平行四边形标准讲义

(1) 演变关系: (2) 从属关系:

（一）平行四边形的性质

1. 平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

2. 平行四边形的性质：

（1）平行四边形的对边平行且相等;

（2）平行四边形的对角相等, 邻角互补;

（3）平行四边形的对角线互相平分.

（4）平行四边形是中心对称图形, 对角线的交点是它的对称中心; 3. 平行四边形的面积

平行四边形的面积等于它的底和该底上的高的积.

(二)平行四边形的判定

1. 平行四边形的判定方法5种：

从边看

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

从角看------ 两组对角分别相等

从对角线看---对角线互相平分

2. 三角形中位线定理

定义: 连接三角形两边中点的线段叫做三角形中位线.

定理: 三角形的中位线平行于三角形的第三边, 并且等于第三边的一半.

结论: 三角形共有三条中位线, 并且它们又重新构成一个新的三角形其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一;

（三）矩形

1. 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2. 矩形的性质：矩形具有平行四边形的所有性质

（1）矩形对边平行且相等；（2）矩形四个角都是直角；(3) 矩形对角线互相平分且相等；

（4）矩形是轴对称图形, 有２条对称轴，对称轴是对边中点所在直线；是中心对称图形, 对称中心是两条对角线的交点.

3. 直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4. 矩形的判定方法

（1）有一个角是直角的平行四边形;

（2）有三个角是直角的四边形;

（3）对角线相等的平行四边形.

5. 矩形的面积公式（类比平行四边形）：矩形面积 = 底×高

（四）菱形

1. 定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2. 性质: 菱形具有平行四边形的一切性质：

（1）菱形四条边都相等;（2）菱形对角相等

（3）菱形对角线互相垂直平分, 并且每一条对角线平分一组对角；

（4）菱形是轴对称图形, 有２条对称轴，对称轴是对角线所在直线；是中心对称图形, 对称中心是两条对角线的交点.

3. 判定:（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

（2）四条边都相等的四边形；

（3）对角线互相垂直的平行四边形；

4.菱形的面积:

（1）类比平行四边形面积公式: 底×高

1ab

（2）两条对角线乘积的一半.若a、b分别表示两条对角线的长, 则S菱形=

2

（五）正方形

1. 定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

2. 性质：（1）边-------四条边都相等, 对边平行;

（2）角-------四个角都相等且都是直角;

（3）对角线----①相等；②互相垂直平分；③每一条对角线平分

一组对角；

④两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形.

（4）是轴对称图形, 有4条对称轴；是中心对称图形, 对称中心是两条对角线的交点.

3. 判定：（1）先证它是矩形, 再证一组邻边相等；（2）先证它是菱形, 再证一个角是直角.

4. 面积：（1）正方形的面积等于边长的平方；

（2）正方形的面积等于两条对角线的乘积的一半.

结论：周长相等的四边形中, 正方形的面积最大.

（六）梯形知识点

1. 定义：一组对边平行, 另一组对边不平行的四边形叫做梯形.

特殊梯形的定义：①等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形；

②直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.

2. 等腰梯形的性质:（1）等腰梯形两腰相等, 两底平行；

（2）等腰梯形同一底上的两个角相等； （3）等腰梯形两条对角线相等；

（4）等腰梯形是轴对称图形,有一条对称轴, 过两底中点的直线

是它的对称轴.

3. 等腰梯形的判定:（1）定义：即先判定梯形, 再证明两腰相等；

（2）同一底上的两角相等的梯形； （3）对角线相等的梯形.

4. 梯形的中位线定理

（1）定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． ※（2）结论：梯形的中位线平行于两底, 且等于两底和的一半. 5. 梯形的面积公式: （1）S =

2

1

(上底+下底) × 高 ※（2）S = 中位线×高

解决梯形问题常用的方法

在研究梯形的问题中, 常通过添加辅助线将其转化为三角形和特殊的四边形． 梯形中常用的辅助线： ① 平移腰 ② 作高 ③ 平移对角线 ④ 延长两腰

⑤ 有一腰中点时, 作另一腰的平行线

⑥ 有一腰中点时, 常把一底的端点与中点连接并延长, 与另一底的延长线相交 ⑦ 有底的中点时, 常过中点作两腰的平行线

练习1

1．菱形的定义：__________________

的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质：菱形是特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的______：还有：菱形的四条边

______；菱形的对角线______，并且每一条对角线平分______；菱形的面积等于__________________，它的对称轴是______________________________．

3. 若菱形的两条对角线长分别是6cm ，8cm ，则它的周长为______cm ，面积为______cm 2．

4. 如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果EF ＝2，那么菱形

ABCD 的周长是

5. 如图，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB ＝4． 求：(1)∠ABC 的度数；(2)菱形ABCD 的面积．

A

B

C

D

E

A

B

C D

E