弧度制课件.ppt
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5.1.2弧度制教学课件(人教版)
13π B.
C. 2π
D. 17π
3
3
3
3
解析：与 5π 终边相同的角记为 ，则 5π 2kπ ， k Z ，
3
3
当 k 1时， π ，故 A 正确；
3
当
k
3 时，
13π 3
，故
B
正确；
令 5π 2kπ 2π ，解得 k 1 Z ，故 C 错误；
3
3
2
当 k 2 时， 17π ，故 D 正确.故选 ABD.
第五章 三角函数
5.1.2 弧度制
用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制， 1
规定1度的角等于周角的 360 .
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度 的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
单位圆
半径为1的圆叫做单位圆.
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为rad ，
3
7.把角-690°化为 2kπ (0 2π, k Z) 的形式为___4_π___π6____.
解析：法一： 690
690
π 180
23 6
π
，
因为 23 π 4π π ，所以 690 4π π .
6
6
6
法二： 690
2360
30
，则 690
4π
π 6
.
8.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》章给出了弧田面积的
解析：（1）设扇形的半径为 r，弧长为 l.
60
3
，
r
3
，l
|
|
r
3
3
.
（2）由题设条件知，l 2r 16，l 16 2r(0 r 8) ，
任意角和弧度制PPT课件
轴线角
与x轴正方向形成的角称为轴线角 ，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在 圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的 角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转 方向确定；旋转量大于0°小于360°的 角称为正角，旋转量大于360°的角称 为负角。
正弦函数、余弦函数、正 切函数都具有周期性，其 周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇 函数，余弦函数是偶函数 。
图像
正弦函数、余弦函数、正 切函数的图像分别呈正弦 波、余弦波和直线形状， 且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导 出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助 理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、 波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度 和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。
与x轴正方向形成的角称为轴线角 ，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在 圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的 角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转 方向确定；旋转量大于0°小于360°的 角称为正角，旋转量大于360°的角称 为负角。
正弦函数、余弦函数、正 切函数都具有周期性，其 周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇 函数，余弦函数是偶函数 。
图像
正弦函数、余弦函数、正 切函数的图像分别呈正弦 波、余弦波和直线形状， 且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导 出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助 理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、 波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度 和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。
弧度制课件
04
弧度制在解决实际问题中应用
长度、面积和体积计算
弧长计算
利用弧度制计算圆弧的长 度，如计算圆的周长、圆 弧的长度等。
扇形面积计算
通过弧度制计算扇形面积 ，进而求解弓形面积、圆 环面积等。
球体体积计算
利用弧度制计算球体的体 积，如计算球的体积、球 冠的体积等。
物理问题中角度转换
角速度与线速度转换
和差化积公式
正弦和差化积
$\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$, $\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$
弧度制课件
目录
• 弧度制基本概念 • 弧度制下三角函数 • 弧度制下三角恒等式与公式 • 弧度制在解决实际问题中应用 • 弧度制与角度制对比及转换方法 • 总结回顾与拓展延伸
01
弧度制基本概念
弧度制定义
