平面极坐标
第四章平面问题的极坐标解答（讲）
第四章平面问题的极坐标解答§4-1 极坐标中的平衡微分方程对于由径向线和圆弧线围成的圆形、圆环形、楔形、扇形等的弹性体，宜用极坐标求解。
因为用极坐标表示其边界线非常方便，从而使边界条件的表示和方程的求解得到很大的简化。
在极坐标中，平面内任一点P的位置，用径向坐标ρ及环向坐标ϕ来表示，图4-1。
极坐标和直角坐标都是正交坐标系，但两者有如下区别：在直角坐标系中，x和y坐标线都是直线，有固定的方向，x和y坐标的量纲都是L。
在极坐标系中，ρ坐标线（ϕ=常数）和ϕ坐标线（ρ=常数）在不同的点有不同的方向；ρ坐标线是直线，而ϕ坐标线为圆ϕ坐标为量纲一的量。
这些区别将引弦曲线；ρ坐标的量纲是L，而起弹性力学基本方程的差异。
为了表明极坐标中的应力分量，从所考察的薄板或长柱形体中取出任一厚度等于1的微分体PACB，在xy平面上，这个微分体是由两条径向线（夹角为d ϕ）和两条环向线（距离为ρd ）所围成，如图所示，沿ρ方向的正应力称为径向正应力，用ρσ代表；沿ϕ方向的正 应力称为环向正应力或切向正应力，用ϕσ代表；切应力用ϕρρϕττ及代表（根据切应力的互等关系，ϕρρϕττ=）。
各应力分量的正负号规定和直角坐标中一样，只是ρ方向代替了x 方向，ϕ方向代替了y 方向。
即正面上的应力以沿正坐标方向为正，负面上的应力以沿负坐标方向为正，反之为负。
图中所示的应力分量都是正的。
径向及环向的体力分量分别用ϕρf f 及代表，以沿正坐标方向为正，反之为负。
与直角坐标中相似，由于应力随坐标ρ的变化，设PB 面上的径向正应力为ρσ，则AC 面上的将为ρρσσρρd ∂∂+；同样，这两个面上的切应力分别为ρϕρϕττ及+ρρσϕd ∂∂。
PA 及BC 两个面上的环向正应力分别为ϕσ及ϕσ+ϕρσϕd ∂∂；这两个面上的切应力分别为ϕϕτττϕρϕρϕρd ∂∂+及。
对于极坐标中所取的微分体，应注意它的两个ρ面PB 及AC 的面积不相同，分别等于()ϕϕρϕρd d d +及；两个ϕ面PA 及BC 的面积都等于d ρ，但此两面不平行。
极坐标系知识点
极坐标系知识点关键信息项：1、极坐标系的定义2、极坐标的表示方法3、极坐标与直角坐标的转换公式4、极坐标系中的曲线方程5、极坐标系下的面积计算6、极坐标系在物理学和工程学中的应用11 极坐标系的定义极坐标系是一个二维坐标系，在平面内取一个定点 O，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。
对于平面内任何一点 M，用ρ 表示线段 OM 的长度，θ 表示从 Ox 到 OM 的角度，ρ 叫做点 M 的极径，θ 叫做点 M 的极角，有序数对（ρ,θ) 就叫点 M 的极坐标。
111 极坐标系的特点极坐标系中的点与极径和极角一一对应。
但极角的取值范围一般规定在0, 2π) 内。
112 极坐标系与直角坐标系的区别直角坐标系通过横坐标和纵坐标确定点的位置，而极坐标系通过极径和极角来确定点的位置。
12 极坐标的表示方法点 M 的极坐标可以表示为（ρ,θ)，其中ρ 为正数时，表示点 M 在极轴的逆时针方向上与极点 O 的距离为ρ；ρ 为负数时，表示点 M 在极轴的顺时针方向上与极点 O 的距离为｜ρ|。
121 极坐标的多值性由于极角的周期性，同一个点在极坐标系中的表示不唯一。
13 极坐标与直角坐标的转换公式设点 M 的直角坐标为（x, y)，极坐标为（ρ,θ)，则有：x ＝ρ cosθy ＝ρ sinθρ² ＝ x²＋ y²tanθ ＝ y ／ x （x ≠ 0）131 转换公式的应用通过这些公式，可以在极坐标和直角坐标之间进行相互转换，便于解决不同类型的问题。
14 极坐标系中的曲线方程常见的极坐标曲线方程有：圆：ρ ＝ a （以极点为圆心，a 为半径的圆）直线：θ ＝α （过极点且与极轴夹角为α 的直线）141 特殊曲线的极坐标方程推导例如，对于圆心在（a, 0) 且半径为 a 的圆，其极坐标方程为ρ ＝2a cosθ。
15 极坐标系下的面积计算对于由极坐标曲线围成的区域，其面积可以通过积分来计算。
平面直角坐标系和极坐标
第二节平面直角坐标系和极坐标为了需要，复习一下平面坐标系（直角坐标系和极坐标）一平面直角坐标系1．平面直角坐标系的建立为了确定平面上点的位置：（1）在平面上选定两条互相垂直的直线，并指定正方向（用箭头表示）；（2）以两直线的交点O作为原点；（3）选取任意长的线段作为两直线的公共单位长度；这样，我们就说在平面上建立了一个直角坐标系（图1-2-1）图1-2-1这两条互相垂直的直线叫做坐标轴，习惯上把其中的一条放在水平的位置上，从左到右的方向是正方向，这条轴叫做横坐标轴，简称为横轴或x轴，与x轴垂直的一条叫做纵坐标轴，简称为纵轴或y轴，从下到上的方向是它的正方向。
