高中数学易错题(含答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错题集锦(带答案)
高中数学必修一第四章指数函数与对数函数易错题集锦单选题1、若ln2=a，ln3=b，则log818=（）A．a+3ba3B．a+2b3aC．a+2ba3D．a+3b3a答案：B分析：先换底，然后由对数运算性质可得.log818=ln18ln8=ln(32×2)ln23=2ln3+ln23ln2=2b+a3a.故选：B2、设函数f(x)=lg(x2+1)，则使得f(3x−2)>f(x−4)成立的x的取值范围为（）A．(13,1)B．(−1,32)C．(−∞,32)D．(−∞,−1)∪(32,+∞)答案：D分析：方法一 :求出f(3x−2),f(x−4)的解析式,直接带入求解.方法二 : 设t=x2+1，则y=lgt，判断出f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数,由f(3x−2)>f(x−4)得|3x−2|>|x−4|，解不等式即可求出答案.方法一 :∵f(x)=lg(x2+1)∴由f(3x−2)>f(x−4)得lg[(3x−2)2+1]>lg[(x−4)2+1]，则(3x−2)2+1>(x−4)2+1，解得x<−1或x>32.方法二 :根据题意，函数f(x)=lg(x2+1)，其定义域为R，有f(−x)=lg(x2+1)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t=x2+1，则y=lgt，在区间[0,+∞)上，t=x2+1为增函数且t≥1，y=lgt在区间[1,+∞)上为增函数，则f(x)=lg(x2+1)在[0,+∞)上为增函数，f(3x−2)>f(x−4)⇒f(|3x−2|)>f(|x−4|)⇒|3x−2|>|x−4|，解得x <−1或x >32， 故选：D ．3、Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)=K1+e −0.23(t−53)，其中K 为最大确诊病例数．当I (t ∗)=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t ∗约为（ ）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．69答案：C分析：将t =t ∗代入函数I (t )=K 1+e −0.23(t−53)结合I (t ∗)=0.95K 求得t ∗即可得解. ∵I (t )=K 1+e −0.23(t−53)，所以I (t ∗)=K 1+e −0.23(t ∗−53)=0.95K ，则e 0.23(t∗−53)=19， 所以，0.23(t ∗−53)=ln19≈3，解得t ∗≈30.23+53≈66.故选：C. 小提示：本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.4、若x 1，x 2是二次函数y =x 2−5x +6的两个零点，则1x 1+1x 2的值为（ ）A ．−12B ．−13C ．−16D ．56答案：D分析：解方程可得x 1=2,x 2=3，代入运算即可得解.由题意，令x 2−5x +6=0，解得x =2或3，不妨设x 1=2,x 2=3，代入可得1x 1+1x 2=12+13=56. 故选：D.5、已知9m =10,a =10m −11,b =8m −9，则（ ）A ．a >0>bB ．a >b >0C ．b >a >0D ．b >0>a答案：A分析：法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m =log 910>1，再利用基本不等式，换底公式可得m >lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．［方法一］：（指对数函数性质）由9m =10可得m =log 910=lg10lg9>1，而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992)2<1=(lg10)2，所以lg10lg9>lg11lg10，即m >lg11，所以a =10m −11>10lg11−11=0.又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802)2<(lg9)2，所以lg9lg8>lg10lg9，即log 89>m ，所以b =8m −9<8log 89−9=0.综上，a >0>b .［方法二］：【最优解】（构造函数）由9m =10，可得m =log 910∈(1,1.5)．根据a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1) ，则f ′(x)=mx m−1−1，令f ′(x)=0，解得x 0=m 11−m ，由m =log 910∈(1,1.5) 知x 0∈(0,1) .f(x) 在 (1,+∞) 上单调递增，所以f(10)>f(8) ，即 a >b ，又因为f(9)=9log 910−10=0 ，所以a >0>b .故选：A.【整体点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法； 法二：利用a,b 的形式构造函数f(x)=x m −x −1(x >1)，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．6、若2x =3，2y =4，则2x+y 的值为（ ）A ．7B ．10C ．12D ．34答案：C分析：根据指数幂的运算性质直接进行求解即可.因为2x =3，2y =4，所以2x+y =2x ⋅2y =3×4=12，故选：C7、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，90050=18，故至少需要志愿者18名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.8、已知实数a,b∈(1,+∞)，且log2a+log b3=log2b+log a2，则（）A．a<√b<b B．√b<a<b C．b<√a<a D．√a<b<a答案：B分析：对log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，结合y=x−1x 的单调性判断b<a，同理利用换底公式得log2a−1log2a<log3b−1log3b，即log2a>log3b，再根据对数运算性质得log2a>log2√b，结合y=log2x单调性，a>√b，继而得解.由log2a+log b3=log2b+log a2，变形可知log2a−log a2<log2b−log b2，利用换底公式等价变形，得log2a−1log2a <log2b−1log2b，由函数f(x)=x−1x在(0,+∞)上单调递增知，log2a<log2b，即a<b，排除C，D；其次，因为log2b>log3b，得log2a+log b3>log3b+log a2，即log2a−log a2>log3b−log b3，同样利用f(x)=x−1x的单调性知，log2a>log3b，又因为log3b=log√3√b>log2√b，得log2a>log2√b，即a>√b，所以√b<a<b.故选：B.多选题9、已知函数f(x)=log2x，g(x)=2x+a，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则a的取值可以是（）A．－4B．－2C．2D．3答案：AB分析：根据条件求出两个函数的值域，结合若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合的关系进行求解即可.当1≤x≤2时，0≤log2x≤1，即0≤f(x)≤1，则f(x)的值域为[0,1]，当1≤x≤2时，2+a≤g(x)≤4+a，则g(x)的值域为[2+a,4+a]，若存在x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅，若[2+a,4+a]∩[0,1]=∅，则2+a>1或4+a<0，解得a>−1或a<−4.所以当[2+a,4+a]∩[0,1]≠∅时，a的取值范围为−4≤a≤−1.故选：AB10、已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数，其中a>0,a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是（）A．a>1B．0<a<1C．c>1D．0<c<1答案：BD分析：根据对数函数的图象判断．由图象知0<a<1，可以看作是y=log a x向左移动c个单位得到的，因此0<c<1，故选：BD ．11、已知函数f (x )={(12)x−1,x ≤0x 12,x >0，则下列结论中错误的是（ ） A ．f (x )的值域为(0,+∞)B ．f (x )的图象与直线y =2有两个交点C ．f (x )是单调函数D ．f (x )是偶函数答案：ACD分析：利用指数函数、幂函数的性质画出f (x )的图象，由图象逐一判断即可.函数f (x )的图象如图所示，由图可知f (x )的值域为[0,+∞)，结论A 错误，结论C ，D 显然错误，f (x )的图象与直线y =2有两个交点，结论B 正确．故选：ACD填空题12、函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为___________.答案：(3,+∞)分析：利用对数型复合函数性质求解即可.由题知：x 2−5x +6>0，解得x >3或x <2.令t =x 2−5x +6，则y =log 12t 为减函数.所以t ∈(−∞,2)，t =x 2−5x +6为减函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为增函数，t ∈(3,+∞)，t =x 2−5x +6为增函数，f (x )=log 12(x 2−5x +6)为减函数.所以函数f (x )=log 12(x 2−5x +6)的单调递减区间为(3,+∞).所以答案是：(3,+∞)13、解指数方程2x+3=3x 2−9：__________.答案：x =−3或x =3+log 32分析：直接对方程两边取以3为底的对数，讨论x +3=0和x +3≠0，解出方程即可. 由2x+3=3x2−9得log 32x+3=log 33x 2−9，即(x +3)log 32=(x −3)(x +3)，当x +3=0即x =−3时，0=0显然成立；当x +3≠0时，log 32=x −3，解得x =log 32+3；故方程的解为：x =−3或x =3+log 32. 所以答案是：x =−3或x =3+log 32.14、设x 13=2，则√x 53⋅x −1=___________.答案：4分析：由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质，求值即可.由√x 53⋅x −1=x 53⋅x −1=x 23=(x 13)2=22=4. 所以答案是：4.解答题15、证明：函数f (x )=log 3(1+x )的图象与g (x )=log 2x 的图象有且仅有一个公共点． 答案：证明见解析分析：把要证两函数的图象有且仅有一个公共点转化为证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根.易观察出x =2为其一根，再假设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点，然后得出矛盾即可. 要证明两函数f (x )和g (x )的图象有且仅有一个公共点，只需证明方程log 3(1+x )=log 2x 有且仅有一个实根，观察上述方程，显然有f (2)=g (2)，则两函数的图象必有交点(2,1)．设(x 0,y 0)(x 0≠2)是函数图象的另一个公共点．则log 3(1+x 0)=log 2x 0，1+x 0=3y 0，x 0=2y 0，∴1+2y 0=3y 0，即(13)y 0+(23)y 0=1， 令M (x )=(13)x +(23)x ，易知函数M (x )=(13)x +(23)x 为指数型函数．显然M (x )在(−∞,+∞)内是减函数，且M (1)=1，故方程(13)y 0+(23)y 0=1有唯一解y 0=1，从而x 0=2，与x 0≠2矛盾， 从而知两函数图象仅有一个公共点．。
高中数学选修一综合测试题重点易错题(带答案)
高中数学选修一综合测试题重点易错题单选题1、已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，点F到双曲线C的一条渐近线的距离为12a，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±12x B．y=±2xC．y=±4x D．y=±14x 答案：A分析：首先根据题意得到d=√b2+a2=b=12a，从而得到ba=12，即可得到答案.由题知：设F(−c,0)，一条渐近线方程为y=bax，即bx−ay=0.因为d=√b2+a2=b=12a，所以ba=12，故渐近线方程为y=±12x.故选：A2、已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为（）A．√2a B．√3a C．√23a D．√33a答案：D分析：建立空间直角坐标系，用空间向量求解由正方体的性质，AB1∥DC1,D1B1∥DB，AB1∩D1B1=B1，DC1∩DB=D，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离．以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A (a,0,0)，B (a,a,0)，A 1(a,0,a )，C (0,a,0)，B 1(a,a,a )，D 1(0,0,a ) 所以CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )，BA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,−a,0)，AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,a,a )，B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−a,−a,0)．连接A 1C ，由CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(0,a,a )=0，CA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅B 1D 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(a,−a,a )⋅(−a,−a,0)=0，且AB 1∩B 1D 1=B 1，可知A 1C ⊥平面AB 1D 1，得平面AB 1D 1的一个法向量为n ⃑ =(1,−1,1)， 则两平面间的距离d =|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n⃑ |n ⃑ ||=√3=√33a ． 故选：D3、已知两圆分别为圆C 1:x 2+y 2=49和圆C 2:x 2+y 2−6x −8y +9=0，这两圆的位置关系是（ ） A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切 答案：B分析：先求出两圆圆心和半径，再由两圆圆心之间的距离和两圆半径和及半径差比较大小即可求解. 由题意得，圆C 1圆心(0,0)，半径为7；圆C 2:(x −3)2+(y −4)2=16，圆心(3,4)，半径为4， 两圆心之间的距离为√32+42=5，因为7−4<5<7+4，故这两圆的位置关系是相交. 故选：B.4、已知直线斜率为k ，且−1≤k ≤√3，那么倾斜角α的取值范围是（ ） A ．[0,π3]∪[π2,3π4)B ．[0,π3]∪[3π4,π)C．[0,π6]∪[π2,3π4)D．[0,π6]∪[3π4,π)答案：B分析：根据直线斜率的取值范围，以及斜率和倾斜角的对应关系，求得倾斜角α的取值范围. 解：直线l的斜率为k，且−1≤k≤√3，∴−1≤tanα≤√3，α∈[0,π).∴α∈[0,π3]∪[3π4,π).故选：B.5、过点P(√3,−2√3)且倾斜角为135∘的直线方程为（）A．3x−y−4√3=0B．x−y−√3=0C．x+y−√3=0D．x+y+√3=0答案：D分析：由倾斜角为135∘求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程解：因为直线的倾斜角为135∘，所以直线的斜率为k=tan135°=−1，所以直线方程为y+2√3=−(x−√3)，即x+y+√3=0，故选：D6、如图，下列各正方体中，O为下底面的中心，M，N为顶点，P为所在棱的中点，则满足MN∥OP的是（）A．B．C．D．答案：A分析：根据给定条件，建立空间直角坐标系，再对每一个选项逐一分析，利用空间位置关系的向量证明推理作答.在正方体中，对各选项建立相应的空间直角坐标系，令正方体棱长为2，点O (1,1,0)， 对于A ，M (0,0,2),N (2,0,0),P (2,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,-1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =0，MN ∥OP ，A 是；对于B ，M (2,0,2),N (0,2,2),P (0,2,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,2,0),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(-1,1,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =4≠0，MN 与OP 不垂直，B 不是；对于C ，M (0,2,2),N (0,0,0),P (2,1,2)，MN →=(0,-2,-2),OP →=(1,0,2)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，C 不是；对于D ，M (2,2,2),N (0,2,0),P (0,0,1)，MN⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(-2,0,-2),OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,1)，MN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ∥OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =-4≠0，MN 与OP 不垂直，D 不是.故选：A7、已知直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则l 的方程为（ ） A ．x +3y −10=0B ．x −3y +8=0C ．3x +y −6=0D ．2x +3y −11=0 答案：A分析：直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切可知k l =−1k op，再使用点斜式即可.直线l 经过点P(1,3)，且l 与圆x 2+y 2=10相切，则k l =−1k op=−13−01−0=−13,故直线l 的方程为y −3=−13(x −1)，即x +3y −10=0. 故选：A.8、已知边长为2的等边三角形ABC ，D 是平面ABC 内一点，且满足DB:DC =2:1，则三角形ABD 面积的最小值是（ ）A ．43(√3−1)B ．43(√3+1)C ．4√33D ．√33答案：A分析：建立直角坐标系，设D(x,y)，写出A,B,C 的坐标，利用DB:DC =2:1列式得关于x,y 的等式，可得点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，写出直线AB 的方程，计算|AB |和点D 距离直线AB 的最小距离d −r ，代入三角形面积公式计算.以BC 的中点O 为原点，建立如图所示的直角坐标系，则A(0,√3)，B (−1,0)，C (1,0)， 设D (x,y )，因为DB:DC =2:1，所以(x +1)2+y 2=4(x −1)2+4y 2，得(x −53)2+y 2=169，所以点D 的轨迹为以(53,0)为圆心，以43为半径的圆，当点D 距离直线AB 距离最大时，△ABD 面积最大，已知直线AB 的方程为：√3x −y +√3=0，|AB |=2，点D 距离直线AB 的最小距离为：d −r =|5√33+√3|2−43=4√33−43，所以△ABD 面积的最小值为S △ABD =12×2×(4√33−43)=43(√3−1).故选：A多选题9、对抛物线y ＝4x 2，下列描述正确的是（ ） A ．开口向上，准线方程为y ＝－116B ．开口向上，焦点为(0,116) C ．开口向右，焦点为(1,0) D ．开口向右，准线方程为y ＝－1 答案：AB分析：根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可. 由题设，抛物线可化为x 2=y4，∴开口向上，焦点为(0,116)，准线方程为y =−116. 故选：AB10、已知直线l 1：x −y −1=0，动直线l 2：(k +1)x +ky +k =0 (k ∈R )，则下列结论正确的是（ ） A ．存在k ，使得l 2的倾斜角为90∘B ．对任意的k ，l 1与l 2都有公共点C．对任意的k，l1与l2都不重合D．对任意的k，l1与l2都不垂直答案：ABD分析：当k=0时可判断A；直线l1与l2均过点(0,−1)可判断B；当k=−12时可判断C，由两直线垂直斜率乘积等于−1可判断D，进而可得正确选项.