积分变换习题解答2-3

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复变函数与积分变换习题解答

练习一1．求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。

（1）i ii i 524321----；解：i iii 524321---- =i 2582516+zk k Argz z z z ∈+====π221arctan 2558258Im 2516Re（2）3)231(i + 解： 3)231(i +zk k Argz z z z e i i∈+===-=-==+=πππππ210Im 1Re 1][)3sin3(cos3332．将下列复数写成三角表示式。

1）i 31- 解：i 31-)35sin 35(cos2ππi +=（2）i i +12 解：i i +12 )4sin4(cos21ππi i +=+=3．利用复数的三角表示计算下列各式。

（1）i i2332++- 解：i i 2332++- 2sin2cosππi i +==（2）422i +-解：422i +-41)]43sin 43(cos 22[ππi +=3,2,1,0]1683sin 1683[cos 2]424/3sin ]424/3[cos 28383=+++=+++=k k i k k i k ππππππ4．.设321,,z z z 三点适合条件：321z z z ++=0，,1321===z z z 321,,z z z 是内接于单位圆z =1的一个正三角形的项点。

证：因,1321===z z z 所以321,,z z z 都在圆周32z z ++=0则,321z z z -=+1321=-=+z z z ，所以21z z +也在圆周1=z 上，又,12121==-+z z z z 所以以0，211,z z z +为顶点的三角形是正三角形，所以向量211z z z +与之间的张角是3π，同理212z z z +与之间的张角也是3π，于是21z z 与之间的张角是32π，同理1z 与3z ，2z 与3z 之间的张角都是32π，所以321,,z z z 是一个正三角形的三个顶点。

积分变换习题解答

⎧ 0, −∞ < t < −1 ⎪−1, −1 < t < 0 ⎪ （3） f ( t ) = ⎨ 0 < t <1 ⎪ 1, ⎪ ⎩ 0, 1 < t < +∞
解
（1）函数 f (t ) = ⎨
⎧1 − t 2 , | t |< 1 满足傅氏积分定理的条件，傅氏积分公式为 | t |> 1 ⎩ 0,
| t |< 1 | t |= 1 。 | t |> 1
习题二
1．求矩形脉冲函数 f (t ) = ⎨
F (ω ) = ¶ ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
⎧ A, 0 ≤ t ≤ τ 的傅氏变换。其他 ⎩ 0,
+∞ τ − jωt − jω t = f t e dt ( ) ∫ −∞ ∫ 0 Ae dt
⎧sin t , | t |≤ π , （3） f (t ) = ⎨ 证明 ⎩ 0, | t |> π ,
∫
+∞
0
⎧π sin ωπ sin ωt ⎪ sin t , | t |≤ π dω = ⎨ 2 2 1− ω ⎪ | t |> π ⎩ 0,
e dt = 2 ∫ e
0 +∞ −βt
解（1） F (t ) = ¶ ⎡ ⎣ f ( t )⎤ ⎦=
−∞
1 2π
+∞ −∞
∫ ∫
−∞
+∞ −∞
+∞
+∞
−∞
f (τ ) e− jωτ dτ e jωt dω =
1 2π
∫ ∫
−∞
+∞
+∞
−∞
f (τ ) (cos ωτ − jsin ωτ ) cos ωtdτ dω

积分变换(下)带标准答案

k 0 k 0

e sk F ( s) F ( s)
k 0
t

1 1 e s
F (s) . s
19．设 L [ f (t )] F ( s), 利用卷积定理，证明 L [ f (t )dt ]
0
证：因为 f (t )dt f (t ) u(t ). 所以
0
t
L [ f (t )dt ] L [ f (t ) u (t )]
0
t
L [ f (t )] L [u (t )] 1 F ( s) F ( s) . s s
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 4 页）
三、计算题（每小题 8 分，共 40 分）
11．设 f (t ) e t ( 0) ，求其傅立叶积分公式。解：
f (t ) 1 f ( )e j d e jt d 2 1 2 e cos d cos td 2 0 2 cos td 0 2 2
(D). 有限多个第二类间断点 .

(t ) 为单位脉冲函数， 3．设 f (t ) 是一个无穷次可微函数，那么 (t t0 ) f (t )dt ( C
(A) 不确定； (B). f (t ) ; (C)
)
f (t0 ) ;
(D)
f (0) (t ) .
4．设 F1 () F [ f1(t)], F2( ) F [ f 2( t)] ，则 F ( f1 (t ) f 2 (t )) ( A ) F1 () F2 () ； ( B ) F1 () F2 () ； (C )

积分变换习题解答

π −∞
∫ ∫ ∫ ∫ 证 f (t) = 1
( ) +∞
+∞
f
τ
e− jωτ dτ ejωt dω =
1
+∞ +∞ f (τ ) (cosωτ − jsin ωτ ) cosωtdτ dω
2π −∞ −∞
2π −∞ −∞
∫ ∫ ∫ ∫ + 1
2π
+∞ +∞ f (τ ) (cosωτ − jsin ωτ ) jsin ωtdτ dω =
−∞
1+i 1−ω
+
e⎡⎣1−i(1+ω )⎤⎦t 0
−∞
1−i 1+ω
+
e⎡⎣−1+i(1−ω)⎤⎦t +∞
0
−1+ i 1− ω
+
e⎡⎣−1−i(1+ω )⎤⎦t +∞
0
−1− i 1+ ω
⎫ ⎪ ⎬ ⎪
⎩
⎭
=
1 2
⎡
⎢ ⎣
1+
1
i (1−ω
)
+
1−
1
i (1+ ω )
+
1−
1
i (1− ω )
+∞ +∞
f
t
e−iωt dteiωt dω = 1
+∞ 1 1− t 2 e−iωt dteiωt dω
2π −∞ −∞
2π −∞ −1
∫ ∫ ( ) ∫ = 1
π
+∞ −∞
1 1−t2
0
cosωtdteiωtdω = 1 π
+∞ −∞

积分变换课后题答案

第一章傅里叶变换内容提要：一傅里叶变换定义1定义2定义34傅里叶积分定理二 δ函数型序列的充分条件构成δ1.)(21)(,)(21)(,)()( 为傅里叶积分公式即称则若设：dw e dx e x f t f dw e w F t f dt e t f w F iwt iwx iwt iwt ⎰⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞-+∞∞--+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡===ππ=)(t f [])(1-w F ℱ;)()()(21逆变换的傅里叶为Fourier w F dw e w F iwt ⎰+∞∞-=π=)(w F [])(t f ;)()()(变换的傅里叶为Fourier t f dt e t f iwt -+∞∞-⎰=ℱ .)(21)(,)(21)(,)()( 为傅里叶积分公式即称则若设：dw e dx e x f t f dw e w F t f dt e t f w F iwt iwx iwt iwt ⎰⎰⎰⎰∞+∞--∞+∞-+∞∞--+∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡===ππ满足如下两个条件：若函数)(t f 限个极值点；类间断点，且至多有有上连续或有有限个第一在即条件上满足狄利克雷在实轴的任何有限区间],[)( ,)(],[)( )b a t f Dirichlet b a t f i .],[)( )的反常积分收敛在区间+∞-∞t f ii .)()(,)(21)]0()0([21)(dt e t f w F dw e w F t f t f t f iwtiwt -∞+∞-∞+∞-⎰⎰==-++其中且的傅里叶变换存在，则函数π函数列的该趋向下，，则在）（的某种趋向下，函数若在参数可积，且满足在实轴的任何有限区间设普通函数βεβϕβ++∞∞→==⎰0,1)()(-dt t f t f ).()( )0)(( ))(1()(1)(t t f t f t f δδβϕβϕβϕββ→>=即：型序列，构成一个型序列几个常用 2δ⎪⎩⎪⎨⎧<<===⎩⎨⎧<<=. 0)0( 1)1(1)( . 0)10( 1)( )1其它，，则令其它，εεεεβεεt t f t f t t f ).()(lim 00t t δδδεεε=→+→+型序列，即时为当.)()1(1)(,1)(,)1(1)( )2(22-2πεεεεδπεw w f w dt t f t t f R +===+=⎰+∞∞构造：显然).()(lim 00w w R δδδεεε=→+→+即型序列，时为当.)cos(21sin )()(,sin ,sin )( )3(-⎰⎰-+∞∞=====RRIR dw wt t Rt Rt Rf t dt tt t tt f ππδππ构造：因为).()(lim t t R IR R δδδ=+∞→+∞→型序列，即时为当.2)1(1)(,2,2)( )4(2222-22πβββδππββw G t t ew f w dt eet f -∞+∞--====⎰构造：因为).()(lim 00w w G δδδβββ=→+→+型序列，即时为当函数的积分3δ).)(()()(lim )()()1-00-0处处无穷次可微，定义：t f dt t f t t dt t f t t ⎰⎰+∞∞→+∞∞-=-+εεδδ三傅立叶变换的性质四几个常用函数傅里叶变换对1.线性性质2.位移性质)( t f 若ℱ, )(w F 3.微分性质)( n1k ∑=t f C k k . )(1∑=nk k k w F C ℱ )( )1 a t f ±ℱ ;)( )(为实数a w F e iwa ±t iw et f 0)( )2±.)( )(00为实数w w w F ℱ)( t f k 若),,2,1( )(n k w F k =ℱ)( t f 若ℱ, )(w F )( )1 )(t fn ;)( )()(为自然数n w F iw n ℱ)()( )2t f -it n .)( )()(为自然数n w F n ℱ)( t f 若ℱ)(w F 4.积分性质则ℱ []).(1)(w F iw t g =).( )10)((lim )(1lim )()(lim)()()2000-00-000t f t f dt t f dtt f t t dt t f t t t t =<<+==-=-+++→+→+∞∞→+∞∞⎰⎰⎰θεθεδδδεεεεε函数的筛选性质：2sin 2τw w E).2( 0),2( )()1⎪⎩⎪⎨⎧><=ττt t E t f ℱ)0( )0( 0)0( )()2>⎩⎨⎧<>=-ββt t e t f t 1iw+βℱ习题1.11. 求下列函数的Fourier 变换. （1）ℱ)]([t f =dt e A t i ⎰-τω0=0τωωt i e i A --=)1(ωτωi e i A --.(2) ℱ)]([t f =dt te e t i t⎰+∞∞---ωcos =dt te t i ⎰+∞+-0)1(cos ω+dt te t i ⎰∞--0)1(cos ω由201cos a a dt te at +=⎰+∞-，2001cos cos aa dt te dt te at at +==⎰⎰+∞-∞-，可知：ℱ)]([t f =22)1(11)1(11ωωωωi i i i -+-++++=22424ωω-+.2. 求Fourier 逆变换. ℱ)]([1ωF -=ωπωωβd e et i ⎰+∞∞--21=ωωπωβωβd e d e it it ⎰⎰∞-++∞+-+0)(0)([21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞-++∞++-++-010121)()(ωβωβββπit it e it e it=22221t +ββπ=)(22t +βπβ.3. ℱ)]([t f =⎰--⋅ππωdt e t t i sin=-⎰--ππωt d e t i cos =-⎰---⋅--⋅ππωωωππdt e t i te t i t i cos cos=()⎰-----ππωωωωπt d e i e e t i t i t i sin cos=⎰----⋅+-ππωωωωωdt te i i e e t i t i t i sin )(=⎰---+-ππωωωωdt teeeti ti ti sin 2ℱ)(1w iwπδ+)( )5t u )( )3t δℱ 1)( 2w πδ1)4ℱℱ)]([t f =1sin 22-ωωπi由ℱ)()]([1t f F =-ω可知下面的等式成立.4. 求下列函数的Fourier 积分。

积分变换课后习题答案

积分变换课后习题答案积分变换是数学分析中的一个重要概念，它涉及到对函数的积分进行变换以简化问题或求解特定的数学问题。

以下是一些积分变换课后习题的答案示例：1. 习题一：求函数 \( f(x) = x^2 \) 在区间 \( [0, 1] \) 上的定积分的傅里叶变换。

答案：首先计算 \( f(x) \) 在给定区间上的定积分：\[\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\]然后，根据傅里叶变换的定义，计算其傅里叶变换：\[F(k) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i k x} dx\]由于 \( f(x) \) 只在 \( [0, 1] \) 上非零，我们可以将积分区间限制在这个区间内：\[F(k) = \int_{0}^{1} x^2 e^{-2\pi i k x} dx\]通过换元和积分计算，我们可以得到 \( F(k) \) 的表达式。

2. 习题二：证明拉普拉斯变换 \( \mathcal{L} \{t^n\} =\frac{n!}{s^{n+1}} \)，其中 \( n \) 是非负整数，\( s > 0 \)。

答案：根据拉普拉斯变换的定义：\[\mathcal{L} \{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t) dt\]对于 \( f(t) = t^n \)，我们有：\[\mathcal{L} \{t^n\} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} t^n dt\]通过分部积分法，我们可以逐步计算这个积分，最终得到：\[\mathcal{L} \{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}\]3. 习题三：求函数 \( f(x) = e^{-x} \) 在 \( x > 0 \) 时的傅里叶变换。

积分变换复习题解答

积分变换复习题解答一、求下列函数的付氏变换1、设(),0,00,⎩⎨⎧<≥=-t t e t f t β求()[]()[]()[]t f F t f F t f F -+'',1,解：()()()2117152F f t j F f t j ωωβω---''==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()11415(1)11j j F f t eF f t ej ωωβω---⋅-+==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()1212151F f t F j ωβω----=-=⎡⎤⎣⎦-2、()()()()1151141722111122{[]}{}itj j F e u t F u t eF u t e j ωωωωωωωωπδωω-----⋅-⋅=+=+=+⎡⎤⎡⎤-=-==+⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2(1)11(1)j e j ωπδωω-+⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦3、[]()()112000sin F t j ωωδωωδωω-=+--⎡⎤⎣⎦4、()()()55114173351353j j F u t F u t e F u t e j ωωπδωω----⎡⎤⎡⎤⎛⎫-=-==+⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦5、()()()()()1181721122d d d F tu t j F u t j F u t j j d d d j πδωπδωωωωωω--⎡⎤'===+=-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦6、()()()()()114118111j j j j F t eF t e j F t e j j e ωωωωδδωδωω---⋅---''-===⋅=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦7、()()()()1111111[11]cos F t t F t t t δδπδδππ-++-=++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦8、()110323itF e πδω-⎡⎤=-⎣⎦二、计算：1、()127sin sin 0332t t dt ππδ-+∞-∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰2、128sin sin 42242t t dt ππππδ-+∞-∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰三、求卷积：1、设()(),0,00,,0,00,221⎩⎨⎧<≥=⎩⎨⎧<≥=--t t e t f t t e t f t t 求：()()t f t f 21*解：0t <时：12()()0f t f t *=0t ≥时：()()()22212120()()tttt tt t f t f t f f t d e ed ee d e e ττττττττ------*=-===-⎰⎰⎰212,0()()0,0t te e tf t f t t --⎧-≥∴*=⎨<⎩2、设()()212,0,0,0,00,0t t t t f t f t t t ≥⎧≥⎧==⎨⎨<<⎩⎩，求：()()t f t f 21* 解：0t <时：12()()0f t f t *=0t ≥时：()()()24121201()()12ttf t f t f f t d t d t ττττττ*=-=-=⎰⎰ 412,0()()120,0t t f t f t t ⎧≥⎪∴*=⎨⎪<⎩四、求下列函数的拉氏变换： 1、219126333222255[sin5][sin5]5(3)5ts s s s L e t L t s s ---=-=-===+-+ 2、()(1)1221[cos2][cos2]12t ts L et e L e t e s ---+=⋅=⋅++同上题3、()()()(){}22221521812422222222231442[2]1[2][]ss s d d d L t u t L u t e L u t e e ds ds ds s s s s -------⎧⎫⎛⎫-=--==⋅=++⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭4、()222511[521]2ts L e t t e s s sδ-+-++=+++- 5、[]272822211sin sin cos cos sin sin cos 444221121s s L t L t t L t t s s s πππ--⎡⎤-⎛⎫⎡⎤⎡⎤-=-=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦6、(){}21312191271122[cos2]1[cos2]{[cos2]}2tts s s s d d d sL te t L e t L t ds dsds s -----=-=-⎧⎫=-=-=-⎨⎬+⎩⎭()22222123(1)225d s s s ds s s s ⎧⎫---=-=⎨⎬-+⎩⎭-+ 7、⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t L 2sin []21712822sin 2arctan arctan 2222ss s s sL t ds ds s π---+∞+∞+∞====-+⎰⎰ 8、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-tt tdt e L 023sin []()21621912622221113sin3sin323t s s L e t L t s ss s -----=+⎡⎤==⋅=⋅⎣⎦++9、20t t e e dt t --+∞-⎰21722000111ln ln 2122t ts L e e ds ds s s s --+∞+∞--+∞+⎛⎫⎡⎤=-=-== ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎰⎰10、设()5,122,24,0,4t f t t t ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩试用单位阶跃函数及延迟了的单位阶跃函数表示()t f ，并求[])(t f L 。

(含答案)复变函数与积分变换习题解析2

习题2.11. 判断下列命题的真假，若真，给出证明；若假，请举例说明．（1）如果()f z 在0z 连续，那么0()f z '存在．（2）如果0()f z '存在，那么)(z f 在0z 解析．（3）如果0z 是()f z 的奇点，那么()f z 在0z 不可导．（4）如果0z 是()f z和()g z 的一个奇点，那么0z 也是()()f z g z +和()()f z g z ⋅的奇点．（5）如果(,)u x y 和(,)v x y 可导，那么()(,)(,)f z u x y iv x y =+亦可导．2．应用导数定义讨论函数)Re()(z z f =的可导性，并说明其解析性．3．证明函数在0z =处不可导．习题2.21. 设试证)(z f 在原点满足柯西-黎曼方程，但却不可导.（提示：沿抛物线x y =2趋向于原点）2. 判断下列函数在何处可导，何处解析，并在可导处求出其导数．（1）y ix xy z f222)(+=；（2）i y x y x z f 22332)(+-=；（3）=)(z f232z z -+；（4）22()2(1(2)f z x y i x y y =-+-+）. 3.（1 （2 （3）iy x z f 2)(+=；（4 4. （1）iz z z f 2)(3+=；（25. 讨论下列各函数的解析性．（1）3223()33f z x x yi xy y i =+--；（2 (0)z ≠；（3）1(33)x iy ω-=-；（4习题2.31. 证明下列u 或v 为某区域的调和函数，并求解析函数()f z u iv =+．（1）2(1)u x y =-；（2）3223u x x xy =-+；（3）323u x xy =-；（4）23v xy x =+；（5）x y x v 222+-=；（62. 求k 值使22ky x u +=为调和函数，并求满足1)(-=i f 的解析函数iv u z f +=)(．3. 设函数iv u z f +=)(是一个解析函数，且y x xy y x y x v u 22332233---+-=+，求iv u z f +=)(.4. 证明：如果函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，并满足下列条件之一，则)(z f 是常数.（1（2（3（4（5.5.（1（2）u -是v 的共轭调和函数.6. 如果iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明：（1（2习题2.41.（2 （3（4（5（6）()i Ln e ；（7）i 3；（8）i i )1(+；（9）1(34)i i ++；（10）)1sin(i +；（11）cos(5)i π+；（12）i ei cos 1++π.2（1 （2）0cos sin =+z z .3. （1 （2 （34．证明：（1）121212sin()sin cos cos sin z z z z z z +=+，212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z -=+；2）1cos sin 22=+z z ；（3（4 （55．证明：（1）122=-z sh z ch ；（2）z ch z sh z ch 222=+；（3）cos sin shz shx y ichx y =+，cos sin chz chx y ishx y =+；（4）212121)(shz chz chz shz z z sh +=+，212121)(shz shz chz chz z z ch +=+.复习题二一、单项选择题1.D2.C3.B4.A5.C6.C7.A8.A9.D 10.C 11.C 12.B一、单项选择题1. ）. D.z sin2. 下列说法正确的是（）.A.函数的连续点一定不是奇点B.可微的点一定不是奇点C.)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内无奇点D.不存在处处不可导的函数3. 下列说法错误的是（）. A.如果)(z f 在点0z 解析，则)(z f 在点0z 可导B.如果0z 是)(z f 的奇点，则)(0z f '不存在C.如果)(z f 在区域D 内可导，则)(z f 在D 内解析D.如果)(z f 在点0z 可导，则)(z f 在点0z 连续 4. 下列说法正确的是（）.A.iv u z f +=)(在区域D内解析，则v u ,都是调和函数B.如果v u ,都是区域D 内的调和函数，则iv u +是D 内的解析函数C.如果v u ,满足C-R 方程，则v u ,都是调和函数D.iv u +是解析函数的充要条件是v u ,都是调和函数5. 设函数iv u z f +=)(解析，则下列命题中错误的是（）.A.v u ,均为调和函数B.v 是u 的共轭调和函数C.u 是v 的共轭调和函数D.u -是v 的共轭调和函数6. 设函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，下列等式中错误的是（）.7. 设在区域D 内v 为u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（）. A.iu v - B.iu v + C.iv u - D.x x iv u -8. 函数z z z f Im )(2=在0=z 处的导数（）. A. 等于0 B. 等于1 C. 等于 -1 D. 不存在9. 下列数中为实数的是（）.A. 3)1(i -B. i sinC. LniD. i e π-310. 下列函数中是解析函数的是（）.A.xyi y x 222--B.xyi x +2 C. )2()1(222x x y i y x +-+- D. 33iy x + 11. 设z z f cos )(=，则下列命题中，不正确的是（）. A. )(z f 在复平面上处处解析 B. )(z f 以π2为周期12. 设Lnz =ω是对数函数，则下列命题正确的是（）.A. nLnz Lnz n =B. 2121Lnz Lnz z Lnz +=因为x z =是实常数，所以x Lnx Lnz ln ==二、填空题在区域D 内三、计算题1. 指出下列函数的解析区域和奇点，并求出其导数.（1）zzezf z sincos)(+-=；（2（3（4（5（62..（1（3（53. 试证下列函数为调和函数，并求出相应的解析函数ivuzf+=)(.（1）xu=；（2）xyu=；（3）3223236yxyyxxu+--=；（4（5）yev x sin2=；（64. 已知22yxvu-=-，试确定解析函数ivuzf+=)(.5. 函数yxv+=是yxu+=的共轭调和函数吗？为什么？6.（1（2）ie43+；（3）Lni；（4（5（6）i-13；（7（8四、证明题1. 若函数),(yxu和),(yxv都具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，现令xyvus-=，yxvut+=，则2. 设)(zf与)(zg都在，0()0g z'≠，证明第二章习题、复习题参考答案习题2.11.（1）假（2）假（3）假（4）假（5）假2. 函数)Re()(zzf=处处不可导，处处不解析.习题2.22.（1）在0z =处可导，处处不解析，导数(0)0f '=；（2）在点)0,0(和处可导，处处不解析，导数0)0(='f ，（3）处处可导，（44.（1（25.（1（3.习题2.31.（1）ci iz z z f ++=22)(；（2）ci z z z f +-=32)(；（3）=)(z f 3z ci +；（4）=)(z f 23z iz c ++；（5）c iz iz z f ++=2)(2；（62.1k =-；2()f z z =．3.c y y x y v c x xy x u --+-=+--=23,232323,c i z z z f )1(2)(3-+-=. 习题2.41.（1 （2 （3）k )1(-)(Z k ∈；（（5（6（7）3ln 2i k e e π-)(Zk ∈；（9 （（2.（1 （23.（1）正确；（2）正确；（3）正确.复习题二二、填空题2.0；3.c uv +2(c 为实常数)；4.3,1,3-==-=n m l ；5.i +1；6.常数；8.ic ixy y x ++-222或ic z +2(c 为常数)；9.i -； 10.πk e 2-),2,1,0( ±±=k .三、计算题1.（1（2（3（4（5（6z z z f cot csc )(-='.2.（1）在复平面内处处不可导，处处不解析；（2）在0=z 处可导，但在复平面内处处不解析，0)0(='f ；（3）在复平面内处处不可导，处处不解析；6.（1）4e -；（2）)4sin 4(cos 3i e +；（3（4（6 （7。

