圆的标准方程ppt课件
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圆的标准方程完整ppt课件
解决与圆有关的切线问题
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
7.3.1圆的标准方程课件
题型三 四点共圆问题 【例3】 已知A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)，问这四点能 否在同一个圆上？为什么？
解 设经过A，B，C三点的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. a2＋1－b2＝r2， 2 2 2 则2－a ＋1－b ＝r ， 3－a2＋4－b2＝r2， a＝1， 解此方程组，得b＝3， r2＝5. 所以，经过A，B，C三点的圆的标准方程是 (x－1)2＋(y－3)2＝5.
2－a2＋－3－b2＝r2， 2 2 2 由已知条件得－2－a ＋－5－b ＝r ， a－2b－3＝0， a2＋b2－4a＋6b＝r2－13， 2 2 2 即a ＋b ＋4a＋10b＝r －29， a－2b－3＝0， a＝－1， ∴b＝－2， r2＝10.
【训练2】 写出以点A(2，－3)为圆心，5为半径的圆的标准 方程，并判断点M(5，－7)，N(2，－1)与该圆的位置关系．
解 圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25. 因为|MA |＝ 2－52＋－3＋72＝5＝r， 所以点M在圆上． 因为|NA |＝ 2－22＋－3＋12＝2<r， 所以点N在圆内．
答案 (x－2)2＋(y＋1)2＝1
4．圆(x＋3)2＋(y－1)2＝25上的点到坐标原点的最大距离是 ________．
解析 设圆心C(－3,1)，过点O的直径与圆交于P、Q两点， 则点P到原点O的距离最大，|OP|＝|OC|＋|PC|＝ 10＋5.
答案
10＋5
名师点睛 1．确定圆的标准方程 圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中，有三个参数a、b、r只 要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定了．因此，确定圆的方 程，需三个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的 定型(量)条件，影响圆的大小．
选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
究位置关系、距离
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
2-4-1圆的标准方程 课件(共28张PPT)
题型二 判断点与圆的位置关系
例 2 (1)已知圆心为点 C(－3，－4)，且圆经过原点，求该 圆的标准方程，并判断点 P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和 圆的位置关系．
【思路分析】 关键是找到点与圆心的距离和半径的关系．
【解析】 因为圆心是 C(－3，－4)，且圆经过原点， 所以圆的半径 r＝ （－3－0）2＋（－4－0）2＝5. 所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因 为 （－1＋3）2＋（0＋4）2 ＝ 4＋16 ＝ 2 5 <5 ， 所 以 P1(－1，0)在圆内； 因为 （1＋3）2＋（－1＋4）2＝5，所以 P2(1，－1)在圆上； 因为 （3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5，所以 P3(3，－4)在圆 外．
(2)由已知得圆心坐标为 M(2，－1)，半径 r＝12|AB|＝1，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(3)方法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴（ （2－－2a－）a2）＋2（＋－（3－－5b－）b2）＝2r＝2，r2， a－2b－3＝0，
即aa22－ ＋44aa＋ ＋bb22＋ ＋61b0＋ b＋132＝ 9＝r2r，2， ②
要点 3 几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程形式
(x－a)2＋(y－ 过原点，圆心(a，b)，半径 r＝ a2＋b2
b)2＝a2＋b2
圆心在原点，即 a＝0，b＝0，半径 为 r，r>0
x2＋y2＝r2
圆心在 x 轴上，即 b＝0，半径为 r， (x－a)2＋y2＝r2
r>0
圆心在 y 轴上，即 a＝0，半径为 r， x2＋(y－b)2＝r2
(2)已知 A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)，判断这四 点是否在同一个圆上．
2.4.1圆的标准方程课件(人教版)(1)
例题讲解
例1 写出圆心为A（2,3），半径长等于5的圆的方程，并判 断点M1（5,7），M2（-2，-1）是否在这个圆上．
解：圆心是 A(2,3)，半径长等于5的圆的标准方程是：
把 M1 (5,7的)坐标代入方程 (x 2)2 ( y 3)2 25左 右两边相等，点 M的1坐标适合圆的方程，所以点 M在1这个 圆上；
点在圆上 d＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内 d＜r
(x0－a)2＋(y0－b)2<r2
习题：判断点与圆的位置关系
(1)点P(3,2)与圆(x-2)2+(y-3)2=4的位置关系( C)
A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 D.在圆上或圆外
(2)点P(m,5)与圆x2+y2=25的位置关系(D )
圆的半径r (1 3)2 (1 2)2 5, 圆的标准方程是(x 3)2 ( y 2)2 25.
