二重积分在极坐标下的计算法
高等数学：第三讲 极坐标系下二重积分的计算
解：画出积分区域，极点 在区域 D 的外部 区域 D可表示为
D {(r, ) | 2 r 3, 0 2 }
因此Biblioteka ex2y2dxdy 2d
3 er2 rdr
D
0
2
y
2 r 3
4 x2 y2 9
O
x
0 2
例2
2 0
[
1 2
er2
] |32
d
2 ( 1 e9 1 e4 )d
D
o
i1 i
i
r ri1 r ri
x
极坐标系下计算二重积分
再由直角坐标与极坐标的关系
x r cos , y r sin
可得
D f ( x, y)dxdy D f ( x, y)d D f (r cos , r sin )rdrd
D
o
i1
i
r
ri 1
i
r ri
x
极坐标系下计算二重积分
因此
O
x
x2 y2dxdy
d
2sin
r rdr
D
0
0
例3
0
[
1 3
r
3
]
|2sin
0
d
8 sin3 d
30
32 9
y
x2 y2 2y
2 sin
•
0
O
x
谢谢
此时
D f (r cos , r sin )rdrd
r ( )
= d 0 f (r cos , r sin )rdr
r r( )
D
o x
例1
计算
D1
1 x2
利用极坐标系计算二重积分
f ( r , θ)dr ( a ≥ 0).
思考题解答
π π ≤θ≤ D: 2 2 , 0 ≤ r ≤ a cos θ
I = ∫ dr ∫
0 a r arccos a r arccos a
y
θ = arccos
D
r a r = a cosθ
a x
o
f ( r ,θ )dθ .
D
示为极坐标形式的二次积分为______________. 示为极坐标形式的二次积分为______________. 3 、 将 ∫ dx ∫
0 2 3x x
x2
f ( x 2 + y 2 )dy 化为极坐标形式的二
次积分为______________________. 次积分为______________________. 4 、 将 ∫ dx ∫
∫∫ e
D
x2 y2
dxdy = ∫ dθ∫ e
0 0
2π
a
r2
rdr
= π(1 e
a2
).
例3
求广义积分∫0 e
2
∞
x2
dx .
2
解 D1 = {( x , y ) | x + y ≤ R }
2
D2 S
D2 = {( x , y ) | x + y ≤ 2 R }
2 2 2
D1
D S2 D
二、利用极坐标系计算二重积分
∫∫ f ( x , y )dxdy
D
r = ri + ri
θ = θ i + θ i
ηi )xi yi
λ →0 i 1 = n
用极坐标计算二重积分
D
x 2 y 2 4 dxdy
D1 D2
o
2
x
D1
(4 x 2 y 2 )dxdy
2
D2
( x 2 y 2 4)dxdy
3
0 0
d
2
( 4 ) d d
3
2
0 2
3 3
2
( 2 4 ) d
41 2 (4 )d 2 ( 4 )d . 0 2 2
2 3a 1 a . [ sin6 ] 6 0 4 2 6
2
作变换 x u, v , y u, v , 其中 C
1
2 u , v R
,
C
1
,
且
x, y u v 0 u, v u v f x, y d x, y f u , v , u , v u, v dudv
2
例 4．球体 x 2 y 2 z 2 a 2 被圆柱面 x 2 y 2 ax (a 0) 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积.
解：由对称性，得
z
x 2 y2 z 2 a 2
V 2
D
a 2 x 2 y 2 dxdy
4
D1
a 2 x 2 y 2 dxdy
2 3
例 2．将二次积分
0 dx 1 x
1
1 x 2
f ( x , y )dy 化为极坐标
下的二次积分.
