积分变换第一章习题及答案

5 卷积和卷积定理
f1 ( t ) f 2 ( t )
-
f1 ( ) f 2 ( t - )d
卷积满足下列性质:
(1)交换律 f1 (t ) f2 (t ) f2 (t ) f1 (t )
(2)分配律 f1 (t ) [ f 2 (t ) f 3 (t )] f1 (t ) f 2 (t ) f1 (t ) f 3 (t )
第一章 Fourier变换
1 重点和难点 2 内容提要
3 典型例题
一、重点与难点
重点：1 求函数的Fourier变换
2 Fourier变换的简单应用
难点： 求函数的Fourier变换
二、内容提要
1 Fourier积分定理
傅氏积分定理 若f(t)在(-, +)上满足条件: 1). f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件; 2). f(t)在无限区间(-, +)上绝对可积, 则有 1 - j e j t d f (t ) f ( ) e d - 2 -
ℱ
-1
[ F1 ( ) F2 ( )] f1 ( t ) f 2 ( t )
同理可得
1 F1 ( ) F2 ( ). ℱ [ f1 ( t ) f 2 ( t )] 2
12
任给函数f(t), 都有f(t)*d(t)=f(t), 这是因为
f (t )* d (t ) f (t )
(2).微分性质 如果f (t)在(-, +)上连续或只有
有限个可去间断点, 且当|t|+时, f(t)0, 则 ℱ[f '(t)]=j ℱ [f (t)]. 同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设
d F ( ) d
ℱ[- j tf ( t )].
(3). 位移性质:
1）象原函数的位移性质
0, t 0 例4 已知f (t ) - b t ( b 0), e , t 0
求 ℱ [tf ( t )], ℱ [t 2 f ( t )].
例5 求下列函数的傅氏逆变换：
1 - j sin (1) F ( ) e d ( ); (2) F ( ) . j
例6
2
若f ( t )是微分方程
d f 2 t f ( t ) Af (t )的解,有F( )= ℱ[f(t)] 2 dt
是F "( )- F ( ) AF ( )的解.
2
例7 求积分方程
x( t )
-
e
-|t - |
x( )d e
-|t |
的解.
若 F ( ) =ℱ f (t )
ℱ
-1
t 0 为实常数,则
- j t0 f ( t t ) e F () 0 ℱ
- j t0 e F ( ) f (t - t0 )
2）象函数的位移性质
若 F ( ) =ℱ f (t )
来自百度文库
0 为实常数,则
（3）-
1 d ( t )dt u t 其中, u(t ) 0
t0 t0
称为单位阶跃函数.反之,有
d u( t ) d t dt
(4)若f (t )为无穷次可微的函数,则有
' ' d ( t ) f ( t ) dt f (0) -
一般地，有
e
lim d e ( t ) d ( t )
e 0
d-函数有性质:
(1) - d ( t ) d t 1



-
d ( t ) f ( t ) d t f (0)
-
（2） d ( t ) 函数为偶函数,即 d (- t ) d ( t )
及
t
d ( t - t0 ) f ( t ) d t f ( t0 )
成立,而左端的f ( t )在它的间断点t 处,应以 f ( t 0) f ( t - 0) 来代替. 2
在( -, )绝对可积是指的
-
| f ( t ) | d t 收敛.
2 Fourier变换
若函数f(t)满足傅氏积分定理的条件, 则在f(t)的连 续点处, 有
1 f (t ) 2
单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类似数的 运算中的1的作用.
6 微分、积分方程的Fourier解法
首先取傅氏变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取逆变换得最后的解. 如 下图所示. 象原函数 (微分方程的解)
象函数
取傅氏逆变换 解代数 方程
微分、积分方 程
取傅氏变换
象函数的 代数方程
三、典型例题
-1, t 0, 例1 求符号函数 sgn(t ) 的Fourier变换。 1, t 0.
例2 求函数f (t ) cos t sin t的Fourier变换。
例3 求函数f (t ) tu(t )e - b t sin 0t的Fourier变换， 其中b >0.


-
d ( n) (t ) f (t )dt ( -1)n f ( n) (0)
两个常用的积分：


-
e e
- j t
d t 2d ( ) d t 2d ( - 0 )
- j( -0 ) t
-
4 Fourier变换的性质
(1).线性性质 设F1()= ℱ [f1(t)], F2()= ℱ [f2(t)], a, b是常数,则 ℱ[af1(t)+bf2(t)]=aF1()+bF2() 同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即 ℱ -1[aF1()+bF2()]=af1(t)+bf2(t)
ℱ
-1
j0t F ( ) f ( t ) e 0
j t0 e f (t ) F ( - 0 ) ℱ
(4). 积分性质
如果当t 时, g( t )
t -
f ( t )d t 0
t 1 则 ℱ f ( t )d t [ f ( t )]. ℱ - j
3 单位脉冲函数及其傅氏变换
对任意的f ( t ), 若


-
d ( t ) f ( t )d t lim d e (t ) f (t )d t f (0)
e 0
-

1 / e 其中d e ( t ) 0
0t e 其它
de(t)
1/e
O 称de(t)的弱极限为d-函数, 记为d(t).即
(3)结合律 f1 (t ) [ f 2 (t )* f 3 (t )] [ f1 (t ) f 2 (t )]* f 3 (t )
卷积定理 假定f1(t), f2(t)都满足傅氏积分定理中 的条件, 如 ℱ[ f1(t) ]=F1(), ℱ[f2(t) ]=F2() 则 ℱ[ f1(t) * f2(t) ] = F1()F2() 以及


-
f ( )e- j d e j t d -
设 F ( ) 则
-
f (t ) e- j t d t
-
( 1) (2)
1 f (t ) 2

F ( ) ej t d
(1)式叫做f(t)的Fourier变换式, (2)式为F()的Fourier逆 变换式, f(t)与F()可相互转换,可记为 F()= ℱ [f(t)] 和 f(t)= ℱ -1[F()]
实际上, 只要记住下面几个常用的Fourier变换, 则 所有的Fourier变换都无须用公式直接计算而可由 Fourier变换的性质导出.
d (t )
e j 0 t

1, 2d ( - 0 )
d ( t - t0 )
1
e - j t0 2d ( ) 1 b j
1 u( t ) d ( ) u( t )e - b t j sin 0 t j [d ( 0 ) - d ( - 0 )]