概率统计习题解答07 习题一

故mH = 3 × 2 × 1 = 6.
∵ 事件I = G , G .
∴ mI Βιβλιοθήκη Baidu n mG = 27 3 = 24.
1 因此 P ( A )＝P ( B )＝P ( C )＝ 27 8 P ( D )＝ P ( E )＝ P ( F )＝ 27 6 2 3 1 = , P (G ) = = , P (H ) = 27 9 27 9
24 8 P (I ) = = . 27 9
15.一间宿舍内住有6位同学，求他们中有4个人的 生日在同一个月份的概率. 解：设事件 A ＝“6位同学中有4个人的生日在同一 个月份” 因为每个同学的生日月份都有12种可能，故 6 n 由乘法原理知，＝12 × 12 × 12 × 12 × 12 × 12＝12 有利于事件 A 出现的过程：（1）6位中选定 某4位；（2）这4位同学的生日在12个月份选 定某一个月份；（3）其余2位同学的生日， 1 故 m A＝C64 × C12 × 112 都在别的11个月份选择. m A 21780 ∴ P ( A )＝ ＝ ＝0.0073 6 n 12
( )
13.口袋内装有2个五分、3个贰分、5个壹分的硬币 共10枚，从中任取5枚，求总值超过壹角的概率. 解：共有10个硬币，任取5个，则基本事件总数为
C
5 10
有利于事件 A ＝“取5个硬币，总值超过壹角” 的情形有以下两种： （1）取2个5分，其余3个可这样取：3个贰分 或2个贰分、1个壹其总数为分或1个贰分或3个 2 2 1 1 C2 C33＋C2 C32C5＋C22C3C52＋C22C53 壹分.其总数为 （2）取1个五分，则2分至少要取2个，其总 1 3 1 1 2 2 数为 C2C3 C5＋C2C3 C5
概率统计习题解答 习题一
1.写出下列事件的样本空间： （1）把一枚硬币抛掷一次； （2）把一枚硬币连续抛掷两次； （3）掷一枚硬币，直到首次出现正面为止； （4）一个庫房在某一时刻的库存量（假定最大容 量为 M） 解： 1) ＝{正面，反面} {H , T } 正面， ( ( 2 ) = {( H , H ) , ( H , T ) , (T , H ) , (T , T )}
C 9 ∴ P ( B )＝1－P B ＝1－ ＝ C 14
( )
2 5 2 8
注意：当所求事件包含的基本事件“较复 杂”、而它的对立事件所包含的基本事件 “较简单”时，常用如例9那样的“求逆法” 来解.
10.抛掷一枚硬币，连续3次，求既有正面又有反面 出现的概率. 解： 设事件A＝ “連掷三次，既有正面又有反面出现” ＝ 它所包含的基本事件“较复杂”，但它的对立 事件所包含的基本事件“较简单”：全部正面 或全部反面。 故用求逆法： 2 3 P ( A )＝1－P A ＝1－ 3 ＝ 2 4
A＋B＋C＝A＋AB＋ ABC
AC＋B＝B＋ABC
C
C－AB＝ABC＋ABC＋ABC
5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在， 举例说明. 解：两个对立的事件一定互不相容，它们不可能 同时发生，也不可能同时不发生； 两个互不相容的事件不一定是对立事件，它 们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 如考试及格与不及格是互不相容事件，也是对立 事件，但考试70分与80分是互不相容却不对立. 区别互不相容与对立的关键是，当样本空间只 有两个事件时才可能对立.而互不相容适用于多 个事件的情形.互不相容事件的特征是，在一次 试验中两者可以都不发生，而对立事件必发生 一个且至多发生一个.
( )
12.一副扑克牌有52张，不放回抽样，每次一张， 连续抽取4张，计算下列事件的概率. （1）四张花色各异；（2）四张中只有两种花色 解：（1） ＝ 设事件 A＝ “四张花色各异” 4 试验的基本事件总数 n＝C52 1 1 1 1 4 有利于A 的基本事件数 m＝C13C13C13C13＝13 m 134 P ( A )＝ ＝ 4 ＝0.105 n C52 (2)设事件 B＝“四张中只有两种花色” 注意：有利于 B 的基本事件的产生的过程：（1） 在4种花色中任取二种；（2）对所取定的二种花色 取牌：各取两张或一个花色取3张另一个取1张.