对于A：当k=0时，直线l2：x=0，此时直线l2的倾斜角为90∘，故选项A正确；对于B，直线l1与l2均过点(0,−1)，所以对任意的k，l1与l2都有公共点，故选项B正确；对于C，当k=−12时，直线l2为12x−12y−12=0，即x−y−1=0与l1重合，故选项C错误；对于D，直线l1的斜率为1，若l2的斜率存在，则斜率为−k+1k≠−1，所以l1与l2不可能垂直，所以对任意的k，l1与l2都不垂直，故选项D不正确；故选：ABD.11、已知F为椭圆C：x24+y22=1的左焦点，直线l：y=kx(k≠0)与椭圆C交于A，B两点，AE⊥x轴，垂足为E，BE与椭圆C的另一个交点为P，则（）A．1|AF|+4|BF|的最小值为2B．△ABE面积的最大值为√2C．直线BE的斜率为12k D．∠PAB为钝角答案：BC分析：A项，先由椭圆与过原点直线的对称性知，|AF|+|BF|=4，再利用1的代换利用基本不等式可得最小值94，A项错误；B项，由直线与椭圆方程联立，解得交点坐标，得出面积关于k的函数关系式，再求函数最值；C项，由对称性，可设A(x0,y0)，则B(−x0,−y0)，E(x0,0)，则可得直线BE的斜率与k的关系；D项，先由A、B对称且与点P均在椭圆上，可得k PA⋅k PB=−b2a2=−12，又由C项可知k PB=k BE=12k，得k PA⋅k AB=−1，即∠PAB=90°，排除D项.对于A，设椭圆C的右焦点为F′，连接AF′，BF′，则四边形AF′BF为平行四边形，∴|AF|+|BF|=|AF|+|AF′|=2a=4，∴1|AF|+4|BF|=14(|AF|+|BF|)(1|AF|+4|BF|)=14(5+|BF||AF|+4|AF||BF|)≥94，当且仅当|BF|=2|AF|时等号成立，A 错误；对于B ，由{x 24+y 22=1y =kx 得x =√1+2k 2，∴|y A −y B |√1+2k 2，∴△ABE 的面积S =12|x A ||y A −y B |=4|k|1+2k 2=41|k|+2|k|≤√2，当且仅当k =±√22时等号成立，B 正确；对于C ，设A(x 0,y 0)，则B(−x 0,−y 0)，E(x 0,0)， 故直线BE 的斜率k BE =0+y 0x 0+x 0=12⋅y 0x 0=12k ，C 正确；对于D ，设P(m,n)，直线PA 的斜率额为k PA ，直线PB 的斜率为k PB ， 则k PA ⋅k PB = n−y 0m−x 0⋅n+y 0m+x 0=n 2−y 02m 2−x 02，又点P 和点A 在椭圆C 上，∴m 24+n 22=1①，x 024+y 022=1②，①−②得n 2−y 02m 2−x 02=−12，易知k PB =k BE =12k ，则k PA ⋅12k =−12，得k PA =−1k ，∴k PA ⋅k AB =(−1k )⋅k =−1，∴∠PAB =90°，D 错误. 故选：BC.小提示：椭圆常用结论：已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，AB 为椭圆经过原点的一条弦，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，若k PA ,k PB 都存在，则k PA ⋅k PB =−b 2a 2. 填空题12、设a∈R，若直线l经过点A(a,2)､B(a+1,3)，则直线l的斜率是___________.答案：1分析：利用直线的斜率公式求解.解：因为直线l经过点A(a,2)､B(a+1,3)，=1，所以直线l的斜率是k=3−2a+1−a所以答案是：113、已知圆x2+y2+2x−4y−5=0与x2+y2+2x−1=0相交于A､B两点，则公共弦AB的长是___________.答案：2分析：两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，利用垂径定理即可得解.解：由题意AB所在的直线方程为：(x2+y2+2x−4y−5)−(x2+y2+2x−1)=0，即y=−1，因为圆x2+y2+2x−1=0的圆心O(−1,0)，半径为r=√2，所以，圆心O(−1,0)到直线y=−1的距离为1，所以|AB|=2√2−12=2.所以答案是：214、直线y=kx+2(k>0)被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3，则直线的倾斜角为________．答案：60∘分析：由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．∵直线y=kx+2(k>0)被圆x2+y2=4截得的弦长为2√3，所以，圆心O(0,0)到直线kx−y+2=0的距离d=√22−(√3)2=1，=1，解得k=√3(k>0)．即√k2+1设直线的倾斜角为θ(0∘≤θ<180∘)，则tanθ=√3，则θ=60∘．因此，直线y=kx+2(k>0)的倾斜角为60∘．所以答案是：60∘．解答题15、设直线l 的方程为(a +1)x +y −3+a =0（a ∈R ）. (1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值； (2)若l 不经过第三象限，求a 的取值范围. 答案：(1)0或3 (2)[−1,3]分析：（1）通过讨论−3+a 是否为0，求出a 的值即可； （2）根据一次函数的性质判断a 的范围即可.（1）当直线l 过原点时，该直线l 在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝3，方程即为4x +y ＝0； 若a ≠3，则3−a a+1=3−a ，即a +1＝1，∴a ＝0，方程即为x +y −3=0， ∴a 的值为0或3.（2）若l 不经过第三象限，直线l 的方程化为y =−(a +1)x +3−a ， 则{−(a +1)≤03−a ≥0 ，解得−1≤a ≤3，∴a 的取值范围是[−1,3].。
高中数学必修二第七章复数重点易错题(带答案)
高中数学必修二第七章复数重点易错题单选题1、设a∈R，若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a=（）A．0B．−1C．1D．√2答案：B分析：利用复数乘法化简复数，根据其对应点在实轴上有a+1=0，即可得答案. ∵复数(1+i)(a+i)=(a−1)+(a+1)i在复平面内对应的点位于实轴上，∴a+1=0，即a=−1．故选：B2、z=(2+i)2−4在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：B分析：将复数化为标准形式再根据复数的几何意义即可确定.z=(2+i)2−4=−1+4i，则z在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B.3、已知复数z满足1−zz=1−i，则z=（）A．−25+15i B．−25−15i C．25+15i D．25−15i答案：D分析：由已知条件求出复数z，利用共轭复数的定义可得出结果.因为1−zz =1−i，所以，z=12−i=2+i(2−i)(2+i)=25+15i，因此，z=25−15i.故选：D.4、在复平面内，复数z=5i3−4i（i为虚数单位），则z对应的点的坐标为（）A．(3,4)B．(−4,3)C．(45,−35)D．(−45,−35)分析：根据复数运算法则进行运算后，再由复数的几何意义得解.因为z=5i3−4i =5i(3+4i)(3−4i)(3+4i)=3i−45=−45+35i，所以z=−45−35i，所以复数z所对应的点的坐标为(−45,−35).故选:D.5、复数2i1−i（i是虚数单位）的虚部是（）A．1B．−i C．2D．−2i答案：A分析：利用复数的除法法则及复数的概念即可求解.由题意可知，2i1−i =2i×(1+i)(1−i)(1+i)=−2+2i2=−1+i，所以复数2i1−i的虚部为1.故选：A.6、设i是虚数单位，则复数z=2i(−2+3i)对应的点在复平面内位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C分析：利用复数的乘法法则化简复数z，由此可得出结论.∵z=2i(−2+3i)=−6−4i，因此，复数z在复平面内的点位于第三象限.故选：C.7、已知a∈R，(1+ai)i=3+i，(i为虚数单位)，则a=（）A．−1B．1C．−3D．3答案：C分析：首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数a的值. (1+ai)i=i+ai2=i−a=−a+i=3+i，利用复数相等的充分必要条件可得：−a=3,∴a=−3.8、已知i为虚数单位，则1+3i1−2i=（）. A．−2−3i B．−1−iC．−1+i D．3+2i答案：C分析：利用复数的除法化简可得结果.1+3i 1−2i =(1+3i)⋅(1+2i)(1−2i)⋅(1+2i)=−5+5i5=−1+i，故选：C.多选题9、已知复数z=1+i1−i，以下结论正确的是（）A．z2021是纯虚数B．|z+i|=2C．z⋅z̅=−1D．在复平面内，复数z̅+z⋅i对应的点位于第三象限答案：ABD分析：利用复数除法运算法则化简可得z=i，根据i的幂运算的周期性、模长的定义、共轭复数定义和复数的乘法运算、复数对应的点坐标来依次判断各个选项即可.z=1+i1−i=(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2i2=i对于A，∵z2021=i2021=i4×505+1=i，∴z2021为纯虚数，A正确；对于B，|z+i|=|2i|=2，B正确；对于C，z⋅z̅=i⋅(−i)=−i2=1，C错误；对于D，∵z̅+z⋅i=−i+i2=−1−i，∴z̅+z⋅i对应的点为(−1,−1)，位于第三象限，D正确. 故选：ABD.10、若复数z在复平面对应的点为Z，则下来说法正确的有（）A．若|z|=3，则Z在复平面内的轨迹为圆B．若|z+4|+|z−4|=8，则Z在复平面内的轨迹为椭圆C．不可能存在复数z同时满足|z|=3和|z+4|+|z−4|=10D．若|z|=3，则|z+4|+|z−4|的取值范围为[8，10]答案：AD分析：设z=x+y i，x，y∈R，根据题中的条件得到相应的轨迹，再分析、判断、计算可求解.对于A，设z=x+y i,x，y∈R，则有|z|=√x2+y2=3⇒x2+y2=9，可知Z在复平面内的轨迹为圆，故A 正确；对于B，设z=x+yi,x，y∈R且|z+4|+|z−4|=8，所以√(x+4)2+y2+√(x−4)2+y2=8=8，所以z在复平面内的轨迹是以(−4,0)和(4,0)为端点的线段，故B不正确；对于C，设z=x+yi,x，y∈R且|z+4|+|z−4|=8，所以√(x+4)2+y2+√(x−4)2+y2=10>8，所以z在复平面内的轨迹是以(−4,0)和(4,0)为焦点，长轴为10的椭圆，其方程为x225+y29=1，若|z|=3，则有x2+y2=9，两者联立{x225+y29=1x2+y2=9，有解x=0，y=±3，所以存在复数z同时满足|z|=3和|z+4|+|z−4|=10，故C不正确；对于D，设z=x+y i,x，y∈R，若|z|=3，则有x2+y2=9，令t=|z+4|+|z−4|=√(x+4)2+y2+√(x−4)2+y2=√x2+y2+16+8x+√x2+y2+16−8x=√25+8x+√25−8x则t2=50+2√252−64x2，（−3≤x≤3）令y=252−64x2，可得72≤y≤252，所以64≤t2≤100，于是得8≤t≤10，故D正确.故选：AD11、设Z1，Z2，Z3为复数，下列命题中错误的是（）A．|Z1|2=Z12B．|Z1⋅Z2|=|Z1|⋅|Z2|C．若Z1+Z2∈R，则Z1−Z2为纯虚数D．若Z2=Z3，且Z1≠0，则|Z2Z1|=|Z3Z1|答案：AC分析：根据举例说明即可判断A、C；根据复数的乘法运算和几何意义即可判断B；根据共轭复数的概念和除法运算即可判断D.A：取Z1=i，则|Z1|2=1，Z12=i2=−1，故A错误；B：设Z1=a+b i，Z2=c+d i(a、b、c、d∈R)，则Z1⋅Z2=(a+b i)(c+d i)=(ac−bd)+(ad+bc)i，|Z1⋅Z2|=√(ac−bd)2+(ad+bc)2=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2，又|Z1|⋅|Z2|=√(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2，所以|Z1⋅Z2|=|Z1|⋅|Z2|，故B正确；C：取Z1=Z2=0，则Z1−Z2=0为实数，故C错误；D：由Z2=Z3，得Z2=Z3，则|Z1Z2|2−|Z1Z3|2=(Z1Z2)(Z1Z2)−(Z1Z3)(Z1Z3)=0，所以|Z1Z2|=|Z1Z3|，又Z1≠0，所以|Z2||Z1|=|Z3||Z1|，故D正确.故选：AC.填空题12、已知复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若z1z2是实数，则实数b＝________. 答案：6分析：化简z1z2，利用虚部为零，计算出b即可.z1 z2＝3−bi1−2i＝(3−bi)(1+2i)(1−2i)(1+2i)＝3+2b+(6−b)i5，∵z1z2是实数，∴6－b＝0，即b＝6.所以答案是：613、已知a为实数，若复数z=(a2−3a−4)+(a−4)i为纯虚数，则a=________．答案：−1分析：根据纯虚数的定义列出方程，解得，即可得出答案.解：若复数z=(a2−3a−4)+(a−4)i是纯虚数，则{a 2−3a −4=0a −4≠0，解得a =−1. 所以答案是：−1.14、实部为5，模与复数4−3i 的模相等的复数的个数为______.答案：1解析：设z =5+bi(b ∈R)，根据模长关系建立等式求解即可.依题意设z =5+bi(b ∈R)，则|z|=√25+b 2，而|4−3i|=√42+(−3)2=5，所以√25+b 2=5，即b =0.所以z =5.故满足题意的复数只有一个.所以答案是：1小提示：此题考查复数概念的辨析和模长的计算，关键在于熟练掌握复数相关概念准确辨析求解. 解答题15、已知z 为复数，z +2i 和z 2−i 均为实数，其中i 是虚数单位． (1)求复数|z | ；(2)若复数z 1=z̅+1m−1−7m+2i 对应的点在第四象限，求m 的取值范围．答案：(1)|z | =2√5；(2)−2<m <34或1<m <32分析：（1）设z =a +b i ，得出z +2i 和z2−i ，根据题意即可求出；（2）表示出z 1，根据z 1对应的点在第四象限可得不等关系求解.(1)设z =a +b i ，则z +2i =a +(b +2)i ，z2−i =a+b i2−i =(a+b i )(2+i )(2−i )(2+i )=a−b 5+a+2b 5i ， 因为z +2i 和z 2−i 均为实数，所以{b +2=0a+2b 5=0 ，解得{a =4b =−2 ， 所以z =4−2i ，则|z | =√42+(−2)2=2√5；(2)z 1=4+2i +1m−1−7m+2i =4m−3m−1+2m−3m+2i ，因为z 1对应的点在第四象限，所以{4m−3m−1>02m−3m+2<0 ，解得−2<m <34或1<m <32.。
【易错题】高中必修二数学下期末试题(含答案)
故选 D． 【点睛】 本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想 象能力．
6．D
解析：D 【解析】
试题分析： AB 2a, AC 2a b , AC AB b ,b AC AB BC ．
由题意知 b
2, a b
a b cos120
1
2
1 2
棱 CC1 的中点，则异面直线 AB1 和 BM 所成的角为( )
A．
B．
C．
D．
2
3
11．已知 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f x 3 2x ，则不等式
f x 0 的解集为（ ）
A．
,
3 2
0,
3 2
B．
,
3 2
3 2
,
C．
3 2
,
3 2
【详解】
因为 b 在 a 上的投影（正射影的数量）为 2 ，
所以| b | cos a, b 2 ，
即
|
b
|
cos
2 a,
b
，而
1
cos
a,
b
0
，
所以| b | 2 ，
因为
a
2b
2
(a
2b)2
2
a
4a b
2
4b
|
a
|2
4
|
a
||
b|
cos
a, b
4
| b|2
=16 4 4 (2) 4 | b |2 48 4 | b |2
16．在四面体 ABCD中， AB=AD 2, BAD 60,BCD 90，二面角 A BD C 的大小为150 ，则四面体 ABCD 外接球的半径为__________．
高中数学易错题大汇总及其解析
【目录】一、导言二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用2. 数列与数学归纳法3. 平面向量的运算及应用4. 不定积分与定积分5. 空间几何与三视图6. 概率统计及应用三、总结与展望【正文】一、导言数学作为一门基础学科，对培养学生的逻辑思维能力、数学建模能力和问题解决能力有着举足轻重的作用。
而在高中阶段，数学的难度也相应提升，很多学生容易在一些常见的易错题上犯错。
本文将对高中数学易错题进行大汇总，并给出详细的解析，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握这些知识点。
二、易错题汇总及解析1. 二次函数的基本性质及应用（1）易错题案例：已知二次函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点(1,2)，且在点(2,1)处的切线斜率为3，求a、b、c的值。
解析：首先利用已知条件列方程，得到三元一次方程组。
然后利用切线的斜率性质，得到关于a和b的关系式。
最后代入已知条件解方程组即可求得a、b、c的值。
（2）易错题案例：已知函数f(x)=ax²+bx+c的图象经过点a、b、c，求a、b、c的值。
解析：利用函数过定点的性质列方程，再利用函数在定点处的斜率为求得a、b、c的值。
2. 数列与数学归纳法（1）易错题案例：已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n²，求an。
解析：利用等差数列的前n项和公式列方程，然后利用数学归纳法求得an的表达式。
（2）易错题案例：已知{an}是等比数列，且a₁=2，a₃=18，求通项公式。
解析：利用等比数列的通项公式列方程，再利用已知条件求出通项公式的值。
3. 平面向量的运算及应用（1）易错题案例：已知向量a=3i+4j，b=5i-2j，求a与b的夹角。
解析：利用向量的夹角公式求出a与b的夹角。
（2）易错题案例：已知平面向量a=2i+j，b=i-2j，求2a-3b的模。
解析：利用向量的运算规则，先求出2a和3b，然后再求它们的差向量，最后求出差向量的模。
(易错题)高中数学必修一第一单元《集合》测试题(含答案解析)(4)
