第七章第二节简单几何体的表面积与体积

解析 答案
考点二
考点一三
(1)法一：由题意知，该几何体由底面半径为 3，高为 10 的圆柱
截去底面半径为 3，高为 6 的圆柱的一半所得，故其体积 V＝
π×32×10－12×π×32×6＝63π.
法二：依题意，该几何体由底面半径为 3，高为 10 的圆柱截去
底面半径为 3，高为 6 的圆柱的一半所得，其体积等价于底面
解析 答案
考点三
考点一二
(3)如图，截面图为长方形 ACC1A1 和其外接圆．球心为 EE1 的中点 O，则 R＝OA.设正四棱柱的侧棱长为 b，
底面边长为 a，则 AC＝ 2a，AE＝ 22a，OE＝b2，
R2＝ 22a2＋b22，∴4R2＝2a2＋b2，则正四棱柱的侧面积： S＝4ab＝ 2·2a· 2b≤ 2(a2＋2b2)＝4 2R2，故侧面积有最大
C．12
D．9
解析 答案
考点二
考点一三
几何体的直观图如图所示，其中底面 ABCD 是一个矩形(其中 AB ＝5，BC＝2)，棱 EF∥底面 ABCD，且 EF＝3，直线 EF 到底面 ABCD 的距离是 3.连接 EB，EC，则题中的多面 体的体积等于四棱锥 E-ABCD 与三棱锥 E-FBC 的体积之和，而四棱锥 E-ABCD 的体积等于13 ×(5×2)×3＝10，三棱锥 E-FBC 的体积等于13×12×3×3×2＝3， 因此题中的多面体的体积等于 10＋3＝13，选 B.
第七章第二节简单几何体的表面积 与体积
[基础梳理] 1．多面体的表面积与侧面积 多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面 的 面积之和 ，表面积是侧面积与 底面面积 之和．
2．旋转体的表面积与侧面积
名称
侧面积
表面积
圆柱(底面半径 r，母线长 l)
2πrl
_2_π_r_(_l＋__r_)_
积 S 侧面 ABB1A1＝2×1＝2，侧面 ACC1A1 为矩形，S 侧面 ACC1A1＝AA1·AC＝2 5，侧面 BCC1B1 是边长为 5的菱形，连 接 CB1、BC1，易得 CB1＝2 3，BC1＝2 2，且 CB1⊥BC1，所以 S
侧面
BCC1B1
＝
1 2
CB1·BC1
＝
1 2
×2
3 ×2
[例 3] (1)已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球
面上，当正六棱柱的体积取最大值时，其高的值为( )
A．3 3
B. 3
C．2 6
D．2 3
解析 答案
考点三
考点一二
(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都 在球 O 的球面上，SC 是球 O 的直径．若平面 SCA⊥平面 SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥 S ABC 的体积为 9，则 球 O 的表面积为________． (3)正四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的各顶点都在半径为 R 的球 面上，则正四棱柱的侧面积有最________值，为________．
2＝2
6，所以斜三棱柱
ABC A1B1C1 的表面积为 4＋2( 5＋ 6)，故选 D. 答案：D
解析 答案
考点一
考点二三
2．(2016·高考全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半 径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的
体积是283π，则它的表面积是( )
A．17π C．20π
B．18π D．28π
值，为 4 2R2，当且仅当 a＝ 2b 时等号成立． [答案] (1)D (2)36π (3)大 4 2R2
解析 答案
考点三
考点一二
[思维升华] 1．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、 切点作截面，把空间问题转化为平面图形问题，再利用平面 几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
答案：B
解析 答案
考点二
考点一三
2．如图所示(单位：cm)，则图中的阴影部分绕 AB 所在直 线旋转一周所形成的几何体的体积为________．
解析 答案
考点二
考点一三
由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得
V 圆台＝13×(π×AD2＋ π×AD2×π×BC2＋π×BC2)×AB＝13 ×π×(AD2＋AD×BC＋BC2)×AB
(2)某品牌香水瓶的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的表
面积为( )
A.95－π2cm2 B.94－π2cm2 C.94＋π2cm2 D.95＋π2cm2
解析 答案
考点一
考点二三
(3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ________．
解析 答案
考点一
考点二三
(1)直观图是四棱锥 P ABCD，如图所示，S△PAB＝S△PAD＝S △PDC＝12×2×2＝2，S△PBC＝12×2 2×2 2×sin 60°＝2 3，S 四边形 ABCD＝2 2×2＝4 2，故此棱锥的表面积为 6＋4 2＋ 2 3，故选 A.