2. 平面上点的坐标建立了直角坐标系后，平面上的任意一点P的位置就可以确定了，方法是这样的：由P点分别作y轴和x轴的平行线，交点分别是M和N,设x轴上的有向线段OM的数量是a，y轴上有向线段ON的数量是b，我们称a是P点的横坐标，b是P点的纵坐标，写成形式（a，b），这样的一对有序实数（a，b）叫做P点的坐标。
反过来，易知任意一对实数（a，b），都可以确定平面上的一个点.由上面的分析，可以得到下面的结论：在给定的直角坐标系下，对于平面上的任意一点P，我们可以得到唯一的有序实数对（a，b）来和它对应；反过来，对于任何有序实数对，在平面上就能确定唯一的点，这个点的坐标是（a，b）。
就是说，平面上的点和有序实数对（a，b）之间建立了一一对应得关系。
我们在代数里已经知道坐标轴把平面分成了四个部分，每一部分是一个象限。
根据数轴上有向线段的数量，可以理解第I 象限内的点的坐标的符号是（+，+），第II 象限内的是（—，+），第III 象限内的是（—，—），第IV 象限内的是（+，—）。
坐标轴上的点不属于任何象限，在x 轴的正方向上的点，坐标的符号是（+，0）；负方向上的点的坐标符号是（—，0）。
同理， 在y 轴的正方向上的点，坐标的符号是（0，+）；负方向上的点的坐标符号是（0，—）。
第四章平面问题的极坐标解答
r 2 r r r 2 2
式中 (r, ) ，为应力函数。
应力函数与应力分量之间的关系，可按下述方法导出。
我们注意到，当 0时，x、y 轴分别与r、 轴重
合，此时应力分量
x、
y、
分别与应力分量
xy
r、 、 r 对应
r
( x ) 0
2
dr 2 r dr dr 2 r dr
展开上式得：
r 4 d 4 2r 3 d 3 r 2 d 2 r d 0
dr4
dr3
dr2 dr
这是一个变系数欧拉方程，其通解为
Aln r Br 2 ln r Cr 2 D
式中，A、B、C、D是待定系数。将代入式 （4-8），得应力分量：
1 E
(
r ),
r
2(1
E
)
r
或者
r
E
1 2
( r
),
E
1 2
(
r ),
r
E
2(1
)
r
4. 边界条件
力的边界条件：
r l r m Tr
r l m T
力均对称于它的中心轴(z)，故其应力只与r有关，
与极角无关，由于对称性，只有正应力，而剪应 力为零，称此类问题为平面轴对称问题。对于象曲 杆纯弯曲这类问题，其应力也具有这种特点(与θ 无关)，但结构不具有对称性，称为应力轴对称问题。
由应力分布的上述特点，可假设应力函数形式为：
(r)
相容方程： ( d 2 1 d )( d 2 1 d ) 0
极坐标法测设平面点位课件
实例三：测设一个场地的边界线交点坐标
总结词
通过极坐标法，可以高效地测设场地的边界线交点坐标，为场地规划和设计提供 可靠依据。
详细描述
在测设场地边界线交点坐标时，可以先确定两个边界线的交点，然后使用极坐标 法计算出交点的坐标。同时，可以根据需要测量和计算场地的面积和周长，为场 地规划和设计提供全面、准确的数据支持。
04
极坐标法测设平面点位的应
用实例
实例一：测设一个建筑物的角点坐标
总结词
通过极坐标法，可以准确测设建筑物的角点坐标，确保施工的精确性。
详细描述
极坐标法是一种基于极坐标系进行测量和定位的方法，通过已知的两个角度和距离信息，可以确定一个点的平面 坐标。在测设建筑物角点坐标时，可以先确定两个参照点，然后使用极坐标法计算出各个角点的坐标，最后进行 校核和调整。
极坐标法的基本原理
极坐标法是一种利用极坐标系进行测量和定位的方法，适 用于测量平面点位。通过将极坐标系与直角坐标系进行转 换，可以方便地求出点的坐标。
极坐标法的应用范围
极坐标法广泛应用于各种工程领域，如道路、桥梁、隧道 等。在这些领域中，极坐标法可以用来进行测量、定位和 放样等工作。
极坐标法的优缺点
观测距离与角度
观测测站点与目标点之间的距 离和角度，记录数据。
计算目标点坐标
根据观测数据和计算公式，计 算目标点的坐标。
极坐标法测设平面点位的精度分析
01
02
03
距离误差
由于观测距离的误差，会 导致目标点坐标的误差。
角度误差
由于观测角度的误差，也 会导致目标点坐标的误差 。
外界因素影响
风、雨、温度等外界因素 也会对观测结果产生影响 。
极坐标跟直角坐标
极坐标与直角坐标概述在数学中，极坐标和直角坐标是两种用于描述平面上点的坐标系统。
