极坐标计算二重积分
利用极坐标系计算二重积分
f ( r , θ)dr ( a ≥ 0).
思考题解答
π π ≤θ≤ D: 2 2 , 0 ≤ r ≤ a cos θ
I = ∫ dr ∫
0 a r arccos a r arccos a
y
θ = arccos
D
r a r = a cosθ
a x
o
f ( r ,θ )dθ .
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 示为极坐标形式的二次积分为______________. 3 、 将 ∫ dx ∫
0 2 3x x
x2
f ( x 2 + y 2 )dy 化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 次积分为______________________. 4 、 将 ∫ dx ∫
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
例3
求广义积分∫0 e
2
∞
x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
二、利用极坐标系计算二重积分
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
r = ri + ri
θ = θ i + θ i
ηi )xi yi
λ →0 i 1 = n
用极坐标计算二重积分
D
x 2 y 2 4 dxdy
D1 D2
o
2
x
D1
(4 x 2 y 2 )dxdy
2
D2
( x 2 y 2 4)dxdy
3
0 0
d
2
( 4 ) d d
3
2
0 2
3 3
2
( 2 4 ) d
41 2 (4 )d 2 ( 4 )d . 0 2 2
2 3a 1 a . [ sin6 ] 6 0 4 2 6
2
作变换 x u, v , y u, v , 其中 C
1
2 u , v R
,
C
1
,
且
x, y u v 0 u, v u v f x, y d x, y f u , v , u , v u, v dudv
2
例 4．球体 x 2 y 2 z 2 a 2 被圆柱面 x 2 y 2 ax (a 0) 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.
解：由对称性，得
z
x 2 y2 z 2 a 2
V 2
D
a 2 x 2 y 2 dxdy
4
D1
a 2 x 2 y 2 dxdy
2 3
例 2．将二次积分
0 dx 1 x
1
1 x 2
f ( x , y )dy 化为极坐标
下的二次积分.
二重积分的极坐标计算方法
π
y=x
4
, 0 ≤ r ≤ f (θ ) }
D
1
4
D 由直线 y = x , y = 4 , 及 x = 0 围成的平面区域。 D = D x = { ( x , y ) 0 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 4 }
1 x = 1 ⇒ r cos θ = 1 ⇒ r = ≡ f (θ ) cos θ 1 π ⇒ D = { ( r ,θ ) 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ r ≤ } 4 cos θ
2
7. 用极坐标系下计算二重积分的判断原则 i) 积分区域是圆的一部分或与圆有关； 积分区域是圆的一部分或与圆有关； ii) 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（在直角坐标 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（ 下的定积分计算不便或根本无法计算）。 下的定积分计算不便或根本无法计算）。
计算二重积分
D = { (r,θ )
( x − 2) 2 + y 2 ≤ 4 }
−
π
-0.5
-1
2 2 (x − 2)2 + y2 = 4 ⇒ (r cosθ − 2)2 + r 2 sin2 θ = 4 2 ⇒ r − 4r cosθ = 0 ⇒ r = 4 cosθ ≡ f (θ ) π π ∴ D = { (r , θ ) − ≤ θ ≤ ，0 ≤ r ≤ 4 cosθ }
2. 二重积分在极坐标系下的形式
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ ) ⋅ r ⋅ drdθ
D D
3. 平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式
平面曲线的极坐标方程 ：r = g (θ ) , 其中 g 为已知函数。 直角坐标曲线方程转换 为极坐标曲线方程：
在极坐标系下二重积分的计算
其中D : x2 ( y 2)2 4.
分析:此题的被积函数非常复杂,无论是何种坐标系,
何种积分次序, ey2 sin x3 y 和 xex2 ln(1 x2 y2)的原函数
都求不出来,常规解法已失效.
y
但如图,积分区域D关于y轴对称, 因被积函数
ey2 sin x3 y xex2 ln(1 x2 y2 ) 2
z
解 由题意,所围立体图形如图所示: 2
则交线为
z
2 x2 y2 z x2 y2
1
即
x2 y2 1
z 1
· Dxy O
y
1
x
从而将立体投影在xy平面,得区域 Dxy :x2 y2 1
在极坐标系下,Dxy
:
0 r 1
0 2
,利用二重积分的几何
意义,有 V [(2 x2 y2 ) (x2 y2 )]dxdy
1
注1 J 仅在r 0处为零,故不论闭区域D是否含有极点,
换元公式仍成立. 即
f (x, y)dxdy f (r cos, r sin )rdrd .
