2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数
(2017-2019)高考理数真题分类汇编专题09 三角函数(学生版)
专题09 三角函数1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f ()=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f ()是偶函数②f ()在区间（2π，π）单调递增③f ()在[,]-ππ有4个零点 ④f ()的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f ()=|cos2|B ．f ()=|sin2|C ．f ()=cos||D ．f ()=sin||4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B．5C3D55．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点2sin cos ++x xx x③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ．CD ．27．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-8．【2018年高考全国卷II 理数】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．π4 B ．π2C ．3π4D ．π9．【2018年高考天津理数】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数 A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 10．【2018年高考浙江卷】函数y =2xsin2的图象可能是A ．B ．C ．D ．11．【2017年高考全国Ⅲ理数】已知曲线C 1：y =cos ，C 2：y =sin (2+2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 212．【2017年高考全国Ⅲ理数】设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x = D ．()f x 在(π2，π)单调递减 13．【2017年高考天津卷理数】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=14．【2019年高考北京卷理数】函数f （）=sin 22的最小正周期是__________． 15．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ . 16．【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 17．【2018年高考北京卷理数】设函数f （）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数都成立，则ω的最小值为__________．18．【2018年高考全国Ⅲ理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．19．【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．20．【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()23sin 4f x x x =-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是 . 21．【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系Oy 中，角α与角β均以O 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 22．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 23．【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．24．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．25．【2017年高考浙江卷】已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ．（1）求2()3f π的值． （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．26．【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．27．【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值．28．【2018年高考江苏卷】已知,αβ为锐角，4tan 3=α，cos()+=αβ．（1）求cos2α的值；（2）求tan()-αβ的值．29．【2017年高考山东卷理数】设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中.已知π()06f =.（1）求；（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数的图象，求在π3π[,]44-上的最小值. 03ω<<ω()y f x =()y g x =()g x。
2017年高考三角函数试题
2017年高考三角函数试题D5：答案：25解析：∵f (x )＝sin x －2cos x 5x －φ)，其中sin φ＝55，cos φ＝55.当x －φ＝2k π＋π2(k ∈Z)时，f (x )取最大值． 即θ－φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π2＋φ(k ∈Z)． ∴cos θ＝πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－sin φ＝55-.6：（2014·全国新课标卷Ⅰ，文7)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cosx |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③答案．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确． 7：（16年新课标3，文7）若tanθ=31，则cos2θ=( D ) （A ）45-（B ）15-（C ）15（D ）458：(2013课标全国Ⅱ，文16)函数y ＝cos(2x ＋φ)(－π≤φ＜π)的图像向右平移π2个单位后，与函数y ＝πsin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图像重合，则φ＝__________.8：答案：5π6解析：y ＝cos(2x ＋φ)向右平移π2个单位得，πcos 22y x ϕ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝cos(2x －π＋φ)＝ππsin 2π++=sin 222x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而它与函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像重合，令2x ＋φ－π2＝2x ＋π3＋2k π，k ∈Z ， 得5π+2π6k ϕ=，k ∈Z. 又－π≤φ＜π，∴5π6ϕ=.9：（16年新课标3，文科14）函数y =sin x –cos x 的图像可由函数y =2sin x 的图像至少向右平移___3π___个单位长度得到. 9：答案：5π610：（16年新课标2，文科3）函数的部分图像如图所示，则 ( A )=sin()y A x ωϕ+（A ）（B ） （C ） （D ） 11：(2013课标全国Ⅰ，文9)函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图像大致为( )．11： 答案：C解析：由f (x )＝(1－cos x )sin x 知其为奇函数．可排除B ．当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时，f (x )＞0，排除A. 当x ∈(0，π)时，f ′(x )＝sin 2x ＋cos x (1－cos x )＝－2cos 2x ＋cos x ＋1.2sin(2)6y x π=-2sin(2)3y x π=-2sin(2+)6y x π=2sin(2+)3y x π=令f ′(x )＝0，得2π3x =. 故极值点为2π3x =，可排除D ，故选C. 12：（16年新课标1：文科6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为( B ) （A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3) 两角和与差的正弦、余弦、正切1：（2014·新课标2，文科14）函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________．[解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.2：（2014·全国新课标卷Ⅰ，文科2） 若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos2α＞0答案：C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C. 3：(2013课标全国Ⅱ，文6)已知sin 2α＝23，则2πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )．A ．16B ．13C ．12D ．23答案：A解析：由半角公式可得，2πcos 4α⎛⎫+⎪⎝⎭＝π21cos 211sin 21232226αα⎛⎫++- ⎪-⎝⎭===.4：（16年新课标3，文科11）函数的最大值为( B )（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）75：(16年新课标1，文科14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. 5： 答案：54-解三角形17．(2012课标全国1，文17) 中，内角A ．B ．C 成等差数列，其对边满足，求．【命题意图】： 本试题主要考查了解三角形的运用。
2017年三角函数高考真题
8【. 2017年新课标Ⅲ卷，17】ABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 sin A a 2 7 ，b2．
（1）求c； （2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD AC ，求 △ABD 的面积．
3 cos A 0 ，
A． f (x) 的一个周期为 2π
B． y f (x) 的图像关于直线 x 8π 对称 3
C．
f
(x
)
的一个零点为
x
π 6
D．
f
(x)
在
(π 2
,
π)
单调递减
3.【2017 年新课标Ⅱ卷，14】函数 f x sin2 x
3
cos
x
3 4
（
x
0,
2
）的最大值
是
．
4. 【2017 年新课标Ⅱ卷，文 13】函数 f (x) 2 cos x sin x 的最大值为
.
5. （【 2017 年 新 课 标 Ⅱ 卷 ， 文 16 】 △ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c ， 若 2bcosB=acosC+ccosA，则 B= 6.【2017 年新课标Ⅰ卷，17】△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知△ABC
2017 年 高考真题（三角）
2π
1.【2017 年新课标Ⅰ卷，9】已知曲线 C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+ )，则下面结正确的
3
是（ ）
π A．把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 6
2017-2019年高考真题数学(理)分项汇编_专题09 三角函数
专题09 三角函数1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2s i n fx x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()s i n s i n 0fx x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．【名师点睛】本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数.4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，2π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15B ．5C ．3D ．5【答案】B 【解析】2s i n 2c o αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又s i n 0α>，sin α∴=，故选B ． 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【答案】D【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错． 6．【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ． CD ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； 又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C. 【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，再根据函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.7．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79 C ．79-D ．89-【答案】B【解析】2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=. 故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算. 8．【2018年高考全国卷II 理数】若()cos sin f x x x =-在[],a a -是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π【答案】A【解析】因为()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以由π02ππ2π()4k x k k +≤+≤+∈Z 得π3π2π2π()44k x k k -+≤≤+∈Z ， 因此[]π3ππ3ππ,,,,,,044444a a a a a a a ⎡⎤-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤⎢⎥⎣⎦，从而a 的最大值为π4，故选A.【名师点睛】解答本题时，先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a 的最大值.函数()sin (0,0)y A x B A =++>>ωϕω的性质：(1)max min =+y A B y A B =-，. (2)周期2.T =πω(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴. (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间；由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.9．【2018年高考天津理数】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移π10个单位长度之后的解析式为ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 则函数的单调递增区间满足()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ，即()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递增区间为3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ，即()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z ， 令1k =可得一个单调递减区间为：5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A.【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．【2018年高考浙江卷】函数y =2xsin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()2sin2xf x x =，因为()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R ，所以()2sin2xf x x =为奇函数，排除选项A ，B ；因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x <，所以排除选项C ， 故选D.【名师点睛】解答本题时，先研究函数的奇偶性，再研究函数在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上的符号，即可作出判断.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势； （3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性； （4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．11．【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【答案】D【解析】因为12,C C 函数名不同，所以先将2C 利用诱导公式转化成与1C 相同的函数名，则22π2πππ:sin(2)cos(2)cos(2)3326C y x x x =+=+-=+，则由1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos 2y x =，再将曲线向左平移π12个单位长度得到2C ，故选D.【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量x 而言. 12．【2017年高考全国Ⅲ理数】设函数()π(3cos )f x x =+，则下列结论错误的是A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称 C ．(π)f x +的一个零点为π6x = D ．()f x 在(π2，π)单调递减【答案】D【解析】函数()f x 的最小正周期为2π2π1T ==，则函数()f x 的周期为()2πT k k =∈Z ，取1k =-，可得函数()f x 的一个周期为2π-，选项A 正确； 函数()f x 图象的对称轴为()ππ3x k k +=∈Z ，即()ππ3x k k =-∈Z ，取3k =，可得y =f (x )的图象关于直线8π3x =对称，选项B 正确； ()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()f x 的零点满足()πππ32x k k +=+∈Z ，即()ππ6x k k =+∈Z ，取0k =，可得(π)f x +的一个零点为π6x =，选项C 正确； 当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 在该区间内不单调，选项D 错误.故选D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为(n )si y A x ωϕ=+或(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为2πT ω=；奇偶性的判断关键是解析式是否为sin y A x ω=或cos y A x bω=+的形式.（2）求()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=的对称轴，只需令()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z ，求x ；求f (x )的对称中心的横坐标，只需令π()x k k ωϕ+=∈Z 即可.13．【2017年高考天津卷理数】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A ．23ω=，12ϕπ= B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π， 由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ． 【名师点睛】关于sin()y A x ωϕ=+的问题有以下两种题型：①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据最小正周期求ω，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ的值；②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求ω或ϕ的值、函数最值、取值范围等． 14．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．【答案】π2【解析】函数()2sin 2f x x ==1cos 42x -，周期为π2. 【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.15．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.16．【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________．【答案】2-【解析】()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+-⎪⎝⎭，所以当1cos 2x <时函数单调递减，当1cos 2x >时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数()f x 取得最小值，此时sin 22x x =-=-，所以()min2f x ⎛=⨯= ⎝⎭，故答案是. 【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.17．【2018年高考北京卷理数】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________． 【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值， 所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω， 因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查考生的逻辑推理能力以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.18．