数值计算方法 非线性方程方程组数值解法
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5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
然后通过各种下降法或优化算法求出模函数的极小值点，此 极小值点即为非线性方程组的一组解。
非线性方程组的数值解法
不动点迭代法：根据非线性方程求根的迭代法，将方程组改 写为如下等价方程组
xi i x1, x2,, xn , i 1,2,, n
构造迭代公式
xik 1 i x1k , x2k ,, xnk , i 1,2,, n
非线性方程组的数值解法
若对任意A Cmn 都有一个实数 A 与之对应，且满足：
（1）非负性：当 A O 时， A 0 ；当A O 时，A 0；
（2）齐次性：对任何 C ，A A ；
（3）三角不等式：对任意 A, B C nn ，都有A B A B ;
（4）相容性：对任意A, B C nn ，都有 AB A B ，
…
…
18
(0.2325670051,0.0564515197)
19
(0.2325670051,0.0564515197)
max
1 i 2
xik
xik
1
0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648 0.0008430541 0.0001985303 0.0000519694 0.0000122370 0.0000032485 0.0000007649
10-9
非线性方程组的数值解法
练习题：用牛顿迭代法求解方程组
取 X 0 1.6,1.2T
xx1122
x22 x22
4 1
结果：1.5811,1.2247
非线性方程组的数值解法
应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间， 来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的，海底 沉积层上界面水平，下界面倾斜。特征声线由水中声源出发 折射进入沉积层，经过沉积层的下界面反射后，再折射进入 水中，由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在 水中和沉积层中的传播时间之和。 三维坐标关系如图所示：
非线性方程组的数值解法
不动点迭代法：根据非线性方程求根的迭代法，将方程组改 写为如下等价方程组
xi i x1, x2,, xn , i 1,2,, n
构造迭代公式
xik 1 i x1k , x2k ,, xnk , i 1,2,, n
非线性方程组的数值解法
若对任意A Cmn 都有一个实数 A 与之对应，且满足：
（1）非负性：当 A O 时， A 0 ；当A O 时，A 0；
（2）齐次性：对任何 C ，A A ；
（3）三角不等式：对任意 A, B C nn ，都有A B A B ;
（4）相容性：对任意A, B C nn ，都有 AB A B ，
…
…
18
(0.2325670051,0.0564515197)
19
(0.2325670051,0.0564515197)
max
1 i 2
xik
xik
1
0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648 0.0008430541 0.0001985303 0.0000519694 0.0000122370 0.0000032485 0.0000007649
10-9
非线性方程组的数值解法
练习题：用牛顿迭代法求解方程组
取 X 0 1.6,1.2T
xx1122
x22 x22
4 1
结果：1.5811,1.2247
非线性方程组的数值解法
应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间， 来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的，海底 沉积层上界面水平，下界面倾斜。特征声线由水中声源出发 折射进入沉积层，经过沉积层的下界面反射后，再折射进入 水中，由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在 水中和沉积层中的传播时间之和。 三维坐标关系如图所示：
第7章非线性方程组的数值解法
( 1, 1 )
f 1 y f 2 2 y
2 y ( 1,1 ) 2
( 1,1 )
( y 3) ( 1, 1 )
( 1, 1 )
( x 1) ( 1 , 1 ) 2
( 1,1 )
f 1 f 2 2 2[ 2 * ( 3) ( 2 ) * ( 2 )] 4 f1 f2 g10 x ( 1,1) x ( 1,1) x f 1 f 2 g 2 2[ 2 * ( 3) 2 * ( 2 )] 20 20 y y f 1 y f 2 ( 1, 1 ) ( 1, 1 )
完
f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) ( h k ) f ( x0 , y0 ) x y 1 2 ( h k ) f ( x 0 , y0 ) 2! x y 1 n ( h k ) f ( x 0 , y0 ) n! x y 1 n 1 ( h k ) f ( x0 h, y0 k ) ( n 1)! x y
2
2
令
0
得 f 1 f 1 ( g10 x g 20 y ) f 1 ( g10 ( g f 1 g f 1 ) 2 ( g 10 20 10 x y f 2 g 20 x f 2 g 20 x f 2 ) f2 y f 2 2 ) ( x y
1
f 1 ( x 0 , y0 ) f ( x , y ) 2 0 0
从n到n+1的迭代格式为：
f 1 ( x n , y n ) xn 1 x n x y y f 2 ( xn , yn ) n 1 n x
f 1 y f 2 2 y
2 y ( 1,1 ) 2
( 1,1 )
( y 3) ( 1, 1 )
( 1, 1 )
( x 1) ( 1 , 1 ) 2
( 1,1 )
f 1 f 2 2 2[ 2 * ( 3) ( 2 ) * ( 2 )] 4 f1 f2 g10 x ( 1,1) x ( 1,1) x f 1 f 2 g 2 2[ 2 * ( 3) 2 * ( 2 )] 20 20 y y f 1 y f 2 ( 1, 1 ) ( 1, 1 )
完
f ( x0 h, y0 k ) f ( x0 , y0 ) ( h k ) f ( x0 , y0 ) x y 1 2 ( h k ) f ( x 0 , y0 ) 2! x y 1 n ( h k ) f ( x 0 , y0 ) n! x y 1 n 1 ( h k ) f ( x0 h, y0 k ) ( n 1)! x y
2
2
令
0
得 f 1 f 1 ( g10 x g 20 y ) f 1 ( g10 ( g f 1 g f 1 ) 2 ( g 10 20 10 x y f 2 g 20 x f 2 g 20 x f 2 ) f2 y f 2 2 ) ( x y
