二重积分在极坐标下的计算法
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内容回顾
1、直角坐标系下二重积分的计算—转化成二次积分
f (x, y)d f (x, y)dxdy
D
D
X型
===
b
dx
y2 (x) f (x, y) dy
a
y1 ( x)
Y型
===
d
dy
x2 ( y) f (x, y)dx
c
x1 ( y)
划线定限
选择积分次序的原则： (1)积分容易；
1 2
er2
)
a 0
(1 ea2 ) . 11
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) .
x2 y2 a2
本题若选用直角坐标系,则
e(x2 y2 )dxdy a ex2 dx a2 x2 e y2 dy（无法计算）
a
a2 x2
rk rk
k
1 2
rk2
k
rk rk k
又rkkxy
k
r cos rksinrk
所以面积元素为 d r dr d
f (x, y) d f (r cos, r sin ) r drd
D
D
6
二、极坐标系下二重积分的计算公式
(2)尽量少分块或不分块.
11
内容回顾
但若被积函数是不可求积函数，则需慎重选择积分 次序,否则将导致无法计算.若不小心选错了积分次序， 则需交换积分次序. 交换积分次序的一般步骤： 1、依据积分限作出积分区域D 的图形. 2、将二次积分转化为二重积分. 3、重新选择积分次序,将二重积分转化为二次积分
R 2R
显然有D1 S D2 ,且 e （x2 +y2） 0, 从而
e d e d e d , (x2y2 )
(x2 y2 )
(x2 y2 )
D1
S
D2
由例1结果,得
( 1 eR 2 ) e d (x2 y2 ) ( 1 e2R 2 ).
9
在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：
1)当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时,D的边界 用极坐标表示较为简单；
2)被积函数具有 f ( x2 y2 ) 等形式时,用极坐标积分
较为容易.
y
y
o
ax
o 1 2x
10
例1 计算 e x2 y2 dxdy ，其中 D是由中心在原点，
D
利用本题结论还可以来推导一个在概率统计中十分有
用的广义积分——Possion积分.
e x2 dx .
0
2
12
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) . e x2 dx .
x2 y2 a2
0
2
解 记 I ex2 dx ,则 0
e(x2 y2 )dxdy
R2
( ex2 dx)2
4I 2.
13
作如下三个平面区域
D1 {( x, y) | x2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {(x, y) | R x R, R y R}
并计算.
2
第三节 极坐标系下二重积分的计算法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回顾极坐标的相关知识
1、直角坐标与极坐标的关系：
x r cos y r sin
r x2 y2 arctan y ( x 0) x
r
Ox
P y
x
3
2、常见曲线的极坐标方程： y
1、圆 x2 y2 a2
ra
o
r 1( )
7
二、极坐标系下二重积分的计算公式
（2）区域D特征如图（极点在区域D的边界）
D : , 0 r ( )
D
则 f (r cos, r sin ) rdrd
D
( )
o
d 0 f (r cos, r sin ) r dr
D
y
半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
解 用极坐标计算,
e x2 y2dxdy er2 rdrd
ra
o
ax
D
D
2
d
a er2 r dr
2
d
a er2 rdr
0
0
0
0
2 [ 1 2
a er2 d(
0
r2 )]
2
(
r a
y
O
4
a
x
4
x
2 a
x
5
一、极坐标系下二重积分的表示
y
在极坐标系下,可用同心圆r =常数
及射线 =常数来划分区域D.
则小区域的面积为
o
k k
k
k
r rk x
k
1 2
(rk
rk
)2
k
1 2
rk 2
k
x
y
2、圆 x2 y2 2ax
r 2a cos
( [
, ])
o
x
22
3、圆 x2 y2 2ay
y
r 2asin ( [0, ])
o
x4
2、常见曲线的极坐标方程：
y
4、心形线 r a(1 cos )
a
y
5、阿基米德螺线
6、双纽线
r2 a2 cos 2
S
14
( 1 eR 2 ) e d (x2 y2 ) ( 1 e2R 2 ).
S
e d 又
(x2 y2 )
S
从而 ( 1 eR 2 )
4
( 1 e2R 2 )
4
令R ,则 ( 1 eR 2 ) , ( 1 e2R 2 ) .
r ( )
A
8
二、极坐标系下二重积分的计算公式
（3）区域D特征如图（极点在区域D的内部）
r ( )
D : 0 2 ,0 r ( )
D
则 f (r cos, r sin ) rdrd
o
A
D
2
( )
0 d 0 f (r cos, r sin) r dr
（1）区域D特征如图（极点在区域D的外部）
D : ,1( ) r 2 ( )
r 2 ( )
D
则 f (r cos, r sin ) rdrd
D
o
d
2( ) f (r cos, r sin ) r dr
1 ( )
1、直角坐标系下二重积分的计算—转化成二次积分
f (x, y)d f (x, y)dxdy
D
D
X型
===
b
dx
y2 (x) f (x, y) dy
a
y1 ( x)
Y型
===
d
dy
x2 ( y) f (x, y)dx
c
x1 ( y)
划线定限
选择积分次序的原则： (1)积分容易；
1 2
er2
)
a 0
(1 ea2 ) . 11
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) .