等于弧长与半径之 比。
弧度单位
弧度制的单位是弧度，用 符号“rad”表示。
实际应用
角度制更直观易懂，常用于日常生 活和初级数学中；弧度制则更便于 微积分等高级数学运算。
转换方法介绍
角度转弧度
将角度数乘以π/180即可得到相 应的弧度数。例如，90度可转换 为π/2弧度。
弧度转角度
将弧度数乘以180/π即可得到相 应的角度数。例如，π弧度可转换 为180度。
06
总结回顾与拓展延伸
全体实数，值域为[-1,1]。
弧度制PPT课件
0,
2
2 ,
2
2
[0, )
2
(, )
2
[0,)
[0,2)
四、课堂小结：
1.弧度制定义
2.角度与弧度的互化 3.特殊角的弧度数
度 0° 30 ° 45 ° 60 ° 90 ° 120 ° 135° 150°
弧 度
0
6
4
3
2 3 5 23 46
作业：
3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形式。如无特别要 求，不用将π化成小数。
练习2：请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角：{θ|0°＜θ＜90°}， 直角： {θ|θ=90°} 钝角： {θ|90°＜θ＜180°} 平角： {θ|θ=180°} 周角： {θ|θ=360°} 0°到90°的角：{θ|0°≤θ<90°}； 小于90°角：{θ|θ＜90°} 0°到180°的角：{θ|0°≤θ<180°} 0°到360°的角：{θ|0°≤θ<360°}
r 3.任一已知角α的弧度数的绝对值
l
(弧长计算公式)
l
5、弧度与角度的换算 若L=2 π r，则∠AOB=
L r
= 2π弧度
此角为周角 即为360°
L=2 π r
360°= 2π 弧度
（B）
OrA
180°= π 弧度
180°= 1°× 180
由180°= π 弧度 还可得
1°= ——π弧度 ≈ 0．01745弧度 180
1弧度 =（—1—8）0 °≈ 57．30°= 57°18′ π
三、例题
（1）、把67°30′化成弧度。
解：
6730'
671
1.1.2 弧度制 课件(共29张PPT)
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
目 录/contents
第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
栏目 导引
第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
栏目 导引
第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
第一章 三角函数
跟踪训练 4．已知扇形面积为25 cm2，当扇形的圆心角为多大时， 扇形的周长取最小值？ 解：设扇形的半径是 r，弧长是 l，扇形的周长为 y， 则 y＝l＋2r.由题意，得12lr＝25，则 l＝5r0， 故 y＝5r0＋2r(r>0)．利用函数单调性的定义，可以证明 当 0<r≤5，函数 y＝5r0＋2r 是减函数；
小案例—哪个是你
忙忙叨叨，起早贪黑， 上课认真，笔记认真， 小A 就是成绩不咋地……
好像天天在玩， 上课没事儿还调皮气老师， 笔记有时让人看不懂， 但一考试就挺好…… 小B
栏目 导引
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第一章 三角函数
1. 什么是学习力 2. 高效学习模型 3. 超级记忆法 4. 费曼学习法
栏目 导引
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第一章 三角函数
(2)如图所示，设扇形的半径为 r cm，弧长为 l cm，圆心角为 θ(0<θ<2π)， 由 l＋2r＝20，得 l＝20－2r， 由12lr＝9，得12(20－2r)r＝9， ∴r2－10r＋9＝0，解得 r1＝1，r2＝9. 当 r1＝1 cm 时，l＝18 cm，θ＝rl＝118＝18>2π(舍去)． 当 r2＝9 cm 时，l＝2 cm，θ＝rl＝29. ∴扇形的圆心角的弧度数为29.
第一章 三角函数
什么是学习力
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第一章 三角函数
什么是学习力-你遇到这些问题了吗
总是 比别人 学得慢
一看就懂 一 做就错
看得懂，但不 会做
总是 比别人学得差 不会举一反三
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第一章 三角函数
什么是学习力-含义
管理知识的能力 （利用现有知识 解决问题）
5.1.2弧度制课件(人教版)
角度数=弧度数×
一、角度制和弧度制的互化
例1【1】把67°30′化成弧度.
【解】因为67°30′=
67°30′=
【2】把1.5π化成角度.
【解】1.5π=
，所以
一、角度制和弧度制的互化
常见特殊角的角度与弧度对应表：
一、角度制和弧度制的互化
【跟踪训练】把下列角度与弧度进行互化：
（1）20°
（3)
5
5
二、用弧度制表示角的集合
【例2】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影
部分内的角的集合（如图所示）.
二、用弧度制表示角的集合
3
解：终边为OA的角的集合： 2k，k Z
4
4
终边为OB的角的集合： 2k，k Z
3
阴影部分可以看成由OA逆时针旋转至OB形成，
5
2k，k Z
| 2k
6
12
二、用弧度制表示角的集合
解：x轴下方图像可视为x轴上方旋转rad而来；
阴影部分可表示为：
| k k，k Z
2
解：将第四象限的阴影部分视为第二象限旋转 rad而来；
5
n
l
n
n
| | ，
l | | R.