它们在不同的数学问题中具有不同的适用性。
本文将介绍极坐标和直角坐标的概念、转换关系以及它们在不同领域的应用。
极坐标极坐标系统是一种通过点的极径（距离原点的长度）和极角（与一个固定轴的夹角）来确定点在平面上位置的坐标系统。
一个点的极坐标用(r, θ)表示，其中r代表极径，θ代表极角。
极径r通常是一个非负数，而极角θ通常以弧度表示。
在极坐标系统中，原点的极坐标为(0, 0)。
正极轴为角度为0的射线，极角逆时针增加，极角为0到2π之间的点位于同一射线上。
极径为r的点位于以原点为中心，半径为r的圆上。
直角坐标直角坐标系统，也称为笛卡尔坐标系统，是通过点在两个互相垂直的轴上的投影来确定其在平面上的位置。
一个点的直角坐标用(x, y)表示，其中x代表点在x 轴上的投影，y代表点在y轴上的投影。
在直角坐标系统中，原点的坐标为(0, 0)。
x轴是垂直于y轴的水平线，y轴是垂直于x轴的竖直线。
直角坐标系将平面分为四个象限，第一象限的点的x坐标和y坐标都是正数，第二象限的x坐标为负数而y坐标为正数，以此类推。
极坐标与直角坐标的转换极坐标和直角坐标之间存在一种转换关系。
给定一个点的极坐标(r, θ)，可以通过以下公式将其转换为直角坐标(x, y)：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)而给定一个点的直角坐标(x, y)，可以通过以下公式将其转换为极坐标(r, θ)：r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan2(y, x)这些转换公式使得我们可以在极坐标和直角坐标之间自由切换，方便进行各种数学计算。
应用领域极坐标和直角坐标在不同的领域中具有广泛的应用。
在几何学中，极坐标系统常用于描述和分析曲线的形状，特别是极坐标方程可以简化特定类型的曲线方程。
在工程学和物理学中，极坐标系统常用于描述旋转和圆周运动。
例如，在机械工程领域，极坐标可以方便地描述旋转物体的位置和运动。
极坐标原理
极坐标原理极坐标是一种描述平面上点位置的数学工具，它以点到原点的距离和点与某一固定线（通常是x轴）的夹角来确定点的位置。
极坐标系统在数学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用，它为描述和分析复杂的曲线、图形和运动提供了便利的工具。
在本文中，我们将介绍极坐标的基本原理及其在实际应用中的重要性。
首先，让我们来了解一下极坐标的基本概念。
在极坐标系统中，每个点的坐标用一个有序对(r,θ)来表示，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与固定线的夹角。
这种表示方法与直角坐标系(x,y)不同，它更适合描述圆形、弧线和旋转运动。
通过极坐标，我们可以更直观地理解和描述这些曲线和运动。
极坐标的转换公式是r = √(x^2 + y^2)，θ = arctan(y/x)，其中x和y分别表示点在直角坐标系中的坐标。
这些公式可以帮助我们将一个点的坐标从直角坐标系转换到极坐标系，或者反过来。
通过这些转换公式，我们可以在不同的坐标系中进行方便的计算和分析。
在物理学和工程学中，极坐标系统有着重要的应用。
例如，在描述物体的旋转运动时，极坐标可以更清晰地表达物体的角速度、角加速度和角位移。
此外，在分析电磁场、流体力学、声学等问题时，极坐标也可以简化问题的描述和求解过程，为工程设计和科学研究提供便利。
除此之外，极坐标还在数学分析和几何学中发挥着重要作用。
通过极坐标，我们可以更直观地理解和分析曲线的形状、对称性和变化规律。
极坐标系下的积分、微分等运算也有其独特的形式和应用。
因此，掌握极坐标的原理和运用方法对于理解数学和几何学的深层结构是非常重要的。
总之，极坐标原理是一种重要的数学工具，它在描述和分析曲线、图形和运动时有着独特的优势。
通过极坐标，我们可以更直观、更方便地理解和处理各种复杂的问题。
因此，对极坐标原理的深入理解和应用将对我们的学习和工作带来很大的帮助。
希望本文能够帮助读者更好地理解极坐标原理，并在实际应用中发挥其重要作用。
极坐标的基本公式
极坐标的基本公式极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统，它使用极径和极角来表示点的位置。
极径表示点到原点的距离，而极角表示点与正半轴的夹角。
在极坐标系统中，点的坐标可以用一个有序对(r, θ)来表示，其中r是极径，θ是极角。
极坐标的基本公式是通过将直角坐标系中的点的坐标转换为极坐标系中的坐标来得到的。
