平面直角坐标系和极坐标
平面直角坐标系
D
E
120m
C
60 3m
45o 50m 60o A) 60m B A(O
x
二、极坐标系 极坐标(,)与(,＋2k)(k∈Z)表示 同一个点.特别地，极点O的坐标为(0,) ( ∈R).和直角坐标不同，平面内一个 点的极坐标有无数种表示. 如果规定＞0，0≤＜2，那么除 极点外，平面内的点可用惟一的极坐标 (,)表示；同时，极坐标表示的点(,) 也是惟一确定的.
x x ② y 3 y 我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个标伸长变换.
问题3：怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x? y 在正弦曲线y=sinx上任取一 点P(x, y)，保持纵坐标不变， 将横坐标x缩为原来的1/2; O x 在此基础上，将纵坐标变为原来的 3倍，就得到正弦曲线y=3sin2x. 即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点 P(x,y)经变换得到点为P’(x’, y’)，坐标对应关系 为: 1
5 6
2 3
2
B
A
3
6
2
5 6
2 3
2
3
E
B A D
6
2
7 6
7 6
4 3
C
3 2
5 3
11 6
4 3
C
F
3 2
5 3
11 6
例2、在图中，用点A，B，C，D，E
分别表示教学楼，体育馆，图书馆， 实验楼，办公楼的位置.建立适当的 极坐标系，写出各点的极坐标.
∵点M的直角坐标为 (1,
3)
y
M (1, 3)
θ
数学公式知识：极坐标系的定义与性质
数学公式知识：极坐标系的定义与性质极坐标系是一种在平面直角坐标系下，用极径和极角两个参数来描述平面点坐标的方式。
极坐标系的定义与性质对于理解极坐标系的使用与应用非常重要。
本文将会详细介绍极坐标系的定义和性质，以帮助读者更好地理解和应用极坐标系。
极坐标系的定义极坐标系是一种二维坐标系，由极轴和极角两个参数描述点的位置。
极轴是一个固定的直线，通常选择平面上与x轴正方向交点为起点的线段，极角是该点和极轴之间的夹角，取值范围一般为0到360度或者-180度到180度之间。
在平面直角坐标系中，一个点的坐标可以表示为(x，y)的形式，其中x和y分别代表该点到x轴和y轴的距离，而在极坐标系中，点的坐标用(r，θ)表示，其中r为该点到极点的距离，即该点的极径，而θ为该点到极轴的夹角，即该点的极角。
极坐标系的性质极坐标系具有以下性质：1.点的极坐标系有唯一性每一个点都有唯一的极坐标系表示方法。
因为每个点到极点的距离和到极轴的夹角都是唯一的，所以用(r，θ)表示一个点的坐标时具有唯一性。
2.点的平面直角坐标系与极坐标系之间的联系一个点的坐标可以用平面直角坐标系和极坐标系两种方式表示。
平面直角坐标系表示时，一个点的坐标可以表示为(x，y)的形式，而在极坐标系表示时，则用(r，θ)来表示同一个点的坐标。
两种表示方式之间具有以下关系：x = rcosθ，y = rsinθr² = x² + y²，tanθ = y/x在使用极坐标系进行计算时，可以通过这些公式将极坐标系的坐标转换为平面直角坐标系的坐标。
同样，我们也可以通过将平面直角坐标系的坐标转换为极坐标系的坐标来进行计算。
3.数学公式的简化在某些情况下，使用极坐标系可以使公式的计算更简便。
与平面直角坐标系存在的复杂公式不同，极坐标系中的公式通常非常简单而容易推导。
例如，圆的极坐标公式为r = a，其中a为圆的半径。
在平面直角坐标系下，圆的公式是(x-a)² + (y-b)² = a²，其中a和b分别是圆心的坐标。
平面直角坐标系和极坐标
第二节平面直角坐标系和极坐标为了需要，温习一下平面坐标系（直角坐标系和极坐标）一平面直角坐标系1．平面直角坐标系的成立为了确信平面上点的位置：（1）在平面上选定两条相互垂直的直线，并指定正方向（用箭头表示）；（2）以两直线的交点O作为原点；（3）选取任意长的线段作为两直线的公共单位长度；如此，咱们就说在平面上成立了一个直角坐标系（图1-2-1）图1-2-1这两条相互垂直的直线叫做坐标轴，适应上把其中的一条放在水平的位置上，从左到右的方向是正方向，这条轴叫做横坐标轴，简称为横轴或x轴，与x轴垂直的一条叫做纵坐标轴，简称为纵轴或y轴，从下到上的方向是它的正方向。
2. 平面上点的坐标成立了直角坐标系后，平面上的任意一点P的位置就能够够确信了，方式是如此的：由P 点别离作y轴和x轴的平行线，交点别离是M和N,设x轴上的有向线段OM的数量是a，y轴上有向线段ON的数量是b，咱们称a是P点的横坐标，b是P点的纵坐标，写成形式（a，b），如此的一对有序实数（a，b）叫做P点的坐标。
反过来，易知任意一对实数（a，b），都能够确信平面上的一个点.由上面的分析，能够取得下面的结论：在给定的直角坐标系下，关于平面上的任意一点P，咱们能够取得唯一的有序实数对（a，b）来和它对应；反过来，关于任何有序实数对，在平面上就能够确信唯一的点，那个点的坐标是（a，b）。
确实是说，平面上的点和有序实数对（a，b）之间成立了一一对应得关系。
咱们在代数里已经明白坐标轴把平面分成了四个部份，每一部份是一个象限。
依照数轴上有向线段的数量，能够明白得第I象限内的点的坐标的符号是（+，+），第II象限内的是（—，+），第III象限内的是（—，—），第IV象限内的是（+，—）。
坐标轴上的点不属于任何象限，在x轴的正方向上的点，坐标的符号是（+，0）；负方向上的点的坐标符号是（—，0）。
同理，在y 轴的正方向上的点，坐标的符号是（0，+）；负方向上的点的坐标符号是（0，—）。
极坐标与平面直角坐标的互换
例1 把下列点的极坐标化为直角坐标：
(1) A(8, )
(2) B(6, 3 )
(3) C(2, )
3
4
解：（1）设点A直角坐标为(x,y),由互化公式得
x 8cos 4,
3 y 8sin 4 3,
3
点A的直角坐标是 (4,4 3)
例2 把下列点的直角坐标化为极坐标： (1) P( 3,1); (2) Q( 2, 2); (2) R(0,2);
3
推广到一般情形：
A(1,1), B(2,2 )(1 0, 2 0)
则A，B两点间距离为
| AB | 12 22 212 cos(1 2 )
例3、在平面直角坐标系中，将曲线的方程 x2 y2 2x 0 化为极坐标系中的方程。
练习：把下面直角坐标方程化为极坐标方程
24
2
半径为 5 的圆。 2
小结
极坐标与直角坐标的互化公式
M (x, y)
x cos
y
s in
2 x2 y2
tan
y x
M (, )
0 2 且要依点所在象限决定
y
P
y
O
x x P1
0, 0 2
注：将xy点的直scio角ns坐标化为极坐标ta时2n， 取x
0, 0 2
2
y x
y2
(x 0)
极坐标与直角坐标的互化
三个前提条件：
（1）极点与直角坐标系的原点重合; （2）极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; （3）两种坐标系的单位长度相同.
