弧度制课件
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人教版高二数学必修四课件:弧度制(共13张PPT)
解: S={α︱α=k·3600,k ∈z}
= {α︱α=2kπ,k ∈z}
【探求新知】
定义:这种以弧度作为单位来度量角 的单位制,叫做弧度制。
300
900
0
6
4
3
2
2
3
1800
3
5
4
6
3 2
2
任一正角的弧度数是一个正数,任一负 角的弧度数是负数,零角的弧度数是0.
【探求新知】
角度制的弧长公式:
【小结】
(1)了解弧度制的概念,体会弧度是一种度 量角的单位。 (2)能进行弧度与角度的转化。 (3)能初步运用弧度制表示的弧长公式,扇形 公式。
转化的思想
【布置作业】
课本第11页 习题1-3 第1题和第2题
懂得如何避开问题的人,胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上,不知道怎么办的时候,就选择学习,也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念!在 永远是家,走出去看到的才是世界。把钱放在眼前,看到的永远是钱,把钱放在有用的地方,看到的是金钱的世界。给人金钱是下策,给人能力是中策,给人观 财富买不来好观念,好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场,是在人的脑海里!要用行动控制情绪,不要让情绪控制行动;要让心灵启迪智慧,不能让耳朵 人与人之间的差别,主要差在两耳之间的那块地方!人无远虑,必有近忧。人好的时候要找一条备胎,人不好的时候要找一条退路;人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路!孩子贫穷是与父母的有一定的关系,因为他小的时候,父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线!有什么信念,就选 有什么态度,就会有什么行为;有什么行为,就产生什么结果。要想结果变得好,必须选择好的信念。播下一个行动,收获一种习惯;播下一种习惯,收获一种 一种性格,收获一种命运。思想会变成语言,语言会变成行动,行动会变成习惯,习惯会变成性格。性格会影响人生!习惯不加以抑制,会变成生活的必需品, 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯,因为造习惯的就是自己,结果人又成为习惯的奴隶!人生重要的不是你从哪里来,而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对,努力白费!你来自何处并不重要,重要的是你要去往何方,人生最重要的不是所站的位置,而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己!这个世界唯一不变的真理就是变化,任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时,必须争取主动,再占据下一个优势,这需要前瞻的决断 是智慧!世上本无移山之术,惟一能移山的方法就是:山不过来,我就过去。人生最聪明的态度就是:改变可以改变的一切,适应不能改变的一切!学一分退让 宜;增一分享受,减一分福泽。念头端正,福星临,念头不正,善人行善,从乐入乐,从明入明;行恶,从苦入苦,骨宜刚,气宜柔,志宜大,胆宜小,心宜虚 慧宜增,福宜惜,虑不远,忧亦近。人之所以痛苦,在于追求错误的东西。你目前拥有的,都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢?如 往,凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒,而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是,万善之门。见人不是,诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏,而一旦你真的取得了成绩,才会明白:人无须向别人证明什么,只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功,那么请记住:遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制,都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功,假如我不能,我就一定要;假如我要,我 无论你如何为他人着想,烦你的人眼里,你就是居心叵测;不管你怎样据理力争,不懂你的人心里,你就是胡搅蛮缠。最后你会发现,有些事不是你做错了,而 人;有些人不是不理解你,而是根本不想懂你。