由初中所学可知，弧长l
2R
R 又
180 r
360
180
n
n
2
由初中所学可知，面积S
R
R2
360
180 2
n
l
1
弧度制PPT优秀课件16(共9份)
360
③、不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．Z、xxk
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
自主研究一：
1.将下列弧度转化为角度：
（1） =
°；（2） 7 =
°
12
8
′；
（3） 13 =
6
°；
2.将下列角度转化为弧度：
（1）36°=
（rad）；（2）－105°=
（rad）；
（3）37°30′=
（rad）；
3.将分针拨快 10 分钟，则分针转过的弧度数是
．
例3. 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
③、不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角 的大小都是一个与半径大小无关的定值．Z、xxk
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿·休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯·奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰·纳森·爱德瓦兹]
自主研究一：
1.将下列弧度转化为角度：
（1） =
°；（2） 7 =
°
12
8
′；
（3） 13 =
6
°；
2.将下列角度转化为弧度：
（1）36°=
（rad）；（2）－105°=
（rad）；
（3）37°30′=
（rad）；
3.将分针拨快 10 分钟，则分针转过的弧度数是
．
例3. 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
弧度制ppt课件
• (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．
解：(1)2 010°＝2 010×1π80＝667π＝5×2π＋76π，又因为π＜76π＜32π， 所以α与76π终边相同，是第三象限的角． (2)与α终边相同的角可以写成γ＝76π＋2kπ(k∈Z)，又因为－5π≤γ＜0， 所以当k＝－3时，γ＝－269π； 当k＝－2时，γ＝－167π；当k＝－1时，γ＝－56π．
解：(1)1 690°＝1 440°＋250°＝4×360°＋250°＝4×2π＋2158π． (2)因为 θ 与 α 终边相同，所以 θ＝2kπ＋2158π(k∈Z)． 又因为 θ∈(－4π，4π)，所以－4π＜2kπ＋2158π＜4π， 所以－9376＜k＜4376(k∈Z)．所以 k＝－2，－1，0，1． 所以 θ 的值是－4178π，－1118π，2158π，6118π．
2π rad＝__3_6_0_°_____ π rad＝___1_8_0_°____ 1 rad＝1π80°≈57.30° 弧度数×1π80°＝度数
【预习自测】判断下列说法是否正确．(正确的画“√”，错误的画
“×”)
(1)1 弧度就是 1°的圆心角所对的弧．
()
(2)“1 弧度的角”的大小和所在圆的半径大小无关．
解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l，半径为 r，面 积为 S．
l＋2r＝10 ①， (1)依题意有12lr＝4 ②， ①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1， r2＝4． 当 r＝1 时，l＝8 cm，此时，θ＝8 rad＞2π rad，舍去； 当 r＝4 时，l＝2 cm，此时，θ＝24＝12(rad)．
边界)内的角的集合．
• 错解一：{α|k·360°＋330°＜α＜k·360°＋ 60°，k∈Z}．
弧度制ppt课件
将l=aR 代人上式，即得
目录
深化与思考
1、角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混
用，例如a=k·360°
),β=2kπ+60°(k∈Z) 等写法都
是不规范的。
2、做一做(多选)下列命题中，正确的是( ) A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1° 的角是周角的，1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D. 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
对问题的理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思
考问题、用数学的语言表达问题.
目录
限时小练 1. 将钟表的分针拨慢20分钟，则分钟转过的角的弧度数是( )
A.
B.
C
D
2.如图，以正方形ABCD 的顶点A 为圆心，边AB 的长为半径作扇形AEB.
若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为
正角 零角 负角
正实数
0
负实数
图5.1-12
目录
▶N
概念的理解 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一 单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念. 欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在 他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提 出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周
角等于2π弧度，1弧度等于周角的 ●。这一思想 将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公 式及计算.
图5.1-11 目录
概念引入(1)
问 题 3 任 意 角 都 可 以 用 表示吗?正角、负角和零
角的弧度数如何规定呢?
规定：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧长为l, 那么角α 的弧度数的绝对值是
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
目录
深化与思考
1、角度制与弧度制是两种不同的度量制度，在表示角时不能混
用，例如a=k·360°
),β=2kπ+60°(k∈Z) 等写法都
是不规范的。
2、做一做(多选)下列命题中，正确的是( ) A. “度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B.1° 的角是周角的，1 rad的角是周角的 C.1 rad的角比1°的角要大 D. 用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
对问题的理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思
考问题、用数学的语言表达问题.