浅谈极坐标系下的二重积分的计算
浅谈极坐标系下的二重积分的计算
极坐标系，又称极座标系，它是在平面直角坐标系的基础上发展而来的一种特
殊坐标系，其参照点被称为极点，并以极点的横纵坐标作为极轴来表示，结合极轴和距离极点的极径，就可以确定任意点的位置。
在极坐标系下的二重积分被广泛地应用于工程和物理学中，以实现集中式物质的分布情况更加准确和快捷地确定。
极坐标系下的二重积分是指把平面上某区域按照极坐标系分界，然后利用积分
计算技术求出该区域内的某三维函数的定积分，其计算公式为：
$$∫_{∞}^{minθ}∫_{θ}^{maxθ} f(r,θ) rdrdθ$$
其中，$f(r,θ)$ 为极坐标系中的函数， $r$ 代表极径， $rdr$ 为微元积分值。
与常用的二重积分计算方法不同，极坐标系中求二重积分时，原函数会抽象为一个两变量函数$f(r,θ)$，其最主要的特点在于函数变换，即把二重积分拆解为两个一重积分计算，从而简化了二重积分的计算过程。
极坐标系下的二重积分由于可以实现更加精确的函数变换，避免了大容量的数
据计算，从而降低了计算难度，使得运算更加迅速。
此外，极坐标系下的二重积分还可以通过设置不同的数值参数，来实现不同的区域计算，更加实用。
极坐标系下的二重积分的计算虽然在某种程度上比普通几何体积计算更加便捷，但由于其计算对精度要求比较高，且变量之间有一定程度的关联，因此使用者在进行计算时要把握好参数的数量及有效性，以避免因缺乏考虑而造成计算结果出错。
二重积分的极坐标计算方法
π
y=x
4
, 0 ≤ r ≤ f (θ ) }
D
1
4
D 由直线 y = x , y = 4 , 及 x = 0 围成的平面区域。 D = D x = { ( x , y ) 0 ≤ x ≤ 4, x ≤ y ≤ 4 }
1 x = 1 ⇒ r cos θ = 1 ⇒ r = ≡ f (θ ) cos θ 1 π ⇒ D = { ( r ,θ ) 0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ r ≤ } 4 cos θ
2
7. 用极坐标系下计算二重积分的判断原则 i) 积分区域是圆的一部分或与圆有关； 积分区域是圆的一部分或与圆有关； ii) 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（在直角坐标 被积函数适合在极坐标下的定积分计算（ 下的定积分计算不便或根本无法计算）。 下的定积分计算不便或根本无法计算）。
计算二重积分
D = { (r,θ )
( x − 2) 2 + y 2 ≤ 4 }
−
π
-0.5
-1
2 2 (x − 2)2 + y2 = 4 ⇒ (r cosθ − 2)2 + r 2 sin2 θ = 4 2 ⇒ r − 4r cosθ = 0 ⇒ r = 4 cosθ ≡ f (θ ) π π ∴ D = { (r , θ ) − ≤ θ ≤ ，0 ≤ r ≤ 4 cosθ }
2. 二重积分在极坐标系下的形式
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f (r cosθ , r sin θ ) ⋅ r ⋅ drdθ
D D
3. 平面曲线与平面区域在极坐标系下的表示形式
平面曲线的极坐标方程 ：r = g (θ ) , 其中 g 为已知函数。 直角坐标曲线方程转换 为极坐标曲线方程：
二重积分的计算方法
二重积分的计算方法二重积分是微积分中的一个重要概念，用于计算平面上某个区域的面积、质量、质心等问题。
在本文中，我们将介绍二重积分的计算方法，包括直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
一、直角坐标系下的二重积分计算方法在直角坐标系下，二重积分的计算通常通过累次积分的方式进行。
设有一个二元函数 f(x, y) 在某一闭区域 D 上连续，则 D 可以表示为水平投影区域 D' 在直角坐标系上的投影区域，并且可以将 D 划分成许多小的面积 dA。
二重积分的计算可以表示为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(x, y)dxdy其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(x, y) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(x, y)dxdy = ∫[a, b]∫[c(x), d(x)]f(x, y)dydx其中，[a, b] 表示 x 的取值范围，c(x) 和 d(x) 分别表示 D' 在 x 轴上的投影区间的下边界和上边界。
根据具体问题，我们可以选择先对 x进行积分，再对y 进行积分，或者先对y 进行积分，再对x 进行积分。
通过这样的累次积分方式，可以计算得到二重积分的结果。
二、极坐标系下的二重积分计算方法在某些问题中，使用极坐标系进行二重积分的计算更加方便。
对于闭区域 D 在极坐标系下的表示，我们可以将二重积分的计算公式改写为：∬Df(x, y)dA = ∫∫Df(r, θ)rdrdθ其中，D 表示闭区域 D 上的面积，f(r, θ) 是定义在 D 上的二元函数，dA 表示面积元素。
根据累次积分的原理，上式可以改写为：∬Df(r, θ)rdrdθ = ∫[α, β]∫[g(θ), h(θ)]f(r, θ)rdrdθ其中，[α, β] 表示θ的取值范围，g(θ) 和h(θ) 分别表示 D 在极坐标系下的投影区间的内半径和外半径。
同样地，通过选择先对θ进行积分，再对r进行积分，或者先对r进行积分，再对θ进行积分的方式，可以计算得到二重积分的结果。
D10_2二重积分的计算-极坐标
故①式成立 .