1
f 1 ( x 0 , y0 ) f ( x , y ) 2 0 0
从n到n+1的迭代格式为：
f 1 ( x n , y n ) xn 1 x n x y y f 2 ( xn , yn ) n 1 n x
非线性方程组的数值解法及最优化方法课件
拟牛顿法求解非线性方程组
拟牛顿法是牛顿法的改进，通过构造一个近似于真实Hessian矩阵的对称正定矩阵来逼近， 从而加快了算法的收敛速度。
信赖域方法求解非线性方程组
信赖域方法是一种基于梯度信息的迭代算法，通过在每一步中计算一个小的搜索方向，并 限制步长，以避免算法发散。
最优化方法案例
梯度下降法求解无约束最优化问题
梯度下降法是一种迭代算法，通过不断沿负梯度方向更新变量，最终找到最优化问题的最小值点。该方法适用于求解 无约束最优化问题。
牛顿法求解无约束最优化问题
牛顿法是一种基于二阶导数的迭代算法，通过不断逼近函数的极小值点，最终求解无约束最优化问题。该方法适用于 求解具有多个局部最小值的问题。
遗传算法求解约束最优化问题 遗传算法是一种基于生物进化原理的随机搜索算法，通过模拟生物进化过程中的自然选择和遗传机制， 在解空间中进行高效搜索，最终找到满足约束的最优解。
和稳定性。
约束最优化方法
拉格朗日乘数法
通过引入拉格朗日函数，将约束最优化问题转化为无 约束最优化问题求解。
罚函数法
通过引入罚函数，将约束条件转化为无约束条件，通 过迭代更新求解。
序列二次规划法
结合拉格朗日乘数法和牛顿法的思想，通过迭代逼近 最优解。
混合整数最优化方法
01
02
03
分支定界法
将整数约束转化为区间约 束，通过不断分支和剪枝 来逼近最优解。
非线性方程组与最优化方法的结合案例
非线性规划问题
非线性规划是最优化领域中一类重要的数学问题，其目标函数和约束条件都是非线性的。常见的非线性规划问题 包括最小二乘问题、二次规划问题等。求解非线性规划问题的常用方法包括梯度下降法、牛顿法等。
拟牛顿法是牛顿法的改进，通过构造一个近似于真实Hessian矩阵的对称正定矩阵来逼近， 从而加快了算法的收敛速度。
信赖域方法求解非线性方程组
信赖域方法是一种基于梯度信息的迭代算法，通过在每一步中计算一个小的搜索方向，并 限制步长，以避免算法发散。
最优化方法案例
梯度下降法求解无约束最优化问题
梯度下降法是一种迭代算法，通过不断沿负梯度方向更新变量，最终找到最优化问题的最小值点。该方法适用于求解 无约束最优化问题。
牛顿法求解无约束最优化问题
牛顿法是一种基于二阶导数的迭代算法，通过不断逼近函数的极小值点，最终求解无约束最优化问题。该方法适用于 求解具有多个局部最小值的问题。
遗传算法求解约束最优化问题 遗传算法是一种基于生物进化原理的随机搜索算法，通过模拟生物进化过程中的自然选择和遗传机制， 在解空间中进行高效搜索，最终找到满足约束的最优解。
和稳定性。
约束最优化方法
拉格朗日乘数法
通过引入拉格朗日函数，将约束最优化问题转化为无 约束最优化问题求解。
罚函数法
通过引入罚函数，将约束条件转化为无约束条件，通 过迭代更新求解。
序列二次规划法
结合拉格朗日乘数法和牛顿法的思想，通过迭代逼近 最优解。
混合整数最优化方法
01
02
03
分支定界法
将整数约束转化为区间约 束，通过不断分支和剪枝 来逼近最优解。
非线性方程组与最优化方法的结合案例
非线性规划问题
非线性规划是最优化领域中一类重要的数学问题，其目标函数和约束条件都是非线性的。常见的非线性规划问题 包括最小二乘问题、二次规划问题等。求解非线性规划问题的常用方法包括梯度下降法、牛顿法等。
非线性方程组数值解法
非线性方程组数值解法
，
非线性方程组数值解法是通过数值方法解决非线性方程组问题的一种解法。
非线性方程组不像普通的线性方程组，它们往往没有普遍的解析解，一般只有数值解。
因此，非线性方程组的数值解法非常重要。
非线性方程组数值解法的基本思想是，将非线性方程组分解为多个子问题，并采用一种迭代算法求解这些子问题。
最常见的数值方法有牛顿法、拟牛顿法和共轭梯度法等。
牛顿法是利用曲线上的点的二次近似，将非线性方程分解为两个子问题，转换为求解一个简单的一元方程的问题来求解非线性方程组的数值解。
拟牛顿法利用有限差分方法来求解非线性方程组的数值解，共轭梯度法利用解的搜索方向，进行有效的搜索，通过解的最优性条件收敛到解。
非线性方程组数值解法是目前应用最广泛的数值解法，它能很好地求解非线性方程组。
不仅能有效求解复杂的非线性方程组，还能求出较精确的数值解。
此外，非线性方程组数值解法运算速度快，可以对模型进行实时定位和跟踪，非常适合模拟复杂的动态系统。
总之，非线性方程组数值解法是一种求解复杂非线性方程组的有效解法，它的准确性高，运算速度快，广泛应用于现实世界中的多种工程与科学计算问题。
非线性方程组的数值方法
数值分析
数值分析
二、简单迭代法
简单迭代法又称为不动点迭代法，基本思想是 首先构造不动点方程 x=φ(x)，即由方程 f(x)=0变换 为等价形式 x=φ(x), 式中φ(x)称为迭代函数。然后建 立迭代格式：xk+1 =φ(xk)称为不动点迭代格式。
当给定初值x0 后, 由迭代格式xk+1 =φ(xk)可求得数 列{xk}。如果{xk}收敛于α，且φ(x)在α连续，则α就是 不动点方程的根。因为：
lim
k
xk 1
lim
k
(
xk
)
(lim k
xk
)
知α=φ(α)，即{xk}收敛于方程的根 α 。
数值分析
数值分析
迭代法的几何意义
记y1=x , y2=φ(x) , 它们交点的横坐标α即为方程的根
y
y
y1 x
( x1, x1)
y2 (x)
( x2, x2)
( x0 ,( x0 ))
p
( x1,( x1 ))
③ 当k 时， xk 收敛到 x* ？ | x * xk | | ( x*) ( xk1) | | '(ξk1) | | x * xk1 |
L | x * xk1 | ...... Lk | x * x0 | 0
数值分析
数值分析
④
|
x * xk
|
L| 1 L
xk
xk1 |
xk+1
=
φ
(xk)
得到的序列
xk
k 0
收敛于φ(x) 在[a, b]上的唯一不动点。并且有误差估
计式：
|
x
*
xk
|
数值分析
二、简单迭代法
简单迭代法又称为不动点迭代法，基本思想是 首先构造不动点方程 x=φ(x)，即由方程 f(x)=0变换 为等价形式 x=φ(x), 式中φ(x)称为迭代函数。然后建 立迭代格式：xk+1 =φ(xk)称为不动点迭代格式。
当给定初值x0 后, 由迭代格式xk+1 =φ(xk)可求得数 列{xk}。如果{xk}收敛于α，且φ(x)在α连续，则α就是 不动点方程的根。因为：
lim
k
xk 1
lim
k
(
xk
)
(lim k
xk
)
知α=φ(α)，即{xk}收敛于方程的根 α 。
数值分析
数值分析
迭代法的几何意义
记y1=x , y2=φ(x) , 它们交点的横坐标α即为方程的根
y
y
y1 x
( x1, x1)
y2 (x)
( x2, x2)