【2018年高考全国Ⅲ理数】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.19．【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________． 【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 【名师点睛】由对称轴得2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，再根据限制范围求结果.函数()sin y A x B =++ωϕ（A >0，ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT =ω；(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴； (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.20．【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()23sin 4f x x x =+-(π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦)的最大值是. 【答案】1【解析】化简三角函数的解析式：()222311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=-+-=-+=--+ ⎝⎭， 由自变量的范围：π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得：[]cos 0,1x ∈，当cos x =时，函数()f x 取得最大值1. 【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.21．【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，则cos()αβ-=___________. 【答案】79-【解析】因为α和β关于y 轴对称，所以π2π,k k αβ+=+∈Z ，那么1s i n s i n 3βα==，cos cos 3αβ=-=（或cos cos 3βα=-=）， 所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则π2π,k k αβ+=+∈Z ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2π,k k αβ+=∈Z ，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .22．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+=__________． 【答案】12-【解析】因为sin cos 1+=αβ，cos sin 0+=αβ，所以()()221sin cos 1,-+-=αα 所以11sin ,cos 22==αβ， 因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.23．【2017年高考江苏卷】若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ．【答案】75【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---．故答案为75． 【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 24．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈， 因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.25．【2017年高考浙江卷】已知函数22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R ．（1）求2()3f π的值． （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．【答案】（1）2；（2）()f x 的最小正周期是π；单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ．【解析】（1）由2sin 3π=21cos 32π=-，22211()()()322f π=----． 得2()23f π=． （2）由22cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得()cos 22f x x x =-2sin(2)6x π=-+．所以()f x 的最小正周期是π．由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z ， 解得2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z ，所以，()f x 的单调递增区间是2[,],63k k k ππ+π+π∈Z ．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数()ϕω+=x A y sin 的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即()ϕω+=x A y sin ，然后利用三角函数u A y sin =的性质求解．26．【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x 取到最小值-．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a ，(3,=b ，a ∥b ，所以3sin x x =．若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-． 又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b ． 因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()6x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3；当π6x +=π，即5π6x =时，()f x 取到最小值-27．【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P（3455-，-）．（1）求sin （α+π）的值； （2）若角β满足sin （α+β）=513，求cos β的值． 【答案】（1）45；（2）56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【解析】（1）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=.（2）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换. （1）首先利用三角函数的定义求得sin α，然后利用诱导公式，计算sin （α+π）的值;（2）根据sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()+αβ的值，要注意该值的正负，然后根据()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos β的值.28．【2018年高考江苏卷】已知,αβ为锐角，4tan 3=α，cos()5+=-αβ．（1）求cos2α的值； （2）求tan()-αβ的值．【答案】（1）725-；（2）211-. 【解析】（1）因为4tan 3=α，sin tan cos =ααα，所以4sin cos 3=αα．因为22sin cos 1+=αα， 所以29cos 25=α， 因此，27cos 22cos 125=-=-αα． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,)+∈παβ．又因为cos()+=αβ，所以sin()+==αβ， 因此tan()2+=-αβ． 因为4tan 3=α，所以22tan 24tan 21tan 7==--ααα， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11-+-=-+==-++ααβαβααβααβ．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数． （2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路： ①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角． 29．【2017年高考山东卷理数】设函数ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，其中03ω<<.已知π()06f =.（1）求ω；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在π3π[,]44-上的最小值. 【答案】（1）2ω=；（2）最小值为32-.【解析】（1）因为ππ()sin()sin()62f x x x ωω=-+-，所以1()cos cos 22f x x x x ωωω=--3sin cos 22x x ωω=-13(sin )2x x ωω=-π)3x ω=-.由题设知π()06f =，所以πππ63k -=ω，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ， 又03ω<<， 所以2ω=.（2）由（1）得()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为π3π[,]44x ∈-， 所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-. 【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题时，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好地考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.。
湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编-三角函数
湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编三角函数2017.02一、选择、填空题1、（黄冈市2017届高三上学期期末）已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= A.35 B. 35- C. 45 D. 45- 2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）已知α为第四象限角，1sin cos 5αα+=，则tan 2α的值为A.12-B.12C.13- D.13 3、（荆门市2017届高三元月调考）若将函数1π()sin(2)23f x x =+图象上的每一个点都向左平移π3个单位，得到()g x 的图象， 则函数()g x 的单调递增区间为A ．ππ[π,π]()44k k k Z -+∈B ．π3π[π,π]()44k k k Z ++∈C ．2ππ[π,π]()36k k k Z --∈D ．π5π[π,π]()1212k k k Z -+∈ 4、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）计算sin 46cos16cos314sin16⋅-⋅=o o o oA．2B．2C．3D ．125、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知1tan()42πα+=，且02πα-<<， 则22sin sin 2cos()4ααπα+-等于A． B．C．D6、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）已知函数()()17sin cos 0326f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为2π，则6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.34 B. 327、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值是（ ）A ．4 B．．8、（襄阳市2017届高三1月调研）已知2sin cos 2sin ,sin 22sin ,θθαθβ+==，则 A. cos 2cos βα= B. 22cos 2cos βα= C. cos 22cos 2βα= D. cos 22cos 2βα=-9、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）已知函数()()()()()sin ,0cos ,0x x f x x x αβ+≤⎧⎪⎨->⎪⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是 A. ,48ππαβ==B. 2,36ππαβ== C. ,36ππαβ== D. 52,63ππαβ==10、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）下列命题中正确的是（ ）A ．函数y sin x =，[]0,2x π∈是奇函数B ．函数y sin 26x π=-（））在区间-63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减C ．函数y 2sin(2)cos 2()36x x x R ππ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程是6x π= D ．函数y sin cos x x ππ=的最小正周期为2，且它的最大值为111、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）已知()sin 2017cos 201766f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A,若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为 A.2017π B.22017π C. 42017π D.4034π12、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin(2)3πθ+=（ ）A ．B ．CD 13、（荆门市2017届高三元月调考）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC △的面积为S =，则ab 的最小值为 ▲ .14、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知1tan()42πα-=，则sin cos sin cos αααα+-的值为A ．1/2B ．2C ．2 2D ．-215、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）在ABC ∆中，角60C =o，且tan tan 122A B+=，则sinsin 22A B⋅= . 16、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）函数()sin 25sin 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为 ．二、解答题1、（黄冈市2017届高三上学期期末） 函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象. （1）求函数()y g x =的解析式； （2）在ABC ∆中，角A,B,C 满足22sin 123A B g C π+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，且其外接圆的半径R=2，求ABC ∆的面积的最大值.2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）已知函数3cos sin 2sin 32)(2-+=x x x x f ，11[,]324x ππ∈．（Ⅰ）求函数)(x f 的值域；（Ⅱ）已知锐角ABC ∆的两边长分别为函数)(x f 的最大值与最小值，且ABC ∆的外接圆半径为423，求ABC ∆的面积．3、（荆门市2017届高三元月调考） 已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且（a ＋b ）（sinA －sinB ）＝（c －b ）sinC （Ⅰ）求∠A 的大小； （Ⅱ）若f （x 23cos cos 222x x x⋅＋，求f （B ）的取值范围．4、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知函数3cos sin 2sin 32)(2-+=x x x x f ，11[,]324x ππ∈．（Ⅰ）求函数)(x f 的值域；（Ⅱ）已知锐角ABC ∆的两边长分别为函数)(x f 的最大值与最小值，且ABC ∆的外接圆半径为423，求ABC ∆的面积．5、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知函数()sin cos f x ax x x =+，且()f x 在4x π=处的切线斜率为28π. （Ⅰ）求a 的值，并讨论()f x 在[,]ππ-上的单调性；（Ⅱ）设函数1()ln(1),01xg x mx x x-=++≥+，其中0m >，若对任意的1[0,)x ∈+∞总存在2[0,]2x π∈，使得12()()g x f x ≥成立，求m 的取值范围.6、（襄阳市2017届高三1月调研）已知函数()22sin cos .f x x x x =+ (1)求函数()f x 的单调区间； (2)当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值.7、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）在ABC ∆中，角,,A B C 的的对边分别为,,a b c （1）若,,a b c 成等比数列，12cos 13B =，求cos cos sin sin A CA C+的值； （2）若,,A B C 成等差数列，且2b =，设A α=，ABC ∆的周长为l ，求()l f α=的最大值.8、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1cos .2b c a C -= （1）求角A ;（2）若()43,b c bc a +==ABC ∆的面积S .9、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知231()cos cos 224f x x x x =+-. （Ⅰ）求()y f x =的最小正周期T 及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若5(),14f A a ==，求ABC ∆面积的最大值.参考答案一、选择、填空题1、D2、C3、B4、D5、A6、A7、C8、C9、B10、B 11、B 12、C13、1214、B15、1 216、14.4二、解答题1、（Ⅰ）由图知，解得∵∴，即由于，因此……………………3分∴∴即函数的解析式为………………6分（Ⅱ）∵∴∵，即，所以或1（舍），……8分由正弦定理得，解得由余弦定理得∴，（当且仅当a=b等号成立）∴∴的面积最大值为.……………………12分2、（Ⅰ）2()2sin cos2sin(2)3f x x x x xπ=+=-……….3分又117,2,sin(2)132433123x x xππππππ≤≤∴≤-≤≤-≤∴函数()f x的值域为2⎤⎦……………………………………6分（Ⅱ）依题意不妨设2,a b ABC==∆的外接圆半径4r=，sin22322a bA Br r======……………………8分1cos3A B==sin sin()sin cos cos sinC A B A B A B=+=+=…………………..10分11sin2223ABCS ab C∆∴==⨯=分3、解：（1）因为()(sin sin)()sin.a b A B c b C+-=-由正弦定理有()()()a b a b c b c+-=-即有222b c a bc+-=.由余弦定理得2221cos222b c a bcAbc bc+-===，60A∴=︒…………6分（2）由题，2cos11()cos cos sin222262B B B B Bf B Bπ++⎛⎫=+==++⎪⎝⎭，且在锐角ABC∆中，62Bππ<<，2363Bπππ<+<sin16Bπ⎛⎫<+≤⎪⎝⎭，()f B∴的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.…………12分4、（Ⅰ）2()2sin cos2sin(2)3f x x x x xπ=+=-……….3分又117,2,sin(2)1324331223x x xππππππ≤≤∴≤-≤≤-≤∴函数()f x的值域为2⎤⎦……………………………………6分（Ⅱ）依题意不妨设2,a b ABC==∆的外接圆半径4r=，sin22a bA Br r======……………………8分1cos,cos33A B==sin sin()sin cos cos sin3C A B A B A B=+=+=…………………..10分11sin2223ABCS ab C∆∴==⨯=分5、【解析】（Ⅰ）∵()sin cos sin(1)sin cosf x a x ax x x a x ax x'=+-=-+………………1分()(1)44f a a ππ'=-+=g∴1a =，()cos f x x x '=………………………………………………………3分 当()0f x '>时，2x ππ-<<-或02x π<<当()0f x '<时，02x π-<<或2x ππ<<∴()f x 在(,),(0,)22πππ--上单调递增；在(,0),(,)22πππ-上单调递减 (6)分（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，()f x 单调递增，∴min ()(0)1f x f ==，则只需()1g x ≥在[0,)x ∈+∞上恒成立即可 (7)分222()()(0,0)(1)(1)m m x m g x x m mx x -+'=≥>++①当2m ≥时，20m m-≥ ∴()0g x '≥在[0,)+∞上恒成立， 即()g x 在[0,)+∞上单调递增 又(0)1g =，∴()1g x ≥∴()1g x ≥在[0,)+∞上恒成立，故2m ≥时成立；………………………9分 ②当02m <<，x ∈时，()0g x '<，此时()g x 单调递减 ∴()(0)1g x g <=，故02m <<时不成立………………………………11分 综上所述，m 的取值范围是[2,)+∞…………………………………………12分6、(Ⅰ)解：()sin 2cos 2)sin 22f x x x x x =+=+ 2分2sin(2)3x π=+4分当2[22]()322x k k k Z πππππ+∈-+∈，时，f (x )单调递增这时，5[]1212x k k ππππ∈-+， 6分当32[22]()322x k k k Z πππππ+∈++∈，时，f (x )单调递减这时，7[]1212x k k ππππ∈++，∴函数2()2sin cos f x x x x =+的单调递增区间是5[]()1212k k k Z ππππ-+∈，，单调递减区间是7[]()1212k k k Z ππππ++∈， 8分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知，当[]312x ππ∈-，时，f (x ) 单调递增，当[]123x ππ∈，时，f (x ) 单调递减 ∴函数f (x )的最大值为()212f π=10分又22()2sin()0()2sin()333333f f ππππππ-=-++==+，∴函数f (x )的最小值为0． 