这个公式可以用来计算点在极坐标系中的坐标，也可以用来将极坐标系中的坐标转换为直角坐标系中的坐标。
要将直角坐标系中的点的坐标(x, y)转换为极坐标系中的坐标(r, θ)，可以使用以下公式：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)其中，√表示平方根，arctan表示反正切函数。
这个公式可以通过计算点到原点的距离和点与正半轴的夹角来得到点在极坐标系中的坐标。
同样地，要将极坐标系中的坐标(r, θ)转换为直角坐标系中的坐标(x, y)，可以使用以下公式：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，cos表示余弦函数，sin表示正弦函数。
这个公式可以通过计算极径和极角对应的直角坐标来得到点在直角坐标系中的坐标。
极坐标的基本公式是极坐标系和直角坐标系之间的桥梁，它使我们能够在不同的坐标系中描述点的位置。
通过这个公式，我们可以方便地进行坐标的转换和计算。
总结一下，极坐标的基本公式包括将直角坐标系中的点的坐标转换为极坐标系中的坐标的公式，以及将极坐标系中的坐标转换为直角坐标系中的坐标的公式。
这些公式为我们在不同的坐标系中描述点的位置提供了便利，使我们能够更加灵活地进行计算和分析。
希望通过本文的介绍，读者能够对极坐标的基本公式有一个更加清晰的理解，并能够灵活运用这些公式进行问题的求解和分析。
极坐标的基本公式是数学中的重要工具，它在物理、工程、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
通过深入学习和理解这些公式，我们可以更好地掌握相关领域的知识和技能，为实际问题的解决提供有力的支持。
第四章平面极坐标
对于平面应变问题，只须作如下同样四章 平面问题的极坐标解答
边界条件
边界条件—应用极坐标时，弹性体的 边界面通常均为坐标面，即：
常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
第四章 平面问题的极坐标解答
思考题
1、试考虑在导出几何方程时，考虑到哪一
第四章 平面问题的极坐标解答
坐标变换
1.从直角坐标系到极坐标系的变换 坐标变量的变换：
x cos ,
反之
2 2
y sin ;
(a) (b)
y x y , arctan 。 x
Φ ( x, y ) Φ ( ρ,υ)。
函数的变换：将式(a) 或 (b) 代入，
υ
F 0
1 2
f 0。
(b)
第四章 平面问题的极坐标解答
式(b)中第一、二、四项与直角坐标的方程 相似，而
τ ρυ ρ
τ υρ ρ
—是由于 ρ面的面积大于 ρ 面引起的， —是由于 面上的切应力τ υρ 在C点
出平衡条件，证明式（4－1）在二阶微量
的精度内总是相同的。
第四章 平面问题的极坐标解答
§4－2
极坐标中的几何方 程及物理方程
几何方程—表示微分线段上形变和位移 之间的几何关系式 。 过任一点 段,
ρ,υ作两个沿正标向的微分线
PB d。
PA d ,
第四章 平面问题的极坐标解答
几何方程
第一节 第二节 第三节
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程及物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程
第四节
第五节
应力分量的坐标变换式
轴对称应力和相应的位移
2-7极坐标系
& & v = ρe ρ + ρϕeϕ && && & && a = ( ρ − ρϕ )e ρ + ( ρϕ + 2 ρϕ )eϕ
2
径向速度 横向速度
dθ v v e 通常圆周运动时径向速度为0，这时： 通常圆周运动时径向速度为 ，这时： v(t) = r θ dt
这时常引入角速度矢量 定义： 定义：
ω
r
dθ 大 ：ω = 小 v = rω dt v v v 方 ：ω er e 满足右手定则 向 、 、θ
ω
v
质点的加速度为： 质点的加速度为： v v er e o v θ dθ v v dv d dr v a = = ( er +r e ) θ dt dt dt dt d2r dθ 2 v d2θ dr dθ v v v = 2 −r( ) er +r 2 +2 θ θ e = arer +aθ e dt dt dt dt dt 径向加速度 讨论： 讨论： 横向加速度
ρ
O
ϕ
A x
r (t ) = ρ e ρ
二、径向速度与横向速度