D
D
注2 因在极坐标变换下,上式中的积分区域D与 D
是同一平面区域,只是D的边界方程是关于x,y的方
程,而 D 的边界方程是关于r,θ 的方程.故上式又可
则D的边界方程为 (r2 )2 2a2r2 cos 2
2a
x
O
D
r2 2a2 cos 2 r
2a2 cos 2
4
4
故区域D
:
0
r
4
2a2 cos 2
4
rdrd
4
d
2a2 cos2 rdr a2.
在极坐标系下计算二重积分
解: (1) 利用对称区间奇偶性，得 I x2dxdy D
Q D x 2d xdy D y 2dyd x
y
I1 (x2y2)dxdy 2D
D o 1x
1 2d 1r3dr
20 0
4
二重积分
综合题： 计算 I (x2xyex2y2)dxdy,其中: D
o
A
D
f
(x,
y)dxdy d
2()f(rcos,
1()
rsin)rdr.
二重积分
例 1 计算 x2 y2 d ， D {( x, y) | 2 x2 y2 4 2}．
D
y
解：D 在极坐标系下可表示为
{ ( r ,) |0 2 , r 2 }
O
x
x2 y2d r rdrd
D
D
2d 2r2dr
0
2
0
r3
(
3
)
|2
d
2 7 3d 1 4 4
03
3
二重积分
例2. 计算 (x2y2)dxdy, 其中D 为由圆 x2 y2 2y, D
x2 y2 4y及直线 y 3x 0, x 3y 0, 所围成的
x
x y
1 x2 y2
是关于Y的奇函数，
D
xy 1x2 y2
dxdy0
D
xy1 1x2 y2
dxdy
D
1 1x2 y2
dxdy
2
2d
0
1r 0 1r2 dr
二重积分的计算极坐标
3 曲线的极坐标方程的求法 法一:根据曲线的几何特征及 与 r 几何含义建立方程
y
如图 圆的极坐标方程为
2R r
x
P , r
r 2R sin
0
O 法二:根据直角坐标方程以及极坐标与直角坐标关系建立
圆的直角坐标方程为 x 2 y R 2 R 2 圆的极坐标方程为
0
2 极坐标与直角坐标的关系
若平面上极坐标系与直角坐标系 关系如图. 对平面上的点 P 设其极坐标与直角坐标 分别是 , r 和 x , y 则它们有关系
y
r
O
P , r
x , y
x
x r cos y r sin
D2
D
x
D4
1 2
又如计算
其中 D : x 2 y 2 a 2 .
由于e x 2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角坐标计算. 本题解法见后面例题8 还可举例
I e
D
x2 y2 2
dxdy, D : x y a
2 2
2
解： e
a
a
x / 2
2
r 2R sin
0
例 如图
R
,r P r
r
2R
P , r
法一 r R
0 2
2 2 2 故 r 2 R 2即 r R x y R 法二: 圆的直角坐标方程为
故圆的极坐标方程为 r R 0 2 例 如图 法一 r 2 R cos 2 2 2 2 2 圆的直角坐标方程为 x R y R 法二: 故圆的极坐标方程为 r 2 R cos 2 2
3_二重积分的计算(极坐标)
二、利用极坐标计算二重积分
*三、二重积分的换元法
机动
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结束
二 极坐标下二重积分的计算
(一)极坐标知识回顾
1定义:在平面取一点O称为原点, 从原点出发作一条射线
称为极轴. 平面上任意点P 与原点距离为 r , 向量O P与极轴为夹角为 , 则点P由数组 , r 唯一确定, 称数组 , r 是点P的极坐标.
