一维射影变换
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例2.在如图所示的Pappus构图中, Pappus线p分别交 l1,l2于P1,P2, 且l1,l2交于点O. 求证：在由A1A2, B1B2, C1C2所确定的l1(P)与l2(P)的射影对应下, OP2, P1O. 证明 C1C2p=T. 反思1 直接套用定理
§ 6.1 一维基本形的射影对应
即A, A'; B, B'; X, X, 从而=f. 于是P'=P''. 即f是透视对 应.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
注：由定理2.3想到 证诸点共线 证其为某两透视线束对应直线的交点.
证诸线共点
证其为某两透视点列对应点的连线.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
三、射影对应成为透视对应的条件 例1 (Pappus定理)在共面的相异二直线li上各取相异 三点Ai, Bi, Ci(i=1,2). 设
三、射影对应成为透视对应的条件 定理2.3 两个同类的一维基本形之间 的射影对应成为透视对应公共元素自 对应. 证明 由对偶原则, 只要考虑点列.
“” 设点列l(P)与l'(P')透视对应, S为透视中心, l l'=X. 由于直线SX交l, l'于同一点X, 所以X自对应.
“” 设f: l(P)→ l'(P')为射影对应, 使得f(X)=X. 设 f(P)=P'.
§ 6.2 一维射影变换
定理2.1 若一个一维射影变换f 使得其一对对应元素 相互对应, 则f 必为对合. 证明 设一维基本形的射影变换 f : [][]由其相异 的三对对应元素PiPi'(i=1,2,3)确定. 则有
f : (P 1, P 2, P 3 ,...)
' ' ' (P , P , P 1 2 3 ,...)
[]
[ '].
§ 6.1 一维基本形的射影对应
2. Steiner定义 如果两个一维基本形之间的一个对 应 :[] [ '] 满足 (1) 为一个双射；
(2) 使得任意四对对应元素的交比相等,
则称为[]到[']的一个一维射影对应, 记作
[ ] [ '].
§ 6.1 一维基本形的射影对应
§ 6.1 一维基本形的射影对应
在l(P)上取异于X的两相异点A, B. 设f(A)=A', f(B)=B'. 则A', B'相异且不同于X. 设AA' BB'=S, 并设 SP l'=P''. 设是以S为透视中心l(P), l‘(P’)间的透视对应. 则因为射影对应与f有相异的三对对应点重合,
§ 6.1 一维基本形的射影对应
例3. 如果三点形ABC的边CB, CA, AB分别通过在同 一直线上的三点P, Q, R, 又顶点B, C各在一条定直线上. 求证：顶点A也在一条定直线上. 证明 显然,
(B,B1,B2,…) 于是, R(B,B1,B2,…)
(P )
(C,C1,C2,…) Q(C,C1,C2,…)
注 (1) 对合f是特殊的射影变换, 满足f i但是 f 2=i f = f –1.
(2) f = f –1 X[], 都有f(X)= f–1(X)[].
§ 6.2一维射影变换
二、一维基本形的对合
设为[]上的一个射影变换, 则[]上的每一个元素都 关于具有“双重身份”. 即 (1) P[], P'[] (P)=P'[]; (2) P[], Q[] (Q)=P[], 即Q=–1(P). 若为对合, 则Q=P', 即“双重身份”一致.
(O, C1, B1, A1)
(B2, C1, L, E)
§ 6.1 一维基本形的射影对应
三、射影对应成为透视对应的条件
注1 请认真体会证明中灵活应用截 与连的思想方法.
Pappus线
注2 Pappus构图：9个点、9条直线, 在每条直线上有 3个点；经过每个点有3条直线.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
§ 6.1 一维基本形的射影对应
(4) Steiner作图法 已知两点列间射影对应的三对相异 的对应元素, 求作任一元素的对应元素.