y
l
A l
O
C
D B
x
一题多解
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1),B(2,-2)两点, 且圆心C在直线 l: x-y+1=0上, 求此圆的标准方程.
解法3:
∵ A(1,1),B(2,-2)
解法2: 设圆心C的坐标为(a,b). 因为圆心C在直线l : x y 1 0上，所以a b 1 0 ① 因为A, B是圆上两点，所以 CA CB , 根据两点间的距离公式，有
(a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 即a 3b 3 0 ② 由①, ②得a 3,b 2,则圆心C的坐标是(-3, -2)
习题： 1.判断下列方程是圆的方程吗？
(1) x a2 y b2 4 (2) x a 2 y b2 0 (3) x a2 y b2 m
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
圆的标准方程ppt课件
_____5______．
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
解析：圆 C : x2 y2 25 的圆心为C(0,0) ，半径r = 5 ， 因为 AC (8 0)2 (6 0)2 10 5 ，所以点 A 在圆外， 所以 AP 的最小值为 AC r 10 5 5 ，故答案为：5.
总结一下
圆的标准方程
6.已知 A2,2、 B2,6 ，则以 AB 为直径的圆的标准方程为_x_2____.y4 2 8
解析：线段 AB 的中点坐标为0, 4 ， AB 2 22 2 62 4 2 ，
所以，所求圆的半径为 2 2 ，故所求圆的标准方程为 x2 y 42 8 .
7.已知点 A(8, 6) 与圆C : x2 y2 25 ，P 是圆 C 上任意一点，则 AP 的最小值是
求圆的标准方程的两种方法
1.待定系数法.先设圆的标准方法 x a 2 y b 2 r2 ，再根据条件列出关于 a， b，r 的三个独立方程，通过解方程组求出 a，b，r 的值，从而得到圆的标准方程， 如例题 2 的解法.这是一种代数解法. 2.直接求解法.先根据题目条件求出圆心和半径，直接写出圆的标准方程，如例 3 的解法，这种解法往往需要圆的几何性质.
例 3 已知圆心为 C 的圆经过 A(1，1) ，B(2 ，2) 两点，且圆心 C 在直线l : x y 1 0 上， 求此圆的标准方程.
分析：设圆心 C 的坐标为 a,b .由已知条件可知， CA CB ，且a b 1 0 ， 由此可以求出圆心坐标和坐标.
解：解法1：
设圆心 C 的坐标为 (a ，b) . 因为圆心 C 在直线 l : x y 1 0 上，所以 a b 1 0 .① 因为 A，B 是圆上两点，所以| CA| | CB | . 根据两点间距离公式，有 (a 1)2 (b 1)2 (a 2)2 (b 2)2 ， 即 a 3b 3 0 .② 由①②可得 a 3，b 2 . 所以圆心 C 的坐标是 (3， 2) . 圆的半径 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5 .