（含答案）复变函数与积分变换习题解析2

（含答案）复变函数与积分变换习题解析2习题2.11. 判断下列命题的真假，若真，给出证明；若假，请举例说明．（1）如果()f z 在0z 连续，那么0()f z '存在．（2）如果0()f z '存在，那么)(z f 在0z 解析．（3）如果0z 是()f z 的奇点，那么()f z 在0z 不可导．（4）如果0z 是()f z和()g z 的⼀个奇点，那么0z 也是()()f z g z +和()()f z g z ?的奇点．（5）如果(,)u x y 和(,)v x y 可导，那么()(,)(,)f z u x y iv x y =+亦可导．2．应⽤导数定义讨论函数)Re()(z z f =的可导性，并说明其解析性．3．证明函数在0z =处不可导．习题2.21. 设试证)(z f 在原点满⾜柯西-黎曼⽅程，但却不可导.（提⽰：沿抛物线x y =2趋向于原点）2. 判断下列函数在何处可导，何处解析，并在可导处求出其导数．（1）y ix xy z f222)(+=；（2）i y x y x z f 22332)(+-=；（3）=)(z f232z z -+；（4）22()2(1(2)f z x y i x y y =-+-+）. 3.（1 （2 （3）iy x z f 2)(+=；（4 4. （1）iz z z f 2)(3+=；（25. 讨论下列各函数的解析性．（1）3223()33f z x x yi xy y i =+--；（2 (0)z ≠；（3）1(33)x iy ω-=-；（4习题2.31. 证明下列u 或v 为某区域的调和函数，并求解析函数()f z u iv =+．（1）2(1)u x y =-；（2）3223u x x xy =-+；（3）323u x xy =-；（4）23v xy x =+；（5）x y x v 222+-=；（62. 求k 值使22ky x u +=为调和函数，并求满⾜1)(-=i f 的解析函数iv u z f +=)(．3. 设函数iv u z f +=)(是⼀个解析函数，且y x xy y x y x v u 22332233---+-=+，求iv u z f +=)(.4. 证明：如果函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，并满⾜下列条件之⼀，则)(z f 是常数.（1（2（3（4（5.5.（1（2）u -是v 的共轭调和函数.6. 如果iv u z f +=)(是z 的解析函数，证明：（1（2习题2.41.（2 （3（4（5（6）()i Ln e ；（7）i 3；（8）i i )1(+；（9）1(34)i i ++；（10）)1sin(i +；（11）cos(5)i π+；（12）i ei cos 1++π.2（1 （2）0cos sin =+z z .3. （1 （2 （34．证明：（1）121212sin()sin cos cos sin z z z z z z +=+，212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z -=+；2）1cos sin 22=+z z ；（3（4 （55．证明：（1）122=-z sh z ch ；（2）z ch z sh z ch 222=+；（3）cos sin shz shx y ichx y =+，cos sin chz chx y ishx y =+；（4）212121)(shz chz chz shz z z sh +=+，212121)(shz shz chz chz z z ch +=+.复习题⼆⼀、单项选择题1.D2.C3.B4.A5.C6.C7.A8.A9.D 10.C 11.C 12.B⼀、单项选择题1. ）. D.z sin2. 下列说法正确的是（）.A.函数的连续点⼀定不是奇点B.可微的点⼀定不是奇点C.)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在D 内⽆奇点D.不存在处处不可导的函数3. 下列说法错误的是（）. A.如果)(z f 在点0z 解析，则)(z f 在点0z 可导B.如果0z 是)(z f 的奇点，则)(0z f '不存在C.如果)(z f 在区域D 内可导，则)(z f 在D 内解析D.如果)(z f 在点0z 可导，则)(z f 在点0z 连续 4. 下列说法正确的是（）.A.iv u z f +=)(在区域D内解析，则v u ,都是调和函数B.如果v u ,都是区域D 内的调和函数，则iv u +是D 内的解析函数C.如果v u ,满⾜C-R ⽅程，则v u ,都是调和函数D.iv u +是解析函数的充要条件是v u ,都是调和函数5. 设函数iv u z f +=)(解析，则下列命题中错误的是（）.A.v u ,均为调和函数B.v 是u 的共轭调和函数C.u 是v 的共轭调和函数D.u -是v 的共轭调和函数6. 设函数iv u z f +=)(在区域D 内解析，下列等式中错误的是（）.7. 设在区域D 内v 为u 的共轭调和函数，则下列函数中为D 内解析函数的是（）. A.iu v - B.iu v + C.iv u - D.x x iv u -8. 函数z z z f Im )(2=在0=z 处的导数（）. A. 等于0 B. 等于1 C. 等于 -1 D. 不存在9. 下列数中为实数的是（）.A. 3)1(i -B. i sinC. LniD. i e π-310. 下列函数中是解析函数的是（）.A.xyi y x 222--B.xyi x +2 C. )2()1(222x x y i y x +-+- D. 33iy x + 11. 设z z f cos )(=，则下列命题中，不正确的是（）. A. )(z f 在复平⾯上处处解析 B. )(z f 以π2为周期12. 设Lnz =ω是对数函数，则下列命题正确的是（）.A. nLnz Lnz n =B. 2121Lnz Lnz z Lnz +=因为x z =是实常数，所以x Lnx Lnz ln ==⼆、填空题在区域D 内三、计算题1. 指出下列函数的解析区域和奇点，并求出其导数.（1）zzezf z sincos)(+-=；（2（3（4（5（62..（1（3（53. 试证下列函数为调和函数，并求出相应的解析函数ivu)(.（1）xu=；（2）xy u=；（3）3223236yxyyxxu+--=；（4（5）yev x sin2=；（64. 已知22y=-，试确定解析函数ivuzf+=)(.5. 函数yxv+=是yxu+=的共轭调和函数吗？为什么？6.（1（2）ie43+；（3）Lni；（4（5（6）i-13；（7（8四、证明题1. 若函数xu和),(yxv都具有⼆阶连续偏导数，且满⾜拉普拉斯⽅程，现令x yvus-=，yxvut+=，则2. 设)(zf与)(zg都在，0()0g z'≠，证明第⼆章习题、复习题参考答案习题2.11.（1）假（2）假（3）假（4）假（5）假2. 函数)zf=处处不可导，处处不解析.习题2.22.（1）在0z =处可导，处处不解析，导数(0)0f '=；（2）在点)0,0(和处可导，处处不解析，导数0)0(='f ，（3）处处可导，（44.（1（25.（1（3.习题2.31.（1）ci iz z z f ++=22)(；（2）ci z z z f +-=32)(；（3）=)(z f 3z ci +；（4）=)(z f 23z iz c ++；（5）c iz iz z f ++=2)(2；（62.1k =-；2()f z z =．3.c y y x y v c x xy x u --+-=+--=23,232323,c i z z z f )1(2)(3-+-=. 习题2.41.（1 （2 （3）k )1(-)(Z k ∈；（（5（6（7）3ln 2i k e e π-)(Zk ∈；（9 （（2.（1 （23.（1）正确；（2）正确；（3）正确.复习题⼆⼆、填空题2.0；3.c uv +2(c 为实常数)；4.3,1,3-==-=n m l ；5.i +1；6.常数；8.ic ixy y x ++-222或ic z +2(c 为常数)；9.i -； 10.πk e 2-),2,1,0(Λ±±=k .三、计算题1.（1（2（3（4（5（6z z z f cot csc )(-='.2.（1）在复平⾯内处处不可导，处处不解析；（2）在0=z 处可导，但在复平⾯内处处不解析，0)0(='f ；（3）在复平⾯内处处不可导，处处不解析；6.（1）4e -；（2）)4sin 4(cos 3i e +；（3（4（6 （7。

积分变换2-3

t Re s
dl
t
R t co s
M ( R ) e e
2 2
t
R d 2 M ( R ) e e
2
Rd

2 M ( R ) e e
2 0
t
R t sin
Rd d

2M (R)R e e
2 0
t

2 tR

M (R)
t
e [1 e
i
F ( s )e d s
st
令 s R (co s i sin ), 记 M ( R ) m a x | F ( s ) |, 则
第二章拉普拉斯变换
s C R
|

CR
F ( s ) e d s |
st
3

CR
| F (s) | e
R t co s
利用积分性质可得
t 2t
第二章拉普拉斯变换
ℒ [
1
s ( s 2)
2
]

t 0
dt e dt
0

t 0
1 2
(e
2t
1) d t
1 4
e
2t

1 4

t 2
又如
F (s) 1 (s 4)
2 2

s s( s 4)
2 2
利用微分性质可得
- 12 -
第三节
[ 证毕]
A( s ) B(s) ,
k 1
如果函数 F ( s ) 是有理函数，即 F ( s )
A ( s ), B ( s ) 为不可约多项式， A ( s ) 且

