()23x x g x x ++=+ 令()()23,00,5t x =+∈-∞ 则2316()2t t g t t-+=,即183()22g t t t =+- 由图象可知,该题转化为y a =与18322y t t =+-有两个不同的交点 ∴112a <-或51325a << 【点睛】方法点睛:本题考查一元二次不等式的解法,考查一元二次方程根的分布,考查了学生计算能力,不妨设一元二次方程所对应的二次函数()f x 开口向上,则两根都小于k 时,则()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩; 2.两根都大于k 时,则()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ 3.一根小于k ,一根大于k 时,则()0f k <.23.(1){|1x x ≤-或3}x ≥;(2)(,4]-∞.【解析】试题分析:(1)先对不等式移项并因式分解得()()310x x -+≥,再根据不等号方向得不等式解集,(2)先化简不等式,并分离12a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,转化为求对应函数最值:()min a h x ≤,其中()12h x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,再根据基本不等式求()h x 最值,即得a 的取值范围.试题(1)若()2,3a f x =≥即()()2230,310x x x x --≥-+≥ 所以原不等式的解集为{|1x x ≤-或3}x ≥(2)()22f x x ≥--即12a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭在[)1,x ∈+∞时恒成立, 令()12h x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭,等价于()min a h x ≤在[)1,x ∈+∞时恒成立,又()124h x x x ⎛⎫=+≥= ⎪⎝⎭,当且仅当1x x =即1x =等号成立,所以4a ≤. 故所求a 的取值范围是(],4-∞. 24.(1)[]44-,;(2)(],3∞-. 【分析】(1)由二次不等式()0f x ≥恒成立可得0∆≤,于是可求得a 的取值范围;(2)分离参数得12a x x ≤-在区间[]1,2上有解,转化为求1y x x =-在区间[]1,2上的最大值求解即可.【详解】(1)由题意得()2102a f x x x =-+≥在R 上恒成立, ∴2404a ∆=-≤, 解得44a -≤≤,∴实数a 的取值范围为[]4,4-.(2)由题意得[]21,2,122a x x x ∃∈-+≥成立, ∴[]11,2,2a x x x ∃∈≤-成立. 令()[]1,?1,2g x x x x=-∈, 则()g x 在区间[]1,2上单调递增,∴()()322max g x g ==, ∴322a ≤, 解得3a ≤,∴实数a 的取值范围为(],3∞-.【点睛】解题时注意以下结论的运用:(1)()a f x >恒成立等价于()max a f x >,()a f x >有解等价于()min a f x >; (2)若函数()f x 的最值不存在,则可利用函数值域的端点值来代替.25.(1)[-4,1];(2)-3.【分析】(1)当m =﹣4时,利用十字相乘法解出不等式的解集;(2)()0f x <的解集为(b ,a ),等价于()0f x =的根即为a ,b ,根据韦达定理判断出a ,b 的符号,利用"1"的代换以及基本不等式求出最大值,并验证取等条件.【详解】(1)当m =﹣4时,不等式f (x )≤0,即为x 2+3x ﹣4≤0,可得:(x +4)(x ﹣1)≤0,即不等式f (x )≤0的解集为[﹣4,1].(2)由题()0f x =的根即为a ,b ,故a +b =-3,ab =m >0,故a ,b 同负,则14a b+=114141()5(53333a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫-++=-++≤-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当1,2a b =-=- 等号成立.【点睛】本题考查一元二次不等式,基本不等式在求最值中的应用,使用时要注意“一正,二定,三相等”,属于中档题.26.(1)(2)(62)-∞--+∞,,;(2)99a -+≤【分析】(1)当0a =时,解一元二次不等式求得不等式()0f x <的解集.(2)化简不等式()1f x ≥-,对a 分成0a ≠和0a >两种情况进行分类讨论,结合一元二次不等式恒成立,求得实数a 的取值范围.【详解】(1)当1a =-时,由()0f x <得,2420x x --+<,所以2420x x +->,所以不等式的解集为(2)(62)-∞-+∞,,;(2)因为()1f x ≥-解集为R ,所以2(3)21ax a x +-+-≥在R 恒成立,当0a =时,得321x -+-≥,不合题意;当0a ≠时,由2(3)30ax a x +-+≥在R 恒成立,得()203120a a a >⎧⎪⎨--≤⎪⎩,所以99a -+≤【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查一元二次不等式恒成立问题,属于中档题.。

高中数学必修5(解一元二次不等式)同步测试精选(含答案)

高中数学必修5(解一元二次不等式)同步测试精选(含答案)

高中数学必修5(解一元二次不等式)同步测试精选(含答案)一、选择题1.下列不等式:①x 2>0;②-x 2-x ≤5;③ax 2>2;④x 3+5x -6>0;⑤mx 2-5y <0;⑥ax 2+bx +c >0.其中是一元二次不等式的有( ) A .5个 B .4个 C .3个D .2个2.二次不等式ax 2+bx +c <0的解集为全体实数的条件是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ>0B.⎩⎪⎨⎪⎧ a >0Δ<0C.⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ>0D.⎩⎪⎨⎪⎧a <0Δ<03.已知不等式ax 2+3x -2>0的解集为{x |1<x <b },则a ,b 的值等于( ) A .a =1,b =-2 B .a =2,b =-1 C .a =-1,b =2D .a =-2,b =14.若不等式f (x )=ax 2-x -c >0的解集为(-2,1),则函数y =f (x )的图象为( )5.已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <-1或x >12,则f (10x )>0的解集为( )A .{x |x <-1或x >-lg 2}B .{x |-1<x <-lg 2}C .{x |x >-lg 2}D .{x |x <-lg 2} 二、填空题6.不等式-x 2-3x +4>0的解集为________.(用区间表示)7.设函数f (x )=⎩⎨⎧x 2-4x +6,x ≥0,x +6,x <0,则不等式f (x )>f (1)的解集是________.8.已知集合A ={x |3x -2-x 2<0},B ={x |x -a <0},且B ⊆A ,则a 的取值范围为________.三、解答题9.求下列不等式的解集: (1)x 2-5x +6>0; (2)-12x 2+3x -5>0.10.解关于x 的不等式x 2-(2m +1)x +m 2+m <0.[能力提升]1.已知0<a <1,关于x 的不等式(x -a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x -1a >0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a B .{x |x >a }C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 或x >a D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1a 2.设0<b <1+a .若关于x 的不等式(x -b )2>(ax )2的解集中的整数解恰有3个,则a 的取值范围为( )A .[1,3)B .(1,3)C .(-∞,1)D .(3,+∞)3.不等式2x 2-x <4的解集为______.4.已知M 是关于x 的不等式2x 2+(3a -7)x +3+a -2a 2<0的解集,且M 中的一个元素是0,求实数a 的取值范围,并用a 表示出该不等式的解集.参考答案与解析1【解析】 根据一元二次不等式的定义知①②正确. 【答案】 D2【解析】 结合二次函数的图象(略),可知若ax 2+bx +c <0,则⎩⎨⎧a <0,Δ<0.【答案】 D3【解析】 因为不等式ax 2+3x -2>0的解集为{x |1<x <b },所以方程ax 2+3x -2=0的两个根分别为1和b ,根据根与系数的关系,得1+b =-3a ,b =-2a ,所以a =-1,b =2.【答案】 C4【解析】 因为不等式的解集为(-2,1),所以a <0,排除C ,D ,又与坐标轴交点的横坐标为-2,1,故选B. 【答案】 B5【解析】 由题意知,一元二次不等式f (x )>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪-1<x <12. 而f (10x )>0, ∴-1<10x <12,解得x <lg 12,即x <-lg 2. 【答案】 D6【解析】 由-x 2-3x +4>0得x 2+3x -4<0,解得-4<x <1. 【答案】 (-4,1)7【解析】 f (1)=12-4×1+6=3, 当x ≥0时,x 2-4x +6>3, 解得x >3或0≤x <1; 当x <0时,x +6>3, 解得-3<x <0.所以f (x )>f (1)的解集是(-3,1)∪(3,+∞). 【答案】 (-3,1)∪(3,+∞)8【解析】 A ={x |3x -2-x 2<0}={x |x 2-3x +2>0}={x |x <1或x >2},B ={x |x <a }.若B ⊆A ,如图,则a ≤1.【答案】 (-∞,1]9【解】 (1)方程x 2-5x +6=0有两个不等实数根x 1=2,x 2=3,又因为函数y =x 2-5x +6的图象是开口向上的抛物线,且抛物线与x 轴有两个交点,分别为(2,0)和(3,0),其图象如图(1).根据图象可得不等式的解集为{x |x >3,或x <2}.(2)原不等式可化为x 2-6x +10<0,对于方程x 2-6x +10=0,因为Δ=(-6)2-40<0,所以方程无解,又因为函数y =x 2-6x +10的图象是开口向上的抛物线,且与x 轴没有交点,其图象如图(2).根据图象可得不等式的解集为∅.10【解】 ∵原不等式等价于(x -m )(x -m -1)<0, ∴方程x 2-(2m +1)x +m 2+m =0的两根分别为m 与m +1. 又∵m <m +1.∴原不等式的解集为{x |m <x <m +1}. 1【解析】 方程两根为x 1=a ,x 2=1a , ∵0<a <1,∴1a >a .相应的二次函数图象开口向上,故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <a 或x >1a .【答案】 A2【解析】 原不等式转化为[(1-a )x -b ][(1+a )x -b ]>0.①当a ≤1时,结合不等式解集形式知不符合题意;②当a >1时,b 1-a <x <b a +1,由题意知0<ba +1<1,∴要使原不等式解集中的整数解恰有3个,则需-3≤b1-a<-2.整理,得2a -2<b ≤3a -3.结合题意b <1+a ,有2a -2<1+a .∴a <3,从而有1<a <3.综上可得a ∈(1,3).【答案】 B3【解析】 ∵2x 2-x <4, ∴2x 2-x <22,∴x 2-x <2,即x 2-x -2<0, ∴-1<x <2.【答案】 {x |-1<x <2}4【解】 原不等式可化为(2x -a -1)(x +2a -3)<0, 由x =0适合不等式得(a +1)(2a -3)>0, 所以a <-1或a >32.若a <-1,则-2a +3-a +12=52(-a +1)>5, 所以3-2a >a +12,此时不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a +12<x <3-2a; 若a >32,由-2a +3-a +12=52(-a +1)<-54, 所以3-2a <a +12,此时不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪3-2a <x <a +12. 综上,当a <-1时,原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫a +12,3-2a ,当a >32时,原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫3-2a ,a +12.。

