上册切线的判定和性质人教版九年级数学全一册精品系列PPT
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第二课时切线的判定和性质PPT课件(人教版)
答：圆心O到直线L
的距离是＿⊙＿O ＿的＿半＿径.
直线L是⊙O的 ＿切＿线＿ .
O
lL
A
探究新知
切线的判定定理：
经过_半__径__的__外__端___并且__垂__直___于这条半径的的
直线是圆的切线.
定理的几何语言：如图
∵OA是⊙O的___半__径___，
OA＿⊥＿L ，
O
lL
A
∴直线是切线．
探究新知
分析：要证AC 是⊙O 的切线，只要证 明由点O 向AC 所作的垂线段OE 是 _⊙__O___的__半__径___就可以了.而OD是⊙O的 半径，则要证OE=OD.
探究新知
证明： 过点O 作OE⊥AC， 垂足为E,连接OD,OA. ∵AB与⊙O 相切于点D,∴ ___O__D_⊥__A_.B 又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC 的中点， ∴ ____A_O__是__∠__B_A__C__的__平___分__线______.（ 三线合一） ∴_O__E_=__O__D_.（ 角平分线性质 ） 即OE 是⊙O 的半径, ∴AC 经过⊙O 的半径OE 的外端E，OE⊥AC， ∴AC 是⊙O的切线( 切线的判定定理 )．
1.已知一个圆和圆上的一个点， 如何过这个点画出圆的切线？（用尺规作图）
l
作法：
1、连接OA; 2、过点A 作直线l 与OA 垂直, 直线l 就是所求作的切线，如图.
探 究 新 知 ２.如图，AB是⊙O 的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB． 求证：AT 是⊙O 的切线．
证明：
∵AT＝AB, ∠ABT＝45°,∴∠ATB=45°, ∴∠TAB=90°,即OA⊥TA. ∵AT经过⊙O 的半径于点A, ∴AT是⊙O 的切线.
的距离是＿⊙＿O ＿的＿半＿径.
直线L是⊙O的 ＿切＿线＿ .
O
lL
A
探究新知
切线的判定定理：
经过_半__径__的__外__端___并且__垂__直___于这条半径的的
直线是圆的切线.
定理的几何语言：如图
∵OA是⊙O的___半__径___，
OA＿⊥＿L ，
O
lL
A
∴直线是切线．
探究新知
分析：要证AC 是⊙O 的切线，只要证 明由点O 向AC 所作的垂线段OE 是 _⊙__O___的__半__径___就可以了.而OD是⊙O的 半径，则要证OE=OD.
探究新知
证明： 过点O 作OE⊥AC， 垂足为E,连接OD,OA. ∵AB与⊙O 相切于点D,∴ ___O__D_⊥__A_.B 又∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC 的中点， ∴ ____A_O__是__∠__B_A__C__的__平___分__线______.（ 三线合一） ∴_O__E_=__O__D_.（ 角平分线性质 ） 即OE 是⊙O 的半径, ∴AC 经过⊙O 的半径OE 的外端E，OE⊥AC， ∴AC 是⊙O的切线( 切线的判定定理 )．
1.已知一个圆和圆上的一个点， 如何过这个点画出圆的切线？（用尺规作图）
l
作法：
1、连接OA; 2、过点A 作直线l 与OA 垂直, 直线l 就是所求作的切线，如图.
探 究 新 知 ２.如图，AB是⊙O 的直径，∠ABT＝45°，AT＝AB． 求证：AT 是⊙O 的切线．
证明：
∵AT＝AB, ∠ABT＝45°,∴∠ATB=45°, ∴∠TAB=90°,即OA⊥TA. ∵AT经过⊙O 的半径于点A, ∴AT是⊙O 的切线.
圆的切线课件2024-2025学年人教版数学九年级上册
见切点，连半径，得垂直
3.本节课用到的数学思想、方法：数形结合； 一题多解、多题归一、 逆向思维
24.2.2（2）圆的切线的判定与性质
学习目标
1.会用三角尺过圆上一点画圆的切线； 2.探索切线与过切点的半径之间的关系，能判定一条直
线是否为圆的切线； 3.会应用切线的判定方法和性质解决简单问题.
画一画、想一想、说一说
A为⊙O上一点，如何过点A画出⊙O的切线？
A
画一画、想一想、说一说
说明：直线与圆只有一个公共点A
圆的切线垂直于过切点的半径.
已知：OA是⊙O 的半径，直线l 是
⊙O的切线，切点为A. 求证：l⊥OA
O
l A
切线的性质定理证明（反证法）
切线的性质定理
圆的切线垂直于过切点的半径.
∵l 为⊙O切线，A为切点 ∴ l ⊥OA
O
l A
1. 如图，直线AB经过⊙O上的点C， 并且OA=OB，CA=CB. 求证 ：直线AB是⊙O的切线.
