弧度制课件
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（2）已知扇形的周长为8cm，面积为 4cm2 ，求扇形
的中心角的弧度数．
（3）下列角的终边相同的是（ ）．
A． k 与 2k，kΖ
4
4
B． 2k 2 与 ，kΖ
3
3
k
C．
与 k，kΖ
2
2
D． 2k1与 3k， kΖ
小结
（1） 180 = 弧度；
（ 2）“角化弧”时，将 n乘以 ；“弧化角”时，
l =r
1rad
Oo r
A
读作弧度
C
l = 2r
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
角度与弧度间的换算
360=2rad 180 =rad
把角度换成弧度
1= ra d0.017r4a5d
180 把弧度换成角度
1ra= d18057 .30=5718'
角度制与弧度制的换算
正角
正实数
零角
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
S=R2 n =1R2
360 2
又 αR=l，所以
S = 1 lR 2
例1. 扇形AOB中， »A B 所对的圆心角是60º，
半径是50米，求 的»A长B l（精确到0.1
米）。
解：因为60º=
3
,所以
l=α·r=
3
×50≈52.5
.
答： »A B 的长约为52.5米.
0
负角
负实数
任意角的集合
实数集R
角的弧度数的绝对值: = l r
（l为弧长，r为半径）
例1 把下列各角化为弧度 解(1：) 6∵73607（302）=306°7（13）5°（4）-45°
2
∴ 67 30=rad 61 7=3rad 180 2 8
例2 把下列 各角化为度．
(1) 4
5
rad
将 乘以 180 ；
180
1.1.2弧度制 (2)
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l = r
由公式： = l l = r
r
比公式 l = nr 简单.
180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
② 扇形面积公式 S = 1 lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
练习3 课本#6
小结
度量单 位
单位规 定
换算关 系
弧度制 弧度
角度制 角度
等于半径的长的圆
1
弧所对应的圆心角 周角的 360为1
叫1 rad 的角
度的角
π =180°
1rad=
180
57.30
=
57°18′，
1°= 180 rad=0.01745 rad
；（2）tan1.5 ．
4
解：（1）∵ = 45 ∴ sin=sin45= 2
4
4
2
（2）∵ 5 .3 7 0 1 .5 = 8 .9 5 = 5 8 5 7 5
∴ ta 1 .5 n ta 8 n 5 5 7 = 1.1 42
练习
1．把下列各角化成 2 k 0 2 ， k Ζ 的形式：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º； （2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360 角的大小；
角度制与弧度制的比较
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
终边相同的角
（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k3 6 ， k 0Z
它们构成一个集合：
S = | = k 3 , k 6 Z 0
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为： 2k， k Z
它们构成一个集合：
S = |= 2 k ,k Z
例3 计算：
（1） sin
1.1.2弧度制 (1)
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做
单位来度量角，1 的角是如何定义的？
将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.
弧度制 ：
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
单位符号 ：rad
B
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
扇形面积是 ( 1)R2
练习
练习1 已知扇形的圆心角为72°，半径 等于20cm，求扇形的弧长和面积；
练习2 已知扇形的周长为10cm，面积为 4cm2，求扇形的圆心角的弧度数.
例2. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l= 4R
3
（2）根据S=
1
2
lR=
1ຫໍສະໝຸດ Baidu2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
例3 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少 弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
(2) 5 rad
6
(3)2ra(d精确0.1到 ）
解：4rad=4180=144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
写出一些特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120 135 150180270 360
弧 度
0
6
4
32
2 3 5 346
3
2
2
角度制与弧度制的比较
16 （1） 3
；（2）315；（3） 11 ．
7
例5 用弧度制表示
（1）终边在 x轴上的角的集合
（2）终边在y轴上的角的集合
练习 ： 将下列各角 0到 化 2的 成角加2k上
（kZ）的形式。
（1）23（2） 23（3） 45（ 04） 450
3
3
练习反馈
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．
的中心角的弧度数．
（3）下列角的终边相同的是（ ）．
A． k 与 2k，kΖ
4
4
B． 2k 2 与 ，kΖ
3
3
k
C．
与 k，kΖ
2
2
D． 2k1与 3k， kΖ
小结
（1） 180 = 弧度；
（ 2）“角化弧”时，将 n乘以 ；“弧化角”时，
l =r
1rad
Oo r
A
读作弧度
C
l = 2r
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
角度与弧度间的换算
360=2rad 180 =rad
把角度换成弧度
1= ra d0.017r4a5d
180 把弧度换成角度
1ra= d18057 .30=5718'
角度制与弧度制的换算
正角
正实数
零角
证明：设扇形所对的圆心角为nº(αrad)，则
S=R2 n =1R2
360 2
又 αR=l，所以
S = 1 lR 2
例1. 扇形AOB中， »A B 所对的圆心角是60º，
半径是50米，求 的»A长B l（精确到0.1
米）。
解：因为60º=
3
,所以
l=α·r=
3
×50≈52.5
.