点的坐标的知识点总结
点的坐标的知识点总结一、概念点是几何中最基本的元素之一，它是没有大小和形状的，只有位置的概念。
在平面几何中，一个点的位置可以由其和参考坐标系中的两个坐标值来确定。
这两个坐标值分别叫做横坐标和纵坐标，通常用小括号分别括起来，中间用逗号隔开表示。
例如，点A的坐标为（x,y）。
其中，x是横坐标，y是纵坐标。
横坐标表示点在x轴上的位置，纵坐标表示点在y轴上的位置。
二、表示方法在平面直角坐标系中，点的位置是由两个坐标值确定的。
横坐标和纵坐标的取值范围可以是实数，也可以是整数，具体取决于所使用的坐标系和具体问题的要求。
通常，我们可以使用平面直角坐标系、极坐标系和球面坐标系来表示点的位置。
1、平面直角坐标系：平面直角坐标系是最常用的表示点的坐标的方法之一。
在平面直角坐标系中，x轴和y轴互相垂直，起始于原点O，并且正方向分别被定义为正的方向。
点的坐标表示为（x,y），其中x是点在x轴上的投影，y是点在y轴上的投影。
2、极坐标系：极坐标系是另一种表示点的坐标的方法。
在极坐标系中，点的位置不是由横纵坐标确定，而是由极径和极角确定。
极径表示点到坐标原点的距离，极角表示点在极轴上的极角。
点的坐标表示为（r,θ），其中r是点到原点的距离，θ是点在极轴上的极角。
3、球面坐标系：球面坐标系用来描述三维空间中点的位置。
在球面坐标系中，点的坐标表示为（r,θ,φ），其中r是点到原点的距离，θ是点在xz平面上的极角，φ是点与z轴的夹角。
球面坐标系能够描述点在球面上的位置，适用于球面上的问题。
三、坐标系坐标系是用来描述点的位置的基础工具之一。
在平面几何中，常用的坐标系包括直角坐标系、极坐标系和其他特殊的坐标系。
每种坐标系都有其独特的特点和适用范围。
1、直角坐标系：直角坐标系是最基本，也是最常用的坐标系。
在直角坐标系中，点的位置是由横坐标和纵坐标表示的。
横坐标和纵坐标的取值范围都是实数。
直角坐标系可以用于描述平面上的点的位置，以及平面上的图形和问题。
极坐标与直角坐标、普通方程与参数方程 的互相转化
极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的转化一、直角坐标的伸缩设点P(x ，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x ，y)对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩⎩⎨⎧>='>='）（）（0,0,μμλλy y x x 变换，简称伸缩变换．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换Error!下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆（重点考察）．【强化理解】1．曲线C 经过伸缩变换后，对应曲线的方程为：x 2+y 2=1，则曲线C 的方程为（ ）A ．B ．C ．D ．4x 2+9y 2=1【解答】解：曲线C 经过伸缩变换①后，对应曲线的方程为：x ′2+y ′2=1②， 把①代入②得到：故选：A2、在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1．【解答】解：设变换为φ：可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1． {x ′＝λx （λ>0），y ′＝μy （μ>0），)将4x 2＋9y 2＝36变形为＋＝1， x 29y 24比较系数得λ＝，μ＝． 1312所以将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，{x ′＝13x ，y ′＝12y ．)1312可得到圆x ′2＋y ′2＝1． 亦可利用配凑法将4x 2＋9y 2＝36化为＋＝1，与x ′2＋y ′2＝1对应项比较即可得(x 3)2 (y 2)2{x ′＝x 3，y ′＝y 2．)二、极坐标1.公式：（1）极坐标与直角坐标的互化公式如下表： 点M 直角坐标(),x y极坐标(),ρθ 互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ ()222tan 0x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩ 已知极坐标化成直角坐标已知直角坐标化成极坐标 2.极坐标与直角坐标的转化（1）点：有关点的极坐标与直角转化的思路A ：直角坐标(),x y 化为极坐标(),ρθ的步骤①运用()222tan 0x y y x x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩②在[)0,2π内由()tan 0y x xθ=≠求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．B::极坐标(),ρθ化为直角坐标(),x y 的步骤，运用cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩（2）直线：直线的极坐标与直角坐标转化的思路A ：直角坐标转化成极坐标思路：直接利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，将式子里面的x 和y 用转化，最后整理化简即可。
人教A版数学选修4极坐标系与平面直角坐标系的互化
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作极坐标系与平面直角坐标系的互化典题探究例1 将点M 的极坐标2(5,)3π化成直角坐标.例2将点M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标.例3在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离。
例4已知,,A B C 三点的极坐标分别是52(2,),(6,),(4,6123πππ）,求ABC ∆的面积.演练方阵A 档（巩固专练）1．将点的直角坐标(－2，23)化成极坐标得( )． A ．(4，32π) B ．(－4，32π) C ．(－4，3π) D ．(4，3π) 2．点M 的极坐标是(2，3π)，则M 的直角坐标为（ ） A ．(1，3) B ．(−3，1) C ．(3，1) D ．(−1，3) 3．极坐标方程 ρ cos θ＝sin2θ( ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．一个圆B ．两条射线或一个圆C ．两条直线D ．一条射线或一个圆4．极坐标方程θρcos ＋12＝ 化为普通方程是( )．A ．y 2＝4(x －1)B ．y 2＝4(1－x )C ．y 2＝2(x －1)D ．y 2＝2(1－x )5.点M 的直角坐标是(1,3)-，则点M 的极坐标为 . 6 化极坐标方程2cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为 .7.将下列各点的极坐标化成直角坐标:3(3,),(4,).42A B ππ--8.将下列各点的直角坐标化成极坐标:(4,43),(1,1).C D ---9.在极坐标系中,求下列两点之间的距离： (1)5(7,),(2,)44A B ππ； (2)11(6,),(4,)412A B ππ-.10.在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，将下列直角坐标方程（极坐标方程）转化为极坐标方程（直角坐标方程）.（1）cos sin 0x y αα-=；（2）24cos52θρ=.B 档（提升精练）1．点P 在曲线 ρ cos θ ＋2ρ sin θ ＝3上，其中0≤θ ≤4π，ρ＞0，则点P 的轨迹是( )． A ．直线x ＋2y －3＝0B ．以(3，0)为端点的射线C ． 圆(x －2)2＋y ＝1D ．以(1，1)，(3，0)为端点的线段2．设点P 在曲线 ρ sin θ ＝2上，点Q 在曲线 ρ＝－2cos θ上，则|PQ |的最小值为 ( )．A ．2B ．1C ．3D ．03．在满足极坐标和直角坐标互的化条件下，极坐标方程θθρ222sin 4＋ cos 312＝经过直角坐标系下的伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧''y ＝y x ＝ x 3321后，得到的曲线是( )． A ．直线 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ． 圆4．在极坐标系中，直线2＝ 4π＋ sin )(θρ，被圆 ρ＝3截得的弦长为( )．A ．22B ．2C ．52D ．325 直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________6.极坐标方程24sin52θρ⋅=表示的曲线是 。
平面直角坐标系平面直角坐标系
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性质
平面直角坐标系是一个正交坐标系，它具有唯一性和可数性 。
平面直角坐标系的建系的中心点 。
确定x轴与y轴
根据定义，x轴是一条与y轴垂直的数轴，y轴是 一条与x轴垂直的数轴。
确定单位长度
选择一个单位长度，通常选择一个合适的长度单 位，如毫米或厘米。
坐标系中的点与坐标
方向向量的计算
方向向量的计算可以通过两个点的坐标进行计算，得到一个向量，该向量的模等于两点之间的距离，方向与连 接两点的线段一致。
三维空间中的坐标系
三维空间中的坐标系定义
三维空间中的坐标系使用三个参数，x、y 、z，来定义空间中的任意一点。
VS
三维空间中的坐标系扩展
三维空间中的坐标系可以扩展到更高维度 的空间中，例如四维空间、五维空间等。
计算机图形学中的应用
像素坐标
在计算机图形学中，每个像素点都有其在平面直角坐标系中的位 置，通过坐标可以方便地对像素点进行操作。
渲染算法
通过平面直角坐标系可以设计各种渲染算法，如阴影算法、反射 算法等。
三维建模
在三维建模中，平面直角坐标系是基础，可以通过它来建立三维模 型的空间关系。