圆的标准方程ppt课件
通过配方，可以将其 转化为标准形式，进 而确定圆心和半径。
一般形式下圆的方程 为 $x^2+y^2+Dx+Ey +F=0$，其中 $D^2+E^2-4F>0$。
拓展延伸
与直线方程联立，可以求解交点。
极坐标形式下圆的方程及其求解 方法
极坐标形式下圆的方程为 $rho=a(1+costheta)$或 $rho=a(1+sintheta)$，其中
圆的面积
S = πr²。
弧长与扇形面积计算
ห้องสมุดไป่ตู้弧长公式
l = θ/360° × 2πr，其中θ 为圆心角的度数。
扇形面积公式
S = θ/360° × πr²，其中θ 为圆心角的度数。
弓形面积计算
弓形面积 = 扇形面积 - 三 角形面积，其中三角形面 积可通过底和高计算得出。
02 圆的标准方程及其推导
数学建模竞赛
在数学建模竞赛中，圆的方程常常作为数学模型的基础，用于解决 各种实际问题，如城市规划、交通流量分析等。
06 总结回顾与拓展延伸
总结回顾本次课程重点内容
01
圆的标准方程的定义和形式
02
圆心和半径的确定方法
03
圆的方程与直线方程联立求解交点
04
圆的方程在实际问题中的应用
拓展延伸
一般形式下圆的方程 及其求解方法
圆的要素
圆心、半径。
03
圆的表示方法
一般用圆心和半径表示，如圆O（r）。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
圆的标准方程-PPT课件
初中学习的圆的定义:
平面内到定点的距离等于定长的点的集合.
·r
C
定点 定长
圆心 半径
在平面直角坐标系中，怎么用坐标的方法刻画圆呢？
探究新知 a、b、r 确定一个圆的方程.
问题：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合
y
P = { M | |MC| = r }
位置关系？ M
M
OM
O
O
|OM|< r
|OM|=r
点在圆内 点在圆上
|OM|> r 点在圆外
探究新知：点与圆的位置关系 测评P65：知识点三
测评P65：例3、活用3
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M0在圆上
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
点M0在圆内
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
M M
r | 3 4 3 7 | 16
3 16 5
小结
1.圆的标准方程（重点）
(x a)2 (y b)2 r2 （圆心C(a,b),半径r）
2.点与圆的位置关系（难点)
3.求圆的标准方程的方法：（重点） ① 直接法（利用几何性质） ② 待定系数法
测评P64-65：例1、活用1、例2、活用2
活用2（1） ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
待定系数法
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r 2 (7 a)2 (3 b)2 r 2 (2 a)2 (8 b)2 r 2
课件6：2.3.1 圆的标准方程
B．点(a，b)
C．以(－a，－b)为圆心的圆
D．点(－a，－b)
【解析】 由(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，得
x＋a＝0 y＋b＝0
，∴xy＝＝－－ab
.故选 D.
【解析】 D
2．到原点的距离等于4的动点的轨迹方程是 ( )
A．x2＋y2＝4
B．x2＋y2＝16
C．x2＋y2＝2
D．(x－4)2＋(y－4)2＝16
2．求圆的方程主要用待定系数法，圆的标准方程中含有三个待定 系数a、b、r，故确定圆需要三个独立条件，若条件中涉及圆心、 半径、弦长或圆心位于特殊位置时，一般考虑应用圆的标准方程．
3．要弄清点与圆的位置关系的代数表示．
4．通过求圆的方程进一步明确求曲线(轨迹)的方程的步骤、注意事 项．
求曲线的轨迹方程步骤：建系→设点→列式→化简→证明，最后一 步证明可省略，但实际解决问题时，最后一般要注意曲线的范围， 即剔除不合要求的点和找回失去的点，有的题目还要分类讨论．
(5)过点A(1，－4)和B(3，－2)，半径为2的圆的方程为 __________． 【答案】 (1)(x－1)2＋(y－3)2＝4 (2)(x－1)2＋(y－3)2＝18 (3)(x－1)2＋(y－3)2＝2 (4)(x－2)2＋(y－4)2＝5 (5)(x－1)2＋(y＋2)2＝4
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变式探究 求经过点A(10,5)、B(－4,7)，半径为10的圆的方程．
[解] 解法一：设圆心为(a，b)
①－②整理得7a－b－15＝0，即b＝7a－15，③ 将③代入①得a2－6a－8＝0. ∴a＝2或a＝4，则b＝－1或b＝13. 故 所 求 圆 的 方 程 为 (x － 2)2 ＋ (y ＋ 1)2 ＝ 100 或 (x － 4)2 ＋ (y － 13)2＝100.