一、选择题1．已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-．若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3m ≥B ．23m ≤≤C ．3m ≤D ．2m ≥2．已知集合()1lg 12A x x ⎧⎫=-<⎨⎬⎩⎭，{}22940B x x x =-+≥，则()RA B 为（ ）A ．()1,4B ．1,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．(4,1D ．(1,1+3．集合{}*|421A x x N =--∈，则A 的真子集个数是（ ） A ．63B ．127C ．255D ．5114．对于集合A 和B ，令{,,},A B x x a b a A b B +==+∈∈如果{2,},S x x k k Z ==∈{}|21,T x x k x Z ==+∈，则S T +=（ ）A ．整数集ZB ．SC ．TD ．{41,}x x k k Z =+∈5．若集合{}2|560A x x x =-->，{}|21xB x =>，则()R C A B =（ ）A ．{}|10x x -≤<B ．{}|06x x <≤C ．{}|20x x -≤<D ．{}|03x x <≤6．若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是和美集合，集合111,0,,,1,323M ⎧⎫⎨=⎩-⎬⎭的所有非空子集中是和美集合的个数为（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．77．已知集合22{|,N ,N}A t t m n m n = =+ ∈ ∈，且x A ∈，yA ，则下列结论中正确的是（ ） A ．x y A +∈ B ．x y A -∈ C ．xy A ∈D ．xA y∈ 8．设所有被4除余数为()0,1,2,3k k =的整数组成的集合为k A ，即{}4,k A x x n k n Z ==+∈，则下列结论中错误的是（ ）A ．02020A ∈B ．3a b A +∈，则1a A ∈，2b A ∈C ．31A -∈D ．k a A ∈，k b A ∈，则0a b A -∈9．已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22B x m x m =-≤≤+．若R A C B A =，则实数m 的取值范围为（ ）A ．5m >B ．3m <-C ．5m >或3m <-D ．35m -<<10．设{}|22A x x =-≥，{}|1B x x a =-<，若A B =∅，则a 的取值范围为（ ） A ．1a <B ．01a <≤C ．1a ≤D ．03a <≤11．已知非空集合M 满足：对任意x M ∈，总有2x M ∉M ，若{}0,1,2,3,4,5M ⊆，则满足条件的M 的个数是（ ）A ．11B ．12C ．15D ．1612．集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值 范围是（ ） A ．{}a |0a 6≤≤ B ．{}|24a a a ≤≥或C ．{}|06a a a ≤≥或D ．{}|24a a ≤≤二、填空题13．对非空有限数集12{,,,}n A a a a =定义运算“min”：min A 表示集合A 中的最小元素．现给定两个非空有限数集A ，B ，定义集合{|,,}M x x a b a A b B ==-∈∈，我们称min M 为集合A ，B 之间的“距离”，记为AB d ．现有如下四个命题：①若min min A B =，则0AB d =；②若min min A B >，则0AB d >；③若0AB d =，则A B ⋂≠∅；④对任意有限集合A ，B ，C ，均有AB BC AC d d d +． 其中所有真命题的序号为__________．14．设集合{}1,2,4A =，{}2|40B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B =__________．15．若规定集合{}()*12,,,n M a a a n N=⋅⋅⋅∈的子集{}()12*,,,mi i i a aa m N ⋅⋅⋅∈为M 的第k个子集,其中12111222m i i i k ---=++⋅⋅⋅+,则M 的第25个子集是______. 16．已知有限集{}123,,,,(2)n A a a a a n =≥. 如果A 中元素(1,2,3,,)i a i n =满足1212n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合1122⎧---⎪⎨⎪⎪⎩⎭是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12,a a N ∈，则12{,}a a 不可能是“复活集”； ④若*i a N ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.其中正确的结论是____________.（填上你认为所有正确的结论序号）17．若规定{}1210E a a a =⋯，，，的子集{}12,,n k k k a a a 为E 的第k 个子集,其中12111222n k k k k ---=++⋯+，则E 的第211个子集是____________. 18．已知集合{}10,A x ax x R =+=∈，集合{}2280B x x x =--=，若A B ⊆,则a 所有可能取值构成的集合为______________19．已知集合{1,2,3},{1,2}A B ==，则满足A C B C ⋂=⋃的集合C 有_______个. 20．函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如：[ 3.5]4-=-，[2.1]2=．若{|[][2][3],01}A y y x x x x ==++≤≤，则A 中所有元素的和为_______．三、解答题21．已知集合{|314}A x x =-<+，{|213}B x m x m =-<+． （1）当1m =时，求AB ；（2）若A B A ⋃=，求m 的取值范围．22．若集合{}24A x x =<<，{}3B x a x a =<<. （1）若x A ∈是x B ∈的充分条件，求实数a 的取值范围； （2）若AB =∅，求实数a 的取值范围.23．设{}{},1,05U R A x x B x x ==≥=<<，求()UA B 和()U A B ∩24．设集合{|12A x a x a =-<<，}a R ∈，不等式2760x x -+<的解集为B ． （1）当a 为0时，求集合A 、B ； （2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围．25．设集合2{|320}A x x x =-+≥，{|B x y ==，全集U =R ，求()U A C B ⋂．26．设全集U =R .（1）解关于x 的不等式|1|10()x a a R -+->∈；（2）记A 为（1）中不等式的解集，B 为不等式组2351410x x x x -⎧≤⎪+⎨⎪-+≥⎩的整数解集，若()U C A B ⋂恰有三个元素，求a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】讨论,B B =∅≠∅两种情况，分别计算得到答案.当B =∅时：1212m m m +>-∴< 成立；当B ≠∅时：12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得：23m ≤≤.综上所述：3m ≤ 故选C 【点睛】本题考查了集合的关系，忽略掉空集的情况是容易发生的错误.2．A解析：A 【分析】解对数不等式求得集合A ，解一元二次不等式求得RB ，由此求得()RAB【详解】 由于()1lg 12x -<=所以{(011,1A x x =<-<=+， 依题意{}2R2940B x x x =-+<，()()22944210x x x x -+=--<，解得142x <<，即R 1,42B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()()R1,4A B ⋂=．故选：A【点睛】本小题主要考查集合交集和补集的运算，考查对数不等式和指数不等式的解法，属于中档题.3．B解析：B 【分析】先求得{}*|421A x x N =--∈的元素个数,再求真子集个数即可.【详解】由{}*|421A x x N=--∈,则421x --为正整数.则21x -可能的取值为0,1,2,3,故210,1,2,3x -=±±±,故x 共7个解.即{}*|421A x x N =--∈的元素个数为7故A 的真子集个数为721127-=【点睛】本题主要考查集合中元素个数的求解与知识点：元素个数为n 的集合的真子集有21n -个. 属于基础题型.4．C解析：C 【分析】由题意分别找到集合S ,T 中的一个元素，然后结合题中定义的运算确定S T +的值即可. 【详解】由题意设集合S 中的元素为：2,k k Z ∈，集合T 中的元素为：21,m m Z +∈， 则S T +中的元素为：()22121k m k m ++=++， 举出可知集合S T T +=. 故选：C . 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．B解析：B 【解析】 【分析】求得集合{|1A x x =<-或6}x >，{}|0B x x =>，根据集合运算，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，集合{}2|560{|1A x x x x x =-->=<-或6}x >，{}{}|21|0x B x x x =>=>，则{}|16R C A x x =-≤≤，所以(){}|06R C A B x x =<≤.故选B ． 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．D解析：D 【分析】写出集合111,0,,,1,323M ⎧⎫⎨=⎩-⎬⎭的非空子集，根据和美集合的定义验证即可. 【详解】先考虑含一个元素的子集，并且其倒数是其本身，有{}{}1,1,- 再考虑 含有两个元素的和美集合，有{}11,1,,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，含有三个元素的子集且为和美集合的是111,,3,1,,3,33⎧⎫⎧⎫-⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭含有四个元素的子集且为和美集合的是11,1,,33⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查了集合的子集，考查了创设新情景下解决问题的能力，属于中档题.7．C解析：C 【分析】 设22x m n =+，22N,N N,,,N n b b ya ma ，再利用22()()xy ma nb mb na =++-，可得解.【详解】 由x A ∈，yA ，设22x m n =+，22N,N N,,,N n b b y a m a ，所以22222222222222()()()()xy m n a b m a m b n a n b ma nb mb na =++=+++=++-， 且N,N ma nb mb na +-∈∈， 所以xy A ∈， 故选：C. 【点睛】关键点点睛，本题的解题关键是2222222222()()m a m b n a n b ma nb mb na +++=++-，另外本题可以通过列举法得到集合的一些元素，进而排除选项可得解.8．B解析：B 【分析】首先根据题意，利用k A 的意义，再根据选项判断. 【详解】A.202045050=⨯+，所以02020A ∈，正确；B.若3a b A +∈，则12,a A b A ∈∈，或21,a A b A ∈∈或03,a A b A ∈∈或30,a A b A ∈∈，故B 不正确；C.()1413-=⨯-+，所以31A -∈，故C 正确；D.4a n k =+，4b m k =+，,m n Z ∈，则()40,a b n m -=-+()n m Z -∈，故0a b A -∈，故D 正确.故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，关键是理解k A 的意义，再将选项中的数写出k A 中的形式，就容易判断选项了.9．C解析：C 【分析】首先根据题意，求得{|2R C B x x m =>+或}2x m <-，由R AC B A =可以得到R A C B ⊆，根据子集的定义求得参数所满足的条件，得到结果.【详解】{}{}2230=|13A x x x x x =--≤-≤≤，∵{}22B x m x m =-≤≤+． ∴{2R C B x x m =>+或2}x m <-， ∵R AC B A =即R A C B ⊆，∴23m ->或21m +<-．即5m >或3m <-，即实数m 的取值范围是5m >或3m <-． 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的补集，根据子集求参数的取值范围，属于简单题目.10．C解析：C 【分析】解集绝对值不等式求得,A B ，结合A B =∅求得a 的取值范围.【详解】由22x -≥得22x -≤-或22x -≥，解得0x ≤或4x ≥，所以(][),04,A =-∞⋃+∞， 由1x a -<得1a x a -<-<，解得11a x a -<<+，所以()1,1B a a =-+. 当0a ≤时，B =∅，A B =∅，符合题意.当0a >时，由于AB =∅，所以1014a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得01a <≤.综上所述，a 的取值范围是1a ≤. 故选：C 【点睛】本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查根据交集的结果求参数的取值范围.11．A解析：A 【分析】可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，且2,4不同时出现，即可得到结论. 【详解】由题意，可得集合M 是集合{}2,3,4,5的非空子集，共有42115-=个， 且2,4不能同时出现，同时出现共有4个， 所以满足题意的集合M 的个数为11个，故选A. 【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合的子集个数的判定及应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.12．C解析：C 【解析】|x-a|<1,∴a-1<x<a+1,∵A∩B=∅. ∴a-1≥5或a+1≤1,即a≤0或a≥6.故选C.二、填空题13．①③【分析】根据题意可得①③正确通过举反例可得②④错误【详解】对于结论①若则中最小的元素相同故①正确；对于结论②取集合满足但故②错误；对于结论③若则中存在相同的元素则交集非空故③正确；对于结论④取集解析：①③ 【分析】根据题意可得①③正确，通过举反例可得②④错误. 【详解】对于结论①，若min min A B =，则A ，B 中最小的元素相同，故①正确；对于结论②，取集合{}1,2A =，{}0,2B =，满足min min A B >，但0AB d =，故②错误；对于结论③，若0AB d =，则,A B 中存在相同的元素，则交集非空，故③正确； 对于结论④，取集合{}1,2A =，{}2,3B =，{}3,4C =，可知0AB d =，0BC d =，1AC d =，则AB BC AC d d d +≥不成立，故④错误. 故答案为：①③．14．【解析】因为所以为方程的解则解得所以集合 解析：{}1,3【解析】 因为{}1A B ⋂=，所以1x =为方程240x x m -+=的解， 则140m -+=，解得3m =，所以2430x x -+=，(1)(3)0x x --=，集合{}1,3B =．15．【分析】根据子集的定义将表示为求出即可求解【详解】的第25个子集是故答案为:【点睛】本题考查新定义的理解认真审题领会题意是关键属于中档题 解析：{}145,,a a a【分析】根据子集的定义将25表示为1211125222m i i i ---=++⋅⋅⋅+，求出12,m i i i ，即可求解【详解】03411415125222222---=++=++，1231,4,5i i i ===，M 的第25个子集是{}145,,a a a ，故答案为:{}145,,a a a . 【点睛】本题考查新定义的理解，认真审题，领会题意是关键，属于中档题.16．①③④【分析】根据已知中复活集的定义结合韦达定理以及反证法依次判断四个结论的正误进而可得答案【详解】对于①故①正确；对于②不妨设则由韦达定理知是一元二次方程的两个根由可得或故②错；对于③不妨设中由得解析：①③④ 【分析】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理以及反证法，依次判断四个结论的正误，进而可得答案. 【详解】对于①，1==-，故①正确； 对于②，不妨设1212a a a a t +==，则由韦达定理知12,a a 是一元二次方程20x tx t -+=的两个根， 由>0∆，可得0t <或4t >，故②错； 对于③，不妨设A 中123n a a a a <<<<，由1212n n n a a a a a a na =+++<得121n a a a n -<，当2n =时，即有12a <，∴11a =，于是221a a +=，2a 无解，即不存在满足条件的“复活集”A ，故③正确；对于④，当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，求得33a =，于是“复活集” A 只有一个，为{}1,2,3， 当4n ≥时，由()1211231n a a a n -≥⨯⨯⨯⨯-，即有()1!n n >-，也就是说“复活集”A 存在的必要条件是()1!n n >-，事实上()()()()221!1232222n n n n n n n -≥--=-+=--+>，矛盾，∴当4n ≥时不存在“复活集”A ，故④正确.故答案为：①③④ 【点睛】本题主要考查了集合新定义，需理解“复活集”的定义，考查了学生的知识迁移能力以及分析问题的能力，属于中档题.17．【分析】根据题意分别讨论的取值通过讨论计算的可能取值即可得出答案【详解】而的第个子集包含此时的第个子集包含此时的第个子集包含此时的第个子集包含此时的第个子集包含的第个子集是故答案为：【点睛】本题主要 解析：{}12578,,,,a a a a a【分析】根据题意，分别讨论2n 的取值，通过讨论计算n 的可能取值，即可得出答案. 【详解】72128211=<，而82256211=>，E ∴的第211个子集包含8a ，此时21112883-=，626483=<，7212883=>，E ∴的第211个子集包含7a ，此时836419-=，421619=<，523219=>，E ∴的第211个子集包含5a ，此时19163-=，1223=<，2243=>，E ∴的第211个子集包含2a ，此时321-=，021=E ∴的第211个子集包含1a ，E ∴的第211个子集是{}12578,,,,a a a a a .故答案为：{}12578,,,,a a a a a 【点睛】本题主要考查了与集合有关的信息题，理解条件的定义是解决本题的关键.18．【分析】先化简集合利用分类讨论和即可求出构成的集合【详解】由可得:即:解得或故:由可得:当时方程无实数解此时满足当时方程的实数解为故:由可得:或解得或的所有取值构成的集合为:故答案为:【点睛】本题主 解析：11{0,,}24- 【分析】先化简集合B ,利用A B ⊆,分类讨论=0a 和0a ≠,即可求出构成a 的集合.【详解】 由{}2280B x x x =--=可得:2280x x --= 即:()()240x x +-=解得2x =-或4x = 故:{}2,4B =- {}10,A x ax x R =+=∈由10ax += 可得:1ax =-当0a =时,方程1ax =-无实数解,此时A =∅,满足A B ⊆当0a ≠时,方程1ax =-的实数解为1x a =-,故:1{}A a=- 由A B ⊆可得:12a -=-或14a-= 解得12a =或14a =- a 的所有取值构成的集合为:11{0,,}24-.故答案为:11{0,,}24-.【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系以及一元二次方程的解法,要注意集合A 是集合B 的子集时,集合A 有可能是空集. 19．2【分析】由题意首先确定集合ABC 的关系然后结合子集个数公式即可确定集合C 的个数【详解】由条件可知：则符合条件的集合C 的个数即为集合{3}的子集的个数共个事实上满足题意的集合C 为：或故答案为2【点睛 解析：2【分析】由题意首先确定集合ABC 的关系，然后结合子集个数公式即可确定集合C 的个数.【详解】由条件A C B C ⋂=⋃可知：()()()()B B C A C C B C A C A ⊆⋃=⋂⊆⊆⋃=⋂⊆，则符合条件的集合C 的个数即为集合{3}的子集的个数，共122=个.事实上，满足题意的集合C 为：{}1,2C =或{}1,2,3C =.故答案为2．【点睛】本题主要考查集合的包含关系，子集个数公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．【分析】分5种情况讨论的范围计算函数值并求元素的和【详解】①当时；②当时；③当时；④时；⑤当时则中所有元素的和为故答案为12【点睛】本题考查新定义的题型需读懂题意并能理解应用分类讨论解决问题本题的难解析：12【分析】 分103x ≤<，1132x ≤<，1223x ≤<，213x ≤<，1x =，5种情况讨论2,3x x 的范围，计算函数值，并求元素的和.【详解】 ①当103x ≤<时， 220,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)30,1x ∈， ∴ [][][]230x x x ===，[][][]230x x x ++= ；②当1132x ≤<时，22,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，331,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ， [][]20,x x ∴==[]31x =，[][][]231x x x ∴++=；③当1223x ≤<时，[)21,2x ∈ ，33,22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭[]0x ∴=，[]21x = ，[]31x = ，[][][]232x x x ∴++=； ④213x ≤<时，42,23x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，[)32,3x ∈ []0x ∴=，[]21x =，[]32x =，[][][]233x x x ∴++=；⑤当1x =时[]1x =，[]22x =，[]33x = ，[][][]236x x x ∴++={}0,1,2,3,6A ∴=，则A 中所有元素的和为0123612++++=.故答案为12【点睛】本题考查新定义的题型，需读懂题意，并能理解，应用，分类讨论解决问题，本题的难点是分类较多，不要遗漏每种情况三、解答题21．（1）{|13}A B x x ⋂=；（2）3(2-，0][4⋃，)+∞． 【分析】（1）当1m =时，求出集合B ，A ，由此能求出A B ．（2）由A B A ⋃=，得B A ⊆，当B =∅时，213m m -+，当B ≠∅时，21321433m m m m -<+⎧⎪->-⎨⎪+⎩，由此能求出m 的取值范围．【详解】解：（1）当1m =时，{|14}B x x =<，{|314}{|43}A x x x x =-<+=-<，{|13}A B x x ∴⋂=．（2）A B A =，B A ∴⊆，当B =∅时，213m m -+，解得4m ，当B ≠∅时，21321433m m m m -<+⎧⎪->-⎨⎪+⎩，解得302m -<， 综上，m 的取值范围为3(2-，0][4⋃，)+∞． 【点睛】结论点睛：本题考查交集、实数的取值范围的求法，并集、交集的结论与集合包含之间的关系：A B A B A =⇔⊆，A B A A B ⋂=⇔⊆．22．（1）423a ≤≤；（2）23a ≤或4a ≥ 【分析】（1）考虑A 是B 的子集即可求解；（2）分类讨论当B 为空集和不为空集两种情况求解.【详解】（1）若x A ∈是x B ∈的充分条件，234a a ≤⎧⎨≥⎩，解得423a ≤≤； （2）A B =∅，当B =∅时，即3,0a a a ≥≤，当B ≠∅时，04a a >⎧⎨≥⎩或032a a >⎧⎨≤⎩，即203a <≤或4a ≥. 