求证：AB与⊙O相切.
连接OC
直
线
与
圆
C
过点O作OC⊥AB于点C
有公共点，连半径，证垂直 无公共点，作垂直，证相等
（于半径）
Hale Waihona Puke 3.如图，△ABC为等腰三角形， O是底边BC的中点，⊙O与腰 AB相切于点D.
求证：AC与⊙O相切.
3.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
⊙O与腰AB相切于点D. 求证：AC与⊙O相切.
12
E
变式思考：观察右图，已知AB、AC均为⊙O切线， 切点分别为D、E，由此你可以得到什么结论？
课堂小结
1、知识与方法 2、数学思想与思维 3、情感态度与价值观
人教版九年级数学上册《切线长定理,三角形的内切圆》课件
即：4 2 x 2 x 2 2
解得： x= 3cm
半径OA的长为3cm
一、判断
基础练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
二、填空
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，APB50
连结PO，则 APO25 度。
A
OБайду номын сангаас
P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
反思
A
在解决有关圆的切线长
问题时，往往需要我们
。
构建基本图形。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
（2）图中的直角三角形有 6 个，分别是
等腰三角形有 2 个，分别是
（3）图中全等三角形 3 对，分别是
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长
为 3 3 cm，两切线的夹角等于 60 度
（5）如果PA=4cm，PD=2cm， A
试求半径OA的长。
x
E
OC D
P
B
PA 2O2AO2P
2
1、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
解得： x= 3cm
半径OA的长为3cm
一、判断
基础练习
（1）过任意一点总可以作圆的两条切线（ ）
（2）从圆外一点引圆的两条切线，它们的长相等。
二、填空
(1)如图PA、PB切圆于A、B两点，APB50
连结PO，则 APO25 度。
A
OБайду номын сангаас
P
B
（3）如图，PA、PB、DE分别切⊙O于A、B、 C，DE分别交PA，PB于D、E，已知P到⊙O的 切线长为8CM，则Δ PDE的周长为（ A ）
反思
A
在解决有关圆的切线长
问题时，往往需要我们
。
构建基本图形。
O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
思考 如图,一张三角形的铁皮,如何在它上面截下
一块圆形的用料,并且使圆的面积尽可能大呢?
I D
数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆
（2）图中的直角三角形有 6 个，分别是
等腰三角形有 2 个，分别是
（3）图中全等三角形 3 对，分别是
（4）如果半径为3cm，PO=6cm，则点P到⊙ O的切线长
为 3 3 cm，两切线的夹角等于 60 度
（5）如果PA=4cm，PD=2cm， A
试求半径OA的长。
x
E
OC D
P
B
PA 2O2AO2P
2
1、以正方形ABCD的一边BC为直径的半圆上有 一个动点K，过点K作半圆的切线EF，EF分别 交AB、CD于点E、F，试问：四边形AEFD的周 长是否会因K点的变动而变化？为什么？
人教版九年级上册切线的判定与性质PPT
第2课时 切线的判定与性质
一、教学目标
1．掌握切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的 切线． 2．掌握切线的性质定理． 3．能综合运用圆的切线的判定和性质解决问题．
二、教学重难点 重点
探索圆的切线的判定和性质，并能运用．
难点 探索圆的切线的判定方法．
三、教学设计 活动1 新课导入 在上面三个图中，直线 l 和圆的三种位置关系分别是 相__交__、_相__切_、_相__离_．
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
例3 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和 过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分 ∠DAB. 证明：连接OC. ∵⊙O和直线CD相切，∴OC⊥CD. ∵AD⊥CD，∴AD∥OC. ∴∠ACO＝∠CAD. ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠CAO. ∴AC平分∠DAB.
提出问题： (1)已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的 切线？能画几条？ (2)观察下面两个图形，直线 l 是圆的切线吗？判定直 线是圆的切线的两个关键点是什么？ (3)请总结一下判定切线共有哪几种方法？
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
例2 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切 于点C. 求证：直线PB与⊙O相切． 证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC. ∵⊙O与PA相切于点C， ∴OC⊥PA. 又∵点O在∠APB的平分线上， ∴OC＝OD， ∴直线PB与⊙O相切．
一、教学目标
1．掌握切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的 切线． 2．掌握切线的性质定理． 3．能综合运用圆的切线的判定和性质解决问题．
二、教学重难点 重点
探索圆的切线的判定和性质，并能运用．
难点 探索圆的切线的判定方法．
三、教学设计 活动1 新课导入 在上面三个图中，直线 l 和圆的三种位置关系分别是 相__交__、_相__切_、_相__离_．
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
例3 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和 过点C的切线互相垂直，垂足为D.求证：AC平分 ∠DAB. 证明：连接OC. ∵⊙O和直线CD相切，∴OC⊥CD. ∵AD⊥CD，∴AD∥OC. ∴∠ACO＝∠CAD. ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠CAO. ∴AC平分∠DAB.