例2续计算
其中D 为 1 x 2 y 2 4
y
0 2 解: 在极坐标系下 D : 1 r 2
D3 D1
0
D2
D
x
故
I r rdrd
2 D
D4
d
0
2
2
1
r dr
3
1 4 2 15 2 r |1 2 4
I
D1 D2 D3 D4
. .
D: =1和 =2
围成
: 0 2
0
1
D
2 x
此题用直角系算 麻烦，需使用极 坐标系！
I
D
f ( x , y )dxdy
2π
0
dθ f ( r cosθ , r sin θ )rdr
2 1
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例 如图 直线
2 法一 r sin
y2
2
y
r
P , r
l
0
x
法二: 由直线直角坐标方程为 y 2 得 r sin 2 2 故直线极坐标方程为 r 0 sin
经济数学在极坐标系下二重积分的计算
A
D
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
（4）区域如图4
0 2, 0 r ( ).
r ( ) D
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
图4
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等， 或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D1
D 4D1
注意：被积函数也要有对称性.
sin( x2 y2 )
dxdy 4
sin( x2 y2 )
dxdy
D
x2 y2
D1
x2 y2
4
2 d
2 sin r
rdr 4.
0
1r
例 5 计算 ( x2 y2 )dxdy，其中 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
定r的 上 下 限 ：
任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限．
具体地（如图）
（1）区域如图1
r 2()
,
r 1()
D
1( ) r 2( ).
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
图1
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
解 根据对称性有 D 4D1
在极坐标系下
D1
x2 y2 a2 r a,
( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) r a 2cos2 ,
14.二重积分的极坐标计算方法
{ (r, ) 0 , 0 r
1
}
2
sin cos
x
1
y
2
sin cos
sin
e xy d d e rdr sin cos
D
0
0
1
2
sin
e sin cos
(
1
)2 d
1
sin
e sin cos
20
sin cos
2
2 0
e 1 2
.
第15页，共41页。
8. 利用函数可加性和区域可加性分别用直角坐标和极坐标计算
D
1 1 x2
y2 d
2
d
1 0
r dr 1 r2
1 0
r dr 1 r2
1 2
ln(1
r
2
)
1 0
ln 2
2
;
2
I2
D
xy 1 x2
区域关于 x 轴对称
y d 2
被积函数对于
1 x2
xy
y
2
d
I1 I2
ln 2
2 第16页，共41页。
.
求 [ x2 y2 y] d , 其中 D 是由圆 x2 y2 4
转换x , y
D {(r, ) , g ( ) r g ( )}
1
2
第3页，共41页。
2 1
-2
-1
-1
-2 2
1
D
-2
-1
-1
-2
4. 平面区域的极坐标表示法实例
圆盘 D { (x, y) x2 y 2 4 }
将平面区域视为分布在某个角度内的无穷条
极坐标下的二重积分的计算
r
I
f ( x , y )d xdy
D
1. 极点不在区域 D 的内部
D: r1 ( ) r r2 ( )
步骤： B
r2 ( )
F
.
1 从D的图形找出 r, 上、下限；
2 化被积函数为极坐标形式； 3 面积元素dxdy化为rdrd
.
E
r1 ( )
D
A
0
x=y y = 2x
即
即 arctan
D
r = 8 cos
D2
解: D1 {( x , y ) | x 2 y 2 R 2 }
D2 {( x , y ) | x y 2 R }
2 2 2
S
D1
D S2 D
R
S {( x , y ) | 0 x R,0 y R}
2R
{ x 0, y 0}
显然有 D1 S D2
例1. 把 f ( x , y )dxdy 变为极坐标形式，
D
D : ( x a )2 y 2 a 2 与 y 0 围成的区域；
解: ( x a) y a
2 2 2
即 r acos ,
x rcosθ 令 代入 y rsin θ
2 2
2
1
D
0
0
1 2 ( 2 ln 2 1)d ( 2 ln 2 1). 2 0
例4. 计算 sin x 2 y 2 dxdy，其中
D
D {( x , y ) | x y 4 };
2 2 2 2
解:
[理学]极坐标计算二重积分
![[理学]极坐标计算二重积分](https://img.taocdn.com/s3/m/fb1d4ee42b160b4e767fcfe9.png)
sin( x2 y2 ) dxdy
D
x2 y2
D 4D1
0
2
D1
4 sin( x2 y2 ) dxdy 1 r 2
D1
x2 y2
4
2 d
0
2 sin r 1r
rdr
4.