积分变换课后答案之欧阳语创编

111．2．试证：若()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰阐发：由Fourier 积分的单数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明.证明：利用Fourier 积分的单数形式，有由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以 2．求下列函数的Fourier 积分：1）()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩; 2) ()0,0;e sin 2,0tt f t t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 3)()0,11,101,010,1t t f t t t ⎧-∞<<-⎪--<<⎪=⎨<<⎪⎪<<+∞⎩阐发：由Fourier 积分的单数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解.解：1）函数()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为连续的偶函数，其Fourier 变换为122330sin 2cos 2sin sin 4(sin cos )2t t t t t t ωωωωωωωωωωωω⎡⎤⎛⎫-=--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦(偶函数)f(t)的Fourier 积分为2)所给函数为连续函数，其Fourier 变换为()224252j j 1121(2)j 1(2)j 256ωωωωωω⎡⎤--⎛⎫⎣⎦=+=⎪-+-+--+⎝⎭（实部为偶函数，虚数为奇函数） f (t)的Fourier 变换为这里用到奇偶函数的积分性质.3）所给函数有间断点1，0，1且f(t)= f(t)是奇函数，其Fourier 变换为12j(cos 1)2j 1sin d 0t t ωωω-=-⋅=⎰（奇函数）f(t)的Fourier 积分为其中t ≠1，0，1（在间断点0t 处，右边f(t)应以()()00002f t f t ++-取代）.3．求下列函数的Fourier 变换，并推证下列积分结果： 1）()e (0),t f t ββ-=>证明：22cos πd e ;02tt βωωβωβ-+∞=+⎰2）()e cos tf t t -=，证明：242πcos d e cos ;042tt t ωωωω-+∞+=+⎰ 3）sin ,π()0,πt t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，证明：2πsin ,πsin πsin 2d 010,πt t t t ωωωω⎧≤+∞⎪=⎨-⎪>⎩⎰ 证明：1）函数()e t f t β-=为连续的偶函数，其Fourier 变换为再由Fourier 变换得即2）函数()e cos t f t t -=为连续的偶函数，其Fourier 变换为再由Fourier 变换公式得即242πcos d e cos 042tt t ωωωω-+∞+=+⎰ 3）给出的函数为奇函数，其Fourier 变换为故4.求函数()()e 0,0t f t t ββ-=>≥的Fourier 正弦积分表达式和Fourier 余弦积分表达式.解：根据Fourier 正弦积分公式，并用分部积分法，有根据Fourier 余弦积分公式，用分部积分法，有121．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他的Fourier 变换.解：2.设()F ω是函数()f t 的Fourier 变换，证明()F ω与()f t 有相同的奇偶性.证明：()F ω与()f t 是一个Fourier 变换对，即()()j e d t F f t t ωω-+∞=-∞⎰，()()j 1e d 2πtf t F ωωω+∞=-∞⎰ 如果()F ω为奇函数，即()()F F ωω-=-，则（令u ω-=）()j 1e d 2πutF u u -∞=+∞⎰ （换积分变量u 为ω）()()j 1e d 2πt F f t ωωω+∞=-=--∞⎰所以()f t 亦为奇函数.如果()f t 为奇函数，即()()f t f t -=-，则（令t u -=）()j e d u f u u ω--∞=+∞⎰（换积分变量u 为t ）()()j e d t f t t F ωω-+∞=-=--∞⎰ 所以()F ω亦为奇函数.同理可证()f t 与()F ω同为偶函数.4．求函数()()e 0t f t t -=≥的Fourier 正弦变换，并推证解：由Fourier 正弦变换公式，有由Fourier 正弦逆变换公式，有由此，那时0t α=>，可得5．设()()f t F ω⎡⎤=⎣⎦F ，试证明：1）()f t 为实值函数的充要条件是()()F F ωω-=； 2）()f t 为虚值函数的充要条件是()()F F ωω-=-. 证明：在一般情况下，记()()()r i f t f t f t =+j 其中()r f t 和()i f t 均为t 的实值函数，且辨别为()f t 的实部与虚部. 因此其中()()()Re cos sin d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦-∞⎰， ()a 1）若()f t 为t 的实值函数，即()()(),0r i f t t f f t ==.此时，()a 式和()b 式辨别为所以反之，若已知()()F F ωω-=，则有此即标明()F ω的实部是关于ω的偶函数；()F ω的虚部是关于ω的奇函数.因此，肯定有亦即标明()()r f t f t =为t 的实值函数.从而结论1）获证.2）若()f t 为t 的虚值函数，即()()()j ,0i r f t f f t t ==.此时，()a 式和()b 式辨别为所以反之，若已知()()F F ωω-=-，则有此即标明()F ω的实部是关于ω的奇函数；()F ω的虚部是关于ω的偶函数.因此，肯定有()()()sin d j cos d i iF f t t t f t t t ωωω+∞+∞==+-∞-∞⎰⎰，亦即标明()()j i f t f t =为t 的虚值函数.从而结论2）获证.6.已知某函数的Fourier 变换sin ()F ωωω=，求该函数()f t .解：sin ()F ωωω=为连续的偶函数，由公式有但由于那时0a > 那时0a <那时0a =，sin d 0,0a ωωω+∞=⎰所以得()11211401t f t t t ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩，，，7．已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω⎡⎤=++-⎣⎦，求该函数()f t .解：由函数()()()00δd t t g t t g t -=，易知8．求符号函数（又称正负号函数）()1,0sgn 1,0t t t -<⎧=⎨>⎩的Fourier 变换.解：容易看出()()()sgn t u t u t =--，而1[()]()πδ().j u t F ωωω=-+F 9．求函数()()()1δδδδ222a a t a t a t f t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的Fourier 变换.解：cos cos 2a a ωω=+.10 .求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换. 解: 已知由()1cos sin sin 22f t t t t ==有()()()πjδ2δ22f t ωω⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦F 11.求函数()3sin f t t =的Fourier 变换.解:已知()0j 0e 2πδtωωω⎡⎤=-⎣⎦F ,由即得12.求函数()πsin 53t t f ⎛⎫=+⎪⎝⎭的Fourier 变换.解: 由于故()()()()()πjδ5δ5δ5δ522f t ωωωω⎤⎡⎤⎡⎤=+--+++-⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦F .14.证明：若()()j e t F ϕω⎡⎤=⎣⎦F，其中()t ϕ为一实数，则其中()F ω-为()F ω的共轭函数.证明：因为()()j j ee d t t F t ϕωω+∞--∞=⋅⎰()()()()()()j j j j 1e ee d cos e d cos 22t t t t F F t t t t ϕϕωωωωϕϕ-+∞+∞---∞-∞+⎡⎤⎡⎤+-===⎣⎦⎣⎦⎰⎰F 同理可证另一等式.17．求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见教科书）.解：02π,T ω=()1,00,ht t Tf t T ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他1－31．若1122()[()],()[()],F f t F f t ωω== F F ,αβ是常数，证明（线性性质）：阐发：根据Fourier 变换的界说很容易证明. 证明：根据Fourier 变换与逆变换的公式辨别有 6．若()[()]F f t ω= F，证明（翻转性质）：()[()]F f t ω-=- F 阐发：根据Fourier 变换的界说，再进行变量代换即可证明.证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞-=-⎰Fj e d （令t u -=）()()u f u u ω+∞---∞=⎰j ed（换u 为t ）()()t f t t ω+∞---∞=⎰j e d 9．设函数()1,10,1t f t t ⎧<⎪=⎨>⎪⎩，利用对称性质，证明：π ,1sin .0,1t t ωω⎧<⎪⎡⎤=⎨⎢⎥>⎣⎦⎪⎩F 证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞=⎰Fj e d 11t t ω--=⎰j e d由对称性质：()[()]f t F ω= F ，则()[()]2,F t f ω=-F π有12．利用能量积分()()2212f t t F ωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰⎰d d π，求下列积分的值：1）21cos xx x+∞-∞-⎰d ； 2）42sin x x x +∞-∞⎰d ； 3）()2211x x +∞-∞+⎰d ；4）()2221x x x +∞-∞+⎰d .解：1）2222sin 1cos 2xxx x x x +∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d（令2xt =）2sin t t t +∞-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰d 2）()22422sin 1cos sin x x xx x x x+∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d 3）()22221111x t t x +∞+∞-∞-∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭+⎰⎰d d 221121t ω+∞-∞⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦⎰F d π，其中从而4）()()2222221111x x x x x x +∞+∞-∞-∞+-=++⎰⎰d d ()2221111x x x x +∞+∞-∞-∞=-++⎰⎰d d 1－41.证明下列各式：2）()1f t ()()()()()23123f t f t f t f t f t ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦；6）()()()()()()121212d dd;d d d f t f t f tf t f t f t t t t ⎡⎤==⎣⎦ 10)()()()d t f t u t f ττ-∞=⎰阐发：根据卷积的界说证明. 证明： 2)()()()123f t f t f t ⎡⎤⎣⎦()()()123d f f t f t ττττ+∞-∞⎡⎤=--⎣⎦⎰6）()()()()1212d d d d d f t f t f f t tt τττ+∞-∞⎡⎤⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰()()()()1212ddd d d f f t f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=⋅-=⎣⎦⎰,()()()()1212d d d d d f t f f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=-⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.10)()()()()d f t u t f u t τττ+∞-∞=-⎰()1,0,t u t t τττ⎛⎫⎧<⎪-= ⎪⎨ ⎪>⎪⎩⎝⎭()d t f ττ-∞=⎰. 2．若()()()()12e ,sin t f t u t f t tu t α-==，求()()12f t f t .注意：不克不及随意调换()1f t 和()2f t 的位置. 解：由()()1e ,0e0,0t tt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩，()()2sin ,0sin 0,0t t f t tu t t >⎧==⎨<⎩，所以 ()()()()1221f t f t f t f t =()()21d f f t τττ+∞-∞=-⎰要确定()()210f f t ττ-≠的区间，采取解不等式组的办法.因为()()210,0;0,0f t f t ττττ>≠->-≠.即必须满足00t ττ>⎧⎨->⎩, 即tττ>⎧⎨<⎩, 因此（分部积分法）()2e sin cos e 10tt ατααττα-⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦ 4 .若()()()()1122,F f t F f t ωω⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F ，证明: 证明:()()()()121211d 2π2πF F F u F u u ωωω+∞-∞=⋅-⎰ 5.求下列函数的Fourier 变换： 1）()()0sin f t t u t ω=⋅； 2）()()0e sin t f t t u t βω-=⋅； 5）()()0j 0e t f t u t t ω=-；解: 1）已知()()1πδj u t ωω⎡⎤=+⎣⎦F,又()()()()()00j j 01sin e e 2jtt f t t u t u t u t ωωω-=⋅=-. 由位移性质有()()000220πδδ2j ωωωωωωω⎡⎤=--+-⎣⎦-. 2）由Fourier 变换的界说，有5）利用位移性质及()u t 的Fourier 变换，有再由象函数的位移性质，有7．已知某信号的相关函数()21e 4a R ττ-=，求它的能量谱密度()S ω，其中0a >.解由界说知9．求函数()()()e ,0t f t u t αα-=>的能量谱密度. 解: 因为()()e ,0e 0,0t tt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩, 那时0τ>，()()0f t f t τ+≠的区间为()0,+∞，所以那时0τ<，()()0f t f t τ+≠的区间为(),τ-+∞，所以因此，()1e 2R αττα-=，现在可以求得()f t 的能量谱密度，即1－51．求微分方程()()(),()x t x t t t δ'+=-∞<<+∞的解. 阐发：求解微分、积分方程的步调：1）对微分、积分方程取Fourier 变换得象函数的代数方程；2）解代数方程得象函数；3）取Fourier 逆变换得象原函数（方程的解）. 解：设()(),x t X ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，得即其逆变换为()0,0.e ,0tt x t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 4．求解下列积分方程：1）()()()222210;y a b t b t aτττ+∞-∞=<<+-+⎰d 2）()222t t y τττ+∞----∞=⎰e d πe.解：1）利用卷积定理可以求解此类积分方程.显然，方程的左端是未知函数()y t 与221t a +的卷积，即()221y t t a +.设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，有即易知：220cos 2tt βωωβωβ+∞-=+⎰πd e ，有即所以()()22b b a a a b Y b aωωωω----==πee πe由上可知222201cos π2d e a t t t a t a a ωω+∞-⎡⎤=⎢⎦=⎥++⎣⎰F ，()()22--a b a b t b a =⎡⎤+⎣⎦π.2）设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，同理可得利用钟形脉冲函数的Fourier 变换224e eπt A A ωβββ--⎡⎤=⎣⎦F 及由Fourier 变换的界说可求得：222e t βββω-⎡⎤=⎣⎦+F ，从而即从而()()222-1-122y t ωωω--⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦πe πj e F F，其中，记()22ef t ω-⎡⎤=⎣⎦F ，则()22t f t -=，上式中第二项可利用微分性质()()()()2222f t f t ωωω-''⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F j j e ，则因此()22222t t y t --=-π22221t t -⎫=-⎪⎭e .5.求下列微分方程的解()x t ：其中()(),f t h t 为已知函数，,,a b c 均为已知常数.解：设()()()()()(),,.f t F h t H x t X ωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦F F F 对方程两边取Fourier 变换，可得即从而2－11．求下列函数的Laplace 变换，并给出其收敛域，再用查表的办法来验证结果.1)()sin 2tf t =.阐发：用Laplace 变换的界说解题. 解：j j 22001sin sin d d 222j e e e st s t s t t t t t ⎛⎫⎛⎫+∞+∞--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭-⎰⎰L()21112Re()0j j 2j 4122s s s s ⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦>.2)()2e t f t -=.解：()()d d Re()e e ee t t st s t t t s s >-22220012+∞+∞----+⎡⎤===⎣⎦+⎰⎰L . 3)()2f t t =. 解：2220000112e d d(e )2e d e st stst st t t t t s s t tt -+∞+∞+∞--+∞-⎡⎤⎡⎤==-=--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰L ∣()022300222d(e )e e d Re()0st st st t t t s s s s+∞+∞--+∞-⎡⎤=-=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰∣ >.4)()sin cos f t t t =. 解：[]0sin cos sin cos e d st t t t t t +∞-=⎰L22121244s s =⋅=++. 7)()2cos f t t =. 解：22001cos 2cos cos e d e d 2ststt t t t t +∞+∞--+⎡⎤==⎣⎦⎰⎰L()2211112242j 2j 4s s s s s s ⎡⎤+=++=⎢⎥-++⎣⎦. 2．求下列函数的Laplace 变换： 1)()3,021,2 4.0,4t f t t t ⎧≤<⎪=-≤<⎨⎪≥⎩解： ()()24002d 3d d e e e stststf t f t t t t +∞---⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰⎰L2)()π3,2.πcos ,2t f t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩解：()()π2π02e d 3e d cos e d stst stf t f t t t t t +∞+∞---⎡⎤==+⎣⎦⎰⎰⎰L()()()()ππj j πππ222222313111e e Re()02j j 1e e e s s s ss s s s s s s -+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+-=--> ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎪⎝⎭⎝⎭3) ()()2e 5δt f t t =+解：()()()()220005δe d d 5δe d e et s tst st f t t t t t t +∞+∞+∞---⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰L()0115e 5Re()222st t s s s -==+=+>--∣. 4)()()()cos δsin f t t t t u t =⋅-⋅ 解：()()()∣∣∣j j j 000011cos e e d 12j 2j j j e e ees t j s tttststt t t s s --++∞+∞+∞---=⎡⎤⎢⎥=--=-+-+⎢⎥⎣⎦⎰()222111111Re()2j j j 11s s s s s s⎛⎫=---=-= ⎪+-++⎝⎭>0. 2－21．求下列函数的Laplace 变换式： 1）()232f t t t =++.解:由[]2132!1232132mm m t s ss s s t t +⎡⎤⎡⎤==++=++⎣⎦⎣⎦及有L L L . 2)()1e t f t t =-.解：[]()()1111,e e t tt t t s ss s --⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎣⎦222+1-1L L,L 1-.3)()()21e t f t t =-. 解：5）()cos f t t at =. 解: 由微分性质有: 6) ()5sin23cos2f t t t =- 解:已知[][]2222sin ,cos st t s s ωωωωω==++L L ,则 8)()4e cos4t f t t -=.解: 由[]2cos 416t s +s=L 及位移性质有 42cos 4416e ts t s -⎡⎤=⎣⎦++4（＋）L . 3．若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，证明（象函数的微分性质）:特别地，()()tf t F s '⎡⎤=-⎣⎦L ，或()()11f t F s t-'⎡⎤=-⎣⎦L ，并利用此结论计算下列各式：1）()3e sin2t f t t t -=，求()F s . 解：()()()322sin 224ett s s ωωω-===++22+3+3L,2)()30e sin 2d tt f t t t t -=⎰，求()F s .解：()0332112sin 2d sin 234e e t tt t t t s ss --⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦++⎰L L ,3)()1ln1s F s s +=-，求()f t . 解:()1ln,1s F s s +=-()(),F s f t ⎡⎤=⎣⎦令-1L故 ()()-12sinh t F s f t t⎡⎤==⎣⎦L . 4．若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，证明（象函数的积分性质）:()()d s f t F s s t ∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L ，或()()1d s f t t F s s ∞-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L并利用此结论计算下列各式：1)()sin ktf t t=，求()F s . 解: ()2222sin kkkt s s kωωω===++L , 2)()3e sin 2t t f t t-=，求()F s .解:()()322e sin 234t t s -=++L ,2－31．设()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件（若它们的增长指数均为c ），且()()()()1212,f t f t F s F s ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦L L ，则乘积()()12f t f t ⋅的Laplace 变换一定存在，且其中(),Re .c s c ββ>>+证明：已知()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件且其增长指数均为c ，由Laplace 变换存在定理知()()12f t f t ⋅也满足Laplace 变换存在定理的条件且标明()()12f t f t ⋅的增长指数为2c .因此()()12f t f t ⋅的Laplace 变换在半平面()Re 2s c >上一定存在，且右端积分在()()Re s c c ββ≥+>上绝对且一致收敛，并且在()Re 2s c >的半平面内，()F s 为解析函数.根据()()11F f t s ⎡⎤=⎣⎦L ，则()1f t 的Laplace 反演积分公式为从而（交换积分次第）()()()1j 0j 2e 12πj d d s q t F q f t t q ββ++∞-∞∞--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 2．求下列函数的Laplace 逆变换（象原函数）；并用另一种办法加以验证.1）()221F s s a =+. 2）()()()sF s s a s b =--. 3）()()()2s cF s s a s b +=++. 10）()()()2214sF s s s =++.解： 1）12211sin at s a a-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦L . 2）()()1sa b s a s b a b s a s b ⎛⎫=- ⎪-----⎝⎭, 3）()()()()()222111s cc a b c F s s a s b b a s a s b b a s b +--⎡⎤==-+⋅⎢⎥++-⎣⎦++-+,故10）由()()()2222131414ss s s s s F s s ⎛⎫=⎪++++⎝⎭＝－，有 ()()()11cos cos 23f t F s t t -⎡⎤==-⎣⎦L.3．求下列函数的Laplace 逆变换： 1）()()2214F s s=+.6）()221ln s F s s -=.13）()221e sF s s-+=.解： 1）用留数计算法，由于122j,2j s s ==-均为()F s 的二级极点，所以6）令()()()22212ln ,ln 1s F s F s s s s -'==-,()()()()112e e 211t t F s tf t s s s-'=+-=+-=-+-L L , ()()21212ln 1cosh s f t t s t -⎛⎫-==- ⎪⎝⎭L. 13）2211122221e 1e s s ss s s -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LLL ()()()21,222,02t t t t u t t t ⎧->⎪=+--=⎨≤<⎪⎩.2－41.求下列卷积：3）m t n t （,m n 为正整数）. 解：mt()()()0d 1C d nttnknm mk n k k n k t t t ττττττ-==⋅-=-∑⎰⎰()1!!1!m n m n t m n ++=++.注:本小题可先用卷积定理求出m t n t 的Laplace 变换,再由Laplace 逆变换求出卷积6)sin kt ()sin 0kt k ≠. 解：sin kt ()()001sin sin sin d cos cos 2d 2ttkt k k t kt k kt τττττ⎡⎤=-=---⎣⎦⎰⎰ ()0sin 211sin cos cos 2422tt k ktt kt t kt kkτ-=-+=-+. 7) t sinh t解：t sinh sinh t t =t ()0sinh d tt τττ=⋅-⎰()()()000111d(e )d(e )2e e sinh 2220t t t t t t t t t ττττττ---⎡⎤=-+-=-++-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 9)()u t a -()()0f t a ≥ .解：()u t a -()()()()00,d d ,tt a t a f t u a f t f t t a τττττ⎧<⎪=-⋅-=⎨-≥⎪⎩⎰⎰.10)()δt a -()()0f t a ≥. 解：当t a <,()δt a -()0f t =. 当t a ≥,()()()()δd aa f t f t f t a τττττ+∞-∞==-⋅-=-=-⎰.2.设()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，利用卷积定理，证明:()()0d t F s f t t s⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L 证明：()()()()()1f t u t f t u t F s s⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅=⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦LL L ， ()()()()()()000d d d t t tf t u t u f t f t f t t τττττ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰L L L L 3.利用卷积定理，证明:()2221sin 2s a at a s t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥+⎣⎦L. 证明：()()22222221ss F s s a s a sa==⋅+++,由有251.求下列常系数微分方程的解： 1）()2e ,00t y y y '-==；8）()()()331,0000y y y y y y y '''''''''+++====； 12）()()()()()420,0000,01y y y y y y y ''''''''++=====； 16）()π10sin 2,00,12y y t y y ⎛⎫''+===⎪⎝⎭。

复变函数积分变换——课后答案

z (
ln 1 z 1
( )
+
b ．lim lim 1 ，故z 0 为可去奇点。
z→0 z→0 1+
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习题五解答
1、下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。
z − z −
( 1)( 1) z z
( −1)( +1)
∞ z n+1 ( ) ∞ n
1 z
（4 ）；（5）；（6）e − ；
n +1 z n +1
n 0 n 0
3 sin z
a. z 0 为sin z 为的一级零点；而z 0 为z 的三级零点。故z 0 为的二级极点。
z z z z 2 z 1
（7）因e −1 z∑ z(1+ + +) ，故z 0 为z (e −1) 的三级零点，因而是 2 z
1
ln(z +1) z
(2k+1)π
1+z (k 0,±1,±2,) 1+e
（5）由1+z 0 得z ±i 为的一级零点，由1+e 0得z 2k +1 i 为
( ) 2 2 ( )
z (z +1)
其奇点，z 0 为一级极点，而z ±i 为其二级极点。
3
z
n 0 (n +1) ! 2 3! z (e −1)
的三级极点，而z 2kπi,(k ±1,±2,) 均为一级极点。
1 sin z 1
（1）；（2 ）；（3）；