综上所述：23a ≤或4a ≥ 【点睛】此题考查根据充分条件与集合关系求解参数取值范围，易错点在于漏掉考虑空集情况. 23．(){}|5U A B x x ⋃=<，(){}|5U A B x x ⋂=≥.【分析】 首先根据题中所给的集合，根据补集的定义，求得{}|1UA x x =<，{0UB x =≤或5}x ，之后利用交集并集的定义求得结果.【详解】因为U =R ，{}{}1,05A x x B x x =≥=<<，所以{}|1U A x x =<，{0U B x =≤或5}x ， 所以(){}|5UA B x x ⋃=<，(){}|5U A B x x ⋂=≥. 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的运算，属于简单题目. 24．（1）{|10}A x x =-<<，{|16}B x x =<<；（2）1a -或23a ．【分析】（1）根据题意，由0a =可得结合A ，解不等式2760x x -+<可得集合B ，（2）根据题意，分A 是否为空集2种情况讨论，求出a 的取值范围，综合即可得答案．【详解】解：（1）根据题意，集合{|12A x a x a =-<<，}a R ∈，当0a =时，{|10}A x x =-<<，276016x x x -+<⇒<<，则{|16}B x x =<<，（2）根据题意，若A B ⊆，分2种情况讨论：①，当12a a -时，即1a -时，A =∅，A B ⊆成立；②，当12a a -<时，即1a >-时，A ≠∅，若A B ⊆，必有1126a a -⎧⎨⎩， 解可得23a ，综合可得a 的取值范围为1a -或23a ．【点睛】本题考查集合的包含关系的应用，（2）中注意讨论A 为空集，属于基础题．25．{|1x x ≤或}23x ≤<【分析】先化简集合A ,B 中元素的性质,再求得U B ,进而由交集的定义求解即可. 【详解】由题,因为2320x x -+≥,解得2x ≥或1x ≤,所以{|2A x x =≥或}1x ≤,因为30x -≥,解得3x ≥,所以{}|3B x x =≥,所以{}U |3B x x =<,则(){U |1A B x x ⋂=≤或}23x ≤<【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查解一元二次不等式,考查具体函数的定义域. 26．（1）见解析（2）10a -<≤【分析】（1）通过讨论a 的取值范围，求出不等式的解集即可.（2）解不等式组求得集合B ，通过讨论a 的范围求出A 的补集，再根据()U C A B ⋂恰有三个元素，建立不等式求解.【详解】（1）因为|1|10()x a a R -+->∈，所以|1|1->-x a ，当10a -< 即1a > 时，解集为R ，当10a -= 即1a = 时，解集为{}|1x x ≠ ，当10a -> 即1a < 时，11->-x a 或11-<-x a ，所以2x a >-或x a <，所以解集为{|2x x a >- 或}x a <.综上：1a > 时，解集为R ；1a = 时，解集为{}|1x x ≠ ；1a < 时，解集为{|2x x a >- 或}x a <.（2）因为2351410x x x x -⎧≤⎪+⎨⎪-+≥⎩， 所以23510410x x x x -⎧-≤⎪+⎨⎪-+≥⎩，所以()()29404210x x x x x ⎧⎛⎫+-≤≠-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-+≥⎩， 解得942x -<≤ . 因为B 为不等式组2351410x x x x -⎧≤⎪+⎨⎪-+≥⎩的整数解集，所以{}3,2,1,0,1,2,3,4B =--- ，当1a > 时，U A =∅ 不满足()U C A B ⋂恰有三个元素. 当1a = 时，{}=1U A 不满足()U C A B ⋂恰有三个元素. 当1a < 时，{}=≤≤-|2U A x a x a ，21a -> ，因为()U C A B ⋂恰有三个元素，所以12224a a a a a <⎧⎪--≥⎨⎪--<⎩， 解得10a -<≤ .综上：a 的取值范围是10a -<≤.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式，分式不等式及一元二次不等式的解法和集合的基本运算，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.。
(完整word版)高中数学必修2易错题精选(含部分答案)
必修2易错填空题集锦2011-10—261. 下列四个命题:① 两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；② 和两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线；③ 平行移动两条异面直线中的任一条,它们所成的角不变；④ 四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形。
其中错误的说法有 ①、② 、④.2. 有下列四个命题：① 平行于同一条直线的两个平面平行； ② 平行于同一个平面的两个平面平行;③ 垂直于同一条直线的两个平面平行; ④ 与同一条直线成等角的两个平面平行。
其中正确的命题是 ②、③ 。
(写出所有正确命题的序号）3. 以下四个命题：① PA 、PB 是平面α的两条相等的斜线段，则它们在平面α内的射影必相等；② 平面α内的两条直线l 1、l 2，若l 1、l 2均与平面β平行,则α//β；③ 若平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α//β；④ α、β为两斜相交平面,面α内有一定直线a ，则在平面β内有无数条直线与a 垂直.其中正确命题的序号是 ④4. 两条异面直线在同一平面内的射影可能是:①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点；⑤一条直线和一个点。
上述五个结论正确的是 ①②⑤ 。
(写出所有正确结论的序号）5. 直线,l m 与平面,αβ满足,l m αβ⊥⊂，有下列命题：①//l m αβ⇒⊥ ；②//;l m αβ⊥⇒; ③//.l m αβ⇒⊥其中正确的命题是 ① ③ .（写出所有正确命题的序号）6. 已知m n 、是不重合的直线，αβ、是不重合的平面，有下列命题：（1）若,//n m n αβ=，则//,//m m αβ; （2）若,m m αβ⊥⊥，则//αβ;(3）若//,m m n α⊥,则n α⊥; （4）若,m n αα⊥⊂，则.m n ⊥其中所有正确命题的序号是 （2）（4）7. 已知直线a 、b 、c ,平面α、β、γ，并给出以下命题:①若α∥β，β∥γ，则α∥γ，②若a ∥b ∥c ，且α⊥a ，β⊥b ，γ⊥c ，则α∥β∥γ，③若a ∥b ∥c ，且a ∥α,b ∥β，c ∥γ，则α∥β∥γ；④若a ⊥α，b ⊥β，c ⊥γ,且α∥β∥γ，则a ∥b ∥c ．其中正确的命题有 。
高中数学易错题精选
高中数学错题精选一：三角部分1．△ABC 中，已知cosA=135，sinB=53，则cosC 的值为（ ） A 、6516 B 、6556 C 、6516或6556 D 、6516-2．为了得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=62sin πx y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A 向右平移6π B 向右平移3π C 向左平移6π D 向左平移3π3．若sin cos θθ+=1，则对任意实数n nn，sin cos θθ+的取值为（） A. 1B. 区间（0，1）C.121n - D. 不能确定4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是…………………( )A. ]3,0[πB. ]127,12[ππC. ]65,3[ππD. ],65[ππ 5．在锐角⊿ABC 中，若1tan +=t A ，1tan -=t B ，则t 的取值X 围为（ ）A 、),2(+∞B 、),1(+∞C 、)2,1(D 、)1,1(- 6．已知53sin +-=m m θ，524cos +-=m m θ（πθπ<<2），则=θtan （C ） A 、324--m m B 、m m 243--± C 、125- D 、12543--或7．曲线y=2sin(x+)4πcos(x-4π)和直线y=21在y 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P 1、P 2、P 3……，则|P 2P 4|等于 （ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π8．函数的图象的一条对称轴的方程是（）9．先将函数y=sin2x 的图象向右平移π3个单位长度，再将所得图象作关于y 轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （ ） A ．y=sin(－2x+π3) B ． y=sin(－2x －π3) C ．y=sin(－2x+ 2π3)D ． y=sin(－2x －2π3) 10．函数x x y cos sin =的单调减区间是（ ）A 、]4,4[ππππ+-k k （z k ∈） B 、)](43,4[z k k k ∈++ππππ C 、)](22,42[z k k k ∈++ππππ D 、)](2,4[z k k k ∈++ππππ11．已知奇函数()[]上为，在01-x f 单调减函数，又α，β为锐角三角形内角，则（ ） A 、f(cos α)＞ f(cos β) B 、f(sin α)＞ f(sin β)C 、f(sin α)＜f(cos β)D 、f(sin α)＞ f(cos β)高中数学错题精选二：不等式部分1、若不等式ax 2+x+a ＜0的解集为 Φ，则实数a 的取值X 围（ ）A a ≤-21或a ≥21 B a ＜21 C -21≤a ≤21 D a ≥21 正确答案：D 错因：学生对一元二次不等式与二次函数的图象之间的关系还不能掌握。
部编版高中数学选修一综合测试题带答案易错题集锦
(名师选题)部编版高中数学选修一综合测试题带答案易错题集锦单选题1、设O 为坐标原点，直线x =a 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于D,E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4B ．8C ．16D ．322、直线y =x −1过抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点F ，且与C 交于A 、B 两点，则|AB|=（ ） A ．6B ．8C ．2D ．43、已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F ，过点F 的直线交C 于A ，B 两点，则AB 的中点M 到C 的准线l 的距离的最小值为（ ） A ．2B ．4C ．5D ．64、如图，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ −CC⃑⃑⃑⃑⃑ 1=（ ）A ．AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．A 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．D 1B ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ D ．DB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑5、若直线 y =kx +1与圆x 2+y 2=1相交于A ，B 两点， 且∠AOB =60∘(其中O 为原点)， 则k 的值为（ ） A ．−√33或√33B ．√33C ．−√2或√2D ．√2 6、已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|⋅|MF 2|的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．67、如图所示，在空间直角坐标系中，BC =2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC =90∘，∠DCB =30∘，则点D 的坐标为（ ）．A ．(0，−12，−√32) B ．(0，−12，√32) C ．(0，12，−√32) D ．(0，12，√32) 8、已知空间向量a ，b ⃑ ，c 满足a +b ⃑ +c =0⃑ ，|a |=1，|b ⃑ |=2，|c |=√7，则a 与b ⃑ 的夹角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 多选题9、(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1，其中，以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．AC 1=6√6B ．AC 1⊥DBC ．向量B 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的夹角是60°D ．BD 1与AC 所成角的余弦值为√6310、已知点P 在圆(x −5)2+(y −5)2=16上，点A (4,0)、B (0,2)，则（ ） A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当∠PBA 最小时，|PB |=3√2D ．当∠PBA 最大时，|PB |=3√211、已知直线l:ax +by −r 2=0与圆C:x 2+y 2=r 2，点A(a,b)，则下列说法正确的是（ ） A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相离 C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切 填空题12、在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =1，AA 1=2，点P 为底面ABCD 上一点，则PA →⋅PC 1→的最小值为________.13、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，点O 为空间任一点，设OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =a ⃗，OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =b ⃑⃗，OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =c ⃗，则向量OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 用a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗表示为________．部编版高中数学选修一综合测试题带答案(二十二)参考答案1、答案：B分析：因为C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y=±bax，与直线x=a联立方程求得D，E两点坐标，即可求得|ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c=2√a2+b2，结合均值不等式，即可求得答案.∵C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴双曲线的渐近线方程是y=±bax∵直线x=a与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点不妨设D为在第一象限，E在第四象限联立{x=ay=ba x，解得{x=ay=b故D(a,b)联立{x=ay=−ba x，解得{x=ay=−b故E(a,−b)∴|ED|=2b∴△ODE面积为：S△ODE=12a×2b=ab=8∵双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)∴其焦距为2c=2√a2+b2≥2√2ab=2√16=8当且仅当a=b=2√2取等号∴C的焦距的最小值：8故选：B.小提示：本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 2、答案：B分析：联立直线与抛物线的方程，根据抛物线的焦点坐标，结合焦点弦长公式求解即可 因为抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点坐标为F (p2,0)，又直线y =x −1过抛物线C:y 2=2px(p >0)的焦点F ，所以p =2，抛物线C 的方程为y 2=4x ，由{y =x −1y 2=4x，得x 2−6x +1=0，所以x A +x B =6，所以|AB |=x A +x B +p =6+2=8． 故选：B 3、答案：B分析：设出直线AB 的方程x =my +2，联立后利用弦长公式表达出AB ，求出AB 长度的最小值，再利用抛物线的定义来进行转化，得到AB 的中点M 到C 的准线l 的距离为AB 的一半，进而求出点M 到C 的准线l 的距离的最小值. 如图，分别过点A ，M ，B 作准线的垂线，垂足分别为C ，D ，E ， 则|MD |=|AC |+|BE |2=|AF |+|BF |2=|AB |2设直线AB 的方程为x =my +2，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2). 联立{x =my +2y 2=8x ，整理得y 2−8my −16=0，则y 1+y 2=8m ，y 1y 2=−16.|AB |=√1+m 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8(1+m 2)⩾8∴|MD |⩾4.故选：B. 4、答案：B分析：由空间向量的加法的平行四边形法则和三角形法则，可得所求向量．连接AC 、A 1C ，可得AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，又CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗， 所以AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−CC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗−AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=A 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗． 故选：B. 5、答案：A分析：根据点到直线的距离公式即可求解.由∠AOB =60∘可知，圆心(0,0)到直线y =kx +1的距离为√32，根据点到直线的距离公式可得√12+k 2=√32⇒k =±√33故选：A小提示：6、答案：C分析：本题通过利用椭圆定义得到|MF 1|+|MF 2|=2a =6，借助基本不等式|MF 1|⋅|MF 2|≤(|MF 1|+|MF 2|2)2即可得到答案．由题，a 2=9,b 2=4，则|MF 1|+|MF 2|=2a =6， 所以|MF 1|⋅|MF 2|≤(|MF 1|+|MF 2|2)2=9（当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时，等号成立）．故选：C ． 小提示： 7、答案：B分析：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，然后在Rt △BDC 中求解. 过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中，∠BDC =90∘，∠DCB =30∘，BC =2， 得|BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=1、|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√3， 所以|DE ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|CD ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅sin30∘=√32， 所以|OE ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |−|BE ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |−|BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅cos60∘=1−12=12， 所以点D 的坐标为(0，−12，√32)， 故选：B ． 8、答案：C分析：将a +b ⃑ =−c ，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.设a 与b ⃑ 的夹角为θ．由a +b ⃑ +c =0，得a +b ⃑ =−c ，两边平方，得a 2+2a ⋅b ⃑ +b ⃑ 2=c 2， 所以1+2×1×2cosθ+4=7，解得cosθ=12，又θ∈[0，π]，所以θ=60∘， 故选：C ．9、答案：AB分析：根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可. 