2.4.1圆的标准方程课件共23张PPT
上、圆内,还是圆外.
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
解:由已知得，圆心A的位置为线段P1P2的中 6) ,
P1 P2
利用两点间距离公式得 r =
=
2
4 - 6 + 9 - 3
圆的标准方程为: (x-5)2+(y-6) 2=10.
2
2
2
= 10.
2.已知P 1(4, 9) , P 2(6, 3)两点,求以线段P 1P 2为直径
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
解:线段AB的垂直平分线l1的方程是 x - 2 y - 8 = 0
同理, 线段AC的垂直平分线l2的方程是 x + 3 y + 7 = 0
x -2y-8 = 0
圆心的坐标就是方程组
的解 .
x +3y +7 = 0
x = 2,
所以, 圆心C的坐标(2 , -3) , 圆的半径
分析:设圆心C的坐标为(a, b) . 由已知条件可知 |CA|=
|CB|, 且a-b+1=0 . 由此可求出圆心坐标和半径 .
又因为线段AB是圆的一条弦 , 根据平面几何知识, AB
的中点与圆心C的连线垂直于AB , 由此可得到另一种解法.
解法1:设圆心C的坐标为(a, b) . 因为圆心C在直线 l :
分析: 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆 ,
三角形有唯一的外接圆 . 显然已知的三个点不在同一条直
线上 . 只要确定了a, b, r , 圆的标准方程就确定了.
例2 △ABC的三个顶点分别是A(5, 1) , B(7, -3) , C(2,
-8) , 求△ABC的外接圆的标准方程.
2
2
2
解: 设所求的方程是 x - a + y - b = r
人教A版高中数学必修二4.1.1 圆的标准方程 课件(共16张PPT)
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
六.小结
1.圆心是 A(a,b)，半径为r的圆A的标准方程是(x–a)2+(y–b )2=r2 2.点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系
几何法 先求出点M与圆心A的距离d
（1）若点M在圆A上，则d=r; （2）若点M在圆A内，则 d<r; （3）若点M在圆A外，则 d>r.
数与形,本是相倚依 焉能分作两边飞 数无形时少直觉 形少数时难入微 数形结合百般好 隔离分家万事休 切莫忘,几何代数统一体 永远联系莫分离
—— 华罗庚
O
平面直角坐标系
数
直线方程 1.点斜式方程 ������ − ������������ = ������(������ − ������������)
r2
③
展开平方后，
(x–2)2+(y+3)2=y25.
① ②得:a 2b 8 0
A(5,1)
③-②得:a b 1 0
几
解得a=2,b=-3,r=5.
代
何
O M
(6,-1) x B(7,-3)
∴ △ABC的外接圆方程为
数
(x–2)2+(y+3)2=25.
法
C(2,-8)
kAB 2
(1 a)2 (1 b)2 r 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2
ab1 0
a 3 解得 b 2
r 5
∴圆C方程是(x-3)2+(y-2)2=25.