(5) 思考：将(4)中 “点列” 改为 “一维基本形”. (6) 定理2.2 两个一维基本形间的射影对应可由已知相 异的三对对应元素唯一确定.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
l1(A1,B1,C1,O) (C2) p(M,L,T,P2)(C1) l2(A2,B2,C2,P2) l1(A1,B1,C1,P1)(C2) p(M,L,T,P1)(C1) l2(A2,B2,C2,O)
OP2. P1O.
源自文库
反思2 只有当l1(A1,B1,C1,…)与l2(A2,B2,C2,…)成透视 对应时, Pappus线经过l1与l2的交点O.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
二、一维基本形射影对应的综合法定义
1. Poncelet定义 设[], [']为两个一维基本形. 若存在n个一维基本 形[i] (i=1,2,…,n), 使得
[]
[1 ]
…
[ n ]
[ ']
则称由此决定的[]到[']的对应为一个一维射影对应, 记作
§ 6.1 一维基本形的射影对应
(3). 线束↔线束. 对应直线交点共线.
S (a, b, c,...)
(s)
S ' (a' , b' , c' ,...)
透视轴
注
(1)透视关系具有对称性，但它不具有传递性. (2) 透视对应是一个保交比的双射. (3) 连续两次透视对应的结果不一定仍是透视对应 .
§ 6.1 一维基本形的射影对应
连 Q1Q2=m. 连P0'P交m于Q,
连P0Q交l于P'', 设P0P'0交m于Q0, 则
(P0 P1, P2 P) (P0 ' P1' , P2 ' P' ).
l (P0 , P1, P2 , P)
(P0')
m(Q0 , Q1, Q2 , Q)
(P0)
l ' (P0 ' , P1 ' , P2 ' , P' ' )
§ 6.1 一维基本形的射影对应
一、透视对应(中心射影)
定义 以下三种对应称为一维基本形之间的透视对应
(1). 点列↔线束. 对应元素是关 联的.
s( A, B, C ,...) S (a, b, c,...)
透视中心
(2). 点列↔点列. 对应点连线共点.
s( A, B, C ,...)
(S)
s' ( A' , B' , C' ,...)
A恰为上述两射影点列对应直线 的交点.
问题 如何找公共元素, 说明上述两射影点列成透 视对应?
§ 6.2 一维射影变换
一、一维射影变换 定义2.1一个一维基本形到自身的射影对应称为一维 射影变换. 即若 : [] ['], 且[]=[']. 则称为一维基本形[]上 的一个 一维射影变换.
' ' f : (P , P , P , P 1 1 2 2, P 3 ,...)
' ' ' (P , P , P , P , P 1 1 2 2 3 ,...)
即P2, P2'也相互对应. 同理, 任意一对对应元素相互对应, f 为对合.
设f (P2')=Q. 来证Q=P2. 因为
f : (P 1, P , P 2, P , P 3 ,...)
' 1
' 2
(P , P 1 , P , Q, P ,...)
Q P2 .
' 1
' 2
' 3
' ' ' ' ' ' (P P , P P ) ( P P , P Q ) ( P P , QP 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2)
是特殊的射影对应.
§ 6.2 一维射影变换
一、一维射影变换
据Steiner作图法, 一个一维射影变换可由不超过3次 透视对应得到.
此时, []上的每一个元素都具有“双重身份”. 即 (1) P[], P'[] (P)=P'[]; (2) P[], Q[] (Q)=P[].
设P1, P1'在f 下相互对应, 即
' ' ' ' ( P , P , P , P f : (P , P , P , P ,...) 1 1 2 3 ,...) 1 1 2 3
' ' ' ' (PP , P P ) ( P P , P 1 1 2 3 1 1 2P 3)
(2.19)
§ 6.2 一维射影变换
l (P0 , P1, P2 , P)
l ' (P0 ' , P1 ' , P2 ' , P' ' )
§ 6.1 一维基本形的射影对应
注：对本定理的进一步思考. (1) 利用截的方法, 可证两个线束的 情况. 也可证明一个点列与一个线束 的情况. (2) 推论 两个相异的同类一维基本形之间的任一射 影对应都可表为不超过两个透视对应的积. (3) 推论 任何两个一维基本形之间的射影对应都可表 为不超过三个透视对应的积.
