极坐标计算二重积分

D D
应用范围：积分区域为圆域(或一部分)，被积 2 2 ( x y )的用此简便. 函数含
二、极坐标系下二重积分化累次积分
方法： 极坐标系下区域如图所示：
CH21-重积分
三线 法
确定极坐标系下先r后 积分的方法
=
r 2 ( ).
-型：
,
1 ( ) r 2 ( ).
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的
二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.
作业：P254 -1,2，
CH21-重积分
休息一会儿
CH21-重积分
如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等，
或被积函数 f (x2+y2) 形式，
利用极坐标常能简化计算.
通常出现下面两类问题： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分， 2.将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分
2
2

3 ).
CH21-重积分
例 4 求曲线 ( x 2 y 2 ) 2 2 a 2 ( x 2 y 2 ) 和 x 2 y 2 a 2 所围成的图形的面积.
解
根据对称性有 D 4 D 1
在极坐标系下
D1
x y a r a,
2 2 2
( x y ) 2a ( x y )
sin cos
CH21-重积分
练习 化二重积分 f ( x , y )d .为极坐标下的二次积分.
D
(1 ) D : a x y b
2 2 2
2
解
D
f ( x , y )d .
2 2


2
被积函数奇 偶不确定
b a
0
d f r cos , r sin rdr
关键

D
f ( x , y ) dxdy .
化 被 积 函 数
x r cos y r sin
rdrd x y r
2 2
2
Dr
f ( r cos , r sin )
f ( x, y )dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
(2)D : x y 2 x
解

f ( x , y )d .
D

r 2 cos
2 cos 0
d
2 2
f r cos , r sin rdr
1
小结
CH21-重积分
如果积分区域D为圆、
半圆、圆环、扇形域等，或被积函数
f (x2+y2) 形式，利用极坐标常能简化计算. 通常出现下面两类问题： 1.将直角坐标系下的二重积分转化为 极坐标系下的二重积分， 2.将极坐标系下的二重积分转化为直角 坐标系下的二重积分
x r cos 解 在极坐标系下 y r sin
x y 1
2 2
CH21-重积分
所以圆方程为 r 1 ,
直线方程为 r
1 sin cos
1 1
,
x y 1

D
f ( x , y ) dxdy



2
0
d
f ( r cos , r sin )rdr .
解
y
2
3 x 0 2
2

3
x y 4 y r 4 sin
x
6 2 2 x y 2 y r 2 sin
3 y 0 1

( x
D
2
y ) dxdy
2

3
6
d
4 sin
2 sin
r rdr 15 (
a ( 3
CH21-重积分
例5求球面x2+y2+z2=a2含在圆柱面x2+y2=ax(a>0)内 部的那部分面积. 解：A=4A1
z
S : z a2 x2 y2 Dxy: x2+y2≤ax, y≥0.
z y
S
x
Dxy
y x
CH21-重积分
例5 求球体
x y z 4 a 被圆柱面 x y
答: (1) 0 ;

2
2 2 例 sin( x y ) 例 1 计算二重积分 dxdy , 2 2 题 x y D 分 其中积分区域为 D {( x , y ) | 1 x 2 y 2 4 } . 析
CH21-重积分
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
r 1 ( )
CH21-重积分
251页
r 2 ( )
,
D
1 ( ) r 2 ( ).
r 1 ( )

o

D
A
r 2 ( )

极点在积分区域外


D
o f ( r cos , r sin )rdrd

A



d
2 ( )
知识点回顾
CH21-重积分

D
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy
D
(1)直角坐标下累次积分的计算公式

D
f ( x , y )d

b
wenku.baidu.comdx
d
a

2(x)
1( x )
f ( x , y ) dy . ［X－型］

D
f ( x , y )d
关键

CH21-重积分
1. 极坐标系下的面积元素的确定
计算小扇形的面积
i 1 2 1 2
2

1 2
i
2
（用极坐标曲线划分D）
s 1 2
i i
( ri ri ) i
ri i
r ri ri
r
2
( 2 ri r i ) r i i
2 2 2 2 2
2
2 ax ( a 0 )
所截得的（含在圆柱面
内的部分）立体的体积
z
.
252-4
解 由对称性
V 4
D 2
体积微元
2 2
4 a x y dxdy
y
其中 D 为半圆周 y 2 ax x 及 x 轴
2
x
所围成的闭区域
CH21-重积分
解
A


d
0

( )
极点在区域D内部
f ( r cos , r sin ) rdr .
0
CH21-重积分
思考: 下列各图中区域 D 分别与 x , y 轴相切于原点, 试问 的变化范围是什么?
(1)
y
r ( )
(2) y
o
r ( )
D
D
x

2
o
x
( 2)
f ( r cos , r sin ) rdr .
0
极点在区域 D 的边界 上
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征（三）如图
0 2,
D
CH21-重积分
r ( )
0 r ( ).