平面极坐标的径向单位矢量和横向单位矢量是随时间变化 是时间的函数，如果将它们用直角坐标来表示， 的，是时间的函数，如果将它们用直角坐标来表示，
e ρ = cos ϕ i + sin ϕ j e ϕ = − sin ϕ i + cos ϕ j
这两个单位矢量随时间的变化为： 这两个单位矢量随时间的变化为：
de ρ dt deϕ dt
& & = ( − sin ϕ i + cos ϕ j )ϕ = ϕ e ϕ & & = ( − cos ϕ i - sin ϕ j )ϕ = − ϕ e ρ
极坐标取值范围
极坐标取值范围极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统。
在极坐标中，一个点的位置由与原点的距离（称为极径）和与一个参考轴（通常为水平轴）的夹角（称为极角）来确定。
极坐标具有许多应用，例如天文学、物理学和工程学等领域。
在极坐标系统中，极径 r 可以是任意非负实数值，而极角θ 的取值范围有一定的限制。
极角的取值通常以弧度制表示，范围在 0 到2π（或 0 到 360°）之间。
下面将详细介绍极角的取值范围，以及对应的平面上的点的位置。
首先，让我们考虑极角θ 的取值范围在 0 到π（或 0 到 180°）之间。
当极角θ等于 0 时，对应于极坐标原点到点的向量与参考轴重合，即在参考轴上。
当极角θ 等于π/2 时，对应于极坐标原点到点的向量与参考轴垂直，即在参考轴上方或下方。
当极角θ 等于π 时，对应于极坐标原点到点的向量与参考轴相反，即在参考轴上的相反一侧。
当极角θ 等于3π/2 时，对应于极坐标原点到点的向量与参考轴垂直，即在参考轴上方或下方。
当极角θ 等于2π 时，对应于极坐标原点到点的向量与参考轴重合，即在参考轴上。
现在，让我们考虑极角θ 的取值范围在π 到2π（或 180°到 360°）之间。
当极角θ 等于π 时，对应于极坐标原点到点的向量与参考轴相反。
当极角θ 等于3π/2 时，对应于极坐标原点到点的向量与参考轴垂直。
当极角θ 等于2π 时，对应于极坐标原点到点的向量与参考轴重合。
在这个范围内，点的位置和前述 0 到π 范围内的位置是完全对称的。
通过上面的描述，我们可以看出，在极坐标中，极径是非负实数，表示点到原点的距离；而极角是有界的，取值范围在 0 到2π（或 0 到 360°）之间。
极坐标系统可以方便地描述平面上的点的位置，并常用于极坐标变换、极坐标方程等数学运算和分析中。
总结一下，极坐标的取值范围规定了极角的范围，即从 0 到2π（或 0 到360°）。
平面问题的极坐标解法
主
要
内
容
§ 4-1 § 4-2 § 4-3 § 4-4 § 4-5 § 4-6 § 4-7 § 4-8 § 4-9 §4-10 §4-11 §4-12
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程与物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力与相应的位移 圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞 曲梁的纯弯曲 圆盘在匀速转动中的应力与位移 圆孔的孔边应力集中 楔形体的楔顶与楔面受力 半平面体在边界上受法向集中力 半平面体在边界上受法向分布力
方程（ － ）中包含三个未知量，而只有二个方程， 方程（4－1）中包含三个未知量，而只有二个方程，是一次超静定 问题，需考虑变形协调条件才能求解。 问题，需考虑变形协调条件才能求解。
§4-2 极坐标中的几何方程与物理方程
1. 几何方程
径向线段PA的相对伸长： 径向线段 的相对伸长： 的相对伸长
O
(1) 只有径向变形，无环向变形。 只有径向变形，无环向变形。
（g） ）
∂uθ uθ + dθ ∂θ
uθ A P′′ α ∂uθ dr 2 A′′ uθ +
∂r
环向线段PB的相对伸长： 环向线段 的相对伸长： 的相对伸长
εθ 2 =
∂uθ P′′B′′ − PB BB′′ − PP′′ uθ + ∂θ dθ −uθ 1 ∂uθ = = = PB PB rdθ r ∂θ
τrθ
r
σθ
θ
σθ θ =0 = 0 τrθ θ =0 = 0
σθ θ =180 = 0 τrθ θ =180 = 0
a
θ
τrθ
σr
的半圆分析，由其平衡得： 取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：
极坐标取值范围
极坐标取值范围
极坐标是一种表示平面点的坐标系，它由该点到原点的距离ρ和该点与x轴正方向的夹角θ组成。