12分7、解：（Ⅰ）135sin ,1312cos =∴=B B Θ 由c b a ,,成等比数列，得ac b =2． …………………………………2分 又由正弦定理，得C A B sin sin sin 2=C A A C C A A C A C C C A A sin sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos +=+=+∴B B2sin sin = ………………4分 513sin 1==B ………………６分 （Ⅱ）由角C B A ,,成等差数列，得3π=B ．又2=b ，由正弦定理C c B b A a sin sin sin ==，及αππα-=+-==32)(,B A C A 得)32sin(3sin2sin αππα-==c a∴)32sin(34,sin 34απα-==c a ………………８分 ∴ABC ∆周长)32sin(342sin 34)(απαα-++=++==c b a f l 2)sin 21cos 23(sin 34+++=ααα2)cos 23sin 23(34++=αα 2)cos 21sin 23(334++=αα2)6sin(4++=πα ………………10分∵320πα<< ∴当26ππα=+即3πα=时624)3(max =+==πf l所以ABC ∆周长)(αf l =的最大值为6． ………………１２分8、（1）由正弦定理得：1sin sin sin cos 2B C A C -= ……2分 又∵sin sin()B A C =+ ∴1sin()sin sin cos 2A C C A C +-=即1cos sin sin 2A C C = ……4分又∵sin 0C ≠ ∴1cos 2A =，又A 是内角 ∴60A =o ……6分（2）由余弦定理得：2222222cos ()3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+- ……8分 ∴2()4()12b c b c +-+= 得：6b c += ∴8bc = ……10分∴11sin 8222S bc A ==⨯⨯= ……12分9、解：(Ⅰ)()f x 1)232x π=++ , ……………………3分 故()y f x =周期T π= . ……………………4分 令222,()232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈则5,()1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 所以()y f x =单调增区间为5[,],()1212k k k Z ππππ-++∈. ……………………6分 （Ⅱ） 由5()4f A =可得6A π= ， ……………………8分所以cos A ＝32. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立 ， ……………………10分．因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. ……………………12分。
2017年高考全国名校试题数学分项汇编 专题04 三角函数与解三角形(原卷版) Word版无答案
一、填空题1. 【2016高考冲刺卷（9）【江苏卷】】已知()23tantan 1,sin 3sin 222ααβαβ+==+，则()tan αβ+=2. 【2016高考冲刺卷（7）【江苏卷】】直线3=y 与曲线)0(sin 2>=ωωx y 相距最近的两个交点间距离为6π，则x y ωsin 2=的最小正周期为 ． 3. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】已知θ是第三象限角，且52cos 2sin -=-θθ，则=+θθcos sin4. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】已知312sin =α，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-4cos 2πα=_____▲____．5. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】将函数()sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移4π个单位长度得到sin y x =的图象，则()6f π= ．6. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】若α、β均为锐角，且1cos 17α=，47cos()51αβ+=-，则cos β= ．7. 【江苏省苏中三市（南通、扬州、泰州）2016届高三第二次调研测试数学试题】若将函数)4sin(πω+=x y 的图象向左平移6π个单位长度后，与函数)4cos(πω+=x y 的图象重合，则正数ω的最小值为_____________.8. 【江苏省南京市2016届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)()22ππθ-<<的图象向右平移φ(0＜φ＜π)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ，则φ的值为 ▲ ．9. 【2016高考冲刺卷（2）【江苏卷】】已知函数f (x )＝|sin |x －kx (x ≥0，k ∈R )有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x ，则200(1)sin 2x x x +＝ ▲ ． 10. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】已知函数b a x b x a x f ,(cos sin )(+=为常数，且R x a ∈≠,0），若函数)4(π+=x f y 是偶函数，则)4(π-f 的值为 ．11. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】设α为锐角，若31)6sin(=-πα，则αcos 的值为 ． 12. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】如图，在平面四边形ABCD 中，若090,2,2,1=∠===ACD DC AD BC AB ，则对角线BD 的最大值为 ．13. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】将函数3cos sin y x x x的图像向左平移0m m个单位长度后，所得的图像关于y 轴对称，则m 的最小值是_______.14. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】已知sin 2cos αα+=，那么tan2α的值为_______.15. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】已知]4,4[ππθ-∈，且314cos -=θ，则=--+)4(sin )4(sin 44πθπθ ．16. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】已知1sin tan(),(,)72ααβαπ=+=∈π，那么tan β的值为_______.二、解答题1. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分14分）在ABC △中，角CB A 、、分别是边c b a 、、的对角，且b a 23=， （Ⅰ）若 60=B ，求C sin 的值； （Ⅱ）若2cos 3C=，求sin()A B -的值． 2. 【 2016年第二次全国大联考（江苏卷）】（本小题满分16分）如图，290,,3OC km AOB OCD πθ=∠=∠=,点O 处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径r 随时间t 变化函数为3r =，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C 点处开始沿CD 方向飞行,其飞行速度为15/min km ．(Ⅰ) 当无人侦察机在CD 上飞行t 分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离OE ；（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且4πθ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？请说明理由.3. 【2016年第三次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点11(,)P x y ，将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转2π后与单位圆交于点22(,)Q x y . 记12()f y y α=+.(Ⅰ)求函数()f α的值域；(Ⅱ)设ABC ∆的角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，若()f C =a =1c =，求b的值.4. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A 、、分别是边c b a 、、的对角，且(cos ,sin ),(cos ,sin ),cos2,sin sin 3sin sin A A B B C A B A B =-=⋅=+=m n m n ，（Ⅰ）求角C 的值；（Ⅱ）若3c =，求ABC ∆的面积．5. 【2016年第四次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，等边三角形OAB 的边O C DEAB长为4km.现在线段OB 上取一点D （不含线段OB 端点）建发电站向,A B 两点供电．如果线段DB 上每公里建设费用为a 万元（a 为正常数），线段AD 上每公里建设费用为3a 万元，设ADO θ∠=，建设总费用为S 万元.(Ⅰ) 写出S 关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围； （Ⅱ）AD 等于多少时，可使建设总费用S 最少？6. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】（本小题满分14分）已知角α终边逆时针旋转6π与单位圆交于点 且2tan()5αβ+=. （1）求sin(2)6πα+的值，（2）求tan(2)3πβ-的值.7. 【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】（本小题满分14分）如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角45CAD ∠=． （1）求BC 的长度；（2）在线段BC 上取一点P (点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，tan()αβ+最小？8. 【2016高考押题卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知ABC ∆的面积是30，内角C B A ,,所对边长分别是c b a ,,，且144-=⋅AC AB ． （1）求A cos 的值；（2）若4=-b c ，求a 的值．9. 【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分14分） 已知函数2()sin(2)cos 6f x x x π=+-．(1)求()f x 的最小正周期及2[,]123x ππ∈时()f x 的值域；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边为c b a ,,，其中角C 满足423)4(-=+πC f ，若ABC S ∆，2=c ，，求)(,b a b a >的值．10. 【江苏省扬州中学2015—2016学年第二学期质量检测】（本小题满分14分）设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,tan a b c a b A =，且B 为钝角.（1）证明：2B A π-=； （2）求sin sin A C +的取值范围.11. 【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】（本小题满分14分）已知函数()2sin cos()3f x x x ωωπ=+（0ω>）的最小正周期为π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]62ππ-上的最大值和最小值.12. 【南京市2016届高三年级第三次模拟考试】（本小题满分14分）在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ． （1）求cos B 的值；（2）若a ，b ，c 成等比数列，求11tan tanCA +的值． 13. 【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】(本小题满分14分)已知ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，满足sin sin sin sin b a B Cc B A--=+． ⑴求角A 的值；⑵若a ，c ，b 成等差数列，试判断ABC ∆的形状．14. 【2016高考冲刺卷（3）【江苏卷】】（本小题满分14分）若A B C 、、为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a b c 、、．若向量2(cos ,cos 1)22A A m =-，向量(1,cos 1)2An =+，且21m n ⋅=-．（1）求A 的值；（2）若a =S =b c +的值．15. 【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】(本题满分14分)已知函数2()2sin cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调减区间；（2）已知ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，其中7a =，若锐角A 满足()26A f π-=sin sin B C +=，求bc 的值． 16. 【2016高考冲刺卷（6）【江苏卷】】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为c b a ,,，已知A C B cos 1)cos(-=-，且c a b ,,成等比数列.（1）求C B sin sin ⋅之值； （2）求角A 的大小； （3）求C B tan tan +的值。
湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编：三角函数 含答案 精品
湖北省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编三角函数2017.02一、选择、填空题1、（黄冈市2017届高三上学期期末）已知函数()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<的图象关于直线1x =对称，则sin 2ϕ= A.35 B. 35- C. 45 D. 45- 2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）已知α为第四象限角，1sin cos 5αα+=，则tan 2α的值为 A.12-B.12C.13- D.13 3、（荆门市2017届高三元月调考）若将函数1π()sin(2)23f x x =+图象上的每一个点都向左平移π3个单位，得到()g x 的图象， 则函数()g x 的单调递增区间为A ．ππ[π,π]()44k k k Z -+∈B ．π3π[π,π]()44k k k Z ++∈C ．2ππ[π,π]()36k k k Z --∈D ．π5π[π,π]()1212k k k Z -+∈ 4、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）计算sin 46cos16cos314sin16⋅-⋅=AB．2CD ．125、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知1tan()42πα+=，且02πα-<<， 则22sin sin 2cos()4ααπα+-等于A． B．C．D6、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）已知函数()()17sin cos 0326f x x x ππωωω⎛⎫⎛⎫=+--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期为2π，则6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.34 B. 327、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin a b C =，则tan tan tan A B C ++的最小值是（ ）A ．4 B．．8、（襄阳市2017届高三1月调研）已知2sin cos 2sin ,sin 22sin ,θθαθβ+==，则 A. cos 2cos βα= B. 22cos 2cos βα= C. cos 22cos 2βα= D. cos 22cos 2βα=-9、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）已知函数()()()()()sin ,0cos ,0x x f x x x αβ+≤⎧⎪⎨->⎪⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是 A. ,48ππαβ==B. 2,36ππαβ== C. ,36ππαβ== D. 52,63ππαβ== 10、（孝感市七校教学联盟2017届高三上学期期末）下列命题中正确的是（ ）A ．函数y sin x =，[]0,2x π∈是奇函数B ．函数y sin26x π=-（））在区间-63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减 C ．函数y 2sin(2)cos 2()36x x x R ππ⎛⎫=--+∈ ⎪⎝⎭的一条对称轴方程是6x π= D ．函数y sin cos x x ππ=的最小正周期为2，且它的最大值为111、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）已知()s i n2017c o s 201766f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为A,若存在实数12,x x 使得对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为 A.2017πB.22017π C. 42017π D.4034π12、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin(2)3πθ+=（ ）A ．310--B ． 410--C ．310-D ．410- 13、（荆门市2017届高三元月调考）在ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2cos 2c B a b =+，若ABC △的面积为S =，则ab 的最小值为 ▲ .14、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知1tan()42πα-=，则sin cos sin cos αααα+-的值为A ．1/2B ．2C ．2 2D ．-215、（武汉市2017届高三毕业生二月调研考）在ABC ∆中，角60C =，且t an t a n 122A B+=，则sinsin 22A B⋅= . 16、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）函数()sin 25sin 2f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最大值为 ．二、解答题1、（黄冈市2017届高三上学期期末） 函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后得到函数()y g x =的图象. （1）求函数()y g x =的解析式； （2）在ABC ∆中，角A,B,C 满足22sin 123A B g C π+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，且其外接圆的半径R=2，求ABC ∆的面积的最大值.2、（荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三2月联考）已知函数3c o s s i n 2s i n 32)(2-+=x x x x f ，11[,]324x ππ∈． （Ⅰ）求函数)(x f 的值域；（Ⅱ）已知锐角ABC ∆的两边长分别为函数)(x f 的最大值与最小值，且ABC ∆的外接圆半径为423，求ABC ∆的面积．3、（荆门市2017届高三元月调考） 已知a ，b ，c 分别为锐角△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且（a ＋b ）（sinA －sinB ）＝（c －b ）sinC （Ⅰ）求∠A 的大小；（Ⅱ）若f （x 2cos cos 222x x x⋅＋，求f （B ）的取值范围．4、（荆州市五县市区2017届高三上学期期末）已知函数3c o s s i n 2s i n 32)(2-+=x x x x f ，11[,]324x ππ∈． （Ⅰ）求函数)(x f 的值域；（Ⅱ）已知锐角ABC ∆的两边长分别为函数)(x f 的最大值与最小值，且ABC ∆的外接圆半径为423，求ABC ∆的面积．5、（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）已知函数()sin cos f x ax x x =+，且()f x 在4x π=. （Ⅰ）求a 的值，并讨论()f x 在[,]ππ-上的单调性；（Ⅱ）设函数1()ln(1),01xg x mx x x-=++≥+，其中0m >，若对任意的1[0,)x ∈+∞总存在2[0,]2x π∈，使得12()()g x f x ≥成立，求m 的取值范围.6、（襄阳市2017届高三1月调研）已知函数()22sin cos .f x x x x =+ (1)求函数()f x 的单调区间； (2)当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值.7、（襄阳市优质高中2017届高三1月联考）在ABC ∆中，角,,A B C 的的对边分别为,,a b c （1）若,,a b c 成等比数列，12cos 13B =，求cos cos sin sin A CA C+的值；（2）若,,A B C 成等差数列，且2b =，设A α=，ABC ∆的周长为l ，求()l f α=的最大值.8、（湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考）在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若1cos .2b c a C -= （1）求角A ;（2）若()43,b c bc a +==ABC ∆的面积S .9、（荆州中学2017届高三1月质量检测）已知231()cos cos 224f x x x x =+-. （Ⅰ）求()y f x =的最小正周期T 及单调递增区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若5(),14f A a ==，求ABC ∆面积的最大值.