目录
限时小练 1. 将钟表的分针拨慢20分钟，则分钟转过的角的弧度数是( )
A.
B.
C
D
2.如图，以正方形ABCD 的顶点A 为圆心，边AB 的长为半径作扇形AEB.
若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD 的弧度数大小为
正角 零角 负角
正实数
0
负实数
图5.1-12
目录
▶N
概念的理解 公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一 单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念. 欧拉是明确提出弧度制思想的数学家.1748年，在 他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提 出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周
角等于2π弧度，1弧度等于周角的 ●。这一思想 将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公 式及计算.
图5.1-11 目录
概念引入(1)
问 题 3 任 意 角 都 可 以 用 表示吗?正角、负角和零
角的弧度数如何规定呢?
规定：如果半径为r的圆的圆心角α所对弧长为l, 那么角α 的弧度数的绝对值是
这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定。
弧度制 课件
【解析】 (1)72°＝72×1π80＝25π； (2)－300°＝－300×1π80＝－53π； (3)2＝2×1π80°＝3π60°； (4)－29π＝－29π×1π80°＝－40°.
方法归纳 角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 π rad＝180°是关键， 由它可以得到：度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数．
类型三 扇形的弧长及面积公式 [例 3] (1)已知扇形的圆心角为 120°，半径为 3 cm，则此扇 形的面积为________ cm2； (2)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的 弧度数．
【解】 (1)设扇形弧长为 l， 因为 120°＝120×1π80 rad＝23π(rad)， 所以 l＝αR＝23π× 3＝2 33π(cm)． 所以 S＝12lR＝12×2 33π× 3＝π(cm2)．故填 π.
(2)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l，半径为 R，
l＋2R＝10.① 依题意有21lR＝4.② ①代入②得 R2－5R＋4＝0，解之得 R1＝1， R2＝4. 当 R＝1 时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad>2π rad 舍去． 当 R＝4 时，l＝2(cm)，此时，θ＝24＝12(rad)． 综上可知，扇形圆心角的弧度数为12rad.
的半径大小无关的值； (2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化
与弧度制换算公式的理解 、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算． 制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都 制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．
类型一 角度与弧度的换算 [例 1] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－29π.
方法归纳 角度与弧度互化技巧 在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式 π rad＝180°是关键， 由它可以得到：度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数．
类型三 扇形的弧长及面积公式 [例 3] (1)已知扇形的圆心角为 120°，半径为 3 cm，则此扇 形的面积为________ cm2； (2)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心角的 弧度数．
【解】 (1)设扇形弧长为 l， 因为 120°＝120×1π80 rad＝23π(rad)， 所以 l＝αR＝23π× 3＝2 33π(cm)． 所以 S＝12lR＝12×2 33π× 3＝π(cm2)．故填 π.
(2)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0<θ<2π)，弧长为 l，半径为 R，
l＋2R＝10.① 依题意有21lR＝4.② ①代入②得 R2－5R＋4＝0，解之得 R1＝1， R2＝4. 当 R＝1 时，l＝8(cm)，此时，θ＝8 rad>2π rad 舍去． 当 R＝4 时，l＝2(cm)，此时，θ＝24＝12(rad)． 综上可知，扇形圆心角的弧度数为12rad.
的半径大小无关的值； (2)“弧度”与“角度”之间可以相互转化
与弧度制换算公式的理解 、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算． 制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都 制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．
类型一 角度与弧度的换算 [例 1] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－29π.
弧度制 课件 (共 26张PPT)人教A版(2019)必修第一册
半径为r的圆的圆心与原点重合,角α的始 边与x轴的非负半轴重合,交圆于点A,终边与圆 交于点B.请在下表格中填空.
y B
αA ox
探思考究：弧如果度一个制半的径为性r的质圆的圆心角α所对的弧长是L,
那么α的弧度数是多少?