不管怎样,生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事,它会让你变得更好,孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事,只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人,高薪是发给承担责任的人,奖金是发给做出成绩的人,股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人,辞退信将送给没结果还耍个性的人,这里一定有个你。内心想成为什么样的人,就会努力成为这样的人,做你想做的那种人。与其指 谁,不如指望自己能够吸引那样的人;与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己,不如指望自己变成一个正能量满满的人;与其担心未来,不如现在好 虹绚烂多姿,是在与狂风暴雨争斗之后;枫叶似火燃烧,是在与秋叶的寒霜争斗之后;雄鹰的展翅高飞,是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态, 们的成功。有能力的人影响别人,没能力的人受人影响;不是某人使自己烦恼不安,而是自己拿某人的言行来烦恼自己;树一个目标,一步步前行,做好自己就 不需鼓掌,也在飞翔;小草,没人心疼,也在成长;野花,没人欣赏,也在芬芳;做事不需人人都理解,只需尽心尽力;做人不需人人都喜欢,只需坦坦荡荡。 为力,拼搏到感动自己;吃过的苦,受过的累,会照亮未来的路;没有年少轻狂,只有胜者为王。真正成功的人生,不在于成就的大小,而在于你是否努力地去 喊出自己的声音,走出属于自己的道路。选一个方向,定一个时间;剩下的只管努力与坚持,时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局,殊不知 结局,而在于追求的过程。慢慢的才知道:坚持未必就是胜利,放弃未必就是认输,。给自己一个迂回的空间,学会思索,学会等待,学会调整。人生没有假设 全部。背不动的,放下了;伤不起的,看淡了;想不通的,不想了;恨不过的,抚平了。在比夜更深的地方,一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想, 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩,每次跌倒后能再站起来,才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平,我们能做的不仅仅是接受,还要试着做一些反抗 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人,只要还抱有希望,便无所怨惧。有些人,因为陪你走的时间长了,你便淡然了,其实是他们给你撑起了生命的天空;有些人 就忘了吧,残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己,不要小看自己,被别人的意见引入歧途。没人能让我输,除非我不想赢!花开不是为了花落,而是为了 烂。随随便便浪费的时间,再也不能赢回来。不管从什么时候开始,重要的是开始以后不要停止;不管在什么时候结束,重要的是结束以后不要后悔。当你决定 情,全世界都会为你让路。只有在开水里,茶叶才能展开生命浓郁的香气。别想一下造出大海,必须先由小河川开始。不要让未来的你,讨厌现在的自己,困惑 成功只配得上勇敢
= {α︱α=2kπ,k ∈z}
【探求新知】
定义:这种以弧度作为单位来度量角 的单位制,叫做弧度制。
300
900
0
6
4
3
2
2
3
1800
3
5
4
6
3 2
2
任一正角的弧度数是一个正数,任一负 角的弧度数是负数,零角的弧度数是0.
【探求新知】
角度制的弧长公式:
【小结】
(1)了解弧度制的概念,体会弧度是一种度 量角的单位。 (2)能进行弧度与角度的转化。 (3)能初步运用弧度制表示的弧长公式,扇形 公式。
转化的思想
【布置作业】
课本第11页 习题1-3 第1题和第2题
懂得如何避开问题的人,胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上,不知道怎么办的时候,就选择学习,也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念!在 永远是家,走出去看到的才是世界。把钱放在眼前,看到的永远是钱,把钱放在有用的地方,看到的是金钱的世界。给人金钱是下策,给人能力是中策,给人观 财富买不来好观念,好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场,是在人的脑海里!要用行动控制情绪,不要让情绪控制行动;要让心灵启迪智慧,不能让耳朵 人与人之间的差别,主要差在两耳之间的那块地方!人无远虑,必有近忧。人好的时候要找一条备胎,人不好的时候要找一条退路;人得意的时候要找一条退路 时候要找一条出路!