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2 2 ( x y ) d x d y, 其中D 为由圆 x 2 y 2 2 y, 例4. 计算 D
x y 4 y 及直线 x 3 y 0, y 3x 0 所围成的 y 平面闭区域. 4 2 2 解： x y 2 y r 2 sin x 2 y 2 4 y r 4 sin y 3x 0 2 3 x 3 y 0 1 6
D
d x2 ( y )
1
c
D f ( x, y) d c d y x ( y )
f ( x, y ) d x
机动 目录
x x1 ( y ) x
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极坐标系情形: 若积分区域为
则
D f ( x, y) d D f (r cos , r sin ) rd r d
2 2 1 k 1 (r rk ) k 2 rk k 2 k
o
r rk x
k
rk k
rk rk k
在 k 内取点(rk , k ), 对应有
k
rk
rk
k rk cos k , k rk sin k
2
机动
2
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常见区域D'的确定
(1) D : x y 2Rx (如图)
2 2
y
r 2 2Rr cos D : , 0 r 2 R cos 2 2 (2) D : x 2 y 2 2Ry (如图) r 2Rr sin
第二节、(2)二重积分在极坐标系下的计算
(2) 双纽线的极坐标方程为 2 2sin 2 ,
其所围区域 D 见图.
y
由于积分区域D关于原点对称,
而被积函数 f ( x, y) xy 满足
O
x
f ( x, y) ( x)( y) xy f ( x, y),
故 I 2 xydxdy,
D1
其中 D1 为 D 的关于 x 轴上方的部分.
D
双纽线所围成:
(1) ( x2 y2 )2 2( x2 y2 )
(2) ( x2 y2 )2 4xy.
解 (1) 双纽线的极坐标方程为 2 2cos2 ,
其所围区域 D 见图.
y
由于积分区域D关于x轴对称,
而被积函数xy关于y是奇函数,
O
x
故 xydxdy 0.
下
(x, y) D
r 1( )
o
且 J (x, y) 0 (u, v)
则 D f (x, y) d D f [x(u,v), y(u,v)] J d u d v
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(3) 计算步骤及注意事项
• 画出积分域 域边界应尽量多为坐标线
x 3y 0 π
6
y 3x 0 π
3
( x2 y2 )dxdy
D
π
π3d
6
4sin 2 d 15( π
2 sin
2
3).
例4 将 f ( x, y)dxdy 化为极坐标形式的二次积分,
D
其中D {(x, y)1 x y 1 x2 ,0 x 1}.
0
在极坐标系下计算二重积分
解: (1) 利用对称区间奇偶性，得 I x2dxdy D
Q D x 2d xdy D y 2dyd x
y
I1 (x2y2)dxdy 2D
D o 1x
1 2d 1r3dr
20 0
4
二重积分
综合题： 计算 I (x2xyex2y2)dxdy,其中: D
o
A
D
f
(x,
y)dxdy d
2()f(rcos,
1()
rsin)rdr.