提出问题： (1)已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点画出圆的 切线？能画几条？ (2)观察下面两个图形，直线 l 是圆的切线吗？判定直 线是圆的切线的两个关键点是什么？ (3)请总结一下判定切线共有哪几种方法？
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
人教版九年级上册24.2.2第2课时 切线的判定与性质
例2 如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切 于点C. 求证：直线PB与⊙O相切． 证明：过点O作OD⊥PB于点D，连接OC. ∵⊙O与PA相切于点C， ∴OC⊥PA. 又∵点O在∠APB的平分线上， ∴OC＝OD， ∴直线PB与⊙O相切．
人教版数学九年级上册..切线的概念、切线的判定与性质PPT精品课件
E C
人教版数学九年级上册24.2.2切线的 概念、 切线的 判定与 性质课 件
小结
人教版数学九年级上册24.2.2切线的 概念、 切线的 判定与 性质课 件
例1与例2的证法有何不同?
O A
D
B
O
E
(A1)如果C 已知B直线经过圆上一点,则连结C这点和圆 心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直。简 记为：有交点,连半径,证垂直。
归纳：
切线的判定定理
文字叙述： 经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线。
几何语言： ∵ OA是半径，OA⊥l于A ∴ l是⊙O的切线。
O r
l A
判断
人教版数学九年级上册24.2.2切线的 概念、 切线的 判定与 性质课 件
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（ × ） 2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（ × ） 3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ × ）
y
A P
·· C2 O
B x
人教版数学九年级上册24.2.2切线的 概念、册24.2.2切线的 概念、 切线的 判定与 性质课 件
③设当C运动到C3时圆与直线OA相切于O点，于是有OC3=7 ∴C3（7，0） ∴C3C=7－（－10）=17 t3=17÷2=8.5（秒）
(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点, 则过圆心作直线的垂线段为辅助线,再证垂线段长 等于半径长。简记为：无交点,作垂直,证半径。
人教版数学九年级上册24.2.2切线的 概念、 切线的 判定与 性质课 件
练习
人教版数学九年级上册24.2.2切线的 概念、 切线的 判定与 性质课 件
1.如图，△AOB中，OA＝OB＝10，∠AOB＝120°，以O为圆心， 5为半径的⊙O与OA、OB相交。
人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)
三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为
上册切线的判定人教版九年级数学全一册课件
上册切线的判定人教版九年级数学全 一册课 件
对点训练
1.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB. 求证：AB是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC， ∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB， ∵点C在⊙O上， ∴AB是⊙O的切线．
知识点二：利用数量关系证明圆的切线 (1)若圆心到直线的距离(d)等于半径(r)，则这条直线是圆的切 线． (2)利用数量关系证切线的特征是圆与直线未知公共点．
证明：如图，连接OB， ∵BD＝BC，
∴∠CAB＝∠BAD， ∵∠EBD＝∠CAB， ∴∠BAD＝∠EBD， ∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，OA＝BO， ∴∠BAD＝∠ABO， ∴∠EBD＝∠ABO， ∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝
90°，
∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线.
∵∠PEC＝∠APC＝90°，∠PCE＝∠ACP， ∴∠EPQ＝∠EAP， ∴∠QPF＝∠EAP，∴∠QPF＝∠OPA， ∵∠OPA＋∠OPC＝90°，∴∠QPF＋∠OPC＝90°， ∴OP⊥PF， ∵点 P 在⊙O 上，∴PF 是⊙O 的切线.
上册切线的判定人教版九年级数学全 一册课 件
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8.【例6】如图，在△OAB中，OA＝2 5，OB＝4 5，OA⊥ OB，以O为圆心，4为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线．
上册切线的判定人教版九年级数学全 一册课 件
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解：如图，作OC⊥AB于C， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°，
在Rt△OAB中， AB＝ OA2＋OB2＝ 2 52＋4 52＝10，
证明：∵AB＝AC，∠CBA＝45°， ∴∠BCA＝45°，∴∠BAC＝90°， ∴AC⊥AO，又AB是⊙O的直径，∴AC是⊙O的切线．
对点训练
1.如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB. 求证：AB是⊙O的切线．
证明：如图，连接OC， ∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB， ∵点C在⊙O上， ∴AB是⊙O的切线．
知识点二：利用数量关系证明圆的切线 (1)若圆心到直线的距离(d)等于半径(r)，则这条直线是圆的切 线． (2)利用数量关系证切线的特征是圆与直线未知公共点．
证明：如图，连接OB， ∵BD＝BC，
∴∠CAB＝∠BAD， ∵∠EBD＝∠CAB， ∴∠BAD＝∠EBD， ∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，OA＝BO， ∴∠BAD＝∠ABO， ∴∠EBD＝∠ABO， ∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝
90°，
∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线.
