三角恒等变换典型例题剖析

三角恒等变换典型例题剖析

三角函数是高中数学的重要内容，是高考考查的重点，热点.不论是三角函数的求值、化简、证明，还是其它与三角函数有关的考题，都涉及到利用三角恒等变换.三角变换的方法很多，如切割化弦，异角化同角，异名化同名等.在解题中，常需要对角的范围及三角函数值的符号情况进行讨论，甚至是一些变换技巧的应用，下面就学生在解三角恒等变换题目时常出现的几类问题进行剖析.

1.变异为同，意识不强

已知，则=___________．

分析本题考查函数解析式及函数值的求解，求的解析式在必修1教学时学过，是一大难点,本题需要用换元法求解析式.学生错误的原因首先是特殊角的三角函数值没有记准，其次考虑问题不到位，因为题目同时出现了等信息，肯定要用“切割化弦”，“1”的代换等将问题简化.

解．

令，则，

故．

2．未知化已知，衔接不当

例2已知，则=_____________．分析：上述解法是用常规思路求值，但计算过程比较麻烦，计算量大.本题只须先找准

所求式子中的角与已知角的关系，即，，再利用诱导公式转化为求已知角的余弦值，采用整体代入思想即可.

解，则原式可整理如下：

3．定义域优先原则，容易忽视

例3分别求函数的奇偶性和周期.

分析利用公式将化简，是本题的突破口，得到的结果是.但在求奇偶性时，忽略了定义域优先的原则，要使函数有意义，，即须满足

，且此定义域不关于原点对称，从而是非奇非偶函数.而的周期性需要从图象来判断.

解：要使函数有意义，

则有，

即的定义域是不关于原点对称，

故是非奇非偶函数．

又

由其图象特征知，

是周期函数，且．

说明此题若指出函数的定义域为时，此函数即是奇函数.

4．产生增根，不易排除

例4 设是第四象限的角，若，则=__________．

分析例题利用拆项，所求问题得以求解.但是，

时，，并不是有两个值. 可能在第三，四象限，求的余弦值可以避开错误,所以灵活选用公式很重要.

解由，．

，．

，故可能在第三，四象限．

，．

5.考虑不周，范围扩大

例5已知，求的范围.

分析本题看似简单但很容易出错，错解选用公式正确，但考虑欠周.题目同时出现了

，暗示学生用.但由于使用部分公式就可以很快得出结论，学生很容易放松警惕而考虑不全面.

解：（前面同上）

又，

由，得

，

综上所述, ．