分式方程(定义及解法)ppt课件

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12.1 分式 - 第1课时课件(共18张PPT)

谈一谈
由上面的问题，我们分别得到下面一些代数式：，；；，
将这些代数式按“分母”含与不含字母来分类，可分成怎样的两类？
分母不含字母
分母含字母
知识点1 分式的概念
定义
一般地，我们把形如的代数式叫做分式，其中，A，B都是整式，分母必须含有字母.分式也可以看做两个整式相除（除式中含有字母）的商.
12.1 分式第1课时
第十二章分式和分式方程
学习目标
1.知道分式的概念，发展符号感.2.经历由类比、猜想获得分式基本性质的过程，发展学生的合情推理能力.
学习重难点
掌握分式的概念.
理解并掌握分式的基本性质.
难点
重点
问题导入
1.一项工程，甲施工队5天可以完成。甲施工队每天完成的工程量是多少？3天完成的工程量又是多少？如果乙施工队a天可以完成这项工程，那么乙施工队每天完成的工程量是多少？b（b<a）天完成的工程量又是多少？2.已知甲、乙两地之间的路程为m km。如果A车的速度为n km/h,B车比A车每小时多行20 km,那么从甲地到乙地，A车和B车所用的时间各为多少？
分式的基本性质
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
知识点2 分式的基本性质
分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
做一做
分式
随堂练习
1.下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
（1）
2.当x取何值时，下列分式有意义？
3.
（3）（4）（5）
拓展提升
B
归纳小结
分式
分式的概念
例题解析
例1 指出下列各式中，哪些是整式，哪些是分式.
归纳：

分式方程及其解法课件

高阶分式方程的解法实例
总结词
通过降阶、变量代换等方法，将高阶分式方程转化为低阶或可直接求解的分式方程。
详细描述
高阶分式方程可以通过降阶、变量代换等方法，将其转化为低阶或可直接求解的分式方
程。例如，对于形如 "a1x1+a2x2+...+anxn/b1x1+b2x2+...+b nxn=c" 的高阶分式方程，可以先将高阶项进行降阶或变量代换，将其转化为可直接求
分式方程及其解法课件
目
CONTENCT
录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的解法 • 分式方程的解法技巧 • 分式方程的解法实例 • 分式方程的解法总结与反思
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
总结词
分式方程是数学中一类带有分式的等式，用于描述某些特定情况下的数量关系。
详细描述
分式方程是数学中一类带有分式的等式，通常用来描述两个或多个量之间的关系。分式方程中的分母不能为零，因为分母代表一个量所占的比例或份额。
适用范围
分式方程的解法适用于解决涉及分数、比例、百分数等实际问题的数学问题，同时也可以用于解决一些代数和几何问题。
不适用范围
对于一些过于复杂或抽象的分式方程，分式方程的解法可能无法解决，或者解决起来非常困难。
解法的改进与展望
改进
在解分式方程时，可以尝试引入更多的数学工具和方法，例Байду номын сангаас使用分数运算规则、因式分解、变量替换等技巧，以提高解题效率和准确性。
通过约分、通分、消去分母等方法，将分式方程转化为整式方程进行求解。
VS
详细描述
一元分式方程通常可以通过约分、通分和消去分母的方法，将方程转化为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。例如，对于形如 "ax+b/cx+d=e" 的分式方程，可以先通分，然后移项、合并同类项，最后求解整式方程。

分式方程的复习课件

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步骤
1. 整理方程；2. 确定分母；3. 使用公式求解
换元法
简化复杂分式方程的有效手段
输入标题
详细描述
换元法是通过引入新的变量来替换原方程中的复杂部分，从而将复杂方程转化为简单方程。这种方法在解复杂分式方程时非常有效。
总结词
适用范围
1. 确定需要替换的部分；2. 引入新变量；3. 替换并整理方程；4. 解出新变量的值；5. 还原为原变量得到解
$x = frac{5}{4}$。
综合练习题
题目
解方程 $frac{x + 1}{2} - frac{4x - 3}{5} = frac{2x + 1}{3} + frac{1}{15}$
解析
首先将方程两边都乘以15（最小公倍数）来消去分母，得到 $15(x + 1) - (4x - 3) = (2x + 1) times 3 + 1$，然后去括号、移项、合并同类项，最后解得 $x = frac{49}{17}$。
对于有实际意义的分式方程，解必须符合实际情况，例如在物理问题中，解需要符合物理定律和常识。
解的取值范围
确定解的取值范围
在解分式方程时，需要考虑解的取值范围，以确保解是有效的。
验证解的连续性和可导性
对于一些需要求导数或者需要验证连续性的问题，需要确保解在指定区间内是连续和可导的。
避免常见错误
避免解的扩大化
。
步骤
复杂或难以直接解出的分式方程
消去法
总结词
通过消除分式方程中的分母来求解
详细描述
消去法是通过对方程两边同时乘以公共分母，消除分母，将分式方程转化为整式方程，然后求解。