＝VA C1B1D＝13S△DB1C1·AD＝13× 3× 3＝1.
(3)该几何体由一个长、宽、高分别为 2,1,1 的长方体和两个底面半径为 1，
高为 1 的四分之一圆柱体构成，∴V＝2×1×1＋2×41×π×12×1＝2＋π2. [答案] (1)B (2)C (3)2＋π2
解析 答案
考点二
考点一三
＝13×π×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，
V 半球＝43π×AD3×12＝43π×23×12＝136π(cm3)，所以旋转所形成
几何体的体积 V＝V 圆台－V 半球＝52π－136π＝1430π(cm3)．
答案：1430π(cm3)
解析 答案
考点三
考点一二
有关球的组合体及面积、体积最值问题|思维突破
解析 答案
考点一
考点二三
[易错提醒] 1．以三视图为载体的几何体的表面积或侧面积问题，要分清三视 图中的量是否为各表面计算面积所用的量． 2．几何体切、割后的图形的表面，不一定是减少，甚至可能增加． 3．组合体的表面积，要注意衔接部分分散在哪个面中来计算．
考点一
考点二三
[纠错训练]
1．已知某斜三棱柱的三视图如图所示，则该斜三棱柱的表
[方法提升]
求几何体的体积的方法
方法
解读
适合题型
对于规则几何体，直接利用公式计算即 可．若已知三视图求体积，应注意三视 直接法 图中的垂直关系在几何体中的位置，确 定几何体中的线面垂直等关系，进而利 用公式求解
规则几何 体
考点二
考点一三
方法
解读
割补法
当一个几何体的形状不规则时，常通过 分割或者补形的手段将此几何体变为一 个或几个规则的、体积易求的几何体， 然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为 三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行 六面体，将台体还原为锥体
(2)V
1 锥体＝_3_S_h__.特别地，V
Leabharlann Baidu
圆锥＝13πr2h(r
为底面半径)．
(3)V 台体＝13h(S＋ SS′＋S′)．特别地，V 圆台＝13πh(r2＋rr′＋
r′2)(r，r′分别为上、下底面半径)．
(4)V 球＝__43_π_R__3(球半径是 R)．
[三基自测]
1．正六棱柱的高为 6，底面边长为 4，则它的表面积为( A )
解析 答案
考点一
考点二三
(2)该几何体的上下为长方体，中间为圆柱．
S 表面积＝S ＋S 下长方体 ＋S 上长方体 圆柱侧－2S 圆柱底
＝
2×4×4
＋
4×4×2
＋
2×3×3
＋
4×3×1
＋
2π×
1 2
×1
－
2×π122＝94＋π2(cm2)．
解析 答案
考点一
考点二三
(3)由三视图可知，该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱 体，如图所示． 长方体的长、宽、高分别为 4,3,1， 表面积为 4×3×2＋3×1×2＋4×1×2＝38， 圆柱的底面圆直径为 2，母线长为 1， 侧面积为 2π×1＝2π，圆柱的两个底面面积和为 2×π×12 ＝2π.故该几何体的表面积为 38＋2π－2π＝38. [答案] (1)A (2)C (3)38
解析 答案
考点三
考点一二
(2)设球 O 的半径为 R，∵SC 为球 O 的直径，∴点 O 为 SC 的中点，连接 AO，OB(图略)，∵SA＝AC，SB＝BC，∴AO ⊥SC，BO⊥SC，∵平面 SCA⊥平面 SCB，平面 SCA∩平面 SCB＝SC，∴AO⊥平面 SCB，∴VS ABC＝VA SBC＝13×S△ SBC×AO＝13×(12×SC×OB)×AO，即 9＝13×(12×2R×R)×R， 解得 R＝3，∴球 O 的表面积为 S＝4πR2＝4π×32＝36π.