高中数学必修五第三章《不等式》单元测试题含答案

高中数学必修五第三章《不等式》单元测试题含答案

高中数学必修五第三章单元测试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出以下四个命题:①若a >b ,则1a <1b; ②若ac 2>bc 2,则a >b ;③若a >|b |,则a >b ; ④若a >b ,则a 2>b 2. 其中正确的是( )A .②④B .②③C .①②D .①③2.设a ,b ∈R ,若a -|b |>0,则下列不等式中正确的是( ) A .b -a >0 B .a 3+b 2<0 C .b +a >0D .a 2-b 2<03.设集合U =R ,集合M ={x |x >1},P ={x |x 2>1},则下列关系中正确的是( )A .M =PB .PMC .MP D .∁U M ∩P =∅4.设集合A ={x |x >3},B ={x |x -1x -4<0},则A ∩B =( )A .∅B .(3,4)C .(-2,1)D .(4,+∞)5.在下列函数中,最小值是2的是( )A .y =x 2+2xB .y =x +2x +1(x >0)C .y =sin x +csc x ,x ∈(0,π2)D .y =7x +7-x6.已知log a (a 2+1)<log a 2a <0,则a 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(12,1)C .(0,12)D .(1,+∞)7.已知点P (x ,y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -2≤0,y -1≤0,x +2y -2≥0表示的平面区域内运动,则z =x -y 的取值范围是( )A .[-2,-1]B .[-2,1]C .[-1,2]D .[1,2]8.不等式(x -2y +1)(x +y -3)<0表示的区域为( )9.f (x )=ax 2+ax -1在R 上满足f (x )<0,则a 的取值范围是( ) A .(-∞,0] B .(-∞,-4) C .(-4,0)D .(-4,0]10.由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y +1≤0,x +y +2≥0,y ≥0组成的平面区域的面积为( )A .2B .1C.4 D.1 211.函数y=3x2+6x2+1的最小值是( )A.32-3 B.-3 C.6 2 D.62-312.设a>0,b>0.若3是3a与3b的等比中项,则1a+1b的最小值为( )A.8 B.4C.1 D.1 4二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上)13.点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是________.14.函数y=13-2x-x2的定义域是________.15.如下图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各2 dm,左右空白各1 dm,则四周空白部分面积的最小值是________dm2.16.已知当x >0时,不等式x 2-mx +4>0恒成立,则实数m 的取值范围是________.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知A ={x |x 2-3x +2≤0},B ={x |x 2-(a +1)x +a ≤0}. (1)若AB ,求a 的取值范围;(2)若B ⊆A ,求a 的取值范围.18.(12分)已知x >0,y >0,且1x +9y=1,求x +y 的最小值.19.(12分)已知a ,b ,c 都是正数,且a +b +c =1. 求证:(1-a )(1-b )(1-c )≥8abc .20.(12分)某汽车公司有两家装配厂,生产甲、乙两种不同型号的汽车,若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车;B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车,问这两家工厂各工作几小时,才能使所费的总工时最少?21.(12分)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y=144v(v>0).v2-58v+1 225(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内?22.(12分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品,经测算,对于函数f(x)和g(x),当甲公司投入x万元作宣传时,若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元,则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则没有失败的风险;当乙公司投入x万元作宣传时,若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元,则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则没有失败的风险.(1)试解释f(0)=10,g(0)=20的实际意义;(2)设f (x )=14x +10,g (x )=x +20,甲、乙公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用,问甲、乙两公司应投入多少宣传费?高中数学必修五第三章单元测试题《不等式》参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出以下四个命题:①若a >b ,则1a <1b; ②若ac 2>bc 2,则a >b ;③若a >|b |,则a >b ; ④若a >b ,则a 2>b 2. 其中正确的是( )A .②④B .②③C .①②D .①③答案 B2.设a ,b ∈R ,若a -|b |>0,则下列不等式中正确的是( ) A .b -a >0 B .a 3+b 2<0 C .b +a >0 D .a 2-b 2<0 答案 C解析 由a -|b |>0⇒|b |<a ⇒-a <b <a ⇒a +b >0,故选C.3.设集合U =R ,集合M ={x |x >1},P ={x |x 2>1},则下列关系中正确的是( )A .M =PB .P MC .MP D .∁U M ∩P =∅答案 C4.设集合A ={x |x >3},B ={x |x -1x -4<0},则A ∩B =( )A .∅B .(3,4)C .(-2,1)D .(4,+∞)答案 B解析 ∵x -1x -4<0⇔(x -1)(x -4)<0,∴1<x <4,即B ={x |1<x <4},∴A ∩B =(3,4),故选B.5.在下列函数中,最小值是2的是( )A .y =x 2+2xB .y =x +2x +1(x >0) C .y =sin x +csc x ,x ∈(0,π2)D .y =7x +7-x 答案 D解析 y =x 2+2x 的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞);y =x +2x +1=x +1+1x +1>2(x >0);y =sin x +csc x =sin x +1sin x>2(0<sin x <1);y =7x +7-x ≥2(当且仅当x =0时取等号).6.已知log a (a 2+1)<log a 2a <0,则a 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(12,1)C .(0,12)D .(1,+∞)答案 B7.已知点P (x ,y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -2≤0,y -1≤0,x +2y -2≥0表示的平面区域内运动,则z =x -y 的取值范围是( )A .[-2,-1]B .[-2,1]C .[-1,2]D .[1,2]答案 C解析 画可行域如图:当直线y =x -z 过A 点时,z min =-1. 当直线y =x -z 过B 点时,z max =2. ∴z ∈[-1,2].8.不等式(x -2y +1)(x +y -3)<0表示的区域为( )答案 C9.f (x )=ax 2+ax -1在R 上满足f (x )<0,则a 的取值范围是( ) A .(-∞,0] B .(-∞,-4) C .(-4,0) D .(-4,0]答案 D10.由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y +1≤0,x +y +2≥0,y ≥0组成的平面区域的面积为( )A .2B .1C .4D.12答案 D 11.函数y =3x 2+6x 2+1的最小值是( ) A .32-3B .-3C .6 2D .62-3答案 D 12.设a >0,b >0.若3是3a 与3b 的等比中项,则1a +1b的最小值为( ) A .8B .4C .1D.14 答案 B解析 3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b =3a +b =3⇒a +b =1,∵a >0,b >0,∴ab ≤a +b 2=12⇒ab ≤14. ∴1a +1b =a +b ab =1ab ≥114=4. 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上)13.点(-2,t )在直线2x -3y +6=0的上方,则t 的取值范围是________.答案 (23,+∞) 14.函数y =13-2x -x2的定义域是________. 答案 {x |-3<x <1}15.如下图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分),上下空白各2 dm ,左右空白各1 dm ,则四周空白部分面积的最小值是________dm 2.答案 56解析 设阴影部分的高为x dm ,宽为72xdm ,则四周空白部分面积是y dm 2,由题意,得y =(x +4)(72x +2)-72=8+2(x +144x )≥8+2×2x ×144x =56.16.已知当x >0时,不等式x 2-mx +4>0恒成立,则实数m 的取值范围是________.答案 (-∞,4)解析 由题意得当x >0时,恒有m <x +4x 成立.设f (x )=x +4x,x >0,则有f (x )=x +4x ≥2x ×4x =4,当且仅当x =4x ,即x =2时,等号成立.所以f (x )=x +4x ,x >0的最小值是4.所以实数m 的取值范围是(-∞,4).三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知A ={x |x 2-3x +2≤0},B ={x |x 2-(a +1)x +a ≤0}.(1)若A B ,求a 的取值范围;(2)若B ⊆A ,求a 的取值范围.答案 (1)(2,+∞) (2)[1,2]18.(12分)已知x >0,y >0,且1x +9y=1,求x +y 的最小值. 答案 16解析 由于x >0,y >0,1x +9y=1, 所以x +y =(x +y )(1x +9y )=y x +9x y+10 ≥2y x ·9x y +10=16. 当且仅当y x =9x y 时,等号成立,又由于1x +9y=1. 所以当x =4,y =12时,(x +y )min =16.19.(12分)已知a ,b ,c 都是正数,且a +b +c =1.求证:(1-a )(1-b )(1-c )≥8abc .证明 ∵a 、b 、c 都是正数,且a +b +c =1,∴1-a =b +c ≥2bc >0,1-b =a +c ≥2ac >0,1-c =a +b ≥2ab >0.∴(1-a )(1-b )(1-c )≥2bc ·2ac ·2ab =8abc .∴原不等式成立.20.(12分)某汽车公司有两家装配厂,生产甲、乙两种不同型号的汽车,若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车;B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车,问这两家工厂各工作几小时,才能使所费的总工时最少?解析 设A 厂工作x 小时,B 厂工作y 小时,总工作时数为t 小时,则目标函数t =x +y ,x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x +3y ≥40,2x +y ≥20,x ≥0,y ≥0.可行域如图所示,而符合题意的解为此内的整点,于是问题变为要在此可行域内,找出整点(x ,y ),使t =x +y 的值最小.由图知当直线l :y =-x +t 过Q 点时,纵截距t 最小.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x +3y =40,2x +y =20,得Q (4,12).答:A 厂工作4小时,B 厂工作12小时,可使所费的总工时最少.21.(12分)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y =144v v 2-58v +1 225(v >0). (1)在该时段内,当汽车的平均速度v 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内?思路分析 (1)利用基本不等式求最大车流量,(2)转化为解不等式.解析 (1)依题意,有y =144v +1 225v-58≤1442 1 225-58=12, 当且仅当v =1 225v,即v =35时等号成立, ∴y max =12,即当汽车的平均速度v 为35千米/时,车流量最大为12.(2)由题意,得y =144v v 2-58v +1225>9. ∵v 2-58v +1225=(v -29)2+384>0,∴144v >9(v 2-58v +1225).∴v 2-74v +1225<0.解得25<v <49.即汽车的平均速度应在(25,49)内.22.(12分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品,经测算,对于函数f (x )和g (x ),当甲公司投入x 万元作宣传时,若乙公司投入的宣传费小于f (x )万元,则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则没有失败的风险;当乙公司投入x 万元作宣传时,若甲公司投入的宣传费小于g (x )万元,则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则没有失败的风险.(1)试解释f (0)=10,g (0)=20的实际意义;(2)设f (x )=14x +10,g (x )=x +20,甲、乙公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用,问甲、乙两公司应投入多少宣传费?解析 (1)f (0)=10表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要避免新产品的开发有失败风险,至少要投入10万元宣传费;g (0)=20表示当乙公司不投入宣传费时,甲公司要避免新产品的开发有失败的风险,至少要投入20万元宣传费.(2)设甲公司投入宣传费x 万元,乙公司投入宣传费y 万元,依题意,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥f x =14x +10, ①x ≥g y =y +20, ②成立,双方均无失败的风险.由①②得y ≥14(y +20)+10⇒4y -y -60≥0, ∴(y -4)(4y +15)≥0.∵4y +15>0,∴y ≥4.∴y ≥16.∴x ≥y +20≥4+20=24.∴x min =24,y min =16.即要使双方均无失败风险,甲公司至少要投入24万元,乙公司至少要投入16万元.。

高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.5知识点总结含同步练习及答案

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A.[
答案: A 解析: 只需
1 2
x
)
1 ] 4 7 D.(−∞, − ) 2
B.(−∞,
f (x) min ⩾ g(x) min 即可.
4. 三位同学合作学习,对问题"已知不等式 xy ⩽ ax2 + 2y 2 对于 x ∈ [1, 2] , y ∈ [2, 3] 恒成立,求 a 的 取值范围"提出了各自的解题思路. 甲说:"可视 x 为变量,y 为常量来分析". 乙说:"寻找 x 与 y 的关系,再作分析". 丙说:"把字母 a 单独放在一边,再作分析". 参考上述思路,或自已的其它解法,可求出实数 a 的取值范围是 ( A.[1, +∞)
1. 若关于 x 的方程 9 x + (4 + a) ⋅ 3 x + 4 = 0 有解,则实数 a 的取值范围是 ( A.(−∞, −8) C.[−8, +∞)
答案: B 解析:
)Hale Waihona Puke B.(−∞, −8]D.(−∞, +∞)
由 9 x + (4 + a) ⋅ 3 x + 4 = 0,得 a = −3 x −
答案: B 解析:
)
D.[−1, 6]
B.[−1, +∞)
C.[−1, 4)
y y y 2 − 2( ) ,由 x ∈ [1, 2] , y ∈ [2, 3] ,x 、 y 构成正方形区域, 表示过 x x x y y 原点直线与正方形区域相交时直线的斜率的取值范围,则有 ∈ [1, 3] ,当 = 1 时, x x y y 2 − 2( ) 有最大值为 −1,则 a 的取值范围是 [−1, +∞) x x