二重积分
例 1 计算 x2 y2 d ， D {( x, y) | 2 x2 y2 4 2}．
D
y
解：D 在极坐标系下可表示为
{ ( r ,) |0 2 , r 2 }
O
x
x2 y2d r rdrd
D
D
2d 2r2dr
0
2
0
r3
(
3
)
|2
d
2 7 3d 1 4 4
03
3
二重积分
例2. 计算 (x2y2)dxdy, 其中D 为由圆 x2 y2 2y, D
x2 y2 4y及直线 y 3x 0, x 3y 0, 所围成的
x
x y
1 x2 y2
是关于Y的奇函数，
D
xy 1x2 y2
dxdy0
D
xy1 1x2 y2
dxdy
D
1 1x2 y2
dxdy
2
2d
0
1r 0 1r2 dr
二重积分的计算极坐标
3 曲线的极坐标方程的求法 法一:根据曲线的几何特征及 与 r 几何含义建立方程
y
如图 圆的极坐标方程为
2R r
x
P , r
r 2R sin
0
O 法二:根据直角坐标方程以及极坐标与直角坐标关系建立
圆的直角坐标方程为 x 2 y R 2 R 2 圆的极坐标方程为
0
2 极坐标与直角坐标的关系
若平面上极坐标系与直角坐标系 关系如图. 对平面上的点 P 设其极坐标与直角坐标 分别是 , r 和 x , y 则它们有关系
y
r
O
P , r
x , y
x
x r cos y r sin
D2
D
x
D4
1 2
又如计算
其中 D : x 2 y 2 a 2 .
由于e x 2 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角坐标计算. 本题解法见后面例题8 还可举例
I e
D
x2 y2 2
dxdy, D : x y a
2 2
2
解： e
a
a
x / 2
2
r 2R sin
0
例 如图
R
,r P r
r
2R
P , r
法一 r R
0 2
2 2 2 故 r 2 R 2即 r R x y R 法二: 圆的直角坐标方程为
故圆的极坐标方程为 r R 0 2 例 如图 法一 r 2 R cos 2 2 2 2 2 圆的直角坐标方程为 x R y R 法二: 故圆的极坐标方程为 r 2 R cos 2 2
经济数学在极坐标系下二重积分的计算
A
D
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
（4）区域如图4
0 2, 0 r ( ).
r ( ) D
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
D
图4
2
( )
d f (r cos ,r sin )rdr.
0
0
如果积分区域D为圆、半圆、圆环、扇形域等， 或被积函数f(x2+y2)形式，利用极坐标常能简化计算.
解 由对称性，可只考虑第一象限部分，
D1
D 4D1
注意：被积函数也要有对称性.
sin( x2 y2 )
dxdy 4
sin( x2 y2 )
dxdy
D
x2 y2
D1
x2 y2
4
2 d
2 sin r
rdr 4.
0
1r
例 5 计算 ( x2 y2 )dxdy，其中 D 为由圆
D
x2 y2 2 y， x2 y2 4 y及直线 x 3y 0，
定r的 上 下 限 ：
任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限．
具体地（如图）
（1）区域如图1
r 2()
,
r 1()
D
1( ) r 2( ).
o
A
f (r cos ,r sin )rdrd
图1
D
d
2( ) f (r cos , r sin )rdr.