05
平面直角坐标系的扩展
平移平面直角坐标系中的点，其坐标值会相应地发生变化。平移过程中，点 的坐标值沿横轴或纵轴方向移动，移动距离等于平移方向上的坐标增量。
点的旋转
旋转平面直角坐标系中的点，其坐标值不会发生变化，但会围绕旋转中心转 动。旋转过程中，点的坐标值相对于旋转中心转动，旋转角度等于旋转角度 的弧度值。
距离与角度的计算
平面直角坐标系
2023-11-04
目 录
• 平面直角坐标系的基本概念 • 平面直角坐标系中的基本运算 • 平面直角坐标系中的图形变换 • 平面直角坐标系的应用 • 平面直角坐标系的扩展
极坐标系与平面极坐标系
极坐标系与平面极坐标系在数学中，极坐标系是一种用极径和极角来描述平面上点的坐标系。
它与我们常见的直角坐标系有着不同的表示方式和应用场景。
本文将介绍极坐标系以及它在数学和物理学中的应用。
一、极坐标系的定义与表示方法极坐标系由两个参数构成，即极径和极角。
极径表示点到原点的距离，极角表示点与极轴的夹角。
在极坐标系中，我们可以通过极径和极角来唯一地确定一个点的位置。
在平面直角坐标系中，我们用(x,y)来表示一个点的坐标，其中x表示点在x轴上的投影，y表示点在y轴上的投影。
而在极坐标系中，我们用(r,θ)来表示一个点的坐标，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与极轴的夹角。
二、极坐标系的转换与应用极坐标系与直角坐标系之间可以相互转换。
对于给定的直角坐标系中的点(x,y)，我们可以通过以下公式将其转换为极坐标系中的点(r,θ)：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)同样地，对于给定的极坐标系中的点(r,θ)，我们可以通过以下公式将其转换为直角坐标系中的点(x,y)：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)极坐标系在数学和物理学中有着广泛的应用。
在数学中，它常用于描述极限、曲线的方程和曲线积分等问题。
在物理学中，极坐标系常用于描述圆形运动、天体运动和电磁场等问题。
三、平面极坐标系的特点与优势平面极坐标系相比于直角坐标系具有一些独特的特点和优势。
首先，平面极坐标系能够更直观地描述圆形和极坐标对称的问题。
对于圆形运动或者具有极坐标对称性的问题，使用极坐标系可以简化计算和分析过程。
其次，平面极坐标系能够更好地描述极限和无穷远点。
在直角坐标系中，当一个点趋于无穷远时，其坐标值会趋于无穷大。
而在极坐标系中，当一个点趋于无穷远时，其极径会趋于无穷大，而极角则可以保持不变。
最后，平面极坐标系在描述圆形区域和环形区域时更加简洁明了。
在直角坐标系中，我们需要使用多个方程来描述一个圆形或环形区域。
3大常用坐标系
3大常用坐标系摘要：一、坐标系简介1.坐标系的定义2.坐标系的作用二、3大常用坐标系1.笛卡尔坐标系（直角坐标系）a.定义及特点b.坐标表示c.应用领域2.极坐标系a.定义及特点b.坐标表示c.应用领域3.球坐标系a.定义及特点b.坐标表示c.应用领域三、坐标系的转换1.不同坐标系之间的转换方法2.转换过程中的注意事项四、总结1.各种坐标系的优缺点2.选择合适的坐标系进行问题分析正文：坐标系是数学中用来表示位置的一种工具，它有助于将复杂的空间关系简化为有序的数值关系，便于研究和计算。
在众多坐标系中，有3大常用坐标系，分别是笛卡尔坐标系（直角坐标系）、极坐标系和球坐标系。
首先，我们来了解一下笛卡尔坐标系。
它是一种平面直角坐标系，由两条互相垂直的坐标轴组成，通常用x轴和y轴表示。
在笛卡尔坐标系中，一个点的位置可以通过其横坐标和纵坐标来表示。
这种坐标系在平面几何、解析几何等领域有着广泛的应用。
其次，我们来介绍一下极坐标系。
极坐标系是一种基于极点的坐标系，由一个极径和一个极角组成。
极径表示点到原点（极点）的距离，极角表示从极轴逆时针旋转到连接极点和该点的线段的角度。
极坐标系在行星运动、电磁学等领域具有较高的实用价值。
最后，我们来探讨一下球坐标系。
球坐标系是一种三维坐标系，由一个径向坐标和一个球面坐标组成。
径向坐标表示点到原点（球心）的距离，球面坐标表示从球心到该点的球面弧所对应的圆心角。
球坐标系在地球物理学、天文学等领域应用广泛。
在实际问题分析中，我们需要根据问题的性质和需要解决的问题类型来选择合适的坐标系。
例如，在平面几何问题中，我们通常会选择笛卡尔坐标系；而在研究行星运动时，极坐标系则更为方便。
当然，在某些情况下，可能需要将一种坐标系转换为另一种坐标系，以便于问题的分析和解决。
在进行坐标系转换时，需要注意坐标系的转换公式及其适用范围，避免出现错误。
总之，这3大常用坐标系各有优缺点，适用于不同的领域和问题。
极坐标和直角坐标的互化
极坐标和直角坐标的互化1．极坐标系的概念(1)定义：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系的四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的正方向． (3)图示：2．极坐标(1)极坐标的定义：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．(2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O 的极坐标是(0，θ)，(θ∈R)，若点M 的极坐标是M (ρ，θ)，则点M 的极坐标也可写成M (ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)．若规定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(ρ，θ)之间才是一一对应关系．3．极坐标与直角坐标的互化公式如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同，设任意一点M 的直角坐标与极坐标分别为(x ，y )，(ρ，θ)．(1)极坐标化直角坐标⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θＷ. (2)直角坐标化极坐标⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).1．极坐标系中，与点⎝⎛⎭⎪⎫3，π6相同的点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13π6B.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，176πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－5π6解析：选A.因为极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z)表示同一个点，故选A. 2．关于极坐标系的下列叙述：①极轴是一条射线； ②极点的极坐标是(0，0)； ③点(0，0)表示极点；④点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4与点N ⎝⎛⎭⎪⎫4，5π4表示同一个点； ⑤动点M (5，θ)(θ∈R)的轨迹是以极点为圆心，半径为5的圆．其中，所有正确的叙述的序号是________．解析：结合极坐标系概念可知①③⑤正确，其中，②极点的极坐标应为(0，θ)，θ为任意实数，②不正确；④点M ，N 关于极点对称，所以不正确．答案：①③⑤3．在极坐标系中，已知点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，5π12，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－7π12，则|AB |＝________． 解析：由于5π12与－7π12的终边互为反向延长线，所以|AB |＝1＋2＝3.答案：3由极坐标确定点的位置在极坐标系中，画出点A ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32π，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，194π. [解] 在极坐标系中先作出射线θ＝π4，再在射线θ＝π4上截取|OA |＝1，这样可得到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4. 同样可作出点B ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π2，C ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π4. 由于194π＝3π4＋4π，故点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，194π可写成D ⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4，如图位置．(1)由极坐标确定点的位置的方法建立极坐标系―→作出极角的终边―→以极点为圆心，以极径为半径分别画弧―→确定点的位置．(2)由极坐标确定点的位置应注意的问题由极坐标确定点的位置，常常首先由θ的值确定射线(方向)，再由ρ的值确定位置．如果θ的值不在[0，2π)范围内，先根据θ＝θ0＋2k π(k ∈Z)确定出θ0∈[0，2π)的值再确定方向．1.在极坐标系中，下列各点中与⎝⎛⎭⎪⎫2，π6不表示同一个点的是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫2，－116π B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，136π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，116π D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，－236π 解析：选C.