高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.2知识点总结含同步练习及答案

高中数学必修5(人教A版)第三章不等式3.2知识点总结含同步练习及答案

(2)因为
为整式不等式
解得 x <
3 或 x > 4,所以原不等式的解集为 2 3 ∣ {x ∣ x < 或x > 4} . ∣ 2
4.高次不等式的解法 描述: 高次不等式的解法 解一元高次不等式一般利用数轴穿根法(或称根轴法)求解,其步骤是: (1)将 f (x) 最高次项系数化为正数; (2)将 f (x) 分解为若干个一次因式的乘积或二次不可分因式的乘积; (3)求出各因式的零点,并在数轴上依次标出; (4)从最右端上方起,自右至左依次通过各根画曲线,遇到奇次重根要一次穿过,遇到偶次重根 要穿而不过; (5)记数轴上方为正,下方为负,根据曲线显现出的 f (x) 的值的符号变化规律,写出不等式 的解集. 例题: 解不等式 (x + 2)(x + 1)2 (x − 1)3 (x − 2) < 0 . 解:不等式中各因式的实数根为 −2,−1,1 ,2 . 利用根轴法,如图所示.
2 )(x − a) ⩽ 0 . a 2 2 ① 当 < a ,即 a > √2 时,原不等式的解集为 {x| ⩽ x ⩽ a}. a a 2 2 ② 当 > a ,即 0 < a < √2 时,原不等式的解集为 {x|a ⩽ x ⩽ }. a a 2 ③ 当 = a ,即 a = √2 时,原不等式的解集为 {x|x = √2 } . a 2 (3)当 a < 0 时,原不等式化为 (x − )(x − a) ⩾ 0 . a 2 2 ① 当 < a ,即 −√2 < a < 0 时,原不等式的解集为 {x|x ⩽ 或x ⩾ a} . a a 2 2 ② 当 > a ,即 a < −√2 时,原不等式的解集为 {x|x ⩽ a或x ⩾ }. a a 2 ③ 当 = a ,即 a = −√2 时,原不等式的解集为 R. a

高中数学 第三章 不等式 3.3 一元二次不等式及其解法练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高

高中数学 第三章 不等式 3.3 一元二次不等式及其解法练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高

3.3 一元二次不等式及其解法课时过关·能力提升1下列不等式中,解集是R的是()A.x2+2x+1>0B.√x2>0C.(13)x+1>0D.1x -2<1xx2+2x+1=(x+1)2≥0,所以选项A不正确;因为√x2=|x|≥0,所以选项B不正确;选项D中x≠0;因为(13)x>0,所以(13)x+1>1>0,x∈R,故选C.2已知2a+1<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解集是()A.{x|x>5a或x<-a}B.{x|x<5a或x>-a}C.{x|-a<x<5a}D.{x|5a<x<-a}2-4ax-5a2>0⇒(x-5a)(x+a)>0.∵a<-12,∴5a<-a.∴x>-a或x<5a.故选B.3已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2},则不等式cx2+bx+a<0的解集为()A.{x|-3<x<12} B.{x|x<-3或x>12}C.{x|-2<x<13} D.{x|x<-2或x>13}:ax2+bx+c>0的解集为{x|-13<x<2}⇔3x2-5x-2<0⇔-3x2+5x+2>0.设a=-3k,b=5k,c=2k(k>0),则cx2+bx+a<0⇔2kx2+5kx-3k<0⇔2x2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A.方法二:由题意知a<0,且-x x =(-13)+2,x x =(-13)×2,即x x =-53,x x =-23,而cx 2+bx+a<0⇔x x x 2+x x x+1>0⇔-23x 2-53x+1>0⇔2x 2+5x-3<0⇔-3<x<12,故选A .4设f (x )={2e x -1,x <2,log 3(x 2-1),x ≥2,则不等式f (x )>2的解集为()A.(1,2)∪(3,+∞)B.(√10,+∞)C.(1,2)∪(√10,+∞)D.(1,2)x<2时,令2e x-1>2,解得1<x<2.当x ≥2时,令log 3(x 2-1)>2,解得x ∈(√10,+∞).故x ∈(1,2)∪(√10,+∞).★5关于x 的方程x 2+(a 2-1)x+a-2=0的一根比1小,且另一根比1大的充要条件是()A.-1<a<1 B .a<-1或a>1 C.-2<a<1D.a<-2或a>1f (x )=x 2+(a 2-1)x+a-2,则它是开口向上的二次函数,方程的根即是函数与x 轴的交点的横坐标,因此只需f (1)<0,即1+a 2-1+a-2<0,故-2<a<1.6已知函数f (x )=√xx 2-6xx +(x +8)的定义域为R ,则实数k 的取值X 围为.2-6kx+(k+8)≥0恒成立,当k=0时,满足. 当k ≠0时,{x >0,x =(-6x )2-4x (x +8)≤0⇒0<k ≤1. ∴0≤k ≤1.7已知三个不等式①x 2-4x+3<0,②x 2-6x+8<0,③2x 2-9x+m<0,要使同时满足①和②的所有x 都满足③,则实数m 的取值X 围是.:由{x 2-4x +3<0,x 2-6x +8<0,解得2<x<3.③对于2<x<3恒成立,即m<-2x 2+9x 对x ∈(2,3)恒成立,所以m 只需满足小于函数-2x 2+9x 在区间(2,3)上的最小值,即当x=3时,最小值为9,但取不到最小值.所以m ≤9.方法二:{x 2-4x +3<0x 2-6x +8<0⇒{1<x <32<x <4⇒2<x<3.设f (x )=2x 2-9x+m.当x ∈(2,3)时,f (x )<0恒成立. 由二次函数的图象与性质,得{x (2)≤0,x (3)≤0,即{8-18+x ≤0,18-27+x ≤0,解得m ≤9.-∞,9]8已知f (x )是定义在R 上的奇函数,当x>0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为.f (x )为奇函数,且当x>0时,f (x )=x 2-4x ,所以f (x )={x 2-4x ,x >0,0,x =0,-x 2-4x ,x <0,所以原不等式等价于{x >0,x 2-4x >x 或{x <0,-x 2-4x >x .由此可解得x>5或-5<x<0. 用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).-5,0)∪(5,+∞) ★9定义在(-3,3)内的奇函数f (x ),已知f (x )在其定义域内单调递减,且f (2-a )+f (1-a-a 2)>0,则实数a 的取值X 围是.f (x )为奇函数,∴f (2-a )>-f (1-a-a 2)=f (a 2+a-1). 又f (x )在(-3,3)上单调递减,∴{-3<2-x <3,-3<1-x -x 2<3,2-x <x 2+x -1,即{-1<x <5,-1-√172<x <-1+√172,x >1或x <-3.解得1<a<√17-12, 故实数a 的取值X 围为1<a<√17-12.1,√17-12) 10解关于x 的不等式ax 2-(a+1)x+1<0.当a=0时,原不等式化为-x+1<0,所以不等式的解集是{x|x>1}.(2)当a ≠0时,原不等式可化为a (x-1)(x -1x )<0. 若a<0,则(x-1)(x -1x )>0. 因为1x <1,所以原不等式的解集为{x |x <1x 或x >1};若a>0,原不等式化为(x-1)(x -1x )<0.①当1x <1,即a>1时,不等式的解集为{x |1x<x <1}.②当1x =1,即a=1时,不等式即为(x-1)2<0,显然不等式的解集为⌀. ③当1x>1,即0<a<1时,不等式的解集为{x |1<x <1x}.综上,原不等式的解集如下:当a<0时,解集为{x |x <1x 或x >1}; 当a=0时,解集为{x|x>1};当0<a<1时,解集为{x|1<x<1x};当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为{x|1x<x<1}.11设0<α<β,已知不等式ax2+bx+c>0的解集为(α,β),求不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集.,得a<0,α+β=-xx >0,αβ=xx>0.∴a<0,c<0,b>0,从而a+c-b<0.设(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为α',β',则有α'+β'=2x-xx+x-x =2x+x(x+x)x+xxx+x(x+x)=(x+1)+(x+1) (x+1)(x+1)=1x+1+1x+1,α'β'=xx+x-x =xx+xxx+x(x+x)=1x+1·1x+1.∴(a+c-b)x2+(b-2a)x+a=0的两根为1x+1,1 x+1.∵0<α<β,∴1x+1>1x+1>0.∴不等式(a+c-b)x2+(b-2a)x+a>0的解集为(1x+1,1x+1).★12若关于x的不等式4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,某某数m的取值X围.:因为x2-2x+3=(x-1)2+2>0,所以不等式4x+xx2-2x+3<2同解于4x+m<2x2-4x+6,即2x2-8x+6-m>0.要使原不等式对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0对任意实数x恒成立.所以需要Δ<0,即64-8(6-m)<0.整理并解得m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).方法二:由方法一,知要使4x+xx2-2x+3<2对任意实数x恒成立,只要2x2-8x+6-m>0恒成立即可.变形为m<2x2-8x+6.设h(x)=2x2-8x+6,要使m<2x2-8x+6恒成立,只要m<h(x)min.而h(x)=2x2-8x+6=2(x-2)2-2≥-2, 所以h(x)min=-2.所以m<-2.所以实数m的取值X围是(-∞,-2).。

2020年高中数学必修5 第3章 不等式课后习题练 《一元二次不等式解法》(含答案解析)

2020年高中数学必修5 第3章 不等式课后习题练 《一元二次不等式解法》(含答案解析)