解 根据对称性有 D 4D1
在极坐标系下
D1
x2 y2 a2 r a,
( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) r a 2cos2 ,
极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分公式极坐标系是一种空间坐标系，具有很多非常独特的优点，可以方便快捷地解决复杂的数学计算问题。
极坐标系下的二重积分也就是离散的一维积分叠加的次数，而极坐标系下的二重积分公式是用来计算极坐标系下函数的积分值的。
让我们先来看一下极坐标系下的二重积分公式，二重积分公式就是一种通用的数学公式，用来计算极坐标系下函数的积分值。
其公式为：$$iint_{R}f(r,theta),dA=int_{0}^{2pi}int_{0}^{r}f(r,theta), r,dr,dtheta$$其中，R是极坐标系下的积分区域，f（r，θ）是极坐标系下的函数，dA代表极坐标系下的区域积分面积元，r代表极坐标系下的极径，θ代表极坐标系下的极角。
极坐标系下的二重积分因为有一些特别的特性，可以被应用到经典力学、流体力学、热力学等科学基础领域之中，大大增强了这些学科的探索和实现能力。
此外，极坐标系的二重积分公式还可以被广泛应用到几何建模、真空电子学、信号处理中，大大提高了计算准确度和计算效率。
以上就是极坐标系下的二重积分公式，因其应用广泛，在数学和物理上也发挥了重要作用。
它可以帮助我们比较方便地解决复杂的数学计算问题，从而更好地探索自然现象。
然而，面对极坐标系下的二重积分公式，也存在一些不足之处。
久而久之，随着技术的进步，它的计算准确度和计算效率也受到了一定的限制，这也使得对复杂函数的计算变得更加困难。
另外，极坐标系的应用范围也是有限的，不能满足所有需求。
因此，在今后的研究中，需要充分利用极坐标系的优点，同时提出新的有效的数学计算方法，以提升极坐标系的计算准确度和计算效率，从而更好地应用于实际的科学技术中。
总的来说，极坐标系下的二重积分公式是一种十分有用的数学计算方法，它可以方便快捷地解决复杂的数学计算问题，但同时也存在一些不足之处，为此，今后我们还需要继续努力，在不断完善极坐标系的计算准确度和计算效率上，更好地满足科学技术对复杂函数的计算需求。
极坐标求二重积分公式
极坐标求二重积分公式极坐标是一种描述平面上点的坐标系，通过角度和距离来确定点的位置。
它在数学、物理和工程等领域具有重要的应用。
而在积分学中，极坐标下的二重积分是一种简化计算的方法，特别适用于具有旋转对称性的问题。
本文将深入探讨极坐标下的二重积分公式及其计算方法。
首先，我们需要了解极坐标系的定义。
在平面直角坐标系中，我们通常使用x轴和y轴来表示点的位置。
而在极坐标系中，我们用极径（r）和极角（θ）来表示点的位置。
极径是点到原点的距离，极角是从正半轴到点所在线段与x轴的夹角（逆时针方向为正）。
在极坐标系中，一个区域R可以用极角的两个边界θ1和θ2以及极径的两个边界r1和r2来描述。
这样，我们可以将R分割成许多小区域，每个小区域可以用一个极坐标点（r，θ）来表示。
我们可以利用这些小区域的面积来近似R的面积，并通过求和的方式得到二重积分的近似值。
现在我们来讨论二重积分的求解方法。
对于一个在极坐标系下的函数f(r,θ)，我们希望求解它在区域R内的二重积分。
根据极坐标下的面积元素公式，我们有dA = r dr dθ。
因此，函数f(r,θ)在区域R内的二重积分可以表示为：∬Rf(r,θ)dA = ∫∫Rf(r,θ)r dr dθ其中，∫∫R表示对区域R内的所有小区域进行求和，r和θ分别是小区域的极径和极角，f(r,θ)是函数在极坐标下的描述。
接下来，我们需要确定极径和极角的边界。
通常，极径的边界可以使用直角坐标系中的曲线来表示。
例如，如果给定了平面上的一个圆，我们可以将它的方程转换为极坐标系下的方程。
极角的边界则由问题的旋转对称性来确定。
常见的极角边界有：1.对称边界：如果函数f(r,θ)在极角的范围内具有对称性，我们可以只计算一部分区域的二重积分，然后乘以2来得到整个区域的积分结果。
2.旋转边界：如果我们需要计算一个以极轴为对称轴的旋转体的体积，可以将f(r,θ)表示为极坐标下的函数，然后将极角范围限定在一个完整的圆周上。
总结直角坐标与极坐标下计算二重积分的计算步骤
总结直角坐标与极坐标下计算二重积分的计
算步骤
直角坐标与极坐标下计算二重积分的计算步骤如下：
（1）直角坐标下计算二重积分：
① 确定积分区域：在直角坐标系中，使用对应的曲线方程或注明边界，确定二次积分区域。
② 设计被积函数：根据所求函数，设计被积函数。
③ 写出二次积分式：将被积函数带入二次积分式中计算。
（2）极坐标下计算二重积分：
① 确定积分区域：在极坐标系中，确定被积函数的积分区域。
② 设计被积函数：将被积函数转换成极坐标下的函数，即将直角坐标系下的函数用极坐标表示。
③写出二重积分式：将被积函数带入极坐标系下的二次积分式中计算。
注：以上步骤中，需注意积分区域的边界、被积函数的变化形式以及极坐标系与直角坐标系之间的转换关系。
高等数学随堂讲义二重积分的在极坐标系下的计算
x
交点的极角为θ的上限.
