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统计学
STATISTICS
第 7 章 参数估计
7.1 参数估计的一般问题 7.2 一个总体参数的区间估计 7.3 两个总体参数的区间估计 7.4 样本容量的确定
7 -1
统计学 参数估计在统计方法中的地位
STATISTICS
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
7 -2
统计学
STATISTICS
一致性：随着样本容量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数
P(ˆ) 较大的样本容量 B
较小的样本容量
A
7 - 19
ˆ
统计学 7.2 一个总体参数的区间估计
STATISTICS
7.2.1 总体均值的区间估计 7.2.2 总体比例的区间估计 7.2.3 总体方差的区间估计
7 - 20
统计学
STATISTICS
25袋食品的重量
101.0
103.0
102.0
107.5
95.0 108.8
123.5
102.0
101.6
95.4
97.8 108.6
102.8
101.5
98.4
100.5 115.6 102.2 105.0
影响区间宽度的因素
1. 总体数据的离散程度，用 来测度
2.
样本容量， x
n
3. 置信水平 (1 - )，影响 z 的大小
7 - 15
统计学
STATISTICS
评价估计量的标准
7 - 16
统计学
STATISTICS
无偏性 (unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数
1. 估计量：用于估计总体参数的统计量
如样本均值，样本比例、样本方差等
例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
2. 参数用 表示，估计量用 ˆ表示
3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的 具体值
如果样本均值等于80，则80就是的估计值
7 -6
统计学
STATISTICS
点估计与区间估计
7 -7
99% 的样本
统计学
STATISTICS
置信水平
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置 信区间包含总体参数真值的次数所占的 比例称为置信水平
2. 表示为 (1 -
为是总体参数未在区间内的比例
置信水平
α
90%
0.10
95%
0.05
99%
0.01
α/2 0.05 0.025 0.005
Zα/2
统计推断的过程
总体
7 -3
样
样本统计量
本
如：样本均值
、比例、方差
统计学
STATISTICS
7.1 参数估计的一般问题
7.1.1 估计量与估计值 7.1.2 点估计与区间估计 7.1.3 评价估计量的标准
7 -4
统计学
STATISTICS
估计量与估计值
7 -5
统计学
STATISTICS
估计量与估计值 (estimator & estimated value)
1.645 1.96 2.58
7 - 12
统计学
STATISTICS
置信区间 (confidence interval)
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称 为置信区间
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真 正的总体参数，所以给它取名为置信区间
3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的 区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是 否包含总体参数的真值
如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量 z
z x ~ N (0,1) n
3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
7 - 23
x z 2 n
或 x z 2
s ( 未知)
n
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计 (例题分析)
【 例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质
我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真 值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包 含参数真值的区间中的一个
7 - 13
统计学
STATISTICS
置信区间与置信水平
均值的抽样分布
x
/2
1 –
/2
x x
(1 - ) % 区间包含了 % 的区间未包含
7 - 14
统计学
STATISTICS
3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、 最大似然法、最小二乘法等
7 -9
统计学
STATISTICS
区间估计 (interval estimate)
1. 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间 范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的
2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量
比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
置信区间
样本统计量 (点估计)
7 - 10
置信下限
置信上限
统计学
STATISTICS
x z 2 x
区间估计的图示
x
- 2.58x
x
Biblioteka Baidu
-1.65 x
+1.65x +2.58x
-1.96 x
+1.96x
90%的样本
95% 的样本
7 - 11
P(ˆ)
qˆ
无偏
有偏
A
B
7 - 17
E(qˆ) =q E(qˆ)
ˆ
统计学
STATISTICS
有效性 (efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 量，有更小标准差的估计量更有效
P(ˆ)
ˆ1 的抽样分布
B
A
ˆ2 的抽样分布
7 - 18
ˆ
统计学
STATISTICS
一致性 (consistency)
统计学
STATISTICS
参数估计的方法
估计方法
点估计
区间估计
7 -8
统计学
STATISTICS
点估计 (point estimate)
1. 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值
▪ 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计
▪ 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值 之差的估计
2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
7 - 21
符号表示 样本统计量
x
p
2
s2
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
(正态总体、２已知，或非正态总体、大样本)
7 - 22
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计 (大样本)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 已知
量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重 量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25 袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正 态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的 置信区间，置信水平为95%
7 - 24
112.5 102.6 100.0 116.6 136.8
STATISTICS
第 7 章 参数估计
7.1 参数估计的一般问题 7.2 一个总体参数的区间估计 7.3 两个总体参数的区间估计 7.4 样本容量的确定
7 -1
统计学 参数估计在统计方法中的地位
STATISTICS
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
7 -2
统计学
STATISTICS
一致性：随着样本容量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数
P(ˆ) 较大的样本容量 B
较小的样本容量
A
7 - 19
ˆ
统计学 7.2 一个总体参数的区间估计
STATISTICS
7.2.1 总体均值的区间估计 7.2.2 总体比例的区间估计 7.2.3 总体方差的区间估计
7 - 20
统计学
STATISTICS
25袋食品的重量
101.0
103.0
102.0
107.5
95.0 108.8
123.5
102.0
101.6
95.4
97.8 108.6
102.8
101.5
98.4
100.5 115.6 102.2 105.0
影响区间宽度的因素
1. 总体数据的离散程度，用 来测度
2.