B1C2 B2C1 L C1 A2 C2 A1 M , A1B2 A2 B1 N
则L, M, N三点共线. 分析 L, M, N共线LM, A2C1, A1C2三线共点. 以两个有公共点的点列截上述三对直线. 比如A1B2与 C1B2.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
三、射影对应成为透视对应的条件
目标 证明A1B2(B2, D, N,
A1)与C1B2(B2, C1, L, E)成 射影对应.
途径 以两个点(A2, C2)分别与上述两个点列相连, 将其 均投向另一个点列l1(P), 以建立射影对应. 于是, (O, C1, B1, A1)即为所需桥梁.
(B2, D, N, A1)
(A2) (C2)
§ 6.2 一维射影变换
二、 一维基本形的对合 定义2.2. 设f 为一维基本形[]上的一个射影变换, 且 f i. 若 f 2=i, 则称f 为[]上的一个对合.
定义2.2'. 设f 为一维基本形[]上的一个射影变换, 且f i. 若 f = f –1, 则称f 为[]上的一个对合.
由定义不难看出，射影对应具有以下性质： (1) 保持一一对应关系； (3)对称性： (4)传递性： 注1 显然 注2
所以透视对应是射影对应的特例.
为一个保交比的双射.
注3 有限多个射影对应的乘积仍然是一个射影对应.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
定理2.1 Poncelet定义Steiner定义. 证明. “”. 显然. “”. 用同一法证明点列↔点列. 设: l(P)→l'(P')为满足Steiner定义的射影对应. 只 要证可以表示为有限次透视对应的积. 设P0, P1, P2为l(P)上相异三点, P为l(P)上任意一点, 连P0'P1, P0'P2; P0P1', P0P2'. 设P0'P1P0P1'=Q1, P0'P2P0P2'=Q2.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
即A, A'; B, B'; X, X, 从而=f. 于是P'=P''. 即f是透视对 应.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
注：由定理2.3想到 证诸点共线 证其为某两透视线束对应直线的交点.
证诸线共点
证其为某两透视点列对应点的连线.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
三、射影对应成为透视对应的条件 例1 (Pappus定理)在共面的相异二直线li上各取相异 三点Ai, Bi, Ci(i=1,2). 设
三、射影对应成为透视对应的条件 定理2.3 两个同类的一维基本形之间 的射影对应成为透视对应公共元素自 对应. 证明 由对偶原则, 只要考虑点列.
“” 设点列l(P)与l'(P')透视对应, S为透视中心, l l'=X. 由于直线SX交l, l'于同一点X, 所以X自对应.
“” 设f: l(P)→ l'(P')为射影对应, 使得f(X)=X. 设 f(P)=P'.
§ 6.2 一维射影变换
定理2.1 若一个一维射影变换f 使得其一对对应元素 相互对应, 则f 必为对合. 证明 设一维基本形的射影变换 f : [][]由其相异 的三对对应元素PiPi'(i=1,2,3)确定. 则有
f : (P 1, P 2, P 3 ,...)
' ' ' (P , P , P 1 2 3 ,...)
[]
[ '].
§ 6.1 一维基本形的射影对应
2. Steiner定义 如果两个一维基本形之间的一个对 应 :[] [ '] 满足 (1) 为一个双射；
(2) 使得任意四对对应元素的交比相等,
则称为[]到[']的一个一维射影对应, 记作
[ ] [ '].