与极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6相同的点可以表示为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6＋2k π(k ∈Z)，只有⎝⎛⎭⎪⎫2，116π不合适．2．如图，在极坐标系中， (1)作出以下各点：A (5，0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2，D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－3π2.(2)求点E ，F 的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，θ∈R)．解：(1)如图，在极坐标系中，点A ，B ，C ，D 的位置是确定的．(2)由于点E 的极径为4，在θ∈[0，2π)内，极角θ＝7π6，又点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，θ∈R)，所以点E 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，2k π＋7π6(k ∈Z)． 同理，点F 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2k π＋2π3(k ∈Z)． 点的极坐标与直角坐标的互化(1)分别将下列点的极坐标化为直角坐标．①⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4；②⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53π.(2)分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)． ①(－1，1)；②(4，－43)；③⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2；④(－6，－2)． [解] (1)①ρ＝4，θ＝π4，所以x ＝ρcos θ＝4cos π4＝22，y ＝ρsin θ＝4sin π4＝22，所以点(4，π4)的直角坐标为(22，22)．②因为x ＝2cos 5π3＝1，y ＝2sin 5π3＝－ 3.所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3的直角坐标为(1，－3)．(2)①ρ＝(－1)2＋12＝2，tan θ＝－1，θ∈[0，2π)， 由于点(－1，1)在第二象限，所以θ＝3π4，所以点(－1，1)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4. ②ρ＝42＋(－43)2＝8，tan θ＝－434＝－3，θ∈[0，2π)，由于点(4，－43)在第四象限，所以θ＝5π3，所以点(4，－43)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫8，5π3.③ρ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＝32π2，tan θ＝3π23π2＝1，θ∈[0，2π)，由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2在第一象限，所以θ＝π4，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2，π4. ④ρ＝(－6)2＋(－2)2＝22，tan θ＝－2－6＝33，θ∈[0，2π)，由于点(－6，－2)在第三象限，所以θ＝7π6，所以点(－6，－6)的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，7π6.(1)点的极坐标化为直角坐标的方法将极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ. (2)点的直角坐标化为极坐标的方法将直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，在利用此公式时要注意ρ和θ的取值范围．1.点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π4解析：选B.点P (－2，2)在第二象限，与原点的距离为2，且与极轴夹角为3π4.2．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系．(1)已知点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫4，5π3，求它的直角坐标； (2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标(ρ＞0，0≤θ＜2π)．解：(1)因为x ＝ρcos θ＝4·cos5π3＝2. y ＝ρsin θ＝4sin5π3＝－2 3. 所以A 点的直角坐标为(2，－23)． (2)因为ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22， tan θ＝－22＝－1.且点B 位于第四象限内，所以θ＝7π4，所以点B 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4. 又因为x ＝0，y ＜0，所以ρ＝15，θ＝32π.所以点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫15，3π2. 极坐标系中的对称问题和距离问题(1)A ，B 两点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎪⎫5，π3，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π6，则A ，B 两点的距离为|AB |＝________．(2)设点A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴，直线l ，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π)．[解] (1)如图所示，|OA |＝5，|OB |＝2，∠AOB ＝π3－(－π6)＝π2.所以|AB |＝|OA |2＋|OB |2＝5＋4＝3.故填3.(2)如图所示，关于极轴的对称点为B ⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3.关于直线l 的对称点为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23π. 关于极点O 的对称点为D ⎝⎛⎭⎪⎫2，－23π. 四个点A ，B ，C ，D 都在以极点为圆心，2为半径的圆上．(1)极坐标系中点的对称问题点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－θ)；关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)；关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．(2)极坐标系中两点间的距离问题求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极点O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB |＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos(θ1－θ2)求解，其中A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，注意当θ1＋θ2＝2k π(k ∈Z)时，|AB |＝|ρ1－ρ2|.当θ1＋θ2＝2k π＋π(k ∈Z)时，|AB |＝|ρ1＋ρ2|.1.点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，7π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－11π6解析：选B.因为ρ＝－2<0，所以找点(－2，－π6)时，先找到角－π6的终边，再在其反向延长线找到离极点2个单位的点，就是(－2，－π6)，如图，故M ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选项没有这样的坐标．又因为M ′⎝⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.2．已知M ⎝⎛⎭⎪⎫5，5π6，N ⎝⎛⎭⎪⎫8，－17π6，则|MN |＝________． 解析：因为N ⎝⎛⎭⎪⎫8，－17π6也可写为N ⎝⎛⎭⎪⎫8，7π6，所以|MN |＝82＋52－2×8×5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－5π6＝64＋25－80cos π3＝7.答案：73．极坐标系中，分别求下列条件下点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3关于极轴的对称点M ′的极坐标： (1)ρ≥0，θ∈[0，2π)；(2)ρ≥0，θ∈R.解：因为M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π3与M ′(ρ，θ)关于极轴对称， 所以ρ＝3，θ＝－π3＋2k π(k ∈Z)．(1)当θ∈[0，2π)时，θ＝5π3， 所以M ′(3，5π3)． (2)当θ∈R 时，M ′(3，2k π－π3)(k ∈Z)．1．对极坐标系的理解(1)在平面上建立一个极坐标系时，四个要素(极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向)缺一不可．(2)一般地，不作特别说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．