概率论教案

概率论教案

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第一章随机事件与概率

第一节随机事件

教学目的：了解概率的主要任务及其研究对象；掌握随机试验、随机事件等基本概念；掌握随机事件间的关系与运算，了解其运算规律。

教学重点：随机试验，随机事件，事件间的关系与运算。

教学难点：事件（关系、运算）与集合的对应，用运算表示复杂事件。

教学内容：

1、随机现象与概率统计的研究对象

随机现象：在一定的条件下，出现不确定结果的现象。

研究现象：概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。

2、随机试验（E）

对随机现象的观察。特点①试验可在相同条件下重复；②试验的所有可能结果不只一个，但事先已知；③每次试验出现一个且出现一个，哪个出现事先不知。

3、基本事件与样本空间

（1）基本事件：E中的结果（能直接观察到，不可再分），也称为样本点，用ω表示。

（2）样本空间：E中所有基本事件的集合称为这个随机试验E的样本空间，用Ω表示。

4、随机事件

（1）随机事件：随机试验中可能发生也可能不发生的时间。用A、B、C等表示。

（2）随机事件的集合表示

（3）随机事件的图形表示

必然事件（Ω）和不可能事件（E）

5、事件间的关系与运算

（1）包含（子事件）与相等

（2）和事件（加法运算）

（2）积事件（乘法运算）

（3）互斥关系

（4）对立关系（逆事件）

（5）差事件(减法运算)

6、事件间的运算规律

（1）交换律；（2）结合律；（3）分配律；（4）对偶律

教学时数：2学时

作业：习题一1、2

第二节概率的定义

教学目的：掌握概率的古典定义，几何定义，统计定义及这三种概率的计算方法；了解概率的基本性质。

教学难点：古典概率的计算，频率性质与统计概率。

教学内容：

1、概率 用于表示事件A 发生可能性大小的数称为事件A 的概率，用P(A)表示。

2、古典型试验与古典概率 （1）古典型试验：特点①基本事件只有有限个；②所有基本事件的发生是等可能的。 （2）古典概率，在古典型试验中规定

P(A)=

n

k

A =Ω中基本事件总数中含的基本事件数

3、几何型试验与几何概率 （1）几何型试验

向区域G 内投点，点落在G 内每一点处是等可能的，落在子区域1G 内(称事件A

发生)的概率与1G 的度量成正比，而与1G 的位置和形状无关。

（2）几何概率。在几何型试验中规律定

P(A)=

的度量

的度量

G G 1

4、频率与统计概率 （1）事件的概率

设在n 次重复试验中，事件A 发生了r 次，则称比值

n

r

为在这n 次试验中事件A 发生的频率，记为n

r A f n =)( （2）频率的性质

○11)(0≤≤A f n ；○21)(=Ωn f ；○30)(=Φn f ； ○4Φ=AB 时，)()()(B f A f B A f n

n n +=+； ○5 随机性：r 的出现是不确定的；○6稳定性：)()(∞→→n p A f n

（3）统计概率，规定

P(A)=P

（4）统计概率的计算

n

r

A p ≈

)( (n 很大) 5、概率的基本性质

从以上三种定义的概率中可归纳得到：

（1）0;1)(≤≤A P （2）1)(=ΩP

（3）0)(=φP

（4）若AB=φ，则)()()(B P A P B A p +=+ 教学时数：2学时

作 业：习题 一 4、7、8、11

第三节 概率的公理化体系 教学目的：掌握概率的公理化定义及概率的性质；会用概率的基本公式求概率。 教学重点：概率的公理化定义；概率基本公式。 教学难点：用概率基本公式计算概率。 教学内容：

1、概率的公理化定义

（1）为什么要用公理定义概率 ○

1数学特点 ；○2深入研究的需要；○3是第二节中三种特殊形式的扩展。 （2）定义

设A 为随机试验E 中的任何事件，如果函数P(A)满足 公理一(范围) 01)(≤≤A P ； 公理二(正则性) 1)(=ΩP ；

公理三(可列可加性)。若可列个事件 n A A A A 321,,两个互斥，则

则称P(A)为事件A 的概率。 2、概率的性质 从公理出发，可以严格证明 性质1：0)(=φP

性质2：若事件 n A A A A 321,,两两互斥，则)()(1

1

∑∑===n

n i n

n i A P A p

性质3：对任何事件A ，)(1)(A P A P -= 性质4：若P(A)-P(B)B)-P(A ,=⊂则B A

性质‘

4 P(AB)-P(B)A)-P(B )A P(B ==

注：○1P(AB)-P(A)B)-P(A )B P(A == 性质5 P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)

注：性质5对任意有限个事件情况可以扩展 教学时数：2学时

作 业：习题一 15、16

第四节 条件概率，乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式

教学目的：理解条件概率的定义和概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。使学生掌握条件概率和概率的乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式的应用。 教学重点：条件概率、乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式。 教学难点：条件概率的确定，用全概率公式和贝叶斯公式计算概率。 教学内容： 1、条件概率

（1）实际问题中要确定在某事件已发生时，另一事件的概率，看书20p 例，在具

体问题求条件概率。 （2）定义：若P(B)>0，称

为在事件B 发生的条件下事件A 的条件概率。 2、概率的乘法公式 (1) )()()(B A P B P AB P ⋅= (2) )()()()(AB C P A B P A P ABC P =

(3) ()12121312121)()()()(-=n n n A A A A P A A A P A A P A p A A A P 3、概率的全概率公式与贝叶斯公式

(1)看书23p 。例3 分析和解决看两公式的实际背景。

(2) 定理1 设事件n A A A A 321,,两两互斥，且),2,1(0)(n i A P i =>，对于任

何事件B ，若B A n

i i ⊃∑=1

，则有)()()(1

∑==n

i i i A B p A P B p (全概率公式)

(3) 定理2 ，定理1中的事件中，又0)(>B P ，则有

=

)(B A P m ∑=n

i i

i

m m A B p A P A B p A P 1

)

()()

()( (m=1,2,n )(贝叶斯公式)

教学时数：2学时

作 业：习题一 12、14、17、18

第五节 独立试验概型

教学目的：掌握独立性的概念。会判断数乘的独立性并进行概率计算；掌握贝努里概型，会用二项概率公式计算概率。 教学重点：事件独立性的概念，具有独立性的事件但相应的概率计算，贝努里概型与贝努里概型意义的正确理解。 教学内容： 1、两事件的独立性 定义1 对任意两事件A ，B ，如果P(AB)=P(A)P(B)则称事件A 、B 相互独立。 2、两事件独立的性质