印象
考研—填空题
CH21-重积分
例 例 2 写出积分 f ( x, y)dxdy的极坐标二次积分形
题
D
函
数
x r cos
y
r
sin
rdrd x2 y2 r 2
f (r cos , r sin )
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积
函数含 ( x2 的y用2 ) 此简便.
CH21-重积分
二、极坐标系下二重积分化累次积分
c
1( y)
关键 确定累次积分限
直角坐标系下的面积元素
知识点回顾
计
算D:yI1, yyx[2101
dxxf
(xxe2yC2Hyd221y-)重]d积x分dy
0
(2) 交换二次积分的积分次序
关键
➢画出积分区域形状，
➢确定新的二次积分限
重要
(3) 利用对称性和奇偶性化简二重积分
结论
f
(x,
y)dxdy
三线
方法： 极坐标系下区域如图所示：
法
确定极坐标系下先r后 积分的方法 =
-型： ,
1( ) r 2( ).
极坐标系下的累次积分
r 1(D).
o
r 2( ).
极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分公式
极坐标系是一种曲面积分的特殊形式，也就是在极坐标系中求解二重积分。
极坐标系由一个极轴和一个极角组成，极轴表示离极点距离，极角表示极轴和x轴之间的夹角。
在极坐标系中，求二重积分就是求解沿极角方向极轴上离极点的距离，以及沿极轴方向极角夹角上离极点的距离之间的关系。
二、极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分的公式是：
∫∫f(ρ,θ)dρdθ =f(ρcosθ,sinθ)ρdρdθ
其中，ρ是极轴，θ是极角，f(ρ,θ)表示由极坐标系决定的被积函数，ρdρdθ表示极坐标系下的元素。
三、求二重积分的过程
（1）设定极坐标系中的被积函数f(ρ,θ)：
f(ρ,θ)=ρ^2sin^2θ
（2）根据极坐标求二重积分公式，求解二重积分：
∫∫f(ρ,θ)dρdθ =∫ρ2sin2θρdρdθ
=∫ρ3sin2θdρdθ
（3）确定积分的边界：
ρ的上下限分别为ρ1，ρ2；θ的上下限分别为θ1，θ2。
（4）求解二重积分：
∫∫ρ3sin2θdρdθ=ρ2[-cos2θ]ρ2ρ1dθ= -1/2∫(ρ
2^2-ρ1^2)cos2θdθ
= 1/4(ρ2^2-ρ1^2)[sin2θ2-sin2θ1]
四、总结
极坐标求二重积分公式是一种将曲面积分表示成在极坐标系中求解二重积分的方法。
求解时，首先设定被积函数，然后使用极坐标求二重积分公式，最后确定积分的边界，从而求解出结果。
极坐标求二重积分公式可以求解不同类型的曲面积分，是一项重要的数学解题方法。
二重积分在极坐标下的计算法
S
14
( 1 eR 2 ) e d (x2 y2 ) ( 1 e2R 2 ).
S
e d 又
(x2 y2 )
S
从而 ( 1 eR 2 )
4
( 1 e2R 2 )
4
令R ,则 ( 1 eR 2 ) , ( 1 e2R 2 ) .
e(x2 y2 )dxdy
R2
( ex2 dx)2
4I 2.
13
作如下三个平面区域
D1 {( x, y) | x2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {(x, y) | R x R, R y R}
D
利用本题结论还可以来推导一个在概率统计中十分有
用的广义积分——Possion积分.
e x2 dx .
0
2
12
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) . e x2 dx .
x2 y2 a2
0
2
解 记 I ex2 dx ,则 0
(2)尽量少分块或不分块.