§ 6.1 一维基本形的射影对应
§ 6.1 一维基本形的射影对应
在l(P)上取异于X的两相异点A, B. 设f(A)=A', f(B)=B'. 则A', B'相异且不同于X. 设AA' BB'=S, 并设 SP l'=P''. 设是以S为透视中心l(P), l‘(P’)间的透视对应. 则因为射影对应与f有相异的三对对应点重合,
§ 6.1 一维基本形的射影对应
例3. 如果三点形ABC的边CB, CA, AB分别通过在同 一直线上的三点P, Q, R, 又顶点B, C各在一条定直线上. 求证：顶点A也在一条定直线上. 证明 显然,
(B,B1,B2,…) 于是, R(B,B1,B2,…)
(P )
(C,C1,C2,…) Q(C,C1,C2,…)
注 (1) 对合f是特殊的射影变换, 满足f i但是 f 2=i f = f –1.
(2) f = f –1 X[], 都有f(X)= f–1(X)[].
§ 6.2一维射影变换
二、一维基本形的对合
设为[]上的一个射影变换, 则[]上的每一个元素都 关于具有“双重身份”. 即 (1) P[], P'[] (P)=P'[]; (2) P[], Q[] (Q)=P[], 即Q=–1(P). 若为对合, 则Q=P', 即“双重身份”一致.
(O, C1, B1, A1)
(B2, C1, L, E)
§ 6.1 一维基本形的射影对应
三、射影对应成为透视对应的条件
注1 请认真体会证明中灵活应用截 与连的思想方法.
Pappus线
注2 Pappus构图：9个点、9条直线, 在每条直线上有 3个点；经过每个点有3条直线.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
§ 6.1 一维基本形的射影对应
(4) Steiner作图法 已知两点列间射影对应的三对相异 的对应元素, 求作任一元素的对应元素.
(5) 思考：将(4)中 “点列” 改为 “一维基本形”. (6) 定理2.2 两个一维基本形间的射影对应可由已知相 异的三对对应元素唯一确定.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
l1(A1,B1,C1,O) (C2) p(M,L,T,P2)(C1) l2(A2,B2,C2,P2) l1(A1,B1,C1,P1)(C2) p(M,L,T,P1)(C1) l2(A2,B2,C2,O)
OP2. P1O.
源自文库
反思2 只有当l1(A1,B1,C1,…)与l2(A2,B2,C2,…)成透视 对应时, Pappus线经过l1与l2的交点O.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
二、一维基本形射影对应的综合法定义
1. Poncelet定义 设[], [']为两个一维基本形. 若存在n个一维基本 形[i] (i=1,2,…,n), 使得
[]
[1 ]
…
[ n ]
[ ']
则称由此决定的[]到[']的对应为一个一维射影对应, 记作
§ 6.1 一维基本形的射影对应
(3). 线束↔线束. 对应直线交点共线.
S (a, b, c,...)
(s)
S ' (a' , b' , c' ,...)
透视轴
注
(1)透视关系具有对称性，但它不具有传递性. (2) 透视对应是一个保交比的双射. (3) 连续两次透视对应的结果不一定仍是透视对应 .
§ 6.1 一维基本形的射影对应
连 Q1Q2=m. 连P0'P交m于Q,
连P0Q交l于P'', 设P0P'0交m于Q0, 则
(P0 P1, P2 P) (P0 ' P1' , P2 ' P' ).
l (P0 , P1, P2 , P)
(P0')
m(Q0 , Q1, Q2 , Q)
(P0)
l ' (P0 ' , P1 ' , P2 ' , P' ' )
§ 6.1 一维基本形的射影对应
一、透视对应(中心射影)
定义 以下三种对应称为一维基本形之间的透视对应
(1). 点列↔线束. 对应元素是关 联的.
s( A, B, C ,...) S (a, b, c,...)
透视中心
(2). 点列↔点列. 对应点连线共点.
s( A, B, C ,...)
(S)
s' ( A' , B' , C' ,...)
A恰为上述两射影点列对应直线 的交点.