x2 y2 a2
本题若选用直角坐标系,则
e(x2 y2 )dxdy a ex2 dx a2 x2 e y2 dy（无法计算）
a
a2 x2
rk rk
k
1 2
rk2
k
rk rk k
又rkkxy
k
r cos rksinrk
所以面积元素为 d r dr d
f (x, y) d f (r cos, r sin ) r drd
D
D
6
二、极坐标系下二重积分的计算公式
(2)尽量少分块或不分块.
11
内容回顾
但若被积函数是不可求积函数，则需慎重选择积分 次序,否则将导致无法计算.若不小心选错了积分次序， 则需交换积分次序. 交换积分次序的一般步骤： 1、依据积分限作出积分区域D 的图形. 2、将二次积分转化为二重积分. 3、重新选择积分次序,将二重积分转化为二次积分
R 2R
显然有D1 S D2 ,且 e （x2 +y2） 0, 从而
e d e d e d , (x2y2 )
(x2 y2 )
(x2 y2 )
D1
S
D2
由例1结果,得
( 1 eR 2 ) e d (x2 y2 ) ( 1 e2R 2 ).
9
在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：
1)当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时,D的边界 用极坐标表示较为简单；
2)被积函数具有 f ( x2 y2 ) 等形式时,用极坐标积分
较为容易.
y
y
o
ax
o 1 2x
10
例1 计算 e x2 y2 dxdy ，其中 D是由中心在原点，
D
利用本题结论还可以来推导一个在概率统计中十分有
用的广义积分——Possion积分.
e x2 dx .
0
2
12
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) . e x2 dx .
x2 y2 a2
0
2
解 记 I ex2 dx ,则 0
e(x2 y2 )dxdy
R2
( ex2 dx)2
4I 2.
13
作如下三个平面区域
D1 {( x, y) | x2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {(x, y) | R x R, R y R}
并计算.
2
第三节 极坐标系下二重积分的计算法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
回顾极坐标的相关知识
1、直角坐标与极坐标的关系：
x r cos y r sin
r x2 y2 arctan y ( x 0) x
r
Ox
P y
x
3
2、常见曲线的极坐标方程： y
1、圆 x2 y2 a2
ra
o
r 1( )
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二、极坐标系下二重积分的计算公式
（2）区域D特征如图（极点在区域D的边界）
D : , 0 r ( )
D
则 f (r cos, r sin ) rdrd
D
( )
o
d 0 f (r cos, r sin ) r dr
D
y
半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
解 用极坐标计算,
e x2 y2dxdy er2 rdrd
ra
o
ax
D
D
2
d
a er2 r dr
2
d
a er2 rdr
0
0
0
0
2 [ 1 2
a er2 d(
0
r2 )]
2
(
r a
y
O
4
a
x
4
x
2 a
x
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一、极坐标系下二重积分的表示
y
在极坐标系下,可用同心圆r =常数
及射线 =常数来划分区域D.
则小区域的面积为
o
k k
k
k
r rk x
k
1 2
(rk
rk
)2
k
1 2
rk 2
k
x
y
2、圆 x2 y2 2ax
r 2a cos
( [
, ])
o
x
22
3、圆 x2 y2 2ay
y
r 2asin ( [0, ])
o
x4
2、常见曲线的极坐标方程：
y
4、心形线 r a(1 cos )
a
y
5、阿基米德螺线
6、双纽线
r2 a2 cos 2
S
14
( 1 eR 2 ) e d (x2 y2 ) ( 1 e2R 2 ).
S
e d 又
(x2 y2 )
S
从而 ( 1 eR 2 )
4
( 1 e2R 2 )
4
令R ,则 ( 1 eR 2 ) , ( 1 e2R 2 ) .
r ( )
A
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二、极坐标系下二重积分的计算公式
（3）区域D特征如图（极点在区域D的内部）
r ( )
D : 0 2 ,0 r ( )
D
则 f (r cos, r sin ) rdrd
o
A
D
2
( )
0 d 0 f (r cos, r sin) r dr
（1）区域D特征如图（极点在区域D的外部）
D : ,1( ) r 2 ( )
r 2 ( )
D
则 f (r cos, r sin ) rdrd
D
o
d
2( ) f (r cos, r sin ) r dr
1 ( )