11
内容回顾
但若被积函数是不可求积函数，则需慎重选择积分 次序,否则将导致无法计算.若不小心选错了积分次序， 则需交换积分次序. 交换积分次序的一般步骤： 1、依据积分限作出积分区域D 的图形. 2、将二次积分转化为二重积分. 3、重新选择积分次序,将二重积分转化为二次积分
1 2
er2
)
a 0
(1 ea2 ) . 11
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) .
极坐标系下的二重积分计算
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数
及射线 =常数, 分划区域D 为
k (k 1, 2, , n)
o
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
k k
k
k
r rk x
k
1 2
(rk
rk )2 k
1 2
rk
2
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk ,k ), 对应有
解
y
3x
0
2
3
x2 y2 4 y r 4sin
x
3y
0
1
6
x2 y2 2 y r 2sin
( x2 y2 )dxdy
3 d
r 4sin 2 rdr 15(
3).
D
6
2sin
2
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例 5 计算二重积分 sin( x2 y2 ) dxdy,
D
x2 y2
例7. 求球体
被圆柱面 x2 y2 2 ax
所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0
2
z
由对称性可知
V 4 D 4 a2 r 2 r d r d
o
y
2 acos 0
4a2 r2 rdr
2a
x
32 a3( 2 )
3 23
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设
D
:
1
( )
r
2
(
),
则
r 2 ( )
D
f (r cos , r sin )r d r d
D
d
2 ( )
二重积分计算极坐标
二重积分计算极坐标二重积分是高等数学中的重要概念之一，用于计算平面区域上的一些函数的面积或质量等相关量。
极坐标是一种常用的坐标系，用于描述平面上的点，其中点的位置由极径和极角两个参数确定。
本文将详细介绍如何计算极坐标下的二重积分。
首先，我们来看一下极坐标系的定义。
在极坐标系中，平面上的每个点可以由极径r和极角θ唯一确定。
极径r表示点到原点的距离，极角θ表示点与正半轴的夹角，通常以弧度为单位。
在极坐标系中，原点的坐标为(0,0)，正半轴上的点的极角为0，逆时针方向为正。
接下来，我们来介绍如何将二重积分的计算问题转化为极坐标下的积分问题。
对于一个平面区域D，我们可以用极坐标来描述其中的点。
假设D在极坐标下的表示域为R，即R={(r,θ)，r1≤r≤r2，θ1≤θ≤θ2}。
我们要计算的函数f(x,y)在D上的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dxdy = ∬Rf(rcosθ,rsinθ)rdrdθ其中，r是极径，θ是极角。
上式中，f(x,y)表示在直角坐标系下的函数，f(rcosθ,rsinθ)表示在极坐标系下的函数。
dxdy表示直角坐标系下的面积元素，rdrdθ表示极坐标系下的面积元素。
通过这种方式，我们可以将二重积分的计算问题转化为在极坐标系下的积分问题。
接下来，我们来具体讨论如何计算极坐标下的二重积分。
首先，我们需要确定极坐标下的积分区域R。
一般情况下，R是一个简单的闭区域，可以通过确定r和θ的范围来确定。
根据题目给出的条件，我们可以确定r的取值范围为r1≤r≤r2，θ的取值范围为θ1≤θ≤θ2然后，我们需要确定要计算的函数f(rcosθ,rsinθ)。
根据题目给出的条件，我们可以得到f(x,y)在极坐标系下的表示形式。
将x和y用极坐标的形式表示出来，即x=rc osθ，y=rsinθ，然后将f(x,y)用f(rcosθ,rsinθ)表示出来。
接下来，我们需要确定极坐标下的面积元素rdrdθ。
二重积分在极坐标系下的计算
2R
{ x ≥ 0, y ≥ 0}
显然 D1 ⊂ S ⊂ D2
因为 e
所以
− x2 − y2
> 0,
− x2 − y2
∫∫ e D
1
− x2 − y2
dxdy ≤ ∫∫ e
S
dxdy ≤ ∫∫ e
D2
− x2 − y2
dxdy .