参考答案一、选择、填空题1、D2、C3、B4、D5、A6、A7、C8、C9、B10、B 11、B 12、C13、1214、B1516、14.4二、解答题1、（Ⅰ）由图知，解得∵∴，即由于，因此……………………3分∴∴即函数的解析式为………………6分（Ⅱ）∵∴∵，即，所以或1（舍），……8分由正弦定理得，解得由余弦定理得∴，（当且仅当a =b 等号成立）∴∴的面积最大值为.……………………12分2、（Ⅰ）2()2sin cos 2sin(2)3f x x x x x π=+=-……….3分又117,2,sin(2)132433123x x x ππππππ≤≤∴≤-≤≤-≤ ∴函数()f x的值域为⎤⎦ ……………………………………6分（Ⅱ）依题意不妨设2,a b ABC ==∆的外接圆半径r =，sin 2323a b A B r r ======……………………8分1cos 3A B ==sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=…………………..10分11sin 2223ABC S ab C ∆∴==⨯=分 3、解：（1）因为()(sin sin )()sin .a b A B c b C +-=-由正弦定理有()()()a b a b c b c +-=- 即有222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，60A ∴=︒ …………6分 （2）由题，21()cos cos sin 22262B B B f B B π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭， 且在锐角ABC ∆中，62B ππ<<，2363B πππ<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，()f B ∴的取值范围是32⎤⎥⎝⎦.…………12分4、（Ⅰ）2()2sin cos 2sin(2)3f x x x x x π=+=-……….3分又117,2,sin(2)132433123x x x ππππππ≤≤∴≤-≤≤-≤ ∴函数()f x的值域为⎤⎦ ……………………………………6分（Ⅱ）依题意不妨设2,a b ABC ==∆的外接圆半径r =，sin 2222a b A B r r ======分1cos 3A B ==sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=…………………..10分11sin 222ABC S ab C ∆∴==⨯=分 5、 【解析】（Ⅰ）∵()sin cos sin (1)sin cos f x a x ax x x a x ax x '=+-=-+ ………………1分222()(1)44f a a πππ'=-+=∴1a =，()cos f x x x '=………………………………………………………3分 当()0f x '>时，2x ππ-<<-或02x π<<当()0f x '<时，02x π-<<或2x ππ<<∴()f x 在(,),(0,)22πππ--上单调递增；在(,0),(,)22πππ-上单调递减 (6)分（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，()f x 单调递增，∴min ()(0)1f x f ==，则只需()1g x ≥在[0,)x ∈+∞上恒成立即可 (7)分222()()(0,0)(1)(1)m m x m g x x m mx x -+'=≥>++①当2m ≥时，20m m-≥ ∴()0g x '≥在[0,)+∞上恒成立， 即()g x 在[0,)+∞上单调递增 又(0)1g =，∴()1g x ≥∴()1g x ≥在[0,)+∞上恒成立，故2m ≥时成立；………………………9分 ②当02m <<，x ∈时，()0g x '<，此时()g x 单调递减 ∴()(0)1g x g <=，故02m <<时不成立....................................11分 综上所述，m 的取值范围是[2,)+∞ (12)分6、(Ⅰ)解：错误！未找到引用源。
三角函数的图象与性质-2017年高考数学(理)母题题源系列(新课标2专版)含解析
【母题原题1】【2017新课标卷II ，理14】函数23()sin 34f x x x =-([0,])2x π∈的最大值是 ____________． 【答案】1 【解析】化简得()22311cos 3cos 344f x x x x x =-+-=-+=23(cos 12x --+,由 [0,]2x π∈可得cos [0,1]x ∈,当3cos x =时,函数()f x 取得最大值1．【考点】 三角变换、复合型二次函数的最值【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题,二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”,它们常结合在一起,有关二次函数的问题，数形结合、密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置;③判别式；④端点函数值符号四个方面进行分析．【母题原题2】【2016新课标卷II,理7】若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移12π个单位长度,则平移后图像的对称轴为(A ）x =26k ππ-（k ∈Z ) （B ）x =26k ππ+（k ∈Z )（C ）x =212k ππ-（k ∈Z ） （D)x =212k ππ+(k ∈Z ）【答案】B【考点】三角函数图像的变换与对称性【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加或减多少值，而不是依赖于ωx 加或减多少值．【命题意图】 三角函数的图象与性质,高考重点考查三角函数的性质、图象及平移变换、运算能力、等价转化及数学结合思想.【命题规律】 高考对该部分内容考查一般以选择填空题形式出现,难度中等或中等以下，热点是三角函数的值域、最值、单调性、对称性及三角函数解析式的确定，且常常与三角变换结合在一起考查.【答题模板】解答本类题目,以2017年试题为例,一般考虑如下三步：第一步：把所给函数化为最简 化简的思路一般是化分式为整式,化高次为低次，且是项数尽可能的少,配方与辅助角公式是常用的2种方法。
(完整word)(完整word版)2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数,推荐文档
2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数二填空选择题【答案】【答案】【解析】1. (2017年天津卷文)设函数f(X )2sin( x ),x R ，其中o’ 丨兀若 f(5n )2，f0,且f(x)的 最小正周期大2 n ,则2 3 1 3n12 11 n 24(B ) (D)2 3 1 311 n 72 7n 24【解析】由题意得58 11 82匕k2，其中k i ,k 2所以3(k 22kJ -，又 T —23，所以1，所以2k 1，由|也，故选A .2. (2017年天津卷理 )设函数f(x) 2si n(R ，其中)0，且f (x)的最小正周期大于2 ，则(A )12 (B )12 24(D)24【解析】由题意81182k 1 k2所以 2k 11 12 ，3.( 2017年全国川卷文22，其中 k 1,k 2 Z,所以故选A.ABC 内角 3(k2A, B,C 的对边分别为a,b,c ，已知2kJ ，又T 0■,所以015根据正弦定理有:sin 600sin B2 n已知曲线 C 1： y =cos x ，C 2： y =sin (2x +)，则下面结论正确的是3冗A •把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2450 A7504.(2017年新课标I ) 9.A.4B.2C.D.B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移n 个单位长度，得到曲线12 C 2C . 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1倍, 2纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移n个单位长度，得到曲线6C 2D . 把C 上各点的横坐标缩短到原来的1倍, 2纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移n个单位长度，得到曲线12C2【答案】D6.（2017年浙江卷）14 .已知△ABC , AB = AC =4 , BC =2.点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ,贝U △BDC 的面积是 _____ cos Z BDC = _____ ,8.（ 2017年新课标n 文）16.△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 若2b cosB= a cosC+c cosA,则B=— 39. （ 2017年新课标n 文）3.函数f x = sin （ 2x+—）的最小正周期为 （C ）3【解析】f x 1 cos 2 x , 3cosx3 cos 2x \ 3 cosx -44cosx乜21, x 0,：那么cosx 0,1，当 cosx3时函数取得最大值222【答案】11.【解析】取 BC 中点E , DC 中点F , 由题意：AE BC,BF CD , .15 △ ABE 中，BE 1DBC1DBC 1cos ABCcos一 ,siL 1—AB 44:164SA BCD5. （ 2017年新课标n 卷理）14•函数f x .2sin x 3 cosx 0,2的最大值是-BD BC sin DBC .2 22又 cos DBC 1 2s in DBF1, sin DBF 410 4cos BDC sin DBF综上可得，△ BCD 面积为cos BDC-10 47.（2017年新课标n 文）.13函数f x =2cosxsinx 的最大值为10.(2017年浙江卷)11.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 n,理论上能把n 的值计算到任意精度.【解析】本题选择D 选项.4]! tan( -)ta^ 1 丄 4 4 614.(2017年江苏卷 5. tan()若15. (2017年新课标I 文)11 . △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c 。
2017年高考数学—三角函数(解答+答案)
2017年高考数学—三角函数（解答+答案）1.（17全国1理17．（12分））△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin sin B C ;（2）若6cos cos 1,3B C a ==，求△ABC 的周长.2.（17全国2理17.（12分））ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=， （1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ．3.（17全国3理17．（12分））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0,2A A a b +===（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．4.（17北京理（15）（本小题13分））在ABC ∆中，360,7A c a ∠==o（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若7a =，求ABC ∆的面积.已知函数())2sin cos 3f x x x x π=--（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求证：当[,]44x ππ∈-时，1()2f x ≥-6.（17山东理16）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=. （Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.7.（17山东文（17）（本小题满分12分））在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知b=3，6AB AC =-u u r u u u rg ,3ABC S ∆=，求A 和a 。
8.（17天津理15.（本小题满分13分））在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值.在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A b B =，2225()ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.10.（17浙江18．（本题满分14分））已知函数22()sin cos 23sin cos ()f x x x x x x R =--∈（Ⅰ）求2()3f π的值. （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.11.（17江苏16. （本小题满分14分））已知向量(cos ,sin ),(3,3),[0,]a x x b x π==-∈. （1）若//a b ，求x 的值； （2）记,求()f x 的最大值和最小值以及对应x 的值参考答案：1.解：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A =，即1sin 23sin ac B A=由正弦定理得1sin sin sin 23sin AC B A =故2sin sin 3B C =。
2017年高考数学—三角函数(选择+填空+答案)
2017年高考数学—三角函数（选择+填空+答案）1.（17全国1理9）已知曲线122:cos ,:sin(2)3C y x C y x π==+，则下面结论正确的是 A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 2.（17全国1文8）.函数sin21cos xy x=-的部分图像大致为3.（17全国1文11）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c 2，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π34.（17全国2文3）函数()sin(2)3f x x π=+的最小正周期为A.4πB.2πC. πD.2π 5.（17全国3文4）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α= A ．79-B ．29-C ．29D ．796.（17全国3文6）函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为 A ．65 B ．1 C ．35 D ．157.（17全国3文7）函数2sin 1xy x x=++的部分图像大致为A ．B ．C ．D ．8.（17山东理（9））在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 9.（17山东文（4））已知34cosx =,则2cos x = A ．-14B. 14C. - 18D.1810.（17山东文（7））函数sin2cos23+=y x x 最小正周期为A.2πB.23πC.πD.2π11.（17天津理（7））设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=12.（17全国3理6）设函数()cos()3f x x π=+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()f x 在(,)2ππ单调递减13. （17全国1文15）已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-=__________。
2017高考试题分类汇编-三角函数
三角函数1 (2017北京文)在平面直角坐标系 xOy 中，角〉与角[均以Ox 为始边，它们的终边关于1y 轴对称.若 sin 。
=一，贝U sin P =.3 ------------2 (2017北京文)(本小题13分)已知函数 f (x) = . 3 cos(2x-§) -2sin xcosx .(I) f(x)的最小正周期；— — 1 (II) 求证：当 X •[,]时，f X 一4 4'、 23 (2017新课标n 理).函数f(x)二sin 2 3x •、“3cosx (x ・[0,才)的最大值是4 (2017新课标n 理)(12分)2 B△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知sin A C =8sin 2?. (1) 求 cos B ；(2) 若a ，c =6, △ ABC 的面积为2，求b .5 (2017 天津理)设函数 f (x) =2s in C 'X • , x ・ R ，其中■ ■ 0 , |「卜：二.若 f(…)=2 ,8f () =0，且f (x)的最小正周期大于2二，贝y82小 兀2 皿11兀1 平11兀(A ) ■ =- ,(B ) •二一 ,(C ) •二一 ,(D )3 123123244 4 41,=-7 (2017新课标川理数)(12分)△ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 sinA+. 3 cosA=0, a=2 J7 ,b=2.(1) 求 c ;(2) 设D 为BC 边上一点，且AD_ AC,求A ABD 的面积.8 (2017山东理)在.中，角z, 2, C 的对边分别为a , b , c •若C 为锐角 三角形，且满足sin 「T 1 2cosC =2sin^cosC co^- sinC ，则下列等式成立的是(A ) a = 2b( B ) b = 2a ( C ) = 2三(D ) m - 2.-.9 (2017 山东理)设函数 f(x)二 sinC’x ) sin(「x )，其中 0 ■■- 3 .已知f( ) =o . 6(I)求• ■;(n)将函数y = f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到3■:的图象向左平移个单位，得到函数 y =g(x)的图象，求g(x)在［,］上的最小值.6.( 2017新课标川理数)设函数f(x)=co s(x+ ),A . f(x)的一个周期为-2 nB. y=f(x)的图像关于直线x=—对称C . f(x+n 的一个零点为x=-D. f(x)在(― , n 单调递减2 ny =cos x ，°： y =sin (2xF ，则下面结论正确的是(1)求 sinBsinC;(2)若 6cosBcosC=1, a=3,求厶ABC 的周长.13 (2017江苏)(本小题满分 14分)已知向量 a =(cosx, sin x), b= (3, - • 3), x ：二［0, n(1 )若a // b ,求x 的值； (2)记f(x)二a b ，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.11 (2017新课标I 理数)已知曲线C i ： A.把C i 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移单位长度，得到曲线 CB.把C i 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移n12个单位长度，得到曲线 C,C.把G 上各点的横坐标缩短到原来的 1 —倍，纵坐标不变, 2再把得到的曲线向右平移丄个 6单位长度，得到曲线 CD .把C i 上各点的横坐标缩短到原来的1 倍，纵坐标不变, 2再把得到的曲线向左平移n12个单位长度，得到曲线12 ( 2017新课标I 理数)(12分)△ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 b , c ,已知△ ABC 的面积为2a3sin A19 （2017北京理）（本小题 13分）14 ( 2017 天津文)设函数 f ( x)二 2 s i n X ?X)R ,其中.0,1 |：：： n .若5 n 11 nf( )=2, f( )=0,且f (X)的最小正周期大于2 n ,则 8 82 n2 11 n 1 11 n 1 7 n (A ), (B ), (0, (D ), 31231232432415 ( 2017天津文)(本小题满分13分)在△ ABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c .已知as i nA 二4 s iB , ac 二、、5(a 2 —b 2 —c 2).(I )求cos A 的值；(II )求 si n( 2B - A)的值• sin(2B -A)二sin 2BcosA-cos2Bsin A 」518 （ 2017北京理）在平面直角坐标系 xOy 中，角a 与角B 均以Ox 为始边，它们的终边关于2一5^■5516 （2017新课标n 文）函数（x ） =sin （2x n 的最小正周期为A . 4 nB . 2 nC.nnD.-217 （2017新课标n 文）函数 (x) =2cos X sin X 的最大值为y 轴对称若sin ：■ COS (G - P ) = _______26 (2017山东文)(本小题满分12分)3 在厶 ABC 中，三A =60°, c=—a. 7(I)求sinC 的值；(n)若a=7,求厶ABC 的面积.20 (2017 浙江)(本题满分14 分)已知函数 f (x ) =sinx~cosx-2・.3 sin x cos x (x ：二 R )(I)求f(2二)的值.3(n)求f(x)的最小正周期及单调递增区间.1TT7T21 (2017新课标川文数)函数 f(x)= sin(x+ )+cos(x^ )的最大值为(5 3 6A .B . 1 C.D . 22 新课标川文数)△ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c 。
《精品》2017-2019三年高考真题数学(理)分项汇编专题09三角函数(解析版)