( x0 ,( x0 ))
p
( x1,( x1 ))
③ 当k 时， xk 收敛到 x* ？ | x * xk | | ( x*) ( xk1) | | '(ξk1) | | x * xk1 |
L | x * xk1 | ...... Lk | x * x0 | 0
数值分析
数值分析
④
|
x * xk
|
L| 1 L
xk
xk1 |
xk+1
=
φ
(xk)
得到的序列
xk
k 0
收敛于φ(x) 在[a, b]上的唯一不动点。并且有误差估
计式：
|
x
*
xk
|
数值分析--第7章非线性方程与方程组的数值解法
k
y.
（2.4） 时序列 {xk }
收敛到
x
*.
25
再证明估计式（2.5），由（2.4）有
xk1 xk (xk )(xk1) L xk xk1 .
反复递推得
xk
1 2 k 1
0.005,
只需 k 6 ，即只要二分6次，便能达到预定的精度.
11
计算结果如表7-2.
表7 2
k
ak
0 1.0
bk
xk
1.5
1.25
1 1.25
1.375
2
1.375 1.3125
3 1.3125
1.3438
4
1.3438 1.3281
5
1.3281 1.3203
6 0.3203
对于 x *的某个近似值 x0，在曲线 y (x)上可确定 一点 P0，它以 x0为横坐标，而纵坐标则等于(x0 ) x1.
过 P0 引平行 x轴的直线，设此直线交直线 y x于点 Q1， 然后过 Q1再作平行于 y轴的直线，与曲线 y (x) 的交点
17
记作 P1，则点 P1 的横坐标为 x1 ，纵坐标则等于 (x1) x2.
（2.（2）2.5）
证明 设 x*[a, b] 是 (x)在 [a, b]上的唯一不动点， 由条件，可知 {xk }[a, b]，再由（2.4）得
xk x* (xk1)(x*)
L xk1 x* Lk x0 x*.
因(x0)
L(y1)，故L当x
f (x) 0
（1.1）
其中 x R, f (x) C[a, b], [a, b]也可以是无穷区间.
非线性方程组数值解法课件
非线性方程组数值 解法课件
目 录
• 非线性方程组概述 • 迭代法求解非线性方程组 • 牛顿法求解非线性方程组 • 拟牛顿法求解非线性方程组 • 非线性方程组数值解法的应用
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义与分类
定义
非线性方程组是由多个非线性方 程组成的数学模型，描述了多个 变量之间的关系。
在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中，非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中，非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
拟牛顿法的收敛性分析主要基于Hessian 矩阵的条件数和近似矩阵的误差界。在适 当的条件下，拟牛顿法能够保证全局收敛 性和局部超线性收敛性。
拟牛顿法的实现
总结词
拟牛顿法的具体实现可以通过不同的算法实 现，如DFP算法和BFGS算法等。
详细描述
DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell）和 BFGS算法（Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno）是两种常见的拟牛顿算法。它们 的主要区别在于近似矩阵的更新方式。DFP 算法采用三对角化方法更新近似矩阵，而 BFGS算法采用迭代更新的方式。在实际应 用中，BFGS算法通常比DFP算法更受欢迎， 因为它在大多数情况下都能提供更好的收敛 效果。
05
非线性方程组数值解法的 应用
在物理问题中的应用
量子力学方程
非线性方程组数值解法在 量子力学中用于描述微观 粒子的行为和相互作用。
目 录
• 非线性方程组概述 • 迭代法求解非线性方程组 • 牛顿法求解非线性方程组 • 拟牛顿法求解非线性方程组 • 非线性方程组数值解法的应用
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义与分类
定义
非线性方程组是由多个非线性方 程组成的数学模型，描述了多个 变量之间的关系。
在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中，非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中，非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
拟牛顿法的收敛性分析主要基于Hessian 矩阵的条件数和近似矩阵的误差界。在适 当的条件下，拟牛顿法能够保证全局收敛 性和局部超线性收敛性。
拟牛顿法的实现
总结词
拟牛顿法的具体实现可以通过不同的算法实 现，如DFP算法和BFGS算法等。
详细描述
DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell）和 BFGS算法（Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno）是两种常见的拟牛顿算法。它们 的主要区别在于近似矩阵的更新方式。DFP 算法采用三对角化方法更新近似矩阵，而 BFGS算法采用迭代更新的方式。在实际应 用中，BFGS算法通常比DFP算法更受欢迎， 因为它在大多数情况下都能提供更好的收敛 效果。
05
非线性方程组数值解法的 应用
在物理问题中的应用
量子力学方程
非线性方程组数值解法在 量子力学中用于描述微观 粒子的行为和相互作用。
非线性方程与方程组数值解法
2.2 二分法
表2-2 计算结果
k
0 1 2 3 4 5 6 7
ak
1 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3203
bk
2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.3438 1.3281 1.3281
xk
1.5 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242
ab ；否则，回 2
5.2 二分法
说明：
x*
(ⅰ)上述计算步骤（2）和（3）每执行一次就把新的区间分成两份，根的范围也 缩小一半. 如果第 k 次二分后得到的区间记 为 [ak , bk ]，根的近似值记为 xk ，则 ba (a b ) 有 bk ak k ， xk k k ，那么当时 k ， bk ak 0，这说明如果二分过 2 2 程无限继续下去，这些区间必将收敛于一点，即为所求根. (ⅱ) 第
3
2 f ( x ) 3 x 1 0, x [1, 2] 解 已知 f (1) 1 0, f (2) 5 0 且 ，
则方程
f ( x) x 3 x 1 0
在区间
(1, 2)
内只有一个实根.