其中极点的极径ρ＝0，极角θ可取任意值．(3)极坐标系下的点与它的极坐标不是一一对应关系，一个点可以有多个极坐标．可统一表示为(ρ，θ＋2k π)，其中ρ≥0，k ∈Z.2．极坐标与直角坐标的区别与联系(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件是①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴非负半轴重合；③两种坐标系中取相同的长度单位．(2)由ρ2＝x 2＋y 2确定ρ时，ρ不取负值；由tan θ＝yx(x ≠0)确定θ时，根据点(x ，y )所在的象限取最小正角．当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx按上述方法确定．当x ＝0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：①当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值； ②当x ＝0，y >0时，θ＝π2；③当x ＝0，y <0时，θ＝32π.1．极坐标系中，点A (2 016，2 017π)的直角坐标为( )A ．(2 016，π)B ．(2 016，0)C ．(0，2 016)D ．(－2 016，0)解析：选D.因为ρ＝2 016，θ＝2 017π，所以x ＝ρcos θ＝2 016cos π＝－2 016，y ＝ρsin θ＝2 016sin 2 017π＝2 016sin π ＝2 016×0＝0，所以A 点的直角坐标为A (－2 016，0)．2．极坐标系中，极轴的反向延长线上一点M 与极点的距离为2，则点M 的极坐标的下列表示：①(2，0)；②(2，π)；③(2，－π)；④(2，2k π)(k ∈Z)．其中，正确表示的序号为____________． 解析：因为|OM |＝2，即ρ＝2， 又M 点在极轴反向延长线上，所以θ＝π＋2k π(k ∈Z)，当k ＝0时，θ＝π，当k ＝－1时，θ＝－π. 所以M 点的极坐标为(2，π)或(2，－π)． 答案：②③3．(1)把点A 的极坐标⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标．(ρ＞0，0≤θ＜2π)． 解：(1)x ＝2cos7π6＝－3， y ＝2sin7π6＝－1， 故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－31＝－ 3. 又因为点P 在第四象限且0≤θ＜2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫2，5π3. 4．在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C的极坐标．解：点A ，B 的直角坐标分别为(2，2)，(－2，－2)，设点C 的直角坐标为(x ，y )，由△ABC 为等边三角形，故|BC |＝|AC |＝|AB |，得(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝(x －2)2＋(y －2)2＝(2＋2)2＋(2＋2)2.即⎩⎨⎧(x －2)2＋(y －2)2＝16，(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝16，解得⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6或⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.点C 的直角坐标为(6，－6)或(－6，6)， 故ρ＝6＋6＝23，tan θ＝－1， 故θ＝7π4或3π4.故点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4.[A 基础达标]1．点M 的直角坐标是(3，－1)，在ρ≥0，0≤θ<2π的条件下，它的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6 D ．⎝⎛⎭⎪⎫2，11π6解析：选A.ρ＝ x 2＋y 2＝3＋1＝2，tan θ＝y x ＝－13＝－33.又因为点(3，－1)在第四象限，且0≤θ<2π. 所以θ＝11π6，所以M 点的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6.2．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，B ⎝⎛⎭⎪⎫6，－π6，则OA ，OB 的夹角为( ) A.π6 B ．0 C.π3 D ．5π6解析：选C.OA 与OB 的夹角∠AOB ＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π3，故选C.3．在极坐标系中，已知点P 1⎝⎛⎭⎪⎫6，π4，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫8，3π4，则|P 1P 2|等于( ) A ．9 B ．10 C ．14 D ．2 解析：选B.因为∠P 1OP 2＝3π4－π4＝π2，所以△P 1OP 2为直角三角形，由勾股定理可得 |P 1P 2|＝OP 21＋OP 22＝62＋82＝10，故选B.4．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3和圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心的距离为( )A. 3 B ．2 C.1＋π29D ．4＋π29解析：选A.法一：因为(x －1)2＋y 2＝1的圆心坐标为(1，0)，化为极坐标是(1，0)， 所以点(2，π3)到圆心的距离d ＝ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos(θ1－θ2)＝22＋12－2×2×1×cos π3＝4＋1－2＝ 3.法二：将点(2，π3)化为直角坐标是(1，3)又(x －1)2＋y 2＝1的圆心的坐标是(1，0)，所以点(2，π3)到圆心的距离d ＝(1－1)2＋(3－0)2＝ 3.5．在极坐标系中，点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，π12关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的点的一个极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π12 D ．⎝⎛⎭⎪⎫3，7π12解析：选C.如图所示，设点M 关于直线θ＝π4(ρ∈R)对称的点为N ，则|ON |＝|OM |，∠xON ＝π4＋π4－π12＝5π12，所以点N 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，5π12.6．已知A ，B 两点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫8，4π3，则线段AB 中点的直角坐标为____________．解析：因为A ，B 两点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫6，π3，⎝⎛⎭⎪⎫8，4π3， 所以A ，B 两点的直角坐标是(3，33)，(－4，－43)， 所以线段AB 中点的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－327．极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，则 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标是________；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标是________；(3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是________．(本题中规定ρ＞0，θ∈[0，2π))解析：(1)点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6关于极轴的对称点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，11π6；(2)点A 关于极点的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，7π6； (3)点A 关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6.答案：(1)⎝⎛⎭⎪⎫3，11π6 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π6 (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π68．平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin7π6＝3. 答案：39．在极坐标系中，O 为极点，已知两点M ，N 的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，2π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，求△MON 的面积．解：sin ∠MON ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π4＝sin 2π3cos π4－cos 2π3·sin π4＝32×22＋12×22＝6＋24. 故S △MON ＝12×4×2×6＋24＝3＋1.10．