孩子贫穷是与父母的有一定的关系,因为他小的时候,父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线!有什么信念,就选 有什么态度,就会有什么行为;有什么行为,就产生什么结果。要想结果变得好,必须选择好的信念。播下一个行动,收获一种习惯;播下一种习惯,收获一种 一种性格,收获一种命运。思想会变成语言,语言会变成行动,行动会变成习惯,习惯会变成性格。性格会影响人生!习惯不加以抑制,会变成生活的必需品, 随时改变人生走向。人往往难以改变习惯,因为造习惯的就是自己,结果人又成为习惯的奴隶!人生重要的不是你从哪里来,而是你到哪里去。当你在埋头工作 定要抬头看看你去的方向。方向不对,努力白费!你来自何处并不重要,重要的是你要去往何方,人生最重要的不是所站的位置,而是所去的方向。人只要不失 永远不会失去自己!这个世界唯一不变的真理就是变化,任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时,必须争取主动,再占据下一个优势,这需要前瞻的决断 是智慧!世上本无移山之术,惟一能移山的方法就是:山不过来,我就过去。人生最聪明的态度就是:改变可以改变的一切,适应不能改变的一切!学一分退让 宜;增一分享受,减一分福泽。念头端正,福星临,念头不正,善人行善,从乐入乐,从明入明;行恶,从苦入苦,骨宜刚,气宜柔,志宜大,胆宜小,心宜虚 慧宜增,福宜惜,虑不远,忧亦近。人之所以痛苦,在于追求错误的东西。你目前拥有的,都将随着你的而成为他人的。那为何不现在就给真正需要的人呢?如 往,凡做事应有余步。我们最值得自豪的不在于从不跌倒,而在于每次跌倒之后都爬得起来。见己不是,万善之门。见人不是,诸恶之根。为了向别人、向世界 努力拼搏,而一旦你真的取得了成绩,才会明白:人无须向别人证明什么,只要你能超越自己。没有哪种教育能及得上逆境。如果你想成功,那么请记住:遗产 第一、学习第二、礼貌第三、刻苦第四、精明第五。任何的限制,都是从自己的内心开始的。失败只是暂时停止成功,假如我不能,我就一定要;假如我要,我 无论你如何为他人着想,烦你的人眼里,你就是居心叵测;不管你怎样据理力争,不懂你的人心里,你就是胡搅蛮缠。最后你会发现,有些事不是你做错了,而 人;有些人不是不理解你,而是根本不想懂你。不管怎样,生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事,它会让你变得更好,孤单和失落 每件事到最后一定会变成一件好事,只要你能够走到最后。工资是发给日常工作的人,高薪是发给承担责任的人,奖金是发给做出成绩的人,股权是分给能干忠 誉是颁给有理想抱负的人,辞退信将送给没结果还耍个性的人,这里一定有个你。内心想成为什么样的人,就会努力成为这样的人,做你想做的那种人。与其指 谁,不如指望自己能够吸引那样的人;与其指望每次失落的时候会有正能量出现温暖自己,不如指望自己变成一个正能量满满的人;与其担心未来,不如现在好 虹绚烂多姿,是在与狂风暴雨争斗之后;枫叶似火燃烧,是在与秋叶的寒霜争斗之后;雄鹰的展翅高飞,是在与坠崖的危险争斗之后。他们保持着奋斗的姿态, 们的成功。有能力的人影响别人,没能力的人受人影响;不是某人使自己烦恼不安,而是自己拿某人的言行来烦恼自己;树一个目标,一步步前行,做好自己就 不需鼓掌,也在飞翔;小草,没人心疼,也在成长;野花,没人欣赏,也在芬芳;做事不需人人都理解,只需尽心尽力;做人不需人人都喜欢,只需坦坦荡荡。 为力,拼搏到感动自己;吃过的苦,受过的累,会照亮未来的路;没有年少轻狂,只有胜者为王。真正成功的人生,不在于成就的大小,而在于你是否努力地去 喊出自己的声音,走出属于自己的道路。选一个方向,定一个时间;剩下的只管努力与坚持,时间会给我们最后的答案。许多人企求着生活的完美结局,殊不知 结局,而在于追求的过程。慢慢的才知道:坚持未必就是胜利,放弃未必就是认输,。给自己一个迂回的空间,学会思索,学会等待,学会调整。人生没有假设 全部。背不动的,放下了;伤不起的,看淡了;想不通的,不想了;恨不过的,抚平了。在比夜更深的地方,一定有比夜更黑的眼睛。一切伟大的行动和思想, 不足道的开始。从来不跌倒不算光彩,每次跌倒后能再站起来,才是最大的荣耀。这个世界到处充满着不公平,我们能做的不仅仅是接受,还要试着做一些反抗 苦、最卑贱、最为命运所屈辱的人,只要还抱有希望,便无所怨惧。有些人,因为陪你走的时间长了,你便淡然了,其实是他们给你撑起了生命的天空;有些人 就忘了吧,残缺是一种大美。照自己的意思去理解自己,不要小看自己,被别人的意见引入歧途。没人能让我输,除非我不想赢!花开不是为了花落,而是为了 烂。随随便便浪费的时间,再也不能赢回来。不管从什么时候开始,重要的是开始以后不要停止;不管在什么时候结束,重要的是结束以后不要后悔。当你决定 情,全世界都会为你让路。只有在开水里,茶叶才能展开生命浓郁的香气。别想一下造出大海,必须先由小河川开始。不要让未来的你,讨厌现在的自己,困惑 成功只配得上勇敢