专题09三角函数1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=sin x xcos x x2在[,]的图像大致为A．B．C．【答案】DD．【解析】由f(x)sin(x)(x)sin x xcos(x)(x)2cos x x2f(x)，得f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除A．又πf( )2π11π( )2242ππ1,πf(π)01π2，排除B，C，故选D．【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．f(x)是奇函数，排除A，再注2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数f(x)sin| x||sin x|有下述四个结论：①f(x)是偶函数②f(x)在区间（2，）单调递增③f(x)在[,]有4个零点④f(x)的最大值为2其中所有正确结论的编号是A．①②④C．①④【答案】C B．②④D．①③【解析】 f x si n x sin x si n x sin x fx ,f x为偶函数，故①正确．当π2x π时，f x2si n x ，它在区间单调递减，故②错误．2,21当0x π时，f x 2sin x，它有两个零点：0；当πx 0时，f x sinxsin x2sin x，它有一个零点：π，故 f x 在,有3个零点：0，故③错误．当x 2k,2kk N 时， f x2si nx；当x 2k ,2k2kN时，f x si nx si nx，又0fx为偶函数， fx的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C．【名师点睛】本题也可画出函数 f x si n x sin x的图象（如下图），由图象可得①④正确．3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2为周期且在区间(4，2)单调递增的是A．f(x)=|cos2x|C．f(x)=cos|x|【答案】A【解析】作出因为y sin|x|B．f(x)=|sin2x|D．f(x)=sin|x|的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；因为y cos x cos x，周期为2π，排除C；作出y cos2x图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(，)单调递增，A正确；42作出y sin2x的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(，)单调递减，排除B，42故选A．图12图 2图 3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数 ysin x ② 不是周期函数.y f ( x )的周期是函数y f ( x )周期的一半；4．【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】已知 α∈(0，2)，2sin2α=cos2α+1，则 sin α=A ．1 5B ．55C ．33D ．2 55【答案】B【 解 析 】2sin 2α cos2 α 1，4sin α cos α 2cos 2 α .α0, ,cos α 0 ， sin α 0,2sin α cos α，又 s in 2cos211 ，5sin2 α 1,sin 2 α ，又 s in 0 5， s in55，故选 B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及 正余弦平方和为 1 关系得出答案．325．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数f x =sin（x5）(＞0)，已知f x 在0,2有且仅有5个零点，下述四个结论：①f x在（0,2）有且仅有3个极大值点②fx在（0,2）有且仅有2个极小值点③fx 在（0,10）单调递增④的取值范围是[1229，) 510其中所有正确结论的编号是A．①④C．①②③【答案】D B．②③D．①③④【解析】①若f(x)在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，由图1可知，f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，f(x)在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当πkπ=sin（）=0时，x =kπ（k∈Z），所以555，因为f(x)在[0,2π]上有5个零点，所以当k=5时，x 5ππ52ππ6π，当k=6时，5f x xxx2π1229，解得ω，514故④正确.③函数f x=si n（xπππ）的增区间为：2kπx 2kπ5252，732k π2kπ1010.取k=0，当1271时，单调递增区间为πx π，5248当2973时，单调递增区间为πx π102929，综上可得，πf x0,10单调递增.故③正确.所以结论正确的有①③④.故本题正确答案为D.【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错．6．【2019年高考天津卷理数】已知函数f(x)A s in(x )(A 0,0,||)是奇函数，将y fx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g x．若g x的最小正周期为2π，且g 2，则f3A．2B．2C．2D．2【答案】C【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(0)A sin 0,=kπ,k Z ,k 0,0；又g(x)A sin 12πx ,T 2π,212∴2，又πg()42，∴A 2，∴f(x)2sin2xx在48，f(3π8)2.故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数5gx，再根据函数性质逐步得出A,,的值即可.7．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若s in 1，则cos2 3A．89B．79C．79D．89【答案】B【解析】cos 212sin2112()3279.故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算. 8．【2018年高考全国卷II理数】若f x cosx si n x在a,a是减函数，则a的最大值是A．C．π43π4B．D．π2π【答案】A【解析】因为f x cosx sin xπ2cos x4，所以由02kπx ππ3ππ2kπ(k Z)得2kπx 2kπ(k Z) 444，因此a,a π3ππ3πππ,,a a,a ,a ,0a ，从而a的最大值为，444444故选A.【名师点睛】解答本题时，先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定a的最大值.函数y A sin x B(A 0,0)的性质：(1)ymax =A+B，yminA B.(2)周期T 2.(3)由x π2kπk Z求对称轴.(4)由πππ3π2kπx 2kπk Z求增区间；由2kπx22222kπk Z 求减区间.69．【2018 年高考天津理数】将函数ysin(2 x )5的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间[3 5, ]4 4 上单调递增B ．在区间[3 4, ]上单调递减C ．在区间 [5 3, ]4 2上单调递增D ．在区间 [32, 2]上单调递减【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将y sin 2 xππ y sin 2 xsin2 x 析式为 .10 5π 5π的图象向右平移 个单位长度之后的解 10则函数的单调递增区间满足 2k ππ π π π2 x 2k π k Z ，即 k π x k π k Z 2 2 4 4，令 k 1 可得一个单调递增区间为函数的单调递减区间满足： 2k π3π 5π.π3π π 3π2 x 2k π k Z ，即 k π x k π2 2 4 4 k Z，令 k 1 可得一个单调递减区间为：5π 7π.故选 A.【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的 转化能力和计算求解能力.10．【2018 年高考浙江卷】函数 y = 2 xsin2x 的图象可能是 A ．B ．,4 4, 4 47C ．D ．【答案】D【解析】令fx 2xsin2 x ，因为 x R , fx 2xsin2x 2 xsin2 xfx，所以fx2x si n 2 x为奇函数，排除选项 A ，B ；因为xπ, π 时， f x 0，所以排除选项 C ，故选 D.π【名师点睛】解答本题时，先研究函数的奇偶性，再研究函数在 , π上的符号，即可作出判断.有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置； （2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．11．【2017 年高考全国Ⅰ理数】已知曲线 C ：y =cos x ，C ：y =sin (2x + 12 2π 3)，则下面结论正确的是πA ．把 C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得6到曲线 C2B ．把C 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 1到曲线 C2π12个单位长度，得 1 πC ．把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，得2 6到曲线 C 2D ．把 C 上各点的横坐标缩短到原来的 11 π 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，2 12得到曲线 C 22 2 18【答案】D【解析】因为C,C12函数名不同，所以先将C利用诱导公式转化成与C相同的函数名，则21C:y sin(2x22π2πππ1 )cos(2x )cos(2x )，则由C上各点的横坐标缩短到原来的倍变33262为y cos2x，再将曲线向左平移π12个单位长度得到C2，故选D.【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住sinπcos(),cos2sin(π2)；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量12．【2017年高考全国Ⅲ理数】设函数f x cos(x)，则下列结论错误的是3x而言.A．f(x)的一个周期为2πB．y f(x) C．f(x π)的图象关于直线xπ的一个零点为x68π3对称D．f(x)π在(，π)单调递减2【答案】D【解析】函数f(x)的最小正周期为T 2π12π，则函数f(x)的周期为T 2kπk Z，取k1，可得函数fx的一个周期为2π，选项A正确；函数f(x)图象的对称轴为x ππkπk Z，即x kπk Z33，取k 3，可得y=f(x)的图象关8π对称，选项B正确；于直线x3ππf x πcos x πcos x33，函数f(x)ππ的零点满足x kπk Z32，即x kππ6k Z ，取k 0，可得f(x π)的一个零点为x π6，选项C正确；当x π,π2时，π5π4πx ,363，函数f(x)在该区间内不单调，选项D错误.故选D.1π【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y A sin(x )或y A cos(x)9的形式，则最小正周期为T2 π；奇偶性的判断关键是解析式是否为 y A s inx或 y A cosx b的形式.（2）求fxAsi n (x)的对称轴，只需令xk ππ 2k Z，求 x ；求 f (x )的对称中心的横坐标，只需令xk π(k Z )即可.13．【2017 年高考天津卷理数】设函数f ( x ) 2sin(x)，x R ，其中 0 ， ||．若 f (58) 2，f () 0 8，且 f ( x )的最小正周期大于 2，则A ．C ．2，3121，324B ．D ．2，3121，324【答案】A52k8【解析】由题意得11k 82，其中 k , kZ 12，所以42 (k2k )33，又T22，所以 01，所以231， 2k， 12由得12，故选 A ．【名师点睛】关于y A s in(x )的问题有以下两种题型：①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定 A ，再根据最小 正周期求，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的 的值；②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画 出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求或 的值、函数最值、取值范围等．14．【2019 年高考北京卷理数】函数 f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．π【答案】2【解析】函数fx si n 22x1 cos 4 xπ ，周期为 .22【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式 三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的 函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.122 111015．【2019年高考江苏卷】已知tan tanπ23，则sin 2π4的值是▲.2【答案】10【解析】由tan tan tan 1t a n2πtan 1tan 1341tan，得3tan25tan 20，解得tan 2，或tan 1 3 .πππsin 2sin 2cos cos 2sin444222sin cos cos2sin sin 2cos 2=22sin 2 cos22=22t an 1tan 2tan212，当tan 2时，上式=2221222 =；222110当tan 13时，上式=22[112()1()331()21322]= .10π2综上，s in 2.410【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan 的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.16．【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数 f x2si n x sin2x，则fx的最小值是_____________．【答案】33 2【解析】f x2cos x 2cos2x 4cos2x 2cos x 24cos x 1cos x 12，4 tan11所以当c os x11时函数单调递减，当c os x22时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为5ππππ2kπ,2kπk Z，函数的递增区间为2kπ,2kπ3333k Z ，所以当x 2kππ3,k Z时，函数fx取得最小值，此时s in x33,sin2x22，所以f xmin3333222233，故答案是.2【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.ππ17．【2018年高考北京卷理数】设函数f（x）=cos(x )(0)，若f(x)f()64则ω的最小值为__________．对任意的实数x都成立，【答案】23【解析】因为fxfπ对任意的实数x都成立，所以fπ取最大值，所以ππ22kπk Z ，8k k Z463，因为0，所以当k 0时，ω取最小值为23.【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查考生的逻辑推理能力以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.π18．【2018年高考全国Ⅲ理数】函数f x cos3x 在0，π的零点个数为________．6【答案】3【解析】0x πππ19ππππ3ππ5π，3x ，由题可知3x ，3x ，或3x666626262，解π4π7π得x ,，或，故有3个零点.999【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.441219．【2018 年高考江苏卷】已知函数 y sin2x(π ππ ) 的图象关于直线 x223对称，则的值是________．【答案】π 6【解析】由题意可得s in2 3π1，所以2 πππk π， k π(k Z ) 32 6，因为π ππ，所以 k 0, . 226【名师点睛】由对称轴得 2πππk π， k π(k Z ) 326，再根据限制范围求结果.函数 y A sinxB（A >0，ω>0）的性质：(1)y maxA B , yminA B；(2)最小正周期T2 π；(3)由xπ2k π k Z求对称轴；(4)由π π π3π2k πx 2k π k Z 求增区间;由 2k π x 2k π k Z 22 22求减区 间.20．【2017 年高考全国Ⅱ理数】函数 f x si n 2x 3 cos x3π( x 0,42)的最大值是.【答案】1【解析】化简三角函数的解析式：313 f x1 cos x 3 cos xcos x 3 cos xcos x 1 442，由自变量的范围：πx 0,2可得：cos x 0,1，当cos x32时，函数f x取得最大值 1.【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程22 2与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.1321．【2017 年高考北京卷理数】在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为始边，它们的终边关于 y轴对称.若sin1 3，则cos()=___________.【答案】79【 解 析 】 因 为 和关 于轴 对 称 ， 所 以π 2k π, k Z， 那 么s i nsi n1 3，coscos2 2 2 2 （或 coscos33），所以coscoscossinsincos2sin 22sin 217 9.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关于 轴对称，则π 2k π, k Z ，若与 的终边关于 x 轴对称，则2k π, k Z，若与的终边关于原点对称，则π 2k π, k Z.22．【2018 年高考全国Ⅱ理数】已知s in α cos β1，cos α sin β，则 sin(αβ )__________．【答案】12【解析】因为 sincos1， cossin0 ，所以1si ncos 1,所以 sin11 ,cos2 2，因此 sinsi ncoscos sin1 111 1 1cos 2 1sin 2 1 . 2 2 4 4 4 2【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数 学运算.π 1 23．【2017 年高考江苏卷】若 tan( ) , 4 6 7【答案】5则 tan▲．【解析】tantan[() ]4 41 tan( ) tan 14 4 61 5 4 4 67 ．故答案为 ．5【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：yy2 271tan( ) tan 114①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．24．【2019年高考浙江卷】设函数f(x)sin x,x R.（1）已知[0,2),函数f(x )是偶函数，求的值；（2）求函数y [f(x )]2[f(x)]2124的值域．【答案】（1）π3π或；（2）22[133,1]22．【解析】（1）因为f(x )sin(x )是偶函数，所以，对任意实数x都有sin(x )sin(x )，即sin x c os cos x s in si n x cos cos x sin ，故2sin x cos 0，所以cos 0．又[0,2π)，因此π3π或．22（2）y fππππππ1cos2x 1cos2x621331cos2x sin2x22222132πcos2x3．因此，函数的值域是[133,1]22．【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.25．【2017年高考浙江卷】已知函数f(x)sin2x cos2x 23sin x cos x(x R)．（1）求f(23)的值．（2）求f(x)的最小正周期及单调递增区间．22x f x sin2x sin2x12412415【答案】（1）2；（2）f(x)的最小正周期是；单调递增区间是[2k ,63k ],k Z．【解析】（1）由sin 233221，c os32，23131f()()2()223()32222．得f(23)2．（2）由cos2x cos2x sin2x与s in2x 2sin x cos x得f(x)cos 2x 3sin2x 2sin(2x )6．所以f(x)的最小正周期是．3由正弦函数的性质得2k 2x 2k ,k Z262，解得2k x k ,k Z 63，所以，f(x)的单调递增区间是[2k ,k ],k Z 63．【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数y A sinx的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即y A sin u后利用三角函数的性质求解．y A sin x ，然26．【2017年高考江苏卷】已知向量a (cos x,sin x),b (3,3),x [0,π].（1）若a∥b，求x的值；（2）记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．【答案】（1）x 5π5π；（2）x 0时，f x取到最大值3；x 时，66fx取到最小值23．【解析】（1）因为a (cos x,sin x)，b (3,3)，a∥b，所以3cos x 3sin x．若cos x 0，则sin x 0，与sin2x cos2x 1矛盾，故cos x 0．3于是tan x ．3又x 0，π，所以x5π．616（2）f ( x ) a b (cos x ,sin x ) (3, 3) 3cos x 3 sin x 2 3 cos( xπ 6)．因为 x 0，π，所以x π π 7π [ , ] 66 6，从而 1cos( xπ 3) ．6 2于是，当xπ π6 6，即x时，f x取到最大值 3；当xπ5π，即 x 时， 66fx取到最小值 2 3 ． 27．【2018 年高考浙江卷】已知角 α 的顶点与原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P3 4）．（ ，- 5 5（1）求 sin （α+π）的值；（2）若角 β 满足 sin （α+β）=513，求 cos β 的值．456 16 【答案】（1） ；（2） cos 或 c os 5 65 65.【解析】（1）由角 的终边过点 3 44 P ( , ) 得 s in5 55，所以 sin(π) sin4 5.（2）由角 的终边过点 3 4 3 P ( , ) 得 cos 5 5 5，由 sin()5 12 得 c os() 13 13.由()得c oscos()cossin()sin，所以cos5616或 cos. 6565【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解 决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.（1）首先利用三角函数的定义求得sin，然后利用诱导公式，计算 sin （α+π）的值;（2）根据 sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算cos()的值，要注意该值的正负，然后根据()，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得 cos β 的值.28．【2018年高考江苏卷】已知,为锐角，tan43，cos()55．17（1）求cos2的值；（2）求tan()的值．【答案】（1）72；（2）.2511【解析】（1）因为tan4sin，tan3cos，所以sin43cos ．因为sin2cos21，所以cos2925，因此，c os 22cos21725．（2）因为,为锐角，所以(0,)．又因为cos()55，所以sin()1cos2()255，因此tan()2．因为tan42tan24，所以tan 231tan 2 7，因此，tan()tan[2()]tan 2tan()21tan 2tan()11．【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．29．【2017年高考山东卷理数】设函数ππf(x)sin(x )sin(x )62，其中03.已知πf( )6.（1）求；18（2）将函数y f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y g(x)的图象，求g(x)π3π在[,]44上的最小值.【答案】（1）2；（2）最小值为32.【解析】（1）因为ππf(x)sin(x )sin(x )62，所以f(x)31sin x cos x cos x2233sin x cos22x133(sin x cos22x)π3s in(x )3.由题设知πf( )6，所以ππkπ63，k Z.故6k 2，k Z，又03，所以2.（2）由（1）得f(x)3sin2x3.所以g(x)3sin x 3sin x4312.因为x[π3π,]44，所以x 2,1233，所以当x ，即x1234时，g(x)取得最小值32.【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题时，关键在于能利用三19角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好地考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.20。