代
何
O
x
数
法
C
圆的标准方程精品课件
3
证明
设P和Q是圆上关于任意直线l对称的两点，则 AP=BQ，且PO=QO。由于PQ与l垂直，所以 △APO≌△BQA，从而证明了P和Q关于l对称。
06 圆的实际应用
生活中的圆的应用
交通工具
车轮、自行车轮胎、火车 铁轨等都采用了圆形的结 构，使得运动更加平稳和 高效。
建筑学
建筑物的窗户、门洞、柱 基等常采用圆形或圆弧形， 不仅美观大方，而且符合 结构力学原理。
圆的弦长定理
总结词
弦长与半径的关系
详细描述
在圆中，通过圆心的弦被平分，并且弦长等于两个半径之和。如果弦不经过圆心，则弦长小于两个半径之和。这 个定理用于计算弦的长度以及与半径之间的关系。
04 圆的面积与周长
圆的面积计算公式
圆的面积计算公式
$S = pi r^{2}$，其中$S$表示圆的面积，$r$表示圆的半径。
圆的标准方程的图形表示
以圆心为坐标原点，以半径为长度单 位，在平面直角坐标系中画出的圆形。
圆的标准方程推导
推导过程
通过将圆上任一点的坐标表示为$(x, y)$，利用点到圆心 的距离等于半径的性质，将圆的方程转化为标准形式。
推导步骤
设圆上任一点$P(x, y)$，圆心$O(h, k)$，半径为$r$，则 $OP = r$，即$sqrt{(x - h)^{2} + (y - k)^{2}} = r$，平 方两边得到标准方程。
自然界
自然界中许多物体呈现圆 形或类圆形，如星球、花 朵、叶子等。
02 圆的标准方程
圆的标准方程形式
圆的标准方程
圆的标准方程的应用
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$， 其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半径。
4.1.1《圆的标准方程》课件人教新课标
或OM0 MM0 0
过圆x2+y2=r2上一点M0(x0，y0)的切线方程
x0x+y0y=r2
练一练
1.写出过圆x2+y2=10上一点 M(2, 6)的 切线方程. 2.已知圆的方程是x2+y2=1,求斜率等 于1的圆的切线方程.
xy 2 0
课堂小结
圆 圆的标准方程 应用
形
数
求圆的方程 切线问题 位置关系
y
C
(x 1)2 ( y 3)2 256 O M
x
25
变式：求圆心在直线2x-y-3=0上，且过 点A(5,2),B(3,-2)的圆的标准方程.
方法一：设圆心为C(a,2a-3)，利用|CA|=|CB| 求得a=2，所以C(2,1),r=|CA|,从而求得圆的方 程.
方法二：圆心可以通过线
段AB的中垂线与已知直线
的距离不变，
y
探求:能否求出机器人运动的轨
迹方程？
O •C(5, 3) x
第四章 圆与方程 高一数学 必修2
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
学习目标：
1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程 ； 2.进一步培养同学们用解析法研究几何问题的能力 .
探索新知
根据圆的定义，我们来求圆心是 C(a，b),半径是r的圆的方程.
A
●
的交点来实现.
C
方法三：待定系数法.
2x-y-3=0 B
题型三：求圆的切线方程
例3.已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆
上一点M0(x0，y0)的切线方程.
解法研究
y
M0(x0,y0)
1.用点斜式求解； o
过圆x2+y2=r2上一点M0(x0，y0)的切线方程
x0x+y0y=r2
练一练
1.写出过圆x2+y2=10上一点 M(2, 6)的 切线方程. 2.已知圆的方程是x2+y2=1,求斜率等 于1的圆的切线方程.
xy 2 0
课堂小结
圆 圆的标准方程 应用
形
数
求圆的方程 切线问题 位置关系
y
C
(x 1)2 ( y 3)2 256 O M
x
25
变式：求圆心在直线2x-y-3=0上，且过 点A(5,2),B(3,-2)的圆的标准方程.
方法一：设圆心为C(a,2a-3)，利用|CA|=|CB| 求得a=2，所以C(2,1),r=|CA|,从而求得圆的方 程.
方法二：圆心可以通过线
段AB的中垂线与已知直线
的距离不变，
y
探求:能否求出机器人运动的轨
迹方程？
O •C(5, 3) x
第四章 圆与方程 高一数学 必修2
4.1 圆的方程
4.1.1 圆的标准方程
学习目标：
1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程 ； 2.进一步培养同学们用解析法研究几何问题的能力 .
探索新知
根据圆的定义，我们来求圆心是 C(a，b),半径是r的圆的方程.
A
●
的交点来实现.
C
方法三：待定系数法.
2x-y-3=0 B
题型三：求圆的切线方程
例3.已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过圆
上一点M0(x0，y0)的切线方程.