又因为 I = ∫∫ e
S
R
− x2 − y2
d xd y
R − y2
计算方法——化为二次积分 化为二次积分 计算方法
D : ρ1 (θ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (θ ), α ≤ θ ≤ β
其中ρ1 (θ ), ρ 2 (θ ) ∈ C [α , β ], 0 ≤ ρ1 (θ ) ≤ ρ 2 (θ ), 0 ≤ β − α ≤ 2 π.
ρ = ρ2(θ)
D
ρ = ρ1(θ) β α
所围成的图形的面积 .
解
根据对称性 S D = 4 S D1 . ( x 2 + y 2 ) 2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) ⇒ ρ = a 2 cos 2θ
x2 + y2 = a2 ⇒ ρ = a
D1
ρ = a 2 cos 2θ π 得交点 (a , ). 6 ρ = a
S = ∫∫ dxdy = 4 ∫∫ dxdy
θ + dθ
ρdθ
dρ
θ
∆σ ≈ ρdρdθ
ρ ρ + dρ
ρ
dxdy = ρdρdθ
x = ρ cosθ y = ρ sinθ
θ + dθ
二重积分的变量从直角 坐标到极坐标的变换公式
极坐标系下二重积分的计算
直 线 方 程 为 rs i n 1 c o,s
x2 y2 1 xy1
f(x, y)dxdyf(rco,srsin)rdrd
D
D
0 2d1 sAi 1 n c ofs(rco,rsi)n rd .11 r
例 3计 算 e x2y2dx， d 其 中 yD是 由 中 心 在 原 点 ，
A
16
I1II2,
( 1 e R 2 ) (R e x 2 d ) 2 x ( 1 e 2 R 2 );
4
0
4
当 R 时 , I1
4
,
I2
4
,
故 当 R 时 ,I ,
4
即( ex2dx)2 ,
0
4
所 求 广 义 积 分ex2dx
.
0
2
A
17
例 6 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxd.y
D1
S
D2
A
15
又 Ie x 2 y 2 dxdy
S
Rex2dxRey2dy( Rex2dx)2;
0
0
0
I 1 e x 2 y 2 dxdy
D 1
2d
Rer2rdr
(1eR2
);
00
4
同 理 I2 D 2e x 2 y 2 dx 4(d 1ey 2R2 );
D
y 1） 2 x2y24
D o 2x
2）
2
y
2
x2y2 4
D o 2x
3）
2
y
2
x2y24 4）
在极坐标系下二重积分的计算
第九节 在极坐标系下二重积分的计算根据微元法可得到极坐标系下的面积微元θσr d r dd = 注意到直角坐标与极坐标之间的转换关系为,c o s θr x = ,sin θr y =从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式为⎰⎰⎰⎰=D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),( (9.1)内容分布图示★ 利用极坐标系计算二重积分★ 二重积分化为二次积分的公式★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 例7 ★ 例8★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-9★ 返回内容提要：一、二重积分的计算1．如果积分区域D 介于两条射线βθαθ==,之间，而对D 内任一点),(θr ，其极径总是介于曲线)(),(21θϕθϕ==r r 之间（图6-9-2），则区域D 的积分限).()(,21θϕθϕβθα≤≤≤≤r于是 ⎰⎰⎰⎰=D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),( .)sin ,cos ()()(21⎰⎰=θϕθϕβαθθθrdr r r f d (9.2)具体计算时，内层积分的上、下限可按如下方式确定：从极点出发在区间),(βα上任意作一条极角为θ的射线穿透区域D （图6-9-2），则进入点与穿出点的极径)(),(21θϕθϕ就分别为内层积分的下限与上限.2．如果积分区域D 是如图6-9-3所示的曲边扇形，则可以把它看作是第一种情形中当)()(,0)(21θϕθϕθϕ==的特例，此时，区域D 的积分限).(0,θϕβθα≤≤≤≤r 于是.)sin ,cos (),()(0⎰⎰⎰⎰=θϕβαθθθrdr r r f d dxdy y x f D (9.3)3．如果积分区域D 如图6-9-4所示，极点位于D 的内部，则可以把它看作是第二种情形中当πβα2,0==的特例，此时，区域D 的积分限).