积分变换课后答案

1-11．试证：若()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有()()()d d 0cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞=+⎰⎰其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明.证明：利用Fourier 积分的复数形式，有()()j j e e d π12t tf t f ωωτω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()()j j d 1cos sin 2a b t t ωωωωω+∞-∞⎡⎤=-+⎣⎦⎰ 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以()()()d d 11cos sin 22f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰ ()()d d 0cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞=+⎰⎰2．求下列函数的Fourier 积分：1）()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩; 2) ()0,0;e sin 2,0tt f t t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 3) ()0,11,101,010,1t t f t t t ⎧-∞<<-⎪--<<⎪=⎨<<⎪⎪<<+∞⎩分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解.解：1）函数()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞+∞⎧====-⎨-∞⎩⎰⎰F122330sin 2cos 2sin sin 4(sin cos )2t t t t t t ωωωωωωωωωωωω⎡⎤⎛⎫-=--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦(偶函数)f (t )的Fourier 积分为j 311()()e d ()cos d 02ππ4(sin cos )cos d 0πtf t F F t t ωωωωωωωωωωωω+∞+∞==-∞+∞-=⎰⎰⎰ 2)所给函数为连续函数，其Fourier 变换为()[]j j ω()()e d e sin 2e d 0tt t F f t f t t t t ωωτ---+∞===-∞⎰⎰F2j 2j j (12j j )(12j j )e e 1e e d [e e ]d 02j 2j 0t t t t t t t t ωωω----+--+++∞+∞-=⋅⋅=-⎰⎰ (12j j )(12j j )01e e 2j 12j j 12j j t t ωωωω+∞-+--++⎡⎤=+⎢⎥-+-++⎣⎦ ()224252j j 1121(2)j 1(2)j 256ωωωωωω⎡⎤--⎛⎫⎣⎦=+=⎪-+-+--+⎝⎭（实部为偶函数，虚数为奇函数）f (t )的Fourier 变换为()j 1()e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞⎰ ()()224252j 1cos jsin d 2π256t t ωωωωωωω⎡⎤--+∞⎣⎦=⋅--∞-+⎰ ()()()2224242245cos 2sin 5sin 2cos 11d d π256π2565cos 2sin 2d π0256t t t t t t ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω-+--+∞+∞=+-∞-+-∞-+-++∞=-+⎰⎰⎰这里用到奇偶函数的积分性质.3）所给函数有间断点-1，0，1且f (-t )= - f (t )是奇函数，其Fourier 变换为()[]j ()()e d 2j ()sin d 0tF f t f t t f t t t ωωω-+∞+∞===--∞⎰⎰F12j(cos 1)2j 1sin d 0t t ωωω-=-⋅=⎰（奇函数）f (t )的Fourier 积分为()()j j ()e d sin d π0π021cos sin d π0tf t F F t t ωωωωωωωωωω+∞+∞=+∞-=⎰⎰⎰1=2其中t ≠-1，0，1（在间断点0t 处，右边f (t )应以()()00002f t f t ++-代替）.3．求下列函数的Fourier 变换，并推证下列积分结果： 1）()e(0),tf t ββ-=>证明：22cos πd e ;02tt βωωβωβ-+∞=+⎰ 2）()e cos tf t t -=，证明：242πcos d e cos ;042tt t ωωωω-+∞+=+⎰ 3）sin ,π()0,πt t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，证明：2πsin ,πsin πsin 2d 010,πt t t t ωωωω⎧≤+∞⎪=⎨-⎪>⎩⎰ 证明：1）函数()e t f t β-=为连续的偶函数，其Fourier 变换为()()j e e d 2e cos d 0t t tF f t t t t βωβωω---+∞+∞⎡⎤===⎣⎦-∞⎰⎰F()2222e cos sin 22t t t t t ββωωωββωβω-=+∞=-+==++ 再由Fourier 变换得()()j 22112e d cos d 2ππ0tf t F t t ωβωωωβω+∞+∞==-∞+⎰⎰ 即 22cos πd e 02tt βωωβωβ-+∞=+⎰2）函数()e cos t f t t -=为连续的偶函数，其Fourier 变换为()j j ()e d e cos e d t t t F f t t t t ωωω---+∞+∞==-∞-∞⎰⎰j j j e e e e d 2t t t tt ω---+∞+-∞⎰ (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e d e d e d e d 200tt t t t t t t ωωωω-+----+--+++∞+∞⎧⎫=+++⎨⎬-∞-∞⎩⎭⎰⎰⎰⎰ (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e e e e 21j j 1j j 1j j 01j j 0t t t t ωωωωωωωω+--++-+++-⎧⎫+∞+∞=+++⎨⎬+--∞---∞-+-+-⎩⎭2411111221j j 1j j 1j j 1j j 4ωωωωωω⎧⎫-+=+++=⎨⎬+----+-+-+⎩⎭ 再由Fourier 变换公式得()()2j 41112()e d cos d cos d 2ππ0π04tf t F F t t ωωωωωωωωωω+∞+∞+∞+===-∞+⎰⎰⎰ 即 242πcos d e cos 042tt t ωωωω-+∞+=+⎰ 3）给出的函数为奇函数，其Fourier 变换为()()()ππj j ππed sin ed sin cos jsin d ttF f t t t t t t t t ωωωωω+∞---∞--===-⎰⎰⎰()()ππ002j sin sin d j cos 1cos 1d t t t t t t ωωω⎡⎤=-=+--⎣⎦⎰⎰ ()()2sin 1πsin 1πsin sin 2jsin j j 1010111t t ωωωπωπωπωωωωω⎛⎫+---⎛⎫=-=-= ⎪⎪+-+--⎝⎭⎝⎭ ()()()-1j 2112jsin πe d cos jsin d 2π2π1tF F t t ωωωωωωωωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤==+⎣⎦-⎰⎰F20sin ,π2sin πsin d π10,πt t t t ωωωω+∞⎧≤⎪=-=⎨->⎪⎩⎰ 故2πsin ,πsin πsin 2d 10,πt t t t ωωωω+∞⎧≤⎪=⎨-⎪>⎩⎰4.求函数()()e 0,0t f t t ββ-=>≥的Fourier 正弦积分表达式和Fourier 余弦积分表达式.解：根据Fourier 正弦积分公式，并用分部积分法，有()()002sin d sin d πf t t f ωωτττω+∞+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰002sin d sin d πe t t βτωωτω+∞+-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()220sin cos 2sin d π0e t t βτβωωωωωβτω+-∞⎡⎤-+∞=⎢⎥+⎣⎦⎰ 2202sin d .πt ωωωβω+∞=+⎰ 根据Fourier 余弦积分公式，用分部积分法，有()()002cos d cos d πf t t f ωωτττω+∞+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 002cos d cos d πe tt βτωωτω+∞+-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()220sin cos 2cos d π0e t t βτβωωωωωβτω+-∞⎡⎤-+∞=⎢⎥+⎣⎦⎰ 2202cos d .πt ωωωβω+∞=+⎰ 1-21．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他的Fourier 变换.解：[]()j j j j 01e e()()()e d e d 0j j t t t t A F f t f t t A t A τωωωωτωωω-----+∞⎡⎤=====⎢⎥-∞-⎣⎦⎰⎰F 2.设()F ω是函数()f t 的Fourier 变换，证明()F ω与()f t 有相同的奇偶性.证明：()F ω与()f t 是一个Fourier 变换对，即 ()()j e d t F f t t ωω-+∞=-∞⎰，()()j 1e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞⎰ 如果()F ω为奇函数，即()()F F ωω-=-，则()()()()()()j j 11e d e d 2π2πt tf t F F ωωωωωω--+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰—（令u ω-=）()j 1e d 2πut F u u -∞=+∞⎰ （换积分变量u 为ω）()()j 1e d 2πtF f t ωωω+∞=-=--∞⎰ 所以()f t 亦为奇函数.如果()f t 为奇函数，即()()f t f t -=-，则()()()()()j j e d e d t tF f t t f t t ωωω----+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰ （令t u -=）()j e d u f u u ω--∞=+∞⎰ （换积分变量u 为t ）()()j e d t f t t F ωω-+∞=-=--∞⎰ 所以()F ω亦为奇函数.同理可证()f t 与()F ω同为偶函数.4．求函数()()e 0t f t t -=≥的Fourier 正弦变换，并推证()20012sin πd e αωαωωαω+∞-=>+⎰解：由Fourier 正弦变换公式，有()()s s F f t ω⎡⎤=⎣⎦F ()0sin f t t t ω+∞=⎰d 0sin tt t ω+∞-=⎰e d ()2sin cos 10t t t ωωωω---+∞=+e 21ωω=+ 由Fourier 正弦逆变换公式，有()120022sin ()()sin 1ss s tf t F F t ωωωωωωωω+∞+∞-===⎡⎤⎣⎦+⎰⎰F d d ππ由此，当0t α=>时，可得()()20sin ππd e 0122f αωαωωααω+∞-==>+⎰5．设()()f t F ω⎡⎤=⎣⎦F ，试证明：1）()f t 为实值函数的充要条件是()()F F ωω-=； 2）()f t 为虚值函数的充要条件是()()F F ωω-=-.证明：在一般情况下，记()()()r i f t f t f t =+j 其中()r f t 和()i f t 均为t 的实值函数，且分别为()f t 的实部与虚部. 因此()()()()[]j e d j cos jsin d t r i F f t t f t f t t t t ωωωω-+∞+∞⎡⎤==+-⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()()()cos sin d j sin cos d ri r i f t t f t t t f t t f t t t ωωωω+∞+∞⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()Re Im F j F ωω⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦ 其中()()()Re cos sin d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦-∞⎰， ()a ()()()Im sin cos d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦-∞⎰ ()b1）若()f t 为t 的实值函数，即()()(),0r i f t t f f t ==.此时，()a 式和()b 式分别为()()Re cos d r F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰ ()()Im sin d r F f t t t ωω+∞⎡⎤=-⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦ 反之，若已知()()F F ωω-=，则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的偶函数；()F ω的虚部是关于ω的奇函数.因此，必定有()()()cos d j sin d r rF f t t t f t t t ωωω+∞+∞=--∞-∞⎰⎰亦即表明()()r f t f t =为t 的实值函数.从而结论1）获证.2）若()f t 为t 的虚值函数，即()()()j ,0i r f t f f t t ==.此时，()a 式和()b 式分别为()()Re sin d i F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰ ()()Im cos d iF f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦()(){}Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦()F ω=-反之，若已知()()F F ωω-=-，则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的奇函数；()F ω的虚部是关于ω的偶函数.因此，必定有()()()sin d j cos d i iF f t t t f t t t ωωω+∞+∞==+-∞-∞⎰⎰，亦即表明()()j i f t f t =为t 的虚值函数.从而结论2）获证.6.已知某函数的Fourier 变换sin ()F ωωω=，求该函数()f t .解：sin ()F ωωω=为连续的偶函数，由公式有()()j π1sin e d cos d 2π0tf t F t ωωωωωωω+∞+∞==-∞⎰⎰()()sin 1sin 111d d 2π02π0t t ωωωωωω+∞++∞-=+⎰⎰但由于当0a >时sin sin sin πd d()d 0002a a t a t t ωωωωωω+∞+∞+∞===⎰⎰⎰ 当0a <时sin sin()πd d 002a a ωωωωωω+∞+∞-=-=-⎰⎰ 当0a =时，sin d 0,0a ωωω+∞=⎰所以得 ()11211401t f t t t ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩，，，7．已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω⎡⎤=++-⎣⎦，求该函数()f t .解：由函数()()()00δd t t g t t g t -=，易知()()()()j j j 001e d 2π11πδe d πδe d 2π2πtt t f t F ωωωωωωωωωωω+∞=-∞+∞+∞=++--∞-∞⎰⎰⎰j j 00011e e cos 22t t t ωωωωωωω=-==+=8．求符号函数（又称正负号函数）()1,0sgn 1,0t t t -<⎧=⎨>⎩的Fourier 变换.解：容易看出()()()sgn t u t u t =--，而1[()]()πδ().j u t F ωωω=-+F 9．求函数()()()1δδδδ222a a t a t a t f t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的Fourier 变换.解：—()()()()j 1δδδδe d 222t a a F f t t a t a t t ωωω+∞--∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰F j j j j 1e e e e 222t t t t a a t a t a t t ωωωω----⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥=-==-=⎢⎥⎣⎦cos cos 2aa ωω=+.10 .求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换. 解: 已知()()000sin j πδδt ωωωωω⎡⎤=+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦F 由()1cos sin sin 22f t t t t ==有()()()πjδ2δ22f t ωω⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦F 11.求函数()3sin f t t =的Fourier 变换.解:已知()0j 0e 2πδtωωω⎡⎤=-⎣⎦F ,由()()3j j 33j j -j 3j e e j sin e 3e 3e e 2j 8t t t t t tf t t --⎛⎫-===-+- ⎪⎝⎭即得()()()()()πjδ33δ13δ1δ34f t ωωωω⎡⎤⎡⎤=---++-+⎣⎦⎣⎦F12.求函数()πsin 53t t f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的Fourier 变换.解: 由于()π1sin 5sin532f t t t t ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭故()()()()()πjδ5δ5δ5δ522f t ωωωω⎤⎡⎤⎡⎤=+--+++-⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦F .14.证明：若()()j e t F ϕω⎡⎤=⎣⎦F ，其中()t ϕ为一实数，则 ()()()1cos 2t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦F()()()1sin 2j t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦F其中()F ω-为()F ω的共轭函数.证明：因为 ()()j j ee d t t F t ϕωω+∞--∞=⋅⎰()()()j j j j ee d ee d t t tt F t t ϕϕωωω+∞+∞---∞-∞-==⋅⎰⎰()()()()()()j j j j 1e eed cose d cos 22t t tt F F t t t t ϕϕωωωωϕϕ-+∞+∞---∞-∞+⎡⎤⎡⎤+-===⎣⎦⎣⎦⎰⎰F 同理可证另一等式.17．求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见教科书）.解：02π,T ω=()1,00,ht t T f t T ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他()00111d d 2TTh C f t t ht t TTT ===⎰⎰()()000j j j 02011ed e d e d TTTn tn t n t n ht h C F n f t t t t t TTT Tωωωω---===⋅=⎰⎰⎰00j j 211j e e d j j 2πTn t n t Thht T n n n ωωωω--⎡⎤=⋅+=⎢⎥-⎣⎦⎰()()()()()000j j 2πδ2πδπδδ.22πn n n n h h hF n h n n n ωωωωωωω+∞+∞=-∞=-∞≠≠=+⋅-=+⋅-∑∑1－31．若1122()[()],()[()],F f t F f t ωω== F F ,αβ是常数，证明（线性性质）：1212()()()()f t f t F F αβαωβω+=+⎡⎤⎣⎦F -11212()()()()F F f t f t αωβωαβ+=+⎡⎤⎣⎦F分析：根据Fourier 变换的定义很容易证明. 证明：根据Fourier 变换与逆变换的公式分别有1212()()()()tf t f t f t f t t ωαβαβ+∞--∞+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰F j e d12()()tt f t t f t t ωωαβ+∞+∞---∞-∞=+⎰⎰j j ed e d12()()F F αωβω=+-112121()()()()2tF F F F ωαωβωαωβωω+∞-∞+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰Fj e d π1211()()22t tF F ωωαωωβωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰j j e d e d ππ12()()f t f t αβ=+6．若()[()]F f t ω= F ，证明（翻转性质）：()[()]F f t ω-=- F 分析：根据Fourier 变换的定义，再进行变量代换即可证明. 证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞-=-⎰F j e d （令t u -=）()()u f u u ω+∞---∞=⎰j e d（换u 为t ）()()tf t t ω+∞---∞=⎰j ed()F ω=-9．设函数()1,10,1t f t t ⎧<⎪=⎨>⎪⎩，利用对称性质，证明：π ,1sin .0,1t t ωω⎧<⎪⎡⎤=⎨⎢⎥>⎣⎦⎪⎩F 证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞=⎰F j e d 11t t ω--=⎰j e d1cos t t ω=⎰d 1sin tt ωω=⎰d由对称性质：()[()]f t F ω= F ，则()[()]2,F t f ω=-F π有()sin [()]2t F t f t ω⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦F F π (),1sin 0,1t f t ωωω⎧<⎪⎡⎤=-=⎨⎢⎥>⎣⎦⎪⎩F π π 12．利用能量积分()()2212f t t F ωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰⎰d d π，求下列积分的值： 1）21cos xx x +∞-∞-⎰d ； 2）42sin x x x +∞-∞⎰d ；3）()2211x x +∞-∞+⎰d ；4）()2221x x x +∞-∞+⎰d .解：1）2222sin 1cos 2xxx x x x +∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d（令2xt =）2sin t t t +∞-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰d 21sin 2t t ω+∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰F d π 12112ω-=⎰πd π=π 2）()22422sin 1cos sin x x xx x x x+∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d 22sin sin cos x x x x x x x +∞+∞-∞-∞⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰d d 21sin 2t t t +∞-∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰πd22=πππ-=3）()22221111x t t x +∞+∞-∞-∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭+⎰⎰d d 221121t ω+∞-∞⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦⎰F d π，其中221111tt t t ω+∞--∞⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦⎰F j e d 20cos 21t t t ω+∞=+⎰d 22ωω--==πe πe 从而()2221121x x ωω+∞+∞--∞-∞=+⎰⎰d πe d π2201ωω+∞-=⎰πe d π20122ω-+∞=⋅=-ππe 4）()()2222221111x x x x x x +∞+∞-∞-∞+-=++⎰⎰d d ()2221111x x x x +∞+∞-∞-∞=-++⎰⎰d d arctan 2x+∞-∞=-π2222=+-=ππππ1－41.证明下列各式： 2）()1f t ()()()()()23123f t f t f t f t f t ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦；6）()()()()()()121212d dd;d d d f t f t f tf t f t f t tt t⎡⎤==⎣⎦ 10)()()()d t f t u t f ττ-∞=⎰分析：根据卷积的定义证明. 证明： 2) ()()()123f t f t f t ⎡⎤⎣⎦()()()123d f f t f t ττττ+∞-∞⎡⎤=--⎣⎦⎰()()()132d f f u f t u du τττ+∞+∞-∞-∞⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()132d d f f u f t u u τττ+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰()()()123d d f f t u f u uτττ+∞+∞-∞-∞⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()123d f t u f t u f u u +∞-∞⎡⎤=--⎣⎦⎰()()()123f t f t f t ⎡⎤=⎣⎦6）()()()()1212d d d d d f t f t f f t tt τττ+∞-∞⎡⎤⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰()()()()1212ddd d d f f t f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=⋅-=⎣⎦⎰, ()()()()1212d d d d d f t f t f t f t t τττ+∞-∞⎡⎤⎡⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰ ()()()()1212d d d d d f t f f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=-⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.10) ()()()()d f t u t f u t τττ+∞-∞=-⎰()1,0,t u t t τττ⎛⎫⎧<⎪-= ⎪⎨ ⎪>⎪⎩⎝⎭()d t f ττ-∞=⎰. 2．若()()()()12e ,sin t f t u t f t tu t α-==，求()()12f t f t .注意：不能随意调换()1f t 和()2f t 的位置.解：由()()1e ,0e 0,0t tt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩，()()2sin ,0sin 0,0t t f t tu t t >⎧==⎨<⎩，所以 ()()()()1221f t f t f t f t =()()21d f f t τττ+∞-∞=-⎰要确定()()210f f t ττ-≠的区间，采用解不等式组的方法.因为()()210,0;0,0f t f t ττττ>≠->-≠.即必须满足 00t ττ>⎧⎨->⎩, 即0t ττ>⎧⎨<⎩, 因此 ()()()()1221f t f t f t f t =()()21d f f t τττ+∞-∞=-⎰()0sin ed t t ατττ--=⎰e sin e d t t αατττ-=⎰（分部积分法）()2e sin cos e 10ttατααττα-⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦ ()22e sin cos 1e11tαταατταα-⎡⎤-=+⎢⎥++⎣⎦ 2sin cos e 1tααττα--+=+ 4 .若()()()()1122,F f t F f t ωω⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F ，证明:()()()()11221*2πF f t t F f ωω⎡⎤⋅=⎣⎦F证明:()()()()121211d 2π2πF F F u F u u ωωω+∞-∞=⋅-⎰ ()()j 211e d d 2πut F u f t t u ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j 211e d d 2πut F u f t t u ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j 211e d d 2πut F u f t u t ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰—()()j 121e d d 2πut f t F u u t ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j j 121e e d d 2πst tf t F s s t ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()()j 1212e d t f t f t t f t f t ω+∞--∞⎡⎤=⋅⋅=⋅⎣⎦⎰F5.求下列函数的Fourier 变换： 1）()()0sin f t t u t ω=⋅； 2）()()0e sin t f t t u t βω-=⋅； 5）()()0j 0e t f t u t t ω=-；解: 1）已知()()1πδj u t ωω⎡⎤=+⎣⎦F ,又 ()()()()()00j j 01sin e e 2jtt f t t u t u t u t ωωω-=⋅=-. 由位移性质有()()()()()0000111πδπδ2j j j f t ωωωωωωωω⎛⎫⎡⎤=-+-+- ⎪⎣⎦ ⎪-+⎝⎭F()()000220πδδ2j ωωωωωωω⎡⎤=--+-⎣⎦-. 2）由Fourier 变换的定义，有()()j 00e sin e sin e d t t tt u t t u t t ββωωω+∞----∞⎡⎤⋅=⋅⎣⎦⎰F ()j 00sin ed tt t βωω+∞-+=⎰()()()j 000220ej sin cos 0j tt t βωβωωωωβωω-+⎡⎤-+-+∞⎣⎦=++()22j ωβωω=++5）利用位移性质及()u t 的Fourier 变换，有()()0j 0e t u t t u t ω-⎡⎤⎡⎤-=⎣⎦⎣⎦F F ()0j 1e πδj t ωωω-⎛⎫=+⎪⎝⎭再由象函数的位移性质，有()()()()000j j 0001e e πδj t tu t t ωωωωωωω--⎡⎤⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦F 7．已知某信号的相关函数()21e 4a R ττ-=，求它的能量谱密度()S ω，其中0a >.解由定义知()()j e d S R ωτωττ+∞--∞=⎰2j 1e e d 4a τωττ+∞---∞=⎰ 02j 2j 011e e d e e d 44a a τωττωτττ+∞----∞=+⎰⎰ ()()()2j 2j 001e 1e 42j 42j a a a a ωτωτωω--++∞=+--∞-+2211142j 2j 4aa a a ωωω⎛⎫=+= ⎪-++⎝⎭ 9．求函数()()()e ,0t f t u t αα-=>的能量谱密度. 解: 因为()()e ,0e0,0t tt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩,()()()()e,e0,t t t f t u t t ατατττττ-+-+⎧>-⎪+=+=⎨<-⎪⎩当0τ>时，()()0f t f t τ+≠的区间为()0,+∞，所以()()()()d e ed t t R f t f t t t αταττ+∞+∞-+--∞=+=⎰⎰22011eed ee e 22tt t αταατααταα+∞-----+∞===--⎰当0τ<时，()()0f t f t τ+≠的区间为(),τ-+∞，所以()()()d R f t f t t ττ+∞-∞=+⎰()e ed t t t ατατ+∞-+--=⎰2eed tt ατατ+∞---=⎰21e e2t ατατα--+∞-=-21e e 2ατατα-=1e 2ατα= 因此，()1e2R αττα-=，现在可以求得()f t 的能量谱密度，即 ()()j ed S R ωτωττ+∞--∞=⎰j 1e e d 2ατωττα+∞---∞=⎰()()0j j 01e d e d 2αωταωτττα+∞--+-∞⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()j j 0111e e 2j j 0αωταωτααωαω--+⎡⎤+∞=+⎢⎥--∞-+⎣⎦1112j j ααωαω⎡⎤=+⎢⎥-+⎣⎦221αω=+ 1－51．求微分方程()()(),()x t x t t t δ'+=-∞<<+∞的解. 分析：求解微分、积分方程的步骤：1）对微分、积分方程取Fourier 变换得象函数的代数方程； 2）解代数方程得象函数；3）取Fourier 逆变换得象原函数（方程的解）.解：设()(),x t X ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，得 ()()j 1.X X ωωω+= 即()1.1X j ωω=+其逆变换为()0,0.e ,0tt x t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 4．求解下列积分方程： 1）()()()222210;y a b t b t aτττ+∞-∞=<<+-+⎰d2）()222t t y τττ+∞----∞=⎰e d πe.解：1）利用卷积定理可以求解此类积分方程.显然，方程的左端是未知函数()y t 与221t a+的卷积，即()221y t t a+.设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，有()222211y t t a t b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥*+⎢⎥⎣⎦⎣+⎦F F即()222211y t t a t b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎣⎦⎢+⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+F F F 易知：22cos 2tt βωωβωβ+∞-=+⎰πd e ，有 ()222211t tY t t t a t bωωω+∞+∞---∞-∞⋅=++⎰⎰j j e d e d 即()222200cos cos 22t t Y t t t a t bωωω+∞+∞⋅=++⎰⎰d d 所以()()22b b a a a b Y b aωωωω----==πee πe由上可知222201cos π2d e a t t t a t a a ωω+∞-⎡⎤=⎢⎦=⎥++⎣⎰F ，()()-1b a a y t e b ω--⎥=⎡⎤⎢⎣⎦F()-1-b a a b a b b a ω--=⋅-⎡⎤⎢⎥⎣⎦F πe π()()22--a b a b t b a =⎡⎤+⎣⎦π.2）设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，同理可得()22e 2πe t t y t --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎦F F利用钟形脉冲函数的Fourier 变换224e eπt A A ωβββ--⎡⎤=⎣⎦F 及由Fourier 变换的定义可求得：222e tβββω-⎡⎤=⎣⎦+F ，从而 ()22e 2πe t t y t --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎥⎦F F F即()()2222222121Y ωωωωω--==++πe πe()22222ωωω--=-πeπj e从而()()222-1-122y t ωωω--⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦πe πj e F F ，其中，记()22ef t ω-⎡⎤=⎣⎦F ，则()222πet f t -=，上式中第二项可利用微分性质()()()()2222f t f t ωωω-''⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F j j e，则()()2222-12222t f t t ωω--⎡⎤⎛⎫''== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭F πd j e e d 2222t-=πe 因此()2222222t t y t --=⋅-πeπeππ222221t t -⎛⎫=- ⎪⎭e π.5.求下列微分方程的解()x t ：()()()()d ax t b x f t ch t τττ+∞-∞'+-=⎰其中()(),f t h t 为已知函数，,,a b c 均为已知常数.解：设()()()()()(),,.f t F h t H x t X ωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦F F F 对方程两边取Fourier 变换，可得()()()()j a X bX F cH ωωωωω+= 即()()(),j cH X a bF ωωωω=+从而()()()()-1.12tcH X a bF x t ωωωωωω+∞-∞⎡⎤==⎣⎦+⎰Fj πe d j 2－11．求下列函数的Laplace 变换，并给出其收敛域，再用查表的方法来验证结果.1)()sin 2tf t =.分析：用Laplace 变换的定义解题.解： j j 22001sin sin d d 222j e e e st s t s t t t t t ⎛⎫⎛⎫+∞+∞--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭-⎰⎰L ()21112Re()0j j 2j 4122s s s s ⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦>. 2)()2e t f t -=.解：()()d d Re()e e eett sts tt t s s >-2222012+∞+∞----+⎡⎤===⎣⎦+⎰⎰L . 3)()2f t t =. 解：2220000112e d d(e )2e d e st stst st t t t t s s t tt -+∞+∞+∞--+∞-⎡⎤⎡⎤==-=--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰L ∣()022300222d(e )e e d Re()0st st st t t t s sss+∞+∞--+∞-⎡⎤=-=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰∣ >.4)()sin cos f t t t =. 解：[]0sin cos sin cos e d st t t t t t +∞-=⎰L01sin 2e d 2stt t +∞-=⎰22121244s s =⋅=++. 7)()2cos f t t =.解：22001cos 2cos cos e d e d 2ststt t t t t +∞+∞--+⎡⎤==⎣⎦⎰⎰L ()()2j 2j 001111cos 2e d e e d 2224s t s t st t t t s s +∞+∞--+-⎡⎤=+=++⎣⎦⎰⎰ ()2211112242j 2j 4s s s s s s ⎡⎤+=++=⎢⎥-++⎣⎦. 2．求下列函数的Laplace 变换：1)()3,021,2 4.0,4t f t t t ⎧≤<⎪=-≤<⎨⎪≥⎩解： ()()24002d 3d d e e e stststf t f t t t t +∞---⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰⎰L()∣∣24240231134.e e e e st st s ss s s----=-+=-+2)()π3,2.πcos ,2t f t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩解：()()π2π02e d 3e d cos e d stst stf t f t t t t t +∞+∞---⎡⎤==+⎣⎦⎰⎰⎰L ()()()∣∣j j πj -j π22ππ0223e e 31e e d 122j j e e e s t s tt tsst st t s s s s --++∞+∞---⎛⎫+⎛⎫ ⎪=-+=-++ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎰()()()()ππj j πππ222222313111e e Re()02j j 1e e e s s s ss s s s s s s -+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+-=--> ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭ ⎪⎝⎭⎝⎭3) ()()2e 5δt f t t =+解：()()()()220005δe d d 5δe d e et s tst st f t t t t t t +∞+∞+∞---⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰L()0115e 5Re()222st t s s s -==+=+>--∣. 4)()()()cos δsin f t t t t u t =⋅-⋅ 解：()()()()()0δcos sin ed δcose d sin e d stst st f t t t u t t t t t t t t+∞+∞+∞---⎡⎤=-=-⎣⎦⎰⎰⎰L()()()∣∣∣j j j 00011cos e e d 12j 2j j j e e ees tj s tttst st t t t s s--++∞+∞+∞---=⎡⎤⎢⎥=--=-+-+⎢⎥⎣⎦⎰ ()222111111Re()2j j j 11s s s s s s ⎛⎫=---=-= ⎪+-++⎝⎭>0. 2－21．求下列函数的Laplace 变换式： 1）()232f t t t =++.解:由[]2132!1232132m m m t s s s s st t +⎡⎤⎡⎤==++=++⎣⎦⎣⎦及有L L L .2)()1e t f t t =-. 解：[]()()1111,e e t tt t t s ss s --⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎣⎦222+1-1L L,L 1-.3)()()21e t f t t =-. 解：()22-1e e 2e e t t t tt t t ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦L L ()()()232322145.-1-1-1s s s s s s -+=-+=-1 5）()cos f t t at =. 解: 由微分性质有:[][]()2222222d d cos cos d d s s a t at at s s s a s a -⎛⎫=-=-= ⎪+⎝⎭+L L 6) ()5sin23cos2f t t t =-解:已知[][]2222sin ,cos st t s s ωωωωω==++L L ,则 []522222103sin 23cos 253444s t t s s s --=-=+++L 8)()4e cos4t f t t -=. 解: 由[]2cos 416t s +s=L 及位移性质有 42cos 4416e ts t s -⎡⎤=⎣⎦++4（＋）L . 3．若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，证明（象函数的微分性质）:()()()()()1,Re nn nF s t f t s c ⎡⎤=->⎣⎦L特别地，()()tf t F s '⎡⎤=-⎣⎦L ，或()()11f t F s t-'⎡⎤=-⎣⎦L ，并利用此结论计算下列各式：1）()3e sin2t f t t t -=，求()F s . 解：()()()322sin 224ett s s ωωω-===++22+3+3L,()()()()()32222343d 2sin 2d 444e ts s t st s s s -⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦222+3+3+3L2)()30e sin 2d tt f t t t t -=⎰，求()F s .解：()0332112sin 2d sin 234e e t t tt t t s s s --⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦++⎰L L ,()()()02322222312132sin 2d 3434e t t s s t t t s s s s -'⎛⎫++ ⎪⎡⎤=-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎡⎤⎡⎤ ⎪++++⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎰L3)()1ln1s F s s +=-，求()f t . 解:()1ln,1s F s s +=-()(),F s f t ⎡⎤=⎣⎦令-1L()()()()()()'211111ee ttF s tf t tf t s s s -=-=-=-=-=--+-2L L L故 ()()-12sinh tF s f t t⎡⎤==⎣⎦L. 4．若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，证明（象函数的积分性质）:()()d s f t F s s t ∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L ，或()()1d s f t t F s s ∞-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L并利用此结论计算下列各式：1)()sin ktf t t=，求()F s . 解: ()2222sin kkkt s s kωωω===++L , 222sin 1d d 1s skt k s s t s k k s k ∞∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰L πarctan arctan 2ss s k k∞==- 2)()3e sin 2t tf t t-=，求()F s .解:()()322e sin 234t t s -=++L ,()32e sin 22π3d arctan 2234t s t s s t s -∞⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦⎰L 2－31．设()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件（若它们的增长指数均为c ），且()()()()1212,f t f t F s F s ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦L L ，则乘积()()12f t f t ⋅的Laplace 变换一定存在，且()()()()j 1122j 1d 2πj F q F s q q f t f t ββ+∞-∞⎡⎤=-⎣⋅⎦⎰L其中(),Re .c s c ββ>>+证明：已知()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件且其增长指数均为c ，由Laplace 变换存在定理知()()12f t f t ⋅也满足Laplace 变换存在定理的条件且()()()()1212e e ct ct f t f t f t f t M M ⋅=⋅≤⋅22e ,0ct M t =≤<+∞ 表明()()12f t f t ⋅的增长指数为2c .因此()()12f t f t ⋅的Laplace 变换()()()120e d st F sf t f t t +∞-=⎰在半平面()Re 2s c >上一定存在，且右端积分在()()Re s c c ββ≥+>上绝对且一致收敛，并且在()Re 2s c >的半平面内，()F s 为解析函数.根据()()11F f t s ⎡⎤=⎣⎦L ，则()1f t 的Laplace 反演积分公式为()()11j j 1e d 2πj qt q f F q t ββ+∞-∞=⎰ 从而()()()()12120e d stf t f t f t f t t +∞-⎡⎤⎣⋅=⎦⎰L()()j 12j e d 1e d 2πj q s t tF q q f t t ββ+∞+--∞∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰（交换积分次序）()()()1j 0j 2e 12πj d d s q t F q f t t q ββ++∞-∞∞--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j 12j 1d 2πjF q F s q q ββ+∞-∞=-⎰ 2．求下列函数的Laplace 逆变换（象原函数）；并用另一种方法加以验证. 1）()221F s s a=+. 2）()()()sF s s a s b =--.3）()()()2s cF s s a s b +=++.10）()()()2214sF s ss =++.解： 1）12211sin at s a a -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦L. 2）()()1sa b s a s b a b s a s b ⎛⎫=- ⎪-----⎝⎭, ()()()11e e .at bt s a b s a s b a b-⎡⎤=-⎢⎥---⎣⎦L3）()()()()()222111s cc a b c F s s a s b b a s a s b b a s b +--⎡⎤==-+⋅⎢⎥++-⎣⎦++-+, 故()()()()1222e at bts c c a b c a c e t b a s a s b b a a b ---⎡⎤⎡⎤+---⎢⎥⎢⎥=++-++--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L10）由()()()2222131414ss s s s s F s s ⎛⎫=⎪++++⎝⎭＝－，有 ()()()11cos cos 23f t F s t t -⎡⎤==-⎣⎦L.3．求下列函数的Laplace 逆变换： 1）()()2214F s s=+.6）()221ln s F s s -=.13）()221e sF s s -+=.解： 1）用留数计算法，由于122j,2j s s ==-均为()F s 的二级极点，所以()()()()()2112211e 2j 2j Res k s sts k F s F s s s f t --==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣-⎦+∑LL()()2222j j e e 2j 2d d lim lim d d j st s s t s s s s s →→-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎦⎣-⎣⎦+⎥ ()()()()()()2j 22244j22j 22j e e e e 2j 2j 2j 2l j im lim s s st st st st s s t t s s s s →→-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++---++⎢⎥⎢⎣⎦⎣-⎦-⎥ 2j 2j 2j 2j 8j 8j e e e e 1625616256t t t t t t --=---+ 2j 2j 2j 2j e e 1e e sin 2cos 282162j 168t t t t t t t t --+-=-+=-6）令()()()22212ln ,ln 1s F s F s s s s -'==-, ()()()()112e e 211t t F s tf t s s s-'=+-=+-=-+-L L , ()()21212ln 1cosh s f t t s t -⎛⎫-==- ⎪⎝⎭L. 13）2211122221e 1e s s ss s s -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LLL ()()()21,222,02t t t t u t t t ⎧->⎪=+--=⎨≤<⎪⎩.2－41.求下列卷积：3）mt n t （,m n 为正整数）. 解：mt ()()()0d 1C d nttnknm mk n k k n k t t t ττττττ-==⋅-=-∑⎰⎰()()001C d 1d C nnt tkkk n km km k k n knn k k tt ττττ-++-===-=-⋅∑∑⎰⎰ ()()()11001C 1C 11m k n k nnkk k m n k n nk k t t t m k m k ++-++==⋅=-⋅=-++++∑∑()1!!1!m n m n t m n ++=++.注:本小题可先用卷积定理求出mt n t 的Laplace 变换,再由Laplace 逆变换求出卷积6)sin kt ()sin 0kt k ≠.解：sin kt ()()001sin sin sin d cos cos 2d 2ttkt k k t kt k kt τττττ⎡⎤=-=---⎣⎦⎰⎰ ()()011cos cos 2d 224tt kt k t t k k ττ=-+--⎰()0sin 211sin cos cos 2422tt k ktt kt t kt kkτ-=-+=-+. 7) t sinh t解：t sinh sinh t t = t ()0sinh d tt τττ=⋅-⎰()()0011e d e d 22t t t t ττττττ-=---⎰⎰ ()()()000111d(e )d(e )2e e sinh 2220t t t t t t t t t ττττττ---⎡⎤=-+-=-++-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 9)()u t a - ()()0f t a ≥ .解：()u t a - ()()()()00,d d ,tt a t a f t u a f t f t t a τττττ⎧<⎪=-⋅-=⎨-≥⎪⎩⎰⎰.10) ()δt a - ()()0f t a ≥. 解：当t a <,()δt a - ()0f t =. 当t a ≥,()δt a - ()()()0δd tf t a f t τττ=-⋅-⎰()()()()δd aa f t f t f t a τττττ+∞-∞==-⋅-=-=-⎰.2.设()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，利用卷积定理，证明:()()0d t F s f t t s⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L 证明：()()()()()1f t u t f t u t F s s⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅=⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L L ，。

