积分变换习题解答2-3
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2－3
1．设()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件（若它们的增长指数均为c ），且()()()()1212,f t f t F s F s ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦L L ，则乘积()()12f t f t ⋅的Laplace 变换一定存在，且
()()()()j 1122j 1d 2πj
F q F s q q f t f t ββ+∞
-∞⎡⎤=-⎣⋅⎦⎰L 其中(),Re .c s c ββ>>+
证明： 已知()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件且其增长指数均为c ，由Laplace 变换存在定理知()()12f t f t ⋅也满足Laplace 变换存在定理的条件且
()()()()1212e e ct ct f t f t f t f t M M ⋅=⋅≤⋅22e ,0ct M t =≤<+∞
表明()()12f t f t ⋅的增长指数为2c .因此()()12f t f t ⋅的Laplace 变换
()()()120
e d st F s
f t f t t +∞
-=⎰
在半平面()Re 2s c >上一定存在，且右端积分在()()Re s c c ββ≥+>上绝对且一致收敛，并且在()Re 2s c >的半平面内，()F s 为解析函数.
根据()()11F f t s ⎡⎤=⎣⎦L ，则()1f t 的Laplace 反演积分公式为
()()11j j 1e d 2πj
qt
q f F q t ββ+∞-∞=
⎰ 从而
()()()()12120
e d st
f t f t f t f t t +∞
-⎡⎤⎣⋅=⎦⎰L ()()j 120
j e d 1e d 2πj q s t t
F q q f t t ββ+∞+--∞∞
⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎰⎰
（交换积分次序）()()()1j 0j 2e 12πj d d s q t F q f t t q ββ++∞-∞
∞--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j 12j 1d 2πj
F q F s q q ββ+∞
-∞=
-⎰ 2．求下列函数的Laplace 逆变换（象原函数）；并用另一种方法加以验证.
1）()22
1
F s s a =+. 2）()()()
s
F s s a s b =--.
3）()()()
2
s c
F s s a s b +=
++.
10）()()()
2
2
14s
F s s
s =
++.
解： 1）1
2211
sin at s a a -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦
L
. 2）
()()
1s
a b s a s b a b s a s b ⎛⎫
=
- ⎪-----⎝⎭
, ()()()1
1
e e .at bt s a b s a s b a b
-⎡⎤=
-⎢⎥---⎣⎦L
3）()()()
()()
2
22111
s c
c a b c F s s a s b b a s a s b b a s b +--⎡⎤==
-+⋅⎢⎥++-⎣⎦++-+, 故
()()()()1
222
e at bt
s c c a b c a c e t b a s a s b b a a b ---⎡⎤⎡⎤+---⎢⎥⎢⎥=++-++--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L
10）由()()()2222
131414s
s s s s s F s s ⎛⎫=
⎪++++⎝
⎭＝－，有 ()()()1
1
cos cos 23f t F s t t -⎡⎤==-⎣⎦L
.
3．求下列函数的Laplace 逆变换： 1）()()
2
2
1
4F s s
=
+.
6）()221
ln s F s s -=.
13）()22
1e s
F s s -+=.
解 ： 1）用留数计算法，由于122j,2j s s ==-均为()F s 的二级极点，
所以
()()()()()2
1
1
221
1e 2j 2j Res k s st
s k F s F s s s f t --==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣-⎦+∑L
L
()()2222j j e e 2j 2d d lim lim d d j st s s t s s s s s →→-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎦⎣-⎣⎦
+⎥ ()()()()()()2j 22244j
22j 22j e e e e 2j 2j 2j 2l j im lim s s st st st st s s t t s s s s →→-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=++---++⎢⎥⎢⎣⎦⎣-⎦
-⎥ 2j 2j 2j 2j 8j 8j e e e e 1625616256
t t t t t t --=-
--+ 2j 2j 2j 2j e e 1e e sin 2cos 282162j 168
t t t t t t t t
--+-=-+=-
6）令()()()
222
12ln ,ln 1s F s F s s s s -'==-, ()()()()112
e e 211t t F s t
f t s s s
-'=
+-=+-=-+-L L , ()()21
2
12ln 1cosh s f t t s t -⎛⎫-==- ⎪⎝⎭
L
. 13）221
1
1
22221e 1e s s s
s s s -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤
+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
L
L
L ()()()21,2
22,
02t t t t u t t t ⎧->⎪=+--=⎨≤<⎪⎩.