第三章 不等式3.2 一元二次不等式及其解法第3课时 一元二次不等式解法(习题课)A 级 基础巩固一、选择题1.不等式(x-1)x +2≥0的解集是( )A .{x|x>1}B .{x|x ≥1}C .{x|x ≥1或x=-2}D .{x|x ≤-2或x=1}2.若集合A={x|ax 2-ax +1<0}=∅,则实数a 的值的集合是( )A .{a|0<a<4}B .{a|0≤a<4}C .{a|0<a ≤4}D .{a|0≤a ≤4}3.已知集合M=⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x +3x -1<0,N={x|x≤-3},则集合{x|x ≥1}等于( ) A .M ∩N B .M ∪N C .∁R(M∩N) D .∁R(M∪N)4.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <-1或x >12,则f(10x )>0的解集为( ) A .{x|x <-1或x >lg 2} B .{x|-1<x <lg 2}C .{x|x >-lg 2}D .{x|x <-lg 2}5.对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x 2+(a-4)x +4-2a 的值恒大于零,则x 的取值范围是( )A .1<x<3B .x<1或x>3C .1<x<2D .x<1或x>2二、填空题6.若不等式(a 2-1)x 2-(a-1)x-1<0的解集为R ,则实数a 的取值范围是________.7.已知关于x 的不等式ax -1x +1<0的解集是(-∞,-1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞,则a=________.8.关于x 的方程x 2m+x +m-1=0有一个正实数根和一个负实数根,则实数m 的取值范围是________. 三、解答题9.已知一元二次不等式(m-2)x 2+2(m-2)x +4>0的解集为R.求m 的取值范围.10.已知f(x)=-3x 2+a(6-a)x +3,解关于a 的不等式f (1)≥0.B 级 能力提升1.若实数α,β为方程x 2-2mx +m +6=0的两根,则(α-1)2+(β-1)2的最小值为( )A .8B .14C .-14D .-4942.有纯农药液一桶,倒出8升后用水补满,然后又倒出4升后再用水补满,此时桶中的农药不超过容积的28%,则桶的容积的取值范围是________.3.已知关于x 的一元二次方程x 2+2mx +2m +1=0.若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内, 另一根在区间(1,2)内,求m 的取值范围.答案解析A 级 基础巩固1.解析:(x-1)x +2≥0,所以⎩⎪⎨⎪⎧x -1≥0,x +2≥0或x=-2,⇒x ≥1或x=-2,故选C. 答案为:C ;2.解析:因为ax 2-ax +1<0无解,当a=0的显然正确;当a≠0时,则⎩⎪⎨⎪⎧a>0,Δ≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a>0,a 2-4a≤0⇒0≤a ≤4.综上知,0≤a ≤4.选D. 答案为:D ;3.解析:因为M={x|-3<x<1},N={x|x ≤-3},所以M∪N ={x|x<1},故∁R(M∪N)={x|x≥1},选D.答案为:D ;4.解析:由题意知,一元二次不等式f(x)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪-1<x <12.而f(10x )>0, 所以-1<10x <12,解得x <lg 12,即x <-lg 2. 答案为:D ;5.解析:f(x)=x 2+(a-4)x +4-2a>0,a ∈[-1,1]恒成立⇒(x-2)a +x 2-4x +4>0,a ∈[-1,1]恒成立.所以⎩⎪⎨⎪⎧(x -2)×(-1)+x 2-4x +4>0,(x -2)×1+x 2-4x +4>0,解得3<x 或x<1.选B. 答案为:B ;6.答案为:⎝ ⎛⎦⎥⎤-35,1;7.解析:由于不等式ax -1x +1<0的解集是(-∞,-1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞,故-12应是ax-1=0的根,所以a=-2. 答案为:-2;8.解析:若方程x 2m+x +m-1=0有一个正实根和一个负实根, 则有⎩⎪⎨⎪⎧m >0,m -1<0,或⎩⎪⎨⎪⎧m <0,m -1>0.所以0<m <1或∅. 答案为:(0,1);9.解:因为y=(m-2)x 2+2(m-2)x +4为二次函数,所以m≠2.因为二次函数的值恒大于零,即(m-2)x 2+2(m-2)x +4>0的解集为R.所以⎩⎪⎨⎪⎧m -2>0,Δ<0,即⎩⎪⎨⎪⎧m >2,4(m -2)2-16(m -2)<0,解得:⎩⎪⎨⎪⎧m >2,2<m <6. 所以m 的取值范围为{m|2<m <6}.10.解:f(1)=-3+a(6-a)+3=a(6-a),因为f(1)≥0,所以a(6-a)≥0,a(a-6)≤0,方程a(a-6)=0有两个不等实根a 1=0,a 2=6,由y=a(a-6)的图象,得不等式f(1)≥0的解集为{a|0≤a≤6}.B 级 能力提升1.解析:因为Δ=(-2m)2-4(m +6)≥0,所以m 2-m-6≥0,所以m≥3或m≤-2.(α-1)2+(β-1)2 =α2+β2-2(α+β)+2=(α+β)2-2αβ-2(α+β)+2=(2m)2-2(m +6)-2(2m)+2=4m 2-6m-10=4⎝ ⎛⎭⎪⎫m -342-494, 因为m≥3或m≤-2,所以当m=3时,(α-1)2+(β-1)2取最小值8.答案为:A ;2.解析:设桶的容积为x 升,那么第一次倒出8升纯农药液后,桶内还有(x-8)(x >8)升纯农药液,用水补满后,桶内纯农药液的浓度为x -8x.第二次又倒出4升药液, 则倒出的纯农药液为 4(x -8)x 升,此时桶内有纯农药液⎣⎢⎡⎦⎥⎤x -8-4(x -8)x 升. 依题意,得x-8-4(x -8)x≤28%·x. 由于x >0,因而原不等式化简为9x 2-150x +400≤0,即(3x-10)(3x-40)≤0.解得103≤x ≤403.又x >8,所以8<x≤403. 答案为:⎝⎛⎦⎥⎤8,403;3.解:设f(x)=x 2+2mx +2m +1,根据题意,画出示意图,由图分析可得,m 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧f (0)=2m +1<0,f (-1)=2>0,f (1)=4m +2<0,f (2)=6m +5>0.解得-56<m<-12.。

(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试(含答案解析)(3)

(常考题)北师大版高中数学必修五第三章《不等式》测试(含答案解析)(3)