∵∠PEC＝∠APC＝90°，∠PCE＝∠ACP， ∴∠EPQ＝∠EAP， ∴∠QPF＝∠EAP，∴∠QPF＝∠OPA， ∵∠OPA＋∠OPC＝90°，∴∠QPF＋∠OPC＝90°， ∴OP⊥PF， ∵点 P 在⊙O 上，∴PF 是⊙O 的切线.
上册切线的判定人教版九年级数学全 一册课 件
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8.【例6】如图，在△OAB中，OA＝2 5，OB＝4 5，OA⊥ OB，以O为圆心，4为半径作⊙O.求证：AB是⊙O的切线．
上册切线的判定人教版九年级数学全 一册课 件
上册切线的判定人教版九年级数学全 一册课 件
解：如图，作OC⊥AB于C， ∵OA⊥OB， ∴∠AOB＝90°，
在Rt△OAB中， AB＝ OA2＋OB2＝ 2 52＋4 52＝10，
证明：∵AB＝AC，∠CBA＝45°， ∴∠BCA＝45°，∴∠BAC＝90°， ∴AC⊥AO，又AB是⊙O的直径，∴AC是⊙O的切线．
上册切线的判定和性质人教版九年级数学全一册完美课件
A．20° C．40°
图 24－2－19 B．25° D．50°
上册 24.2.2 第2课时 切线的判定和性质-2020秋人教版 九年级 数学全 一册课 件(共34 张PPT)
上册 24.2.2 第2课时 切线的判定和性质-2020秋人教版 九年级 数学全 一册课 件(共34 张PPT)
【解析】 如答图，连接 OA，∵PA 是⊙O 的切线，切点为 A，∴OA⊥AP，∴∠OAP ＝90°，∵∠APB＝40°，∴∠AOP＝50°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝25°.故选 B.
【解析】 ∵MN 是⊙O 的切线， ∴MN⊥ON，则∠MNO＝90°， 又∵∠MNB＝52°，∴∠BNO＝38°， ∵ON＝OB，∴∠BNO＝∠B， ∴∠NOA＝2∠BNO＝76°.
上册 24.2.2 第2课时 切线的判定和性质-2020秋人教版 九年级 数学全 一册课 件(共34 张PPT)
上册 24.2.2 第2课时 切线的判定和性质-2020秋人教版 九年级 数学全 一册课 件(共34 张PPT)
图 24－2－22 B．3 D．4－ 3
上册 24.2.2 第2课时 切线的判定和性质-2020秋人教版 九年级 数学全 一册课 件(共34 张PPT)
【解析】 设⊙O 与 AC 的切点为 E，连接 AO，OE， ∵等边三角形 ABC 的边长为 8， ∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°， ∵圆分别与边 AB，AC 相切， ∴∠BAO＝∠CAO＝12∠BAC＝30°， ∴∠AOC＝90°，∴OC＝12AC＝4， ∵OE⊥AC，∴OE＝ 23OC＝2 3， ∴8·常州]如图 24－2－17，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，切点为 N， 如果∠MNB＝52°，则∠NOA 的度数为( A )
人教版数学九年级上册切线的概念、切线的判定与性质精品课件PPT
人 教 版 数 学 九年级 上 册2 4.2.2切 线的概 念、切 线的判 定与性 质课件
人 教 版 数 学 九年级 上 册2 4.2.2切 线的概 念、切 线的判 定与性 质课件
证明：如解图, 连接OD, ∵∠CDE=90°, F为CE的中点, ∴DF= CE=CF, ∴∠FDC=∠FCD. 又∵O1 D=OC, ∴∠ODC=∠OCD, ∴∠O2 DC+∠FDC=∠OCD+∠FCD, ∴∠ODF=∠OCF, ∵EC⊥AC, ∴∠OCF=90°, ∴∠ODF=90°, ∵OD为⊙O的半径, ∴DF为⊙O切线；
(2)连接 BE 交 AC 于点 F, 若cos∠CAD = 4 , 求 A F
5
FC
的值.
