圆与函数综合培优专题

圆与函数综合培优专题 （一）.圆与一次函数： Eg1：如图，在平面直角坐标系中，⊙M 与x 轴交于A 、B 两点，AC 是⊙M 的直径，过点C 的直线交x 轴于点D ，

连接BC ，已知点M 的坐标为（0， 3 ），直线CD 的函数解析式为y=－ 3 x ＋5 3 ．

⑴求点D 的坐标和BC 的长；

⑵求点C 的坐标和⊙M 的半径；

⑶求证：CD 是⊙M 的切线．

Eg2：如图一次函数y=kx+b 的图象与x 轴的负半轴相交于点A ,与y 轴的正半轴相交于点B ,且cos ∠ABO=√3

2,△OAB

的外接圆的圆心M 的横坐标为-5

(1)求这个一次函数的表达式;

(2)求图中阴影部分的面积.

Eg3：在Rt △ABC 中，∠B =90∘，B(0, 0)，A （0,6），C ）

，（036，点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒3个单位的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终

点时，另一个点也随之停止运动．设点D 、E 运动的时间是t 秒(t >0)．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE 、

EF ． (1)当t 为何值时，线段DE 长为7；

(2)当线段EF 与以点B 为圆心，半径为1的⊙B 有两个公共交点时，

求t 的取值范围．

Eg4：如图,AN是☉M的直径,NB∥x轴,AB交☉M于点C.

(1)若点A（0,9）,N（0,3）,∠ABN=30°,求点B的坐标;

(2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是☉M的切线.

Eg5：如图1，在平面直角坐标系xoy中，M是x轴正半轴上一点，⊙M与x轴的正半轴交于A，B两点，A在B的左侧，且OA，OB的长是方程x2-12x+27=0的两根，ON是⊙M的切线，N为切点，N在第四象限．

（1）求⊙M的直径的长．

（2）如图2，将△ONM沿ON翻转180°至△ONG，求证△OMG是等边三角形．

（3）求直线ON的解析式．

（二）.圆与反比例函数：

Eg：如图1所示，已知：点A（﹣2，﹣1）在双曲线C：y=上，直线l1：y=﹣x+2，直线l2与l1关于原点成中心对称，F1（2，2），F2（﹣2，﹣2）两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B，P是曲线C上第一象限内异于B 的一动点，过P作x轴平行线分别交l1，l2于M，N两点．

（1）求双曲线C及直线l2的解析式；

（2）求证：PF2﹣PF1=MN=4；

（3）如图2所示，△PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与点B重合．（参考公式：在平面坐标系中，若有点A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离公式为AB=．）

（三）.圆与二次函数：

Eg1：如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相交于C（﹣3，0），D（﹣12，0）两点，与y轴相切于点B（0，6）．

（1）求经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式；

（2）设抛物线的顶点为E，证明：直线CE与⊙A相切；

（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在一点F，使△BDF面积最大，

最大值是多少？并求出点F的坐标．

Eg2：如图，O是平面直角坐标系的原点．在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于C，A（3，3），B（9，3），动点P 从O点出发，沿x轴正方向以1个单位/秒的速度运动．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜12）．

（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式；

（2）过P作PD⊥OA于D，以点P为圆心，PD为半径作⊙P，⊙P在点P的右侧与x轴交于点Q．

①则P点的坐标为_____，Q点的坐标为_____；（用含t的代数式表示）

②试求t为何值时，⊙P与四边形OABC的两边同时相切；

③设△OPD与四边形OABC重叠的面积为S，请直接写出S与t的函数解析式．

Eg3：如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=3，∠BAO=45°．

（1）OC的长为；

（2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ= ；

（3）如图2，动点P 以每秒1.5个单位长度的速度，从点O 沿线段OA 向点A 运动；同时动点D 以相同的速度，从

点B 沿折线B ﹣C ﹣O 向点O 运动．当点P 到达点A 时，两点同时停止运动．过点P 作直线PE ∥OC ，与折线O ﹣B ﹣A 交于点E ．设点P 运动的时间为t （秒）．求当以B 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时点E 的坐标．

Eg4：如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O ，A 点坐标为（6，0），B 点坐标为（﹣1.5，0），以AB 的中点P

为圆心，AB 为直径作⊙P 的正半轴交于点C ．

（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线所对应的函数解析式；

（2）设M 为（1）中抛物线的顶点，求直线MC 对应的函数解析式；

（3）试说明直线MC 与⊙P 的位置关系，并证明你的结论．

Eg5：如图①，在直角坐标系中，过点(0,4)A 的圆的圆心坐标为C （2，0），点B 为第一象限圆弧上一点，

且BC ⊥AC ，抛物线212

y x bx c =-++过B 、C 两点，与x 轴的另一交点为D 。 （1）点B 的坐标为 ；抛物线的解析式为 ；

（2）如图②，求证： BD ∥AC ；

（3）如图③，点Q 为线段BC 上一点，且5AQ =，直线AQ 交⊙C 于点P ,试求AP 的长

Eg6：如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交y 轴于A 点，交 x 轴于B 、C 两点

（点B 在点C 的左侧），已知A 点坐标为（0，－5）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ，如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的

对称轴l 与OC 的位置关系，并给出证明；

（3）在抛物线上是否存在一点P ，使△ACP 是以AC 为直角边的三角形，若存在，求出点P 的坐标；

若不存在，请说明理由．

Eg7：如图，抛物线y =ax 2

+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =3，且抛物线经过A （-1.5，0），C （0，-7.5）两点，与x 轴交于点B ．

②

③