一、选择题1.设0,0a b >>,若4a b +=.则49a b+的最小值为( ) A .254B .252 C .85D .1252.若实数x ,y 满足约束条件220103x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩,则()222x y +-的最小值为( )A .12B .45C .92D .4193.已知正数x ,y 满足1431x y +=+,则x y +的最小值为( ) A .53B .2C .73D .64.已知()()22log 1log 24a b -++=,则+a b 的最小值为( ) A .8B .7C .6D .35.设实数x ,y 满足约束条件21,22,x y x y -≤⎧⎨-≥⎩则x y +的最小值是( )A .2B .-2C .1D .-16.已知0x >,0y >,21x y +=,若不等式2212m m x y+>+恒成立,则实数m 的取值范围是( ) A .4m ≥或2m ≤- B .2m ≥或4m ≤- C .24m -<< D .42m -<<7.若正数a ,b 满足111a b +=,则41611a b +--的最小值为( ) A .16 B .25C .36D .498.不等式112x x ->+的解集是( ). A .{}|2x x <-B .{}|21x x -<<C .{}|1x x <D .{}|x x ∈R9.已知点(x ,y )在直线x +2y =4上移动,则24x y +的最小值是( ) A.B.C .6D .810.已知,20a b c a b c >>++=,则ca的取值范围是( ) A .31ca-<<- B .113c a -<<- C .21ca-<<- D .112c a -<<-11.已知函数()3x f x -=,对任意的1x ,2x ,且12x x <,则下列四个结论中,不一定正确的是( )A .()()()1212f x x f x f x +=⋅B .()()()1212f x x f x f x ⋅=+C .()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦D .()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<⎪⎝⎭12.已知4213332,3,25a b c ===,则 A .b a c << B .a b c << C .b c a <<D .c a b <<二、填空题13.已知2xy x =+,则42x y+的最小值为_________14.已知实数x y ,,正实数a b ,满足2x y a b ==,且213x y+=-,则2a b +的最小值为__________.15.已知变量x ,y 满足430401x y x y x -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则点(),x y 对应的区域的222x y xy +的最大值为______.16.已知实数x ,y 满足x y 10x y 20x 0-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则z x 2y =-的最大值为______.17.若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立,则实数m 的最小值为________ 18.某厂拟生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3000元、2000元.甲、乙产品都需要在A ,B 两种设备上加工,在每台A ,B 设备上加工1件甲产品所需工时分别为1h 、2h ,加工1件乙产品所需工时分别为2h 、1h ,A ,B 两种设备每月有效使用时数分别为400h 和500h .若合理安排生产可使收入最大为______元.19.已知0m >,0n >,且111223m n +=++,则2m n +的最小值为________. 20.已知函数()21f x x x =-+,若在区间[]1,1-上,不等式()2f x x m >+恒成立,则实数m 的取值范围是___________.三、解答题21.若不等式2122x x mx -+>的解集为{}|02x x <<. (1)求m 的值;(2)已知正实数a ,b 满足4a b mab +=,求+a b 的最小值. 22.二次函数f(x)满足f(x +1)-f(x)=2x ,且f(0)=1.(1)求f(x)的解析式; (2)解不等式f(x)>2x +5.23.已知函数f (x )=ax 2﹣(4a +1)x +4(a ∈R ).(1)若关于x 的不等式f (x )≥b 的解集为{x |1≤x ≤2},求实数a ,b 的值; (2)解关于x 的不等式f (x )>0.24.某企业采用新工艺,把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为21200800002y x x =-+,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?25.若实数0x >,0y >,且满足8x y xy +=-. (1)求xy 的最大值; (2)求x y +的最小值26.如果x ,y R ∈,比较()222+x y 与()2xy x y +的大小.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式可得最小值. 【详解】0,0,4a b a b >>+=()(4914914912513134444b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当49b aa b =,即812,55a b ==时取等号. 故选:A . 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方2.C解析:C 【分析】作出可行域,利用()222x y +-的几何意义:表示可行域内点(,)x y 与定点(0,2)的距离的平方.可求得最小值. 【详解】作出可行域,如图ABC 内部(含边界),()222x y +-表示可行域内点(,)P x y 与定点(0,2)M 的距离的平方,由图可知min0213222PM--==,(点M 到直线BC 的距离) ∴()222x y +-的最小值是232922⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选:C .【点睛】思路点睛:本题考查求简单的线性规划的非线性目标函数的最值.作出可行域是解题的基础.对非线性目标函数,常常利用其几何意义求解,主要有两种类型:(1)22()()x a y b -+-,两点间的距离公式;(2)y bx a--:两点连线斜率, 3.B解析:B 【分析】化简114[(1)]()131x y x y x y +=++⨯+-+,再利用基本不等式求解. 【详解】由题得1114(1)1[(1)]31[(1)]()1331x y x y x y x y x y +=++-=++⨯-=++⨯+-+ 1141(5)1(5)123131y x x y y +=++-≥+-=++ 当且仅当1x y ==时取等. 所以x y +的最小值为2. 故选:B 【点睛】方法点睛:利用基本不等式求最值时,常用到常量代换,即把所求代数式中的某一常量换成已知中的代数式,再利用基本不等式求解.4.B解析:B 【分析】由对数运算可得出()()1216a b -+=,利用基本不等式可求得+a b 的最小值. 【详解】因为()()22log 1log 24a b -++=,即()()2log 124a b -+=⎡⎤⎣⎦, 所以,()()1216a b -+=且有10a ->,20b +>,由基本不等式可得()()128a b -++≥=,所以,7a b +≥,所以(1)(2)16a b -+=,且10a ->,20b +>, 当且仅当124a b -=+=时等号成立. 因此,+a b 的最小值为7. 故选:B. 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.5.C解析:C 【分析】先作出约束条件对应的可行域,然后分析目标函数的几何意义,结合图形即可求解. 【详解】 作出约束条件2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩所表示的平面区域如图所示:移动直线x y z +=,可知当其过点A 时取得最小值,解方程组2122x y x y -≤⎧⎨-≥⎩,求得1x y =⎧⎨=⎩,即(1,0)A ,代入求得101=+=z ,所以x y +的最小值是1, 故选:C. 【点睛】方法点睛:该题考查的是有关线性规划的问题,解题方法如下: (1)根据题中所给的约束条件画出可行域; (2)根据目标函数的意义找到最优解; (3)解方程组求得最优解的坐标; (4)代入求得最小值,得到结果.6.D解析:D 【分析】先根据已知结合基本不等式得218x y+≥,再解不等式228m m +<即可得答案.【详解】解:由于0x >,0y >,21x y +=, 所以()21214424428y x y x x y x y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭, 当且仅当4y x x y =,即122x y ==时等号成立, 由于不等式2212m m x y+>+成立, 故228m m +<,解得:42m -<<. 故实数m 的取值范围是:42m -<<. 故选:D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,一元二次不等式的解法,考查运算能力,是中档题.7.A解析:A 【分析】由111a b +=得:(1,1)1a b a b a =>>-,代入41611a b +--化简,利用基本不等式可求函数最小值. 【详解】由111a b +=得:(1,1)1a b a b a =>>-,代入41611a b +--得到:416416416(1)16111111a a ab a a a +=+=+-≥=------ 当且仅当:4=16(1)1a a --即32a =时取等号.故选:A 【点睛】本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用,考查了学生转化与划归,数学运算的能力,属于中档题.8.A解析:A 【解析】分析:首先对原式进行移项、通分得到302x ->+,之后根据不等式的性质可得20x +<,从而求得不等式的解集.详解:将原不等式化为1202x x x --->+,即302x ->+, 即302x <+,则有20x +<,解得2x <-, 所以不等式102x x ->+的解集为{}|2x x <-,故选A. 点睛:该题是一道关于求不等式解集的题目,解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法,属于简单题目.9.D解析:D 【分析】运用基本不等式2422x y +≥=【详解】因为20,40x y >>,所以224228x y x y ++≥===,(当且仅当24x y =时取“=”). 故答案为D. 【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件: ①各项都是正数; ②和(或积)为定值; ③等号取得的条件.10.A解析:A 【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--,再代入不等式a b >,b c >,解这两个不等式,即可得a 与c 的比值关系,联立可求ca的取值范围 【详解】解:因为,20a b c a b c >>++=, 所以0,0a c ><,2b a c =--, 因为a b c >>,所以2a c a --<,即3a c >-,解得3ca>-, 将2b a c =--代入b c >中,得2a c c -->, 即a c <-,得1ca<-, 所以31ca-<<-, 故选:A 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用,考查不等式性质的应用,考查转化思想,属于中档题11.B解析:B 【分析】将函数()3xf x -=代入选项,由指数幂的运算性质可判断A 、B ;由函数的单调性可判断C ;由基本不等式可判断D ;即可得解. 【详解】对于A ,1212)(1212()333()()x x x x f x x f x f x -+--=⋅=⋅+=,故A 一定正确;对于B ,()12123x x f x x -=⋅,1212()()33x x f x f x --++=,()()()1212f x x f x f x ⋅=+不一定成立,故B 不一定正确;对于C ,因为()3xf x -=为减函数,故满足1212()[()()]0x x f x f x --<,故C 一定正确;对于D ,因为12x x <,所以1212()()2233x x f x f x --++=>=1212232x x x x f +-+⎛⎫= ⎪⎝⎭=,故D 一定正确. 故选:B. 【点睛】本题考查了指数函数性质及基本不等式的应用,考查了运算求解能力与转化化归思想,属于中档题.12.A解析:A 【详解】因为422233332=4,3,5a b c ===,且幂函数23y x =在(0,)+∞ 上单调递增,所以b <a <c . 故选A.点睛:本题主要考查幂函数的单调性及比较大小问题,解答比较大小问题,常见思路有两个:一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ );二是利用函数的单调性直接解答;数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用;三是借助于中间变量比较大小.二、填空题13.【分析】依题意可得再利用基本不等式计算可得;【详解】解:因为所以所以所以所以所以所以所以当且仅当即时取等号;故答案为:【点睛】在应用基本不等式求最值时要把握不等式成立的三个条件就是一正——各项均为正解析:【分析】依题意可得21x y +=,再利用基本不等式计算可得; 【详解】解:因为2xy x =+,2x xy =+-,所以()()()()2222221(1)42222x y x xy x x xy x y ⎡⎤+-+=+-=+-++⎣⎦, 所以2242144x y y x xy +-+=-, 所以()()222210x y x y +-++=, 所以()2210x y +-=,所以21x y +=,所以42x y +≥=42x y =,即14x =,12y =时取等号;故答案为:【点睛】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.14.【分析】由条件化简可得利用均值不等式求最小值即可【详解】正实数满足取对数可得所以所以由均值不等式知当且仅当即时等号成立故答案为:【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件:(解析:2【分析】由条件化简可得218a b =,利用均值不等式求最小值即可.【详解】正实数a b ,满足2x y a b ==, 取对数可得log 2,log 2a b x y ==, 所以2222212log log log 3a b a b x y+=+==-, 所以218a b =,由均值不等式知,22a b +≥=,当且仅当2a b =,即a =,4b =时等号成立.故答案为:2【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.15.【分析】作出可行域令所以利用函数的单调性即可求最值【详解】由解得:所以由解得:所以表示可行域内的点与原点连线的斜率所以令所以在单调递减在单调递增当时当时所以的最大值为故答案为:【点睛】思路点睛:非线解析:53【分析】 作出可行域,令yt x =,OA OB y k k x ≤≤,所以7,313t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,22111222x y xy t xy y x t ⎛⎫+⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,利用函数的单调性即可求最值. 【详解】由43040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩解得:13575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以137,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,由140x x y =⎧⎨+-=⎩解得:13x y =⎧⎨=⎩,所以()1,3B ,y x 表示可行域内的点与原点连线的斜率,所以OA OB yk k x ≤≤, 775131305OAk -==-,30310OB k -==-,令7,313y t x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦, 所以22111222x y xy t xy y x t ⎛⎫+⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 1y t t =+在7,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,在[]1,3单调递增,当3t =时,1713109213791y ⎛⎫=+=⎪⎝⎭,当75t=时,1153233y ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 所以222x y xy +的最大值为53,故答案为:53. 【点睛】 思路点睛:非线性目标函数的常见类型及解题思路:1.斜率型:()0by ay b a a z ac d cx d c x c++==⋅≠++表示的是可行域内的点(),x y 与点,d b c a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线所在直线的斜率的ac倍;2.距离型:(1)()()22z x a y b =-+-表示的是可行域内的点(),x y 与(),a b 之间距离的平方;(2)z Ax By C =++=(),x y 到直线0Ax By C ++=倍.16.-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()(02)目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为:-2点睛:利用线性规划求最值的步骤:(1)在平面直角坐标系内解析:-2 【详解】根据题意得到如图可行域 是封闭的三角形,顶点是(0,1) (13,22)(0,2)目标函数2z x y =-,1,22zy x =-可得到当目标函数过点A(0,1),有最大值-2, 故得到答案为:-2.点睛:利用线性规划求最值的步骤:(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形.常见的类型有截距型(ax by +型)、斜率型(y bx a++型)和距离型(()()22x a y b +++型).(3)确定最优解:根据目标函数的类型,并结合可行域确定最优解.(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.17.【分析】根据题意令分析可以将不等式在x ∈12上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组解可得m 的取值范围即可得答案【详解】根据题意令若不等式在x ∈12上恒成立则有△=m2﹣4m≤0或或解可得实数m 的最解析:12-【分析】根据题意,令()2f x x mx m ++=,分析可以将不等式20x mx m ++≥在x ∈[1,2]上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组,解可得m 的取值范围,即可得答案. 【详解】根据题意,令()2f x x mx m ++=,若不等式20x mx m ++≥在x ∈[1,2]上恒成立,则有△=m 2﹣4m ≤0或()121120m f m ⎧-≤⎪⎨⎪=+≥⎩或()222430m f m ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩,解可得1,2m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭,实数m的最小值为:1 2-,故答案为12-.【点睛】本题考查二次函数的性质,关键是将x2+mx+m≥0在x∈[1,2]上恒成立转化为二次函数y=x2+mx+m在x∈[1,2]上的最值问题.18.800000【分析】设每月生产甲产品件生产乙产品件每月收入为元列出实际问题中xy所需满足的条件作出可行域数形结合求出目标函数的最大值【详解】设每月生产甲产品件生产乙产品件每月收入为元目标函数为需要满解析:800000【分析】设每月生产甲产品x件,生产乙产品y件,每月收入为z元,列出实际问题中x、y所需满足的条件,作出可行域,数形结合求出目标函数30002000z x y=+的最大值.【详解】设每月生产甲产品x件,生产乙产品y件,每月收入为z元,目标函数为30002000z x y=+,需要满足的条件是24002500x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,作出可行域如图所示,目标函数30002000z x y=+可转化直线3122000y x z=-+,数形结合知当直线经过点A时z取得最大值.解方程组24002500x yx y+=⎧⎨+=⎩,可得点()200,100A,则z 的最大值为30002002000100z =⨯+⨯=800000元. 故答案为:800000 【点睛】本题考查线性规划解决实际问题,属于基础题.19.【分析】先换元令则;再采用乘1法求出的最小值即可得解【详解】解:令则且而当且仅当即时等号成立的最小值为故答案为:【点睛】本题考查利用基本不等式求最值采用换元法和乘1法是解题的关键考查学生的转化思想分解析:3+【分析】先换元,令2s m =+,2t n =+,则1113s t +=,226m n s t +=+-;再采用“乘1法”,求出2s t +的最小值即可得解.【详解】解:令2s m =+,2t n =+,则2s >,2t >,且1113s t +=,2(2)2(2)26m n s t s t ∴+=-+-=+-,而112223(2)()3(12)3(32)3(322)s t s ts t s t s t t s t s+=++=+++⨯+=+,当且仅当2s tt s=,即s =时,等号成立.2s t ∴+的最小值为3(3+,2263(322)63m n s t ∴+=+-+-=+故答案为:3+ 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值,采用换元法和“乘1法”是解题的关键,考查学生的转化思想、分析能力和运算能力,属于中档题.20.【分析】由参变量分离法得出对任意的恒成立利用二次函数的基本性质可求得函数在区间上的最小值进而可求得实数的取值范围【详解】要使在区间上不等式恒成立只需恒成立设只需小于在区间上的最小值因为所以当时所以所 解析:(),1-∞-【分析】由参变量分离法得出231m x x <-+对任意的[]1,1x ∈-恒成立,利用二次函数的基本性质可求得函数()231g x x x =-+在区间[]1,1-上的最小值,进而可求得实数m 的取值范围.【详解】要使在区间[]1,1-上,不等式()2f x x m >+恒成立, 只需()2231m f x x x x <-=-+恒成立,设()231g x x x =-+,只需m 小于()y g x =在区间[]1,1-上的最小值,因为()22353124g x x x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭,所以当1x =时,()()min 11g x g ==-, 所以1m <-,所以实数m 的取值范围是(),1-∞-. 故答案为:(),1-∞-. 【点睛】本题考查利用二次不等式在区间上恒成立求参数,考查了参变量分离法的应用,考查计算能力,属于中等题.三、解答题21.(1)1;(2)9. 【分析】(1)根据不等式与对应方程的关系,列方程求出m 的值; (2)先求得141b a+=,可得14()()a b a b b a +=++,展开后利用基本不等式求出+a b 的最小值. 【详解】 (1)不等式2122x x mx -+>可化为21(2)02x m x +-<,即[2(2)]0x x m +-<,所以不等式对应方程的两根为0和2(2)m --, 又不等式的解集为{|02}x x <<, 所以2(2)2m --=,解得1m =; (2)由正实数a ,b 满足4a b mab +=, 所以4a b ab +=,所以141b a+=, 所以1444()()5529b a b a b a b b a a b a +=++=+++, 当且仅当26a b ==时取等号, 所以+a b 的最小值为9. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,也考查了利用基本不等式求最值,是基础题. 22.(1)2()1f x x x =-+;(2)()(),14,-∞-+∞【分析】(1) 设二次函数f (x )=ax 2+bx+c ,利用待定系数法即可求出f (x ); (2) 利用一元二次不等式的解法即可得出. 【详解】(1).设二次函数f (x )=ax 2+bx+c , ∵函数f (x )满足f (x+1)﹣f (x )=2x ,∴ f(x +1)-f(x)=()()211a x b x c ++++-()2ax bx c ++=2ax+a+b=2x ∴ 220a a b =⎧⎨+=⎩ ,解得11a b =⎧⎨=-⎩.且f (0)=1.∴ c=1∴f (x )=x 2﹣x+1.(2) 不等式f (x )>2x+5,即x 2﹣x+1>2x+5,化为x 2﹣3x ﹣4>0. 化为(x ﹣4)(x+1)>0,解得x >4或x <﹣1. ∴原不等式的解集为()(),14,-∞-⋃+∞ 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式和一元二次不等式的解法,熟练掌握其方法是解题的关键,属于中档题. 23.(1)-1,6;(2)答案见详解 【分析】(1)由f (x )≥b 的解集为{x |1≤x ≤2}结合韦达定理即可求解参数a ,b 的值;(2)原式可因式分解为()()()14f x ax x =--,再分类讨论即可0,0,0a a a =<>,对0a >再细分为111,0,,,444a a a ⎛⎫⎛⎫=∈∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求解.【详解】(1)由f (x )≥b 得()24140ax a x b -++-≥,因为f (x )≥b 的解集为{x |1≤x ≤2},故满足4112a a ++=,412b a-⨯=,解得1,6a b =-=; (2)原式因式分解可得()()14f x a x x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 当0a =时,()40f x x =-+>,解得(),4x ∈-∞;当0a <时,()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的解集为1,4x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭; 当0a >时,()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭, ①若14a =,即14a =,则()()140f x a x x a ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的解集为4x ≠;②若14a <,即14a >时,解得()1,4,x a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭;③若14a >,即104a <<时,解得()1,4,x a ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查由一元二次不等式的解求解参数,分类讨论求解一元二次不等式,属于中档题. 24.(1)400吨;(2)不获利,补40000元. 【分析】(1)求得每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x=+-,利用基本不等式求得yx的最小值,利用等号成立的条件求得x 的值,由此可得出结论; (2)令()2211100200800003008000022f x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-⎪⎝⎭,求得该函数在区间[]400,600的最大值,进而可得出结论. 【详解】(1)由题意可知,月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为()21200800004006002y x x x =-+≤≤, 所以,每吨二氧化碳的平均处理成本为1800002002y x x x=+-,由基本不等式可得200200y x ≥=(元), 当且仅当1800002x x=时,即当400x =时,等号成立, 因此,该单位每月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低;(2)令()()222111100200800003008000030035000222f x x x x x x x ⎛⎫=--+=-+-=--- ⎪⎝⎭,400600x ≤≤,函数()f x 在区间[]400,600上单调递减,当400x =时,函数()f x 取得最大值,即()()max 40040000f x f ==-. 所以,该单位每月不能获利,国家至少需要补贴40000元才能使该单位不亏损. 【点睛】本题考查基本不等式和二次函数的实际应用,考查计算能力,属于中等题. 25.(1)4;(2)4. 【分析】(1)由于0x >,0y >,根据基本不等式得出8xy x y -=+≥不等式的解法,即可求出xy 的最大值;(2)根据题意,由0x >,0y >,根据基本不等式得出28()()2x y x y xy +-+=≤,通过解一元二次不等式,即可求出x y +的最小值.【详解】解:(1)∵0x >,0y >,∴8xy x y -=+≥80xy +≤,即2)0≤,解得:02<,04xy ∴<≤(当且仅当2x y ==时取等号), ∴xy 的最大值为4.(2)∵0x >,0y >,28()()2x y x y xy +∴-+=≤, 即2()()802x y x y +-++≥, 整理得:2()()3204x y x y +++-≥, ∴()()840x y x y +++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎦≥⎣,∴4x y +≥(当且仅当2x y ==时取等号), 所以x y +的最小值为4. 【点睛】本题考查基本不等式的应用,考查利用基本不等式求和的最小值和积的最大值,以及一元二次不等式的解法,考查转化思想和运算能力. 26.()()2222x y xy x y ≥++,当且仅当x y =时等号成立【分析】运用作差比较法,结合配方法进行比较大小即可. 【详解】()()()2222442224433222x y xy x y x y x y xy x xy y x y x y xy +-++--++=+--=()()()()()()()2223333222324y x x y yy x x y xyx y xxy yx y x y ⎡⎤⎛⎫=-+-=--=-++=-++⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()20x y -≥,223024y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭,()2223024y x y x y ⎡⎤⎛⎫∴-++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. ()()2222x y xy x y ∴≥++,当且仅当x y =时等号成立.【点睛】本题考查了用作差比较法进行比较两个多项式的大小,考查了配方法的应用,属于中档题.。