2-3 第三节拉普拉斯变换

第三节拉普拉斯变换一、定义如实变数t 的连续函数()f t ，当时有固定单值，0t ≥0t <时()f t =0，那么由式子()(0)stF s f e +∞=∫t −dt 所确定的函数()F s 称为函数()f t ()(的拉氏变换（S 为复变量），简记为)F s f ⎡=⎣ t ⎤⎦；并称()f t 是()F s 的拉氏反变换，记为()()1f t −F s ⎡⎤=⎣⎦ 。

拉氏变换存在的条件 ()()1002t f t f t ⎧<=⎪⎨⎪⎩、时，、要连续或至少分段连续（有限段）实际中的一些时间函数大都满足以上条件，一般来说，定义式总是成立的。

例1：求单位阶跃函数()()1f t =t 的拉氏变换。

解：由定义得()()()00011111stst st F s t t e e dt e dt ss ∞−∞∞−−⎡⎤==⎣⎦=⋅=−⋅=∫∫且有()111f t s −⎡⎤==⎢⎥⎣⎦例2：求()atf t e =的拉氏变换，a 为常数。

解：由定义得()()00011at at st s a t st F s e e e dt e dt e s a s a ∞−∞∞−−−⎡⎤==⋅⎣⎦==−⋅=−−∫∫ 且有()11at f t e s a −⎡⎤==⎢⎥−⎣⎦例3：求()f t t =的拉氏变换。

解：由定义得()[]()()00020001111stst st st st st F s t t e dt t d e t d e s s t e e dt e dt s s 1s ∞−∞∞−−∞∞∞−−−==⋅=⋅−⋅=−⋅⋅⎡⎤=−⋅−==⎢⎥⎣⎦∫∫∫∫∫ 且有()121f t t s −⎡⎤==⎢⎥⎣⎦例4：求单位脉冲函数()t δ的拉氏变换解：由定义得：()()()()()()()00000001stst st stst t F s t t e dt t e dt t e dt t e d t e dt e δδδδδδ++−+−st t ∞−∞−−+∞−−−=−∞⎡⎤==⋅⎣⎦=⋅+⋅=⋅=⋅==∫∫∫∫∫ 且有()[]()11f t t δ−==例5：求()212f t =t 的拉氏变换。