(完整word)(完整word版)2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数,推荐文档
2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数一．填空选择题1. (2017年天津卷文)设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><．若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）2π,312ωϕ==（B ）211π,312ωϕ==-（C ）111π,324ωϕ==-（D ）17π,324ωϕ==【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由||πϕ<得12ϕπ=，故选A ．2. (2017年天津卷理)设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．3. ( 2017年全国Ⅲ卷文)ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________15【解析】 根据正弦定理有：Bsin 660sin 30=22sin =∴B 又b c >Θ045=∴B 075=∴A4. (2017年新课标Ⅰ) 9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D5. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 14.函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【答案】1【解析】()22311cos cos 44f x x x x x =-+-=-++ 2cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么[]cos 0,1x ∈，当cos x =时，函数取得最大值1. 6. (2017年浙江卷) 14．已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2. 点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______.【答案】,24【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos ,sin 44DBC DBC ∴∠=-∠==，BC 1sin 22D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△又21cos 12sin ,sin 44DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，cos sin BDC DBF ∴∠=∠=，综上可得，△BCD cos BDC ∠=.7. ( 2017年新课标Ⅱ文). 13函数()cos sin =2+fx x x.8. ( 2017年新课标Ⅱ文) 16.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=3π9. ( 2017年新课标Ⅱ文) 3.函数()fx =πsin （2x+）3的最小正周期为 (C)A.4πB.2πC. πD.2π10. (2017年浙江卷) 11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位学.科.网，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，=6S .【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则233)60sin 1121(66=⨯⨯⨯⨯=οS11. (2017年北京卷理) （12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79- 【解析】2227sin sin ,cos cos cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 19βαβααβαβαβααα==-∴-=+=-+=-=-Q12. (2017年新课标Ⅰ文)已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-____。
2017高考试题分类汇编之三角函数(精校版)
2017年高考试题分类汇编之三角函数一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.（2017新课标Ⅲ文数）已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=（ ） 97.-A.B 29-.C 29.D 792.（2017新课标Ⅰ文数）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，,2,2==c a 则=c （ ）.A π12.B π6.C π4.D π33.（2017新课标Ⅲ文数）函数)6cos()3sin(51)(ππ-++=x x x f 的最大值为（ ） .A 651.B.C 35.D 154.（2017天津理）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，R x ∈，其中0ω>，||ϕ<π. 若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ） .A 23ω=，12ϕπ=.B 23ω=，12ϕ11π=-.C 13ω=，24ϕ11π=-.D 13ω=，24ϕ7π= 5.（2017山东理）在锐角三角形C ∆AB 中，角C B A ,,的对边分别为a ，b ，c ．且满 足()sin 12cosC 2sin cosC cos sinC B +=A +A ，则下列等式成立的是（ ）.A 2a b = .B 2b a = B A C 2.= A B D 2.=6.（2017新课标Ⅲ理数）设函数)3cos()(π+=x x f ，则下列结论错误的是（ ）.A )(x f 的一个周期为π2- .B y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 .C f (x +π)的一个零点为x =6π.D f (x )在(2π,π)单调递减 7.（2017天津文）设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><.若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ） .A 2π,312ωϕ== .B 211π,312ωϕ==- .C 111π,324ωϕ==- .D 17π,324ωϕ==8.（2017新课标Ⅰ理数）已知曲线)322sin(:,cos :21π+==x y C x y C ，则下面结论正确的是（ ）.A 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C.B 把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C.C 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2C.D 把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C二、填空题（将正确的答案填在题中横线上）9.（2017北京文）在平面直角坐标系xoy 中，角与角均以ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若31sin =α，则=βsin _________．（理）=___________.10.（2017新课标Ⅰ文数）已知π(0)2a ∈，,2tan =α，则πcos ()4α-=__________.11.（2017新课标Ⅱ文）．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos cos cos b B a C c A =+,则B = . 12.（2017江苏）若则 ．13.（2017新课标Ⅲ文数）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为.,,c b a 已知3,6,600===c b C ，则=A _________.14.（2017新课标Ⅱ理）函数23()sin 4f x x x =-([0,])2x π∈的最大值是_______． 15.（2017浙江）已知ABC ∆，.2,4===BC AC AB 点D 为AB 延长线上一点，2=BD ，连结CD ，则BDC ∆的面积是______，=∠BDC cos _______． 三、解答题（应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）αβcos()αβ-π1tan(),46α-=tan α=16.（2017北京文）已知函数.（I ）)(x f 的最小正周期； （II ）求证：当时，．17.（2017山东文）在ABC △中,角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3=b ，6AB AC ⋅=-,3ABC S =△,求A 和a .18.（2017天津文）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin 4sin a A B =，222)ac a b c =--.（I ）求cos A 的值； （II ）求sin(2)B A -的值.19.（2017北京理）在ABC △中，.73,600a c A ==∠ （Ⅰ）求C sin 的值； （Ⅱ）若7=a ，求ABC △的面积.20.（2017新课标Ⅱ理）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=． （1）求cos B ； （2）若6a c +=，ABC △的面积为2，求b ．21.（2017新课标Ⅲ理数）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知.2,72,0cos 3sin ===+b a A A（1）求c ； （2）设D 为BC 边上一点，且AC AD ⊥,求ABD ∆的面积．())2sin cos 3f x x -x x π=-[,]44x ππ∈-()12f x ≥-22.（2017山东理）设函数()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-，其中03ω<<.已知()06f π=.（Ⅰ）求ω；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在3[,]44ππ-上的最小值.23.（2017新课标Ⅰ理数）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABC △的面积为23sin a A（1）求C B sin sin ； （2）若3,1cos cos 6==a C B ，求ABC △的周长.24.（2017江苏）已知向量 （1）若b a //，求x 的值；（2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．25.（2017浙江）已知函数).(cos sin 32cos sin )(22R x x x x x x f ∈--=（Ⅰ）求的值． （Ⅱ）求的最小正周期及单调递增区间．26.（2017天津理）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. 求（Ⅰ）求b 和sin A 的值； （Ⅱ）求πsin(2)4A +的值.(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b ()f x =⋅a b ()f x x 2()3f π()f x。
三年高考(2017_2019)高考数学真题分项汇编专题09三角函数理(含解析)
专题09 三角函数1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在的图像大致为[,]-ππA ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称，22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+()f x 排除A ．又，排除B ，C ，故选D ．22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得是奇函数，排除A ，再注()f x 意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论：()sin |||sin |f x x x =+①f (x )是偶函数②f (x )在区间（，）单调递增2ππ③f (x )在有4个零点④f (x )的最大值为2[,]-ππ其中所有正确结论的编号是A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【解析】为偶函数，故①正确．()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴ 当时，，它在区间单调递减，故②错误．ππ2x <<()2sin f x x =,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭当时，，它有两个零点：；当时，0πx ≤≤()2sin f x x =0,ππ0x -≤<()()sin sin f x x x=--，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．2sin x =-π-()f x [],-ππ30-π,,π当时，；当时，[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N()2sin f x x =[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N，又为偶函数，的最大值为，故④正确．()sin sin 0f x x x =-=()f x ()f x ∴2综上所述，①④正确，故选C ．【名师点睛】本题也可画出函数的图象（如下图），由图象可得①④正确．()sin sin f x x x =+3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是2π4π2πA ．f (x )=|cos2x | B ．f (x )=|sin2x | C ．f (x )=cos|x | D ．f (x )=sin|x |【答案】A【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ；sin ||y x =因为，周期为，排除C ；cos cos y x x ==2π作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A 正确；cos 2y x =π24π2π作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B ，sin 2y x =π24π2π故选A ．图1图2图3【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②()y f x =()y f x =不是周期函数.sin y x ω=4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=2πA ．B 15C D 【答案】B【解析】，，2sin 2cos 21αα=+ 24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭sin 0,α>，又，，又，2sin cos αα∴=22sin cos 1αα+=2215sin 1,sin 5αα∴==sin 0α>sin α∴=选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin （）(＞0)，已知在有且仅有5()f x 5x ωπ+ω()f x []0,2π个零点，下述四个结论：①在（）有且仅有3个极大值点()f x 0,2π②在（）有且仅有2个极小值点()f x 0,2π③在（）单调递增()f x 0,10π④的取值范围是[)ω1229510，其中所有正确结论的编号是A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【答案】D【名师点睛】本题为三角函数与零点结合问题，难度大，可数形结合，分析得出答案，要求高，理解深度高，考查数形结合思想．注意本题中极小值点个数是动态的，易错，正确性考查需认真计算，易出错．6．【2019年高考天津卷理数】已知函数是奇函数，将()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的()g x ()g x 最小正周期为，且，则2π4g π⎛⎫=⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．B ．2-CD ．2【答案】C【解析】∵为奇函数，∴；()f x (0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=又∴，12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==2ω=又，π(4g =2A =∴，故选C.()2sin 2f x x =3π(8f =【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数，再根据函数性()g x质逐步得出的值即可.,,A ωϕ7．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】若，则1sin 3α=cos 2α=A ．B ．8979C ．D ．79-89-【答案】B【解析】.2217cos 212sin 12()39αα=-=-⨯=故选B.【名师点睛】本题主要考查三角函数的求值，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.8．【2018年高考全国卷II 理数】若在是减函数，则的最大值是()cos sin f x x x =-[],a a -a A ．B ．π4π2C ．D ．3π4π【答案】A【解析】因为，()πcos sin 4f x x x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭所以由得，π02ππ2π()4k x k k +≤+≤+∈Z π3π2π2π()44k x k k -+≤≤+∈Z 因此，从而的最大值为，[]π3ππ3ππ,,,,,,044444a a a a a a a ⎡⎤-⊂-∴-<-≥-≤∴<≤⎢⎥⎣⎦a π4故选A.【名师点睛】解答本题时，先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值.函数a 的性质：()sin (0,0)y A x B A =++>>ωϕω(1).max min =+y A B y A B =-，(2)周期2.T =πω(3)由求对称轴.()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ(4)由求增区间；由求减区()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ间.9．【2018年高考天津理数】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数sin(2)5y x π=+10πA ．在区间上单调递增B ．在区间上单调递减35[,]44ππ3[,]4ππC ．在区间上单调递增D ．在区间上单调递减53[,]42ππ3[,2]2ππ【答案】A【解析】由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解πsin 25y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π10析式为.ππsin 2sin2105y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦则函数的单调递增区间满足，即，()ππ2π22π22k x k k -≤≤+∈Z ()ππππ44k x k k -≤≤+∈Z 令可得一个单调递增区间为.1k =3π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦函数的单调递减区间满足：，即，()π3π2π22π22k x k k +≤≤+∈Z ()π3πππ44k x k k +≤≤+∈Z 令可得一个单调递减区间为：.1k =5π7π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选A.【名师点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．【2018年高考浙江卷】函数y =sin2x 的图象可能是2xA ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令，因为，所以()2sin2xf x x =()()(),2sin22sin2xxx f x x x f x -∈-=-=-=-R 为奇函数，排除选项A ，B ；()2sin2xf x x =因为时，，所以排除选项C ，π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0f x <故选D.【名师点睛】解答本题时，先研究函数的奇偶性，再研究函数在上的符号，即可作出判断.有π,π2⎛⎫⎪⎝⎭关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．11．【2017年高考全国Ⅰ理数】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +)，则下面结论正确的是2π3A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得π6到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得π12到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得12π6到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得12π12到曲线C 2【答案】D【解析】因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则12,C C 2C 1C ，则由上各点的横坐标缩短到原来的倍变22π2πππ:sin(2cos(2cos(2)3326C y x x x =+=+-=+1C 12为，再将曲线向左平移个单位长度得到，故选D.cos 2y x =π122C 【名师点睛】对于三角函数图象变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，需要重点记住；另外，在进行图象变换时，提倡先平移后伸缩，而先ππsin cos(),cos sin()22αααα=-=+伸缩后平移在考试中也经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.x 12．