(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》测试题(含答案解析)(1)

(压轴题)高中数学必修五第三章《不等式》测试题(含答案解析)(1)

一、选择题1.若正数x ,y 满足21y x+=,则2x y +的最小值为( )A .2B .4C .6D .82.已知2244x y +=,则2211x y +的最小值为( ) A .52B .9C .1D .943.已知实数满足约束条件020360x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩,则2z x y =-的最小值为( )A .4-B .3-C .2-D .1-4.设x ,y 满足约束条件4100,20,0,0,x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩则23z x y =-的最大值为( )A .10B .8C .5D .6-5.实数x ,y 满足线性约束条件424x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩,则2z x y =-的最小值为( )A .2-B .1-C .0D .16.不等式112x x ->+的解集是( ). A .{}|2x x <-B .{}|21x x -<<C .{}|1x x <D .{}|x x ∈R7.已知点(x ,y )在直线x +2y =4上移动,则24x y +的最小值是( ) A.B.C .6D .88.已知,20a b c a b c >>++=,则ca的取值范围是( ) A .31ca-<<- B .113c a -<<- C .21ca-<<- D .112c a -<<- 9.已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩,则221z x y =--的取值范围是( )A .5,53⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .5,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C .5,53⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .5,53⎡⎫-⎪⎢⎣⎭10.若a ,b ,c ∈R ,a >b ,则下列不等式恒成立的是( )A .1a <1bB .a 2>b 2C .21ac +>21b c + D .a |c |>b |c |11.设,,a b c ∈R ,且a b >,则( ) A .ac bc >B .11a b< C .22a b > D .33a b >12.命题p :变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩,则y z x =的最小值为14,命题q :直线2x =的倾斜角为2π,下列命题正确的是( ) A .p q ∧B .()()p q ⌝∧⌝C .()p q ⌝∧D .()p q ∧⌝二、填空题13.已知实数,x y 满足约束条件222,22x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩则2z x y =-的最大值为___.14.设ABC 的内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,且3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+,则()tan A C -的最大值为__________. 15.已知实数x ,y 满足x y 10x y 20x 0-+≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩,则z x 2y =-的最大值为______.16.若不等式20++≥x mx m 在[1,2]x ∈上恒成立,则实数m 的最小值为________ 17.已知0x >,0y >,且212+=x y ,若2322+≥-x y m m 恒成立,则实数m 的取值范围_______.18.已知2z y x =-,式中变量x ,y 满足下列条件:213201x y x y k y -≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩,若z 的最大值为11,则k 的值为______.19.已知a >0,b >0,则p =2b a﹣a 与q =b ﹣2a b 的大小关系是_____.20.若(0,1)x ∈时,不等式111m x x≤+-恒成立,则实数m 的最大值为________. 三、解答题21.设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠. (1)若不等式()0f x >的解集为(1,3)-,求,a b 的值; (2)若(1)2,0,0f a b =>>,求19a b+的最小值.22.已知函数()21f x x x =-++. (1)求不等式()5f x ≤的解集; (2)若()f x 的最小值是m ,且3m a b +=,求212a b +的最小值.23.已知函数2()12af x x x =-+ (1)若()0f x ≥,在R 上恒成立,求实数a 的取值范围; (2)若[]1,2,()2x f x ∃∈≥成立,求实数a 的取值范围. 24.已知关于x 的不等式23240x ax -++>. (1)当2a =时,求此不等式的解集;(2)若此不等式的解集为()4,m -,求实数a ,m 的值. 25.已知a R ∈,若关于x 的不等式2(1)460a x x 的解集是(3,1)-.(1)求a 的值;(2)若关于x 的不等式230ax bx ++≥在[0,2]上恒成立,求实数b 的取值范围. 26.已知关于x 的一元二次不等式()22600kx x k k -+<≠.(1)若不等式的解集是{|3x x <-或}2x >-,求k 的值; (2)若不等式的解集是R ,求k 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【分析】 由21y x +=,对2x y +乘以21y x+=,构造均值不等式求最值 .【详解】22242248x y x xy y x y xy ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当且仅当421xy xy y x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,即412x y =⎧⎪⎨=⎪⎩时,等号成立,∴min 28x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选:D 【点睛】利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件:“一正、二定、三相等” (1) “一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.如果等号成立的条件满足不了,说明函数在对应区间单调,可以利用单调性求最值或值域.2.D解析:D 【分析】利用22222211111(4)4x y x y xy ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,展开后应用基本不等式可得最小值. 【详解】由题意22222211111(4)4x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭2222141955444y x x y ⎛⎛⎫=++≥+= ⎪ ⎝⎭⎝,当且仅当22224y x x y =,即2242,33x y ==时等号成立.故选:D . 【点睛】易错点睛:利用基本不等式求最值时,要注意其必须满足的三个条件: (1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数;(2)“二定”就是要求和的最小值,必须把构成和的二项之积转化成定值;要求积的最大值,则必须把构成积的因式的和转化成定值;(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时,必须验证等号成立的条件,若不能取等号则这个定值就不是所求的最值,这也是最容易发生错误的地方.3.A解析:A 【分析】根据约束条件作出可行域,将目标函数变形为122zy x =-,通过平移直线法可求出2z -的最大值,从而可得z 的最小值. 【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域,如图所示:将目标函数2z x y =-变形为122zy x =-,由图可知当直线经过点(0,2)A 时,截距2z -最大,所以,2z x y =-的最小值为4-. 故选:A 【点睛】方法点睛:解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域,准确地理解z 的几何意义,求最优解时采用“平移直线法”. 利用线性规划求最值,一般用图解法求解,其步骤是: (1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形;(3)确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而确定最优解; (4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.4.C解析:C 【分析】作出不等式对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,求目标函数的最大值即可. 【详解】画出约束条件所表示的平面区域,如图所示, 由23z x y =-得到233zy x =-, 平移直线233zy x =-,当过A 时直线截距最小,z 最大,由4100yx y=⎧⎨--=⎩得到5(,0)2A,所以23z x y=-的最大值为max523052z=⨯-⨯=,故选C.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题.其中解答中正确画出不等式组表示的可行域,利用“一画、二移、三求”,确定目标函数的最优解是解答的关键,着重考查了数形结合思想,及推理与计算能力,属于基础题.5.C解析:C【分析】作出约束条件的可行域,将目标函数转化为122zy x=-,利用线性规划即可求解.【详解】解:由2z x y=-得122zy x=-,作出x,y满足约束条件424x yx yx+≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩对应的平面区域如图(阴影部分ABC):平移直线122z y x =-, 由图象可知当直线122z y x =-过点C 时,直线122zy x =-的截距最大,此时z 最小, 420x x y =⎧⎨--=⎩,解得()4,2A .代入目标函数2z x y =-, 得4220z =-⨯=,∴目标函数2z x y =-的最小值是0.故选:C . 【点睛】本题考查简单的线性规划,解题的关键是作出约束条件的可行域,属于中档题.6.A解析:A 【解析】分析:首先对原式进行移项、通分得到302x ->+,之后根据不等式的性质可得20x +<,从而求得不等式的解集.详解:将原不等式化为1202x x x --->+,即302x ->+, 即302x <+,则有20x +<,解得2x <-, 所以不等式102x x ->+的解集为{}|2x x <-,故选A. 点睛:该题是一道关于求不等式解集的题目,解答该题的关键是熟练掌握分式不等式的解法,属于简单题目.7.D解析:D 【分析】运用基本不等式2422x y +≥=【详解】因为20,40xy>>,所以224228x y x y ++≥===,(当且仅当24x y =时取“=”). 故答案为D. 【点睛】利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件: ①各项都是正数; ②和(或积)为定值; ③等号取得的条件.8.A解析:A 【分析】先将20a b c ++=变形为2b a c =--,再代入不等式a b >,b c >,解这两个不等式,即可得a 与c 的比值关系,联立可求ca的取值范围 【详解】解:因为,20a b c a b c >>++=, 所以0,0a c ><,2b a c =--, 因为a b c >>,所以2a c a --<,即3a c >-,解得3ca>-, 将2b a c =--代入b c >中,得2a c c -->, 即a c <-,得1ca<-, 所以31ca-<<-, 故选:A 【点睛】此题考查一元一次不等式的应用,考查不等式性质的应用,考查转化思想,属于中档题9.D解析:D 【分析】画出可行域,根据目标函数的截距,利用数形结合,即可求出z 的取值范围. 【详解】 作出可行域如下:由221z x y =--得12zy x +=-, 平移直线12zy x +=-,由平移可知当直线12zy x +=-,经过点C 时, 直线12zy x +=-的截距最小,此时z 取得最大值, 由210x x y =⎧⎨+-=⎩,解得21x y =⎧⎨=-⎩,即(2,1)C -, 此时2214215z x y =--=+-=, 可知当直线12zy x +=-,经过点A 时, 直线12zy y x +==-的截距最大,此时z 取得最小值, 由21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩,得1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即1(3A ,2)3代入221z x y =--得125221333z =⨯-⨯-=-,故5[3z ∈-,5)故选:D . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法,属于中档题.10.C解析:C 【分析】首先利用特值法排除A 、B 两项,利用不等式的性质可确定C 项是正确的,再举出反例判断D 项是错误的,从而得到答案. 【详解】当a =1,b =-2时,满足a >b ,但11a b>,a 2<b 2,排除A 、B ; 因为211c +>0,a >b ⇒2211a b c c >++,故C 是正确的;当c =0时,a |c |>b |c |不成立,排除D , 故选:C. 【点睛】该题考查的是有关不等式的问题,涉及到的知识点有利用不等式的性质比较式子的大小,利用特值法排除不正确的选项,坚持做到小题小做的思想,属于简单题目.11.D解析:D【分析】结合不等式的性质、特殊值判断出错误选项,利用差比较法证明正确选项成立. 【详解】A 选项,当0c ≤ 时,由a b >不能得到ac bc >,故不正确;B 选项,当0a >,0b <(如1a =,2b =-)时,由a b >不能得到11a b<,故不正确; C 选项,由()()22a b a b a b -=+-及a b >可知当0a b +<时(如2a =-,3b =-或2a =,3b =-)均不能得到22a b >,故不正确;D 选项,()()()233222324b a b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-=-++=-⋅++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,因为,a b 不同时为0,所以223024b a b ⎛⎫++> ⎪⎝⎭,所以可由a b >知330a b ->,即33a b >,故正确.故选:D 【点睛】本小题主要考查不等式的性质以及差比较法,属于中档题.12.A解析:A 【分析】由约束条件作出可行域,由yz x=的几何意义求得最小值判断p 为真命题,由直线2x =的倾斜角判断q 为真命题,再由复合命题的真假判断得答案. 【详解】解:变量(),x y 满足约束条件3450y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩作出可行域如图:目标式yz x=表示可行域内点(),x y 与()0,0的连线的斜率,由图可知,当过点()4,1D 时,min 14z =,即y z x =的最小值为14,命题p 为真命题; 直线2x =的倾斜角为2π正确,故命题q 为真命题. 