已知定点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π3. (1)将极点移至O ′⎝⎛⎭⎪⎫23，π6处极轴方向不变，求P 点的新坐标； (2)极点不变，将极轴顺时针转动π6角，求P 点的新坐标． 解：(1)设P 点新坐标为(ρ，θ)，如图所示，由题意可知|OO ′|＝23，|OP |＝4，∠POx ＝π3，∠O ′Ox ＝π6，所以∠POO ′＝π6. 在△POO ′中，ρ2＝42＋(23)2－2·4·23·cos π6＝16＋12－24＝4，所以ρ＝2. 又因为sin ∠OPO ′23＝sin ∠POO ′2，所以sin ∠OPO ′＝sinπ62·23＝32，所以∠OPO ′＝π3. 所以∠OP ′P ＝π－π3－π3＝π3，所以∠PP ′x ＝2π3.所以∠PO ′x ′＝2π3. 所以P 点的新坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，2π3. (2)如图，设P 点新坐标为(ρ，θ)，则ρ＝4，θ＝π3＋π6＝π2.所以P 点的新坐标为(4，π2)．[B 能力提升]11．设点P 对应的复数为－3＋3i ，以原点为极点，实轴的正半轴为极轴，则点P 的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫23，π4 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3π4 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k π＋3π4(k ∈Z)解析：选C.因为点P 对应的复数为－3＋3i ，所以点P 的直角坐标为(－3，3)，点P 到原点的距离为32，且点P 在第二象限的角平分线上，故极角等于3π4，故点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫32，3π4，选C. 12．已知两点的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，则|AB |＝________，直线AB 的倾斜角为________．解析：在极坐标系Ox 中作出点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π2和B ⎝⎛⎭⎪⎫3，π6，如图所示，则|OA |＝|OB |＝3，∠AOx ＝π2，∠BOx ＝π6， 所以∠AOB ＝π3.所以△AOB 为正三角形，从而|AB |＝3，直线AB 的倾斜角为π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3＝5π6.答案：35π613．如果对点的极坐标定义如下：当已知M (ρ，θ)(ρ>0，θ∈R)时，点M 关于极点O 的对称点M ′(－ρ，θ)． 例如，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3关于极点O 的对称点M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π3，就是说⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3＋π与⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，π3表示的就是同一点．已知A 点的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫6，5π3，分别在下列给定条件下，写出A 点的极坐标： (1)ρ>0，－π<θ≤π. (2)ρ<0，0≤θ<2π. (3)ρ<0，－2π<θ≤0.解：如图所示，|OA |＝|OA ′|＝6，∠xOA ′＝2π3，∠xOA ＝5π3， 即点A 与A ′关于极点O 对称． 由极坐标的定义知(1)当ρ>0，－π<θ≤π时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－π3.(2)当ρ<0，0≤θ<2π时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，2π3. (3)当ρ<0，－2π<θ≤0时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6，－4π3.14．(选做题)某大学校园的部分平面示意图为如图所示的矩形．其中|OC |＝600 m ．建立适当的极坐标系，写出点C 与点F 的极坐标并求点C 到点F 的直线距离．解：以点O 为极点，OA 所在的射线为极轴Ox (单位长度为1 m)，建立极坐标系，如图所示．由|OC |＝600，∠AOC ＝π6，所以点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫600，π6，由图形得|OF |＝|OD |＝|AC |＝600×sin π6＝300(m)． 所以点F 的极坐标为(300，π)． 在△COF 中，∠COF ＝π－π6＝56π.根据余弦定理，得 |CF |＝|OC |2＋|OF |2－2|OC |·|OF |·cos 56π＝6002＋3002－2×600×300×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32 ＝3005＋23(m)．所以点C 到点F 的直线距离为3005＋2 3 m.。
平面直角坐标系与极坐标系
极坐标系在某些特定领域如物理学 和工程学中更常见，而直角坐标系 在数学和科学研究中更为通用。
汇报人：XX
极坐标系中的极径可以与平面直角坐标系中的距离概念相对应。
通过适当的变量转换，可以将平面直角坐标系中的函数表示为极坐标系中的函数。
区别
定义不同：平面直角 坐标系是二维坐标系， 而极坐标系是二维或 三维坐标系
变量不同：平面直 角坐标系的变量是x 和y，而极坐标系的 变量是r和θ
单位不同：平面直角坐 标系的单位是长度单位 ，而极坐标系的单位是 角度和长度单位
特点：平面直角坐标系是一种绝对位置描述方法，它可以用来描述平面内任意一点的准确位置。 通过坐标系的伸缩、平移和旋转等变换，可以描述物体的运动和变化。
应用：平面直角坐标系广泛应用于数学、物理、工程技术和地理等领域，是描述二维平面内物 体位置和运动的基础工具。
坐标表示方法
定义：平面直角坐标系由两条垂直相交的数轴构成，横轴为x轴，纵轴为y轴
极坐标的性质
极坐标系中，点用极角和极径 表示
极角是点在极坐标系中的角度， 范围是0到2π
极径是点在极坐标系中的距离， 范围是0到正无穷
在极坐标系中，线用极角表示， 面用极角和极径表示
联系
平面直角坐标系与极坐标系都是用来描述平面内点的位置的数学工具。
平面直角坐标系与极坐标系都由两个数来确定一个点的位置，这两个数被称为坐标。
坐标表示：任意一点P在平面上的位置可以用有序实数对(x, y)表示，其中x为点P到x轴的距离，y为点P到y轴的 距离
坐标原点：平面直角坐标系的原点O是两条数轴的交点，其坐标为(0,0)
象限划分：平面直角坐标系将平面分为四个象限，分别是第一象限、第二象限、第三象限和第四象限
平面直角坐标系与极坐标系的探索与联系
平面平面直角坐标系与极坐标系的探索与联系初2015级6班杜晨喆张昊晗参考书目：《微积分（翻译版·原书第9版）》机械工业出版社（2011年8月第1版）《数学·选修4-4》北京师范大学出版社（2007年5月第2版）《八年级数学上册第三章》北师大版北京师范大学出版集团，（2013年6月印制）《九年级数学下第一章》北师大版北京师范大学出版集团在学习完《位置与坐标》一章后，我们认识了平面直角坐标系，学会了利用平面直角坐标系来确定平面上点的位置。
而我和张昊晗同学在课下讨论时，萌生了一个想法：我们学过的在平面内表示点的位置不是还有一种“极坐标定位法”吗？能否顺着“极坐标定位法”的想法来创造一种坐标系呢？在好奇心的驱使下，我们开始了进一步创新与探究。
一、建立极坐标系及点的坐标表示：首先我们观察图1：图1 点的位置如图1所示，B点在A点的北偏东45º方向上，距点A为1.6千米；点C在点A的北偏西75º方向上，距点A为2千米。
如此看来，利用方位角和距离也可确定平面上点的坐标。
所以，我们产生了如下想法：如图2，在平面内取一个定点O，叫做原点，从点O引一条射线Ox，规定右边为正方向，选定一个单位长度，以逆时针为角的正方向，这样建立起了一个坐标系。
我们称之为极坐标系。
既然坐标系建立了，那么极坐标系內的点的坐标如何表示呢？根据极坐标定位法的思想，我们规定：对于平面内任意一点M，用a 表示M到原点的距离（即线段OM的长），用θ表示∠MOx的角度，那么点M的坐标即可表示为（a，θ）。
当点M在原点上时，它的坐标为（0，θ）（θ为任意角度数）。
例如，在图3中，点A的坐标为（2,60º），点B的坐标为（1，180º），点C的坐标为（3,300º）。
图3 极坐标系内点的坐标在用极坐标表示平面内点的位置时，我们惊奇的发现：对于极坐标系内任何一个点，都有无数组坐标与它对应；但对于每一个坐标而言，有且只有一个点与它对应！例如，在图3中，由于我们规定了逆时针为角的正方向，即角的终边逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角。
平面直角坐标系与极坐标系的转换
平面直角坐标系与极坐标系的转换在数学中，平面直角坐标系和极坐标系是常见的两种坐标系。
它们各自具有不同的表达方式和使用场景，并且可以通过转换公式相互转换。
本文将以平面直角坐标系与极坐标系的转换为主题，介绍它们的定义、特点和转换方法。
一、平面直角坐标系的定义与特点平面直角坐标系是指在平面上通过两条相互垂直的坐标轴建立的坐标系。
一般来说，我们会选择水平方向为x轴，竖直方向为y轴，它们的交点为原点O。
在该坐标系下，任意点P可以用其对应的水平方向和竖直方向上的长度来表示。
在平面直角坐标系中，点P的坐标通常用有序数对(x, y)来表示，其中x为水平方向上的长度，称为横坐标；y为竖直方向上的长度，称为纵坐标。
横坐标和纵坐标的正负方向分别沿着x轴和y轴延伸。
二、极坐标系的定义与特点极坐标系是以原点O为起点，并以原点向任意点P所在的射线为基准，将点P的位置用径向长度r和与基准射线的夹角θ表示的坐标系。
在极坐标系中，坐标点的唯一性由半径r和极角θ确定。