在极坐标中，取值范围与直角坐标系有些不同，以下是极坐标的取值范围的相关参考内容：
1. 距离ρ的取值范围：
极坐标中，距离ρ表示点到原点的距离，因此它的取值范围为[0, +∞)，即从原点到正无穷的区间。
该区间包括所有非负的实数值，表示从原点出发的长度。
2. 角度θ的取值范围：
极坐标中，角度θ表示点与正x轴方向的夹角，可以使用度数或弧度来表示。
常见的度数表示法下，角度θ的取值范围为[0, 360°]，即一个完整的圆周。
这是因为角度θ可以绕圆周不断旋转，取值范围为整个圆周。
在弧度表示法中，角度θ的取值范围为[0, 2π]，即一个完整的圆周。
弧度表示法是数学中常用的角度表示方法，弧度度量了原点到点的弧长与半径之间的比值。
一个完整的圆周对应的弧长为2π，因此弧度θ的取值范围为[0, 2π]。
需要注意的是，极坐标中的角度并不唯一，因为360°与2π弧度对应的是一个完整的圆周。
对于角度θ，可以通过加或减360°（或2π弧度）来得到相同的点。
因此，在极坐标中，同一个点可能有多个不同的极坐标表示。
总结：
极坐标的取值范围包括距离ρ从0到正无穷的区间以及角度θ从0到360°（或0到2π弧度）的区间。
这些取值范围定义了极坐标系中表示点的方式，同时也允许了角度的多重表示。
《平面极坐标》课件
极坐标的连续性
极坐标是连续的
在平面上的任意一点，其极坐标都是唯一的，并且随着点位置的 变化，极坐标是连续变化的。
连续性与可微性的关系
由于极坐标的连续性，平面上的函数在极坐标下通常是可微的。
连续性与积分的联系
连续性使得在平面上的积分问题可以通过极坐标变换简化处理。
03 平面极坐标的几何意义
极坐标与点的位置
谢谢聆听
线段长度不受极角θ的影响，只 与极径ρ有关。
极坐标与圆的面积
01
在极坐标系中，圆的面积可以通过其圆心角的弧度数和 半径来计算。
02
圆的面积A可以通过公式A = θ * (ρ^2) / 2来计算，其 中θ为圆心角的弧度数，ρ为圆的半径。
03
圆的面积与圆心角和半径的乘积成正比，与半径的平方 成正比。
04 平面极坐标的应用
极坐标表示
点P的极坐标为(ρ,θ)，其中ρ表示点P到极点的距离，θ表示点P与极轴之间的夹 角。
极坐标与直角坐标的转换
直角坐标系
在平面上，通过测量点到x轴的距离（横坐标）和点到y轴的角度（纵坐标）来确 定点的位置。
转换公式
x=ρcosθ, y=ρsinθ
极坐标的应用场景
01
物理学
在研究矢量、角速度、磁场等物理量时，极坐标是一个 常用的工具。
参数方程
通过参数 $t$ 描述曲线上点的坐标变化，如圆的参数方程 为 $(rho, theta) = (rcos t, t)$。
曲线的性质
研究曲线的形状、对称性、渐近线等性质，有助于理解其 在极坐标系中的表现。
极坐标系中的面积计算
极坐标面积公式
利用极坐标系中的曲线方程，通过积 分计算曲线下面积的公式，如圆面积 公式为 $int_{0}^{2pi} rho^2 sin theta , dtheta$。
高等数学极坐标
高等数学极坐标在高等数学中，极坐标是一种描述平面上点位置的坐标系统。
与直角坐标系不同，极坐标使用了距离和角度两个参数来确定点的位置。
它在各个领域中都有广泛的应用，特别是在物理学、工程学和计算机图形学等领域。
极坐标的表示方式是(r, θ)，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与正半轴之间的夹角。
在极坐标系统中，原点被称为极点，正半轴被称为极轴。
极坐标与直角坐标之间存在一种转换关系。
给定一个点P的直角坐标(x, y)，可以通过以下公式将其转换为极坐标：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)同样，给定一个点P的极坐标(r, θ)，可以通过以下公式将其转换为直角坐标：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)极坐标的优势之一是它能够简洁地描述圆形和其他对称图形。
对于一个圆形，它的极坐标方程是r = a，其中a是圆的半径。
对于其他对称图形，可以通过一些特定的方程来描述其极坐标形式。
例如，心形曲线的极坐标方程是r = a(1 + cos(θ))，螺旋线的极坐标方程是r = aθ。
极坐标还可以用于描述复数。
在复数的极坐标表示中，实部对应于r，虚部对应于θ。
这种表示方式被称为指数形式，可以用来处理复数的乘法和除法运算。
两个复数相乘时，它们的模相乘，幅角相加。