积分变换课后答案

1-11．试证：若()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有()()()d d 0cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞=+⎰⎰其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明.证明：利用Fourier 积分的复数形式，有()()j j e e d π12t tf t f ωωτω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j j d e d π11cos sin 2tf ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()()j j d 1cos sin 2a b t t ωωωωω+∞-∞⎡⎤=-+⎣⎦⎰ 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以()()()d d 11cos sin 22f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞=+⎰⎰ ()()d d 0cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞=+⎰⎰2．求下列函数的Fourier 积分：1）()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩; 2) ()0,0;e sin 2,0tt f t t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 3) ()0,11,101,010,1t t f t t t ⎧-∞<<-⎪--<<⎪=⎨<<⎪⎪<<+∞⎩分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解.解：1）函数()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞+∞⎧====-⎨-∞⎩⎰⎰F122330sin 2cos 2sin sin 4(sin cos )2t t t t t t ωωωωωωωωωωωω⎡⎤⎛⎫-=--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦(偶函数) f (t )的Fourier 积分为j 311()()e d ()cos d 02ππ4(sin cos )cos d 0πtf t F F t t ωωωωωωωωωωωω+∞+∞==-∞+∞-=⎰⎰⎰ 2)所给函数为连续函数，其Fourier 变换为()[]j j ω()()e d e sin 2e d 0tt t F f t f t t t t ωωτ---+∞===-∞⎰⎰F2j 2j j (12j j )(12j j )e e 1e e d [e e ]d 02j 2j 0t t t t t t t t ωωω----+--+++∞+∞-=⋅⋅=-⎰⎰ (12j j )(12j j )01e e 2j 12j j 12j j t t ωωωω+∞-+--++⎡⎤=+⎢⎥-+-++⎣⎦ ()224252j j 1121(2)j 1(2)j 256ωωωωωω⎡⎤--⎛⎫⎣⎦=+=⎪-+-+--+⎝⎭（实部为偶函数，虚数为奇函数）f (t )的Fourier 变换为()j 1()e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞⎰ ()()224252j 1cos jsin d 2π256t t ωωωωωωω⎡⎤--+∞⎣⎦=⋅--∞-+⎰ ()()()2224242245cos 2sin 5sin 2cos 11d d π256π2565cos 2sin 2d π0256t t t t t t ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω-+--+∞+∞=+-∞-+-∞-+-++∞=-+⎰⎰⎰这里用到奇偶函数的积分性质.3）所给函数有间断点-1，0，1且f (-t )= - f (t )是奇函数，其Fourier 变换为()[]j ()()e d 2j ()sin d 0tF f t f t t f t t t ωωω-+∞+∞===--∞⎰⎰F12j(cos 1)2j 1sin d 0t t ωωω-=-⋅=⎰（奇函数）f (t )的Fourier 积分为()()j j ()e d sin d π0π021cos sin d π0tf t F F t t ωωωωωωωωωω+∞+∞=+∞-=⎰⎰⎰1=2其中t ≠-1，0，1（在间断点0t 处，右边f (t )应以()()00002f t f t ++-代替）.3．求下列函数的Fourier 变换，并推证下列积分结果： 1）()e(0),tf t ββ-=>证明：22cos πd e ;02tt βωωβωβ-+∞=+⎰ 2）()e cos tf t t -=，证明：242πcos d e cos ;042tt t ωωωω-+∞+=+⎰ 3）sin ,π()0,πt t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，证明：2πsin ,πsin πsin 2d 010,πt t t t ωωωω⎧≤+∞⎪=⎨-⎪>⎩⎰ 证明：1）函数()e t f t β-=为连续的偶函数，其Fourier 变换为()()j e e d 2e cos d 0t t tF f t t t t βωβωω---+∞+∞⎡⎤===⎣⎦-∞⎰⎰F()2222e cos sin 22t t t t t ββωωωββωβω-=+∞=-+==++ 再由Fourier 变换得()()j 22112e d cos d 2ππ0tf t F t t ωβωωωβω+∞+∞==-∞+⎰⎰ 即 22cos πd e 02tt βωωβωβ-+∞=+⎰2）函数()e cos t f t t -=为连续的偶函数，其Fourier 变换为()j j ()e d e cos e d t t t F f t t t t ωωω---+∞+∞==-∞-∞⎰⎰j j j e e e e d 2t t t tt ω---+∞+-∞⎰ (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e d e d e d e d 200tt t t t t t t ωωωω-+----+--+++∞+∞⎧⎫=+++⎨⎬-∞-∞⎩⎭⎰⎰⎰⎰ (1j j )(1j j )(1j j )(1j j )001e e e e 21j j 1j j 1j j 01j j 0t t t t ωωωωωωωω+--++-+++-⎧⎫+∞+∞=+++⎨⎬+--∞---∞-+-+-⎩⎭2411111221j j 1j j 1j j 1j j 4ωωωωωω⎧⎫-+=+++=⎨⎬+----+-+-+⎩⎭ 再由Fourier 变换公式得()()2j 41112()e d cos d cos d 2ππ0π04tf t F F t t ωωωωωωωωωω+∞+∞+∞+===-∞+⎰⎰⎰ 即 242πcos d e cos 042tt t ωωωω-+∞+=+⎰ 3）给出的函数为奇函数，其Fourier 变换为()()()ππj j ππed sin ed sin cos jsin d ttF f t t t t t t t t ωωωωω+∞---∞--===-⎰⎰⎰()()ππ002j sin sin d j cos 1cos 1d t t t t t t ωωω⎡⎤=-=+--⎣⎦⎰⎰ ()()2sin 1πsin 1πsin sin 2jsin j j 1010111t t ωωωπωπωπωωωωω⎛⎫+---⎛⎫=-=-= ⎪⎪+-+--⎝⎭⎝⎭ ()()()-1j 2112jsin πe d cos jsin d 2π2π1tF F t t ωωωωωωωωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤==+⎣⎦-⎰⎰F20sin ,π2sin πsin d π10,πt t t t ωωωω+∞⎧≤⎪=-=⎨->⎪⎩⎰ 故2πsin ,πsin πsin 2d 10,πt t t t ωωωω+∞⎧≤⎪=⎨-⎪>⎩⎰4.求函数()()e 0,0t f t t ββ-=>≥的Fourier 正弦积分表达式和Fourier 余弦积分表达式.解：根据Fourier 正弦积分公式，并用分部积分法，有()()002sin d sin d πf t t f ωωτττω+∞+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰002sin d sin d πe t t βτωωτω+∞+-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()220sin cos 2sin d π0e t t βτβωωωωωβτω+-∞⎡⎤-+∞=⎢⎥+⎣⎦⎰ 2202sin d .πt ωωωβω+∞=+⎰ 根据Fourier 余弦积分公式，用分部积分法，有()()002cos d cos d πf t t f ωωτττω+∞+∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 002cos d cos d πe tt βτωωτω+∞+-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()220sin cos 2cos d π0e t t βτβωωωωωβτω+-∞⎡⎤-+∞=⎢⎥+⎣⎦⎰ 2202cos d .πt ωωωβω+∞=+⎰ 1-21．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他的Fourier 变换.解：[]()j j j j 01e e()()()e d e d 0j j t t t t A F f t f t t A t A τωωωωτωωω-----+∞⎡⎤=====⎢⎥-∞-⎣⎦⎰⎰F 2.设()F ω是函数()f t 的Fourier 变换，证明()F ω与()f t 有相同的奇偶性.证明：()F ω与()f t 是一个Fourier 变换对，即 ()()j e d t F f t t ωω-+∞=-∞⎰，()()j 1e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞⎰ 如果()F ω为奇函数，即()()F F ωω-=-，则()()()()()()j j 11e d e d 2π2πt tf t F F ωωωωωω--+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰（令u ω-=）()j 1e d 2πut F u u -∞=+∞⎰ （换积分变量u 为ω）()()j 1e d 2πtF f t ωωω+∞=-=--∞⎰ 所以()f t 亦为奇函数.如果()f t 为奇函数，即()()f t f t -=-，则()()()()()j j e d e d t tF f t t f t t ωωω----+∞+∞-==---∞-∞⎰⎰ （令t u -=）()j e d u f u u ω--∞=+∞⎰ （换积分变量u 为t ）()()j e d t f t t F ωω-+∞=-=--∞⎰ 所以()F ω亦为奇函数.同理可证()f t 与()F ω同为偶函数.4．求函数()()e 0t f t t -=≥的Fourier 正弦变换，并推证()20012sin πd e αωαωωαω+∞-=>+⎰解：由Fourier 正弦变换公式，有()()s s F f t ω⎡⎤=⎣⎦F ()0sin f t t t ω+∞=⎰d 0sin tt t ω+∞-=⎰e d ()2sin cos 10t t t ωωωω---+∞=+e 21ωω=+ 由Fourier 正弦逆变换公式，有()120022sin ()()sin 1ss s tf t F F t ωωωωωωωω+∞+∞-===⎡⎤⎣⎦+⎰⎰F d d ππ由此，当0t α=>时，可得()()20sin ππd e 0122f αωαωωααω+∞-==>+⎰5．设()()f t F ω⎡⎤=⎣⎦F ，试证明：1）()f t 为实值函数的充要条件是()()F F ωω-=； 2）()f t 为虚值函数的充要条件是()()F F ωω-=-.证明：在一般情况下，记()()()r i f t f t f t =+j 其中()r f t 和()i f t 均为t 的实值函数，且分别为()f t 的实部与虚部. 因此()()()()[]j e d j cos jsin d t r i F f t t f t f t t t t ωωωω-+∞+∞⎡⎤==+-⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()()()cos sin d j sin cos d ri r i f t t f t t t f t t f t t t ωωωω+∞+∞⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦-∞-∞⎰⎰ ()()Re Im F j F ωω⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦ 其中()()()Re cos sin d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦-∞⎰， ()a ()()()Im sin cos d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦-∞⎰ ()b1）若()f t 为t 的实值函数，即()()(),0r i f t t f f t ==.此时，()a 式和()b 式分别为()()Re cos d r F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰ ()()Im sin d r F f t t t ωω+∞⎡⎤=-⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦ 反之，若已知()()F F ωω-=，则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的偶函数；()F ω的虚部是关于ω的奇函数.因此，必定有()()()cos d j sin d r rF f t t t f t t t ωωω+∞+∞=--∞-∞⎰⎰亦即表明()()r f t f t =为t 的实值函数.从而结论1）获证.2）若()f t 为t 的虚值函数，即()()()j ,0i r f t f f t t ==.此时，()a 式和()b 式分别为()()Re sin d i F f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰ ()()Im cos d iF f t t t ωω+∞⎡⎤=⎣⎦-∞⎰所以()()()Re jIm F F F ωωω⎡⎤⎡⎤-=-+-⎣⎦⎣⎦()()Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦()(){}Re jIm F F ωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦()F ω=-反之，若已知()()F F ωω-=-，则有()()()()Re jIm Re jIm F F F F ωωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦此即表明()F ω的实部是关于ω的奇函数；()F ω的虚部是关于ω的偶函数.因此，必定有()()()sin d j cos d i iF f t t t f t t t ωωω+∞+∞==+-∞-∞⎰⎰，亦即表明()()j i f t f t =为t 的虚值函数.从而结论2）获证.6.已知某函数的Fourier 变换sin ()F ωωω=，求该函数()f t .解：sin ()F ωωω=为连续的偶函数，由公式有()()j π1sin e d cos d 2π0tf t F t ωωωωωωω+∞+∞==-∞⎰⎰()()sin 1sin 111d d 2π02π0t t ωωωωωω+∞++∞-=+⎰⎰但由于当0a >时sin sin sin πd d()d 0002a a t a t t ωωωωωω+∞+∞+∞===⎰⎰⎰ 当0a <时sin sin()πd d 002a a ωωωωωω+∞+∞-=-=-⎰⎰ 当0a =时，sin d 0,0a ωωω+∞=⎰所以得 ()11211401t f t t t ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩，，，7．已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω⎡⎤=++-⎣⎦，求该函数()f t .解：由函数()()()00δd t t g t t g t -=，易知()()()()j j j 001e d 2π11πδe d πδe d 2π2πtt t f t F ωωωωωωωωωωω+∞=-∞+∞+∞=++--∞-∞⎰⎰⎰j j 00011e e cos 22t t t ωωωωωωω=-==+=8．求符号函数（又称正负号函数）()1,0sgn 1,0t t t -<⎧=⎨>⎩的Fourier 变换.解：容易看出()()()sgn t u t u t =--，而1[()]()πδ().j u t F ωωω=-+F 9．求函数()()()1δδδδ222a a t a t a t f t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的Fourier 变换.解：()()()()j 1δδδδe d 222t a a F f t t a t a t t ωωω+∞--∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤==++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰F j j j j 1e e e e 222t t t t a a t a t a t t ωωωω----⎡⎤⎢⎥=+++⎢⎥=-==-=⎢⎥⎣⎦cos cos 2aa ωω=+.10 .求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换. 解: 已知()()000sin j πδδt ωωωωω⎡⎤=+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦F 由()1cos sin sin 22f t t t t ==有()()()πjδ2δ22f t ωω⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦F 11.求函数()3sin f t t =的Fourier 变换.解:已知()0j 0e 2πδtωωω⎡⎤=-⎣⎦F ,由()()3j j 33j j -j 3j e e j sin e 3e 3e e 2j 8t t t t t tf t t --⎛⎫-===-+- ⎪⎝⎭即得()()()()()πjδ33δ13δ1δ34f t ωωωω⎡⎤⎡⎤=---++-+⎣⎦⎣⎦F12.求函数()πsin 53t t f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的Fourier 变换.解: 由于()π1sin 5sin532f t t t t ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭故()()()()()πjδ5δ5δ5δ522f t ωωωω⎤⎡⎤⎡⎤=+--+++-⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦F .14.证明：若()()j e t F ϕω⎡⎤=⎣⎦F ，其中()t ϕ为一实数，则 ()()()1cos 2t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=+-⎣⎦⎣⎦F()()()1sin 2j t F F ϕωω⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦F其中()F ω-为()F ω的共轭函数.证明：因为 ()()j j ee d t t F t ϕωω+∞--∞=⋅⎰()()()j j j j ee d ee d t t tt F t t ϕϕωωω+∞+∞---∞-∞-==⋅⎰⎰()()()()()()j j j j 1e eed cose d cos 22t t tt F F t t t t ϕϕωωωωϕϕ-+∞+∞---∞-∞+⎡⎤⎡⎤+-===⎣⎦⎣⎦⎰⎰F 同理可证另一等式.17．求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见教科书）.解：02π,T ω=()1,00,ht t T f t T ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他()00111d d 2TTh C f t t ht t TTT ===⎰⎰()()000j j j 02011ed e d e d TTTn tn t n t n ht h C F n f t t t t t TTT Tωωωω---===⋅=⎰⎰⎰00j j 211j e e d j j 2πTn t n t Thht T n n n ωωωω--⎡⎤=⋅+=⎢⎥-⎣⎦⎰()()()()()000j j 2πδ2πδπδδ.22πn n n n h h hF n h n n n ωωωωωωω+∞+∞=-∞=-∞≠≠=+⋅-=+⋅-∑∑1－31．若1122()[()],()[()],F f t F f t ωω== F F ,αβ是常数，证明（线性性质）：1212()()()()f t f t F F αβαωβω+=+⎡⎤⎣⎦F -11212()()()()F F f t f t αωβωαβ+=+⎡⎤⎣⎦F分析：根据Fourier 变换的定义很容易证明. 证明：根据Fourier 变换与逆变换的公式分别有1212()()()()tf t f t f t f t t ωαβαβ+∞--∞+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰F j e d12()()tt f t t f t t ωωαβ+∞+∞---∞-∞=+⎰⎰j j ed e d12()()F F αωβω=+-112121()()()()2tF F F F ωαωβωαωβωω+∞-∞+=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰Fj e d π1211()()22t tF F ωωαωωβωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰j j e d e d ππ12()()f t f t αβ=+6．若()[()]F f t ω= F ，证明（翻转性质）：()[()]F f t ω-=- F 分析：根据Fourier 变换的定义，再进行变量代换即可证明. 证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞-=-⎰F j e d （令t u -=）()()u f u u ω+∞---∞=⎰j e d（换u 为t ）()()tf t t ω+∞---∞=⎰j ed()F ω=-9．设函数()1,10,1t f t t ⎧<⎪=⎨>⎪⎩，利用对称性质，证明：π ,1sin .0,1t t ωω⎧<⎪⎡⎤=⎨⎢⎥>⎣⎦⎪⎩F 证明：()[()]tf t f t t ω+∞--∞=⎰F j ed 11t t ω--=⎰j e d1cos t t ω=⎰d 1sin tt ωω=⎰d由对称性质：()[()]f t F ω= F ，则()[()]2,F t f ω=-F π有()sin [()]2t F t f t ω⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦F F π (),1sin 0,1t f t ωωω⎧<⎪⎡⎤=-=⎨⎢⎥>⎣⎦⎪⎩F π π 12．利用能量积分()()2212f t t F ωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰⎰d d π，求下列积分的值：1）21cos xx x +∞-∞-⎰d ； 2）42sin x x x +∞-∞⎰d ； 3）()2211x x +∞-∞+⎰d ；4）()2221x x x +∞-∞+⎰d .解：1）2222sin 1cos 2xxx x xx +∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d（令2xt =）2sin t t t +∞-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰d 21sin 2t t ω+∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰F d π 12112ω-=⎰πd π=π 2）()22422sin 1cos sin x x xx x x x +∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d 22sin sin cos x x x x x x x +∞+∞-∞-∞⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰d d 21sin 2t t t +∞-∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰πd 22=πππ-=3）()22221111x t t x+∞+∞-∞-∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭+⎰⎰d d 221121t ω+∞-∞⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦⎰F d π，其中221111tt t t ω+∞--∞⎡⎤=⎢⎥++⎣⎦⎰F j e d 20cos 21t t t ω+∞=+⎰d 22ωω--==πe πe 从而()2221121x x ωω+∞+∞--∞-∞=+⎰⎰d πe d π2201ωω+∞-=⎰πe d π20122ω-+∞=⋅=-ππe 4）()()2222221111x x x x x x +∞+∞-∞-∞+-=++⎰⎰d d ()2221111x x x x +∞+∞-∞-∞=-++⎰⎰d darctan 2x+∞-∞=-π2222=+-=ππππ 1－ 41.证明下列各式： 2）()1f t ()()()()()23123f t f t f t f t f t ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦；6）()()()()()()121212d dd;d d d f t f t f tf t f t f t t t t ⎡⎤==⎣⎦ 10)()()()d t f t u t f ττ-∞=⎰分析：根据卷积的定义证明. 证明： 2) ()()()123f t f t f t ⎡⎤⎣⎦()()()123d f f t f t ττττ+∞-∞⎡⎤=--⎣⎦⎰()()()132d f f u f t u du τττ+∞+∞-∞-∞⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()132d d f f u f t u u τττ+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰()()()123d d f f t u f u uτττ+∞+∞-∞-∞⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()123d f t u f t u f u u +∞-∞⎡⎤=--⎣⎦⎰()()()123f t f t f t ⎡⎤=⎣⎦6）()()()()1212d d d d d f t f t f f t t t τττ+∞-∞⎡⎤⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰()()()()1212ddd d d f f t f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=⋅-=⎣⎦⎰, ()()()()1212d d d d d f t f t f t f t t τττ+∞-∞⎡⎤⎡⎤=-⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰()()()()1212d d d d d f t f f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=-⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.10) ()()()()d f t u t f u t τττ+∞-∞=-⎰()1,0,t u t t τττ⎛⎫⎧<⎪-= ⎪⎨ ⎪>⎪⎩⎝⎭()d t f ττ-∞=⎰. 2．若()()()()12e ,sin t f t u t f t tu t α-==，求()()12f t f t .