弧度制PPT课件(共15张PPT)
2
2、用弧度为单位表示角的大小时, “弧度”二字通常省略不 写, 但用“度”(°)为单位不能省略。
3、用弧度为单位表示角时,通常写 成“多少π”的形式。如 无特别要求,不用将π化成小数。
第十二页,共15页。
练习2:请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角:{θ|0°<θ<90°},
直角: {θ|θ=90°}
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。
周角: {θ|θ=360°} 任一已知角α的弧度数的绝对值
0°到90°的角:{θ|0°≤θ<90°};
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。
0°到90°的角:{θ|0°≤θ<90°}; 1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算要熟记。
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 360°= 2π 弧度
(1)、把67°30′化成弧度。
= = |α| r
3
弧度
钝角:
{θ|90°<θ<180°}
规定周角的1/360为1度的角,这种用度做单位
平角: {θ|θ=180°} 若L=2r,则∠AOB
2、用弧度为单位表示角的大小时, “弧度”二字通常省略不 写,但用“度”(°)为单位不能省略。
锐角:{θ|0°<θ<90°},
L r
=3
弧度
3r
3rad
r
若圆心角∠AOB表示一个负角,且
它数所的对绝的对弧值的是长Lr为3=r,3,则∠AOB的弧度
即∠AOB=-
L r
=
-3弧度
B
OrA
-3弧度
第五页,共15页。
L=3r
2.正角的弧度数
负角的弧度数 零角的弧度数
弧度制课件
04
弧度制在解决实际问题中应用
长度、面积和体积计算
弧长计算
利用弧度制计算圆弧的长 度,如计算圆的周长、圆 弧的长度等。
扇形面积计算
通过弧度制计算扇形面积 ,进而求解弓形面积、圆 环面积等。
球体体积计算
利用弧度制计算球体的体 积,如计算球的体积、球 冠的体积等。
物理问题中角度转换
角速度与线速度转换
和差化积公式
正弦和差化积
$\sin \alpha + \sin \beta = 2\sin \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2}$, $\sin \alpha - \sin \beta = 2\cos \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}$
弧度制课件
目录
• 弧度制基本概念 • 弧度制下三角函数 • 弧度制下三角恒等式与公式 • 弧度制在解决实际问题中应用 • 弧度制与角度制对比及转换方法 • 总结回顾与拓展延伸
01
弧度制基本概念
弧度制定义
等于弧长与半径之 比。
弧度单位
弧度制的单位是弧度,用 符号“rad”表示。
实际应用
角度制更直观易懂,常用于日常生 活和初级数学中;弧度制则更便于 微积分等高级数学运算。
转换方法介绍
角度转弧度
将角度数乘以π/180即可得到相 应的弧度数。例如,90度可转换 为π/2弧度。
弧度转角度
将弧度数乘以180/π即可得到相 应的角度数。例如,π弧度可转换 为180度。
06
总结回顾与拓展延伸
全体实数,值域为[-1,1]。
弧度制课件资料 共28页
弧 度
0
6
4
3
2
2 3 5 3 46
3
2
2
角度制与弧度制的比较
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制,角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制;1弧度≠1º; (2)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小,而1度是圆周 1 的所对的圆心
360 角的大小;
单位符号 :rad
B
l =r
1rad
Oo r
A
读作弧度
C
l = 2r
2 rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
角度与弧度间的换算
360=2rad 180 =rad
把角度换成弧度
1= ra d0.017r4a5d
180 把弧度换成角度
1ra= d180 57 .30 =5718'
在平面几何中研究角的度量,当时是用度做
单位来度量角,1 的角是如何定义的?
将圆周分成360等份,每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.
我们把用度做单位来度量角的制度叫做角度 制,在数学和其他许多科学研究中还要经常用到 一种度量角的制度—弧度制,它是如何定义呢?