➢将极坐标系下的二重积分化为累次积分
1．积分次序的选择：一般选择先ρ后θ的次序
2．积分限的确定： 以先ρ后θ的次序为例
D
f
(
cos ,
sin
)dd
αβd
2
f
( )
(
c
o
s
,
1 ( )
sin
)d
先定θ的积分限
再定ρ的积分限
1 ( )
在θ的上下限之间作从极点出发的射线，
计算二重积分
➢极坐标系
ρ θ
规定：
极径 极角 极坐标
在极坐标系下：
P
ρ
θ
O
x
极点
极轴
以极点为圆心，ρ0为半径的圆 与极轴夹角为θ0的射线
上述两曲线的交点
➢极坐标与直角坐标的互化
P
ρ
θ
O
x
极点
极轴
➢极坐标与直角坐标的互化
y
1．极坐标化直角坐标
P
极坐标
ρ
直角坐标 2．直角坐标化极坐标
θ
O
x
极轴
直角坐标
d
d d
f ( x, y)d f ( cos , sin ) d d
D
D
二、二重积分在极坐标系下的计算
（一）二重积分计算公式 （二）化为累次积分方法 （三）小结
二、二重积分在极坐标系下的计算
（一）二重积分计算公式 （二）化为累次积分方法 （三）小结
➢将极坐标系下的二重积分化为累次积分
y
D 的极坐标表示 0 2 1 2
比较容易定限！
D3
D1
o
D2
极坐标系下二重积分的计算
直 线 方 程 为 rs i n 1 c o,s
x2 y2 1 xy1
f(x, y)dxdyf(rco,srsin)rdrd
D
D
0 2d1 sAi 1 n c ofs(rco,rsi)n rd .11 r
例 3计 算 e x2y2dx， d 其 中 yD是 由 中 心 在 原 点 ，
A
16
I1II2,
( 1 e R 2 ) (R e x 2 d ) 2 x ( 1 e 2 R 2 );
4
0
4
当 R 时 , I1
4
,
I2
4
,
故 当 R 时 ,I ,
4
即( ex2dx)2 ,
0
4
所 求 广 义 积 分ex2dx
.
0
2
A
17
例 6 计算 ( x2 y2 )dxdy，其 D 为由圆
ex2y2dxdy ex2y2dxdy ex2y2dxd.y
D1
S
D2
A
15
又 Ie x 2 y 2 dxdy
S
Rex2dxRey2dy( Rex2dx)2;
0
0
0
I 1 e x 2 y 2 dxdy
D 1
2d
Rer2rdr
(1eR2
);
00
4
同 理 I2 D 2e x 2 y 2 dx 4(d 1ey 2R2 );
D
y 1） 2 x2y24
D o 2x
2）
2
y
2
x2y2 4
D o 2x
3）
2
y
2
x2y24 4）
在极坐标系下二重积分的计算
第九节 在极坐标系下二重积分的计算根据微元法可得到极坐标系下的面积微元θσr d r dd = 注意到直角坐标与极坐标之间的转换关系为,c o s θr x = ,sin θr y =从而就得到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式为⎰⎰⎰⎰=D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),( (9.1)内容分布图示★ 利用极坐标系计算二重积分★ 二重积分化为二次积分的公式★ 例1 ★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 例5 ★ 例6★ 例7 ★ 例8★ 内容小结 ★ 课堂练习★ 习题6-9★ 返回内容提要：一、二重积分的计算1．如果积分区域D 介于两条射线βθαθ==,之间，而对D 内任一点),(θr ，其极径总是介于曲线)(),(21θϕθϕ==r r 之间（图6-9-2），则区域D 的积分限).()(,21θϕθϕβθα≤≤≤≤r于是 ⎰⎰⎰⎰=D D rdrd r r f dxdy y x f θθθ)sin ,cos (),( .)sin ,cos ()()(21⎰⎰=θϕθϕβαθθθrdr r r f d (9.2)具体计算时，内层积分的上、下限可按如下方式确定：从极点出发在区间),(βα上任意作一条极角为θ的射线穿透区域D （图6-9-2），则进入点与穿出点的极径)(),(21θϕθϕ就分别为内层积分的下限与上限.2．