因为以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°， 所以AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =6×6×cos 60°=18， (AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )2=AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 2+AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2+2AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +2AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =36+36+36+3×2×18=216，则|AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ |=6√6， 所以A 正确； AC 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·DB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )·(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ -AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ) =AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·AB ⃑⃑⃑⃑⃑ -AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 2-AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ·AB ⃑⃑⃑⃑⃑ -AD ⃑⃑⃑⃑⃑ 2 =0，所以B 正确； 显然△AA 1D 为等边三角形，则∠AA 1D =60°.因为B 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =A 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，且向量A 1D ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的夹角是120°，所以B 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 与AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的夹角是120°，所以C 不正确； 因为BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ -AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，所以|BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ -AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )2=6√2，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )2=6√3， BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +AA 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ -AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )·(AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +AD ⃑⃑⃑⃑⃑ )=36， 所以cos <BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，AC ⃑⃑⃑⃑⃑ >=BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ·AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |BD 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |·|AC ⃑⃑⃑⃑⃑ |=6√2×6√3=√66，所以D 不正确. 故选:AB. 10、答案：ACD分析：计算出圆心到直线AB 的距离，可得出点P 到直线AB 的距离的取值范围，可判断AB 选项的正误；分析可知，当∠PBA 最大或最小时，PB 与圆M 相切，利用勾股定理可判断CD 选项的正误. 圆(x −5)2+(y −5)2=16的圆心为M (5,5)，半径为4， 直线AB 的方程为x4+y2=1，即x +2y −4=0，圆心M 到直线AB 的距离为√12+22=√5=11√55>4，所以，点P 到直线AB 的距离的最小值为11√55−4<2，最大值为11√55+4<10，A 选项正确，B 选项错误；如下图所示：当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，|BM|=√(0−5)2+(2−5)2=√34，|MP|=4，由勾股定理可得|BP|=√|BM|2−|MP|2=3√2，CD选项正确.故选：ACD.小提示：名师点评若直线l与半径为r的圆C相离，圆心C到直线l的距离为d，则圆C上一点P到直线l的距离的取值范围是[d−r,d+r].11、答案：ABD分析：转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2,r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.，圆心C(0,0)到直线l的距离d=2√a2+b2若点A(a,b)在圆C上，则a2+b2=r2，所以d=2|r|，√a2+b2则直线l与圆C相切，故A正确；|r|，若点A(a,b)在圆C内，则a2+b2<r2，所以d=2√a2+b2则直线l与圆C相离，故B正确；若点A(a,b)在圆C外，则a2+b2>r2，所以d=2|r|，√a2+b2则直线l与圆C相交，故C错误；若点A(a,b)在直线l 上，则a 2+b 2−r 2=0即a 2+b 2=r 2， 所以d =2√a 2+b 2|r|，直线l 与圆C 相切，故D 正确.故选：ABD. 12、答案：−12分析：根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可. 解：如图，以AD,AB,AA 1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系， 则A (0,0,0),C 1(1,1,2)，设P (x,y,0)，所以PA →=(−x,−y,0),PC 1→=(1−x,1−y,2)，所以PA →⋅PC 1→=−x (1−x )−y (1−y )=x 2+y 2−x −y =(x −12)2+(y −12)2−12， 所以当x =y =12时，PA →⋅PC 1→有最小值−12. 所以答案是：−1213、答案：OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12a ⃗−12b ⃑⃗+c ⃗.分析：根据向量的线性运算可得答案.解：因为AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ＝－2CD ⃑⃑⃑⃑⃑ ，∴OB ⃑⃑⃑⃑⃑ −OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =−2(OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −OC ⃑⃑⃑⃑⃑ )，∴b ⃑⃗−a ⃗=−2(OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ −c ⃗)，∴OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12a ⃗−12b ⃑⃗+c ⃗. 所以答案是：OD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =12a ⃗−12b ⃑⃗+c ⃗.。
(精选试题附答案)高中数学选修一重点易错题
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学选修一重点易错题单选题1、“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A分析：直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直得到a ∈R ，再利用充分必要条件的定义判断得解. 因为直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直， 所以1×(a)+a ×(−1)=0， 所以a ∈R .所以a =1时，直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直，所以“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的充分条件；当直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直时，a =1不一定成立，所以“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的非必要条件.所以“a =1”是“直线x +ay −1=0与直线ax −y +1=0相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A小提示：方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.2、在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 为B 1D 1的中点，则直线PB 与AD 1所成的角为（ ） A ．π2B ．π3C ．π4D ．π6答案：D分析：平移直线AD 1至BC 1，将直线PB 与AD 1所成的角转化为PB 与BC 1所成的角，解三角形即可.如图，连接BC 1,PC 1,PB ，因为AD 1∥BC 1， 所以∠PBC 1或其补角为直线PB 与AD 1所成的角，因为BB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以BB 1⊥PC 1，又PC 1⊥B 1D 1，BB 1∩B 1D 1=B 1， 所以PC 1⊥平面PBB 1，所以PC 1⊥PB ，设正方体棱长为2，则BC 1=2√2,PC 1=12D 1B 1=√2，sin∠PBC 1=PC 1BC 1=12，所以∠PBC 1=π6.故选：D3、如图，ABCD －EFGH 是棱长为1的正方体，若P 在正方体内部且满足AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +23AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则P 到AB 的距离为（ ）A ．34B ．45C ．56D ．35答案：C分析：以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 由题意，计算出AB ⃑⃑⃑⃑⃑ 和AP ⃑⃑⃑⃑⃑ 的坐标，然后根据向量法求点到直线的距离公式d =√|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−(|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑||AB⃑⃑⃑⃑⃑ |)2即可求解. 解：如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0,0)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,1,0)，AE ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,1)， 因为AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =34AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AD ⃑⃑⃑⃑⃑ +23AE ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(34,12,23)，|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑||AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=34，|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(34)2+(12)2+(23)2=181144, 所以点P 到AB 的距离d =√|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ |2−(|AP ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑||AB ⃑⃑⃑⃑⃑ |)2=√181144−916=56． 故选：C.4、已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程（ ）A ．x 2－y 28＝1(x ≤－1)B ．x 2－y 28＝1C ．x 2－y 28＝1(x ≥1)D ．y 28－x 2＝1 答案：A分析：根据双曲线定义求解|MC 1|=r +1,|MC 2|=r +3,则|MC 2|−|MC 1|=2 根据双曲线定义知M 的轨迹为x 2−y 28=1的左半支故选：A5、已知空间向量a ，b ⃑ ，c 满足a +b ⃑ +c =0⃑ ，|a |=1，|b ⃑ |=2，|c |=√7，则a 与b ⃑ 的夹角为（ ） A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案：C分析：将a +b ⃑ =−c ，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.设a 与b ⃑ 的夹角为θ．由a +b ⃑ +c =0，得a +b ⃑ =−c ，两边平方，得a 2+2a ⋅b ⃑ +b ⃑ 2=c 2， 所以1+2×1×2cosθ+4=7，解得cosθ=12，又θ∈[0，π]，所以θ=60∘，故选：C ．6、已知点A(2,−3)，B(−3,−2)．若直线l:mx +y −m −1=0与线段AB 相交，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(−∞,−34]∪[4,+∞)B ．[−34,4]C ．(15,+∞)D ．[−4,34] 答案：A分析：直线l 过定点P （1，1），且与线段AB 相交，利用数形结合法，求出PA 、PB 的斜率， 从而得出l 的斜率−m 的取值范围,即得解设直线l 过定点P(x,y)，则直线l:mx +y −m −1=0可写成m(x −1)+y −1=0， 令{x −1=0,y −1=0, 解得{x =1,y =1.∴直线l 必过定点P(1,1)．k PA =−3−12−1=−4，k PB =−2−1−3−1=34．∵直线l:mx +y −m −1=0与线段AB 相交，∴由图象知，−m ≥34或−m ≤−4，解得m ≤−34或m ≥4，则实数m 的取值范围是(−∞,−34]∪[4,+∞)．故选：A小提示：本题考查了直线方程的应用，过定点的直线与线段相交的问题，考查了学生综合分析、数形结合的能力，属于中档题．7、若点P(1,1)在圆C:x 2+y 2+x −y +k =0的外部，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(−2,+∞)B ．[−2,−12)C ．(−2,12)D ．(−2,2) 答案：C分析：由于点P(1,1)在圆C:x 2+y 2+x −y +k =0的外部，所以{1+1+1−1+k >01+1−4k >0，从而可求出k 的取值范围解：由题意得{1+1+1−1+k >01+1−4k >0，解得−2<k <12，故选：C ．8、设A (2,−3)，B (−3,−2)，直线l 过点P (1,2)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．k ≤−1或k ≥5B ．−5≤k ≤1 C ．−1≤k ≤5D ．k ≤−5或k ≥1 答案：D分析：如图，求出k PA,k PB可得斜率k的取值范围.由题设可得k PA=2−(−3)1−2=−5,k PB=−2−2−3−1=1，因为直线l与线段AB相交，则k≥1或k≤−5，故选：D.9、已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是（）A．(－∞，－1)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(−32,+∞)答案：A分析：把圆的方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0化为标准型，利用r2>0，解出k的取值范围. 方程可化为(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即k＜－1时才能表示圆．故选：A.10、点(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是（）A．(1,0)B．(0,1)C．(0,−1)D．(2,1)答案：B分析：设出对称点，根据对称关系列出式子即可求解.解：设点A(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是B(a,b)，则有{b−2a−1=1a+1 2+b+22−2=0，解得a=0，b=1，故点(1,2)关于直线x+y−2=0的对称点是(0,1). 故选：B.小提示：方法点睛：关于轴对称问题：（1）点A(a,b)关于直线Ax+By+C=0的对称点A′(m,n)，则有{n−bm−a×(−AB)=−1A⋅a+m2+B⋅b+n2+C=0；（2）直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决.填空题11、若方程4x2+ky2=4k表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于______．答案：2√−k分析：首先写出双曲线标准方程的形式，再求虚抽长.显然k≠0，将4x2+ky2=4k化为x2k +y24=1，若该方程表示双曲线，则k<0，且双曲线的标准方程为y 24−x2−k=1，即b2=−k，虚轴长2b=2√−k.所以答案是：2√−k.12、直线l1的斜率为k1=√3，直线l2的倾斜角为l1的12，则直线l1与l2的倾斜角之和为________. 答案：90°分析：由已知求得两直线的倾斜角，由此可求得答案．解：因为l1的斜率k1=√3，所以倾斜角为60°.又l1的倾斜角为l1的12，所以l2的倾斜角为30°，所以l 1与l 2的倾斜角之和为60°+30°=90°. 所以答案是：90°．13、长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =AD =2，DD 1=4，则点B 到平面A 1C 1D 的距离为________． 答案：83分析：建立空间直角坐标系，求平面A 1C 1D 的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.解：在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，因为AB =AD =2，AA 1=4，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)， C(2,2,0)，D(0,2,0)，A 1(0,0,4)，C 1(2,2,4)， 设平面A 1C 1D 的法向量为：n ⃑ =(x,y,z) A 1C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(2,2,0)，A 1D⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2,−4) ∴{n ⃑ ⋅A 1C 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0n ⃑ ⋅A 1D⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =0⇒{2x +2y =02y −4z =0 ，令z =1得：n ⃑ =(−2,2,1)又BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−2,2,0) 点B 到平面A 1C 1D 的距离为：|BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅n ⃑ ||n ⃑ |=√(−2)2+22+12=83.所以答案是：83.14、如图所示，点A 、B 、C 分别在空间直角坐标系O −xyz 的三条坐标轴上，OC⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,2)，平面ABC 的一个法向量为n ⃑ =(2,1,2)，平面ABC 与平面ABO 的夹角为θ，则cosθ=________.