两个复数相除时，它们的模相除，幅角相减。
极坐标还具有一些特殊的性质和定理。
例如，极坐标系下的直线方程是r = asec(θ - θ0)，其中a表示直线到极点的距离，θ0表示直线与极轴的夹角。
此外，极坐标下的微分元素可以表示为dA = r dr dθ，其中dA表示面积元素。
在物理学中，极坐标常用于描述圆周运动和旋转系统。
对于圆周运动，物体的位置可以用极坐标表示，角度θ表示物体在圆周上的位置，半径r表示物体到圆心的距离。
对于旋转系统，可以通过观察物体在极坐标系下的运动来分析其动力学特性。
在工程学中，极坐标常用于描述天线的辐射模式和声音的传播。
极坐标的表示方法
极坐标的表示方法
极坐标是一种表示平面点的方法，它使用极径和极角来描述点的位置。
极径表示点到坐标原点的距离，极角表示点与参考方向的夹角。
在极坐标中，极径和极角的单位通常是长度单位和角度单位，例如厘米和度。
极坐标可以方便地描述旋转对称的几何形状，如圆、椭圆、花瓣等。
在极坐标中，圆的方程为r=a，其中a是圆的半径；椭圆的方程为r=a(1-e^2)/(1-e*cos(theta))，其中a是半长轴，e是离心率；花瓣的方程为r=a*sin(n*theta)，其中a是花瓣大小，n是花瓣数量。
极坐标的转换公式为x=r*cos(theta)，y=r*sin(theta)，其中x和y分别表示点在直角坐标系中的坐标。
- 1 -。
极坐标表达形式
极坐标表达形式
极坐标是一种表示平面上点位置的坐标系统，其中每个点由它相对于原点的距离（称为极径）和与参考方向（通常是正x 轴）的夹角（称为极角）来确定。
极坐标可以使用以下形式来表示：
(r, θ)
在这个表达形式中，r代表极径，θ代表极角。
具体说明如下：
1. 极径（r）：极径是指从原点到点的距离，可以是正数或零。
它表示点相对于原点的距离，可以是任意非负实数。
2. 极角（θ）：极角是指从参考方向（通常是正x 轴）逆时针旋转到线段所在射线的角度。
极角通常用弧度作为单位，可以是从0到2π的任意实数值。
因此，极坐标形式(r, θ) 表示点相对于原点的距离和与参考方向的夹角。
举例来说，假设有一个点P位于极坐标(r, θ)中，如果r = 3 和θ= π/4，则可以理解为点P与原点的距离为3个单位，并且与参考方向
形成45度的夹角。
需要注意的是，极坐标和直角坐标（笛卡尔坐标）是两种不同的坐标系统，它们可以相互转换。
在直角坐标中，点的位置由其在x 轴和y 轴上的坐标表示，而在极坐标中，点的位置由极径和极角表示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1-2 质点运动的描述之二
伽利略速度变换
v v'u
y
o ut
y'
D o'
r
u
p'
QQ'
绝对速度 相对速度 牵连速度 注意
dr v dt dr ' v' dt
r '
xx '
z
z'
u
u
t t v v' u
dv dv' du 加速度关系 dt dt dt
v2
v
v1
§1-2 质点运动的描述之二
4
a atet anen
an 0 0 π
切向加速度
a tan an t
1ห้องสมุดไป่ตู้
at dv r dt
a
y
v
en
et
0, 0 π , v 增大 2 π a t 0, 2, v 常量 0, π π , v 减小 2
（D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；
（E）若物体的加速度 变速率运动 .
§1-2 质点运动的描述之二
a
为恒矢量，它一定作匀
8
例：一质点作半径为R的圆周运动，其速率满 足 v kRt ， k为常数，求：切向加速度、 法向加速度和加速度的大小。
解： 切向加速度
法向加速度 加速度
2
dv a kR dt 2 2 v ( kRt ) 2 2 an k Rt R r
F v1 O v n v v2 D v E
法向加速度大小等于速率平方除以曲率半径， 方向沿轨道的法线指向。
§1-2 质点运动的描述之二 13
a an
a
加速度总是指向曲线的凹侧
§1-2 质点运动的描述之二 14
小结：一般曲线运动（自然坐标）
ds 其中 d 曲率半径 .
§1-2 质点运动的描述之二
当
接近光速时，伽利略速度变换不成立！
du 若 0 dt
则 a a'
28
例: 如图示，一实验者 A 在以 10 m/s 的速率沿水平轨 道前进的平板车上控制一台射弹器, 此射弹器以与车前进 60 反方向呈 度角斜向上射出一弹丸 . 此时站在地面上的 另一实验者 B 看到弹丸铅直向上运动, 求弹丸上升的高度 .