所以p q ∧为真命题,()()p q ⌝∧⌝为假命题,()p q ⌝∧为假命题,()p q ∧⌝为假命题; 故选:A 【点睛】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,考查复合命题的真假判断,属于中档题.二、填空题13.1【分析】作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义进行求最值即可【详解】由z=x-2y 得作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):平移直线的截距最小此时z 最大由得A (10)代入目标函数z=解析:1 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可. 【详解】 由z=x-2y 得1122y x z =-,作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):平移直线1122y x z =-,,1122y x z =-,的截距最小, 此时z 最大,由2222x y x y -⎧⎨+⎩== ,得A (1,0).代入目标函数z=x-2y , 得z=1-2×0=1, 故答案为1. 【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.14.【分析】利用正弦定理将化为然后利用三角形内角和定理将用代换再利用两角和的正弦公式展开整理可得再由同角三角函数关系可得将其代入展开式消去结合基本不等式即可求出的最大值【详解】解:∵由正弦定理边角互化得 解析:612【分析】利用正弦定理将3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+化为3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+,然后利用三角形内角和定理将B 用()A C π-+代换,再利用两角和的正弦公式展开整理可得2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅,再由同角三角函数关系可得3tan tan 2A C =,将其代入()tan A C -展开式消去tan A ,结合基本不等式即可求出()tan A C -的最大值. 【详解】解:∵ 3cos 2cos a C c A b ⋅=⋅+由正弦定理边角互化得3sin cos 2sin cos sin A C C A B ⋅=⋅+,又∵ ()()sin sin sin sin cos cos sin B A C A C A C A C π=-+=+=+⎡⎤⎣⎦,∴ 3sin cos 2sin cos sin cos cos sin A C A C C A A C +⋅=⋅+, ∴ 2sin cos 3sin cos A C C A ⋅=⋅∵ 当cos 0C ≤或cos 0A ≤时,等式不成立, ∴ ,0,2A C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,3tan tan 2A C =, ∴ ()22tan tan tan tan tan tan 112tan ==32123132tan tan tan tan CA C C A C C C A C CC-==++++-,又∵ tan 0C >,∴2tan tan 3C C ≥=+当且仅当23tan tan C C ==,即tan C =等号成立, ∴()tan tan tan tan tan tan 1tan =21123A CA CC CA C -≤++-=.故答案为:12【点睛】本题主要考查正弦定理,两角差的正切公式及基本不等式的应用,需要注意的是在利用基本不等式时,要根据条件确定tan 0C >.15.-2【详解】根据题意得到如图可行域是封闭的三角形顶点是(01)()(02)目标函数可得到当目标函数过点A(01)有最大值-2故得到答案为:-2点睛:利用线性规划求最值的步骤:(1)在平面直角坐标系内解析:-2 【详解】根据题意得到如图可行域 是封闭的三角形,顶点是(0,1) (13,22)(0,2)目标函数2z x y =-,1,22zy x =-可得到当目标函数过点A(0,1),有最大值-2, 故得到答案为:-2.点睛:利用线性规划求最值的步骤:(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形.常见的类型有截距型(ax by +型)、斜率型(y bx a++型)和距离型(()()22x a y b +++型).(3)确定最优解:根据目标函数的类型,并结合可行域确定最优解.(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.16.【分析】根据题意令分析可以将不等式在x ∈12上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组解可得m 的取值范围即可得答案【详解】根据题意令若不等式在x ∈12上恒成立则有△=m2﹣4m≤0或或解可得实数m 的最解析:12-【分析】根据题意,令()2f x x mx m ++=,分析可以将不等式20x mx m ++≥在x ∈[1,2]上恒成立转化为二次函数的性质列出不等式组,解可得m 的取值范围,即可得答案. 【详解】根据题意,令()2f x x mx m ++=,若不等式20x mx m ++≥在x ∈[1,2]上恒成立,则有△=m 2﹣4m ≤0或()121120m f m ⎧-≤⎪⎨⎪=+≥⎩或()222430m f m ⎧-≥⎪⎨⎪=+≥⎩,解可得1,2m ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭,实数m 的最小值为:12-, 故答案为12-. 【点睛】本题考查二次函数的性质,关键是将x 2+mx +m ≥0在x ∈[1,2]上恒成立转化为二次函数y =x 2+mx +m 在x ∈[1,2]上的最值问题.17.【分析】利用1的替换求出的最小值再解不等式即可【详解】因为当且仅当即时等号成立所以解得故答案为:【点睛】本题主要考查基本不等式求最值涉及到解一元二次不等式是一道中档题解析:3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】利用“1”的替换求出2x y +的最小值92,再解不等式23922m m -≤即可.【详解】 因为121122192()(2)(5)(54)2222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=,当且仅当22y xx y=, 即32x y ==时等号成立,所以23922m m -≤,解得332m -≤≤.故答案为:3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查基本不等式求最值,涉及到解一元二次不等式,是一道中档题.18.23【分析】先画出约束条件所表示的可行域结合图象确定目标函数的最优解代入最优解的坐标即可求解【详解】画出不等式组所表示的可行域如图所示可得交点又由解得目标函数可化为当直线过点C 时直线在轴上的截距最大解析:23 【分析】先画出约束条件所表示的可行域,结合图象确定目标函数的最优解,代入最优解的坐标,即可求解. 【详解】画出不等式组213201x y x y k y -≥-⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域,如图所示,可得交点(0,1),(7,1)A B , 又由21211x y y x -=-⎧⎨-=⎩,解得(3,7)C ,目标函数2z y x =-可化为122zy x =+, 当直线122zy x =+过点C 时,直线在y 轴上的截距最大,此时目标函数取得最大值, 将C 代入直线320x y k +-=,解得23k =.故答案为:23【点睛】本题主要考查了简单的线性规划的应用,其中解答中正确作出不等式组所表示的平面区域,结合图象得出目标函数的最优解是解答的关键,着重考查数形结合法,以及计算能力.19.【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小【详解】因为与所以时取等号所以故答案为:【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较作差法的应用是求解问题的关键 解析:p q【分析】由已知结合作差法进行变形后即可比较大小. 【详解】因为0a >,0b >,2b p a a =-与2a qb b=-,所以2222222()()()()0b a b a b a b a b a b a p q a b ab ba-----+-=-==,b a =时取等号, 所以p q .故答案为:p q . 【点睛】本题主要考查了不等式大小的比较,作差法的应用是求解问题的关键.20.【分析】根据题意只需小于等于的最小值即可利用基本不等式可得的最值进而即可得到结论【详解】由则所以当且仅当即时取等号所以即的最大值为故答案为:【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值以及恒成立问题同时考 解析:4【分析】根据题意,只需m 小于等于111x x +-的最小值即可,利用基本不等式可得111x x+-的最值,进而即可得到结论. 【详解】由()0,1x ∈,则()10,1x -∈,11x x +-=, 所以,()11111124111x x x x x x x x x x-⎛⎫+=++-=++≥ ⎪---⎝⎭, 当且仅当11x xx x -=-,即12x =时取等号, 所以,4m ≤,即m 的最大值为4.故答案为:4. 【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值,以及恒成立问题,同时考查了转化的思想和运算求解的能力,属于基础题.三、解答题21.(1)14a b =-⎧⎨=⎩;(2)16.【分析】(1)由不等式()0f x >的解集(1,3)-.1-,3是方程()0f x =的两根,由根与系数的关系可求a ,b 值;(2)由()12f =,得到1a b +=,将所求变形为1(9)()a ba b ++展开,利用基本不等式求最小值. 【详解】解:(1)∵()2230ax b x +-+>的解集为()1,3-,1,3∴-是()2230ax b x +-+=的两根,21313413b a a b a -⎧-+=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=⎩⎪-⨯=⎪⎩.(2)由于()12f =,0a >,0b >, 则可知232a b +-+=, 得1a b +=,所以199()()101016b a a b a b a b ++=++≥+=, 当且仅当9b aa b=且1a b +=, 即1434a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时成立,所以19a b +的最小值为16. 【点睛】易错点睛:在用基本不等式求最值时,应具备三个条件:一正二定三相等.①一正:关系式中,各项均为正数;②二定:关系式中,含变量的各项的和或积必须有一个为定值;③三相等:含变量的各项均相等,取得最值.22.(1)[]23,-;(2)92. 【分析】(1)将()f x 解析式中绝对值符号去掉,求得分段函数解析式;再在每一段中求得()5f x ≤时的解集;从而得出答案;(2)先由(1)求出()f x 的最小值3m =,所以得1a b +=;再将212a b+构造成符合基本不等式的形式,从而求其最小值. 【详解】解:(1)21,1()213,1221,2x x f x x x x x x -+≤⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≥⎩,()5f x ≤等价于1,215x x ≤-⎧⎨-+≤⎩或1235x -<<⎧⎨≤⎩或2215x x ≥⎧⎨-≤⎩,解得21x -≤≤-或12x -<<或23x ≤≤.故不等式()5f x ≤的解集为[]23,-.(2)由(1)可知3m =,则1a b +=, 则21212559()2222222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭(当23a =,13b =时,等号成立). 故212a b +最小值为92. 【点睛】本题主要考查分段函数和基本不等式的相关性质,考查运算求解能力,属于基础题型.23.(1)[]44-,;(2)(],3∞-. 【分析】(1)由二次不等式()0f x ≥恒成立可得0∆≤,于是可求得a 的取值范围;(2)分离参数得12a x x ≤-在区间[]1,2上有解,转化为求1y x x=-在区间[]1,2上的最大值求解即可. 【详解】(1)由题意得()2102af x x x =-+≥在R 上恒成立, ∴2404a ∆=-≤,解得44a -≤≤,∴实数a 的取值范围为[]4,4-. (2)由题意得[]21,2,122ax x x ∃∈-+≥成立, ∴[]11,2,2a x x x ∃∈≤-成立. 令()[]1,?1,2g x x x x=-∈, 则()g x 在区间[]1,2上单调递增, ∴()()322max g x g ==, ∴322a ≤, 解得3a ≤,∴实数a 的取值范围为(],3∞-. 【点睛】解题时注意以下结论的运用:(1)()a f x >恒成立等价于()max a f x >,()a f x >有解等价于()min a f x >;(2)若函数()f x 的最值不存在,则可利用函数值域的端点值来代替. 24.(1)223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭;(2)13m =,112a =-.【分析】(1)当2a =时,不等式为23440x x -++>,即23440x x --<,利用一元二次不等式求解.(2)根据不等式的解集为()4,m -,则由4-,m 为方程23240x ax -++=的两根求解. 【详解】(1)当2a =时,不等式为23440x x -++>, 所以23440x x --<, 所以()23203x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭, 解得223x -<<, 所以不等式23440x x -++>的解集为223x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭; (2)由已知得4-,m 为方程23240x ax -++=的两根, 则有243a m -+=--且443m -=-, 解得13m =,112a =-.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法以及一元二次不等式与一元二次方程的关系,属于中档题.25.(1)3;(2)6b ≥- 【分析】(1)将1x =代入方程2(1)460a x x ,即可求出a 的值;(2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立,利用分离参数即可求出b 的取值范围. 【详解】(1)1和3-是2(1)460a x x 的两根,将1x =代入方程解得3a =;(2)由(1)可知不等式2330x bx ++≥在[0,2]上恒成立,即233bx x -≤+在[0,2]上恒成立, 当0x =时,03≤恒成立,此时a R ∈;当2(]0,x ∈时,不等式可转化为13()b x x-≤+在[0,2]上恒成立,因为13()36x x +≥⨯=,当且仅当1x x =,即1x =时,等号成立, 所以6b -≤,所以6b ≥-,综上,实数b 的取值范围为6b ≥-.【点睛】本题主要考查三个二次式关系的应用,不等式恒成立问题的求法,属于中档题.26.(1)25-;(2)⎛-∞ ⎝⎭,. 【分析】(1)由不等式的解集为{}32x x x <->-或知0k <,且3-,2-是方程2260kx x k -+=的两根,代入可解.(2)不等式的解集为R ,知二次函数图像恒在x 轴下方,则利用0k <且24240k ∆=-<可解【详解】(1)∵不等式的解集为{}32x x x <->-或∴3-,2-是方程2260kx x k -+=的两根,且0k < ∴25k =- (2)∵不等式的解集为R∴0k <且24240k ∆=-<∴6k <-∴k 的取值范围是(-∞, 【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时,讨论判别式∆与0的关系.(3)确定无实根时可直接写出解集,确定方程有两个实根时,要讨论两实根的大小关系,从而确定解集形式.。