解法研究
y
M0(x0,y0)
1.用点斜式求解； o
圆的标准方程ppt课件完整版x
圆的基本要素
圆心、半径、直径、弧、弦等。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示 。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
直径
通过圆心且两端点都在圆 上的线段，用字母d表示 ，且d=2r。
圆的周长和面积公式
圆的周长公式
C=2πr，其中π为圆周率，约等于3.14159。
圆的面积公式
02
其中，$(a, b)$ 为圆心坐标，$r$ 为圆的半径。
标准方程中各参数意义
$a$ 和 $b$ 分别表 示圆心的横坐标和纵 坐标。
$(x - a)^{2}$ 和 $(y - b)^{2}$ 分别表示 点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的水平和垂 直距离的平方。
$r$ 表示圆的半径， 即从圆心到圆上任一 点的距离。
分析物体的受力情况
在某些物理问题中，可以通过分析物体运动轨迹的形状（如圆形 或椭圆形）来推断物体所受的力。
其他领域应用举例
工程测量
在工程测量中，经常需要确定一 些圆形结构（如管道、井盖等） 的位置和大小，这时可以利用圆 的方程来进行精确测量和计算。
经济学
在经济学中，有时会用圆形来表示 市场供需平衡的状态，通过圆的方 程可以分析市场价格的波动和变化 趋势。
3. 将以上两部分相加，并加 上常数项 12，得到 $(x 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 1$ 。
04
05
4. 从中可以看出，圆心坐标 为 $(2, -3)$，半径 $r = 1$
。
03
圆的图像与性质分析
圆心位置对图像影响
圆心决定圆的位置
圆心、半径、直径、弧、弦等。
圆心、半径与直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母O表示 。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母r表示。
直径
通过圆心且两端点都在圆 上的线段，用字母d表示 ，且d=2r。
圆的周长和面积公式
圆的周长公式
C=2πr，其中π为圆周率，约等于3.14159。
圆的面积公式
02
其中，$(a, b)$ 为圆心坐标，$r$ 为圆的半径。
标准方程中各参数意义
$a$ 和 $b$ 分别表 示圆心的横坐标和纵 坐标。
$(x - a)^{2}$ 和 $(y - b)^{2}$ 分别表示 点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的水平和垂 直距离的平方。
$r$ 表示圆的半径， 即从圆心到圆上任一 点的距离。
分析物体的受力情况
在某些物理问题中，可以通过分析物体运动轨迹的形状（如圆形 或椭圆形）来推断物体所受的力。
其他领域应用举例
工程测量
在工程测量中，经常需要确定一 些圆形结构（如管道、井盖等） 的位置和大小，这时可以利用圆 的方程来进行精确测量和计算。
经济学
在经济学中，有时会用圆形来表示 市场供需平衡的状态，通过圆的方 程可以分析市场价格的波动和变化 趋势。
3. 将以上两部分相加，并加 上常数项 12，得到 $(x 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 1$ 。
04
05
4. 从中可以看出，圆心坐标 为 $(2, -3)$，半径 $r = 1$
。
03
圆的图像与性质分析
圆心位置对图像影响
圆心决定圆的位置
圆的标准方程说课课件PPT谢春霞
例题2
已知圆C的方程为$x^2+y^2=r^2$，直线$l$经过圆心 $O$且与圆交于两点$A$和$B$，求线段$AB$的中点坐标。
解析
根据直径对称性质，线段$AB$的中点即为圆心$O$，因此 中点坐标为$(0,0)$。
例题3
已知圆C的方程为$x^2+y^2=r^2$，点$P(x_0,y_0)$在圆 上，将点$P$绕圆心$O$逆时针旋转$alpha$角度后得到点 $Q(x_1,y_1)$，求点$Q$的坐标。
CHAPTER
圆与直线位置关系判断
直线与圆相交条件
圆心到直线的距离小 于半径
直线与圆有两个交点
直线方程与圆方程联 立后有两个实数解
直线与圆相切条件
圆心到直线的距离等于半径 直线方程与圆方程联立后有一个重根
直线与圆有一个切点
直线与圆相离条件
圆心到直线的距离大于半径 直线方程与圆方程联立后无实数解
06
CHAPTER
课堂练习与课后作业布置
课堂练习题目选讲
题目一
已知圆的方程为$(x-a)^2+(yb)^2=r^2$，求圆心坐标和半径。
题目二
已知圆心坐标和半径，写出圆的 标准方程。
题目三