样本容量， x
n
3. 置信水平 (1 - )，影响 z 的大小
7 - 15
统计学
STATISTICS
评价估计量的标准
7 - 16
统计学
STATISTICS
无偏性 (unbiasedness)
无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于被 估计的总体参数
1. 估计量：用于估计总体参数的统计量
如样本均值，样本比例、样本方差等
例如: 样本均值就是总体均值 的一个估计量
2. 参数用 表示，估计量用 ˆ表示
3. 估计值：估计参数时计算出来的统计量的 具体值
如果样本均值等于80，则80就是的估计值
7 -6
统计学
STATISTICS
点估计与区间估计
7 -7
99% 的样本
统计学
STATISTICS
置信水平
1. 将构造置信区间的步骤重复很多次，置 信区间包含总体参数真值的次数所占的 比例称为置信水平
2. 表示为 (1 -
为是总体参数未在区间内的比例
置信水平
α
90%
0.10
95%
0.05
99%
0.01
α/2 0.05 0.025 0.005
Zα/2
统计推断的过程
总体
7 -3
样
样本统计量
本
如：样本均值
、比例、方差
统计学
STATISTICS
7.1 参数估计的一般问题
7.1.1 估计量与估计值 7.1.2 点估计与区间估计 7.1.3 评价估计量的标准
7 -4
统计学
STATISTICS
估计量与估计值
7 -5
统计学
STATISTICS
估计量与估计值 (estimator & estimated value)
1.645 1.96 2.58
7 - 12
统计学
STATISTICS
置信区间 (confidence interval)
1. 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称 为置信区间
2. 统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真 正的总体参数，所以给它取名为置信区间
3. 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的 区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是 否包含总体参数的真值
如果不是正态分布，可由正态分布来近似 (n 30)
2. 使用正态分布统计量 z
z x ~ N (0,1) n
3. 总体均值 在1- 置信水平下的置信区间为
7 - 23
x z 2 n
或 x z 2
s ( 未知)
n
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计 (例题分析)
【 例 】一家食品生产企业以生产袋装食品为主，为对产量质
我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真 值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包 含参数真值的区间中的一个
7 - 13
统计学
STATISTICS
置信区间与置信水平
均值的抽样分布
x
/2
1 –
/2
x x
(1 - ) % 区间包含了 % 的区间未包含
7 - 14
统计学
STATISTICS
3. 点估计的方法有矩估计法、顺序统计量法、 最大似然法、最小二乘法等
7 -9
统计学
STATISTICS
区间估计 (interval estimate)
1. 在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间 范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的
2. 根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总 体参数的接近程度给出一个概率度量
比如，某班级平均分数在75～85之间，置信水平是95%
置信区间
样本统计量 (点估计)
7 - 10
置信下限
置信上限
统计学
STATISTICS
x z 2 x
区间估计的图示
x
- 2.58x
x
Biblioteka Baidu
-1.65 x
+1.65x +2.58x
-1.96 x
+1.96x
90%的样本
95% 的样本
7 - 11
P(ˆ)
qˆ
无偏
有偏
A
B
7 - 17
E(qˆ) =q E(qˆ)
ˆ
统计学
STATISTICS
有效性 (efficiency)
有效性：对同一总体参数的两个无偏点估计 量，有更小标准差的估计量更有效
P(ˆ)
ˆ1 的抽样分布
B
A
ˆ2 的抽样分布
7 - 18
ˆ
统计学
STATISTICS
一致性 (consistency)
统计学
STATISTICS
参数估计的方法
估计方法
点估计
区间估计
7 -8
统计学
STATISTICS
点估计 (point estimate)
1. 用样本的估计量直接作为总体参数的估计值
▪ 例如：用样本均值直接作为总体均值的估计
▪ 例如：用两个样本均值之差直接作为总体均值 之差的估计
2. 没有给出估计值接近总体参数程度的信息
一个总体参数的区间估计
总体参数 均值 比例 方差
7 - 21
符号表示 样本统计量
x
p
2
s2
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计
(正态总体、２已知，或非正态总体、大样本)
7 - 22
统计学
STATISTICS
总体均值的区间估计 (大样本)
1. 假定条件
总体服从正态分布,且方差(２) 已知
量进行监测，企业质检部门经常要进行抽检，以分析每袋重 量是否符合要求。现从某天生产的一批食品中随机抽取了25 袋，测得每袋重量如下表所示。已知产品重量的分布服从正 态分布，且总体标准差为10g。试估计该批产品平均重量的 置信区间，置信水平为95%
7 - 24
112.5 102.6 100.0 116.6 136.8