第 3 章 力学平衡问题

FA
A
A
M1
M1
M2 L
M3
M2 L
M3
B
B
FB
解：取工件为研究对象、画受力图。 解得
由 Mi=0 FA l M1 M2 M3 0
FA FB 200N m
例题 3-9 不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,
它们分别受力偶矩为M1与M2的力偶作用 ，转向如图。 问M1与M2的比值为多大，结构才能平衡?
A a
q
B
a
a
q
FBx B FBy
FBx 0
M
C
a
M
C
FC
Fy 0 MB 0
FBy qa Fc 0
qa
a 2
M
Fc
2a
0
FC
qa 4
M 2a
FBy
3qa 4
M 2a
FAy
7qa 4
M 2a
M A 3qa2 M
研究方法二: 局部到局部
A a
q
B
a
a
M
C
a
1、 BC 梁为研究
q FBx B FBy
C
B
A
(b)
x
M M
A B
(F (F
) )
0 0
MC (F ) 0
三力矩式 (A、B、C三点不共线)
例题 3-4 求图示梁的支座反力。
解：以梁为研究对象，受力如图。A Fx 0 : FAx P cos 0
P
m B
C
a
b
MB (F ) 0 : FAya m P sin b 0
FP
l
l
FP
l
l
M
q
M
q
2l l
2l l
A
FAx A MA
解：1.选择研究对象。
FAy
2 受力分析,画出受力图如图所示。
2l l
FP
l
l
M
FAx
A MA
FAy
3. 建立平衡方程求解未知力 应用平衡方程
Fx = 0, FAx ql 0
q Fy = 0, FAy FP 0
MA= 0，
MA M
n
Mo (Fi ) 0
i 1
n
Fix 0
i 1
n
Fiy 0
i 1
平面一般力系的平衡方程 （基本形式）
n
Mo (Fi ) 0
i 1
为了书写方便，通常将平面一般力系的平衡方程简写为
Fx 0 Fy 0
独立平衡方程只有三个
Mo(F) 0
上述平衡方程表明，平面力系平衡的必要与充分条件是： 力系中所有的力在直角坐标系Oxy的各坐标轴上的投影的代 数和以及所有的力对任意点之矩的代数和同时等于零。
P
1m 3m
4m 1m
D
4m
P1
B
A
E
P1
C
10m
P
1m 3m
4m 1m
解：1.取整体为研究对象
D
4m
P1
B
A
E
P1
C
10m
1m 3m P 4m 1m
Fx 0，FBx FCx 0 Fy 0，FBy 2P1 P FCy 0
MB 0 ，
D
A
E
4m
P1
P1
B
FBy
F F Bx 10m Cx
约束反力数 m 独立平衡方程数 n
静不定的次数为：
k=m-n
m = n 静定问题 m >n 静不定问题
二、刚体系统的平衡问题的特点与解法
1. 刚体系统：由几个刚体通过一定的约束方式联 系在一起的系统。
q
M
A C
B
a
a
a
a
返回
2.求解刚体系统平衡问题的一般方法和步骤
方法一：整体
局部
弄清 题意， 标出 已知 量
Fy 0 : FBC sin 300 FT1 FT 2 cos 300 0
y
4. 联立求解，得
FAB 54.5KN FBC 74.5KN
FAB B
x
30°
FBC FT2 30°FT1
反力FAB 为负值，说明该力实际指向与图上假 定指向相反。即杆AB 实际上受拉力。
例题 3-7 折杆AB的支承方式如图所示，设有一力矩数
y
FRy
FR
O FRx x
因为 FR FRx 2 FR2y Fx 2 Fy 2 0
Fx 0 Fy 0
平面汇交力系的平衡方程
2.平面力偶系的平衡方程
h1
F3
h2
F1
F2
F
h
平面力偶系可以合成为一个合力偶,合力偶之 矩等于力偶系中各力偶之矩的代数和。
M=Mi
M=Mi=0
平面力偶系的平衡方程
M
C
FC
Fx 0 Fy 0 MA 0
FBx 0
FBy qa Fc 0
qa
a 2
M
Fc
2a
0
q
M
1、再以AB梁为研究对象 A
C
B
a
a
a
a
Fx 0
MA
FAx
FAy
A
a
FAx FBx 0
q
a
B FB′x F′By
Fy 0 MB 0
FAy qa FBy 0
M
A
qa
3a 2
FBy’
的货物，滑轮由两端铰链的水平刚杆AB 和斜刚杆BC 支持于点
B (图(a) )。不计滑轮的自重，试求杆AB 和BC 所受的力。
A
B
30°