判断点$P(x_0,y_0)$是否在圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$内。
课后作业题目安排
1 2
圆心、半径和直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母$O$表 示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母$r$表示。
直径
通过圆心且两端都在圆上 的线段，用字母$d$表示， 且$d = 2r$。
02
CHAPTER
已知圆C的方程为$x^2+y^2=r^2$，直线$l$经过圆心 $O$且与圆交于两点$A$和$B$，求线段$AB$的中点坐标。
解析
根据直径对称性质，线段$AB$的中点即为圆心$O$，因此 中点坐标为$(0,0)$。
例题3
已知圆C的方程为$x^2+y^2=r^2$，点$P(x_0,y_0)$在圆 上，将点$P$绕圆心$O$逆时针旋转$alpha$角度后得到点 $Q(x_1,y_1)$，求点$Q$的坐标。
CHAPTER
圆与直线位置关系判断
直线与圆相交条件
圆心到直线的距离小 于半径
直线与圆有两个交点
直线方程与圆方程联 立后有两个实数解
直线与圆相切条件
圆心到直线的距离等于半径 直线方程与圆方程联立后有一个重根
直线与圆有一个切点
直线与圆相离条件
圆心到直线的距离大于半径 直线方程与圆方程联立后无实数解
06
CHAPTER
课堂练习与课后作业布置
课堂练习题目选讲
题目一
已知圆的方程为$(x-a)^2+(yb)^2=r^2$，求圆心坐标和半径。
题目二
已知圆心坐标和半径，写出圆的 标准方程。
题目三
判断点$P(x_0,y_0)$是否在圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$内。
课后作业题目安排
1 2
圆心、半径和直径
01
02
03
圆心
圆的中心，用字母$O$表 示。
半径
连接圆心和圆上任意一点 的线段，用字母$r$表示。
直径
通过圆心且两端都在圆上 的线段，用字母$d$表示， 且$d = 2r$。
02
CHAPTER
2.1圆的标准方程课件(北师大版)
PART
3
信息交流，揭示规律
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------圆心C(a,b),半径r
y
( x a ) ( y b) r
PART
4
运用规律，解决问题
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------例3：已知两点 (, )和 (, ), 求以
PART
1
设计问题，创设情境
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------在平面直角坐标系中，两点能够确定一条
直线，一点和直线的倾斜角也能确定一条直
为 5,1 , (7, −3),(2, −8),求它的外接圆的
标准方程。
y
A(5,1)
O
x
C
D(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
B(7,-3)
半径：圆心到圆上一点
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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圆心在y轴上的圆的方程 .
15
例3：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。
思考：（1）本题关键是求出什么？
（2）怎样求出圆的半径？
解：因为圆C和直线3x-4y-7=0相切,所以
圆心C到这条直线的距离等于半径r y
根据 点到直线的距离公式 ，得
| 3×1— 4×3 — 7 |
M r
C
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式，点M适 O
x
合的条件可表示为：
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
说明：
把上式两边平方得：
1、明确给出了圆心坐标 和 半径。
(x-a) 2+(y-b) 2 = r2
.
2、确定圆的方程必须具 备三个独立条件。
10
在推导过程中我们所用到的几点
y
提纲
r M(x,y)
C
(1) 求曲线方程的一般步骤是
O
建系设点 写出点集
列出方程
化简
x 证明 .
(2) 圆是平面内到定点的距离等于定长 的点的集合；
（3) 推导中利用了 两点间的距离 公式进行坐标化；
（4）圆心是C(a,b)，半径是r的圆的标准方程是
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 .