当 k 1 ， x1
bk ak 102 ，继续二分；
2.1 引言
通常隔离区间的确定方法为 （1）作 y f ( x) 的草图, 由 y f ( x)与横轴交点的大致位置来确定； 或 者将 f1 ( x) f 2 ( x) 改写成 f ( x) 0 ， 根据 y f1 ( x) 和 y f 2 ( x) 交点横坐标来确定
根的隔离区间.
当 k 2 ， x2
非线性方程(组)的数值解法——牛顿法、弦切法
需要求导数！
9
简化的Newton法
简化的 Newton 法
基本思想：用 f’(x0) 替代所有的 f’(xk)
xk 1
f ( xk ) xk f '( x0 )
线性收敛
10
Newton下山法
Newton下山法
基本思想：要求每一步迭代满足下降条件
f x k 1 f x k
非线性方程组的数值解法牛顿法弦切法非线性方程组数值解法非线性方程数值解法非线性方程的数值解法非线性方程组迭代解法非线性方程组的解法非线性方程组解法微分方程数值解法常微分方程的数值解法微分方程数值解法pdf
计算方法
第七章
非线性方程(组)的数值解法
—— Newton 法 —— 弦截法、抛物线法
1
本讲内容
13
举例
例：求 x4 - 4x2 ＋ 4=0 的二重根 x* 2 (1) 普通 Newton 法
x2 2 1 ( x ) x 4x
(2) 改进的 Newton 法 x2 2 2 ( x) x
2x
(3) 用 Newton 法解 (x) = 0
x ( x 2 2) 3 ( x) x x2 2
f [ xk , xk 1 , xk 2 ]( x xk )( x xk1 )
xk 1 xk
2 f ( xk )
2 4 f ( xk ) f [ xk , xk 1 , xk 2 ]
f [ xk , xk1 ] f [ xk , xk1 , xk2 ]( xk xk1 )
f ( x) ( x) x f '( x )
1 '( x*) 1 m
数值分析第七章 非线性方程与方程组的数值解法0607)
一、二分法
3. 二分法的一个例题
例2 求x3 x 1 0在[1.0,1.5]内的一个实根，准确到
小数点后2位.
k ak
bk
xk
f(xk)符号
0 1.0
1.5
1.25
−
1 1.25
1.375
+
2
1.375 1.3125
−
3 1.3125
1.3438
+
4
1.3438 1.3281
+
5
1.3281 1.3203
续，并且
(x*) (x*) ( p1) (x*) 0， ( p) (x*) 0,
只要相邻两次 计算结果的偏
|
xk
x* |
Lk 1 L
|
x1
x0
|
.
(2.5)
差足够小即可
保证近似值xk 具有足够精度
|
xk
x* |
1 1 L
|
xk 1
xk
|
.
(2.6)
二、不动点迭代法
3. 存在性与收敛性
• 局部收敛性
- 定义1 设(x)有不动点x*，若对任意x0∈{ x*
的某个邻域R}，迭代公式(2.2)产生的序列 {xk}∈R，且收敛到x*，则称迭代法(2.2)局部 收敛.
2). 存在正数L<1，使对任意x,y∈[a, b]都有
| (x) ( y) | L | x y |;
则(x)在[a, b]上存在唯一的不动点x*.