30°
C
P
y
FAB B
x
30°
FBC FT2 30° FT1
解：1. 取滑轮B 连同销钉作为研究对象。
2. 画出受力图
3. 列出平衡方程：
Fx 0 : FBC cos 300 FAB FT 2 sin 300 0
例题 3-5 图示平面刚架的支反力。
解：以刚架为研究对象，受 力如图，建立如图坐标。
Fx 0 : FA cos P 0
Fy 0 : FA sin FB 0
P
4m
A
B
8m
y
P
由几何关系
sin 5 , cos 2 5
5
5
A B
x
FA
FB
解得
FA
5 2
P, FB
1 2
P
例题 3-6 利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN
再选局部 为研究对 象画受力 图，列平 衡方程求 解。
检 查 结 果， 验 算
注意：
力偶 M 在任一轴上的投影为零； 力偶对任一点之矩即为M。 选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号。
例题 3-10
图a所示铰接横梁。已知荷载q，力偶矩M
和尺寸a，试求杆的固定端A及可动铰B、C 端约束力。
A a
q
B
a
a
FPl
ql
3l 2
0
由此解得 FAx ql
FAy FP
M
A
M
FPl
3 2
ql 2
二、平面一般力系平衡方程的其它形式
y
F2
F4
F1
M
F3 F5
(a)
x
M
Fx 0 A(F)
0
M
B
(F
)
0
y
F R =0
B A
(b)
x
Biblioteka Baidu
二力矩式 （AB不垂直于x轴）
y
F2
F4
F1
M
F3 F5
(a)
x
y
F R=0
1、静定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未知量 的数目正好等于独立的平衡方程数，单用平衡方程就 能解出全部未知量。
q
A C
2a
a
Me 8a
F B
2、静不定问题：一个静力平衡问题，如果系统中未 知量的数目超过独立的平衡方程数目，用刚体静力学
方法就不能解出所有的未知量。
q
F
Me
A
C
D
2a
a
4a
B 4a
第 3 章 静力学平衡问题
§3-1 平面力系的平衡条件与平衡方程 §3-2 简单的空间力系平衡问题 §3-3 简单的刚体系统平衡问题 §3-4 考虑摩擦时的平衡问题
§3-1 平面力系平衡条件与平衡方程 一、平面一般力系的平衡条件与平衡方程
y
F2
F4
F1
y
n
F R
FR Fi
O
i 1
O
F3 F5
(a)
2a
0
FC
qa 4
M 2a
FBy
3qa 4
M 2a
FAy
7qa 4
M 2a
M A 3qa2 M
2-4 物体系统平衡问题
例题 3-11 如图所示的三铰拱桥由两部分组成，彼此
用铰链A联结，再用铰链B和C固结在两岸桥墩上。每 一部分的重量P1=40 KN，其重心分别在点D和E点。 桥上载荷P=20KN。求A、B、C 三处的约束力。
选整体 为研究 对象画 受力图， 列平衡 方程
选局部为 研究对象 画受力图， 列平衡方 程求解。
检 查 结 果， 验 算
注意：
力偶 M 在任一轴上的投影为零； 力偶对任一点之矩即为M。 选取适当的坐标轴和矩心，注意正负号。
方法二：局部
局部
弄清 题意， 标出 已知 量
选局部 为研究 对象画 受力图， 列平衡 方程
约束反力方位亦可确定，画受力图。
B
B
F′C
C
C
M1
A 60o
M2
60o D
A 60o
M2
60o D
FD
FD = FC = F Mi = 0 - 0.5a F + M2 = 0 M2 = 0.5 a F (2) 联立(1)(2)两式得:M1/M2=2
§3-3 简单的刚体系统平衡问题
一、刚体系统静定与静不定的概念
x
MO
n
Mo Mo (Fi )
(b)
x
i 1
平面一般力系平衡的必要与充分条件是力系的主矢和对任意一
点的主矩同时等于零。这一条件简称为平衡条件。 n
n
Fix 0
FR Fi 0 i 1 n
因为
FR
FRx 2 FRy 2
Fix 2 Fiy 2
i 1
n
Fiy 0
i 1
Mo Mo (Fi ) 0 i 1
B
C
M1
A 60o
M2
60o D
解: 取杆AB为研究对象画受力图。 杆AB只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束，则A