如果积分区域D 是如图6-9-3所示的曲边扇形，则可以把它看作是第一种情形中当)()(,0)(21θϕθϕθϕ==的特例，此时，区域D 的积分限).(0,θϕβθα≤≤≤≤r 于是.)sin ,cos (),()(0⎰⎰⎰⎰=θϕβαθθθrdr r r f d dxdy y x f D (9.3)3．如果积分区域D 如图6-9-4所示，极点位于D 的内部，则可以把它看作是第二种情形中当πβα2,0==的特例，此时，区域D 的积分限).(0,20θϕπθ≤≤≤≤r于是.)sin ,cos (),()(020⎰⎰⎰⎰=θϕπθθθrdr r r f d dxdy y x f D (9.4)注：根据二重积分的性质3，闭区域D 的面积σ在极坐标系下可表示为⎰⎰⎰⎰==DD rdrd d θσσ (9.5) 如果区域D 如图6-9-3所示，则有⎰⎰⎰⎰⎰===βαθϕβαθθϕθθσd rdr d rdrd D )(21)(0 (9.6) 例题选讲：例1（讲义例1）计算⎰⎰++D yx dxdy 221，其中D 是由122≤+y x 所确定的圆域. 例2（讲义例2） 计算⎰⎰++D dxdy y x y x 2222)sin(π, 其中积分区域D 是由4122≤+≤y x 所确定的圆环域.例3（讲义例3）计算⎰⎰D dxdy x y 22, 其中D 是由曲线x y x 222=+所围成的平面区域. 例4（讲义例4）写出在极坐标系下二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的二次积分，其中区域}.10,11|),{(2≤≤-≤≤-=x x y x y x D 例5 计算dxdy y x D)(22+⎰⎰,其中D 为由圆y y x y y x 4,22222=+=+及直线03=-y x , 03=-x y 所围成的平面闭区域.例 6 将二重积分σd y x f D⎰⎰),(化为极坐标形式的二次积分,其中D 是曲线,222a y x =+ 42222a y a x =+⎪⎭⎫ ⎝⎛-及直线0=+y x 所围成上半平面的区域.例7（讲义例5）求曲线)(2)(222222y x a y x -=+和a y x ≥+22所围成区域D 的面积.例8（讲义例6）求球体22224a z y x ≤++被圆柱面ax y x 222=+)0(>a 所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积（图6-9-9）.课堂练习1.计算⎰⎰--D y x dxdy e22, 其中D 是由中心在原点, 半径为a 的圆周所围成的闭区域.2.计算,|2|22⎰⎰-+D d y x σ 其中3:22≤+y x D .。
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S
14
( 1 eR 2 ) e d (x2 y2 ) ( 1 e2R 2 ).
S
e d 又
(x2 y2 )
S
从而 ( 1 eR 2 )
4
( 1 e2R 2 )
4
令R ,则 ( 1 eR 2 ) , ( 1 e2R 2 ) .
e(x2 y2 )dxdy
R2
( ex2 dx)2
4I 2.
13
作如下三个平面区域
D1 {( x, y) | x2 y2 R2 } D2 {( x, y) | x2 y2 2R2 }
D2
S
DSD1 2
S {(x, y) | R x R, R y R}
D
利用本题结论还可以来推导一个在概率统计中十分有
用的广义积分——Possion积分.
e x2 dx .
0
2
12
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) . e x2 dx .
x2 y2 a2
0
2
解 记 I ex2 dx ,则 0
(2)尽量少分块或不分块.
