初中数学九年级中考函数与方程的综合问题专题复习PPT多媒体课件
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(3)图象如图示
2
[例2]
已知:关于x的函数
2 2
1 y (a 3a 2) x (a 1) x 4 的图象与x轴总有交点
(1)求a的取值范围 (2)设函数的图象与x轴有两个不同的交点 A、B,其坐标为 A( x1 ,0), B( x2 ,0), 当
1 1 2 a 3时 ,求a的值. x1 x2
解 : (1)i当a 2 3a 2 0时, a 1或a 2, 1 当a 1时, 原函数为y 与x轴平行, 没有交点 4 1 当a 2时, 原函数为y x 是一个一次函数, 4 与x轴有一个交点. ii .当a 2 3a 2 0时, a 1且a 2, 此时函数为二次函数 如果图象与x轴有交点, 则有 1 ( a 1)2 4( a 2 3a 2) 0 4 即 a 1 0 a 1 又a 1且a 2, 所以a 1且a 2时, 二次函数 1 y ( a 2 3a 2) x 2 ( a 1) x 的图象与x轴有两个交点. 4 综上所述,当a 1时,函数的图象与x轴有交点.
个交点为( x1 ,0), ( x2 ,0) 据题意则有 : ( x1 1)( x2 1) 0 即x1 x2 ( x1 x2 ) 1 0 又x1 x2 2m , x1 x2 m 7 m 7 2m 1 0 m 2
2m 4 2( m 2) m 2 2( m 2) 0 此方程无实数根.
2
的顶点为P, 与x轴的两个交点为M , N (点M在 点N的左侧), PMN的三个内角P, M和N 所对的边分别为p, m, n, 若关于x的一元二次方 程( p m) x 2nx ( p m) 0有两个相等的实
2
数根. (1)试判定PMN的形状. (2)当顶点P的坐标为(2,1)时, 求抛物线的解析式 (3)平行于x轴的直线与抛物线交于A, B两点,以AB 为直径的圆恰好与x轴相切, 求该圆的圆心坐标.
大而增大,如果点(a,3)在双曲线 上,求a的值.
解:由
( x 1)2 y 2 2 y x b
2
(1)
(2)
2
把( 2)代入(1)中得 : ( x 1) ( x b ) 2 整理得 : 2 x 2 2(1 b ) x b 2 1 0 由于原方程组只有一个 实数解 方程2 x 2 2(1 b ) x b 2 1 0有 两个相等的实根 即 : [2(1 b )] 4 2(b 1) 0 化简求解得 : b 1或b 3
y x 4x 3
以AB为直径的圆恰 好与x轴相切 AB 2 k 即AB 2 4k 2 而AB x1 Fra Baidu bibliotekx2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 在方程x 2 4 x 3 k 0中 x1 x2 4, x1 x2 3 k 42 4( 3 k ) 4k 2 化简得 : k 2 k 1 0 1 5 求得 : k 1 2 1 5 圆心O'的坐标为( 2, ) 2
解(1)依题意 0,即( 4) 8t 0 t 2 ( 2)设方程的两根为x1 , x2 , 且x1 x2 0, 则x1 x2 4, x1 x2 2t 1 1 x1 x2 2 s x1 x2 x1 x2 t (其中t 2且t 0)
2 b 4 ac b 3.顶点坐标 ( , ) 2a 4a
4.与x轴的交点
由
b2 4ac 来决定
5.与y轴的交点(0,c)
k 三.反比例函数y ( k 0) x
[例1] 已知关于x的方程
x 4 x 2t 0 有两个实数根.
(1)求t的取值范围
2
(2)设方程的两个根的倒数和为S,求S 与t之间的函数关系式. (3)在直角坐标系内画出(2)中所得到 的函数的图象.
2.b 0时, 一次函数为y kx b,
性质： 1、一次函数图象必经过点（0，b）。
2、当k>0时，y随x的增大而增大。 当k<0时，y随x的增大而减小。
二.二次函数y ax bx c(a 0)
性质:1.开口方向 a>0,开口向上
a<0,开口向下 2.对称轴
2
b x 2a
( 2)抛物线的顶点为 ( 2,1), 代入解析式中得 y ax 2 4ax 4a 1 又由(1)知MPC为等腰直角三角形, 如图示, MN 2 PQ 2 又MN x1 x2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 MN 2 4 4a 1 而x1 x2 4, x1 x2 a 4a 1 2 4 4 4 a 解得 : a 1 抛物线的解析式为y x 2 4 x 3
1 2 2 对于方程 x ( m 1) x m 5 0 4 1 2 2 ( m 1) 4 ( m 5) 4
[例4] 已知关于x.y的方程组
( x 1) y 2 y x b
2
2
有一个实数解,且反比例函
1 b 数 y 的图像在每个象限内,y都随x的增 x
2
[例3]
已知抛物线
2
y x 2mx m 7 与x轴的两
个交点在点(1,0)的两旁,试判断关于x
1 的方程 x 2 ( m 1) x m 2 5 0 4 的根的情况,并说明理由.