处约束反力的方位可定。
B
B
FA = FC = F,
C
C
AC = a
FC
M1
A 60o
M2 M1
60o D A
FA
Mi = 0 a F - M1 = 0
M1 = a F (1)
取杆CD为研究对象。因C点约束方位已定 , 则D点
值为M的力偶作用在折杆AB上，求支承处的约束力大小。
2L
B
LM A
解： 由 Mi=0
2L
LM
B FB
A FA
FA l M 0
FA
FB
M l
例题 3-8 工件上作用有三个力偶如图所示。已知：
M1= M2= 10N·m， M3 =20N·m，固定螺栓A和B的距
离l=200mm。求两光滑螺栓所受的水平力。
4m
Fy=FAy+FBy-P-W=0 ---（2） FAy
MA(F)
MA
=MA+12FBy-4W-8P=0 ---（3）
FAxW
A
1m C
4m 1m
P 8m
FBy
B
由(1)知，FAx=0。 剩余两个方程中含3个未知约束反力，不足以求解。
2)小车为研究对象，列平衡方程：
MD(F)=2FE-W-5P=0 FE=(50+50)/2=50kN
M A (F ) 0 : FBa P sin (a b) m 0
解得：
FAx P cos
FAy
m
Pb sin
a
FB
m
P sin (a
a
b)
P
FAx
A
m B
C
FAy
FB
三、平面汇交力系与平面力偶系的平衡方程
1.平面汇交力系的平衡方程
y
F4 F5
F2 F1
O
x
F3
FR Fi 0
M
C
a
2-4 物体系统平衡问题
研究方法 一: 整体到局部
1.取整体为研究对象
MA
FAy
A
FAx
a
q
B
a
a
M
C
a FC
Fx 0
FAx 0
Fy 0 FAy FC 2qa 0
M A 0 M A FC 4a 2qa2a M 0
2-4 物体系统平衡问题
2. BC 梁为研究
Fx 0
b
q
Fy 0 : FAy P 0
P
MA
M A(F) 0 :
解
MA
得：
Pa
1 2
qb2
0
FAx
A
FAy
q
FAx qb
FAy P
MA
Pa
1 2
qb2
例题 3-3 平面刚架的所有外力的作用线都位于刚架平
面内。A处为固定端约束。若图中q、FP、M、l 等均为 已知，试求: A处的约束力。
Fy=FD+FE-W-P=0 FD=10kN 3)取BC梁为研究对象，有：
MC(F)=8FBy-FE=0 FBy=FE/8=6.25kN
解得：
FCx 20KN FAx FCx 20KN
FAy 8KN() FBx 20KN
FCy
例题 3-12 梁 ACB 如图。 梁上起重小车重 W =
50kN，吊重 P = 10kN，求A、B处的约束力。
解：1)取系统整体为研究对象，画受力图。
列平衡方程：
Fx=FAx=0 ----------（1）
不计。试求A和B处的支座约束力。
y
q
q
Me
A
BA
C
D
2a
a
FAx FAy 2a
C a
4a
4a
(a)
(b)
解：
(1)选AB 梁为研究对象。 (2)画受力图如右图所示。
Me Bx
D
FNB
(4) 列平衡方程
Fx 0 FAx 0
y q
Fy 0 FAy q 2a FNB 0 A
Mo(F) 0
求解力系平衡问题的方法和步骤。 （1）选取研究对象； （2）分析研究对象受力，画受力图；
（3）根据力系的类型列写平衡方程；选取适当的 坐标轴和矩心，以使方程中未知量个数最少；尽可 能每个方程中只有一个未知量。
（4）求解未知量，分析和讨论计算结果。
例题 3-1 图示简支梁AB，梁的自重及各处摩擦均
FAx FAy 2a
C a
q 2a a Me FNB 4a 0
4a
解得
(b)
FAx 0,
FN B
1 qa 2
Me 4a
,
FAy
3 q a Me
2
4a
.
Me Bx
D
FNB
例例题1 3-2 求图示刚架的约束反力。
P
a
解：以刚架为研究对象，受力如图。 A
Fx 0 : FAx qb 0
P1 1 4P 9P1 10FCy 0
解得：
C
FCy
FCy 48KN FBy 52KN
P
1m 3m
4m 1m
2.取AC部分为研究对象：
D
4m
P1
B
A
E
P1
C
10m
FAx
A
FAy
E
P1
C
FCx
Fx 0，FAx FCx 0
Fy 0，FAy P1 FCy 0
MA 0 ，
4FCx (4 1)FCy 4P1 0