极坐标系中，点P的坐标表示为(r, θ)，其中r为点P与原点O的距离，称为极径；θ为从基准射线逆时针旋转到射线OP所需的角度，称为极角。
极径r可以为正、零或负，而极角θ通常以弧度为单位，取值范围为[0, 2π)。
三、平面直角坐标系到极坐标系的转换要将平面直角坐标系中的点的坐标转换为极坐标系中的坐标，可以利用以下公式进行计算：1. 计算极径r：r = √(x^2 + y^2)2. 计算极角θ：θ = arctan(y / x)其中，√表示平方根，arctan表示反正切函数。
四、极坐标系到平面直角坐标系的转换要将极坐标系中的点的坐标转换为平面直角坐标系中的坐标，可以利用以下公式进行计算：1. 计算横坐标x：x = r * cos(θ)2. 计算纵坐标y：y = r * sin(θ)其中，cos表示余弦函数，sin表示正弦函数。
五、总结平面直角坐标系和极坐标系是数学中常见的两种坐标系。
极坐标与直角坐标的转化
第二课时 极坐标与平面直角坐标的互化一、教学目标掌握极坐标与直角坐标的互化二、教学重点对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解及运用三、教学难点极坐标与直角坐标的互化的运用四、教学过程1.创设情境引入Ｔ：上节课学习了极坐标,到现在就接触了两类坐标,直角坐标和极坐标.两类坐标之间有什么关系呢?他们之间又怎样换算?先来看下面的例子.假设点在平面直角坐标系中的的坐标为,现在以直角坐标的原点作为极点,M (),x y 正半轴为极轴,建立极坐标系,假设点的极坐标为ox M (),ρθ则由三角函数的知识我们可以得到这样的关系:（这里注意解释点M 在不同象限也cos sin x y θθρρ∙∙=⎧⎨=⎩是成立的）,ρ=tan (0)y x x θ=≠这里规定:0,02ρθπ≥≤<Ｔ：于是直角坐标和极坐标之间就建立了以上的关系，根据这个关系我们就可以进行极坐标与直角坐标之间的就换算。
Ｔ：但同学们应该注意两种坐标之间满足上面的换算关系需要什么前提？Ｔ：（１）极坐标的极点和直角坐标的原点相同；（２）而极坐标的极轴与直角坐标的ｘ正半轴要相同；（３）两坐标取相同的长度单位。
否则不能用上面的换算公式。
根据上面的换算公式来解一下例１例1．（1）把点M 的极坐标化成直角坐标)32,8(π （2）把点P 的直角坐标化成极坐标)2,6(-例2．已知点A 的极坐标为，点B 的极坐标为2(8,3π例3：在平面直角坐标系中，把下面的直线或者曲线的方程化成极坐标方程。
（１）235x y -=x（２）221y x +=（３）（有可能表示圆）2220ax y x +-=例题讲解过程：练习1：把下例直角坐标方程化成极坐标方程(p24,7题，11题)（１）；1xy =（３）;221y x -=(4) ()22222()a y y x x +=-(5) cos sin 0x y p αα+-=（过渡语）T ：刚才这是将直角坐标方程化为极坐标方程，那么将极坐标方程化为直角坐标方程又怎么化呢？来看下面的例子。
高中数学极坐标公式
高中数学极坐标公式极坐标公式是描述平面上点的位置的一种坐标系表示方法。
它由一个点到原点的距离（极径）和从正半轴逆时针旋转的角度（极角）两个参数组成。
高中数学中，极坐标公式是一个重要而且常用的工具，可以解决一些复杂的几何问题。
一、极坐标的表示方法极坐标公式可以用一个有序数对(r, θ)表示，其中r表示点到原点的距离，θ表示从正半轴逆时针旋转的角度。
在平面直角坐标系中，点P(x,y)的极坐标可以通过以下公式转换得到：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)其中，√表示平方根，arctan表示反正切函数。
二、极坐标公式与直角坐标系的转换极坐标公式与直角坐标系之间可以相互转换。
给定一个点的极坐标(r, θ)，可以通过以下公式计算其直角坐标(x, y)：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)反之，给定一个点的直角坐标(x, y)，可以通过以下公式计算其极坐标(r, θ)：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)三、极坐标的性质和应用1. 极坐标中的角度是以弧度为单位的，而不是以度为单位。
一圈的弧度数为2π，360度等于2π弧度。
2. 极坐标公式可以简化一些复杂的几何问题。
例如，对于一条直线，我们可以通过将直线转换为极坐标方程，从而更容易找到它的参数方程。
3. 极坐标公式在物理学和工程学中也有广泛的应用。
例如，极坐标公式可以用来描述电场和磁场的分布，以及天体运动的轨迹等。
4. 极坐标公式还可以用来表示复数。
复数可以用极坐标形式表示为z = r(cosθ + isinθ)，其中r表示模长，θ表示辐角。
这种表示方法在复数的乘法、除法和幂次运算中特别有用。
四、极坐标公式的例题解析1. 例题1：求点P(3, 4)的极坐标表示。
解：根据公式，我们可以计算出点P到原点的距离r为√(3^2 + 4^2) = 5，点P与正半轴的夹角θ为arctan(4/3)。
因此，点P的极坐标表示为(5, arctan(4/3))。
xy坐标系和极坐标系
xy坐标系和极坐标系摘要：一、坐标系简介1.笛卡尔坐标系（直角坐标系）2.极坐标系3.球坐标系4.柱坐标系二、xy坐标系介绍1.xy坐标系的定义2.xy坐标系的性质3.xy坐标系中的常见图形三、极坐标系介绍1.极坐标系的定义2.极坐标系的性质3.极坐标系与xy坐标系的转换关系四、坐标系的应用领域1.物理学中的坐标系2.工程学中的坐标系3.计算机图形学中的坐标系五、坐标系的选择与转换1.根据问题选择合适的坐标系2.坐标系的转换方法与技巧正文：一、坐标系简介坐标系是数学中用来表示位置、描述运动的一种工具。
常见的坐标系有笛卡尔坐标系（直角坐标系）、极坐标系、球坐标系和柱坐标系等。
这些坐标系在不同的数学问题和实际应用中有各自的优势和特点。
二、xy坐标系介绍xy坐标系，又称为笛卡尔坐标系，是一种平面直角坐标系。
在xy坐标系中，横坐标表示x轴，纵坐标表示y轴。
坐标原点为(0, 0)，正方向分别为向右和向上。
xy坐标系可以表示平面上的任意一点，具有较强的直观性和实用性。
三、极坐标系介绍极坐标系是一种基于圆的坐标系。
在极坐标系中，一个点的位置由一个长度（半径）和一个角度来表示。
半径表示点到原点（极点）的距离，角度表示从极轴逆时针旋转到连接极点和该点的线段的角度。
极坐标系适用于描述以圆或曲线为主要特征的问题。
四、坐标系的应用领域坐标系在许多领域都有广泛的应用，如物理学、工程学和计算机图形学等。
物理学中，坐标系用于描述粒子的位置和运动；工程学中，坐标系用于绘制和分析建筑、机械等结构；计算机图形学中，坐标系用于控制和显示图形元素。
五、坐标系的选择与转换在解决问题时，需要根据问题的特点和需求选择合适的坐标系。
例如，描述平面的运动时，可以选择xy坐标系；描述绕某一点的旋转时，可以选择极坐标系。
直角坐标与极坐标的区别
直角坐标系中点的坐标(a,b)，其中横坐标a表示点的水平位置、纵坐标b表示点的垂直高度。
例如，点(3,-2)可以这样来画：从原点开始向右平移三个单位，再向下平移三个单位，得到的位置就是点(3,-2)所对应的位置。
极坐标系中点的坐标(r,θ)，其中r表示该点到原点的距离，而θ表示从x轴正半轴开始逆时针旋转的角度。
例如，点(2,π/3)可以这样来画：先以原点为圆心、2为半径作一个圆，然后从x轴正半轴与这个圆的交点处开始，逆时针旋转60度得到的位置就是点(2,π/3)所对应的位置。
平面上的点既可以建立直角坐标平面来表示，也可以建立极坐标平面来表示。
从某种意义上，可以把直角坐标平面理解成“方”的，把极坐标平面理解成“圆”的。
（当然它们都是可以向四周无限延伸的）用极坐标与直角坐标来表示点和曲线时，二者有哪些明显的区别？（1）在平面直角坐标系内，点与有序实数对即坐标（x，y）是一一对应的，可是在极坐标系内，虽然一个有序实数对（ρ，θ）只能与一个点P对应，但一个点P却可以与无数多个有序实数对（ρ，θ）对应。
例如（ρ，2nπ＋θ）与（－ρ，(2n＋1)π＋θ）（n为整数）表示的是同一个点，所以点对有序实数对即坐标（ρ，θ）不是一一对应的。
（2）在直角坐标系内，一条曲线如果有方程，那么曲线和它的方程是一一对应的（解集完全相同且互相可以推导的等价方程，只看作一个方程）。
可是在极坐标系内，虽然是一个方程只能与一条曲线对应，但一条曲线却可以与多个方程对应。
例如方程ρ＝1，ρ2＝1，ρ3＝1等表示的是同一个圆，所以曲线和它的方程不是一一对应的。
（3）在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程。
例如给定曲线ρ＝θ，设点P的一对极坐标为，那么点P适合方程ρ＝θ，从而是曲线上的一个点，但点P的另一个极坐标就不适合方程ρ＝θ了。
所以在极坐标系内，确定某一个点P是否在某一曲线C上，当且仅当点P的极坐标中是否有一对坐标（ρ，θ）适合曲线C的方程。
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第二节 平面直角坐标系和极坐标
为了需要，复习一下平面坐标系（直角坐标系和极坐标）
一 平面直角坐标系
1．平面直角坐标系的建立
为了确定平面上点的位置：
（1）在平面上选定两条互相垂直的直线，并指定正方向（用箭头表示）；
（2）以两直线的交点O 作为原点；
（3）选取任意长的线段作为两直线的公共单位长度；
这样，我们就说在平面上建立了一个直角坐标系（图1-2-1）
图1-2-1
这两条互相垂直的直线叫做坐标轴，习惯上把其中的一条放在水平的位置上，从左到右的方向是正方向，这条轴叫做横坐标轴，简称为横轴或x 轴，与x 轴垂直的一条叫做纵坐标轴，简称为纵轴或y 轴，从下到上的方向是它的正方向。
2. 平面上点的坐标
建立了直角坐标系后，平面上的任意一点P 的位置就可以确定了，方法是这样的：由P 点分别作y 轴和x 轴的平行线，交点分别是M 和N,设x 轴上的有向线段OM 的数量是a ，y 轴上有向线段ON 的数量是b ，我们称a 是P 点的横坐标，b 是P 点的纵坐标，写成形式（a ，b ），这样的一对有序实数（a ，b ）叫做P 点的坐标。
反过来，易知任意一对实数（a ，b ），都可以确定平面上的一个点.