解:(法一)如图示,当x=1,y<0
即1+2m+m-7<0 所以m<2 (法二)设y x 2 2mx m 7与x轴的两
1 a 1 ( 2) x1 x2 2 , x1 x2 2 4 a 3a 2 a 3a 2 1 1 x1 x2 2 4(a 1) a 3 x1 x2 x1 x2 a 4a 1 0 a 2 3 a 1, 而 2 3 1舍去 a 2 3
解 : (1)关于x的一元二次方程 ( p m ) x 2nx ( p m ) 0 有两个相等的实数根. ( 2n) 4( p m )( p m ) 0 即p m n
2 2 2 2 2
则PMN为直角三角形 又由二次函数的对称性知PM PN 故这个三角形是等腰直角三角形.
2 2
1 b 反比例函数y 的图象在每一个象限 x 都随x的增大而增大 1 b 0即b 1 2 b 3则反比例函数为y x 2 ( a ,3)在y 上 x 2 3 a 2 a 3
[例5]抛物线y ax bx c(a 0)
函数型综合问题
y ax 2 bx c(a 0)
函数与方程 的综合问题
一.一次函数y kx b(k 0) 1.b 0时, 函数为y kx, 这时y叫做x的正比例 函数.
性质：1、正比例函数的图象必经过原点（0，0）。 2、当k>0时，y随x的增大而增大。
当k<0时，y随x的增大而减小。
( 3)设平行于x轴的直线为y k 则如图示,圆心o 坐标为( 2, k ) y k与抛物线y x 4 x 3 相交于A, B两点
2 ,
yk
2
2
一定有两个不相等的实数根
2
方程x 4 x 3 k即x 4 x 3 k 0 一定有两个不相等的实 数根 ( 4)2 4( 3 k ) 0 求得 : k 1
2
[例2]
已知:关于x的函数
2 2
1 y (a 3a 2) x (a 1) x 4 的图象与x轴总有交点
(1)求a的取值范围 (2)设函数的图象与x轴有两个不同的交点 A、B,其坐标为 A( x1 ,0), B( x2 ,0), 当
1 1 2 a 3时 ,求a的值. x1 x2
解 : (1)i当a 2 3a 2 0时, a 1或a 2, 1 当a 1时, 原函数为y 与x轴平行, 没有交点 4 1 当a 2时, 原函数为y x 是一个一次函数, 4 与x轴有一个交点. ii .当a 2 3a 2 0时, a 1且a 2, 此时函数为二次函数 如果图象与x轴有交点, 则有 1 ( a 1)2 4( a 2 3a 2) 0 4 即 a 1 0 a 1 又a 1且a 2, 所以a 1且a 2时, 二次函数 1 y ( a 2 3a 2) x 2 ( a 1) x 的图象与x轴有两个交点. 4 综上所述,当a 1时,函数的图象与x轴有交点.
个交点为( x1 ,0), ( x2 ,0) 据题意则有 : ( x1 1)( x2 1) 0 即x1 x2 ( x1 x2 ) 1 0 又x1 x2 2m , x1 x2 m 7 m 7 2m 1 0 m 2
2m 4 2( m 2) m 2 2( m 2) 0 此方程无实数根.
2
的顶点为P, 与x轴的两个交点为M , N (点M在 点N的左侧), PMN的三个内角P, M和N 所对的边分别为p, m, n, 若关于x的一元二次方 程( p m) x 2nx ( p m) 0有两个相等的实
2
数根. (1)试判定PMN的形状. (2)当顶点P的坐标为(2,1)时, 求抛物线的解析式 (3)平行于x轴的直线与抛物线交于A, B两点,以AB 为直径的圆恰好与x轴相切, 求该圆的圆心坐标.
大而增大,如果点(a,3)在双曲线 上,求a的值.