AB的长
OB旋转的 ∠AOB的弧 ∠AOB的度
方向
度数
数
πr
逆时针方向
180
关键
1 rad
180
57.30 5718
方法总结：
度化为弧度：180
rad
度数
弧度化为度：弧度数（180）
正角的弧度数是正数 负角的弧度数是负数 零角的弧度数是零
正角
零角
在弧度制下，角
的集合与实数集R
之间建立了一一 对应关系．
负角 任意角的集合
正实 数
0
负实 数
实数集R
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
注：今后在用度制
C B
AOC的弧度数就是
表 弧示度角二的字时或r候ad，可以略去不写rl。=
2r r
= 2rad
l=r
1rad
Or
A
弧度制实质上是用弧长与其
半径的比值来反映弧所对圆
心角的大小．
3. 弧度制与角度制相比：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º；
（2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360
角的大小；
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制；
（4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
5.1.2弧度制课件共17张PPT
正数 零角 负角
任意角的集合
正实数 0
负实数
实数集R
小结： 1、弧度与角度的换算； 2、弧度的意义；
初中 角的度量
角度制
高中 弧度制
r
r
第一象限角
| k 360 k 360 90, k Z
第二象限角 | k 360 90 k 360 180, k Z 第三象限角 | k 360 180 k 360 270, k Z 第四象限角 | k 360 270 k 360 360,k Z
终边落在坐标轴上的情形
5
解：4 rad 4 180 1445 Nhomakorabea5
注意：1、弧度与角度的换算，可以利用科学计算器进行，。
2、一般地，“弧度”与“rad“通常略去不写，而只写这个角所对应的弧度数.
3、角度制与弧度制互化时要抓住 180 弧度这个关键．
须记住的一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
度 0o 30o
45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o
任 正角：按逆时针方向旋转形成的角 意 负角：按顺时针方向旋转形成的角 角 零角：一条射线没有作任何旋转形
成的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合
S={ β| β=α+k360° ,k∈ Z}
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 角α与整数个周角的和。
用集合表示各象限角的集合。
0 弧
度
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
例4 计算：
（1） sin ；（2）tan1.5 ． 4
解：（1）∵ 45 ∴ sin sin 45 2
5.1.2 弧度制 课件(共20张PPT)高一数学(人教A版2019必修第一册)
3
× 6 = 2 ,
× 2 × 6 = 6.
= 9 3，
所以 = 扇形 − △ = 6 − 9 3，
即弧所在的弓形的面积 = 6 − 9 3.
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练2】已知一扇形的圆心角为 > 0 ，周长为 ，面积为 ，所在圆的半径为 .
【例1】把下列各角化成 + 2π 0 ≤ < 2π, ∈ 的形式，并指出它们是哪个象限的角：
(1)
23
；
6
【解析】（1）
(2)−1680 ∘ ；
23π
6
=
11π
6
18π
10π
=
7
7
（4）755 ∘ = 35 ∘
18π
；
7
+ 2π，是第四象限角；
（2）−1680 ∘ = 120 ∘ − 5 × 360 ∘ =
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角 ．
π
【解析】（1）因为 = 60° = 3 ， = 6，
所以扇形的弧长 = = 2π；
（2）由扇形面积 =
1
2
则扇形周长为 + 2 =
2 =
32
1
2
= 16，得 =
+ 2 ≥ 2
32
× 2 = 16 ，
32
当且仅当 = 2 ，即 = 4时，取等号，
1
32
，
此时， 2 × 4 2 = 16，所以 = 2，
所以扇形周长的最小值为16，此时 = 2.
典型例题
题型三：扇形中的最值问题
× 6 = 2 ,
× 2 × 6 = 6.
= 9 3，
所以 = 扇形 − △ = 6 − 9 3，
即弧所在的弓形的面积 = 6 − 9 3.
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练2】已知一扇形的圆心角为 > 0 ，周长为 ，面积为 ，所在圆的半径为 .
【例1】把下列各角化成 + 2π 0 ≤ < 2π, ∈ 的形式，并指出它们是哪个象限的角：
(1)
23
；
6
【解析】（1）
(2)−1680 ∘ ；
23π
6
=
11π
6
18π
10π
=
7
7
（4）755 ∘ = 35 ∘
18π
；
7
+ 2π，是第四象限角；
（2）−1680 ∘ = 120 ∘ − 5 × 360 ∘ =
(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角 ．
π
【解析】（1）因为 = 60° = 3 ， = 6，
所以扇形的弧长 = = 2π；
（2）由扇形面积 =
1
2
则扇形周长为 + 2 =
2 =
32
1
2
= 16，得 =
+ 2 ≥ 2
32
× 2 = 16 ，
32
当且仅当 = 2 ，即 = 4时，取等号，
1
32
，
此时， 2 × 4 2 = 16，所以 = 2，
所以扇形周长的最小值为16，此时 = 2.