由上面的分析，可以得到下面的结论：在给定的直角坐标系下，对于平面上的任意一点P ，我们可以得到唯一的有序实数对（a ，b ）来和它对应；反过来，对于任何有序实数对，在平面上就能确定唯一的点，这个点的坐标是（a ，b ）。
就是说，平面上的点和有序实数对（a ，b ）之间建立了一一对应得关系。
我们在代数里已经知道坐标轴把平面分成了四个部分，每一部分是一个象限。
根据数轴上有向线段的数量，可以理解第I 象限内的点的坐标的符号是（+，+），第II 象限内的是（—，+），
第III 象限内的是（—，—），第IV 象限内的是（+，—）。
坐标轴上的点不属于任何象限，在x 轴的正方向上的点，坐标的符号是（+，0）；负方向上的点的坐标符号是（—，0）。
同理， 在y 轴的正方向上的点，坐标的符号是（0，+）；负方向上的点的坐标符号是（0，—）。
二 极坐标
极坐标是另外一种重要的坐标法，有些几何轨迹题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标系来得简单，在数学分析中经常用到。
在平面的直角坐标系中，是以一对实数来确定平面上一点的位置，现在叙述另一种坐标，它对平面上的一点的位置虽然也是用有序实数对来确定，但这一对实数中，一个是表示距离，而另一个则是指示方向。
一般来说，取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系。
平面上一点P 的位置，可以由OP 的长度及其∠xOP 的大小决定，这种确定一点位置的方法，叫做极坐标法。
具体地说，假设平面上有点P ，连接OP ，今设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。
ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。
显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置。
今以θ的值可为任何的正的或负的值（依逆时针方向转动所成的角规定为正，顺则为负），又为处理上便利起见，ρ也可以是负的值，如图1-2-2，OC 为角θ的终边，规定在OC 上度量的数为正，而在OC 的相反方向，即OC 的延长线上度量的数为负，如图1-2-2中，若点P 的坐
标为),(θρ，则点P ’的坐标为),(θπρ+-。
图1-2-2
ρ，θ的值照上面这样扩大之后，则在极坐标系中，一点的坐标有无穷的实数对。
例如，在图1-2-2中，可以看到，点P 的坐标一般写为),(θρ，也可以写成)2,(θπρ+，)4,(θπρ+ ， )6,(θπρ+，又P ’的坐标可以是 )2,(),,(θπρθρ+--.也可以是 )3,(),,(θπρθπρ++.
图1-2-3
极坐标与直角坐标系的关系如图1-2-3所示，将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。
如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立：
即
另外还有下式成立：
x
y tan ,y x 222=+=θρ. 例1.2 给出极坐标系中点P=（2，3/π）的直角坐标。
解： 由上面的讨论知：
故点P 的直角坐标为（1，3）.
极坐标方程的形式为0),(F =θρ. 在极坐标里，从ρ，θ的每一组对应的值),(11θρ ),(22θρ作为点的坐标，并且标出这些点，然后用平滑的曲线依次连结这些点，所得到的曲线就称为这个极坐标方程的曲线。
反过来，称这个方程为这个曲线的极坐标方程。
例1.3 试作曲线1=θ.
显然1=θ表示的是一条直线。
例1.4试作曲线2=ρ.
显然2=ρ表示的是一个以2为半径的圆周。
例1.5试给出曲线θρ2cos =在直角坐标系下的方程.
解 因为ρθx cos =
，故曲线θρ2cos =可以写为：ρρx 2⋅=
即
又 222x y +=ρ，
故有：
即：
显然该方程表示的是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆周。
习 题
1. 三角形三个顶点的坐标如下：
（a ）（8，4），（0，-4），（2，4）；
（b ）（3，5），（3，10），（0，2.5）；
（c ）（2，0），（-1，3），（-1，-3）.
求作这些三角形.
2. 设a=1，b=2，求作点（a ，b ），（b ，a ），（-a ，b ），（b ，-a ），（-b ，a ），（a ，-b ），（-a ，-b ）和（-b ，-a ）.
3. 菱形每边长为5单位，它有一条对角线长为6个单位，如果把菱形的二对角线放在二坐标轴
上，求它的各顶点的坐标.
4. 已知点M （3，2），作它关于横轴、纵轴、原点的对称点，求这些点的坐标.
5. 描出下列各点，它们的极坐标是：
6. 化下列各点的极坐标为直角坐标： )3
2,3(),6,2(),2,1(πππ-. 7. 化下列各点的直角坐标为极坐标： 8. 极角6
π
θ=的点的轨迹是什么？写出经过极点的直线的极坐标方程. 9. 曲线的极坐标方程是：
（1）;10sin =θρ （2）θρ4sin2=；
求曲线的直角坐标方程.
第三节 空间直角坐标系
在平面几何中通过平面的解析几何，将数与形紧密地连接起来，用代数的方法研究平面几何，起到了非常良好的效果．本章将用类比法，用代数的方法研究立体几何．为此必须建立类似于平面的直角坐标系的概念． 在我们生活的三维空间中，取一个平面将之分割为两部分，在此平面上建立一个直角坐标系xoy ，这里x 表示x 轴，y 表示y 轴．O 表示x ，y 轴的共同原点．过o 作平面xoy 的垂线（o 为垂足），作为新的数轴，叫做z 轴．并与x,y 轴拥有相同的长度单位，这样我们就得到空间中两两互相垂直的具有相同原点和相同单位长度的三个数轴：x 轴，y 轴, z 轴，这就形成了我们所谓的空间直角坐标系．相同的原点O 叫做空间直角坐标系的原点．
从立体几何可以知道，x 轴与z 轴也唯一的决定了一个平面，称为xoz 平面．同样y 轴与z 轴也唯一的决定了一个平面,叫做yoz 平面．这三个平面都叫做坐标面．这三个轴都叫做坐标轴(如图1-3-1)．显然三个坐标面将空间分成八个部分每个部分叫做卦限，其中，含三个坐标轴的正半轴的卦限叫做第一卦限，记为I ．其余依次叫做第二卦限，第三卦限，第四卦限，第五卦限，等等．记为II ，III ，IV ，V 等， 如图1-3-1．
图1-3-1
另外我们注意到，在直角坐标系的形成过程中，我们实际上可以看到，z 轴是由y 轴绕原点逆时针旋转2
π而得到的．而此时过原点O 且垂直于xoy 面的z 轴，虽然仅有一条，但是z 轴的正方向却有两种选择．如图1-3-2的选择，称为右手系．另外一种选择得到的坐标系叫做左
图1-3-2
手系．不失一般性我们以后仅考虑右手系．所以我们的空间中就多了直角坐标系．确定了坐标。