人 教 版 数 学 九年级 上 册2 4.2.2切 线的概 念、切 线的判 定与性 质课件
练习题图
人 教 版 数 学 九年级 上 册2 4.2.2切 线的概 念、切 线的判 定与性 质课件
(1)证明：如解图①, 连接OC, ∵CD是⊙O的切线, ∴OC⊥CD, ∵AD⊥CD, ∴OC∥AD, ∴∠DAC=∠OCA, 又∵OC=OA, ∴∠OCA=∠OAC, ∴∠DAC=∠OAC, ∴AC平分∠DAB；
点在圆外 d > r, 如右图中点A 点在圆上 d = r, 如右图中点B 点在圆内 d < r, 如右图中点C
人 教 版 数 学 九年级 上 册2 4.2.2切 线的概 念、切 线的判 定与性 质课件
人 教 版 数 学 九年级 上 册2 4.2.2切 线的概 念、切 线的判 定与性 质课件
直线与圆的位置关系(设圆的半径为r, 圆心到直线的距 离为d )
∴AC= 2 5 a, CD= a b ,
在Rt△ACD中, 由勾股定理可得：
人 教 版 数 学 九年级 上 册2 4.2.2切 线的概 念、切 线的判 定与性 质课件
证明：如解图, 连接OD, ∵∠CDE=90°, F为CE的中点, ∴DF= CE=CF, ∴∠FDC=∠FCD. 又∵O1 D=OC, ∴∠ODC=∠OCD, ∴∠O2 DC+∠FDC=∠OCD+∠FCD, ∴∠ODF=∠OCF, ∵EC⊥AC, ∴∠OCF=90°, ∴∠ODF=90°, ∵OD为⊙O的半径, ∴DF为⊙O切线；
(2)连接 BE 交 AC 于点 F, 若cos∠CAD = 4 , 求 A F
5
FC
的值.
人 教 版 数 学 九年级 上 册2 4.2.2切 线的概 念、切 线的判 定与性 质课件
练习题图
人 教 版 数 学 九年级 上 册2 4.2.2切 线的概 念、切 线的判 定与性 质课件
(1)证明：如解图①, 连接OC, ∵CD是⊙O的切线, ∴OC⊥CD, ∵AD⊥CD, ∴OC∥AD, ∴∠DAC=∠OCA, 又∵OC=OA, ∴∠OCA=∠OAC, ∴∠DAC=∠OAC, ∴AC平分∠DAB；
点在圆外 d > r, 如右图中点A 点在圆上 d = r, 如右图中点B 点在圆内 d < r, 如右图中点C
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直线与圆的位置关系(设圆的半径为r, 圆心到直线的距 离为d )
∴AC= 2 5 a, CD= a b ,
在Rt△ACD中, 由勾股定理可得：
切线的判定与性质ppt课件
证明：过O作 OC⊥AB，垂足为C.
因为OA＝OB＝5cm ，AB＝8cm，
所以AC＝BC＝4cm.
在Rt∆AOC 中 OC= √OA2-AC2=3 cm
又因为O的直径为6cm
故 OC的 长 等 于 ☉ O的 半 径 3 cm.
∴ AB 与☉O相切
10
例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，
并且OA=OB，CA=CB。
求证： AB是⊙O的切线.
A
F
E
B
O
C
14
3、如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线 上,BD=OB,点C在⊙O上, ∠CAB=30°.
求证:DC是⊙O的切线.
C A OBD
15
如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A， 那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？
∵ l是⊙O的切线，切点为A O
∴ l ⊥OA
直线是圆的切线.
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的 距离等于圆的半径的直线是圆的切线．
(3)根据切线的判定定理来判定．
其中(2)和(3)本质相同，只是表达形式不同
．解题时，灵活选用其中之一．
21
切线的性质定理： 圆的 切线垂直于过切点的半径。
O
l
A
22
证明：连结0C ∵0A＝0B ，CA＝CB ， ∴0C是等腰三角形0AB底边AB上
的中线．
． ∴AB⊥OC． 直线AB经过半径0C的外端 C 并且垂直于半径0C ， 所以 AB是⊙O的切线．
分析：因为已知条件没给出AB和⊙O 有公共点，所以可过圆心O作
OC⊥AB，垂足为C.只需证明OC等 于⊙O的半径3厘米即可.
(1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆 心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.