二、不动点迭代法
3. 存在性与收敛性
• 全局收敛的充分条件
- 定理2 设(x) 满足定理1中两条件，则对任意
x0∈[a, b]，迭代法收敛，并有误差估计式
非线性方程的数值解法
非线性方程的数值解法《计算方法》期末论文论文题目非线性方程的数值解法学院专业班级姓名学号指导教师日期目录摘要第1 章绪论1.1 问题的提出和研究目的和意义1.2 国内外相关研究综述1.3 论文的结构与研究方法第2 章非线性方程的数值解法2.1 二分法2.2 迭代法2.3 迭代法的局部收敛性及收敛的阶2.4 牛顿迭代法2.5 牛顿法的改进2.6 插值摘要数值计算方法，是一种研究解决数学问题的数值近似解方法，它的计算对象是那些。
在理论上有解而又无法用手工计算的数学问题。
在科学研究和工程技术中都要用到各种计算方法。
例如 在地质勘探、汽车制造、桥梁设计、天气预报和汉字设计中都有计算方法的踪影。
本文讨论了非线性方程的数值解法：非线性方程的二分法、迭代法原理、牛顿迭代法，迭代法的收敛性条件及适合非线性方程的插值法等等。
第1 章绪论可以证明插值多项式L (x) n 存在并唯一。
拉格朗日插值多项式的算法 step1.输入 插值节点控制数n 插值点序列 i i x , yi=0,1,…,n 要计算的函数点x。
step2. FOR i =0,1,…,n i 制拉格朗日基函数序列问题的提出和研究目的和意义非线性方程的问题在工程实践中有很多用途 研究其数值解法是当前一个研究方向。
目前已有相当一部分算法在广泛使用于工程实践中。
非线性方程组和无约束最优化的数值解法 一直是数值优化领域中热门的研究课题。
本文对传统的方法进行改进和提出新的算法 该算法不仅有重要的论价值，而且有很高的实用价值。
例如在天体力学中，有如下Kepler 开普勒方程 x-t- sin x=0,0< <1,其中t 表示时间 x 表示弧度，行星运动的轨道x 是t 的函数。
也就是说，对每个时刻i t 上述方程有唯一解i x ，运动轨道位置。
国内外相关研究综述随着科学技术的高速发展和计算机的广泛应用 求解形如F(x)=0 的非线性方程组问题越来越多的被提出来了 其中F 是的连续可微函数。
非线性方程组的数值求解
第四章 非线性方程组的数值求解 习题4.1 1．考虑211212221212(,)0(,)0f x x x x f x x x x αα⎧=−+=⎪⎨=−++=⎪⎩，讨论1,1/4,0,1α=−的4种情况下的解各等于什么？ 2．用图解法研究方程组12221sin 0220x x x x π⎧−=⎪⎨⎪−=⎩的解大致等于什么？的解大致等于什么？ 3．先用图解法大致判断解的位置，再用消元法求解212221210(2)(0.5)10x x x x ⎧−−=⎪⎨−+−−=⎪⎩。
4．查阅数学手册，用卡丹方法分别求解331540;660x x x x −−=−+=。
5．解4次分圆方程43210x x x x ++++=。
6．证明实系数n 次代数方程的共轭根必定成对出现。
习题4.2 1．用Gerschgorin 圆盘定理作方程332243100x x x +−−=和776655443322621353521710x x x x x x x −+−+−+−=的实根的定位，求出根的隔离区间。
2．设()A ρ为矩阵A 的谱半径，用圆盘定理直接证明()||||A A ρ≤．3．若n 阶矩阵A 不可约，有一特征值λ在A 的一个圆盘的边界上，证明：A 的n 个圆盘的边界均通过λ。
4．用Gerschgorin 圆盘定理隔离矩阵20312102810A ⎛⎞⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎝⎠的特征值，再用实矩阵特征值的性质，再用实矩阵特征值的性质，改进得出的结果。
改进得出的结果。
5．用二分法求函数:f R R →的零点。
初始有根区间长度为1，问迭代6次后有根区间的长度为多少？需要用函数表达式吗？若在初始区间上函数有符号变化，问二分法的收敛速度与要求是单根还是重根有关系吗？ 6．应用二分法求方程sin02xxe π−=在区间[0， 1]上误差不超过52−的近似根，的近似根，应对分多少次，应对分多少次，应对分多少次，并求其根。
并求其根。
7．对3()310f x x x =−−=的根进行隔离，并用二分法计算所有的实根。
非线性方程组数值解法
(k ) (k )
1
f (x )
1
(k )
( k 1)
x
(k )
f ( x )
f (x )
(k )
称上述公式为Newton迭代格式。 Newton迭代方法在实际迭代时，转化为求方程组的解
f ( x )( x
(k )
( k 1)
x ) f (x )
(k ) (k ) (k )
Broyden秩1方法的迭代公式变为：
x x ( A ) f ( x ) , k 0 , 1 , 2 ( 0) 1 1 ( 0) ( A ) f ( x )
( k 1) (k ) ( k ) 1 (k)
Broyden秩1算法 ( 0) n 选取初值 x R
(1)
x
( 0)
x
( 0)
0.8 0.88
计算结果如下
要求 精度 0.001 迭代 次数 2
方程组的近似解
(1.0000 1.0000)
0.0001
3
(1.0000 1. 0000)
Broyden秩1方法（拟Newton方法中的一种）
利用多元函数的Taylor展开公式得
(A ) (k ) ( k ) 1 (k ) x (A ) f (x )
( k ) 1
满足给定的精度要求，迭代终止。
Broyden秩1算法 ( 0) n 选取初值 x R
计算
( A ) (f ( x ))
( 0)
( 0) 1
1
x x (A ) f (x )
(1) ( 0) ( 0)
A y ( k 1) T ( k 1) (y ) y
1
f (x )
1
(k )
( k 1)
x
(k )
f ( x )
f (x )
(k )
称上述公式为Newton迭代格式。 Newton迭代方法在实际迭代时，转化为求方程组的解
f ( x )( x
(k )
( k 1)
x ) f (x )
(k ) (k ) (k )
Broyden秩1方法的迭代公式变为：
x x ( A ) f ( x ) , k 0 , 1 , 2 ( 0) 1 1 ( 0) ( A ) f ( x )
( k 1) (k ) ( k ) 1 (k)
Broyden秩1算法 ( 0) n 选取初值 x R
(1)
x
( 0)
x
( 0)
0.8 0.88
计算结果如下
要求 精度 0.001 迭代 次数 2
方程组的近似解
(1.0000 1.0000)
0.0001
3
(1.0000 1. 0000)
Broyden秩1方法（拟Newton方法中的一种）
利用多元函数的Taylor展开公式得
(A ) (k ) ( k ) 1 (k ) x (A ) f (x )
( k ) 1
满足给定的精度要求，迭代终止。
Broyden秩1算法 ( 0) n 选取初值 x R
计算
( A ) (f ( x ))
( 0)
( 0) 1
1
x x (A ) f (x )