11
内容回顾
但若被积函数是不可求积函数，则需慎重选择积分 次序,否则将导致无法计算.若不小心选错了积分次序， 则需交换积分次序. 交换积分次序的一般步骤： 1、依据积分限作出积分区域D 的图形. 2、将二次积分转化为二重积分. 3、重新选择积分次序,将二重积分转化为二次积分
1 2
er2
)
a 0
(1 ea2 ) . 11
ex2 y2 dxdy (1 ea2 ) .
x2 y2 a2
本题若选用直角坐标系,则
e(x2 y2 )dxdy a ex2 dx a2 x2 e y2 dy（无法计算）
a
a2 x2
rk rk
k
1 2
rk2
k
rk rk k
又rkkxy
k
r cos rksinrk
所以面积元素为 d r dr d
f (x, y) d f (r cos, r sin ) r drd
D
D
6
二、极坐标系下二重积分的计算公式
D
y
半径为 a 的圆周所围成的闭区域.
解 用极坐标计算,
e x2 y2dxdy er2 rdrd
ra
o
ax
D
D
2
d
a er2 r dr
2
d
a er2 rdr
0
0
0
0
2 [ 1 2
a er2 d(
0
r2 )]
2
(
r a
y
O
4
a
x
4
x
2 a
x
5
一、极坐标系下二重积分的表示
y
在极坐标系下,可用同心圆r =常数
及射线 =常数来划分区域D.
则小区域的面积为
o
k k
k
k
r rk x
k
1 2
(rk
rk
)2
k
1 2
rk 2
k
r 1( )
7
二、极坐标系下二重积分的计算公式
（2）区域D特征如图（极点在区域D的边界）
D : , 0 r ( )
D
则 f (r cos, r sin ) rdrd
D
( )
o
d 0 f (r cos, r sin ) r dr
x
y
2、圆 x2 y2 2ax
r 2a cos
( [
, ])
o
x
22
3、圆 x2 y2 2ay
y
r 2asin ( [0, ])
o
x4
2、常见曲线的极坐标方程：
y
4、心形线 r a(1 cos )
a
y
5、阿基米德螺线
6、双纽线
r2 a2 cos 2
9
在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：
1)当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时,D的边界 用极坐标表示较为简单；
2)被积函数具有 f ( x2 y2 ) 等形式时,用极坐标积分
较为容易.
y
y
o
ax
o 1 2x
10
ห้องสมุดไป่ตู้ 例1 计算 e x2 y2 dxdy ，其中 D是由中心在原点，
并计算.
2
第三节 极坐标系下二重积分的计算法
回顾极坐标的相关知识
1、直角坐标与极坐标的关系：
x r cos y r sin
r x2 y2 arctan y ( x 0) x
r
Ox
P y
x
3
2、常见曲线的极坐标方程： y
1、圆 x2 y2 a2
ra
o
内容回顾
1、直角坐标系下二重积分的计算—转化成二次积分
f (x, y)d f (x, y)dxdy
D
D
X型
===
b
dx
y2 (x) f (x, y) dy
a
y1 ( x)
Y型
===
d
dy
x2 ( y) f (x, y)dx
c
x1 ( y)
划线定限
选择积分次序的原则： (1)积分容易；
（1）区域D特征如图（极点在区域D的外部）
D : ,1( ) r 2 ( )
r 2 ( )
D
则 f (r cos, r sin ) rdrd
D
o
d
2( ) f (r cos, r sin ) r dr
1 ( )
R 2R
显然有D1 S D2 ,且 e （x2 +y2） 0, 从而
e d e d e d , (x2y2 )
(x2 y2 )
(x2 y2 )
D1
S
D2
由例1结果,得
( 1 eR 2 ) e d (x2 y2 ) ( 1 e2R 2 ).
r ( )
A
8
二、极坐标系下二重积分的计算公式
（3）区域D特征如图（极点在区域D的内部）
r ( )
D : 0 2 ,0 r ( )
D
则 f (r cos, r sin ) rdrd
o
A
D
2
( )
0 d 0 f (r cos, r sin) r dr