分式方程(最简公分母)

量等物理量的关系。
工程学
在工程设计中，分式方程常用于解决材料强度、结构稳定性、流体动力学等方面的问题。
经济学
在经济学中，分式方程常用于描述成本、收益、供需关系等
方面的问题。
生物学
在生物学中，分式方程常用于描述种群增长、生物代谢、药
物浓度等方面的变化。
02 最简公分母的确定
确定公分母的方法
观察法
通过观察分式方程中各项的分母，找出其中最小或最大的公因数作为公分母。
因式分解法
对分式方程中各项的分母进行因式分解，取各因子的最小公倍数作为公分母。
代数法
通过代数运算，将分式方程中的分母统一为同一个多项式，该多项式即为公分母。
公分母的简化
约分
对公分母进行约分，简化其形式。
提取公因子
在解方程过程中，应时刻关注符号问题，并进行必要的调整和修正。
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求解实际问题的分式方程
1 2
比例问题
分式方程在解决比例问题中非常有用，例如在商业、农业等领域中，可以通过建立分式方程来求解各种比例关系。
速度、时间和距离问题
在物理和交通领域中，经常涉及到速度、时间和距离的关系，分式方程可以用来解决这类问题。
3
利润和折扣问题
在商业中，利润和折扣问题也是常见的，分式方程可以用来解决这类问题，帮助商家制定合理的价格和促销策略。
在科学计算中的应用
物理学
在物理学中，分式方程被广泛应用于各种物理现象的计算，例如在力学、电磁学、光学等领域中。
化学
在化学中，分式方程也被用来解决各种化学反应的动力学问题，例如反应速率、化学平衡等问题。

人教版数学八年级上册15.分式方程的定义及解法课件

人教版数学八年级上册
理解分式方程的概念并会判断一个方程是否是分式方程.
掌握解分式方程的基本思路和解法.
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90
千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速
为x千米/时，根据题意可列方程
90 30+x
60 30
我们再来观察去分母的过程:
90 60 30+x 30 x
① 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时,(30+x)(30-x)≠0
90(30-x)=60(30+x)
真相揭秘：分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的解相同.
1 10 x 5 x2 25
两边同乘(x+5)(x-5)
方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
“去分母法”解分式方程的步骤
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则原分式方程无解； 4.写出原方程的根.
②
当x=5时,
x+5=10 (x+5)(x-5)=0
真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这个整式方程的解就不是原分式方程的解.
分式方程解的检验------必不可少的步骤解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，
所以分式方程的解必须检验．
检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式
“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.

分式ppt课件

一元二次分式方程的解法
定义
一元二次分式方程是只含有一个未知数，且未知数的次数为2的
分式方程。
解法
通过去分母、移项、合并同类项等步骤，将分式方程转化为整式
方程，然后求解。
注意事项
在去分母时，要注意分母不能为 0的情况。
多元一次分式方程的解法
定义
多元一次分式方程是含有多个未知数，且未知数的次数为1的分式方程。
05
分式的注意事项与易错点
Chapter
约分时需要注意的事项
约分的前提
约分前需要确定分子和分母有公因式，且公因式不为0。
约分的步骤
先找出分子和分母的最大公因式，然后将其约去。
约分的注意事项
约分时要注意不要约去不合适的公因式，导致分式失去意义。
通分时需要注意的事项
通分的定义
通分是将两个或多个分数的分母统一的过程。
解法
通过消元法或代入法，将分式方程转化为整式方程，然后求解。
注意事项
在消元或代入过程中，要注意分母不能为0的情况。
04
分式在实际生活中的应用
Chapter
物理中的应用
速度与加速度
在物理中，速度和加速度的公式可以表示为分式形式，用于描述物体的运动状态和变化。
热量传导
热量传导的公式中，时间、物体的质量和比热容之间的关系也可以用分式表示。
约分
约分定义
将一个分数的分子和分母进行因式分解，然后找出公共因子进行
约简。
约分步骤
1. 将分子和分母分别进行因式分解；2. 找出分子和分母的公共因子； 3. 约去公共因子得到最简分数。
注意事项
约分时要注意分子和分母的符号，确保约简后的分数与原分数相等。