弧度制 :
定义: 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角,即用弧度制度量时, 这样的圆心角等于1rad。
1.1.2弧度制 (1)
问题提出
1.角是由平面内一条射线绕其端点从一个 位置旋转到另一个位置所组成的图形,其中 正角、负角、零角分别是怎样规定的?
2.在直角坐标系内讨论角,象限角是什 么概念?
3.与角α 终边相同的角的一般表达式是 什么?
问题提出
弧度制 课件
α2kπ<α&lα2kπ+π2<α<2kπ+π,k∈Z
Ⅲ
α2kπ+π<α<2kπ+32π,k∈Z
Ⅳ
α2kπ+32π<α<2kπ+2π,k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化.
(1)20°;(2)-15°;(3)71π2;(4)-115π. [思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算,直接套用角度与 弧度的换算公式,即度数×1π80=弧度数,弧度数×1π80°=度 数.
解 (1)20°=2108π0=π9. (2)-15°=-11850π=-1π2. (3)71π2=172×180°=105°. (4)-115π=-151×180°=-396°.
[规律方法] (1)进行角度与弧度换算时,要抓住关系:π rad=180°.(2)熟记特殊角的度数与弧度数的 对应值.
180 1 rad= π °≈57.30°
(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系
度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧 度
0
π 180
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 3 5π 3 4π 6
π
3π 2
2π
温馨提示:角度制与弧度制是两种不同的度量单位,两者之间 可相互转化,并且角度与弧度是一一对应的关系.在表示角时, 角度制与弧度制不能混用,在表达式中,要保持单位一致,防 止出现π3+k·180°或 60°+2kπ 等这类错误的写法.
类型三 扇形的弧长及面积公式的应用 【例3】 已知一个扇形的周长为a,求当扇形的圆心角多大时,扇形的面积最大,并求这个最大值.
弧度制优秀课件 共27页
弧 度
0
6
4
3
2
2 3 5 3 46
3
2
2
2、用弧度为单位表示角的大小时, “弧度”二字通常 省略不写,但用“度”(°)为单位不能省。不能“混 和”用 3、用弧度为单位表示角时,通常写 成“多少π”的 形式。如无特别要求,不用将π化成小数。
三、例2
(1)、把67°30′化成弧度。
2
其中R是半径,l是弧长,
(0 2)为圆心角,
S是扇形的面.积 O
(3)S 1 lR. 2
B
l
A
R
例3:请用弧度制表示下列角度的范围。
锐角:{θ|0°<θ<90°},
0,
2
直角: {θ|θ=90°}
2
钝角: {θ|90°<θ<180°}
,
一般地:正角的弧度数是正数, 负角的弧度数是负数, 零的弧度制为0;
那么,角的弧度数的绝对值
l , 的正负由角的旋转方决向定
r
2.正角的弧度数
正数
正角
负角的弧度数
负角
正数 负数
负数
零角的弧零度角 数
0
零
任意角的集合
实数集R
弧度与角度的换算
若l=2 π r,则∠AOB=
l r
= 2π弧度
若l=r, 则∠AOB=
l r
= 1 弧度
r
1弧度
OrA
如图O , 的圆 半r,径 A的 B 为长r,等 则 于 AO= B 1 6r0 0 ad 600
可以证明,一定大小的圆心角所对应的弧长 与半径的比值是唯一确定的,与半径大小无关
比值
人教版数学第一章弧度制(共20张PPT)教育课件
360
A B 的长 OB旋转的方向 AOB 的弧度数 AOB的度数
r
逆时针方向
180
2 r
逆时针方向
2
r
逆时针方向
1
360 57.30
2r
顺时针方向
-2
114.60
r
顺时针方向
180
0
未旋转
0
0
r
逆时针方向
180
2 r
逆时针方向
2
360
新知2:
(1)一般地,正角的弧度数是一个正数,负 角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
:
那
你
的
第
一
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
但
是
当
我
拍
完
但
是
我
年
轻
时
有
一
个
想
法
就
是
如
果
我
告
诉
你
怎
么
弄
■
电
:
“
口
罗
部
爬
一
,
1
戏
有
上
来
的
我
个
5
分
钟
后
你
还
色
其
没
清
镜
没
有
楚 弄
有 怎
完 情
么
头
我
就
胆
怯
,
像
运
作
这
个
东
西
5.1.2弧度制课件共17张PPT
正数 零角 负角
任意角的集合
正实数 0
负实数
实数集R
小结: 1、弧度与角度的换算; 2、弧度的意义;
初中 角的度量
角度制
高中 弧度制
r
r
第一象限角
| k 360 k 360 90, k Z
第二象限角 | k 360 90 k 360 180, k Z 第三象限角 | k 360 180 k 360 270, k Z 第四象限角 | k 360 270 k 360 360,k Z
终边落在坐标轴上的情形
5
解:4 rad 4 180 1445 Nhomakorabea5
注意:1、弧度与角度的换算,可以利用科学计算器进行,。
2、一般地,“弧度”与“rad“通常略去不写,而只写这个角所对应的弧度数.