答案：23分析：分析可知平面ABO 的一个法向量为OC⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用空间向量法可求得cosθ的值. 由题意可知，平面ABO 的一个法向量为OC ⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,0,2)，所以，cosθ=|OC ⃑⃑⃑⃑⃑⋅n ⃑ ||OC ⃑⃑⃑⃑⃑ |⋅|n ⃑ |=42×3=23. 所以答案是：23.15、已知双曲线C:x 2m −y 2=1(m >0)的一条渐近线为√3x +my =0，则C 的焦距为_________． 答案：4分析：将渐近线方程化成斜截式，得出a,b 的关系，再结合双曲线中a 2,b 2对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.由渐近线方程√3x +my =0化简得y =−√3m x ，即ba =√3m ，同时平方得b 2a 2=3m 2，又双曲线中a 2=m,b 2=1，故3m 2=1m，解得m =3,m =0（舍去），c 2=a 2+b 2=3+1=4⇒c =2，故焦距2c =4.所以答案是：4.小提示：本题为基础题，考查由渐近线求解双曲线中参数，焦距，正确计算并联立关系式求解是关键. 解答题16、求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点(√6,0)，(3,2)； (2)焦点为(0,−5)，(0,5)，经过点(4√33,2√3)； (3)a =b ，经过点(3,−1)；(4)经过(3,−4√2)和(94,5)两点．答案：(1)x 26−y28=1；(2)y29−x216=1；(3)x28−y28=1；(4)y216−x29=1.分析：(1)根据题意，由双曲线经过点(√6，0)，分析可得双曲线的焦点为x轴上，且a=√6，设双曲线的标准方程为：x 26−y2b2=1，将点(3,2)代入计算可得b2的值，将b2的值代入双曲线的方程，即可得答案；(2)根据题意，分析可得双曲线的焦点在y轴上，且c=5，由双曲线的定义计算可得a的值，结合双曲线的几何性质可得b2的值，将a2、b2的值代入双曲线的方程，即可得答案．(3)根据题意，设双曲线的方程为：x2−y2=t，将点(3,−1)代入其中计算可得t的值，即可得双曲线的方程，变形为标准方程即可得答案；(4)根据题意，设双曲线的方程为mx2−ny2=1，将(3,−4√2)和(94，5)两点坐标代入双曲线方程可得{9m−32n=18116m−25n=1，解可得：m、n的值，将m、n的值代入双曲线方程即可得答案．（1）根据题意，双曲线经过点(√6，0)，则双曲线的焦点在x轴上，且a=√6，设双曲线的标准方程为：x 26−y2b2=1，双曲线经过(3,2)，则有96−4b2=1，解可得b2=8，则双曲线的标准方程为：x 26−y28=1；（2）根据题意，焦点为(0,−5)，(0,5)，则双曲线的焦点在y轴上，且c=5，∵双曲线过点(4√33,2√3)，故根据双曲线的定义可知：2a =|√(4√33)2+(2√3+5)2−√(4√33)2+(2√3−5)2|=6，则a =3，则b 2=c 2−a 2=16，则双曲线的标准方程为：y 29−x 216=1；（3）根据题意，双曲线中a =b ，设双曲线的方程为：x 2−y 2=t ，又由双曲线经过点(3,−1)，则有t = 32−(−1)2=8，则双曲线的方程为x 2−y 2=8，则双曲线的标准方程为：x 28−y 28=1； （4）根据题意，设双曲线的方程为mx 2−ny 2=1(mn >0)，双曲线经过(3,−4√2)和(94，5)两点，则有{9m −32n =18116m −25n =1 ， 解可得：m =−19，n =−116，则双曲线的标准方程为：y 216−x 29=1．17、设直线l 的方程为(a +1)x +y −3+a =0（a ∈R ）.(1)若l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；(2)若l 不经过第三象限，求a 的取值范围.答案：(1)0或3(2)[−1,3]分析：（1）通过讨论−3+a 是否为0，求出a 的值即可；（2）根据一次函数的性质判断a 的范围即可.（1）当直线l 过原点时，该直线l 在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝3，方程即为4x +y ＝0；若a ≠3，则3−a a+1=3−a ，即a +1＝1，∴a ＝0，方程即为x +y −3=0，∴a 的值为0或3.（2）若l 不经过第三象限，直线l 的方程化为y =−(a +1)x +3−a ，则{−(a +1)≤03−a ≥0，解得−1≤a ≤3， ∴a 的取值范围是[−1,3].18、已知圆C ：x 2+y 2−4x =0，直线l 恒过点P(4,1).(1)若直线l 与圆C 相切，求l 的方程；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB|=2√3时，求l 的方程.答案：(1)x =4或3x +4y −16=0(2)y =1或4x −3y −13=0分析：(1)分类讨论直线l 的斜率存在与不存在，利用圆心到直线l 的距离等于圆的半径计算即可；(2)由题意知直线l 的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的垂径定理计算即可.（1）由题意可知，圆C 的圆心为(2,0)，半径r =2，①当直线l 的斜率不存在时，即l 的方程为x =4时，此时直线与圆相切，符合题意；②当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，∴直线l 的方程为y −1=k(x −4)，化为一般式：kx −y +1−4k =0，若直线l 与圆相切，则d =√k 2+1=2，即1−4k +4k 2=4k 2+4，解得k =−34， ∴l ：−34x −y +4=0，即l ：3x +4y −16=0，综上，当直线l 与圆C 相切时，直线l 的方程为x =4或3x +4y −16=0；（2）由题意可知，直线l 的斜率一定存在，设斜率为k ，∴直线l 的方程为y −1=k(x −4)，即kx −y +1−4k =0，设圆心到直线l 的距离为d ，则d =√k 2+1， 由垂径定理可得，d 2+(|AB|2)2=4，即(2k−1)2k 2+1+3=4， 整理得，3k 2−4k =0，解得k =0或k =43，则直线l 的方程为y =1或4x −3y −13=0.19、在直角坐标系xOy 中，已知点A(−2,2)，B(2,2)，直线AD ，BD 交于D ，且它们的斜率满足：k AD −k BD =−2．(1)求点D 的轨迹C 的方程；(2)设过点(0,2)的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，直线OP 与OQ 分别交直线y =−1 于点M ，N ，是否存在常数入，使S △OPQ =λS △OMN ，若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．答案：(1)x 2=2y (x ≠±2)；(2)存在，λ的值为4.分析：(1)设出点D 的坐标，根据给定条件列式、化简整理即可作答.(2)设出直线l 的方程，与轨迹C 的方程联立，借助韦达定理计算三角形面积即可判断作答.(1)设D(x,y)，而点A(−2,2)，B(2,2)，则k AD =y−2x+2，k BD =y−2x−2， 又k AD −k BD =−2，于是得y−2x+2−y−2x−2=−2，化简整理得：x 2=2y (x ≠±2)，所以点D 的轨迹C 的方程是：x 2=2y (x ≠±2).(2)存在常数λ=4，使S △OPQ =λS △OMN ，如图，依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：y =kx +2，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 由{y =kx +2x 2=2y消去y 得：x 2−2kx −4=0，则x 1+x 2=2k ，x 1x 2=−4， |x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4k 2+16=2√k 2+4，则S △OPQ =12×2×|x 1−x 2|=2√k 2+4， 直线OP ：y =y 1x 1x ，取y =−1，得点M 横坐标x M =−x 1y 1，同理得点N 的横坐标x N =−x 2y 2， 则|x M −x N |=|x 2y 2−x 1y 1|=|x 2y 1−x 1y 2y 1y 2|=|x 2(kx 1+2)−x 1(kx 2+2)||(kx 1+2)(kx 2+2)|=|2(x 2−x 1)||k 2⋅x 1x 2+2k(x 1+x 2)+4|=4√k 2+44=√k 2+4，因此有S △OMN =12×1×|x M −x N |=√k 2+42，于是得S △OPQ =4S △OMN ，所以存在常数λ=4，使S △OPQ =λS △OMN .。
(精选试题附答案)高中数学第二章一元二次函数方程和不等式易错题集锦
(名师选题)（精选试题附答案）高中数学第二章一元二次函数方程和不等式易错题集锦单选题1、若x >53，则3x +43x−5的最小值为（ ）A ．7B ．4√3C ．9D ．2√3答案：C分析：利用基本不等式即可求解.解：∵ x >53， ∴ 3x −5>0，则3x +43x−5=(3x −5)+43x−5+5≥2√(3x −5)⋅43x−5+5=9，当且仅当3x −5=2时，等号成立，故3x +43x−5的最小值为9，故选：C ．2、已知a >0，b >0，若a +4b =4ab ，则a +b 的最小值是（ ）A ．2B ．√2+1C ．94D ．52 答案：C分析：将a +4b =4ab ，转化为1b +4a =4，由a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+a b +4b a )，利用基本不等式求解.因为a +4b =4ab ，所以1b +4a =4，所以a +b =14(a +b )(1b +4a )=14(5+a b +4b a )， ≥14(5+2√a b ⋅4b a )=94， 当且仅当{1b +4a =4a b =4b a ，即{a =32b =34 时，等号成立， 故选：C3、已知a =√2，b =√7−√3，c =√6−√2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．c >b >a答案：B分析：通过作差法，a −b =√2+√3−√7，确定符号，排除D 选项；通过作差法，a −c =2√2−√6，确定符号，排除C 选项；通过作差法，b −c =(√7+√2)−(√6+√3)，确定符号，排除A 选项；由a −b =√2+√3−√7，且(√2+√3)2=5+2√6>7，故a >b ；由a −c =2√2−√6且(2√2)2=8>6，故a >c ；b −c =(√7+√2)−(√6+√3)且(√6+√3)2=9+2√18>9+2√14=(√7+√2)2，故c >b .所以a >c >b ，故选：B .4、若正数x ，y 满足3x +1y=5，则3x +4y 的最小值是（ ） A ．245B ．285C ．5D ．25答案：C分析：由3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.∵3x +4y =15(3x +4y )(3x +1y )=15(13+3x y +12y x )≥15(13+2√3x y ⋅12y x )=5（当且仅当3x y =12y x ，即x =2y =1时取等号），∴3x +4y 的最小值为5.故选：C.5、若不等式2x 2+2mx+m4x 2+6x+3<1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(1,3)B ．(−∞,1)C ．(−∞,1)∪(3,+∞)D ．(3,+∞)答案：A分析：因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立，则2x 2+2mx+m4x 2+6x+3<1恒成立可转化为2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立，则Δ<0，即可解得m 的取值范围因为4x 2+6x +3=4(x +34)2+34>0恒成立 所以2x 2+2mx+m4x 2+6x+3<1恒成立⇔2x 2+2mx +m <4x 2+6x +3恒成立⇔2x 2+(6−2m )x +(3−m )>0恒成立故Δ=(6−2m )2−4×2×(3−m )<0解之得：1<m <3故选：A6、已知正实数a,b 满足4a+b +1b+1=1，则a +2b 的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．10D ．12答案：B分析：令a +2b =a +b +b +1−1，用a +b +b +1分别乘4a+b +1b+1=1两边再用均值不等式求解即可. 因为4a+b +1b+1=1，且a,b 为正实数所以a +b +b +1=(a +b +b +1)(4a+b +1b+1)=4+a+b b+1+4(b+1)a+b +1 ≥5+2√a+b b+1×4(b+1)a+b =9，当且仅当a+b b+1=4(b+1)a+b 即a =b +2时等号成立.所以a+2b+1≥9,a+2b≥8. 故选：B.7、若不等式组{x−1>a2x−4<2a的解集非空，则实数a的取值范围是（）A．(−1,3)B．(−∞,−1)∪(3,+∞)C．(−3,1)D．(−∞,−3)∪(1,+∞)答案：A分析：分别解出两个不等式的解，再根据集合交集的概念求解．由题意{x>a2+1x<2a+4，∴a2+1<2a+4，即a2−2a−3<0，解得−1<a<3．故选：A．小提示：本题考查不等式组的解，考查集合的交集运算，属于基础题．8、已知0<x<2，则y=x√4−x2的最大值为（）A．2B．4C．5D．6答案：A分析：由基本不等式求解即可因为0<x<2，所以可得4−x2>0，则y=x√4−x2=√x2⋅(4−x2)≤x2+(4−x2)2=2，当且仅当x2=4−x2，即x=√2时，上式取得等号，y=x√4−x2的最大值为2．故选：A．9、不等式x(2x+7)≥−3的解集为（）A．(−∞,−3]∪[−12,+∞)B．[−3,−12]C ．(−∞,−2]∪[−13,+∞)D ．[−2,−13]答案：A分析：解一元二次不等式即可.x (2x +7)≥−3可变形为2x 2+7x +3≥0，令2x 2+7x +3=0，得x 1=−3，x 2=−12，所以x ≤−3或x ≥−12，即不等式的解集为(−∞,−3]∪[−12,+∞).故选：A.10、已知x >2，则x +4x−2的最小值为（ ）A ．6B ．4C ．3D ．2答案：A分析：利用基本不等式可得答案.∵x >2，∴x −2>0，∴x +4x−2= x −2+4x−2+2≥2√(x −2)⋅4x−2+2＝6，当且仅当x −2=4x−2即x =4时， x +4x−2取最小值6，故选：A ．填空题11、已知a,b,a +m 均为大于0的实数,给出下列五个论断:①a >b ,②a <b ,③m >0,④m <0,⑤b+m a+m >b a .以其中的两个论断为条件,余下的论断中选择一个为结论,请你写出一个正确的命题___________.答案：①③推出⑤(答案不唯一还可以①⑤推出③等)解析：选择两个条件根据不等式性质推出第三个条件即可，答案不唯一.已知a,b,a +m 均为大于0的实数,选择①③推出⑤.①a >b ，③m >0，则b+ma+m −ba=ab+am−ab−bma(a+m)=am−bma(a+m)=(a−b)ma(a+m)>0，所以b+ma+m >ba.所以答案是：①③推出⑤小提示：此题考查根据不等式的性质比较大小，在已知条件中选择两个条件推出第三个条件，属于开放性试题，对思维能力要求比较高.12、已知a,b,c∈R,a+b+c=0,a+bc−1=0，则a的取值范围是________答案：a≥−2+2√2或a≤−2−2√2分析：先由已知条件，得到−a=b+c,bc=1−a，对bc的正负进行分类讨论，利用基本不等式得到关于a的不等式，解出a的范围.①当b>0,c>0时,∵a+b+c=0,a+bc−1=0，∴−a=b+c,bc=1−a,可得：−a>0,1−a>0，可得：a<0，∴−a=b+c≥2√bc=2√1−a,化为a2+4a−4≥0,解得：a≤−2−2√2；②当b<0,c<0时,∵a+b+c=0,a+bc−1=0,∴a=(−b)+(−c),bc=1−a，可得：a>0,1−a>0，可得0<a<1.∴a=−b−c≥2√bc=2√1−a,化为a2+4a−4≥0,解得：−2+2√2≤a<1；③当bc=0时，不妨取c=0,由已知可得：a=1,b=−1，此时a=1；④当bc<0时，∵a+b+c=0,a+bc−1=0，∴a=−(b+c),a=1−bc>1.综上可得：a的取值范围是a≥−2+2√2或a≤−2−2√2.所以答案是：a≥−2+2√2或a≤−2−2√213、已知x>0，则7−x−9x的最大值为________．答案：1分析：直接利用基本不等式求最大值.∵x>0，则7−x−9x =7−(x+9x)≤7−2√x⋅9x=1，当且仅当x=9x即x=3时取等号．所以答案是：114、若关于x的二次方程x2+mx+4m2−3=0的两个根分别为x1，x2，且满足x1+x2=x1x2，则m的值为______答案：34分析：先求出方程有两根时m的范围，再由根与系数关系将x1,x2用m表示，建立关于m的方程，求解即可. 关于x的二次方程x2+mx+4m2−3=0有两个根，则Δ=m2−4(4m2−3)=−3(5m2−4)≥0，∴−2√55≤m≤2√55,x1+x2=−m,x1⋅x2=4m2−3，又∵x1+x2=x1x2,∴−m=4m2−3，即4m2+m−3=0，解得m=34或m=−1（舍去），∴m的值为34.小提示：本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，要注意两根存在的条件，属于基础题.15、函数y=2√x2+1的最小值是___________.答案：4分析：根据基本不等式可求出结果.令t=√x2+1≥1，则y=2√x2+1=t+4t≥4，当且仅当t=2，即x=±√3时，y min=4.所以函数y=2√x2+1的最小值是4.所以答案是：4小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.解答题16、冬奥会期间，冰墩墩成热销商品，一家冰墩墩生产公司为加大生产，计划租地建造临时仓库储存货物，若记仓库到车站的距离为x（单位：km），经过市场调查了解到：每月土地占地费y1（单位：万元）与(x+1)成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与(4x+1)成正比；若在距离车站5km处建仓库，则y1与y2分别为12.5万元和7万元.记两项费用之和为ω.(1)求ω关于x的解析式；(2)这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小？求出最小值．答案：(1)ω=75x+1+13(4x+1)(2)这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元分析：（1）依题意设出y1=k1x+1，y2=k2(4x+1)，然后根据已知求出k1,k2，然后可得；（2）通过配凑使得积为定值，然后由基本不等式可得.（1）∵每月土地占地费y1（单位：万元）与(x+1)成反比，∴可设y1=k1x+1，∵每月库存货物费y2（单位：万元）与（4x+1）成正比，∴可设y2=k2(4x+1)，又∵在距离车站5km处建仓库时，y1与y2分别为12.5万元和7万元，∴k1=6×12.5=75，k2=74×5+1=13.∴y 1=75x+1,y 2=13(4x +1) ∴ω=y 1+y 2=75x+1+13(4x +1). （2） ω=y 1+y 2=75x +1+13(4x +1)=75x +1+43(x +1)−1≥2√75x +1×43(x +1)−1=19 当且仅当75x+1=43(x +1)，即x ＝6.5时等号成立， ∴这家公司应该把仓库建在距离车站6.5千米处，才能使两项费用之和最小，最小值为19万元．17、设函数f(x)=ax 2+(b −2)x +3.（1）若不等式f (x )>0的解集为(−1,1)，求实数a,b 的值；（2）若f (1)=0，且存在x ∈R ，使f (x )>4成立，求实数a 的取值范围.答案：（1）{a =−3b =2；（2）(−∞,−9)∪(−1,+∞). 解析：（1）由不等式的解集得相应二次方程的两根，由韦达定理可求得a,b ；（2）由f (1)=0得b =−a −1，问题可转化为存在x ∈R ，使得ax 2−(a +3)x −1>0成立.，a ≥0不等式可以成立，a <0时由二次不等式有解可得a 的范围．解：（1）由题意可知：方程ax 2+(b −2)x +3=0的两根是−1，1所以{−b−2a =−1+1=03a =(−1)×1=−1解得{a =−3b =2（2）由f (1)=0得b =−a −1存在x ∈R ，f (x )>4成立，即使ax 2+(b −2)x −1>0成立，又因为b =−a −1，代入上式可得ax 2−(a +3)x −1>0成立.当a ≥0时，显然存在x ∈R 使得上式成立；当a <0时，需使方程ax 2−(a +3)x −1=0有两个不相等的实根所以Δ=(a+3)2+4a>0即a2+10a+9>0解得a<−9或−1<a<0综上可知a的取值范围是(−∞,−9)∪(−1,+∞)．小提示：关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，解题关键是掌握“三个二次”的关系．对一元二次不等式的解集，一元二次方程的根，二次函数的图象与性质的问题能灵活转化，熟练应用．解题中注意不等式的解区间的端点处的值是相应二次方程的根，是二次函数图象与x轴交点横坐标．18、（1）已知a>b,c<d，求证：a−c>b−d；（2）已知a>b,ab>0，求证：1a <1b；（3）已知a>b>0,0<c<d，求证：ac >bd.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.分析：（1）根据c<d不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到−c>−d, 再用同向可加性法则即可得出结果.（2）根据正数的倒数大于0可得1ab>0,再用同向同正可乘性得出结果.（3）因为0<c<d，根据（2）的结论，得1c >1d>0,再用同向同正可乘性得出结果.证明：（1）因为a>b,c<d，所以a>b,−c>−d. 则a−c>b−d.（2）因为ab>0，所以1ab>0.又因为a>b，所以a⋅1ab >b⋅1ab，即1b >1a，因此1a<1b.（3）因为0<c<d，根据（2）的结论，得1 c >1d>0.又因为a>b>0，则a⋅1c >b⋅1d，即ac >bd.小提示：本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题.19、已知关于x一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R.(1)求函数f(m)=m+3m+2的最小值；(2)求关于x的一元二次不等式x2+(m−3)x−3m>0的解集.答案：(1)2√3−2(2)(−∞,−m)∪(3,+∞)分析：（1）由题意可得Δ≤0，解不等式求出m的取值范围，再利用基本不等式求f(m)的最小值；（2）不等式化为(x+m)(x−3)>0，比较−m和3的大小，即可得出不等式的解集.(1)因为关于x一元二次不等式x2+2mx+m+2≥0的解集为R，所以Δ=4m2−4(m+2)≤0，化简可得：m2−m−2≤0，解得：−1≤m≤2，所以1≤m+2≤4，所以f(m)=m+3m+2=m+2+3m+2−2≥2√(m+2)⋅3m+2−2=2√3−2，当且仅当m+2=3m+2即m=√3−2，f(m)的最小值为2√3−2.(2)不等式x2+(m−3)x−3m>0，可化为(x+m)(x−3)>0，因为−1≤m≤2，所以−2≤−m≤1<3，所以该不等式的解集为(−∞,−m)∪(3,+∞).。