《分式》PPT教学课件(第1课时)

a b2 a b2
1
b a4 a b4 a b2 .
注意判断一个分式是不是最简分式，要严格按照定义来判断，就是看分子、分母有没有公因式.分子或分母是多项式时，要先把分子、分母因式分解.
三分式的求值
分式的求值对一些较复杂的分式求值，应先约分化简，再代入具体数据求值.常用方法有整体代入法，倒数法，换元法和配方法等.
课堂小结
❖分式的概念 ①分子分母都是整式； ②分母中必含有字母. ❖分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义. ❖当分子为零且分母不为零时，分式值为零. ❖分式的基本性质
课后作业
见《学练优》本课时练习
第十二章分式和分式方程
分式
第2课时
学习目标
1.理解约分和最简分式的意义.（难点） 2.根据定义找出分式中分子与分母的公因式，并会约分. 3.理解分式求值的意义，学会根据已知条件求分式值.(重点）
1
;
2
a b
b a
2 4
;
3
x2
y 8x 8
.
解析：最简分式： x2 y2 ; x2 2x 1 .
y2 2x2 8x 8
不是最简分式：
m2 2m 1 m2
1
;
a b
b a
2 4
.
m2 2m 1 m 12 m 1;
1 m2
m 1m 1 m 1
分式的特点分式的特征是: ①分子、分母都是整式；
②分母中含有字母 .
二分式有（无）意义及分式值为0
观察与思考
探究求下列分式的值：
x … -2 -1
0
1
2…
x x-2 …
1 2
1 3

分式方程ppt课件

0时，分式方程无实根。
适用于分子、分母均为二次多项式的分式方程。
因式分解法
将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03
分式方程应用举例
工程问题
工作总量 = 工作时间 × 工作效率
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间
举例：一项工程，甲单独做需要20天完成，乙单独做需要30 天完成。如果两人合作，需要多少天完成？
行程问题
速度 = 路程 ÷ 时间
举例：甲、乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米。问这辆汽车需要多少小
方程的解。
04
对于第三个练习题，找到公共分母$x^2-1$，两边乘以公共分母，得到整式方程$(x+1)(x-1)-4=x^2-1$，解得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
THANKS
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分式方程ppt课件
目录
• 分式方程基本概念 • 分式方程解法 • 分式方程应用举例 • 分式方程与实际问题结合 • 分式方程求解技巧与注意事项 • 分式方程练习题与答案解析
01
分式方程基本概念
分式方程定义
分式方程是指分母里含有未知数的有理方程。
分式方程是方程中的一种，且分母里含有未知数的（有理）方程
之几？
经济问题
利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润 ÷ 进价 × 100%
售价 = 进价 × (1 + 利润率)
进价 = 售价 ÷ (1 + 利润率)

(2024年)分式课件

分式课件
2024/3/26
1
2024/3/26
• 分式基本概念与性质 • 分式化简与求值 • 分式方程及其解法 • 分式在几何中的应用 • 分式在函数中的应用 • 分式在生活实际问题中的应用
2
01
分式基本概念与性质
2024/3/26
3
分式定义及表示方法
2024/3/26
分式定义
分式是两个整式相除的商式，其中分子是被除数，分母是除数，分数线相当于除号。
拆分法
对于某些复杂的分式，可以将其拆分成几个简单的分式之和或差，从而方便进行化简。
8
分式求值技巧
01
代入法
当分式中包含字母时，可以将已知的字母值代入分式，然后进行计算。
2024/3/26
02
整体法
对于某些复杂的分式求值问题，可以将整个表达式看作一个整体，然后
进行运算。
03
特殊值法
在某些情况下，可以通过取特殊值的方法来简化计算。例如，当分式的
03
运用分式求解二次函数的最值问题，理解最值的求解
方法和步骤。
2024/3/26
21
复杂函数图像中分式识别和处理
1 2
复杂函数图像中的分式识别
学习如何在复杂函数图像中识别出分式的存在，并分析其对函数图像的影响。
分式的处理技巧和方法
掌握处理复杂函数中分式的技巧和方法，如分离常数法、配方法等。
3
分式在函数性质分析中的应用
03
利用分式求解一次函数与反比例函数的交点，掌握相关计算方
法和技巧。
20
二次函数与分式关系探讨
二次函数中的分式形式
01
研究二次函数中分式的表达形式，以及分式对二次函