典型例题
题型三：扇形中的最值问题
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前课复习
1.角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转 到另一个位置所组成的图形，其中正角、负角、零 角分别是怎样规定的？
2.在直角坐标系内讨论角，象限角是什么概念？
3.与角α 终边相同的角的一般表达式是什么？
S={β |β =α ＋k·360°，k∈Z}
问题1:平面几何中，1度的角是如何定义的？
∠AOB的弧度是
练习：
3r
B OrA
∠AOB=
弧度
r O
A
r
B
∠AOB=
弧度
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角 的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝对值：
其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径。
问题3：角度制与弧度制换算关系是什么？
O
A
∠ AOB=3600 ∠ AOB的弧度数=
规定把周角的 1 作为1度的角， 用度做单位来度量角3的60单位制叫做角度 制．
60°
90°
对于整个圆周无论半径如何，周长多长， 我们总能把它分成360等份，每一份的弧所对 的圆心角就是1度的角。
问题2：由 C 们分析式子
C22r，的得意到义Cr 。 2
，请同学
r
结论：若以半径长为单位度量圆周，则无论
周长如何都只能分成 2 份。
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度(radian)的角，用符号rad表示，读作 弧度.
这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做 弧度制。
角度制： 周角的
1 360
为1度的角
角
弧度制：长 圆度心等角于叫半做径1弧的度圆弧所对的
r
1rad
Or
B
2rad 2r Or A
小结：
1、弧度制定义 2、角度制与弧度制的互化 3、特殊角的弧度数
作业：
P9习题1.1 A 组
第 7、8题
三、例题
例1 将下列弧度数化为角度数；
例2 将下列角度数化为弧度数；
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
弧 度
0
6
2
43 2 3
3
4
5
6
3
2 2
注意：
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二 字通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能 省。 3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形 式。如无特别要求，不用将π化成小数。
1.角是由平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转 到另一个位置所组成的图形，其中正角、负角、零 角分别是怎样规定的？
2.在直角坐标系内讨论角，象限角是什么概念？
3.与角α 终边相同的角的一般表达式是什么？
S={β |β =α ＋k·360°，k∈Z}
问题1:平面几何中，1度的角是如何定义的？
∠AOB的弧度是
练习：
3r
B OrA
∠AOB=
弧度
r O
A
r
B
∠AOB=
弧度
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角 的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝对值：
其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为圆的半径。
问题3：角度制与弧度制换算关系是什么？
O
A
∠ AOB=3600 ∠ AOB的弧度数=
规定把周角的 1 作为1度的角， 用度做单位来度量角3的60单位制叫做角度 制．
60°
90°
对于整个圆周无论半径如何，周长多长， 我们总能把它分成360等份，每一份的弧所对 的圆心角就是1度的角。
问题2：由 C 们分析式子
C22r，的得意到义Cr 。 2
，请同学
r
结论：若以半径长为单位度量圆周，则无论
周长如何都只能分成 2 份。
定义：
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1弧度(radian)的角，用符号rad表示，读作 弧度.
这种以弧度为单位来度量角的单位制叫做 弧度制。
角度制： 周角的
1 360
为1度的角
角
弧度制：长 圆度心等角于叫半做径1弧的度圆弧所对的
r
1rad
Or
B
2rad 2r Or A
小结：
1、弧度制定义 2、角度制与弧度制的互化 3、特殊角的弧度数
作业：
P9习题1.1 A 组
第 7、8题
三、例题
例1 将下列弧度数化为角度数；
例2 将下列角度数化为弧度数；
度 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 2700 3600
弧 度
0
6
2
43 2 3
3
4
5
6
3
2 2
注意：
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。
2、用弧度为单位表示角的大小时， “弧度”二 字通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能 省。 3、用弧度为单位表示角时，通常写 成“多少π”的形 式。如无特别要求，不用将π化成小数。