【2017年高考全国Ⅲ理数】设函数，则下列结论错误的是()π(3cos f x x =+A ．的一个周期为()f x 2π-B ．的图象关于直线对称()y f x =8π3x =C ．的一个零点为(π)f x +π6x =D ．在(，)单调递减()f x π2π【答案】D【解析】函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，()f x 2π2π1T ==()f x ()2πT k k =∈Z 1k =-可得函数的一个周期为，选项A 正确；()f x 2π-函数图象的对称轴为，即，取，可得y =f (x )的图象关()f x ()ππ3x k k +=∈Z ()ππ3x k k =-∈Z 3k =于直线对称，选项B 正确；8π3x =，函数的零点满足，即()πππcos πcos 33f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()f x ()πππ32x k k +=+∈Z ，取，可得的一个零点为，选项C 正确；()ππ6x k k =+∈Z 0k =(π)f x +π6x =当时，，函数在该区间内不单调，选项D 错误.π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π5π4π,363x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭()f x 故选D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或(n )si y A x ωϕ=+(s )co y A x ωϕ=+的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为或2πT ω=sin y A x ω=cos y A x bω=+的形式.（2）求的对称轴，只需令，求x ；求f (x )的对()()sin 0()f x A x ωϕω+≠=()ππ2x k k ωϕ+=+∈Z 称中心的横坐标，只需令即可.π()x k k ωϕ+=∈Z 13．【2017年高考天津卷理数】设函数，，其中，．若，()2sin()f x x ωϕ=+x ∈R 0ω>||ϕ<π5(28f π=，且的最小正周期大于，则()08f 11π=()f x 2πA ．，B ．，23ω=12ϕπ=23ω=12ϕ11π=-C ．，D ．，13ω=24ϕ11π=-13ω=24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得，其中，所以，125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩12,k k ∈Z 2142(2)33k k ω=--又，所以，所以，，22T ωπ=>π01ω<<23ω=11212k ϕ=π+π由得，故选A ．ϕ<π12ϕπ=【名师点睛】关于的问题有以下两种题型：sin()y A x ωϕ=+①提供函数图象求解析式或参数的取值范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据最小A 正周期求，最后利用最高点或最低点的坐标满足解析式，求出满足条件的的值；ωϕ②题目用文字叙述函数图象的特点，如对称轴方程、曲线经过的点的坐标、最值等，根据题意自己画出大致图象，然后寻求待定的参变量，题型很活，一般是求或的值、函数最值、取值范围等．ωϕ14．【2019年高考北京卷理数】函数f （x ）=sin 22x 的最小正周期是__________．【答案】π2【解析】函数，周期为.()2sin 2f x x ==1cos 42x -π2【名师点睛】本题主要考查二倍角的三角函数公式､三角函数的最小正周期公式，属于基础题.将所给的函数利用降幂公式进行恒等变形，然后求解其最小正周期即可.15．【2019年高考江苏卷】已知，则的值是 ▲ .tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭【解析】由，得，()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭23tan 5tan 20αα--=解得，或.tan 2α=1tan 3α=-πππsin 2sin 2cos cos 2sin444ααα⎛⎫+=+⎪⎝⎭)22222sin cos cos sin sin 2cos 2sin cos αααααααα⎫+-=+⎪+⎭，222tan 1tan tan 1ααα⎫+-⎪+⎭当时，上式tan 2α=22221221⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭当时，上式=1tan 3α=-22112()1()33[1()13⨯-+---+综上，πsin 24α⎛⎫+= ⎪⎝⎭【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问tan α题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.16．【2018年高考全国Ⅰ理数】已知函数，则的最小值是_____________．()2sin sin 2f x x x =+()f x 【答案】【解析】，()()212cos 2cos 24cos 2cos 24cos 1cos 2f x x x x x x x ⎛⎫'=+=+-=+-⎪⎝⎭所以当时函数单调递减，当时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为1cos 2x <1cos 2x >，函数的递增区间为，()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 所以当时，函数取得最小值，此时，π2π,3x k k =-∈Z ()fx sin x x ==所以.()min2f x ⎛=⨯= ⎝【名师点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的最小值问题，在求解的过程中，需要明确相关的函数的求导公式，需要明白导数的符号与函数的单调性的关系，确定出函数的单调增区间和单调减区间，进而求得函数的最小值点，从而求得相应的三角函数值，代入求得函数的最小值.17．【2018年高考北京卷理数】设函数f （x ）=，若对任意的实数x 都成立，πcos()(0)6x ωω->π()()4f x f ≤则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为对任意的实数x 都成立，所以取最大值，()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭π4f ⎛⎫⎪⎝⎭所以，()()ππ22π8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω因为，所以当时，ω取最小值为.0>ω0k =23【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考查考生的逻辑推理能力以及运算求解能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.18．【2018年高考全国Ⅲ理数】函数在的零点个数为________．()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，【答案】3【解析】，，由题可知，或，解0πx ≤≤ ππ19π3666x ∴≤+≤πππ3π336262x x +=+=，π5π362x +=得，或，故有3个零点.π4π,99x =7π9【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查数形结合思想和考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.19．【2018年高考江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值()ππsin 2(22y x =+-<<ϕϕπ3x =ϕ是________．【答案】π6-【解析】由题意可得，所以，2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ因为，所以ππ22-<<ϕπ0,.6k ==-ϕ【名师点睛】由对称轴得，再根据限制范围求结果.函数2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ（A >0，ω>0）的性质：()sin y A x B =++ωϕ(1)；max min ,y A B y A B =+=-+(2)最小正周期；2πT =ω(3)由求对称轴；()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ(4)由求增区间;由求减()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ区间.20．【2017年高考全国Ⅱ理数】函数()的最大值是.()23sin 4f x x x =+-π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】1【解析】化简三角函数的解析式：，()222311cos cos cos 144f x x x x x x ⎛=-+-=-+=--+ ⎝由自变量的范围：可得：，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[]cos 0,1x ∈当时，函数取得最大值1.cos x =()f x 【名师点睛】本题经三角函数式的化简将三角函数的问题转化为二次函数的问题，二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法.一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析.21．【2017年高考北京卷理数】在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若，则=___________.1sin 3α=cos()αβ-【答案】79-【解析】因为和关于轴对称，所以，那么，αβy π2π,k k αβ+=+∈Z 1sin sin 3βα==cos cos αβ=-=cos cos βα=-=所以.()2227cos cos cos sin sin cossin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若与的终边关αβ于轴对称，则，若与的终边关于轴对称，则，若y π2π,k k αβ+=+∈Z αβx 2π,k k αβ+=∈Z α与的终边关于原点对称，则.βπ2π,k k αβ-=+∈Z 22．【2018年高考全国Ⅱ理数】已知，，则__________．sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=【答案】12-【解析】因为，，所以sin cos 1+=αβcos sin 0+=αβ()()221sin cos 1,-+-=αα所以，11sin ,cos 22==αβ因此()22111111sin sin cos cos sin cos 1sin 1.224442+=+=⨯-=-+=-+=-αβαβαβαα【名师点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是数学运算.23．【2017年高考江苏卷】若则 ▲ ．π1tan(),46α-=tan α=【答案】75【解析】．故答案为．11tan()tan7644tan tan[(14451tan()tan 1446ααααππ+-+ππ=-+===ππ---75【考点】两角和的正切公式【名师点睛】三角函数求值的三种类型（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．24．【2019年高考浙江卷】设函数.()sin ,f x x x =∈R （1）已知函数是偶函数，求的值；[0,2),θ∈π()f x θ+θ（2）求函数的值域．22[([(124y f x f x ππ=+++【答案】（1）或；（2）．π2θ=3π2[1-【解析】（1）因为是偶函数，所以，对任意实数x 都有，()sin()f x x θθ+=+sin()sin()x x θθ+=-+即，sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+故，2sin cos 0x θ=所以．cos 0θ=又，[0,2π)θ∈因此或．π2θ=3π2（2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 22222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎫⎝⎭⎝⎭=+=--⎪⎪⎭．π123x ⎛⎫=+⎪⎝⎭因此，函数的值域是．[1+【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.25．【2017年高考浙江卷】已知函数．22sin cos cos ()()x x x f x x x =--∈R （1）求的值．2()3f π（2）求的最小正周期及单调递增区间．()f x【答案】（1）2；（2）的最小正周期是；单调递增区间是．()f x π2[,],63k k k ππ+π+π∈Z【解析】（1）由，．2sin 3π=21cos 32π=-22211(((322f π=----得．2(23f π=（2）由与得22cos 2cos sin x x x =-sin 22sin cos x x x =()cos 22f x x x=--．2sin(2)6x π=-+所以的最小正周期是．()f x π由正弦函数的性质得，3222,262k x k k πππ+π≤+≤+π∈Z 解得，2,63k x k k ππ+π≤≤+π∈Z 所以，的单调递增区间是．()f x 2[,],63k k k ππ+π+π∈Z 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的化简，以及函数()ϕω+=x A y sin 的性质，是高考中的常考知识点，属于基础题，强调基础的重要性；三角函数解答题中，涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等考点时，都属于考查三角函数的性质，首先应把它化为三角函数的基本形式即()ϕω+=x A y sin ，然后利用三角函数u A y sin =的性质求解．26．【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求的值；x （2）记，求的最大值和最小值以及对应的的值．()f x =⋅a b ()f x x【答案】（1）；（2）时，取到最大值3；时，取到最小值．5π6x =0x =()f x 5π6x =()f x -【解析】（1）因为，，a ∥b ，co ()s ,sin x x =a (3,=b所以．3sin x x =若，则，与矛盾，故．cos 0x =sin 0x =22sin cos 1x x +=cos 0x ≠于是tan x =又，所以．[]0πx ∈，5π6x =（2）．π(cos ,sin )(3,3cos ()6f x x x x x x =⋅=⋅==+a b 因为，所以，[]0πx ∈，ππ7π[,]666x +∈从而．π1cos(6x -≤+≤于是，当，即时，取到最大值3；ππ66x +=0x =()f x当，即时，取到最小值．π6x +=π5π6x =()f x -27．【2018年高考浙江卷】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （）．3455-，-（1）求sin （α+π）的值；（2）若角β满足sin （α+β）=，求cos β的值．513【答案】（1）；（2）或.4556cos 65β=-16cos 65β=-【解析】（1）由角的终边过点得，α34(,)55P --4sin 5α=-所以.4sin(π)sin 5αα+=-=（2）由角的终边过点得，α34(,)55P --3cos 5α=-由得.5sin()13αβ+=12cos()13αβ+=±由得，()βαβα=+-cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++所以或.56cos 65β=-16cos 65β=-【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义、诱导公式、两角差的余弦公式，考查考生分析问题、解决问题的能力，运算求解能力，考查的数学核心素养是数学运算.求解三角函数的求值问题时，需综合应用三角函数的定义、诱导公式及三角恒等变换.（1）首先利用三角函数的定义求得，然后利用诱导公式，计算sin （α+π）的值;sin α（2）根据sin （α+β）的值，结合同角三角函数的基本关系，计算的值，要注意该值的cos()+αβ正负，然后根据，利用两角差的余弦公式，通过分类讨论，求得cos β的值.()βαβα=+-28．【2018年高考江苏卷】已知为锐角，，．,αβ4tan 3=αcos()+=αβ（1）求的值；cos 2α（2）求的值．tan()-αβ【答案】（1）；（2）.725-211-【解析】（1）因为，，4tan 3=αsin tan cos =ααα所以．4sin cos 3=αα因为，22sin cos 1+=αα所以，29cos 25=α因此，．27cos 22cos 125=-=-αα（2）因为为锐角，所以．,αβ(0,)+∈παβ又因为，cos()+=αβ所以，sin()+==αβ因此．tan()2+=-αβ因为，所以，4tan 3=α22tan 24tan 21tan 7==--ααα因此，．tan 2tan()2tan()tan[2()]1tan 2tan()11-+-=-+==-++ααβαβααβααβ【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．三角函数求值的三种类型：（1）给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数．（2）给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异．一般有如下两种思路：①适当变换已知式，进而求得待求式的值；②变换待求式，便于将已知式的值代入，从而达到解题的目的．（3）给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，进而确定角．29．【2017年高考山东卷理数】设函数，其中03ω<<.已知.ππ()sin(sin()62f x x x ωω=-+-π()06f =（1）求ω；（2）将函数()y f x =的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在上的最小值.π4π3π[,]44-【答案】（1）2ω=；（2）最小值为32-.【解析】（1）因为，ππ()sin(sin()62f x x x ωω=-+-所以1()cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin )2x x ωω=.π)3x ω=-由题设知，π()06f =所以，.πππ63k -=ωk ∈Z 故62k ω=+，，k ∈Z 又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得.()23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以.()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，π3π[,]44x ∈-所以，2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以当，即时，()g x 取得最小值32-.123x ππ-=-4x π=-【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题时，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好地考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.。
【高考真题汇编】2017年高考数学理科真题汇编解析：第04章三角函数
