基本不等式教案(新人教必修)

§3.4基本不等式2

a b

ab +≤

第1课时

授课类型：新授课 【教学目标】

1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣 【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式2

a b

ab +≤的证明过程； 【教学难点】 基本不等式2

a b

ab +≤等号成立条件 【教学过程】

1.课题导入

基本不等式2

a b

ab +≤

的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为2

2

a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：2

22a b ab +≥。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有

222a b ab +=。

2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,2

2

号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 2

2

2

)(2b a ab b a -=-+

当

22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时

所以，0)(2≥-b a ，即.2)(2

2ab b a ≥+ 4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2

a b

ab +≤

特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥，

通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2

a b

ab +≤ 2）从不等式的性质推导基本不等式2

a b

ab +≤

用分析法证明：

要证

2

a b

ab +≥ (1) 只要证 a+b ≥ (2) 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3）

要证（3），只要证 （ - ）2 （4） 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式2

a b

ab +≤

的几何意义 探究：课本第110页的“探究”

在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本不等式2

a b

ab +≤的几何解释吗？

易证Ｒt △A ＣD ∽Ｒt △D ＣB ，那么ＣD 2

＝ＣA ·ＣB

即ＣD ＝ab . 这个圆的半径为

2b a +，显然，它大于或等于CD ，即ab b

a ≥+2

，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a ＝b 时，等号成立. 因此：基本不等式2

a b

ab +≤几何意义是“半径不小于半弦” 评述：1.如果把

2

b

a +看作是正数a 、

b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.

2.在数学中，我们称

2

b

a +为a 、

b 的算术平均数，称ab 为a 、b 的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. [补充例题]

例1 已知x 、y 都是正数，求证：

(1)

y

x

x y +≥2；

(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3

. 分析：在运用定理：

ab b

a ≥+2

时，注意条件a 、b 均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形.

解：∵x ，y 都是正数 ∴

y x ＞0，x

y ＞0，x 2＞0，y 2＞0，x 3＞0，y 3

＞0 (1)

x

y

y x x y y x ⋅≥+2＝2即x y y x +≥2.

(2)x ＋y ≥2xy ＞0 x 2＋y 2≥222y x ＞0 x 3＋y 3≥23

3y x ＞0

∴（x ＋y ）（x 2

＋y 2

）（x 3

＋y 3

）≥2xy ·222y x ·233y x ＝８x 3y 3

即（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3）≥８x 3y 3

.

3.随堂练习

1.已知a 、b 、c 都是正数，求证

（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc

分析：对于此类题目，选择定理：ab b

a ≥+2

（a ＞0，b ＞0）灵活变形，可求得结果.

解：∵a ，b ，c 都是正数 ∴a ＋b ≥2ab ＞0

b ＋

c ≥2bc ＞0 c ＋a ≥2ac ＞0

∴（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥2ab ·2bc ·2ac ＝８abc 即（a ＋b ）（b ＋c ）（c ＋a ）≥８abc .

4.课时小结

本节课，我们学习了重要不等式a 2

＋b 2

≥2ab ；两正数a 、b 的算术平均数（2

b

a +），几何平均数（a

b ）及它们的关系（

2

b

a +≥a

b ）.它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值

的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问

题：ab ≤222b a +，ab ≤（2

b a +）2

.

5.评价设计