(1) ( 0) ( 0)
A y ( k 1) T ( k 1) (y ) y
非线性方程(组)的解法
将F ( x) 在x k 处进行泰勒展开
f ( x) f ( xk ) f ( xk )(x xk ) 一元函数 F ( x) F ( x k ) F ( xk )(x xk ) 0 x k为向量 F ( x k )(x x k ) F ( x k ) x x k F ( x k )1 F ( x k )
18
3.非线性方程组的迭代解法
f1 ( x1 , x2 , , xn ) 0 f1 ( x) f1 ( x1 , L , xn ) 或 F ( x) L 0 L f ( x) f ( x , L , x ) f ( x , x ,, x ) 0 n n n 1 n n 1 2
9
迭代法及收敛性
考虑方程 x ( x)。 这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根。
但如果给出根的某个猜测值 x0， 代入 x ( x) 中的右端得到 x1 ( x0 )，再以 为一个猜测值，
x1
代入 x ( x) 的右端得 x2 ( x1 ) ，反复迭代 得
1 f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )2 f ( ) 2 其中在x和x0之间
0 f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) 0
16
Newton迭代法
有：
*
f ( x0 ) x x0 f ( x0 )
能为力时，数值方法则可以借助于计算机出色完成。
2
2.1二分法
概念：
有根区间：存先确定有限区间：依据零点定理。 设 f ( x) C[a, b]，且 f (a) f (b) 0 ，则 方程 f ( x) 0在区间 (a, b)上至少有一个根。 如果 f ' ( x) 在 (a, b)上恒正或恒负，则此根唯 一。
f ( x) f ( xk ) f ( xk )(x xk ) 一元函数 F ( x) F ( x k ) F ( xk )(x xk ) 0 x k为向量 F ( x k )(x x k ) F ( x k ) x x k F ( x k )1 F ( x k )
18
3.非线性方程组的迭代解法
f1 ( x1 , x2 , , xn ) 0 f1 ( x) f1 ( x1 , L , xn ) 或 F ( x) L 0 L f ( x) f ( x , L , x ) f ( x , x ,, x ) 0 n n n 1 n n 1 2
9
迭代法及收敛性
考虑方程 x ( x)。 这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根。
但如果给出根的某个猜测值 x0， 代入 x ( x) 中的右端得到 x1 ( x0 )，再以 为一个猜测值，
x1
代入 x ( x) 的右端得 x2 ( x1 ) ，反复迭代 得
1 f ( x ) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) ( x x0 )2 f ( ) 2 其中在x和x0之间
0 f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) 0
16
Newton迭代法
有：
*
f ( x0 ) x x0 f ( x0 )
能为力时，数值方法则可以借助于计算机出色完成。
2
2.1二分法
概念：
有根区间：存先确定有限区间：依据零点定理。 设 f ( x) C[a, b]，且 f (a) f (b) 0 ，则 方程 f ( x) 0在区间 (a, b)上至少有一个根。 如果 f ' ( x) 在 (a, b)上恒正或恒负，则此根唯 一。
非线性代数方程组的数值解法
其中μn的作用是改变切线矩阵KT的主对角元素， 使奇异性或病态得到改善。。
使用某种算法的计算效率，除了与收敛速度有 关外，还与每一步迭代所花费的计算量有关。关于 每步的计算量，牛顿法最大，而修正牛顿法最小。 因此在实际问题的计算中判断使用哪种方法效率较 高，往往需要进行数值实验。总的看来，不同的算 法可能适用于不同的问题。选用哪种算法，与所研 究问题的性质 (例如，对线性的偏离程度)、规模 (离散的自由度总数) 以及容许误差等因素有关。
则可得
(a, ) ,a Δ a , Δ 0
引入切线矩阵且略去高阶小量后可改写为
Δ a KT (a, )1 RΔ
设荷载增量因子λ分别取如下值
0 0 1 2 M 1
则荷载(R)可分成M级，第m级荷载为λmR，其
增由量此为可(λm得+1Δ-λamm)R=[=KΔTλ(maRm。,λm)]-1ΔλmR am+1=am+Δam
对非线性方程Ψ(a)=0，一般只能用数值方法 求近似解答。其实质是，用一系列线性方程组 的解去逼近所讨论非线性方程组的解。
分段线性法
1.1 直接迭代法 1.2 牛顿法和修正牛顿法
1.3 增量方法 1.4 增量弧长法
1.1 直接迭代法
Ψ(a) =P(a)-R=K(a) a -R=0
设初始未知量为a0，根据上式有 a1= K(a0)-1R
即找到一个ain1 ain n ai 式中的最好的 n 值。
虽然沿这一方向，不能期望求得精确解，但我们可以
迭择因子 n (在搜索问题中称为步长因子)，使在搜索
方向上 (a)的分量为零，即
ai
(i
(a
n
k
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) ,所以(x)满足压缩映像原理，
故{xn}0 收敛到 x*。
敛速是线性的
因为lim n
en1 en
lim
n
(
xn ) xn
(
x*
x*
)
(x*)
0
所以{xn}0 线性收敛到 x* 。
Steffensen迭代格式
由线性收敛知
记新的有根区间为 [a2 ,b2 ] ， 则
[a1,b1 ] [a2 ,b2 ]
且
b2
a2
1 2
(b1
a1 )
二分法
对 [a2 ,b2 ]重复上述做法得
[a1, b1 ] [a2 ,b2 ] ...... [an ,bn ] ......
且
bn
an
1 2 n1
的序列{xk1}.收敛于 x 。
压缩映像原理
证明：不失一般性,不妨设
(a) a,(b) b
否则 a或b为方程的根。 首先证明根的存在性
令 (x) (x) x
压缩映像原理
则 (a) (a) a 0 ， (b) 0 即 (a) (b) 0
(b
a
)
二分法
设 所求的根为 x，
则 x [an ,bn ] n 1,2......
即 an x bn n 1,2......
lnim(bn
an )
lim
n
1 2 n 1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
取
x
cn
1 2
(an
bn )
2)if f (a) f (x) 0 then
[a, b][a, x];
else [a, b][x, b].
endw hile; (4)输出x 1 (a b).