教学难点
根据条件,利用待定系数法确定圆的三个参数a、b、r， 从而求出圆的标准方程
教学方法
引导法
引导学生按照求曲线方程的一般步骤根据条件归纳出 圆的标准方程
.
3
复习提纲
1.已知A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=
xx2yy2
2
1
2
1
;
2.已知点P（xo,yo）,直线L：Ax+By+C=0，则
r=
=
32+(-4)2
16 5
C
M
因此所求圆的方程是
(x-1)2+(y-3)2=
256 25
O
x
练习巩固
1.以（3，-4）为圆心，且过点（0，0）的 圆的方程是 (x-3) 2+(y+4)2=25 .
2.已知直线x-y+b=0与圆x 2+y2=8相切， 则b= 4或-4 .
.
17
小结 (1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为： x2 + y2 = r2
点P到直线L的距离 d =
Ax By C
0
0
A2 B2
34..已若知A(xa 1, y1 )x ,B,(y x2, ,yb 2) , 则x A,By ， =则
(x2-x1,y2-y1） ；
a b 的充要条件
是 x1x2y1 1y21 0；2 2
.
4
.
5
.
6
.
7
如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆
(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数， 因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已 知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐 标列方程的问题一般采用圆的标准方程。
作业
习题7.7 P81 1、2
课外思考题
1.求圆心C在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点 A(-1 , 1)、 B(1,-1)的圆的方程。
(1)圆心在点C(2,3 )，半径是5
(2) 圆心在点C(-5,-3)， 半径是4
解(1)(x-2)2+(y-3)2 =25 (2)(x+5)2+(y+3)2 =16 练习. 写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)(x-1)2+y2 =6
(1,0) 6
(2)(x+1)2+(y-2)2 =9 (-1,2) 3
11
圆的标准方程
• 以 C（a, b）为圆心, r 为半径之圆
• 其标准方程为
y
M(x,y)
(x-a)2+(y-b)2=r2
C
圆的标准方程有哪些特点？
o
x
①是关于x、y的二元二次方程；
②方程明确给出了圆心坐标和半径；
③确定圆的方程必须具备三个独立条件即a、b、r。
.
12
例1.写出下列各圆的方程：
2.试推导过圆x2+y2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程.
(3)(x+a)2+y2 =a2
(-a,0) |a|
y
r
r
O (a,0) x (x-a)2+y2=a2
y
y
x2+y2=r2
C(a,a)
C(a,b)
O
x
(x-a)2+(y-a)2=a2
.
O
x
(x-a)2+(y-b)2=a2+14b2
例2、已知A（-4，-5）、B（6，-1），求以线段
AB为直径的圆的标准方程
解：假设AB的中点为O（a ，b），则O为所求圆 的中点 根据中点公式：a=（-4+6)/2=1
b=(-5-1)/2=-3
所以圆心O(1,-3) 假设半径为r
则r2 = (6-1)2 + (-1+3)2 =29 所以圆的标准方程是(x-1)2 + (y+3)2 =29
练习:求经过两点A(-1,-4)、（3，2）且
X
.
1
教学目标
（一）教学知识点
圆的标准方程 (二)能力训练要求 1.掌握圆的标准方程 2.能根据圆心坐标、半径熟练的写出圆的标准方程 3.从圆的标准方程熟练的求出圆心和半径
(三)德育渗透目标
1.渗透数形结束思想
2.培养学生的思维能力
3.提高学生的思维能力
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教学重点
已知圆的圆心为(a,b),半径为r，则圆的标准方程是 （x-a）2+（y-b）2=r2,特别的当a=b=0时,它表示圆 心在原点,半径为r的圆x2+y2=r2
拱跨度AB=20m， 拱高OP=4m，在建造时每隔
4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精 确到0.01m)
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圆ห้องสมุดไป่ตู้定义：
平面内与定点距离等于定长的 点的轨迹叫做圆。
其中，定点就是圆心，定长就是半径
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推导：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
设M(x,y)是圆上任意一点，
y
根据定义，点M到圆心C的 距 离等于r，所以圆C就是集合