(易错题)高中数学选修三第一单元《计数原理》测试题(有答案解析)(1)
一、选择题1．若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含2x 项的系数是 A ．462- B ．462 C ．792D ．792-2．()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项是（ ） A ．15B ．-15C ．7D ．-73．已知231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项，*n N ∈，则n 的值可以是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．84．由0,1,2,3,,9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为（ ） A ．180B ．196C ．210D ．2245．动点M 位于数轴上的原点处，M 每一次可以沿数轴向左或者向右跳动，每次可跳动1个单位或者2个单位的距离，且每次至少跳动1个单位的距离.经过3次跳动后，M 在数轴上可能位置的个数为（ ） A ．7B ．9C ．11D ．136．将甲、乙、丙、丁四人分配到A 、B 、C 三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A 学校的不同分配方法有（ ） A ．18种B ．24种C ．32种D ．36种7．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为() A ．6B ．7C ．8D ．98．262()x x-的展开式中常数项为( ) A ．-240B ．-160C ．240D ．1609．在二项式n 的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，则系数最小的项是 A ．第6项B ．第5项C ．第4项D ．第3项10．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45B ．55C ．120D ．16511．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种B ．150种C ．96种D ．114种12．1231261823n nn n n n C C C C -+++⋯+⨯=（ ）A ．2123n + B．()2413n- C ．123n -⨯ D ．()2313n- 二、填空题13．二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答） 14．621(2)x x-的展开式中的常数项为______． 15．同宿舍的6个同学站成一排照相，其中甲只能站两端，乙和丙必须相邻，一共有_____种不同排法（用数字作答） 16．已知()2n1(2x )n N*x-∈的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x项的系数是______.(结果用数值表示) 17．二项式636ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中5x 的系数为3，则20ax dx =⎰________. 18．622x x ⎛- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为__________．（用数字作答）19．把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A 与产品B 都摆在产品C 的左侧，则不同的摆法有____种．（用数字作答）20．现有红、黄、蓝三种颜色，对如图所示的正五角星的内部涂色（分割成六个不同部分），要求每个区域涂一种颜色且相邻部分（有公共边的两个区域）的颜色不同，则不同的涂色方案有________种.（用数字作答）.三、解答题21．已知3na a 的展开式的各项系数之和等于5345b b ⎛⎝展开式中的常数项，求3na a 展开式中含1a -的项的二项式系数. 22．记2n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（*n ∈N ）的展开式中第m 项的系数为m b .（1）求m b 的表达式；（2）若3412b b =，求n ； （3）若6n =，求展开式中的常数项.23．已知112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为164. （1）求112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中二项式系数最大的项；（2）求()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项. 24．（1）已知()727012712x a a x a x a x -=++++.求：①127a a a +++；②0127a a a a ++++；（2）在522x ⎫⎪⎭的展开式中，求： ①展示式中的第3项；②展开式中二项式系数最大的项.25．在二项式nx ⎛⎝的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列. ()1求项数n ；()2求展开式中的常数项与二项式系数最大的项.26．已知5nx ⎛⎝.（1）当6n =时，求： ①展开式中的中间一项； ②展开式中常数项的值；（2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大240，求展开式中含x 项的系数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】∵1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中只有第7项的二项式系数最大，∴n 为偶数，展开式共有13项，则12n =.121x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()1212211C r r r r T x -+=-，令1222r -=，得5r =. ∴展开式中含2x 项的系数是()12551C 792-=-，故选D ． 【名师点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第1r +项，再由特定项的特点求出r 值即可； (2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第1r +项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.2．B解析：B 【分析】先求得7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，分别令r =4,5,6,7，求得对应的四项，又()3264226128x x x x +=+++，则()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中所有x 的零次幂的系数和即为常数项，计算化简，即可得结果. 【详解】7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为721417721()(1)(1)r r r r r r r T C C x x --+=⋅⋅-=⋅-⋅，令4r =，得446657(1)35T C x x --=⋅-⋅=， 令=5r ，得554467(1)21T C x x --=⋅-⋅=-， 令6r =，得662277(1)7T C x x --=⋅-⋅=， 令7r =，得77087(1)1T C x =⋅-⋅=-，又()3264226128x x x x +=+++，所以()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为351(21)6712(1)815⨯+-⨯+⨯+-⨯=-， 故选：B 【点睛】本题考查利用赋值法解决展开式中常数项的问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.3．C解析：C 【分析】将条件转化为31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项，然后写出31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项，即可分析出答案. 【详解】因为231(1)nx x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中没有2x 项， 所以31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中不含常数项，不含x 项，不含2x 项31nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为：4131,0,1,2,,rr n r r n r r n n T C x C x r n x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭所以当n 取5,6,7,8时，方程40,41,42n r n r n r -=-=-=无解检验可得7n = 故选：C 【点睛】本题考查的是二项式定理的知识，在解决二项式展开式的指定项有关的问题的时候，一般先写出展开式的通项.4．C解析：C 【分析】首先分析可得，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的情况有2种，即：①当个位与百位数字为0，8时，②当个位与百位为1，9时，分别求出所有的情况，由加法原理计算可得答案． 【详解】 分两种情况：（1）个位与百位填入0与8，则有2228A A 个； （2）个位与百位填入1与9，则有722711A A A 个. 则共有2221128277210A A A A A +=个. 故选：C 【点睛】本题考查排列、组合的综合运用，注意分类讨论的运用．5．D解析：D 【分析】根据题意，分为动点M ①向左跳三次，②向右跳三次，③向左跳2次，向右跳1次，④向左跳1次，向右跳2次，四种情况进行讨论，得到相应的位置，从而得到答案.【详解】根据题意，分4种情况讨论：①，动点M向左跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，②，动点M向右跳三次，3次均为1个单位，3次均为2个单位，2次一个单位，2次2个单位，故有6，5，4，3，③，动点M向左跳2次，向右跳1次，故有﹣3，﹣2，﹣1，0，2，④，动点M向左跳1次，向右跳2次，故有0，1，2，3，故M在数轴上可能位置的个数为﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6共有13个，故选：D.【点睛】本题考查分类计数原理，考查了分类讨论的思想，属于中档题.6．B解析：B【分析】根据题意，分两种情况讨论：①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，由加法原理计算可得答案．【详解】解：根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有11232212C A A=种情况，②没有人与甲在同一个学校，则有12223212C C A=种情况；则若甲要求不到A学校，则不同的分配方案有121224+=种；故选：B．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中等题．7．C解析：C【分析】根据古典概型概率计算公式列出不等式，利用组合数公式进行计算，由此求得至少抽取的产品件数.【详解】设抽取x件，次品全部检出的概率为2228100.6xxC CC->，化简得()154x x->，代入选项验证可知，当8x=时，符合题意，故选C.【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查组合数的计算，属于基础题.解析：C 【分析】求得二项式的通项12316(2)r r rr T C x -+=-，令4r =，代入即可求解展开式的常数项，即可求解. 【详解】由题意，二项式262()x x-展开式的通项为261231662()()(2)r rr r r r r T C x C x x--+=-=-， 当4r =时，4456(2)240T C =-=，即展开式的常数项为240，故选C.【点睛】本题主要考查了二项式的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.9．C解析：C 【分析】由已知条件先计算出n 的值，然后计算出系数最小的项 【详解】由题意二项式n的展开式中，当且仅当第5项的二项式系数最大，故8n =二项式展开式的通项为8821881122rrrrrrr r T C C ---+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要系数最小，则r 为奇数 当1r =时，18142C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当3r =时，338172C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当5r =时，5581724C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭当7r =时，77811216C ⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭故当当3r =时系数最小 则系数最小的项是第4项 故选C 【点睛】本题主要考查了二项式展开式的应用，结合其通项即可计算出系数最小的项，较为基础解析：D 【解析】分析：由题意可得展开式中含2x 项的系数为222223410C C C C +++⋯+ ，再利用二项式系数的性质化为 311C ，从而得到答案．详解：()()()2310111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中含2x 项的系数为222232341011 165.C C C C C +++⋯+==故选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．11．D解析：D 【解析】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：①三个路口人数情况3，1，1，共有335360C A =种情况；②三个路口人数情况2，2，1，共有2235332290C C A A ⋅=种情况. 若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有234336C A =种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有609036114+-=种. 故选：D.点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.12．B解析：B 【解析】1212618323n nn n n C C C C -++++⨯=1220012222(333)(33331)33n n n n n n n n n n n C C C C C C C =⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯-22[(13)1](41)33n n =+-=-选B. 二、填空题13．60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解【详解】有题意可得二项式展开式的通项为：令可得此时【点睛】本题考查二项式定理的应用考查通项公式考查计算能力属于基础题解析：60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrr r r r rr T C xC x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.14．240【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数再代入得结果【详解】令得所以的展开式中的常数项为【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项考查基本分析求解能力属基础题解析：240 【分析】根据二项式展开式通项公式确定常数项对应项数，再代入得结果 【详解】()()616211C 2rrrr r T x x -+⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭()31261C 2r r r r x -⎡⎤=-⋅⎣⎦， 令3120r -=得，4r =，所以6212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为()44461C 2240-⋅=.【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项，考查基本分析求解能力，属基础题.15．【分析】设甲乙丙之外的三人为ABC 将乙和丙看作一个整体与ABC 三人全排列然后排甲甲只能在两端有2种站法利用分步乘法计数原理可求出答案【详解】设甲乙丙之外的三人为ABC 将乙和丙看作一个整体与ABC 三人 解析：96【分析】设甲乙丙之外的三人为A 、B 、C ，将乙和丙看作一个整体，与A 、B 、C 三人全排列，然后排甲，甲只能在两端，有2种站法，利用分步乘法计数原理可求出答案. 【详解】设甲乙丙之外的三人为A 、B 、C ，将乙和丙看作一个整体，与A 、B 、C 三人全排列，有2424A A 48=种，甲只能在两端，甲有2种站法，则共有48296⨯=种排法.【点睛】本题考查了排列组合，考查了相邻问题“捆绑法”的运用，属于基础题.16．-84【分析】由已知求得n 写出二项展开式的通项由x 的指数为求得r 则答案可求【详解】由题意得其二项展开式的通项由得展开式中含项的系数是故答案为【点睛】本题考查二项式定理关键是熟记二项展开式的通项是基础题解析：-84 【分析】由已知求得n ，写出二项展开式的通项，由x 的指数为1-求得r ，则答案可求． 【详解】由题意，n 2128=，得n 7=．2n 2711(2x )(2x )x x∴-=-，其二项展开式的通项r27rr r 7r r143r r 1771T C (2x )()(1)2C x x---+=⋅⋅-=-⋅⋅⋅．由143r 1-=-，得r 5=．∴展开式中含1x项的系数是574C 84-⨯=-． 故答案为84-． 【点睛】本题考查二项式定理，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．17．【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得的系数进而得到的值然后再根据微积分基本定理求解即可详解：二项式的展开式的通项为令可得的系数为由题意得解得∴点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项解析：13【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得5x 的系数，进而得到a 的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．