2
求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法
(1) 输入 : a, b, h, ;
(2) a1 a; b1 a1 h; (3)while b1 b时做
简单迭代收敛情况的几何解释
2.2.2 Steffensen加速收敛法
迭代法收敛的阶
定义2.2.1 设序列 { xn}0 收敛到 x*，若有实
数 p 1和非零常数C，使得
lim
n
en1 enp
C
其中，en xn x*，则称该序列是p 阶收敛的， C 称为渐进误差常数。
迭代法收敛的阶
xn2 xn xn x* xn2 x* (x* )2 xn21 2xn1x* (x* )2 xn2 xn xn x* xn2 x* xn21 2xn1x* x* (xn xn2 2xn1) xn2 xn xn21
1)while f (a1) f (b1) 0做a1 a; b1 a1 h; endw hile;
2)while | b1 a1 | 时做
10
x
1 2
(a1
b1 ); 计算f
(x);
求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法
20 if f (x) 0转(3);
30 if f (a1) f (x) 0 then [a1, b1][a1, x]
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程
f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。 解：由x 3 x 1 建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=10,1,2,3…….
计算结果如下:
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
例题
第2章
非线性方程与方程组的数值解法
本章重点介绍求解非线性方程 f (x) 0的几种常见和有
效的数值方法,同时也对非线性方程组
fi (x1, x2,, xn ) 0 (i 1,2,, n)
求解,简单介绍一些最基本的解法.无论在理论上,还是在
实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突
迭代法收敛的阶
证明：
满足压缩映像原理
由| (x* ) | 1及 ' (x) C知，
足够小时，有|(x) | L 1 (x )
因此，对于x 有
| (x) x* || (x) (x*) || ( ) || x x* || x x* |
即
lim
n
xn
x
压缩映像原理
误差估计
若 x (x) 满足定理2.2.1条件，则
|
xn
x
|
L 1 L
|
xn
xn1
|
这是事后估计，也就是停机标准。L越小，收敛速度越快。
|
xn
x
|
Ln 1 L
|
x1
x0
|
这是事前估计。选取n，预先估计迭代次数。
例题
例2.2.2 证明函数(x) 3 x 1 在区间[1， 2]上满足迭代收敛条件。
压缩映像原理
最后证迭代序列的收敛性
由于
因为
| xn x || (xn1) (x) | L | xn1 x |
......
Ln | x0 x | x0, x 与n 无关，而0<L<1
所以
lim
n
|
xn
x
||
x0
x
|
lim Ln
n
0
1
L 1
3
33 4
所以 (x)满足条件（2）。
x [1,2]
故(x) 3 x 1在[1,2]满足压缩映像原理。
例题
若取迭代函数 (x) x3 1 ，
因为 | '(x) || 3x2 | 3 x [1,2]
不满足压缩映像原理，故不能肯定 xn1 (xn ) n 0,1,.... 收敛到方程的根。
（1）x [a,b] (x) [a,b]
（2）(x) 满足Lipschitz条件
即 x1, x2 [a,b] 且 0 L1 。
有 (x1) (x2 ) L x1 x2
压缩映像原理
则 x (x) 在 [a,b] 上存在 唯一解 x ，
且对 x0 [a,b] ，由 xk1 (xk ) 产生
方程的有根区间为[1.3,1.4].
又 f ' (x) 3x2 1 0, x [1.3,1.4] 即 f (x) 0在 [1.3,1.4]有唯一根。
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式
如： x3 x 1 0 x 3 x 1
等步长扫描法求有根区间
用计算机求有根区间：等步长扫描法。
设h>0是给定的步长，取 x0 a, x1 a h ，
若 f (x0 ) f (x1) 0 则扫描成功；否则令 x0 x1, x1 x0 h ，继续上述方法，直到成
功。如果 x1 b 则扫描失败。再将h 缩小，
(6) a x ，转 3） 注：如果对足够小的步长h扫描失败。
说明：
在 [a,b] 内无根 在 [a,b] 内有偶重根
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1 )
若 f (a1) f (c1) 0 ，则 [a1, c1]为有根区间，否 则 [c1,b1]为有根区间
y
y
x
(x)
交点的横坐标
y=x
x* x2
x1
x0
简单迭代法
将f (x) 0变为另一种等价形式 x (x)。
选取x 的某一近似值 x0 [a,b] ，则按递推 关系 xk1 (xk ) k 0,1,.....产. 生的迭代序列 {xk } 。这种方法算为简单迭代法。
else [a1, b1][x, b1].
endw hile;
3)输出:
x;
a1
x
h 10
; b1
a1
h;
endw hile;
例题
例1 设方程 f (x) x3 x 1,[a,b] [1,2]
解：取h=0.1,扫描得：
f (1.3) 0.61 0 f (1.4) 0.344 0
由条件2）(x) 是 [a,b] 上的连续函数 所以 (x) 是[a,b] 上的连续函数。 故由零点定理 (x) 0 在 [a,b] 上至少有一根
x (a,b)
压缩映像原理
再证根的唯一性
设有 x1 , x2 [a, b] 均为方程的根 则 | x1 x2 || (x1 ) (x2 ) | L | x1 x2 | 因为 0<L<1 ，所以只可能 x1 x2 ， 即根是唯一的。
反复迭代得 xk1 (xk ) k 0,1,......
迭代法及收敛性
若
{xk }收敛，即
lim
k
xk
x
则得 x 是 x (x) 的一个根
lim
n
xn
1
lim
n
(
xn
)
故{xn}0 收敛到 x*。
敛速是线性的
因为lim n
en1 en
lim
n
(
xn ) xn
(
x*
x*
)
(x*)
0
所以{xn}0 线性收敛到 x* 。
Steffensen迭代格式
由线性收敛知
记新的有根区间为 [a2 ,b2 ] ， 则
[a1,b1 ] [a2 ,b2 ]
且
b2
a2
1 2
(b1
a1 )
二分法
对 [a2 ,b2 ]重复上述做法得
[a1, b1 ] [a2 ,b2 ] ...... [an ,bn ] ......
且
bn
an
1 2 n1
的序列{xk1}.收敛于 x 。
压缩映像原理
证明：不失一般性,不妨设
(a) a,(b) b
否则 a或b为方程的根。 首先证明根的存在性
令 (x) (x) x
压缩映像原理
则 (a) (a) a 0 ， (b) 0 即 (a) (b) 0
(b
a
)
二分法
设 所求的根为 x，
则 x [an ,bn ] n 1,2......