D
f ( r cos , r sin ) rdrd
2
o

D
知识点回顾
(4) 应用问题
--由曲面所围成的立体体积的计算
z
CH21-重积分
y
x
方法
f ( x , y ) z上 z下 .
思 计算二重积分 I dxdy , x y 考 其中积分区域为 D {( x , y ) | 1 x 题
2 2 2 2 D
sin(
dy
c

2( y)
1( y)
f ( x , y ) dx . ［Y－型］
确定累次积分限 直角坐标系下的面积元素
知识点回顾
计算
D: y 1, y x 0
y [1 xf ( x I dx e
1 x
2
2 CH21-重积分 2 2 y
y )] dxdy dy
0
(2) 交换二次积分的积分次序 画出积分区域形状， 确定新的二次积分限
2 2 2 2 2 2
r a
2 cos 2 ,
伯努利双曲线
CH21-重积分
r a 2 cos 2 由 , r a
得交点 A ( a , ) ,
6

所求面积
dxdy
D
D1
4 dxdy
4 d
0
2
6
a a
2 cos 2
rdr
3 ).
CH21-重积分
数学分析
第 二十一章
$4
利用极坐标计算 二重积分
CH21-重积分
利用极坐标计算二重积分---249页
主要内容
极坐标系下的面积元素的确定 二重积分转化为极坐标形式表达式 极坐标系下的二重积分化为累次积分 本节重点 极坐标系下二重积分的 ----计算方法 本节关键
如何将二重积分化为 极坐标形式累次积分
确定积分限是关键

D
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy
D
一、极坐标系下二重积分的表达式
y
CH21-重积分
x r cos y r sin
0
M ( x, y)
r
( r , )


x

D
f ( x , y ) d 在极坐标系下
?
极坐标系下的面积元素如何表示？ 极坐标系下被积函数如何表示？ 极坐标系下的区域如何表示？
关键
(3) 利用对称性和奇偶性化简二重积分
重要 结论

D
2 f ( x , y )dxdy , f关于D上 关于x为偶函数 f ( x , y )dxdy D1 0 f在D上关于 x 为奇函数
4 f ( x , y )dxdy , f关于 x 且关于 y 为偶函数 f ( x , y )dxdy D1 0 f关于 x 且关于 y 为奇函数
r 1 (D ).
=
A
极坐标系下的累次积分
o

D
f ( x , y )d
2 ( )
1 (

D
f ( r cos , r sin )rddr

d
f ( r cos , r sin )rdr
)
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征（一）如图：

D
sin(
2
x y )
2 2 2
2
D 4D1
dxdy
2
x y
sin(
2
0

D1
2
4
D1
2
x y )
2
1 r 2
x y
2
dxdy
4 d
0
sin r r
rdr
1
4.
印象
考研—填空题
例 例 2 写出积分 f ( x , y )dxdy 的极坐标二次积分形 D 题 分 式，其中积分区域 析 D {( x , y ) | 1 x y 1 x 2 , 0 x 1}.
1 ( )
f ( r cos , r sin )rdr .
CH21-重积分
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征（二）如图
,
0 r ( ).
D
r ( )

D
f ( r cos , r sin ) rdrd
o


A




d

( )
解题步骤：
的二重积分，需依下列步骤进行：
CH21-重积分
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下
(1) 将 x r cos , y r sin 代入被积函数. (2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式， 确定相应的积分限-------做题关键 (3) 将面积元dxdy 换为 rdrdθ .

ri ( ri ri ) 2
r ri i
D
ri i
r dr d
面积元素
ri ri i ,
o
i
d rdrd
D
利用扇形的 面积公式
A
极坐标系下区域的面积
rdrd .
CH21-重积分
2. 二重积分转化为极坐标形式的表达式
解题步骤：
的二重积分，需依下列步骤进行：
CH21-重积分
1.将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下
(1) 将 x r cos , y r sin 代入被积函数. (2) 将区域D的边界曲线换为极坐标系下的表达式， 确定相应的积分限-------做题关键 (3) 将面积元dxdy换为rdrdθ.
2.将极坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的
二重积分步骤与1相似，只需依反方向进行.
例3
2 2
计算 ( x y ) dxdy ，其 D 为由圆
2 2 D
2 2
CH21-重积分
x y 2 y ， x y 4 y 及直线 x
3 y 0，
y
3 x 0 所围成的平面闭区域.
x y )
CH21-重积分
2
y 4}.
2
解 由对称性，可只考虑第一象限部分， D 4 D 1 注意：被积函数也要有对称性.
I
D1

D
sin(
2
x y )
2 2
x y
sin(
2 2
dxdy
2
4
D1
x y )
2 2
x y
dxdy
利用极坐标系计算 考研—填空题