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[基础训练A 组]一、选择题1.若02522>-+-x x ,则221442-++-x x x 等于( )
A .54-x
B .3-
C .3
D .x 45-
2.函数y =log 2
1(x +11+x +1) (x > 1)的最大值是 ( )
A .-2
B .2
C .-3
D .3
3.不等式x x --21
3≥1的解集是 ( )
A .{x|43
≤x ≤2} B .{x|43
≤x <2}C .{x|x >2或x ≤43
} D .{x|x <2}
4.设a >1>b >-1,则下列不等式中恒成立的是 ( )
A .b a 11<
B .b a 11>
C .a >b 2
D .a 2
>2b
5.如果实数x,y 满足x 2+y 2=1,则(1-xy) (1+xy)有 ( )
A .最小值21
和最大值1 B .最大值1和最小值43
C .最小值43
而无最大值 D .最大值1而无最小值
6.二次方程x 2+(a 2+1)x +a -2=0,有一个根比1大,另一个根比-1小,则a 的取值范围是 ( )A .-3<a
<1 B .-2<a <0 C .-1<a <0 D .0<a <2
二、填空题(五个小题,每题6分,共30分)
1.不等式组⎩⎨⎧->-≥32
x
x 的负整数解是____________________。

2.一个两位数的个位数字比十位数字大2,若这个两位数小于30,则这个两位数为_____。

3.不等式021
2<-+x x 的解集是__________________。

4.当=x ___________时,函数)2(22x x y -=有最_______值,其值是_________。

5.若f(n)=)(21
)(,1)(,122N n n n n n n g n n ∈=--=-+ϕ,用不等号连结起来为_________.
三、解答题(四个小题,每题10分,共40分)
1.解log (2x – 3)(x 2
-3)>0
2.不等式049)1(220
822<+++++-m x m mx x x 的解集为R,求实数m 的取值范围。

3.求y x z +=2的最大值,使式中的x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤.
1,1,
y y x x y
4.求证:ca bc ab c b a ++≥++222
[综合训练B 组]一、选择题(六个小题,每题5分,共30分)
1.一元二次不等式ax 2+bx +2>0的解集是(-21,3
1),则a +b 的值是_____。

A. 10 B. -10 C. 14 D. -14
2.下列不等式中:
①0232>-+x x 和 0432>-+x x ②3
58354++>++x x x 和 84>x ③3
58354-+>-+x x x 和 84>x ④023>-+x x 和 0)2)(3(>-+x x 不等价的是( )A .① 和② B .① 和③ C .②和③ D .②、③和④
3.关于x 的不等式(k 2
-2k +25)x <(k 2-2k +2
5)1–x 的解集是 ( ) A .x >21 B .x <21 C .x >2 D .x <2 4.下列各函数中,最小值为2的是 ( )
A .y=x +x 1
B .y= sinx +x sin 1,x ∈(0,2π)
C .y=2
322++x x D .y=x +12-x 5.如果x 2+y 2=1,则3x -4y 的最大值是 ( )
A .3
B .
51 C .4 D .5 6.已知函数y=ax 2+bx +c(a ≠0)的图象经过点(-1,3)和(1,1)两点,若0<c <1,
则a 的取值范围是 ( )
A .(1,3)
B . (1,2)
C .[2,3)
D .[1,3]
二、填空题(五个小题,每题6分,共30分)
1.设实数x 、y 满足x 2
+2xy -1=0,则x +y 的取值范围是___________。

2.函数y =2x +1+x 的值域是________________。

3.不等式0)
1()10)(3(2≥---x x x x 的解集是___________. 4.已知f(x)=ux+v,x ∈[-1,1],且2u 2+6v 2=3,那么f(x)的最大值是________.
5.设x 、y ∈R + 且y
x 91+=1,则x+y 的最小值为________. 三、解答题(四个小题,每题10分,共40分)
1. 在函数x
y 1=的图象上,求使y x 11+取最小值的点的坐标。

2. 函数452
2++=x x y 的最小值为多少?
3.若a -1≤x 21log ≤a 的解集是[
41,2
1],则求a 的值为多少? 4.设,10<<a 解不等式:()
02log 2<--x x a a a [提高训练C 组]一、选择题(六个小题,每题5分,共30分)
1.若方程05)2(2=++++m x m x 只有正根,则m 的取值范围是( ).
A .4-≤m 或4≥m
B . 45-≤<-m
C .45-≤≤-m
D . 25-<<-m
2.若c a >且0>+c b ,则不等式
0))((>-+-a
x b x c x 的解集为( ) A .{}c x b x a x ><<-或,|
B . {}b x c x a x ><<-或,|
C .{}c x a x b x ><<-或,|
D . {}a x c x b x ><<-或,|
3.不等式lgx 2<lg 2x 的解集是 ( ) A .(
1001,1) B .(100,+∞)C . (100
1,1)∪(100,+∞) D .(0,1)∪(100,+∞) 4.若不等式x 2-log a x <0在(0,2
1)内恒成立,则a 的取值范围是 ( ) A .161≤x <1 B .161<a <1 C .0<a ≤161 D .0<a <161 5.若不等式0≤x 2-ax +a ≤1有唯一解,则a 的取值为 ( )
A .0
B .2
C .4
D .6
6.a > b > 0, 下列不等式一定成立的是 ( )
A .a +b b a 11+>
B .b c a c <
C .b a b a b a >++22
D .b
a a
b ab b a +>>+22 二、填空题(五个小题,每题6分,共30分) 1.不等式log 2 (2x -1) ·log 2 (2x +1-2)<2的解集是 ;
2.已知a ≥0,b ≥0,a +b =1,则21+
a +21+
b 的范围是 ; 3.函数f(x)=x 1-x(0<x ≤4
1)的最小值为________. 4.设0≠x ,则函数1)1(2-+
=x x y 在x =________时,有最小值 ;5.不等式24x -+x x ≥0的解集是________________。

三、解答题(四个小题,每题10分,共40分)
1.已知函数y =1
3422+++x n x mx 的最大值为7,最小值为-1,求此函数式。

2.已知2>a ,求证:()()1log log 1+>-a a a a
3.已知集合A=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<-=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛<---)26(log )9(log |,212|31231)1(3322x x x B x x x x , 又A ∩B={x|x 2
+ax+b <0},求a+b 等于多少?
3. 画出下列不等式组表示的平面区域, ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤+.
110,100,3623,242y x y x y x 高中数学必修5第三章不等式题组训练
参考答案
[基础训练A 组]
一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C
二、填空题 1.1,2-- 2. 13或24 3.),2(+∞ 4. 1,,1大± 5. )()()(n g n n f <<φ
三、解答题 1.),2()2,3(+∞∈Y x 2. 21-
<m 3.3max =Z 4.提示:由ab b a 222≥+ 或作差
[综合训练B 组]
一、选择题 1.D 2.B 3.B 4. 5.D 6.B
二、填空题 1.(][)+∞-∞-,11,Y 2.[)+∞-,2 3. ()()()10,31,00,Y Y ∞- 4. 2 5. 16
三、解答题1.略 2. ()11, 3. 2
5 4. 2=a [提高训练C 组]
一、选择题 1.D 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D
二、填空题1.⎪⎭⎫ ⎝⎛32452log ,log 2. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2,2622 3.415 4. 3,1± 5. [)
(]2,00,3Y - 三、解答题1.1
334322+++=x x x y 2. 略3.1- 4. 略。

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