注意：不能随意调换()1f t 和()2f t 的位置. 解：由()()1e ,0e 0,0t tt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩，()()2sin ,0sin 0,0t t f t tu t t >⎧==⎨<⎩，所以 ()()()()1221f t f t f t f t =()()21d f f t τττ+∞-∞=-⎰要确定()()210f f t ττ-≠的区间，采用解不等式组的方法.因为()()210,0;0,0f t f t ττττ>≠->-≠.即必须满足 00t ττ>⎧⎨->⎩, 即0t ττ>⎧⎨<⎩, 因此 ()()()()1221f t f t f t f t =()()21d f f t τττ+∞-∞=-⎰()0sin ed t t ατττ--=⎰e sin e d t t αατττ-=⎰（分部积分法）()2e sin cos e10ttατααττα-⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦ ()22e sin cos 1e11tαταατταα-⎡⎤-=+⎢⎥++⎣⎦2sin cos e 1tααττα--+=+4 .若()()()()1122,F f t F f t ωω⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F ，证明:()()()()11221*2πF f t t F f ωω⎡⎤⋅=⎣⎦F证明:()()()()121211d 2π2πF F F u F u u ωωω+∞-∞=⋅-⎰()()j 211e d d 2πutF u f t t u ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⋅⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j 211e d d 2πut F u f t t u ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()j 211e d d 2πut F u f t u t ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j 121e d d 2πutf t F u u t ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j j 121e e d d 2πst t f t F s s t ω+∞+∞--∞-∞⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()()j 1212e d t f t f t t f t f t ω+∞--∞⎡⎤=⋅⋅=⋅⎣⎦⎰F5.求下列函数的Fourier 变换： 1）()()0sin f t t u t ω=⋅； 2）()()0e sin t f t t u t βω-=⋅； 5）()()0j 0e t f t u t t ω=-；解: 1）已知()()1πδj u t ωω⎡⎤=+⎣⎦F ,又 ()()()()()00j j 01sin e e 2jtt f t t u t u t u t ωωω-=⋅=-. 由位移性质有()()()()()0000111πδπδ2j j j f t ωωωωωωωω⎛⎫⎡⎤=-+-+- ⎪⎣⎦ ⎪-+⎝⎭F()()000220πδδ2j ωωωωωωω⎡⎤=--+-⎣⎦-. 2）由Fourier 变换的定义，有()()j 00e sin e sin e d t t tt u t t u t t ββωωω+∞----∞⎡⎤⋅=⋅⎣⎦⎰F ()j 00sin ed tt t βωω+∞-+=⎰()()()j 000220ej sin cos 0j tt t βωβωωωωβωω-+⎡⎤-+-+∞⎣⎦=++()22j ωβωω=++5）利用位移性质及()u t 的Fourier 变换，有()()0j 0e t u t t u t ω-⎡⎤⎡⎤-=⎣⎦⎣⎦F F ()0j 1e πδj t ωωω-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 再由象函数的位移性质，有()()()()000j j 0001e e πδj t tu t t ωωωωωωω--⎡⎤⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎣⎦F 7．已知某信号的相关函数()21e 4a R ττ-=，求它的能量谱密度()S ω，其中0a >.解由定义知()()j e d S R ωτωττ+∞--∞=⎰2j 1e e d 4a τωττ+∞---∞=⎰ 02j 2j 011e e d e e d 44a a τωττωτττ+∞----∞=+⎰⎰ ()()()2j 2j 001e 1e 42j 42j a a a a ωτωτωω--++∞=+--∞-+2211142j 2j 4aa a a ωωω⎛⎫=+= ⎪-++⎝⎭ 9．求函数()()()e ,0t f t u t αα-=>的能量谱密度.解: 因为()()e ,0e 0,0t tt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩,()()()()e,e0,t t t f t u t t ατατττττ-+-+⎧>-⎪+=+=⎨<-⎪⎩当0τ>时，()()0f t f t τ+≠的区间为()0,+∞，所以()()()()d e ed t t R f t f t t t αταττ+∞+∞-+--∞=+=⎰⎰22011e e d e e e 22t t t αταατααταα+∞-----+∞===--⎰当0τ<时，()()0f t f t τ+≠的区间为(),τ-+∞，所以()()()d R f t f t t ττ+∞-∞=+⎰()e ed t t t ατατ+∞-+--=⎰2eed tt ατατ+∞---=⎰21e e2t ατατα--+∞-=- 21e e 2ατατα-=1e 2ατα= 因此，()1e2R αττα-=，现在可以求得()f t 的能量谱密度，即 ()()j e d S R ωτωττ+∞--∞=⎰j 1e e d 2ατωττα+∞---∞=⎰()()0j j 01e d e d 2αωταωτττα+∞--+-∞⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()()j j 0111e e 2j j 0αωταωτααωαω--+⎡⎤+∞=+⎢⎥--∞-+⎣⎦1112j j ααωαω⎡⎤=+⎢⎥-+⎣⎦221αω=+ 1－51．求微分方程()()(),()x t x t t t δ'+=-∞<<+∞的解. 分析：求解微分、积分方程的步骤：1）对微分、积分方程取Fourier 变换得象函数的代数方程； 2）解代数方程得象函数；3）取Fourier 逆变换得象原函数（方程的解）.解：设()(),x t X ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，得 ()()j 1.X X ωωω+= 即()1.1X j ωω=+其逆变换为()0,0.e ,0tt x t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩4．求解下列积分方程： 1）()()()222210;y a b t b t aτττ+∞-∞=<<+-+⎰d 2）()222t t y τττ+∞----∞=⎰e d πe.解：1）利用卷积定理可以求解此类积分方程.显然，方程的左端是未知函数()y t 与221t a +的卷积，即()221y t t a+.设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，有()222211y t t a t b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥*+⎢⎥⎣⎦⎣+⎦F F即()222211y t t a t b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎣⎦⎢+⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+F F F 易知：220cos 2tt βωωβωβ+∞-=+⎰πd e ，有()222211t tY t t t a t bωωω+∞+∞---∞-∞⋅=++⎰⎰j j e d e d 即()222200cos cos 22tt Y t t t a t b ωωω+∞+∞⋅=++⎰⎰d d所以()()22b b a a a b Y b aωωωω----==πee πe由上可知222201cos π2d e a t t t a t a a ωω+∞-⎡⎤=⎢⎦=⎥++⎣⎰F ，()()-1b a a y t e b ω--⎥=⎡⎤⎢⎣⎦F()-1-b a a b a b b a ω--=⋅-⎡⎤⎢⎥⎣⎦F πe π()()22--a b a b t b a =⎡⎤+⎣⎦π.2）设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换，同理可得()22e 2πe t t y t --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎥⎦F F利用钟形脉冲函数的Fourier 变换224e eπt A A ωβββ--⎡⎤=⎣⎦F 及由Fourier 变换的定义可求得：222e tβββω-⎡⎤=⎣⎦+F ，从而 ()22e 2πe t ty t --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎥⎦F F F 即()()2222222121Y ωωωωω--==++πe πe()22222ωωω--=-πeπj e从而()()222-1-122y t ωωω--⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦πe πj e F F ，其中，记()22ef t ω-⎡⎤=⎣⎦F ，则()222πet f t -=，上式中第二项可利用微分性质()()()()2222f t f t ωωω-''⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F j j e，则()()2222-12222t f t t ωω--⎡⎤⎛⎫''== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭F πd j e e d 2222t-=πe 因此()2222222t t y t --=⋅-πeπeππ222221t t -⎛⎫=- ⎪⎭e π.5.求下列微分方程的解()x t ：()()()()d ax t b x f t ch t τττ+∞-∞'+-=⎰其中()(),f t h t 为已知函数，,,a b c 均为已知常数.解：设()()()()()(),,.f t F h t H x t X ωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦F F F 对方程两边取Fourier 变换，可得()()()()j a X bX F cH ωωωωω+= 即()()(),j cH X a bF ωωωω=+从而()()()()-1.12tcH X a bF x t ωωωωωω+∞-∞⎡⎤==⎣⎦+⎰Fj πe d j 2－11．求下列函数的Laplace 变换，并给出其收敛域，再用查表的方法来验证结果.1)()sin 2tf t =.分析：用Laplace 变换的定义解题.解： j j 22001sin sin d d 222j e e e st s t s t t t t t ⎛⎫⎛⎫+∞+∞--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭-⎰⎰L ()21112Re()0j j 2j 4122s s s s ⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦>. 2)()2e t f t -=.解：()()d d Re()e e eett sts tt t s s >-2222012+∞+∞----+⎡⎤===⎣⎦+⎰⎰L . 3)()2f t t =. 解：2220000112e d d(e )2e d e st stst st t t t t s s t tt -+∞+∞+∞--+∞-⎡⎤⎡⎤==-=--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰L ∣()022300222d(e )e e d Re()0stst st t t t s sss+∞+∞--+∞-⎡⎤=-=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰∣ >.4)()sin cos f t t t =.解：[]0sin cos sin cos e d st t t t t t +∞-=⎰L01sin 2e d 2stt t +∞-=⎰ 22121244s s =⋅=++. 7)()2cos f t t =.解：22001cos 2cos cos e d e d 2ststt t t t t +∞+∞--+⎡⎤==⎣⎦⎰⎰L ()()2j 2j 001111cos 2e d e e d 2224s t s t st t t t s s +∞+∞--+-⎡⎤=+=++⎣⎦⎰⎰ ()2211112242j 2j 4s s s s s s ⎡⎤+=++=⎢⎥-++⎣⎦. 2．求下列函数的Laplace 变换：1)()3,021,2 4.0,4t f t t t ⎧≤<⎪=-≤<⎨⎪≥⎩解： ()()24002d 3d d e e e stststf t f t t t t +∞---⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰⎰L()∣∣24240231134.e e e e st st s ss s s----=-+=-+2)()π3,2.πcos ,2t f t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩解：()()π2π02e d 3e d cos e d stst stf t f t t t t t +∞+∞---⎡⎤==+⎣⎦⎰⎰⎰L ()()()∣∣j j πj -j π22ππ0223e e 31e e d 122j j e e e s t s t t t s st st t s s s s --++∞+∞---⎛⎫+⎛⎫ ⎪=-+=-++ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎰()()()()ππj j πππ222222313111e e Re()02j j 1e e e s s s ss s s s s s s -+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+-=--> ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎪⎝⎭⎝⎭3) ()()2e 5δt f t t =+解：()()()()220005δe d d 5δe d e et s tst st f t t t t t t +∞+∞+∞---⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰L()0115e 5Re()222st t s s s -==+=+>--∣. 4)()()()cos δsin f t t t t u t =⋅-⋅ 解：()()()()()0δcos sin e d δcos e d sin e d st st st f t t t u t t t t t t t t+∞+∞+∞---⎡⎤=-=-⎣⎦⎰⎰⎰L()()()∣∣∣j j j 000011cos e e d 12j 2j j j e e ees tj s tttststt t t s s--++∞+∞+∞---=⎡⎤⎢⎥=--=-+-+⎢⎥⎣⎦⎰ ()222111111Re()2j j j 11s s s s s s ⎛⎫=---=-= ⎪+-++⎝⎭>0. 2－2 1．求下列函数的Laplace 变换式： 1）()232f t t t =++.解:由[]2132!1232132m m m t s s s s st t +⎡⎤⎡⎤==++=++⎣⎦⎣⎦及有L L L .2)()1e t f t t =-. 解：[]()()1111,e e t tt t t s ss s --⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎣⎦222+1-1L L,L 1-.3)()()21e t f t t =-. 解：()22-1e e 2e e t t t tt t t ⎡⎤⎡⎤=-+⎣⎦⎣⎦L L ()()()232322145.-1-1-1s s s s s s -+=-+=-1 5）()cos f t t at =. 解: 由微分性质有:[][]()2222222d d cos cos d d s s a t at at s s s a s a -⎛⎫=-=-= ⎪+⎝⎭+L L 6) ()5sin23cos2f t t t =- 解:已知[][]2222sin ,cos st t s s ωωωωω==++L L ,则 []522222103sin 23cos 253444s t t s s s --=-=+++L 8)()4e cos4t f t t -=. 解: 由[]2cos 416t s +s=L 及位移性质有 42cos 4416e ts t s -⎡⎤=⎣⎦++4（＋）L . 3．若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，证明（象函数的微分性质）:()()()()()1,Re nn nF s t f t s c ⎡⎤=->⎣⎦L特别地，()()tf t F s '⎡⎤=-⎣⎦L ，或()()11f t F s t-'⎡⎤=-⎣⎦L ，并利用此结论计算下列各式：1）()3e sin2t f t t t -=，求()F s . 解：()()()322sin 224ett s s ωωω-===++22+3+3L,()()()()()32222343d 2sin 2d 444e ts s t st s s s -⎡⎤⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤+⎢⎥++⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦222+3+3+3L2)()30e sin 2d tt f t t t t -=⎰，求()F s .解：()0332112sin 2d sin 234e e t t t t t t ss s --⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦++⎰L L ,()()()02322222312132sin 2d 3434e t t s s t t t s s s s -'⎛⎫++ ⎪⎡⎤=-=⎢⎥ ⎪⎣⎦⎡⎤⎡⎤ ⎪++++⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎰L 3)()1ln1s F s s +=-，求()f t . 解:()1ln,1s F s s +=-()(),F s f t ⎡⎤=⎣⎦令-1L()()()()()()'211111ee ttF s tf t tf t s s s -=-=-=-=-=--+-2L L L故 ()()-12sinh tF s f t t⎡⎤==⎣⎦L. 4．若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，证明（象函数的积分性质）:()()d s f t F s s t ∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L ，或()()1d s f t t F s s ∞-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L并利用此结论计算下列各式：1)()sin ktf t t=，求()F s . 解: ()2222sin kkkt s s k ωωω===++L , 222sin 1d d 1s skt k s s t s kk s k ∞∞⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰L πarctan arctan 2ss s k k∞==- 2)()3e sin 2t tf t t-=，求()F s .解:()()322e sin 234t t s -=++L ,()32e sin 22π3d arctan 2234t s t s s t s -∞⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦⎰L 2－31．设()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件（若它们的增长指数均为c ），且()()()()1212,f t f t F s F s ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦L L ，则乘积()()12f t f t ⋅的Laplace 变换一定存在，且()()()()j 1122j 1d 2πj F q F s q q f t f t ββ+∞-∞⎡⎤=-⎣⋅⎦⎰L其中(),Re .c s c ββ>>+证明：已知()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件且其增长指数均为c ，由Laplace 变换存在定理知()()12f t f t ⋅也满足Laplace 变换存在定理的条件且()()()()1212e e ct ct f t f t f t f t M M ⋅=⋅≤⋅22e ,0ct M t =≤<+∞ 表明()()12f t f t ⋅的增长指数为2c .因此()()12f t f t ⋅的Laplace 变换()()()120e d st F sf t f t t +∞-=⎰在半平面()Re 2s c >上一定存在，且右端积分在()()Re s c c ββ≥+>上绝对且一致收敛，并且在()Re 2s c >的半平面内，()F s 为解析函数.根据()()11F f t s ⎡⎤=⎣⎦L ，则()1f t 的Laplace 反演积分公式为()()11j j 1e d 2πj qt q f F q t ββ+∞-∞=⎰ 从而()()()()12120e d stf t f t f t f t t +∞-⎡⎤⎣⋅=⎦⎰L ()()j 120j e d 1e d 2πj q s t tF q q f t t ββ+∞+--∞∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰（交换积分次序）()()()1j 0j 2e 12πj d d s q t F q f t t q ββ++∞-∞∞--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()()j 12j 1d 2πj F q F s q q ββ+∞-∞=-⎰ 2．求下列函数的Laplace 逆变换（象原函数）；并用另一种方法加以验证.1）()221F s s a=+.2）()()()sF s s a s b =--.3）()()()2s cF s s a s b +=++.10）()()()2214sF s ss =++.解： 1）12211sin at s a a -⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦L. 2）()()1sa b s a s b a b s a s b ⎛⎫=- ⎪-----⎝⎭, ()()()11e e .at bt s a b s a s b a b-⎡⎤=-⎢⎥---⎣⎦L3）()()()()()222111s cc a b c F s s a s b b a s a s b b a s b +--⎡⎤==-+⋅⎢⎥++-⎣⎦++-+, 故()()()()1222e at bt s c c a b c a c e t b a s a s b b a a b ---⎡⎤⎡⎤+---⎢⎥⎢⎥=++-++--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L10）由()()()2222131414ss s s s s F s s ⎛⎫=⎪++++⎝⎭＝－，有 ()()()11cos cos 23f t F s t t -⎡⎤==-⎣⎦L. 3．求下列函数的Laplace 逆变换： 1）()()2214F s s=+.6）()221ln s F s s -=.13）()221e sF s s-+=. 解： 1）用留数计算法，由于122j,2j s s ==-均为()F s 的二级极点，所以()()()()()2112211e 2j 2j Res k s sts k F s F s s s f t --==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥===⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣-⎦+∑LL()()2222j j e e 2j 2d d lim lim d d j st s s t s s s s s →→-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎦⎣-⎣⎦+⎥ ()()()()()()2j 22244j22j 22j e e e e 2j 2j 2j 2l j im lim s s st st st st s s t t s s s s →→-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++---++⎢⎥⎢⎣⎦⎣-⎦-⎥ 2j 2j 2j 2j 8j 8j e e e e 1625616256t t t t t t --=---+ 2j 2j 2j 2j e e 1e e sin 2cos 282162j 168t t t t t t t t --+-=-+=-6）令()()()22212ln ,ln 1s F s F s s s s -'==-,()()()()112e e 211t t F s tf t s s s-'=+-=+-=-+-L L , ()()21212ln 1cosh s f t t s t -⎛⎫-==- ⎪⎝⎭L. 13）2211122221e 1e s s ss s s -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LLL ()()()21,222,02t t t t u t t t ⎧->⎪=+--=⎨≤<⎪⎩.2－41.求下列卷积：3）mt n t （,m n 为正整数）. 解：mt ()()()00d 1C d nttnknm mk n kk nk t t tττττττ-==⋅-=-∑⎰⎰()()001C d 1d C nnt tkkk n k m km kk n knn k k ttττττ-++-===-=-⋅∑∑⎰⎰ ()()()11001C 1C 11m k n k nnkk k m n k n nk k t t t m k m k ++-++==⋅=-⋅=-++++∑∑()1!!1!m n m n t m n ++=++.注:本小题可先用卷积定理求出mt n t 的Laplace 变换,再由Laplace 逆变换求出卷积6)sin kt ()sin 0kt k ≠. 解：sin kt()()001sin sin sin d cos cos 2d 2ttkt k k t kt k kt τττττ⎡⎤=-=---⎣⎦⎰⎰ ()()011cos cos 2d 224tt kt k t t k kττ=-+--⎰ ()0sin 211sin cos cos 2422tt k ktt kt t kt kkτ-=-+=-+. 7) t sinh t解：t sinh sinh t t = t ()0sinh d tt τττ=⋅-⎰()()0011e d e d 22t t t t ττττττ-=---⎰⎰ ()()()000111d(e )d(e )2e e sinh 2220t t t t t t t t t ττττττ---⎡⎤=-+-=-++-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 9)()u t a - ()()0f t a ≥ .解：()u t a - ()()()()00,d d ,tt a t a f t u a f t f t t a τττττ⎧<⎪=-⋅-=⎨-≥⎪⎩⎰⎰.10) ()δt a - ()()0f t a ≥. 解：当t a <,()δt a - ()0f t =. 当t a ≥,()δt a - ()()()0δd tf t a f t τττ=-⋅-⎰()()()()δd aa f t f t f t a τττττ+∞-∞==-⋅-=-=-⎰.2.设()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ，利用卷积定理，证明:()()0d t F s f t t s⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L。