3、角度制与弧度制互化时要抓住 180 弧度这个关键.
须记住的一些特殊角的度数与弧度数的对应表:
度 0o 30o
45o 60o 90o 120o 135o 150o 180o 270o 360o
任 正角:按逆时针方向旋转形成的角 意 负角:按顺时针方向旋转形成的角 角 零角:一条射线没有作任何旋转形
成的角
所有与角α终边相同的角,连同角α在内, 可构成一个集合
S={ β| β=α+k360° ,k∈ Z}
即任一与角α终边相同的角,都可以表示成 角α与整数个周角的和。
用集合表示各象限角的集合。
0 弧
度
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
3
2
2
例4 计算:
(1) sin ;(2)tan1.5 . 4
解:(1)∵ 45 ∴ sin sin 45 2
5.1.2 弧度制 课件(共20张PPT)高一数学(人教A版2019必修第一册)
3
× 6 = 2 ,
× 2 × 6 = 6.
= 9 3,
所以 = 扇形 − △ = 6 − 9 3,
即弧所在的弓形的面积 = 6 − 9 3.
典型例题
题型二:扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练2】已知一扇形的圆心角为 > 0 ,周长为 ,面积为 ,所在圆的半径为 .
【例1】把下列各角化成 + 2π 0 ≤ < 2π, ∈ 的形式,并指出它们是哪个象限的角:
(1)
23
;
6
【解析】(1)
(2)−1680 ∘ ;
23π
6
=
11π
6
18π
10π
=
7
7
(4)755 ∘ = 35 ∘
18π
;
7
+ 2π,是第四象限角;
(2)−1680 ∘ = 120 ∘ − 5 × 360 ∘ =
(2)若扇形面积为16,求扇形周长的最小值,及此时扇形的圆心角 .
π
【解析】(1)因为 = 60° = 3 , = 6,
所以扇形的弧长 = = 2π;
(2)由扇形面积 =
1
2
则扇形周长为 + 2 =
2 =
32
1
2
= 16,得 =
+ 2 ≥ 2
32
× 2 = 16 ,
32
当且仅当 = 2 ,即 = 4时,取等号,
1
32
,
此时, 2 × 4 2 = 16,所以 = 2,
所以扇形周长的最小值为16,此时 = 2.
典型例题
题型三:扇形中的最值问题
× 6 = 2 ,
× 2 × 6 = 6.
= 9 3,
所以 = 扇形 − △ = 6 − 9 3,
即弧所在的弓形的面积 = 6 − 9 3.
典型例题
题型二:扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练2】已知一扇形的圆心角为 > 0 ,周长为 ,面积为 ,所在圆的半径为 .
【例1】把下列各角化成 + 2π 0 ≤ < 2π, ∈ 的形式,并指出它们是哪个象限的角:
(1)
23
;
6
【解析】(1)
(2)−1680 ∘ ;
23π
6
=
11π
6
18π
10π
=
7
7
(4)755 ∘ = 35 ∘
18π
;
7
+ 2π,是第四象限角;
(2)−1680 ∘ = 120 ∘ − 5 × 360 ∘ =
(2)若扇形面积为16,求扇形周长的最小值,及此时扇形的圆心角 .