即 an x bn n 1,2......
lnim(bn
an )
lim
n
1 2 n 1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
取
x
cn
1 2
(an
bn )
2)if f (a) f (x) 0 then
[a, b][a, x];
else [a, b][x, b].
endw hile; (4)输出x 1 (a b).
2
求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法
(1) 输入 : a, b, h, ;
(2) a1 a; b1 a1 h; (3)while b1 b时做
简单迭代收敛情况的几何解释
2.2.2 Steffensen加速收敛法
迭代法收敛的阶
定义2.2.1 设序列 { xn}0 收敛到 x*，若有实
数 p 1和非零常数C，使得
lim
n
en1 enp
C
其中，en xn x*，则称该序列是p 阶收敛的， C 称为渐进误差常数。
迭代法收敛的阶
xn2 xn xn x* xn2 x* (x* )2 xn21 2xn1x* (x* )2 xn2 xn xn x* xn2 x* xn21 2xn1x* x* (xn xn2 2xn1) xn2 xn xn21
1)while f (a1) f (b1) 0做a1 a; b1 a1 h; endw hile;
2)while | b1 a1 | 时做
10
x
1 2
(a1
b1 ); 计算f
(x);
求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法
20 if f (x) 0转(3);
30 if f (a1) f (x) 0 then [a1, b1][a1, x]
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程
f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。 解：由x 3 x 1 建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=10,1,2,3…….
计算结果如下:
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
例题
第2章
非线性方程与方程组的数值解法
本章重点介绍求解非线性方程 f (x) 0的几种常见和有
效的数值方法,同时也对非线性方程组
fi (x1, x2,, xn ) 0 (i 1,2,, n)
求解,简单介绍一些最基本的解法.无论在理论上,还是在
实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突
迭代法收敛的阶
证明：
满足压缩映像原理
由| (x* ) | 1及 ' (x) C知，
足够小时，有|(x) | L 1 (x )
因此，对于x 有
| (x) x* || (x) (x*) || ( ) || x x* || x x* |
即
lim
n
xn
x
压缩映像原理
误差估计
若 x (x) 满足定理2.2.1条件，则
|
xn
x
|
L 1 L
|
xn
xn1
|
这是事后估计，也就是停机标准。L越小，收敛速度越快。
|
xn
x
|
Ln 1 L
|
x1
x0
|
这是事前估计。选取n，预先估计迭代次数。
例题
例2.2.2 证明函数(x) 3 x 1 在区间[1， 2]上满足迭代收敛条件。
压缩映像原理
最后证迭代序列的收敛性
由于
因为
| xn x || (xn1) (x) | L | xn1 x |
......
Ln | x0 x | x0, x 与n 无关，而0<L<1
所以
lim
n
|
xn
x
||
x0
x
|
lim Ln
n
0
1
L 1
3
33 4
所以 (x)满足条件（2）。
x [1,2]
故(x) 3 x 1在[1,2]满足压缩映像原理。
例题
若取迭代函数 (x) x3 1 ，
因为 | '(x) || 3x2 | 3 x [1,2]
不满足压缩映像原理，故不能肯定 xn1 (xn ) n 0,1,.... 收敛到方程的根。
（1）x [a,b] (x) [a,b]
（2）(x) 满足Lipschitz条件
即 x1, x2 [a,b] 且 0 L1 。
有 (x1) (x2 ) L x1 x2
压缩映像原理
则 x (x) 在 [a,b] 上存在 唯一解 x ，
且对 x0 [a,b] ，由 xk1 (xk ) 产生
方程的有根区间为[1.3,1.4].
又 f ' (x) 3x2 1 0, x [1.3,1.4] 即 f (x) 0在 [1.3,1.4]有唯一根。
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式
如： x3 x 1 0 x 3 x 1
等步长扫描法求有根区间
用计算机求有根区间：等步长扫描法。
设h>0是给定的步长，取 x0 a, x1 a h ，
若 f (x0 ) f (x1) 0 则扫描成功；否则令 x0 x1, x1 x0 h ，继续上述方法，直到成
功。如果 x1 b 则扫描失败。再将h 缩小，
(6) a x ，转 3） 注：如果对足够小的步长h扫描失败。
说明：
在 [a,b] 内无根 在 [a,b] 内有偶重根
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1 )
若 f (a1) f (c1) 0 ，则 [a1, c1]为有根区间，否 则 [c1,b1]为有根区间
y
y
x
(x)
交点的横坐标
y=x
x* x2
x1
x0
简单迭代法
将f (x) 0变为另一种等价形式 x (x)。
选取x 的某一近似值 x0 [a,b] ，则按递推 关系 xk1 (xk ) k 0,1,.....产. 生的迭代序列 {xk } 。这种方法算为简单迭代法。
else [a1, b1][x, b1].
endw hile;
3)输出:
x;
a1
x
h 10
; b1
a1
h;
endw hile;
例题
例1 设方程 f (x) x3 x 1,[a,b] [1,2]
解：取h=0.1,扫描得：
f (1.3) 0.61 0 f (1.4) 0.344 0
由条件2）(x) 是 [a,b] 上的连续函数 所以 (x) 是[a,b] 上的连续函数。 故由零点定理 (x) 0 在 [a,b] 上至少有一根
x (a,b)
压缩映像原理
再证根的唯一性
设有 x1 , x2 [a, b] 均为方程的根 则 | x1 x2 || (x1 ) (x2 ) | L | x1 x2 | 因为 0<L<1 ，所以只可能 x1 x2 ， 即根是唯一的。
反复迭代得 xk1 (xk ) k 0,1,......
迭代法及收敛性
若
{xk }收敛，即
lim
k
xk
x
则得 x 是 x (x) 的一个根
lim
n
xn
1
lim
n
(
xn
)