24.2.2切线的判定和性质+课件++2024—2025学年人教版数学九年级上册
• 2.通过1所得结论及证明过程，你能否发现其它的结论，如果有， 请你写出并予以证明。
∴直线AB与⨀O相交
这与已知“直线AB与⨀O相切”矛盾
③∴假设不成立，所以直线AB⊥OC
O
CH
B
步骤： ①连接圆心和切点（半径） ∵直线与圆相切 ∴直线⊥半径
随堂练习
如图，PO平分∠MPN，⨀O与PM相切于点A。
求证：PN是⨀O的切线。
①连接OA ∵⨀O与PM相切于点A。 ∴OA⊥PM (切线垂直于过切点的半径）
O
O
O
A
B
A
B
在等腰三角形OAB中，∠OAB=∠OBA=α 当交点A、B无限逼近时，α越大。
A(B)
当交点A、B重合时，α=90° 此时直线与圆有一个交点
3、过圆外一点A作圆的切线，能半径
判定定理：经过半径的外端并且垂直于半径的直线 是圆的切线。
直线和圆相切—切线的判定
过点D作DF⊥AB于点F，连接OF。 求证：DF是⨀O的切线。
B
①∵直径BC
∴连接BD，∠BDC=90° ∴BD⊥AC ②∵在等边△ABC中 ∴BD是底边AC上的中线
③∵点O、C分别是BC、AC的中点
O
F
C
D
A
知交点→连接
∴连接OC，OC是△BCA的中位线
∴OC∥BA
∴∠ODF=∠AFD
④∵DF⊥AB
∴∠AFD=90° ∴∠ODF=90° ∴DF是⨀O的切线
随堂练习 如图，半径为r的硬币沿直线无滑动的滚动一周，
求：圆心经过的距离是多少？
提示：硬币与地面相切 ∵硬币与地面相切，不妨设滚动前圆心为O,切点为A ∴OA⊥地面
同理滚动一周后，O’A’⊥地面 ∴OA平行且等于O’A’ ∴四边形OAA’O’是矩形 ∴OO’=AA’。AA’为硬币的周长（化曲为直） ∴圆心经过的距离等于圆的周长2πr
∴直线AB与⨀O相交
这与已知“直线AB与⨀O相切”矛盾
③∴假设不成立，所以直线AB⊥OC
O
CH
B
步骤： ①连接圆心和切点（半径） ∵直线与圆相切 ∴直线⊥半径
随堂练习
如图，PO平分∠MPN，⨀O与PM相切于点A。
求证：PN是⨀O的切线。
①连接OA ∵⨀O与PM相切于点A。 ∴OA⊥PM (切线垂直于过切点的半径）
O
O
O
A
B
A
B
在等腰三角形OAB中，∠OAB=∠OBA=α 当交点A、B无限逼近时，α越大。
A(B)
当交点A、B重合时，α=90° 此时直线与圆有一个交点
3、过圆外一点A作圆的切线，能半径
判定定理：经过半径的外端并且垂直于半径的直线 是圆的切线。
直线和圆相切—切线的判定
过点D作DF⊥AB于点F，连接OF。 求证：DF是⨀O的切线。
B
①∵直径BC
∴连接BD，∠BDC=90° ∴BD⊥AC ②∵在等边△ABC中 ∴BD是底边AC上的中线
③∵点O、C分别是BC、AC的中点
O
F
C
D
A
知交点→连接
∴连接OC，OC是△BCA的中位线
∴OC∥BA
∴∠ODF=∠AFD
④∵DF⊥AB
∴∠AFD=90° ∴∠ODF=90° ∴DF是⨀O的切线
随堂练习 如图，半径为r的硬币沿直线无滑动的滚动一周，
求：圆心经过的距离是多少？
提示：硬币与地面相切 ∵硬币与地面相切，不妨设滚动前圆心为O,切点为A ∴OA⊥地面
同理滚动一周后，O’A’⊥地面 ∴OA平行且等于O’A’ ∴四边形OAA’O’是矩形 ∴OO’=AA’。AA’为硬币的周长（化曲为直） ∴圆心经过的距离等于圆的周长2πr
人教版数学九级上册切线的判定与性质优秀ppt
证明：∵直线l是⊙O的切线
O
∴圆心O到直线l 的距离等于半径
l A
∴OA是圆心O到直线l的距离
∴ l⊥OA
切线的性质定理:
圆 的 切 线 垂 直 过 切 点 的 半 径. P98
人 教 版 数 学 九年级 上册24 .2.2 切 线 的判 定与性 质课件
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九年级 上册
24.2.2 直线和圆的位置关系
切线的判定与性质
回顾复习
点与圆的位置关系
点A在圆内，
A
· 点B在圆上， O
C
r
点C在圆外.
B
设⊙O半径为r， 点到圆心O的距离为 d
d < r 点A在圆内 d= r 点B在圆上 d> r 点C在圆外
直线和圆的位置关系
c .O
b a
点与圆的位置关系
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探究切线的性质定理
P97思考：反过来，如图，在⊙O 中，如果直线 l 是 ⊙O 的切线，切点为 A，那么半径 OA 与直线 l 是不是一 定垂直呢？
O l
A
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判断一条直线是圆的切线，你现在有多 少种方法？
切线判定有以下方法： 1、利用切线的定义：与圆由唯一公共点的直线是 圆的切线。 2、利用d与r的关系作判断：当d=r时直线是圆的切线。 3、利用切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线．
人教版数学九年级上册24.切线的判定和性质课件(共25张)
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径 (即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径 的直线是圆的切线.
l dr
l
O
A
l
例1：如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线.