第四章 三角函数第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42 终边相同的角的集合的表示与识别——暂无 题型43 倍角、等分角的象限问题——暂无 题型44 弧长与扇形面积公式的计算——暂无 题型45 三角函数定义题——暂无 题型46 三角函数线及其应用——暂无题型47 象限符号与坐标轴角的三角函数值——暂无 题型48 诱导求值与变形——暂无题型49 同角求值——已知角与目标角相同——暂无第二节 三角函数的图像与性质题型50 已知解析式确定函数性质1.（2017全国3理6）设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）. A ．()f x 的一个周期为2-πB ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x +π的一个零点为6x π=D ．()f x 在上π,2⎛⎫π⎪⎝⎭单调递减 解析 函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像可由cos y x =向左平移π3个单位长度得到，由图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，所以D 选项错误.故选D.π题型51 根据条件确定解析式1.（2017天津理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）.A.23ω=，12ϕπ= B.23ω=，12ϕ11π=- C.13ω=，24ϕ11π=- D.13ω=，24ϕ7π= 解析 解法一：由题意125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，从而23ω=.由11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ．解法二：由528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知58x π=为()()2sin f x x ωϕ=+的一条对称轴，点11,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，则()11521884T k ππ-=+⨯，又因为2T ωπ= ，即()221=3k ω+.又0ω>，且()f x 的最小正周期大于2π，所以2=3ω，从而52+2832k ϕππ⨯=π+，又ϕ<π，所以=12ϕπ.故选A. 2.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x=-，sin22sin cos x x x=，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.题型52 三角函数的值域（最值)——暂无 题型53 三角函数图像变换1.（2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：， 则下面结论正确的是（ ）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2CC.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C解析 1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+⎪⎝⎭C y x . 首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−−→=+=+→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D. 2.（2017山东理1）设函数()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<.已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 解析 （1）因为()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()1cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin 2x x ωω⎫==⎪⎪⎭sin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫=⎪⎝⎭，所以63k ωππ-=π，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=.（2）由（1）得()23f x xπ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()4312g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.第三节 三角恒等变换题型54 化简求值1.（17江苏05）若π1tan 46α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= ． 解析 解法一（角的关系）：tan tan 44ααππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7tan 1746551tan 64ααπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===π⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故填75．解法二（直接化简）：πtan 11tan 41tan 6ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以7tan 5α=．故填75． 2.(2017北京理12)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，()cos αβ-=___________. 解析 由题作出图形，如图所示，1sin 3α=，则cos 3α=，由于α与β关于y 轴对称， 则()1sin sin 3βα=π-=，cos 3β=-，故()117cos 33339αβ⎛-=⨯-+⨯=- ⎝⎭.3.（2017全国2理14）函数()23s i n c o s 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是 ．解析 ()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=-+-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令c o sx t =且[]01t ∈，，214y t =-+21t ⎛=-+ ⎝⎭，当t ，即6x π=时，()f x 取最大值为1．4.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R . （1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos2cos sin x x x=-，sin22sin cos x x x=，得()co 23s i n 22si n 26fx x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.第四节 解三角形题型55 正弦定理的应用1.（2017天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin 24A ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 解析 （1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B A b ==.（2）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 2.（2017山东理9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）.A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 解析因为s i n ()2s i n c o s 2s i A C B C A C A C++=+，所以2sin cos sin cos B C A C =，又02C π<<，得2sin sin B A =，即2b a =.故选A.题型56 余弦定理的应用题型57 判断三角形的形状——暂无 题型58 解三角形的综合应用1.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．ACA 11容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ解析 （1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心．由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥． 同理，平面11E EGG ⊥平面1111E F G H ，111O O E G ⊥． 记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==． 因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG =40==．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+==⎪⎝⎭∠∠． 因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭． 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22P Q EG ⊥，2Q 为垂足，则22P Q ⊥平面EFGH ， 故2212P Q =，从而22220sin PQ EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强．也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM =，即1123040AP =，解得116AP =． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ． 2.(2017北京理15)在ABC △中，60A ∠=，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.解析 （1）在ABC △中，因为60A ∠=，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以ABC △的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=3.（2017全国1理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC△的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C 的值；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.分析 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析 （1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =，即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin 3B C =. （2）由（1）得2sin sin 3B C =，又1cos cos 6B C =，因为πA B C ++=， 所以()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=.又因为()0πA ∈，，所以60A =，sin A =，1cos 2A =. 由余弦定理得2229a b c bc =+-= ① 由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，所以22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ②由①，②，得b c +=3a b c ++=ABC △周长为34.（2017全国2理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2sin 8sin 2B AC +=． (1)求cos B ; (2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b解析 （1）依题得21cos sin 8sin 84(1cos )22B B B B -==⋅=-． 因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得c o s 1B =（舍去）或15cos 17B =. （2）由⑴可知8sin 17B =，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ⋅=，即182217ac ⋅=，得172ac =.因为15cos 17B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=， 即2361715b --=，解得2b =．5.（2017全国3理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知s i n c o s 0A A =，a =2b =．（1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积．解析 （1）由sin 0A A =，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ， 又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =.（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD从而点D 为BC的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△6.(2017浙江理14)已知ABC △，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BDC △的面积是___________，cos BDC ∠=__________. 解析 如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中，AO OB ⊥，所以AO =sin sin 4CBD OBA ??， 所以BDC △的面积为1sin 2BC BD OBA 创葱=．因为2BC BD ==，所以BDC△是等腰三角形，所以2πC B D B D C ??，21cos cos(π2)12cos 4CBDBDC BDC ?-?-?-，解得cos BDC ?OD C B A。
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2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数一．填空选择题1. (2017年天津卷文)设函数()2sin(),f x x x ωϕ=+∈R ，其中0,||πωϕ><．若5π11π()2,()0,88f f ==且()f x 的最小正周期大于2π，则（A ）2π,312ωϕ==（B ）211π,312ωϕ==-（C ）111π,324ωϕ==-（D ）17π,324ωϕ==【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由||πϕ<得12ϕπ=，故选A ． 2. (2017年天津卷理)设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 （A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ． 3. ( 2017年全国Ⅲ卷文)ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知3,6,600===c b C ，则=A ________15【解析】 根据正弦定理有：Bsin 660sin 30=22sin =∴B 又b c >Θ045=∴B 075=∴A4. (2017年新课标Ⅰ) 9．已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2 D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 【答案】D5. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 14.函数()23sin 4f x x x =-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ． 【答案】1【解析】()22311cos cos 44f x x x x x =-+-=-++ 2cos 1x ⎛=-+ ⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么[]cos 0,1x ∈，当cos x =时，函数取得最大值1. 6. (2017年浙江卷) 14．已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2. 点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ，则△BDC 的面积是______，cos ∠BDC =_______.【解析】取BC 中点E ，DC 中点F ，由题意：,AE BC BF CD ⊥⊥，△ABE 中，1cos 4BE ABC AB ∠==，1cos ,sin 44DBC DBC ∴∠=-∠==，BC 1sin 22D S BD BC DBC ∴=⨯⨯⨯∠=△又21cos 12sin ,sin 4DBC DBF DBF ∴∠=-∠=-∴∠=，cos sin BDC DBF ∴∠=∠=，综上可得，△BCD cos BDC ∠=.7. ( 2017年新课标Ⅱ文). 13函数()cos sin =2+fx x x.8. ( 2017年新课标Ⅱ文) 16.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2b cosB=a cosC+c cosA,则B=3π9. ( 2017年新课标Ⅱ文) 3.函数()fx =πsin （2x+）3的最小正周期为 (C)A.4πB.2πC. πD.2π10. (2017年浙江卷) 11．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位学.科.网，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积6S ，=6S .【解析】将正六边形分割为6个等边三角形，则233)60sin 1121(66=⨯⨯⨯⨯=οS11. (2017年北京卷理) （12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，cos()αβ-=___________. 【答案】79- 【解析】2227sin sin ,cos cos cos()cos cos sin sin cos sin 2sin 19βαβααβαβαβααα==-∴-=+=-+=-=-Q12. (2017年新课标Ⅰ文)已知π(0)2a ∈，,tan α=2，则πcos ()4α-____。
13. (2017年新课标Ⅲ卷理)6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π,π)单调递减【答案】D 【解析】当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，54,363x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ ，函数在该区间内不单调.本题选择D 选项.14. (2017年江苏卷5．)若π1tan(),46α-=则tan α= ▲ ． 【解析】11tan()tan7644tan tan[()]14451tan()tan 1446ππαππααππα+-+=-+===---．故答案为75．15. (2017年新课标Ⅰ文) 11．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。
已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c，则C = (B)A ．π12B ．π6C ．π4D ．π316. ( 2017年全国Ⅲ卷文)已知4sin cos ,3αα-=，则sin2α=()A 7.9A -2.9B -2.9C7.9D 解析：()2167sin cos 12sin cos 1sin 2,sin 299αααααα-=-=-=∴=-Q 故选A17. ( 2017年全国Ⅲ卷文)函数1()sin()cos()536f x x x ππ=++-的最大值为（ ） A.65 B. 1 C. 35 D. 15【解析】()1()sin()cos()536111(sin cos cos sin 5223sin 5532sin()536sin()53f x x x x x x x x x x x ππππ=++-=⋅+++⋅=+=⋅+=+故选A18. （4）(2017年山东卷文)已知3cos 4x =,则cos2x = （A ）14- （B ）14 （C ）18- （D ）18【答案】D 【解析】由3cos 4x =得2231cos22cos 12148x x ⎛⎫=-=⨯-= ⎪⎝⎭,故选D.19. (2017年山东卷文)函数2cos 2y x x =+的最小正周期为（A ）π2 （B ）2π3（C ）π （D ）2π 【答案】C 【解析】因为π2cos 22sin 23y x x x ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭,所以其最小正周期2ππ2T ==,故选C.20. (2017年天津卷理)设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A二．解答题21. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 17.ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知2sin()2sin 2BA C +=， （1）求cosB ；（2）若6a c +=，ABC ∆的面积为2，求b ． 【答案】（1）15cos 17B =（2）2 【解析】试题分析：利用三角形内角和定理可知A C B π+=-，再利用诱导公式化简sin()A C +，利用降幂公式化简2sin 2B，结合22sin cos 1B B +=求出cos B ；利用（1）中结论090B =，利用勾股定理和面积公式求出a c ac +、，从而求出b ．试题解析：（1）由题设及2sin 8sin 2A B C B ππ++==得，故sin 4-cosB B =（1）上式两边平方，整理得 217cos B-32cosB+15=0 解得 15cosB=cosB 171（舍去），= （2）由158cosB sin B 1717==得，故14a sin 217ABC S c B ac ∆== 又17=22ABC S ac ∆=，则由余弦定理及a 6c +=得2222b 2cos a 2(1cosB)1715362(1)2174a c ac Bac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ）所以b=2【点睛】解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系，这样的题目小而活，备受老师和学生的欢迎．22. (2017年新课标Ⅰ) 17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为23sin a A（1）求sin B sin C ;（2）若6cos B cos C =1，a =3，求△ABC 的周长. 23. (2017年新课标Ⅲ卷理)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A +3cos A =0，a =27,b =2． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD ⊥ AC,求△ABD 的面积．.解：（1）因sin 3cos 0A A +=sin 3cos A A ∴=-tan 3A ∴=- ()0,A π∈Q 23A π∴= 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-代入27a =，2b =得 22240c c +-= 6c =-或4c =（合法）4c ∴=（2）由（1）知4c =2222cos c a b ab c =+-Q 162842272cos c ∴=+-⨯⨯⨯27cos 7c ∴=321sin 7c ∴=21tan 2c ∴=在RtCAD 中，tan AD c AC =2122AD ∴=，21AD ∴=1sin 2ABCD S AB AD BAD ∴=⋅⋅∠127421sin 232λ⎛⎫=⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭21=24. (2017年浙江卷) 18．已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –23 sin x cos x （x ∈R ）.（Ⅰ）求f （2π3）的值. （Ⅱ）求f （x ）的最小正周期及单调递增区间. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为单调递增区间为2+，+63ππππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦k k k Z【解答】解：∵函数f （x ）=sin 2x ﹣cos 2x ﹣2sinx cosx=﹣sin2x ﹣cos2x=2sin （2x+）（Ⅰ）f （）=2sin （2×+）=2sin=2，（Ⅱ）∵ω=2，故T=π， 即f （x ）的最小正周期为π， 由2x+∈[﹣+2k π，+2k π]，k ∈Z 得：x ∈[﹣+k π，﹣+k π]，k ∈Z ，故f （x ）的单调递增区间为[﹣+k π，﹣+k π]，k ∈Z ．【点评】本题考查的知识点是三角函数的化简求值，三角函数的周期性，三角函数的单调区间，难度中25. (2017年北京卷理) （15）在△ABC 中，A ∠ =60°，c =37a .（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）若a =7，求△ABC 的面积. 【答案】（1）根据正弦定理×sin 33333=sin ==sin60==sin sin 77214。