高中数学教案直线与圆

直线与圆

一、知识网络

二、高考考点

1.直线的倾斜与斜率；

2.直线的方程及其应用；

3.两条直线的平行、垂直与有关夹角和到角的公式；

4.简单的线性规划问题；

5.圆的方程及其应用；

6.直线与圆的相切与相交问题；

7.两圆的位置关系；

8.直线、圆与其它圆锥曲线的综合问题.

三、知识要点

（一）直线

1、直线的倾斜角定义与规定

（1）定义：对于一条与x轴相交的直线，将x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做直线的倾斜角，习惯上记作 .

（2）规定：当直线和x轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°.

综合上述一般定义和特殊规定，直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°）或[0，π）.

提醒：直线的倾斜角取值范围是一般与特殊相结合的产物，因此，解决有关直线的倾斜角或斜率问题时，一方面要注意立足于这一特定范围，另一方面又要注意分“一般”与“特殊”两种情况考察，以确保解题的完整与正确.

（3）直线的斜率与方向向量

（Ⅰ）定义1：当直线l的倾斜角不是90°时，的正切叫做直线l的斜率，

直线的斜率通常用k表示即：特例：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在.

认知：直线的倾斜角与斜率的另一联系：；

；

；（直线的斜率不存在）（Ⅱ）斜率公式已知直线l上两点，则直线l的斜

率：.

（Ⅲ）定义2：直线l上的向量与平行于l的向量都称为直线l的方向向量.

设，则直线l的方向向量的坐标是；

当直线l不与x轴垂直时，，此时，直线l的方向向量可化为（这里k为直线l的斜率）.

2、直线的方程

（1）理论基础：直线的方程与方程的直线之定义

在直角坐标系中，如果直线l和二元方程的实数解之间建立了如下关系：

①直线l上的点的坐标都是方程的解（纯粹性）

②以方程的解为坐标的点都在直线l上（完备性）

那么，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.

（2）直线方程的几种形式

（Ⅰ）点斜式：已知直线l的斜率为k，且过点，则直线l的方程为：

（Ⅱ）斜截式

已知直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则直线l的方程为：

注意：由斜截式方程的推导过程可知，斜截式是点斜式的特例.直线方程的特殊形式各自都有其局限性，两者都不能表示与x轴垂直的直线的方程.因此，运用上述两种形式求直线方程，都是在斜率存在的前提之下的，都需要特别考察直线斜率不存在的情形。

（Ⅲ）两点式

已知直线l经过两点，则直线l的方程为：

.

（Ⅳ）截距式

已知直线l在x轴和y轴上的截距分别为，则直线l的方程为：

注意：截距式是两点式的特例，以其自身特色被人们乐于应用.但应注意，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线（水平直线和铅垂直线），而截距式不能表示与坐标轴垂直以及过原点的直线.运用它们求直线方程，都需要单独考察它们不能表示的特殊直线.

（Ⅴ）一般式方程叫做直线方程的一般式

直线方程的一般式适合于任何直线，并且是寻求直线方程的最后归宿.直线的一般式方程的产生基于命题：任何一条直线的方程都可以表示为关于x,y的一次方程，反之，任何关于x,y的一次方程都表示一条直线.这一命题的正反两个方面，使直线和二元一次方程完成了数与形的转化与统一.

3、两条直线的位置关系

（1）两条直线平行的条件设l1、l2为两条不重合的直线，则

（Ⅰ）的斜率相等或它们的斜率都不存在.

因此，已知l1//l2时，解题时要注意对“一般”和“特殊”两种情况的讨论.

（Ⅱ）若设直线，

则（此式包含了一般与特殊两种情形）

（Ⅲ）平行于直线的直线（系）方程为：

（2）两条直线垂直的条件

对于两条直线l1和l2

（Ⅰ）的斜率之积等于－1或它们中一个斜率为0而另一个斜率不存在

（Ⅱ）若设直线l1： , ,

则，（此式包含了一般与特殊两种情况）

（Ⅲ）垂直于直线的直线（系）方程为：

（3）直线l1 到l2的角；直线l1 与l2的夹角设l1 与l2相交

（Ⅰ）直线l1 到l2的角，是指l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，通常记作

①l1 到l2的角中的“到”字，画龙点睛的道出了这个角的方向性，注意到当l1 //l2时不定义l1 到l2的角，故的取值范围为（0，）

②设l1 与l2的斜率分别为k1,k2, l1 到l2的角为，则当；

当（注意：分子是后一直线斜率减去前一直线斜率）（Ⅱ）直线l1 与l2的夹角，是指l1 与l2相交所成的四个角中，不大于直角的那个角，将其记为 .

①l1 与l2的夹角没有方向性，注意到当l1 //l2时不定义l1 与l2夹角的概念，故得的取值范围为：

②设l1 与l2的斜率分别为k1,k2, l1 与l2的夹角为，则当；

当 .

（4）点到直线的距离设点，直线则点P到直线l距离：

讨论（两平行直线间的距离）：

设两条平行直线，则l1 与l2之间

的距离为 .

（5）两条直线的交点

（1）直线

（2）经过直线l1 与l2的交点的直线（系）方程为

（这里不含l2）

(二)圆的方程

1、定义与方程（1）定义

（2）方程

（Ⅰ）标准方程：圆心为（a、b），半径为

（Ⅱ）一般方程：圆心为，半径为

（III）参数方程：圆心为(a，b)，r为半径长