《分式与分式方程》课件

详细描述
分式的定义中，分母是除数，可以是整数、多项式或分式。
分式的值随着分子和分母的取值变化而变化，当分子和分母同号时，分式的值为正；当分子和分母异号时，分式的值为负。
分式的性质
总结词
分式的性质
详细描述
分式具有一些重要的性质，如分式的加减法、乘除法、约分和通分等。
详细描述
分式的加减法性质指出，当分母相同时，可以直接对分子进行加减运算；当分母不同时，需要先进行通分，再进行加减运算。
详细描述
分式的乘除法性质指出，分式与整数相乘或相除时，可以直接对分子和分母分别进行乘除运算。
分式的约分与通分
总结词
分式的约分与通分
详细描述
约分是指将一个分式化简为最简形式的过程，通过约简分子和分母的公因式来实现。通分是指将两个或多个分式化为具有相同分母的过程，以便进行加减运算。
02
分式方程的解法
总结词
理解同分母分式的加减法规则
详细描述
同分母的分式可以直接进行加减运算，分母不变，分子进行相应的加减运算。
总结词
掌握异分母分式的加减法规则
详细描述
异分母的分式在加减时，需要先通分，然后按照同分母分式的加减法规则进行运算。
分式的乘除法
总结词
理解分数乘法的规则
01
详细描述
02 分数乘法时，分子乘分子作为
THANKS
新的分子，分母乘分母作为新的分母，然后再化简。
总结词
理解分数除法的规则
03
详细描述
04 分数除法时，可以转化为乘法
运算，即被除数乘以除数的倒数，然后再化简。
总结词
掌分式的一种方法，
通过分子和分母的最大公约数来约简分式。

浙教版七年级数学下册课件5.5.1 分式方程 (共24张PPT)

知2－讲
ì A＋2 B＝0， ï ï ∴ï í B＋2C＝0， ï ï ï î A＋ C＝1，
ì 4 ï ï A ＝， ï 5 ï ï ï 2 ï 解得 í B＝- ， ï 5 ï ï ï 1 ï C＝ . ï ï 5 î
（来自《典中点》）
知2－练
1
(中考· 乌鲁木齐)九年级学生去距学校10 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 20 min 后，其余
意列方程为( )
210 210 A. = 5 x 1.5 x
210 210 B. = 5 x x - 1.5 210 210 D. = 1.5 + 5 x
210 210 C. =5 1.5 + x x
（来自《典中点》）
1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程．
2.列分式方程的步骤：
(1)审清题意； (2)设未知数； (3)找到相等关系； (4)列分式方程．
像这样只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程(equation with algebraic
fraction).
（来自《教材》）
知1－讲
分式方程：只含分式，或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程．要点精析： (1)分式方程的两个特点：
①方程中含有分母；②分母中含有未知数．
补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
900 750 = m m+ 3
D.
900 750 = m+ 3 m
900 750 = m- 3 m
（来自《点拨》）
C. 900 = 750 m m- 3
知2－讲
根据题意知B类玩具的进价为(m－3)元/个，根导引：据用900元购进A类玩具的数量与用750元购进 B类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即