分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角
形求出半径OA的长.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
A
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，
C
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
PA
O
B
第2题
第3题
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
解：连接OB，则∠OBP=90°.
B
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r.
O
A
P
在Rt△OBP中，
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3， 即⊙O的半径为3.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
O
B
P
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO.
(2)若AP＝ 3，求⊙O的半径．
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径 的直线是圆的切线.
l dr
l
O
A
l
例1：如图,∠ABC=45°，直线AB是☉O上的直径，且AB=AC. 求证：AC是☉O的切线.
分析：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
AP；这样就凑齐了角边角，可证得△ACB≌△APO；
(2)由已知条件可得△AOP为直角三角形，因此可以通过解直角三角
形求出半径OA的长.
(1)求证：△ACB≌△APO；
(1)证明：∵PA为⊙O的切线，A为切点，
A
∴∠OAP＝90°.
又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，
C
又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．
PA
O
B
第2题
第3题
4.如图, ⊙O切PB于点B,PB=4,PA=2,则⊙O的半径多少？
解：连接OB，则∠OBP=90°.
B
设⊙O的半径为r,则OA=OB=r, OP=OA+PA=2+r.
O
A
P
在Rt△OBP中，
OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2. 解得 r=3， 即⊙O的半径为3.
5.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
O
B
P
∴AB＝AO，∠ABO＝60°.
又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.
在△ACB和△APO中，
∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABO＝∠AOB，
∴△ACB≌△APO.
(2)若AP＝ 3，求⊙O的半径．
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第 14 题答图①
第 14 题答图②
上册 24.2.2 第2课时 切线的判定和性质-2020秋人教版 九年级 数学全 一册课 件(共34 张PPT)
上册 24.2.2 第2课时 切线的判定和性质-2020秋人教版 九年级 数学全 一册课 件(共34 张PPT)
(2)如答图②，连接 BD， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°. ∵AD 平分∠BAC，∠BAC＝60°， ∴∠FAD＝∠BAD＝30°，∠B＝60°， ∴∠DFE＝∠B＝60°. ∵⊙O 的半径为 2， ∴AB＝4，∴AD＝ 42－22＝2 3， ∴DE＝12AD＝12×2 3＝ 3.∴EF＝1.
第2课时 切线的判定和性质
1．下列结论中，正确的是( D ) A．圆的切线必垂直于半径 B．垂直于切线的直线必经过圆心 C．垂直于切线的直线必经过切点 D．经过圆心与切点的直线必垂直于切线 【解析】 根据切线的性质来判断．选项 A 中，只有过切点的半径才与切线垂直；选 项 B 中，只有过切点且垂直于切线的直线才经过圆心；选项 C 中，只有垂直于切线 的半径才经过切点，所以 A，B，C 都错误，故选 D.
第11题答图
(2)∵AD＝DE，∠ADE＝60°， ∴△ADE 是等边三角形， ∴AE＝DE，∠AED＝60°， ∴∠EAC＝∠AED－∠C＝30°， ∴∠EAC＝∠C，∴AE＝CE＝2 3， ∴⊙D 的半径 AD＝2 3.
12．[2019·常德节选]如图 24－2－27，⊙O 与△ABC 的 AC 边相切于点 C，与 AB， BC 边分别交于点 D，E，DE∥OA，CE 是⊙O 的直径．求证：AB 是⊙O 的切线．
13．如图 24－2－28，已知 AD 为⊙O 的直径，B 为 AD 延长线上一点，BC 与⊙O 相 切于点 C，∠A＝30°.
求证：(1)BD＝CD； (2)△AOC≌△CDB.
图 24－2－28
证明：(1)∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD＝90°， 又∵∠A＝30°，OA＝OC＝OD， ∴∠ACO＝∠A＝30°， ∠ODC＝∠OCD＝90°－∠ACO＝60°， ∵BC 与⊙O 相切于点 C， ∴∠OCB＝90°，∴∠BCD＝90°－∠OCD＝30°， ∴∠B＝∠ODC－∠BCD＝30°， ∴∠BCD＝∠B，∴BD＝CD； (2)∵∠A＝∠ACO＝∠BCD＝∠B＝30°， ∴AC＝BC，∴△AOC≌△CDB(ASA)．
图 24－2－27
证明：如答图，连接 OD， ∵DE∥OA， ∴∠AOC＝∠OED，∠AOD＝∠ODE， ∵OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE， ∴∠AOC＝∠AOD， 又∵OA＝OA，OD＝OC， ∴△AOC≌△AOD(SAS)， ∴∠ADO＝∠ACO.