16.事件 A与B 互不相容，计算 P A＋B . 解：由于事件 A与B 互不相容， ∴ AB＝φ，P ( AB )＝0.
(
)
∴ P A＋B ＝P AB ＝1－P ( AB )＝1.
17.设事件 B A， 求证 P ( B ) ≥ P ( A ) .
∵ 证明： B A ∴ P ( B－A )＝P ( B )－P ( A )
mD＝mE＝mF = 2 × 2 × 2 = 8
互不相容， 而事件G＝A + B + C , A, B, C 互不相容，
mG = m A + mB + mC = 1 + 1 + 1 = 3
事件H : 第一次可供抽取的球有3种不同的球； 第二次可供抽取的球有2种不同的球； 第三次可供抽取的球只有1种球.
6.三个事件 A，B，C的积是不可能事件，即 问这三个事件是否一定互不相容？画 ABC＝φ， 图说明. 解：不一定. A，B，C三个事件互不相容是指它们中任何 两个事件均互不相容，即两两互不相容. 如图1－2，
A
B
C
ABC＝φ， 但是A与B相容.
7.事件 A与B 相容，记 C＝AB，D＝A＋B，F＝A－B 说明事件 A、C、D、F 的关系. 解：由于AB A A＋B，A－B A A＋B，
＝ C＝{1,2， }， D＝{2,4}. ＝ 3,4 B＝{1,3，}， 5 ＝
； A与B 为对立事件.即 B＝A
{
}
B与D 互不相容；
A D，C D.
3.事件 Ai 表示某个生产单位第 i 车间完成生产 任务，i = 1, 2, 3) . B 表示至少有两个车间完成任 ( C 务， 表示最多只有两个车间完成生产任务，说 明事件 B及B－C的含义，并用 Ai ( i = 1, 2, 3) 表示 出来. 解： B 表示最多有一个车间完成任务，即至少有 两个车间没有完成任务. 注意：运算定义中有 ∴ B＝A1 A2＋A2 A3＋A1 A3 “至少”而没有“最 至少”而没有“ 多” ∵ B＝A1 A2 A3＋A1 A2 A3＋A1 A2 A3＋A1 A2 A3，
1 1 m＝C5C3 有利于 A 的样本点数目为
由概率公式有
1 1 m C5C3 15 P ( A )＝ ＝ 2 ＝ . n C8 28
9.计算上题中取到的两个球中有黑球的概率. ＝ 解：设事件 B＝ “取到的两个球中有黑球” 则 B＝ “取到的两个球没有黑球” ＝ ＝“取到的两个球都是白球”
C52 因此有利于事件 B 的样本点数为
AB与A－B互不相容，且A＝AB＋ ( A－B )， 互不相容， 互不相容， 因此有A＝C＋F，C与F 互不相容， D A F，A C .
要求掌握：根据相容性写出（1）用互不相容 的事件表示一个事件的方法；（2）用“包含” 与“被包含”关系，表达事件间的相互关系 的方法.
8.袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两 个，求取到两个球颜色不同的概率. 解：设事件 A＝ “取到的两个球颜色不同” ＝ 试验的样本点总数为 n＝C52＋3＝C82
∴ lnb＞0，因此b＞1. ，因此
P ( B )＝lna, 而P ( B ) ≤ 1，因此lna ≤ 1 ∴ a ≤ e.
综上分析 a 的取值范围是：
1＜b ≤ a ≤ e
20.设事件 A与B 都大于0，比较概率
P ( A )，P ( AB )，P ( A＋B )，P ( A )＋P ( B ) 的大小
（用不等号把它们连接起来） 解：对任何事件 A，B 均有 AB A A＋B，
∴ P ( AB ) ≤ P ( A ) ≤ P ( A＋B )
(
)
( )
故 P ( B ) ≥ P ( A ) .
而 P ( B－A ) ≥ 0，
18.已知P ( A )＝a，P ( B )＝b，ab ≠ 0 ( b＞0.3a )
，求 P ( A－B )＝0.7a，求P ( B＋A )，P ( B－A )，P B＋A . 解：由题设及求证的要求知，首先需求出 P ( AB ) .