解析 答案
考点一
考点二三
该几何体是一个球体挖掉18剩下的部分，如图所 示，依题意得78×43πR3＝283π，解得 R＝2， 所以该几何体的表面积为 4π×22×78＋34π×22 ＝17π. 答案：A
解析 答案
考点二
考点一三
空间几何体的体积|方法突破 [例 2] (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，网格纸上 小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体 的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一
半径为 3，高为 7 的圆柱的体积，所以它的体积 V＝π×32×7
＝63π，选择 B.
解析 答案
考点二
考点一三
(2)在正△ABC 中，D 为 BC 中点，则有 AD＝ 23AB＝ 3，
S
△
DB1C1＝
1 2
×2×
3＝
3.又∵平面
BB1C1C ⊥ 平 面
ABC，AD⊥BC，AD⊂平面 ABC，∴AD⊥平面 BB1C1C， 即 AD 为三棱锥 A B1DC1 底面上的高．∴VC1 B1DA
A．48(3＋ 3)
B．48(3＋2 3)
C．24( 6＋ 2)
D．144
2．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出 一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 __1_∶__4_7__．
3．一直角三角形的三边长分别为 6 cm,8 cm,10 cm，绕斜边 旋转一周所得几何体的表面积为___3_35_6_π_c_m__2_． 4．(必修 2·1.3A 组改编)球内接正方体的棱长为 1，则球的表 面积为___3_π____． 5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)所有棱长都为 2 的三棱锥的体
22 积为____3____．
考点一
考点二三
几何体的表面积与侧面积|易错突破
[例 1] (1)(2018·九江模拟)如图，网格纸上小正方形边长为
1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( )
A．6＋4 2＋2 3 C．6＋6 2
B．8＋4 2 D．6＋2 2＋4 3
解析 答案
考点一
考点二三
等积转 换法
利用三棱锥的“等积性”可以把任一个 面作为三棱锥的底面．求体积时，可选 择“容易计算”的方式来计算
适合题型 不规则几
何体
三棱锥
考点二
考点一三
[跟踪训练] 1．(2018·大连双基检测)如图，在边长为 1 的正方形网格中用粗线画出了某个多面体
的三视图，则该多面体的体积为( )
A．15
B．13
部分后所得，则该几何体的体积为( )
A．90π
B．63π
C．42π
D．36π
解析 答案
考点二
考点一三
(2)正三棱柱 ABC A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 3，D
为 BC 中点，则三棱锥 C1 B1DA 的体积为( )
A．3
B.32
C．1
3 D. 2
解析 答案
考点二
考点一三
(3)(2017·高考山东卷)由一个长方体和两个14圆柱体构成的几 何体的三视图如下，则该几何体的体积为________．
圆锥(底面半径 r，母线长 l)
_π_r_l_
πr(l＋r)
圆台(上、下底面半径 r1，r2，__π_(_r_1＋__r_2_)_l _
母线长 l)
π(r1＋r2)l＋π(r21＋r22)
球(半径为 R)
_4_π_R__2
3.空间几何体的体积(h 为高，S 为下底面积，S′为上底面积)
(1)V ＝ 柱体 Sh .特别地，V 圆柱＝πr2h(r 为底面半径)．
解析 答案
考点三
考点一二
(1)设正六棱柱的底面边长为 a，高为 h，则可得 a2＋h42＝9，
即
a2＝9－h42，那么正六棱柱的体积
V＝6×
43a2×h＝3
2
3 (9
－h42)h＝3 2 3(－h43＋9h)．
令 y＝h43＋9h，∴y′＝－34h2＋9.令 y′＝0，∴h＝2 3.
易知当 h＝2 3时，正六棱柱的体积最大，故选 D.
面积为( )
A．4＋2 5＋ 6 C．4＋ 5＋2 6
B．4＋ 5＋ 6 D．4＋2( 5＋ 6)
解析 答案
考点一
考点二三
由题意知，斜三棱柱的直观图如图中 ABC A1B1C1 所 示．易知正方体的棱长为 2.斜三棱柱的两个底面积的
和为 2S△ABC＝2×21×AB×AC＝2，侧面 ABB1A1 的面