第12题答图
∵CE 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线， ∴OC⊥AC，∴∠OCA＝90°， ∴∠ADO＝90°，∴OD⊥AB， ∵OD 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．
3．[2018·哈尔滨]如图 24－2－18，点 P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 为切点， PO 交⊙O 于点 B，∠P＝30°，OB＝3，则线段 BP 的长为( A )
图 24－2－18
A．3
B．3 3
C．6
D．9
【解析】 利用切线的性质可知∠OAP＝90°，∵∠P＝30°，OA＝OB＝3，∴OP＝2OA
5 ＝10 cm，点 D 在量角器上的读数为 120°.则该直尺的宽度为___3__3___cm.
图 24－2－25
【解析】 如答图，连接 OC，交 AD 于点 E，根据题意可知 AD ＝10，∠AOD＝120°， ∵OA＝OD，∴∠DAO＝30°， 设 OE＝x，则 OA＝2x，∵OE⊥AD，∴AE＝DE＝5， 在 Rt△AOE 中，x2＋52＝(2x)2， 解得 x＝53 3，∴CE＝OE＝53 3.
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第 7 题答图
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8．[2018·长沙]如图 24－2－23，点 A，B，D 在⊙O 上，∠A＝20°，BC 是⊙O 的切
图24－2－29
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∴∠FAD＝∠ODA，∴OD∥AF. 又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD， ∴直线 DE 与⊙O 相切；
2．[2018·常州]如图 24－2－17，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，切点为 N， 如果∠MNB＝52°，则∠NOA 的度数为( A )
A．76° C．54°
图 24－2－17 B．56° D．52°
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A．20° C．40°
图 24－2－19 B．25° D．50°
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【解析】 如答图，连接 OA，∵PA 是⊙O 的切线，切点为 A，∴OA⊥AP，∴∠OAP ＝90°，∵∠APB＝40°，∴∠AOP＝50°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝25°.故选 B.
第4题答图
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5．[2019·嘉兴]如图 24－2－20，已知⊙O 上三点 A，B，C，半径 OC＝1，∠ABC＝ 30°，切线 PA 交 OC 延长线于点 P，则 PA 的长为( B )
第9题答图
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10．[2018·嘉兴]如图 24－2－25，量角器的 0°刻度线为 AB.将一矩形直尺与量角器部 分重叠，使直尺一边与量角器相切于点 C，直尺另一边交量角器于点 A，D，量得 AD
6．如图 24－2－21，AB 是⊙O 的直径，BC 交⊙O 于点 D，DE⊥AC 于点 E，要使 DE 是⊙O 的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是( A )
A．DE＝DO C．CD＝DB
图 24－2－21 B．AB＝AC D．AC∥OD
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50
线，B 为切点，OD 的延长线交 BC 于点 C，则∠OCB＝_______度．
【解析】 ∵∠A＝20°，
图 24－2－23
∴∠O＝2∠A＝40°，
∵BC 与⊙O 相切，∴OB⊥BC，∠OBC＝90°，
∴∠OCB＝90°－∠O＝50°.
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第10题答图
11．[2019·陇南]如图 24－2－26，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点 D 在 BC 边上，⊙D 经过点 A 和点 B 且与 BC 边相交于点 E. (1)求证：AC 是⊙D 的切线； (2)若 CE＝2 3，求⊙D 的半径．
图 24－2－26
解：(1)证明：如答图，连接 AD， ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝30°，∵AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝30°， ∴∠DAC＝120°－30°＝90°， ∴AC 是⊙D 的切线；
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【解析】 如答图，连接 OA，∵四边形 ABOC 是菱形， ∴BA＝BO，∵OD⊥AB，D 是 AB 中点， ∴OA＝OB，∴△AOB 是等边三角形， ∴∠AOD＝12∠AOB＝30°，同理可得∠AOE＝30°， ∴∠DOE＝∠AOD＋∠AOE＝60°.
＝6，BP＝OP－OB＝3.
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4．[2019·无锡]如图 24－2－19，PA 是⊙O 的切线，切点为 A，PO 的延长线交⊙O 于点 B，若∠P＝40°，则∠B 的度数为( B )
图 24－2－20
A．2
1
B. 3C. 2源自D.2【解析】 连接 OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝60°，又∵PA 为切线，∴∠OAP＝
90°，∵OA＝OC＝1，∴PA＝ 3.
上册 24.2.2 第2课时 切线的判定和性质-2020秋人教版 九年级 数学全 一册课 件(共34 张PPT)
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图 24－2－22 B．3 D．4－ 3
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【解析】 设⊙O 与 AC 的切点为 E，连接 AO，OE， ∵等边三角形 ABC 的边长为 8， ∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°， ∵圆分别与边 AB，AC 相切， ∴∠BAO＝∠CAO＝12∠BAC＝30°， ∴∠AOC＝90°，∴OC＝12AC＝4， ∵OE⊥AC，∴OE＝ 23OC＝2 3， ∴⊙O 的半径为 2 3.