答： »A B 的长约为52.5米.
0
负角
负实数
任意角的集合
实数集R
角的弧度数的绝对值: = l r
（l为弧长，r为半径）
例1 把下列各角化为弧度 解(1：) 6∵73607（302）=306°7（13）5°（4）-45°
2
∴ 67 30=rad 61 7=3rad 180 2 8
例2 把下列 各角化为度．
(1) 4
5
rad
将 乘以 180 ；
180
1.1.2弧度制 (2)
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l = r
由公式： = l l = r
r
比公式 l = nr 简单.
180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
② 扇形面积公式 S = 1 lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。
练习3 课本#6
小结
度量单 位
单位规 定
换算关 系
弧度制 弧度
角度制 角度
等于半径的长的圆
1
弧所对应的圆心角 周角的 360为1
叫1 rad 的角
度的角
π =180°
1rad=
180
57.30
=
57°18′，
1°= 180 rad=0.01745 rad
；（2）tan1.5 ．
4
解：（1）∵ = 45 ∴ sin=sin45= 2
4
4
2
（2）∵ 5 .3 7 0 1 .5 = 8 .9 5 = 5 8 5 7 5
∴ ta 1 .5 n ta 8 n 5 5 7 = 1.1 42
练习
1．把下列各角化成 2 k 0 2 ， k Ζ 的形式：
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制，角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制；1弧度≠1º； （2）1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小，而1度是圆周 1 的所对的圆心
360 角的大小；
角度制与弧度制的比较
（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实 数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与 半径无关的定值。
终边相同的角
（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k3 6 ， k 0Z
它们构成一个集合：
S = | = k 3 , k 6 Z 0
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为： 2k， k Z
它们构成一个集合：
S = |= 2 k ,k Z
例3 计算：
（1） sin
1.1.2弧度制 (1)
在平面几何中研究角的度量，当时是用度做
单位来度量角，1 的角是如何定义的？
将圆周分成360等份，每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.
弧度制 ：
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
单位符号 ：rad
B
解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R. 所以扇形的中心角是2(π－1) rad. 合( 360( 1) ) º
扇形面积是 ( 1)R2
练习
练习1 已知扇形的圆心角为72°，半径 等于20cm，求扇形的弧长和面积；
练习2 已知扇形的周长为10cm，面积为 4cm2，求扇形的圆心角的弧度数.
例2. 在半径为R的圆中，240º的中心角所对的
弧长为
，面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解：（1）240º= 4 ，根据l=αR，得 3
l= 4R
3
（2）根据S=
1
2
lR=
1ຫໍສະໝຸດ Baidu2
αR2，且S=2R2.
所以 α=4.
例3 已知一半径为R的扇形，它的周长等于 所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少 弧度？合多少度？扇形的面积是多少？
(2) 5 rad
6
(3)2ra(d精确0.1到 ）
解：4rad=4180=144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
写出一些特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120 135 150180270 360
弧 度
0
6
4
32
2 3 5 346
3
2
2
角度制与弧度制的比较
16 （1） 3
；（2）315；（3） 11 ．
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例5 用弧度制表示
（1）终边在 x轴上的角的集合
（2）终边在y轴上的角的集合
练习 ： 将下列各角 0到 化 2的 成角加2k上
（kZ）的形式。
（1）23（2） 23（3） 45（ 04） 450
3
3
练习反馈
（1）若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角 的弧度数．