π
【解析】(1)因为 = 60° = 3 , = 6,
所以扇形的弧长 = = 2π;
(2)由扇形面积 =
1
2
则扇形周长为 + 2 =
2 =
32
1
2
= 16,得 =
+ 2 ≥ 2
32
× 2 = 16 ,
32
当且仅当 = 2 ,即 = 4时,取等号,
1
32
,
此时, 2 × 4 2 = 16,所以 = 2,
所以扇形周长的最小值为16,此时 = 2.
典型例题
题型三:扇形中的最值问题
人教版弧度制_课件
2、当弧长为L,半径为r时该弧所对的圆心角为多 少弧度?
探究二
弧AB的长
OB的旋转方 向
r 逆时针
2r 逆时针
r
逆时针
2r
顺时针
0
r r
2r
未做旋转
顺时针 逆时针 逆时针
角AOB的弧度数 角AOB的度数
2
1
-2
0
2
1 8 00
3600
18
00
8 00
3 6 00
2
例1 把45化成弧度
解 45= ×45rad= rad
180
4
3
例2 把 rad化成度
5
解 3 rad = 3×180 =108
5
5
练习
1)用弧度制写出与300同终边的角的集合;
S { | 2k k z}
6 2)指出下列用弧度制表示的角是第几象限角?
1 2 4 8
课堂小结
180
l
3、扇形的面积公式:
S扇形
n
360
R2
n° l
r
l OS
R
讲授新课
弧度制定义
我们规定,长度等于半径的弧所
对的圆心角叫做1弧度的角;用符号rad表
示,读作弧度。 用弧度来度量角的 单位制叫做弧度制. 1弧度记做1rad.
L α
r
B
r
1rad
O
rA
l 2r
CC
2rad
A
A
r
O
o
AOB=1rad AOC=2rad
180
把弧度换成角度
1rad
180
57.30
5718'
探究二
弧AB的长
OB的旋转方 向
r 逆时针
2r 逆时针
r
逆时针
2r
顺时针
0
r r
2r
未做旋转
顺时针 逆时针 逆时针
角AOB的弧度数 角AOB的度数
2
1
-2
0
2
1 8 00
3600
18
00
8 00
3 6 00
2
例1 把45化成弧度
解 45= ×45rad= rad
180
4
3
例2 把 rad化成度
5
解 3 rad = 3×180 =108
5
5
练习
1)用弧度制写出与300同终边的角的集合;
S { | 2k k z}
6 2)指出下列用弧度制表示的角是第几象限角?
1 2 4 8
课堂小结
180
l
3、扇形的面积公式:
S扇形
n
360
R2
n° l
r
l OS
R
讲授新课
弧度制定义
我们规定,长度等于半径的弧所
对的圆心角叫做1弧度的角;用符号rad表
示,读作弧度。 用弧度来度量角的 单位制叫做弧度制. 1弧度记做1rad.
L α
r
B
r
1rad
O
rA
l 2r
CC
2rad
A
A
r
O
o
AOB=1rad AOC=2rad
180
把弧度换成角度
1rad
180
57.30
5718'
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证明:设扇形所对的圆心角为nº(αrad),则
S=R2 n =1R2
360 2
又 αR=l,所以
S = 1 lR 2
例1. 扇形AOB中, »A B 所对的圆心角是60º,
半径是50米,求 的»A长B l(精确到0.1
米)。
解:因为60º=
3
,所以
l=α·r=
3
×50≈52.5
.
答: »A B 的长约为52.5米.
(2)已知扇形的周长为8cm,面积为 4cm2 ,求扇形
的中心角的弧度数.
(3)下列角的终边相同的是( ).
A. k 与 2k,kΖ
4
4
B. 2k 2 与 ,kΖ
3
3
k
C.
与 k,kΖ
2
2
D. 2k1与 3k, kΖ
小结
(1) 180 = 弧度;
( 2)“角化弧”时,将 n乘以 ;“弧化角”时,
将 乘以 180 ;
180
1.1.2弧度制 (2)
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式:
① 弧长公式: l = r
由公式: = l l = r
r
比公式 l = nr 简单.
180
弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数) 的绝对值与半径的积.