( )
3 46 3 50
20.已知事件 B A，P ( A )＝lnb ≠ 0, P ( B ) = lna, 求 a 的取值范围. ∵ ∴ 解： B A， P ( B ) ≥ P ( A )
即 即 lna ≥ lnb, 因此a ≥ b. ，而 又由P ( A )＝lnb ≠ 0，而P ( A ) ≥ 0，
因此有利于B 的基本事件数是
2 2 1 3 1 C42 ( C13C13＋C2C13C13 )
故 P ( B )＝
2 2 1 3 1 C42 ( C13C13＋C2C13C13 )
C
4 52
＝0.3
思考题：求四张中至少有两种花色相同的概率.
1 1 1 1 C13C13C13C13 P ( C )＝1－P C ＝1－ 4 C52
( 3 ) = {( H ) , (T , H ) , (T , T , H ) ,} ( 4 ) = {x 0 ≤ x ≤ M }
2.掷一夥骰子的试验，观察其出现的点数， C＝ B＝ ＝ ＝ ＝ 事件 A＝“偶数点”， “奇数点”， “点数小 于5”＝ D＝ “小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的 关系. 解： ＝ 1,2， ， ， A＝{2,4，}， 6 ＝ 3,4 5,6
故有利于事件 A 的基本事件总数为
2 1 2 1 1 3 1 1 C2 C33＋C22C32C5＋C2 C3C52＋C22C53＋C2C3 C5＋C2C32C52＝126
m 126 故 P ( A )＝ ＝ ＝0.5 n 252 14.袋中有球红、白、黑色球各一个，每次任取一 球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率.
C＝A1 A2 A3＋A1 A2 A3＋A1 A2 A3＋ A1 A2 A3＋A1 A2 A3＋A1 A2 A3＋A1 A2 A3 ∴ B－C＝A1 A2 A3
如图1－1，事件 A，B，C 都相容，即 ABC ≠ φ， 把 事件 A＋B，A＋B＋C，AC＋B，C－AB 用一些互不 相容事件的和表示出来. A B 解： A＋B＝A＋AB
(
)
( )
19. 50个产品中有46个合格品与4个废品，从中 一次抽取3个，计算取到废品的概率. 解：设 A＝ “取到废品” ＝ 一次抽取3个，抽到废品有多个情形，但与其 对立的情形：3个都是合格品.就一种. 故用求逆运算：
P ( A )＝1－P A
( )
n＝C ，
3 50
3 m A＝C46
C ∴ P ( A )＝1－P A ＝1－ ＝0.2255 C
A＝ “三次都是红球” ＝ “全红” ＝ 全黑” B＝“全白”， C＝“全黑”， ＝ 全白” ＝ D＝ “无红”， E＝ “无白” ＝ F = “无黑“，G = “三次颜色全相同”
H = “三次颜色全不相同”， “三次颜色不全相同” I=
解：由于是作有放回抽取，每次可供抽取的球都 3 有三个.故由乘法原理知，n＝3 ＝27个基本事件. ＝ 同理， m A＝mB＝mC＝1 × 1 × 1＝1
( )
11. 10把钥匙中有3把能打开一个门锁，今任取两 把，求能打开门锁的概率. 解：设事件 A＝ “任取的两把锁能打开门”， ＝ 显然，这有多种可能情形.但它的对立事件： A＝ “任取的两把锁不能打开门”， ＝ 所包含的基本事件较简单，且基本事件数容 易计算.故用求逆法来计算. C72 8 P ( A )＝1－P A ＝1－ 2 ＝ C10 15
(
)
为此要考虑用已知概率的事件表示未知概率 的事件： ∵ A＝( A－B )＋AB ∴ AB＝A－ ( A－B )，A ( A－B ) 因此 因此 P ( AB )＝P ( A )－P ( A－B )＝a－0.7a＝0.3a P ( A＋B )＝P ( A )＋P ( B )－P ( AB )
＝a＋b－0.3a＝0.7a＋b P ( B－A )＝P ( B )－P ( AB )＝b－0.3a P B＋A ＝P AB ＝1－P ( AB )＝1－0.3a