积分变换课后答案

1-1之马矢奏春创作1．2．试证：若()f t 满足Fourier 积分定理中的条件,则有其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞-∞-∞==⎰⎰ 分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题,请读者试用三角形式证明.证明：利用Fourier 积分的复数形式,有由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以 2．求下列函数的Fourier 积分：1）()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩; 2) ()0,0;e sin 2,0tt f t t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩ 3)()0,11,101,010,1t t f t t t ⎧-∞<<-⎪--<<⎪=⎨<<⎪⎪<<+∞⎩分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以解此题,请读者试用三角形式解.解：1）函数()2221,10,1t t f t t ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为连续的偶函数,其Fourier 变换为12233sin 2cos 2sin sin 4(sin cos )2t t t t t t ωωωωωωωωωωωω⎡⎤⎛⎫-=--+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦(偶函数)f(t)的Fourier 积分为2)所给函数为连续函数,其Fourier 变换为()224252j j 1121(2)j 1(2)j 256ωωωωωω⎡⎤--⎛⎫⎣⎦=+= ⎪-+-+--+⎝⎭（实部为偶函数,虚数为奇函数）f (t)的Fourier 变换为这里用到奇偶函数的积分性质.3）所给函数有间断点-1,0,1且f(-t)= -f(t)是奇函数,其Fourier 变换为12j(cos 1)2j 1sin d 0t t ωωω-=-⋅=⎰（奇函数） f(t)的Fourier 积分为其中t ≠-1,0,1（在间断点0t 处,右边f(t)应以()()00002f t f t ++-取代）.3．求下列函数的Fourier 变换,并推证下列积分结果： 1）()e(0),tf t ββ-=>证明：22cos πd e ;02tt βωωβωβ-+∞=+⎰ 2）()e cos tf t t -=，证明：242πcos d e cos ;042tt t ωωωω-+∞+=+⎰3）sin ,π()0,πt t f t t ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,证明：2πsin ,πsin πsin 2d 010,πt t t t ωωωω⎧≤+∞⎪=⎨-⎪>⎩⎰ 证明：1）函数()e t f t β-=为连续的偶函数,其Fourier 变换为再由Fourier 变换得即2）函数()e cos t f t t -=为连续的偶函数,其Fourier 变换为再由Fourier 变换公式得即 242πcos d e cos 042tt t ωωωω-+∞+=+⎰3）给出的函数为奇函数,其Fourier 变换为故4.求函数()()e 0,0t f t t ββ-=>≥的Fourier 正弦积分表达式和Fourier 余弦积分表达式.解：根据Fourier 正弦积分公式,并用分部积分法,有根据Fourier 余弦积分公式,用分部积分法,有1-21．求矩形脉冲函数,0()0,A t f t τ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他的Fourier 变换.解：2.设()F ω是函数()f t 的Fourier 变换,证明()F ω与()f t 有相同的奇偶性.证明：()F ω与()f t 是一个Fourier 变换对,即()()j e d t F f t t ωω-+∞=-∞⎰,()()j 1e d 2πt f t F ωωω+∞=-∞⎰ 如果()F ω为奇函数,即()()F F ωω-=-,则（令u ω-=）()j 1e d 2πut F u u -∞=+∞⎰ （换积分变量u 为ω）()()j 1e d 2πt F f t ωωω+∞=-=--∞⎰所以()f t 亦为奇函数.如果()f t 为奇函数,即()()f t f t -=-,则（令t u -=）()j e d u f u u ω--∞=+∞⎰（换积分变量u 为t ）()()j e d t f t t F ωω-+∞=-=--∞⎰所以()F ω亦为奇函数.同理可证()f t 与()F ω同为偶函数.4．求函数()()e 0t f t t -=≥的Fourier 正弦变换,并推证解：由Fourier 正弦变换公式,有由Fourier 正弦逆变换公式,有由此,那时0t α=>,可得5．设()()f t F ω⎡⎤=⎣⎦F ,试证明：1）()f t 为实值函数的充要条件是()()F F ωω-=； 2）()f t 为虚值函数的充要条件是()()F F ωω-=-.证明：在一般情况下,记()()()r i f t f t f t =+j 其中()r f t 和()i f t 均为t 的实值函数,且分别为()f t 的实部与虚部. 因此其中()()()Re cos sin d r i F f t t f t t t ωωω+∞⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦-∞⎰, ()a 1）若()f t 为t 的实值函数,即()()(),0r i f t t f f t ==.此时,()a 式和()b 式分别为所以反之,若已知()()F F ωω-=,则有此即标明()F ω的实部是关于ω的偶函数；()F ω的虚部是关于ω的奇函数.因此,肯定有亦即标明()()r f t f t =为t 的实值函数.从而结论1）获证.2）若()f t 为t 的虚值函数,即()()()j ,0i r f t f f t t ==.此时,()a 式和()b 式分别为所以反之,若已知()()F F ωω-=-,则有此即标明()F ω的实部是关于ω的奇函数；()F ω的虚部是关于ω的偶函数.因此,肯定有()()()sin d j cos d i i F f t t t f t t t ωωω+∞+∞==+-∞-∞⎰⎰,亦即标明()()j i f t f t =为t 的虚值函数.从而结论2）获证.6.已知某函数的Fourier 变换sin ()F ωωω=,求该函数()f t .解：sin ()F ωωω=为连续的偶函数,由公式有但由于那时0a > 那时0a <那时0a =,sin d 0,0a ωωω+∞=⎰所以得()11211401t f t t t ⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎪>⎪⎩，，，7．已知某函数的Fourier 变换为()()()00πδδF ωωωωω⎡⎤=++-⎣⎦,求该函数()f t .解：由函数()()()00δd t t g t t g t -=,易知8．求符号函数（又称正负号函数）()1,0sgn 1,0t t t -<⎧=⎨>⎩的Fourier变换.解：容易看出()()()sgn t u t u t =--,而1[()]()πδ().j u t F ωωω=-+F 9．求函数()()()1δδδδ222aa t a t a t f t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++-+++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的Fourier 变换.解：cos cos 2aa ωω=+.10 .求函数()cos sin t f t t =的Fourier 变换. 解: 已知由()1cos sin sin 22f t t t t ==有()()()πjδ2δ22f t ωω⎡⎤⎡⎤=+--⎣⎦⎣⎦F 11.求函数()3sin f t t =的Fourier 变换.解:已知()0j 0e 2πδtωωω⎡⎤=-⎣⎦F ,由即得12.求函数()πsin 53t t f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的Fourier 变换.解: 由于故()()()()()πjδ5δ55δ52f t ωωωω⎤⎡⎤⎡⎤=+--+++-⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦F .14.证明：若()()j e t F ϕω⎡⎤=⎣⎦F ,其中()t ϕ为一实数,则其中()F ω-为()F ω的共轭函数.证明：因为 ()()j j e e d t t F t ϕωω+∞--∞=⋅⎰()()()()()()j j j j 1e eed cose d cos 22t t tt F F t t t t ϕϕωωωωϕϕ-+∞+∞---∞-∞+⎡⎤⎡⎤+-===⎣⎦⎣⎦⎰⎰F同理可证另一等式.17．求作如图的锯齿形波的频谱图.（图形见教科书）.解：02π,T ω=()1,00,ht t Tf t T ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他1－31．若1122()[()],()[()],F f t F f t ωω== F F ,αβ是常数,证明（线性性质）：分析：根据Fourier 变换的界说很容易证明. 证明：根据Fourier 变换与逆变换的公式分别有6．若()[()]F f t ω= F ,证明（翻转性质）：()[()]F f t ω-=- F 分析：根据Fourier 变换的界说,再进行变量代换即可证明. 证明：()[()]t f t f t t ω+∞--∞-=-⎰F j e d（令t u -=）()()u f u u ω+∞---∞=⎰j e d （换u 为t ）()()t f t t ω+∞---∞=⎰j e d 9．设函数()1,10,1t f t t ⎧<⎪=⎨>⎪⎩,利用对称性质,证明：π ,1sin .0,1t t ωω⎧<⎪⎡⎤=⎨⎢⎥>⎣⎦⎪⎩F 证明：()[()]tf t f t t ω+∞--∞=⎰F j ed 11t t ω--=⎰j e d由对称性质：()[()]f t F ω= F ,则()[()]2,F t f ω=-F π有12．利用能量积分()()2212f t t F ωω+∞+∞-∞-∞⎡⎤=⎣⎦⎰⎰d d π,求下列积分的值：1）21cos xx x +∞-∞-⎰d ； 2）42sin x x x +∞-∞⎰d ；3）()2211x x +∞-∞+⎰d ；4）()2221x x x +∞-∞+⎰d .解：1）2222sin 1cos 2xxx x xx +∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d（令2xt =）2sin t t t +∞-∞⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰d 2）()22422sin 1cos sin x x xx x x x+∞+∞-∞-∞-=⎰⎰d d 3）()22221111x t t x +∞+∞-∞-∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭+⎰⎰d d 221121t ω+∞-∞⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦⎰F d π,其中从而4）()()2222221111x x x x x x +∞+∞-∞-∞+-=++⎰⎰d d ()2221111x x x x +∞+∞-∞-∞=-++⎰⎰d d 1－41.证明下列各式：2）()1f t ()()()()()23123f t f t f t f t f t ⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦；6）()()()()()()121212d dd;d d d f t f t f tf t f t f t t t t ⎡⎤==⎣⎦ 10)()()()d t f t u t f ττ-∞=⎰分析：根据卷积的界说证明.证明： 2)()()()123f t f t f t ⎡⎤⎣⎦()()()123d f f t f t ττττ+∞-∞⎡⎤=--⎣⎦⎰6）()()()()1212dd d d d f t f t f f t t t τττ+∞-∞⎡⎤⎡⎤=⋅-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰()()()()1212ddd d d f f t f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=⋅-=⎣⎦⎰, ()()()()1212d d d d d f t f f t f t t t τττ+∞-∞⎡⎤=-⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.10)()()()()d f t u t f u t τττ+∞-∞=-⎰()1,0,t u t t τττ⎛⎫⎧<⎪-= ⎪⎨ ⎪>⎪⎩⎝⎭()d t f ττ-∞=⎰. 2．若()()()()12e ,sin t f t u t f t tu t α-==,求()()12f t f t .注意：不能随意调换()1f t 和()2f t 的位置. 解：由()()1e ,0e 0,0t tt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩,()()2sin ,0sin 0,0t t f t tu t t >⎧==⎨<⎩,所以 ()()()()1221f t f t f t f t =()()21d f f t τττ+∞-∞=-⎰要确定()()210f f t ττ-≠的区间,采纳解不等式组的方法.因为()()210,0;0,0f t f t ττττ>≠->-≠.即必需满足 00t ττ>⎧⎨->⎩, 即0tττ>⎧⎨<⎩, 因此（分部积分法）()2e sin cos e10ttατααττα-⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦ 4 .若()()()()1122,F f t F f t ωω⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F ,证明: 证明:()()()()121211d 2π2πF F F u F u u ωωω+∞-∞=⋅-⎰ 5.求下列函数的Fourier 变换： 1）()()0sin f t t u t ω=⋅； 2）()()0e sin t f t t u t βω-=⋅； 5）()()0j 0e t f t u t t ω=-；解: 1）已知()()1πδj u t ωω⎡⎤=+⎣⎦F ,又()()()()()00j j 01sin e e 2jtt f t t u t u t u t ωωω-=⋅=-.由位移性质有()()000220πδδ2j ωωωωωωω⎡⎤=--+-⎣⎦-. 2）由Fourier 变换的界说,有5）利用位移性质及()u t 的Fourier 变换,有再由象函数的位移性质,有7．已知某信号的相关函数()21e 4a R ττ-=,求它的能量谱密度()S ω,其中0a >.解由界说知9．求函数()()()e ,0t f t u t αα-=>的能量谱密度. 解: 因为()()e ,0e0,0t tt f t u t t αα--⎧>⎪==⎨<⎪⎩,那时0τ>,()()0f t f t τ+≠的区间为()0,+∞,所以那时0τ<,()()0f t f t τ+≠的区间为(),τ-+∞,所以因此,()1e 2R αττα-=,现在可以求得()f t 的能量谱密度,即1－51．求微分方程()()(),()x t x t t t δ'+=-∞<<+∞的解. 分析：求解微分、积分方程的步伐：1）对微分、积分方程取Fourier 变换得象函数的代数方程；2）解代数方程得象函数；3）取Fourier 逆变换得象原函数（方程的解）. 解：设()(),x t X ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换,得即其逆变换为()0,0.e ,0tt x t t -⎧<⎪=⎨≥⎪⎩4．求解下列积分方程： 1）()()()222210;y a b t b t aτττ+∞-∞=<<+-+⎰d 2）()222t t y τττ+∞----∞=⎰e d πe .解：1）利用卷积定理可以求解此类积分方程.显然,方程的左端是未知函数()y t 与221t a +的卷积,即()221y t t a +.设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换,有即易知：220cos 2tt βωωβωβ+∞-=+⎰πd e ,有即所以()()22b b a a a b Y b aωωωω----==πee πe由上可知222201cos π2d e a t t t a t a a ωω+∞-⎡⎤=⎢⎦=⎥++⎣⎰F , ()()22--a b a b t b a =⎡⎤+⎣⎦π.2）设()(),y t Y ω⎡⎤=⎣⎦F 对方程两边取Fourier 变换,同理可得利用钟形脉冲函数的Fourier 变换224e e t A ωββ--⎡⎤=⎣⎦F 及由Fourier 变换的界说可求得：222e tβββω-⎡⎤=⎣⎦+F ,从而即从而()()222-1-122y t ωωω--⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦πe πj e F F , 其中,记()22ef t ω-⎡⎤=⎣⎦F ,则()22t f t -=,上式中第二项可利用微分性质()()()()2222f t f t ωωω-''⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦F F j j e ,则因此()22222t t y t --=-π22221t t -⎫=-⎪⎭e .5.求下列微分方程的解()x t ：其中()(),f t h t 为已知函数,,,a b c 均为已知常数.解：设()()()()()(),,.f t F h t H x t X ωωω⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎣⎦F F F 对方程两边取Fourier 变换,可得即从而2－11．求下列函数的Laplace 变换,并给出其收敛域,再用查表的方法来验证结果.1)()sin 2t f t =.分析：用Laplace 变换的界说解题.解： j j 22001sin sin d d 222j e e e st s t s t t t t t ⎛⎫⎛⎫+∞+∞--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎡⎤==+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭-⎰⎰L()21112Re()0j j 2j 4122s s s s ⎡⎤⎢⎥=-=⎢⎥+⎢⎥-+⎣⎦>. 2)()2e t f t -=.解：()()d d Re()e e eett sts tt t s s >-2222012+∞+∞----+⎡⎤===⎣⎦+⎰⎰L . 3)()2f t t =. 解：2220000112e d d(e )2e d e st stst st t t t t s s t tt -+∞+∞+∞--+∞-⎡⎤⎡⎤==-=--⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰L ∣()022300222d(e )e e d Re()0st st st t t t s s ss +∞+∞--+∞-⎡⎤=-=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰∣ >. 4)()sin cos f t t t =.解：[]0sin cos sin cos e d st t t t t t +∞-=⎰L22121244s s =⋅=++. 7)()2cos f t t =.解：22001cos 2cos cos e d e d 2ststt t t t t +∞+∞--+⎡⎤==⎣⎦⎰⎰L ()2211112242j 2j 4s s s s s s ⎡⎤+=++=⎢⎥-++⎣⎦. 2．求下列函数的Laplace 变换：1)()3,021,2 4.0,4t f t t t ⎧≤<⎪=-≤<⎨⎪≥⎩解： ()()2402d 3d d e e e st st stf t f t t t t +∞---⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰⎰L 2)()π3,2.πcos ,2t f t t t ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩解：()()π2π02e d 3e d cos e d stst stf t f t t t t t +∞+∞---⎡⎤==+⎣⎦⎰⎰⎰L ()()()()ππj j πππ222222313111e e Re()02j j 1e e e s s s ss s s s s s s -+----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+-=--> ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎪⎝⎭⎝⎭3) ()()2e 5δt f t t =+解：()()()()220005δe d d 5δe d e et s tst st f t t t t t t +∞+∞+∞---⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰L()0115e 5Re()222st t s s s -==+=+>--∣. 4)()()()cos δsin f t t t t u t =⋅-⋅ 解：()()()∣∣∣j j j 00011cos e e d 12j 2j j j e e ees t j s tttst st t t t s s--++∞+∞+∞---=⎡⎤⎢⎥=--=-+-+⎢⎥⎣⎦⎰()222111111Re()2j j j 11s s s s s s ⎛⎫=---=-= ⎪+-++⎝⎭>0. 2－21．求下列函数的Laplace 变换式： 1）()232f t t t =++.解:由[]2132!1232132mm m t s ss s s t t +⎡⎤⎡⎤==++=++⎣⎦⎣⎦及有L L L .2)()1e t f t t =-. 解：[]()()1111,e e t tt t t s ss s --⎡⎤⎡⎤===-⎣⎦⎣⎦222+1-1L L,L 1-.3)()()21e t f t t =-. 解：5）()cos f t t at =. 解: 由微分性质有: 6) ()5sin23cos2f t t t =- 解:已知[][]2222sin ,cos st t s s ωωωωω==++L L ,则 8)()4e cos4t f t t -=.解: 由[]2cos 416t s +s=L 及位移性质有 42cos4416e ts t s -⎡⎤=⎣⎦++4（＋）L . 3．若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ,证明（象函数的微分性质）:特别地,()()tf t F s '⎡⎤=-⎣⎦L ,或()()11f t F s t-'⎡⎤=-⎣⎦L ,并利用此结论计算下列各式：1）()3e sin2t f t t t -=,求()F s . 解：()()()322sin 224ett s s ωωω-===++22+3+3L,2)()30e sin 2d tt f t t t t -=⎰,求()F s .解：()0332112sin 2d sin 234e e t t t t t t ss s --⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎣⎦⎣⎦++⎰L L ,3)()1ln1s F s s +=-,求()f t . 解:()1ln,1s F s s +=-()(),F s f t ⎡⎤=⎣⎦令-1L故 ()()-12sinh t F s f t t⎡⎤==⎣⎦L . 4．若()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ,证明（象函数的积分性质）:()()d s f t F s s t ∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L ,或()()1d s f t t F s s ∞-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L并利用此结论计算下列各式：1)()sin ktf t t=,求()F s . 解: ()2222sin kkkt s s k ωωω===++L , 2)()3e sin 2t t f t t-=,求()F s .解:()()322e sin 234t t s -=++L ,2－31．设()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件（若它们的增长指数均为c ）,且()()()()1212,f t f t F s F s ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦L L ,则乘积()()12f t f t ⋅的Laplace 变换一定存在,且其中(),Re .c s c ββ>>+证明：已知()()12,f t f t 均满足Laplace 变换存在定理的条件且其增长指数均为c ,由Laplace 变换存在定理知()()12f t f t ⋅也满足Laplace 变换存在定理的条件且标明()()12f t f t ⋅的增长指数为2c .因此()()12f t f t ⋅的Laplace 变换在半平面()Re 2s c >上一定存在,且右端积分在()()Re s c c ββ≥+>上绝对且一致收敛,而且在()Re 2s c >的半平面内,()F s 为解析函数.根据()()11F f t s ⎡⎤=⎣⎦L ,则()1f t 的Laplace 反演积分公式为从而（交换积分次第）()()()1j 0j 2e 12πj d d s q t F q f t t q ββ++∞-∞∞--⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 2．求下列函数的Laplace 逆变换（象原函数）；并用另一种方法加以验证.1）()221F s s a=+. 2）()()()sF s s a s b =--. 3）()()()2s cF s s a s b +=++. 10）()()()2214sF s ss =++.解： 1）12211sin at s a a-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦L . 2）()()1sa b s a s b a b s a s b ⎛⎫=- ⎪-----⎝⎭, 3）()()()()()222111s cc a b c F s s a s b b a s a s b b a s b +--⎡⎤==-+⋅⎢⎥++-⎣⎦++-+, 故10）由()()()2222131414ss s s s s F s s ⎛⎫=⎪++++⎝⎭＝－,有()()()11cos cos 23f t F s t t -⎡⎤==-⎣⎦L.3．求下列函数的Laplace 逆变换： 1）()()2214F s s=+.6）()221ln s F s s -=.13）()221e sF s s-+=.解： 1）用留数计算法,由于122j,2j s s ==-均为()F s 的二级极点, 所以6）令()()()22212ln ,ln 1s F s F s s s s -'==-,()()()()112e e 211t t F s tf t s s s-'=+-=+-=-+-L L , ()()21212ln 1cosh s f t t s t -⎛⎫-==- ⎪⎝⎭L. 13）2211122221e 1e s s ss s s -----⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦LLL ()()()21,222,02t t t t u t t t ⎧->⎪=+--=⎨≤<⎪⎩.2－41.求下列卷积：3）m t n t （,m n 为正整数）. 解：mt ()()()000d 1C d nttnknmmk n k k n k t t t ττττττ-==⋅-=-∑⎰⎰()1!!1!m n m n t m n ++=++.注:本小题可先用卷积定理求出m t n t 的Laplace 变换,再由Laplace 逆变换求出卷积6)sin kt ()sin 0kt k ≠.解：sin kt ()()001sin sin sin d cos cos 2d 2ttkt k k t kt k kt τττττ⎡⎤=-=---⎣⎦⎰⎰ ()0sin 211sin cos cos 2422tt k ktt kt t kt kkτ-=-+=-+. 7) t sinh t解：t sinh sinh t t =t ()0sinh d tt τττ=⋅-⎰()()()000111d(e )d(e )2e e sinh 2220t t t t t t t t t ττττττ---⎡⎤=-+-=-++-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 9)()u t a -()()0f t a ≥ .解：()u t a -()()()()00,d d ,tt a t a f t u a f t f t t a τττττ⎧<⎪=-⋅-=⎨-≥⎪⎩⎰⎰.10)()δt a -()()0f t a ≥. 解：当t a <,()δt a -()0f t =. 当t a ≥,()()()()δd aa f t f t f t a τττττ+∞-∞==-⋅-=-=-⎰.2.设()()f t F s ⎡⎤=⎣⎦L ,利用卷积定理,证明:()()0d t F s f t t s⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰L证明：()()()()()1f t u t f t u t F s s⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅=⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L L ,()()()()()()000d d d t t tf t u t u f t f t f t t τττττ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰L L L L 3.利用卷积定理,证明:()2221sin 2s a at a s t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥+⎣⎦L. 证明：()()22222221ss F s s a s asa ==⋅+++,由有2-51.求下列常系数微分方程的解： 1）()2e ,00t y y y '-==；8）()()()331,0000y y y y y y y '''''''''+++====； 12）()()()()()420,0000,01y y y y y y y ''''''''++=====；16）()π10sin 2,00,12y y t y y ⎛⎫''+=== ⎪⎝⎭.分析：解题步伐,首先取Laplace 变换将微分方程化为象函数的代数方程, 解代数方程求出象函数, 再取Laplace 逆变换得最后的解.解：1）方程两边取Laplace 变换,并结合初始条件可得即()()()1112121Y s s s s s ==-----. 从而方程的解为8）对方程两边取Laplace 变换,并结合初始条件,有即由留数计算法,由于10s =是()Y s 的一个一级极点,21s =-是()Y s 的一个三级极点,从而方程的解为2111e 2t t t -⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭. 12）对方程两边取Laplace 变换,并结合初始条件,有即从而方程的解为()()11cos sin sin 2y t Y s t t t t -⎡⎤==*=⎣⎦L . 16）对方程两边取Laplace 变换,并结合初始条件,有即()()()()222020114y Y s s s s '=++++()222020113141y s s s '⎛⎫=-+ ⎪+++⎝⎭,从而 ()()()12010sin sin 20sin 33y t Y s t t y t -'⎡⎤==-+⎣⎦L . 为了确定()0y ',将条件π12y ⎛⎫= ⎪⎝⎭代入上式可得()1703y '=-,所以方程的解为2.求下列变系数微分方程的解：1）()()40,03,00ty y ty y y ''''++===；3）()()()2120,02ty t y t y y '''+-+-==；5）()()()()10,000,0ty n y y y y n ''''+-+===≥.解: 1）方程两边取Laplace 变换,有即[][][]40ty y ty '''++=L L L ,亦即从而()()2d 40d Y s sY s s++= 两边积分可得()211ln ln 42Y s c ++=或()Y s =取其逆变换,有欲求c ,可由条件()03y =获得,即()()0003y cJ c ===,所以方程的解为其中()()()2001!12kkk x J x k k ∞=-⎛⎫= ⎪Γ+⎝⎭∑称为零阶第一类Bessel 函数. 3）方程两边取Laplace 变换,有整理化简后可得即这是一阶线性非齐次微分方程,这里所以从而方程的解为()()132e e 3!t t c y t Y s t ---⎡⎤==+⎣⎦L ()312e t c t -=+（1c 为任意常数） 5）方程两边取Laplace 变换,有即整理化简后可得两边积分可得即从而方程的解为()(2n n y t ct J =（c 为任意常数）其中n J 称为n 阶第一类Bessel 函数.3.求下列积分方程的解：1）()()()0sin d t y t at t y τττ=+-⎰；3）()()0d 16sin4t y y t t τττ-=⎰；5）()()20d e t t y y t t τττ--=⎰.解:1）显然,原方程可写为两边取Laplace 变换,并利用卷积定理,有所以从而方程的解为3）原方程可写为两边取Laplace 变换,并利用卷积定理,有即取其Laplace 逆变换,有()()()1084y t Y s J t -⎡⎤==±⎣⎦L ,即标明()()084y t J t =及()()084y t J t =-均为所求.这里,0J 为零阶第一类Bessel 函数.5）原方程可写为两边取Laplace 变换,并利用卷积定理,有所以从而方程的解为()()12t t y t Y s ---⎛⎫⎡⎤==±=± ⎪⎣⎦ ⎪⎝⎭L ,即()t y t -=及()t y t -=-均为所求. 4.求下列微分积分方程的解：1）()()()()0cos d ,01t y t y t y τττ'-==⎰；3）()()()()()022d ,02t y t y t y u t b y ττ'++=-=-⎰； 5）()()()()30144d ,003t y t y t y t y ττ'-+==⎰；解:1）原方程可写为两边取Laplace 变换,得即从而方程的解为3）利用微分性质与积分性质,对方程两边取Laplace 变换,有即利用延迟性质,方程的解为5）利用微分性质与积分性质,对方程两边取Laplace 变换,有即方程的解为5．求下列微分、积分方程组的解：1）e ,322e t t x x y y x y '⎧+-=⎪⎨'+-=⎪⎩()()001x y ==； 4）()()()()()()0,01,0,000;0,000x x y z x x y y z y z x x y z z y z ''⎧-++==⎪'''+-+===⎨⎪''''++-===⎩8）()02d 0,4et t x x y x x y ττ-⎧'''++=⎪⎨⎪'''-+=⎩⎰()()00,0 1.x x '==-解：1）对方程组的两个方程两边分别取Laplace 变换,有即解之可得取其逆变换,可得方程组的解为4）对方程组的三个方程两边分别取Laplace 变换,有解之可得（注意：后两个方程标明()()Y s Z s =且()()2X s s Y s =-）取其逆变换,可得解为8）对方程组的两个方程两边分别取Laplace 变换,有即消去()Y s ,可得即将()X s 的结果代入得化简得取其逆变换,可得方程组的解为7．设在原点处质量为m 的一质点在0t =时在x 方向上受到冲击力()k t δ的作用,其中k 为常数,假定质点的初速度为零,求其运动规律.解:由题意知,在t 时刻质点m 处于x 轴正向的点()x t 处,其运动速度为()x t ',而加速度为()x t '',且有初始条件()()000x x '==.根据Newton 定律,该质点的运动规律归结为下述微分方程的初值问题：方程两边取Laplace 变换,且记()()x t X s ⎡⎤=⎣⎦L ,则即()2kX s ms =,从而方程的解（即质点的运动规律）为11．某系统的激励()sin x t t =,当系统响应()e cos sin t y t t t -=-+时,求1）系统的传递函数()G s ；2）系统的脉冲响应函数()g t ；3）系统的频率响应函数()j G ω. 解:1）由传递函数的界说知2)由脉冲响应函数的界说知3)当系统的传递函数()G s 中s 取j ω时,则获得系统的频率响应函数,即。

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2-3 第三节 拉普拉斯变换

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