问题 如何找公共元素, 说明上述两射影点列成透 视对应?
§ 6.2 一维射影变换
一、一维射影变换 定义2.1一个一维基本形到自身的射影对应称为一维 射影变换. 即若 : [] ['], 且[]=[']. 则称为一维基本形[]上 的一个 一维射影变换.
' ' f : (P , P , P , P 1 1 2 2, P 3 ,...)
' ' ' (P , P , P , P , P 1 1 2 2 3 ,...)
即P2, P2'也相互对应. 同理, 任意一对对应元素相互对应, f 为对合.
设f (P2')=Q. 来证Q=P2. 因为
f : (P 1, P , P 2, P , P 3 ,...)
' 1
' 2
(P , P 1 , P , Q, P ,...)
Q P2 .
' 1
' 2
' 3
' ' ' ' ' ' (P P , P P ) ( P P , P Q ) ( P P , QP 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2)
是特殊的射影对应.
§ 6.2 一维射影变换
一、一维射影变换
据Steiner作图法, 一个一维射影变换可由不超过3次 透视对应得到.
此时, []上的每一个元素都具有“双重身份”. 即 (1) P[], P'[] (P)=P'[]; (2) P[], Q[] (Q)=P[].
设P1, P1'在f 下相互对应, 即
' ' ' ' ( P , P , P , P f : (P , P , P , P ,...) 1 1 2 3 ,...) 1 1 2 3
' ' ' ' (PP , P P ) ( P P , P 1 1 2 3 1 1 2P 3)
(2.19)
§ 6.2 一维射影变换
l (P0 , P1, P2 , P)
l ' (P0 ' , P1 ' , P2 ' , P' ' )
§ 6.1 一维基本形的射影对应
注：对本定理的进一步思考. (1) 利用截的方法, 可证两个线束的 情况. 也可证明一个点列与一个线束 的情况. (2) 推论 两个相异的同类一维基本形之间的任一射 影对应都可表为不超过两个透视对应的积. (3) 推论 任何两个一维基本形之间的射影对应都可表 为不超过三个透视对应的积.
B1C2 B2C1 L C1 A2 C2 A1 M , A1B2 A2 B1 N
则L, M, N三点共线. 分析 L, M, N共线LM, A2C1, A1C2三线共点. 以两个有公共点的点列截上述三对直线. 比如A1B2与 C1B2.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
三、射影对应成为透视对应的条件
目标 证明A1B2(B2, D, N,
A1)与C1B2(B2, C1, L, E)成 射影对应.
途径 以两个点(A2, C2)分别与上述两个点列相连, 将其 均投向另一个点列l1(P), 以建立射影对应. 于是, (O, C1, B1, A1)即为所需桥梁.
(B2, D, N, A1)
(A2) (C2)
§ 6.2 一维射影变换
二、 一维基本形的对合 定义2.2. 设f 为一维基本形[]上的一个射影变换, 且 f i. 若 f 2=i, 则称f 为[]上的一个对合.
定义2.2'. 设f 为一维基本形[]上的一个射影变换, 且f i. 若 f = f –1, 则称f 为[]上的一个对合.
由定义不难看出，射影对应具有以下性质： (1) 保持一一对应关系； (3)对称性： (4)传递性： 注1 显然 注2
所以透视对应是射影对应的特例.
为一个保交比的双射.
注3 有限多个射影对应的乘积仍然是一个射影对应.
§ 6.1 一维基本形的射影对应
定理2.1 Poncelet定义Steiner定义. 证明. “”. 显然. “”. 用同一法证明点列↔点列. 设: l(P)→l'(P')为满足Steiner定义的射影对应. 只 要证可以表示为有限次透视对应的积. 设P0, P1, P2为l(P)上相异三点, P为l(P)上任意一点, 连P0'P1, P0'P2; P0P1', P0P2'. 设P0'P1P0P1'=Q1, P0'P2P0P2'=Q2.