② 扇形面积公式 S = 1 lR 2
其中l是扇形弧长,R是圆的半径。
1.1.2弧度制 (1)
在平面几何中研究角的度量,当时是用度做
单位来度量角,1 的角是如何定义的?
将圆周分成360等份,每一段圆弧所对的圆心角就是1°的角.
弧度制 :
定义: 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角,即用弧度制度量时, 这样的圆心角等于1rad。
单位符号 :rad
B
l =r
1rad
Oo r
A
读作弧度
C
l = 2r
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
角度与弧度间的换算
360=2rad 180 =rad
把角度换成弧度
1= ra d0.017r4a5d
180 把弧度换成角度
1ra= d18057 .30=5718'
角度制与弧度制的换算
正角
正实数
零角
(2) 5 rad
6
(3)2ra(d精确0.1到 )
解:4rad=4180=144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键.
写出一些特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120 135 150180270 360
弧 度
0
6
4
32
2 3 5 346
3
2
2
角度制与弧度制的比较
练习3 课本#6
小结
度量单 位
单位规 定
换算关 系
弧度制 弧度
角度制 角度
等于半径的长的圆
1
弧所对应的圆心角 周角的 360为1
叫1 rad 的角
度的角
π =180°
1rad=
180
57.30
=
57°18′,
1°= 180 rad=0.01745 rad
解:周长=2πR=2R+l,所以l=2(π-1)R. 所以扇形的中心角是2(π-1) rad. 合( 360( 1) ) º
扇形面积是 ( 1)R2
练习
练习1 已知扇形的圆心角为72°,半径 等于20cm,求扇形的弧长和面积;
练习2 已知扇形的周长为10cm,面积为 4cm2,求扇形的圆心角的弧度数.
0
负角
负实数
任意角的集合
实数集R
角的弧度数的绝对值: = l r
(l为弧长,r为半径)
例1 把下列各角化为弧度 解(1:) 6∵73607(302)=306°7(13)5°(4)-45°
2
∴ 67 30=rad 61 7=3rad 180 2 8
例2 把下列 各角化为度.
(1) 4
5
rad
终边相同的角
(1)用角度表示
与终边相同的角可以表示为: k3 6 , k 0Z
它们构成一个集合:
S = | = k 3 , k 6 Z 0
(2)用弧度表示
与终边相同的角可以表示为: 2k, k Z
它们构成一个集合:
S = |= 2 k ,k Z
例3 计算:
(1) sin
16 (1) 3
;(2)315;(3) 11 .
7
例5 用弧度制表示
(1)终边在 x轴上的角的集合
(2)终边在y轴上的角的集合
练习 : 将下列各角 0到 化 2的 成角加2k上
(kZ)的形式。
(1)23(2) 23(3) 45( 04) 450
3
3
练习反馈
(1)若三角形的三个内角之比是2:3:4,求其三个内角 的弧度数.
(1) 弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单 位制,角度制是以“度”为单位来度量角的 单位制;1弧度≠1º; (2)1弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆 心角的大小,而1度是圆周 1 的所对的圆心
360 角的大小;
角度制与弧度制的比较
(3)弧度制是十进制,它的表示是用一个实 数表示,而角度制是六十进制; (4)以弧度和度为单位的角,都是一个与 半径无关的定值。
例2. 在半径为R的圆中,240º的中心角所对的
弧长为
,面积为2R2的扇形的
中心角等于
弧度。
解:(1)240º= 4 ,根据l=αR,得 3
l= 4R
3
(2)根据S=
1
2
lR=
1 2
αR2,且S=2R2.
所以 α=4.
例3 已知一半径为R的扇形,它的周长等于 所在圆的周长,那么扇形的中心角是多少 弧度?合多少度?扇形的面积是多少?
;(2)tan1.5 .
4
解:(1)∵ = 45 ∴ sin=sin45= 2
44ຫໍສະໝຸດ 2(2)∵ 5 .3 7 0 1 .5 = 8 .9 5 = 5 8 5 7 5
∴ ta 1 .5 n ta 8 n 5 5 7 = 1.1 42
练习
1.把下列各角化成 2 k 0 2 , k Ζ 的形式: