初中数学：实际问题与二次函数-详解与练习

初中数学专项训练：实际问题与二次函数

一、利用函数求图形面积的最值问题

一、围成图形面积的最值

1、 只围二边的矩形的面积最值问题

例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗

圃。

（1） 设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的

函数关系式；

（2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大最大面积是多少

分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。

解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），

根据题意，得：x x x x y 18)18(2

+-=-=； 又∵180,0

180＜x＜x ＞x ＞∴⎩⎨⎧-

（2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值， 即当9)1(2182=-⨯-=-=a b x 时，81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。

点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。

2、 只围三边的矩形的面积最值

例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠

墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大

分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式

解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（

250x -）（米），

根据题意，得：x x x x y 252

1)250(2+-=-=； 又∵500,02

500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=2

1-＜0，∴y 有最大值， 即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)2

1(42504422max =-⨯-=-=a b ac y

故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2625平方米。 点评：如果设养鸡场的宽为x ，上述函数关系式如何变化请读者自己完成。 3、 围成正方形的面积最值

例3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．

(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少

(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．

（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ）cm

由题意得： 17)4

20()4(22=-+x x

解得： 4,1621==x x

当161=x 时，20-x=4；当42=x 时，20-x=16

答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。

（2）不能

理由是：设第一个正方形的边长为xcm ，则第二个正方形的边长为

)5(4

420x x -=-cm ，围成两个正方形的面积为ycm 2，

根据题意，得：25102)5(222+-=-+=x x x x y ，

∵25102)5(222+-=-+=x x x x y 中，a= 2＞0，∴y 有最小值， 即当2

522102=⨯--=-=a b x 时，225241025244422min =⨯-⨯⨯=-=a b ac y =＞12,故两个正方形面积的和不可能是12cm 2.

练习1、如图，正方形EFGH 的顶点在边长为a 的正方形ABCD 的边上，若AE=x ，正方形EFGH 的面积为y.

(1)求出y 与x 之间的函数关系式；

(2)正方形EFGH 有没有最大面积若有，试确定E 点位置；若没有，说明理由.

二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题

例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是

.

212

y x =-. 【解析】

试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，可设此函数解析式为：y=ax 2，利用待定系数法求解.

试题解析：设此函数解析式为：2

y ax =，0a ¹

；

那么（2，-2）应在此函数解析式上．

则24a -= 即得12

a =-

， 那么212y x =-． 考点：根据实际问题列二次函数关系式.

练习1

某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系是4

522++-=x x y .请回答下列问题：

(1)柱子OA 的高度是多少米

(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米

(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外

2．一座桥如图，桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少图（1） 图

（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.

①求抛物线的解析式；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米

（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.

①求圆的半径；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米

三、利用抛物线解决最大利润问题

例题1 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y ＝－10x ＋500.

（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润（6分）

（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元（3分）

（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元(成本＝进价×销售量) （3分）

答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600.

【解析】

试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可．

试题解析：（1）由题意得出： ()()()2W x 20y x 2010x 50010x 700x 10000=-=--+=-+-， ∵b a 100352a

=--=<， ，