(0,20θϕπθ≤≤≤≤r于是.)sin ,cos (),()(020⎰⎰⎰⎰=θϕπθθθrdr r r f d dxdy y x f D (9.4)注：根据二重积分的性质3，闭区域D 的面积σ在极坐标系下可表示为⎰⎰⎰⎰==DD rdrd d θσσ (9.5) 如果区域D 如图6-9-3所示，则有⎰⎰⎰⎰⎰===βαθϕβαθθϕθθσd rdr d rdrd D )(21)(0 (9.6) 例题选讲：例1（讲义例1）计算⎰⎰++D yx dxdy 221，其中D 是由122≤+y x 所确定的圆域. 例2（讲义例2） 计算⎰⎰++D dxdy y x y x 2222)sin(π, 其中积分区域D 是由4122≤+≤y x 所确定的圆环域.例3（讲义例3）计算⎰⎰D dxdy x y 22, 其中D 是由曲线x y x 222=+所围成的平面区域. 例4（讲义例4）写出在极坐标系下二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的二次积分，其中区域}.10,11|),{(2≤≤-≤≤-=x x y x y x D 例5 计算dxdy y x D)(22+⎰⎰,其中D 为由圆y y x y y x 4,22222=+=+及直线03=-y x , 03=-x y 所围成的平面闭区域.例 6 将二重积分σd y x f D⎰⎰),(化为极坐标形式的二次积分,其中D 是曲线,222a y x =+ 42222a y a x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-及直线0=+y x 所围成上半平面的区域.例7（讲义例5）求曲线)(2)(222222y x a y x -=+和a y x ≥+22所围成区域D 的面积.例8（讲义例6）求球体22224a z y x ≤++被圆柱面ax y x 222=+)0(>a 所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积（图6-9-9）.课堂练习1.计算⎰⎰--D y x dxdy e22, 其中D 是由中心在原点, 半径为a 的圆周所围成的闭区域.2.计算,|2|22⎰⎰-+D d y x σ 其中3:22≤+y x D .。
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f ( r cos , r sin ) rdr .
0
极点在区域 D 的边界 上
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征（三）如图
0 2,
D
CH21-重积分
r ( )
0 r ( ).
D
f ( r cos , r sin ) rdrd
2
o
2 2 2 2 2
2
2 ax ( a 0 )
所截得的（含在圆柱面
内的部分）立体的体积
z
.
252-4
解 由对称性
V 4
D 2
体积微元
2 2
4 a x y dxdy
y
其中 D 为半圆周 y 2 ax x 及 x 轴
2
x
所围成的闭区域
CH21-重积分
解
2
2
3 ).
CH21-重积分
例 4 求曲线 ( x 2 y 2 ) 2 2 a 2 ( x 2 y 2 ) 和 x 2 y 2 a 2 所围成的图形的面积.
解
根据对称性有 D 4 D 1
在极坐标系下
D1
x y a r a,
2Hale Waihona Puke 2 2( x y ) 2a ( x y )
CH21-重积分
1. 极坐标系下的面积元素的确定
计算小扇形的面积
i 1 2 1 2
2
1 2
i
2
（用极坐标曲线划分D）
s 1 2
i i
( ri ri ) i
ri i
r ri ri
r
2
( 2 ri r i ) r i i
ri ( ri ri ) 2
r ri i
D
ri i
r dr d
面积元素
ri ri i ,
o
i
d rdrd
D
利用扇形的 面积公式
A
极坐标系下区域的面积
rdrd .
CH21-重积分
2. 二重积分转化为极坐标形式的表达式
x r cos 解 在极坐标系下 y r sin
x y 1
2 2
CH21-重积分
所以圆方程为 r 1 ,
直线方程为 r
1 sin cos
1 1
,
x y 1
D
f ( x , y ) dxdy
2
0
d
f ( r cos , r sin )rdr .
答: (1) 0 ;
2
2 2 例 sin( x y ) 例 1 计算二重积分 dxdy , 2 2 题 x y D 分 其中积分区域为 D {( x , y ) | 1 x 2 y 2 4 } . 析
CH21-重积分
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
解题步骤：
的二重积分，需依下列步骤进行：
CH21-重积分
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下
(1) 将 x r cos , y r sin 代入被积函数. (2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式， 确定相应的积分限-------做题关键 (3) 将面积元dxdy 换为 rdrdθ .