分式方程课件

通常只需检验所得的根是否使原方程中分式的_分__母__的__值__等__于__零__的值等于零就可以。
解分式方程有哪些步骤：
1. 去分母，将分式方程化为整式方程：
方程两边各项乘以最简公分母
2.解整式方程 3.检验 4.结论
练习 2 解分式方程 1 2 x 2 x3 x3
练习 3
已知 1 3 x 1 有增根,则增根为 x ______
1 x 1 2x 2.
解这个程, 得 x 2.
你认为x=2 是原方程的根吗？交流你的看法或做法.
在上面的方程中,x=2不是原方程的根,因为它使得分式方程的_分__母__为__零__,我们称它为原方程的_增__根___.
产生增根的原因是,我们在方程的两边同乘了一个可能_使__分__母__为__零___的整式,因此解分式方程可能产生__增__根__.所以,解分式方程必须__检__验__.
左边=1=右边 ,
所以，x 3 是原方程的根 .
例2 解方程： 480 600 45 x 2x
解：方程的两边乘以 2x, 得
960 600 90x.
解这个方程 ,得 x 4
检验 :Байду номын сангаас将x 4代入原方程 , 得
所以,
左边 45 右边. x 4 是原方程的根 .
例2：解方程 480 600 45 x 2x
解法2：方程进行约分，得
480 300 45. xx
180 45 x
解这个方程 ,得 x 4.
检验 : 将x 4代入原方程 , 得左边 45 右边.
所以, x 4 是原方程的根 .
在解方程 1 x 1 2 时,小亮的解法如下: x2 2x
解 : 方程的两边乘以x 2, 得

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叫分式方程 .
2
【分式方程的定义】
分母中含未知数的方程叫做分式方程.
整式方程的未知数不在分母中
分式方程的分母中含有未知数
判断下列说法是否正确：
(1) 2x 3 5是分式方程
（否）
(2)
23 4 是分式方程（是）
44x x 3
(3) x2 1是分式方程
（是）
x
(4)
1 1 是分式方程（是）
∴ v＝6是原分式方程的解母
整式方程6
【解分式方程】
解分式方程
1 x-5
=
10 x2-25
解：在方程两边都乘以最简公分母(x+5)(x-5)得，
x+5=10 解这个整式方程，得x=5
检验:把x = 5 代入原方程中，发现x-5和x2-25的
值都为０，相应的分式无意义，因此x=5虽是方
程x+5=10的解，但不是原分式方程 1 x-5
x1 y1
3
下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程.
(1) x 2 x 23
4 3 7 xy
整式方程
(2) 1 3 (4) x(x 1) 1
x2 x
x
(3) 3 x x（6）2x x 1 10
2
5
（5）x 1 2 2x 1 3x 1
x
x
分式方程
4
如何求分式方程 90 60 的解呢
11
【小结】
通过例题的讲解和练习的操作,你能总结出解分式方程的一般步骤吗? 解分式方程的一般步骤的框架图：
分式方程去分母整式方程
解整式方程
目标
a是分式方程的解
X=a
检验
最简公分
最简公分
母不为０
母为０
a不是分式方程的解
12
分式方程
1
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时,它沿江以最大航速顺流航行90千米所用时间,与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等, 江水的流速为多少?
分析：设江水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
90 60 30 v 30 v
此方程与前面所学的整式方程有什么不同?
分母中含有未知数的方程
30 v 30 v
去分母,去括号, 移项,合并,系数化为1
解一元一次方程的一般步骤是什么?
5
解:方程两边同乘以(30+v)(30-v), 得
90(30-v)=60(30+v)
解得
v=6.
解分式方程的思路是
检验:将v＝6代入原方程得:
∵左边=2.5 右边=2.5 分式方程
左边=右边
去
分
1、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.
2、解这个整式方程.
3、把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，必须舍去.
4、写出原方程的根.
一化二解三检验
9
例1: 解分式方程 2 3 x3 x
解：方程两边同乘χ(χ-3)，得
解得
2χ=3χ-9
χ=9
检验：χ=9时χ(χ-3) ≠0，
χ=9是原方程的解。
10
例2 解方程 x 1
3
x 1 (x 1)(x 2)
解：方程两边同乘以 (χ-1)(χ+2)，得
χ(χ+2)-(χ-1)(χ+2)=3
化简，得
解得
χ+2=3
χ=1
检验：χ=1时(χ-1)(χ+2)=0,
χ=1不是方程的解，原分式方程无解。
=
10 x2-25
的解．实际上，这个分式方程无解。
7
上面两个分式方程中，为什么 90 60 ① 30 v 30 v
去分母后所得整式方程的解就是 ①的解，
பைடு நூலகம்
1 而x 5
10
②
x2 25
去分母后所得整式方程的解却不是 ② 的解呢？
8
解分式方程的思路是：
分式
去分母
整式
方程
方程
解分式方程的一般步骤