解:由
( x 1)2 y 2 2 y x b
2
(1)
(2)
2
把( 2)代入(1)中得 : ( x 1) ( x b ) 2 整理得 : 2 x 2 2(1 b ) x b 2 1 0 由于原方程组只有一个 实数解 方程2 x 2 2(1 b ) x b 2 1 0有 两个相等的实根 即 : [2(1 b )] 4 2(b 1) 0 化简求解得 : b 1或b 3
y x 4x 3
以AB为直径的圆恰 好与x轴相切 AB 2 k 即AB 2 4k 2 而AB x1 Fra Baidu bibliotekx2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 在方程x 2 4 x 3 k 0中 x1 x2 4, x1 x2 3 k 42 4( 3 k ) 4k 2 化简得 : k 2 k 1 0 1 5 求得 : k 1 2 1 5 圆心O'的坐标为( 2, ) 2
解(1)依题意 0,即( 4) 8t 0 t 2 ( 2)设方程的两根为x1 , x2 , 且x1 x2 0, 则x1 x2 4, x1 x2 2t 1 1 x1 x2 2 s x1 x2 x1 x2 t (其中t 2且t 0)
2 b 4 ac b 3.顶点坐标 ( , ) 2a 4a
4.与x轴的交点
由
b2 4ac 来决定
5.与y轴的交点(0,c)
k 三.反比例函数y ( k 0) x
[例1] 已知关于x的方程
x 4 x 2t 0 有两个实数根.
(1)求t的取值范围
2
(2)设方程的两个根的倒数和为S,求S 与t之间的函数关系式. (3)在直角坐标系内画出(2)中所得到 的函数的图象.
2.b 0时, 一次函数为y kx b,
性质： 1、一次函数图象必经过点（0，b）。
2、当k>0时，y随x的增大而增大。 当k<0时，y随x的增大而减小。
二.二次函数y ax bx c(a 0)
性质:1.开口方向 a>0,开口向上
a<0,开口向下 2.对称轴
2
b x 2a
( 2)抛物线的顶点为 ( 2,1), 代入解析式中得 y ax 2 4ax 4a 1 又由(1)知MPC为等腰直角三角形, 如图示, MN 2 PQ 2 又MN x1 x2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 MN 2 4 4a 1 而x1 x2 4, x1 x2 a 4a 1 2 4 4 4 a 解得 : a 1 抛物线的解析式为y x 2 4 x 3
1 2 2 对于方程 x ( m 1) x m 5 0 4 1 2 2 ( m 1) 4 ( m 5) 4
[例4] 已知关于x.y的方程组
( x 1) y 2 y x b
2
2
有一个实数解,且反比例函
1 b 数 y 的图像在每个象限内,y都随x的增 x
2
[例3]
已知抛物线
2
y x 2mx m 7 与x轴的两
个交点在点(1,0)的两旁,试判断关于x
1 的方程 x 2 ( m 1) x m 2 5 0 4 的根的情况,并说明理由.
解:(法一)如图示,当x=1,y<0
即1+2m+m-7<0 所以m<2 (法二)设y x 2 2mx m 7与x轴的两
1 a 1 ( 2) x1 x2 2 , x1 x2 2 4 a 3a 2 a 3a 2 1 1 x1 x2 2 4(a 1) a 3 x1 x2 x1 x2 a 4a 1 0 a 2 3 a 1, 而 2 3 1舍去 a 2 3
解 : (1)关于x的一元二次方程 ( p m ) x 2nx ( p m ) 0 有两个相等的实数根. ( 2n) 4( p m )( p m ) 0 即p m n
2 2 2 2 2
则PMN为直角三角形 又由二次函数的对称性知PM PN 故这个三角形是等腰直角三角形.
2 2
1 b 反比例函数y 的图象在每一个象限 x 都随x的增大而增大 1 b 0即b 1 2 b 3则反比例函数为y x 2 ( a ,3)在y 上 x 2 3 a 2 a 3
[例5]抛物线y ax bx c(a 0)
函数型综合问题
y ax 2 bx c(a 0)
函数与方程 的综合问题
一.一次函数y kx b(k 0) 1.b 0时, 函数为y kx, 这时y叫做x的正比例 函数.
性质：1、正比例函数的图象必经过原点（0，0）。 2、当k>0时，y随x的增大而增大。
当k<0时，y随x的增大而减小。
( 3)设平行于x轴的直线为y k 则如图示,圆心o 坐标为( 2, k ) y k与抛物线y x 4 x 3 相交于A, B两点
2 ,
yk
2
2
一定有两个不相等的实数根
2
方程x 4 x 3 k即x 4 x 3 k 0 一定有两个不相等的实 数根 ( 4)2 4( 3 k ) 0 求得 : k 1