确定积分限是关键
D
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy
D
一、极坐标系下二重积分的表达式
y
CH21-重积分
x r cos y r sin
0
M ( x, y)
r
( r , )
x
D
f ( x , y ) d 在极坐标系下
?
极坐标系下的面积元素如何表示？ 极坐标系下被积函数如何表示？ 极坐标系下的区域如何表示？
知识点回顾
CH21-重积分
D
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy
D
(1)直角坐标下累次积分的计算公式
D
f ( x , y )d
b
dx
d
a
2(x)
1( x )
f ( x , y ) dy . ［X－型］
D
f ( x , y )d
关键
D D
应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积 2 2 ( x y )的用此简便. 函数含
二、极坐标系下二重积分化累次积分
方法： 极坐标系下区域如图所示：
CH21-重积分
三线 法
确定极坐标系下先r后 积分的方法
=
r 2 ( ).
-型：
,
1 ( ) r 2 ( ).
(2)D : x y 2 x
解
f ( x , y )d .
D
r 2 cos
2 cos 0
d
2 2
f r cos , r sin rdr
1
小结
CH21-重积分
如果积分区域D为圆、
半圆、圆环、扇形域等，或被积函数
f (x2+y2) 形式，利用极坐标常能简化计算. 通常出现下面两类问题： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分， 2.将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分
A
d
0
( )
极点在区域D内部
f ( r cos , r sin ) rdr .
0
CH21-重积分
思考: 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切于原点, 试问 的变化范围是什么?
(1)
y
r ( )
(2) y
o
r ( )
D
D
x
2
o
x
( 2)
解
y
2
3 x 0 2
2
3
x y 4 y r 4 sin
x
6 2 2 x y 2 y r 2 sin
3 y 0 1
( x
D
2
y ) dxdy
2
3
6
d
4 sin
2 sin
r rdr 15 (
D
sin(
2
x y )
2 2 2
2
D 4D1
dxdy
2
x y
sin(
2
0
D1
2
4
D1
2
x y )
2
1 r 2
x y
2
dxdy
4 d
0
sin r r
rdr
1
4.
印象
考研—填空题
例 例 2 写出积分 f ( x , y )dxdy 的极坐标二次积分形 D 题 分 式，其中积分区域 析 D {( x , y ) | 1 x y 1 x 2 , 0 x 1}.
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的
二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.
例3
2 2
计算 ( x y ) dxdy ，其 D 为由圆
2 2 D
2 2
CH21-重积分
x y 2 y ， x y 4 y 及直线 x
3 y 0，
y
3 x 0 所围成的平面闭区域.
解题步骤：
的二重积分，需依下列步骤进行：
CH21-重积分
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下
(1) 将 x r cos , y r sin 代入被积函数. (2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式， 确定相应的积分限-------做题关键 (3) 将面积元dxdy换为rdrdθ.
x y )
CH21-重积分
2
y 4}.
2
解 由对称性，可只考虑第一象限部分， D 4 D 1 注意：被积函数也要有对称性.
I
D1
D
sin(
2
x y )
2 2
x y
sin(
2 2
dxdy
2
4
D1
x y )
2 2
x y
dxdy
利用极坐标系计算 考研—填空题
关键
(3) 利用对称性和奇偶性化简二重积分
重要 结论
D
2 f ( x , y )dxdy , f关于D上 关于x为偶函数 f ( x , y )dxdy D1 0 f在D上关于 x 为奇函数
4 f ( x , y )dxdy , f关于 x 且关于 y 为偶函数 f ( x , y )dxdy D1 0 f关于 x 且关于 y 为奇函数
a ( 3
CH21-重积分
例5求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a>0)内 部的那部分面积. 解：A=4A1
z
S : z a2 x2 y2 Dxy: x2+y2≤ax, y≥0.
z y
S
x
Dxy
y x
CH21-重积分
例5 求球体
x y z 4 a 被圆柱面 x y
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的