§1-2 质点运动的描述之二 24
• 在人们的日常生活和一般科技活动中，上述关于 时间和空间的量度的结论是毋庸置疑的。时间和 长度的绝对性是经典力学或牛顿力学的基础。但 是当相对运动的速度接近于光速时，时间和空间 的测量将依赖于相对运动的速度。
• 只是由于牛顿力学所涉及物体的运动速度远小于 光速，所以在牛顿力学范围内，时间和空间的测 量才可以视为与参考系的选取无关。
• 然而，在牛顿力学范围内，运动质点的位移、速 度和运动轨迹则与参考系的选择有关。
• 底下讨论这方面问题。
§1-2 质点运动的描述之二 25
*六 相对运动
物体运动的轨迹依赖于观察者所处的参考系
§1-2 质点运动的描述之二 26
质点在相对作匀速直线运动的两个坐标系中的位移
S系
(Oxyz )
oo'
yy'
v' y v' y '
B
60
v
u
解 地面参考系为 S 系 平板车参考系为 S' 系
tan
速度变换
v'y v'x
A
u
x'
o
o'
x
v x u v'x v y v'y
29
§1-2 质点运动的描述之二
解 地面参考系为 S 系，平板车参考系为
S
'系
vx 0
v'y tan v'x
v x u v'x
v y v'y
1
v'
v
v'x u 10m s
v y v'y v'x tan
u
y v' y '
B
60
v y 17.3m s
弹丸上升高度
1
A
u
x'
o
o'
x
y
v
2 y
2g
15.3m
2 n
a a a
§1-2 质点运动的描述之二
kR k Rt
2 2
2 2
9
*补充：
s
自然坐标系
P
e s Q e
O
在轨道曲线上任取一点为坐标原点， 以“弯曲轨道”作为坐标轴。 P处的坐标即为轨道的长度s (自然坐标)
运动方程 s s( t ) 方向描述 作相互垂直的单位矢量 e
18
所以质点的运动方程为：
(2)上式中消去t,得y=3x2 即为轨道方程。可知是 抛物线。
§1-2 质点运动的描述之二 19
§1-2 质点运动的描述之二
20
例3： 如图一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率为 1940 km/h , 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率为 2192 km/h , 所经历的时间为 3s , 设圆弧 AB的半径约为 3.5km , 且飞机从A 到B 的俯冲过程可视为匀变速率圆 周运动 , 若不计重力加速度的影响, 求: (1) 飞机在点B 的加速度; (2)飞机由点A 到点B 所经历的路程 . 解（1）因飞机作匀变速率 vA A 运动所以 a t 和 为常量 . B dv
切向加速度（速度大小变化引起）
2s d v d at r 2 dt dt
法向加速度（速度方向变化引起）
o
v2 et 2 v1 et1
r
圆周运动加速度
v an v r r
2
2
a atet anen 2 a at2 an
22
§1-2 质点运动的描述之二
已知： vA 1940km h
1
（2）在时间 t 内矢径 r 所转过的角度 为
A
t 3s
AB 3.5km
vB 2192km h 1
vA
B
1 2 At t 2
飞机经过的路程为
r a n
at
o
§1-2 质点运动的描述之二
§1-2 质点运动的描述之二 11
沿A点的切线方向(平行 )
沿A点的法线方向(平行 )
切向加速度 由于速度大小变化而 产生的，沿切线方向
§1-2 质点运动的描述之二
法向加速度 由于速度方向变化而 产生的，沿法线方向
12
切向加速度大小等于速度的大小(或速率)对 时间的导数，方向沿轨道的切线方向。
§1-2 质点运动的描述之二
o a x a
5
圆周运动的线量与角量的关系：
角量 1）角位置、位置： 2）角位移、位移： 线量 角量与线量关系
s
s
s r
a a t et a n e n dv r at dt 2 v 2 an r r
4）角加速度、线加速度：
2 匀变速率圆周运动
t 0 时, 0 , 0
0 0t 1t 2 2 2 2 0 2 ( 0 )
7
§1-2 质点运动的描述之二
讨论
对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一 种是正确的： （A）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）； （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零， 因此法向加速度必为零；
e en
en
切向单位矢量 法向单位矢量
10
§1-2 质点运动的描述之二
*补充：
曲 线 运 动
v1 A e B en
一般曲线运动
v2
C
F v1 O v n v v2 D v E
速度增量 取 由于速度大小不同而引起的速度变化 由于速度方向改变而引起的速度变化
一、 平面极坐标 设一质点在 Oxy 平面内 运动，某时刻它位于点 A .矢
y
径
为 . 于是质点在点 A 的位
r
与
x
轴之间的夹角
置可由 A(r , ) 来确定 .
o
r
A
x
x r cos y r sin
1
以 ( r , ) 为坐标的参考系为平面极坐标系 . 它与直角坐标系之间的变换关系为
30
§1-2 质点运动的描述之二
15
§1-2 质点运动的描述之二
例1：由楼窗口以水平初速度v0射出一发子弹，取枪口为 原点，沿v0为x轴，竖直向下为y轴，并取发射时t=0.试 求： (1)子弹在任一时刻t的位置坐标及轨道方程； (2)子弹在t时刻的速度，切向加速度和法向加速度。
o
解：(1)
v0
x
an
a
y
§1-2 质点运动的描述之二
ds v et dt
dv v 2 a et en dt
讨论下列几种运动情况：
1. 2. 3. 4.
a 0 , a n 0 a C , a n 0 a 0 , a n C a 0 , a n 0