高中阶段求变力做功

变力做功

一、运用功的公式求变力做功

求某个过程中的変力做功，可以通过等效法把求该変力做功转换成求与该変力做功相同的恒力的功，此时可用功定义式W ＝αcos Fs 求恒力的功，从而可知该変力的功。等效转换的关键是分析清楚该変力做功到底与哪个恒力的功是相同的。

例1：人在A 点拉着绳通过一定滑轮吊起质量m=50Kg 的物体，如图1所示，开始绳与水平方向夹角为ο60，当人匀速提起重物由A 点沿水平方向运动m s 2=而到达B 点，此时绳与水平方向成ο30角，求人对绳的拉力做了多少功？ 【解析】人对绳的拉力大小虽然始终等于物体的重力，但方向却时刻在变，而已知的位移s 方向一直水平，所以无法利用W ＝αcos Fs 直接求拉力的功.若转换一下研究对象则不难发现，人对绳的拉力的功与绳对物体的拉

力的功是相同的，而绳对物体的拉力则是恒力，可利用W ＝αcos Fs 求了！

设滑轮距地面的高度为h ，则：(

)s h =-ο

ο60

cot 30cot

人由A 走到B 的过程中，重物上升的高度h ∆等于滑轮右侧绳子增加的长度，即：ο

ο60sin 30sin h

h h -

=∆，人对绳子做的功为：(

)(

)

J J mgs

h mg W 732131000

13≈-=-=∆⋅=

二、运用动能定理求变力做功

动能定理的表述：合外力对物体做功等于物体的动能的改变，或外力对物体做功的代数和等于物体动能的改变。对于一个物体在某个过程中的初动能和末动能可求，该过程其它力做功可求，那么该过程中変力做功可求。运用动能定理求变力做功关键是了解哪些外力做功以及确定物体运动的初动能和末动能。

例2：如图2所示，原来质量为m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置.用水平拉力F 将小球缓慢地拉到细线与竖直方向成θ角的位置的过程中，拉力F 做功为（ ） A. θcos FL B. θsin FL C. ()θcos 1-FL D. ()θcos 1-mgL

【解析】很多同学会错选B ，原因是没有分析运动过程，对Ｗ＝FLcosθ来求功的适用范

围搞错，恒力做功可以直接用这种方法求，但变力做功不能直接用此法正确的分析，小球的运动过程是缓慢的，因而任一时刻都可看作是平衡状态，因此F 的大小不断变大，F 做的功是变力功，小球上升过程中只有重力和拉力做功，而整个过程的动能改变为零，可用动能定理求解：

0=-'=+K K

G F E E W W 所以 ()θcos 1-=-=mgL W W G F ，故D 正确。

三、运用Pt W =求变力做功

涉及到机车的启动、吊车吊物体等问题，如果在某个过程中保持功率P 恒定，随着机车或物体速度的

改变，牵引力也改变，要求该过程中牵引力的功，可以通过Pt W =求変力做功。

例3：质量为5000Kg 的汽车，在平直公路上以60kW 的恒定功率从静止开始启动，速度达到24m/s 的最大速度后，立即关闭发动机，汽车从启动到最后停下通过的总位移为1200m.运动过程中汽车所受的阻力不变.求汽车运动的时间.

【解析】牵引力是変力，该过程中保持功率P 恒定，牵引力的功可以通过Pt W =来求。汽车加速运动的时间为1t ，由动能定理得：0F -Pt f 1=⋅s

G

ο

60ο

30A B

图1

图2

汽车达到最大速度时，牵引力和阻力大小相等，则m f m v F Fv P ⋅== 即m

f v P F =

可求得汽车加速运动的时间为s s v s P

s F t m f 5024

12001===

⋅=

关闭油门后，汽车在阻力作用下做匀减速直线运动至停止，由动量定理得：

m mv t -=⋅0F -2f

可求得汽车匀减速运动的时间为s s P mv F mv t m f m 481000

602450002

2

2=⨯⨯===

则汽车运动的时间为：t ＝t 1＋t 2＝50s ＋48s ＝98s

四、运用功能关系求变力做功

做功是能量转化的原因，做功是能量转化的量度，我们可以根据能量转化的情况来判断做功的情况，

则给求変力做功提供了一条简便的途径。运用功能关系求変力做功，关键是分清研究过程中有多少种形式的能转化，即有什么能增加或减少，有多少个力做了功，列出这些量之间的关系。 例4：一个圆柱形的竖直井里存有一定量的水，井的侧面和底部是密闭的。在井中固定地插着一根两端开口的薄壁圆管，管和井共轴，管下端未触及井底。在圆管内有一不漏气的活塞，它可沿圆管上下滑动。如图3所示，现用卷扬机通过绳子对活塞施加一个向上的力F ，使活塞缓慢向上移动。已知圆管半径r=0.10m ，井的半径R=2r ，水的密度ρ=1.00

×103kg/m 3 ，大气压P 0=1.00×105Pa ，求活塞上升H=9.00m 的过程中

拉力所做的功（井和管在水面上及水面下的部分都足够长，不计活塞质量，不计摩擦，重力加速度g=10m/s 2）。

【解析】大气压P 0能够支撑的水柱高度为 m g

p h 100

0==

ρ 从开始提升到活塞至管内外水面高度差为10m 的过程中，活塞始终与水面接触，设活塞上升1h ，管外液面下降2h ，则有：210h h h +=

因液体体积不变，有：3

12

2212=-=r R r h h πππ 得 H m h h <==

5.74

3

01 此过程拉力为変力，根据功能关系，对于水和活塞这个整体，其机械能的增量等于除重力以外其它力做功。根据题意，则拉力做功等于水的重力势能的增量，即： J h h g

h r E W 42

112

11018.12

⨯=+=∆=ρπ 活塞从1h 上升到H 的过程中，液面不变，拉力F 是恒力，02

P r F π=，则做功为： J h H P r h H F W 3

102121071.4)()(⨯=-=-=π

所求拉力所做的总功为：J W W W 4

211065.1⨯=+=

图3