详解：二项式66ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式的通项为666166()(),0,1,2,,6r r r r r r rr T C ax a C x r ---+===，令1r =，可得5x 的系数为51566a C =，5=， 解得1a =．∴123111|33 x dxx==⎰．点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解．18．60【解析】的展开式的通项公式为令得∴的系数为故答案为60解析：60【解析】622xx⎛-⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()3666216612222x rrxr r rrT C x C xx---+⎛⎛⎫=-=-⋅⎪⎪⎝⎭⎝⎭令3632r-=得2r∴3x的系数为2622612602C-⎛⎫-⋅⋅=⎪⎝⎭故答案为6019．8【解析】当在最右边位置时由种排法符合条件；当在从右数第二个位置时由种排法符合条件把件不同的产品摆成一排若其中的产品与产品都摆在产品的左侧则不同的摆法有种故答案为解析：8【解析】当C在最右边位置时，由336A=种排法符合条件；当C在从右数第二个位置时，由222A=种排法符合条件，把4件不同的产品摆成一排．若其中的产品A与产品B都摆在产品C的左侧，则不同的摆法有6+2=8种，故答案为8.20．【分析】根据题意假设正五角星的区域依此为分析6个区域的涂色方案数再根据分步计数原理计算即可【详解】根据题意假设正五角星的区域依此为如图所示：要将每个区域都涂色才做完这件事由分步计数原理先对区域涂色有解析：96【分析】根据题意，假设正五角星的区域依此为A、B、C、D、E、F，分析6个区域的涂色方案数，再根据分步计数原理计算即可.【详解】根据题意，假设正五角星的区域依此为A、B、C、D、E、F，如图所示：要将每个区域都涂色才做完这件事，由分步计数原理，先对A 区域涂色有3种方法，B 、C 、D 、E 、F 这5个区域都与A 相邻，每个区域都有2种涂色方法，所以共有32222296⨯⨯⨯⨯⨯=种涂色方案. 故答案为：96 【点睛】方法点睛：涂色问题常用方法：(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法； (2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.三、解答题21．35 【分析】先研究5的展开式的通项为105556155((4,(0,1,2,3,4,5)r r rrr rr r T C C br ---+===．求出n 的展开式的各项系数之和，解方程求出n ，再由二项展开式的通项公式求得1a -的项是第4项 【详解】设5⎛⎝的展开式中的通项为1055561554,(0,1,2,3,4,5)rrrr r r r r T C C br ---+⎛⎛==⋅⋅= ⎝⎝. 若求常数项，则令1050,26rr -=∴=，代入上式732T ∴=. 即常数项是72，又n的展开式的各项系数之和为722n =，∴7n =，而7的通项公式(()77177526731rrrr rrr r T C aC ---++==-，令75126r -+=-，解得3r =，即二项式系数是3735C =【点睛】本题考查二项式的系数的性质，解题的关键是熟练掌握二项式的性质，考查了利用二项式的性质进行变形，属于中档题，22．（1）112m m m n b C --=；（2）5；（3）160【分析】（1）先求出其通项公式，进而求出结论； （2）结合通项公式以及组合数的性质即可求解； （3）先求出其通项公式，令指数为零，进而求出结论． 【详解】（1）2()nx x+的展开式中第m 项为11111222()2m n m m m m n m n n C x C x x--+----+=；112m m m n b C --∴=．（2）由3412b b =，得22331222n n C C =；即23n n C C =；5n ∴=．（3）当6n =时，2()nx x +展开式中的通项公式6621662()2r r r r rr r T C x C x x--+==，依题意得620r -=，3r =，所以展开式中的常数项是33462160T C ==． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题． 23．（1）352x -；（2）1-. 【解析】分析：（1）先根据展开式中所有项的系数和为164得到n=6,再求展开式中二项式系数最大的项.(2)先求出112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中的一次项和常数项，再求()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项.详解：（1）由题意，令1x =得11264n⎛⎫= ⎪⎝⎭，即6n =，所以112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中二项式系数最大的项是第4项，即334631522T C x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.（2）112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第1k +项为. ()166110,1,2, (622)kk k k k T C C x k x -+⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由1k -=-，得1k =；由0k -=，得0k =.所以()1212nx x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 11612112x C x -⎛⎫⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭. 点睛：（1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数和二项式系数，考查展开式中的特定项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)本题的难点在第2问，展开式的常数项有两种生成方式，一是由（x+2）的一次项“x”和112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的“1x -”项相乘得到，二是由（x+2）的常数项“2”和112nx ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项相乘得到，再把两个相加即得.24．（1）①2-；②2187；（2）①5240x -；②5240x -或580x -. 【分析】（1）①运用赋值法，令0x =，求得01a =，令1x =，求得012345671a a a a a a a a +++++++=-，由此可求得答案.②由二项式的展开式判断0a 、2a 、4a 、6a 都大于零，而1a 、3a 、5a 、7a 都小于零，令1x =-，可求得答案；（2）先求出展开式的通项公式，①令2r 时，求展示式中的第3项；②令2r 或3时，求得二项式系数最大项．【详解】解：（1）令0x =，则01a =，令1x =，则()7012345671211a a a a a a a a +++++++=-⨯=-. ①∴12372a a a a ++++=-.②∵()712x -展开式中，0a 、2a 、4a 、6a 都大于零，而1a 、3a 、5a 、7a 都小于零， ∴()()012702461357a a a a a a a a a a a a ++++=+++-+++，令1x =-，则7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=.所以01272187a a a a ++++=.（2）522x ⎫⎪⎭的展开式中第1r +项为()()551225215522rrrrr r r T C x x C x---+==⋅⋅，①当2r 时，所以展示式中的第3项为55222235240T C x x --=⋅⋅=.②2r或3时，二项式系数5rC 最大，2r时，由（1）知52340T x -=，3r =时，445545280T C x x --==．【点睛】方法点睛：求最大二项式系数时：如果n 是奇数，最大的就是最中间一个，如果n 是偶数,最大的就是最中间两个；求系数的最大项时：设第r +1项为系数最大项，需列出不等式组+1+2+1r r r rT T T T ≥⎧⎨≥⎩，解之求得r .25．()18n =；()277=16T ，835=70T x . 【分析】()1等差数列的性质及二项式系数的性质列式求得n ；()2写出二项展开式的通项，由x 的指数为0求得r 可得常数项，再据二项式系数的性质，求得二项式系数最大的项. 【详解】解：()1二项式nx ⎛⎝的展开式的通项公式为143311122rrrr n r r n r r n r rr n n n T C x C x x C x ----+⎛⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=-⋅⋅⋅=-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，第一项系数为00112n C ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，第二项系数为11122n n C ⎛⎫-⋅=⎪⎭- ⎝，第三项系数为()22212148n n C C n n ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭-=，前三项系数的绝对值分别为1，2n ，()18n n -， 因为前三项系数的绝对值成等差数列，(1)2128n n n -∴⨯=+，即2980n n -+=，求得1n =（舍去），或8n =.()2二项式n x ⎛ ⎝，由()1可知8x ⎛⎝， 它的通项公式为4831812rr rr T C x -+⎛⎫=-⋅⋅ ⎪⎝⎭，令4803r -=，可得6r =，故展开式的常数项为667817·216T C ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 二项式系数为8rC ，故当4r =时，二项式系数最大，故第五项二项式系数最大，该项为88433581··7016T C x x ==.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题. 26．（1）①322500x -；②375；（2）150.【分析】（1）当6n =时，利用二项式定理，二项展开式的通项公式，可求出特定的项以及常数项的值；（2）根据展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240求出n 的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中含x 项的系数． 【详解】（1）①当6n =时，65x⎛- ⎝的展开式共有7项，展开式中的中间一项为()33333322465201252500T C x x x -⎛=⋅⋅=-⨯=- ⎝；②展开式的通项公式为()()36662166515rr rr rr r r T C x C x---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝， 令3602r -=，得4r =，所求常数项的值为()442615375C ⋅-⋅=； （2）若展开式中各项系数之和比各二项式系数之和大于240，而展开式中各项系数之和为4n ，各二项式系数之和为2n ， 则42240nn，即()()2152160n n+-=，解得4n =.所以，展开式通项为()()34442144515rr rr rr r r T C x C x---+⎛=⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎝， 令3412r -=，解得2r ，因此，展开式中含x 项的系数为()222415150C ⋅-⨯=. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．。
高中数学选修一综合测试题易错题集锦(带答案)
高中数学选修一综合测试题易错题集锦单选题1、平面α的一个法向量是n ⃗ =(12,−1,13)，平面β的一个法向量是m ⃗⃗ =(−3,6,−2)，则平面α与平面β的关系是（ ）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．垂直 答案：C分析：由题设知m ⃗⃗ =−6n ⃗ ，根据空间向量共线定理，即可判断平面α与平面β的位置关系. ∵平面α的一个法向量是n ⃗ =(12,−1,13)，平面β的一个法向量是m ⃗⃗ =(−3,6,−2)， ∴ m ⃗⃗ =−6n ⃗ ，∴平面α与平面β的关系是平行或重合． 故选：C ．2、已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29+y 24=1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|⋅|MF 2|的最大值为（ ）A ．13B ．12C ．9D ．6 答案：C分析：本题通过利用椭圆定义得到|MF 1|+|MF 2|=2a =6，借助基本不等式|MF 1|⋅|MF 2|≤(|MF 1|+|MF 2|2)2即可得到答案．由题，a 2=9,b 2=4，则|MF 1|+|MF 2|=2a =6， 所以|MF 1|⋅|MF 2|≤(|MF 1|+|MF 2|2)2=9（当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时，等号成立）．故选：C ． 小提示：3、已知正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为（ ） A ．16B ．23C ．√2121D ．4√2121答案：B分析：利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.设该正面体的棱长为1，因为M 为BC 中点，N 为AD 中点， 所以|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√12−(12×1)2=√32， 因为M 为BC 中点，N 为AD 中点， 所以有BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ， DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )(−AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =1×1×12−12×12−12×1×1×12−12×12+14×1×1×12+14×1×1×12=−12,cos〈BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉=BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=−12√32×√32=−23，根据异面直线所成角的定义可知直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为23， 故选：B4、已知空间三点A (−2,0,8)，P (m,m,m )，B (4,−4,6)，若向量PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°，则实数m =（ ） A ．1B ．2C ．−1D ．−2 答案：B分析：直接由空间向量的夹角公式计算即可 ∵A (−2,0,8)，P (m,m,m )，B (4,−4,6)，∴PA⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−m,−m,8−m )，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−m,−4−m,6−m ) 由题意有cos60°=|PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3m 2−12m+68√3m 2−12m+68即3m 2−12m+682=3m 2−12m +40，整理得m 2−4m +4=0， 解得m =2 故选：B5、已知空间向量a ，b ⃗ ，c 满足a +b ⃗ +c =0⃗ ，|a |=1，|b ⃗ |=2，|c |=√7，则a 与b⃗ 的夹角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 答案：C分析：将a +b ⃗ =−c ，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项.设a 与b ⃗ 的夹角为θ．由a +b ⃗ +c =0，得a +b ⃗ =−c ，两边平方，得a 2+2a ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=c 2， 所以1+2×1×2cosθ+4=7，解得cosθ=12，又θ∈[0，π]，所以θ=60∘，故选：C ．6、若圆C 1:x 2+y 2−2ay =0(a >0)与圆C 2:x 2+y 2−4x +3=0相外切，则a 的值为（ ） A ．12B ．23C ．1D ．32答案：D分析：确定出两圆的圆心和半径，然后由两圆的位置关系建立方程求解即可.由x 2+y 2−2ay =0(a >0)可得x 2+(y −a )2=a 2，所以圆C 1的圆心为(0,a )，半径为a ， 由x 2+y 2−4x +3=0可得(x −2)2+y 2=1，所以圆C 2的圆心为(2,0)，半径为1， 因为两圆相外切，所以√4+a 2=a +1，解得a =32， 故选：D7、已知⊙M ：x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线l ：2x +y +2=0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA,PB ，切点为A,B ，当|PM|⋅|AB|最小时，直线AB 的方程为（ ）A ．2x −y −1=0B ．2x +y −1=0C ．2x −y +1=0D ．2x +y +1=0 答案：D分析：由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点A,P,B,M 共圆，且AB ⊥MP ，根据 |PM |⋅|AB |=4S △PAM =4|PA |可知，当直线MP ⊥l 时，|PM |⋅|AB |最小，求出以 MP 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB 的方程．圆的方程可化为(x −1)2+(y −1)2=4，点 M 到直线l 的距离为d =√22+12=√5>2，所以直线 l 与圆相离．依圆的知识可知，四点A,P,B,M 四点共圆，且AB ⊥MP ，所以|PM |⋅|AB |=4S △PAM =4×12×|PA |×|AM |=4|PA |，而 |PA |=√|MP|2−4，当直线MP ⊥l 时，|MP |min =√5， |PA |min =1，此时|PM |⋅|AB |最小．∴MP:y−1=12(x−1)即y=12x+12，由{y=12x+122x+y+2=0解得，{x=−1y=0．所以以MP为直径的圆的方程为(x−1)(x+1)+y(y−1)=0，即x2+y2−y−1=0，两圆的方程相减可得：2x+y+1=0，即为直线AB的方程．故选：D.小提示：本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．8、已知从点(−5,3)发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：(x−1)2+(y−1)2=5的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A．2x−3y+1=0B．2x−3y−1=0C．3x−2y+1=0D．3x−2y−1=0答案：A分析：根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.设点A的坐标为(−5,3)，圆(x−1)2+(y−1)2=5的圆心坐标为B(1,1)，设C(x,0)是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆(x−1)2+(y−1)2=5的圆周，所以反射光线经过点B(1,1)，由反射的性质可知：k AC+k BC=0⇒3−0−5−x +1−01−x=0⇒x=−12，于是k BC=1−01−(−12)=23，所以反射光线所在的直线方程为：y=23(x+12)⇒2x−3y+1=0，故选：A多选题9、（多选）对于抛物线上18x2=y，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为(0,2)B．开口向上，焦点为(0,116) C．焦点到准线的距离为4D．准线方程为y=−4答案：AC分析：写出标准形式即x 2=8y ，即可得到相关结论由抛物线18x 2=y ，即x 2=8y ，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为(0,2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y =−2． 故选：AC10、有下列命题：其中错误的是（ ）A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应；B ．若直线的倾斜角存在，则必有斜率与之对应；C ．坐标平面上所有的直线都有倾斜角；D ．坐标平面上所有的直线都有斜率． 答案：BD解析：任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率，即可得到答案 任何一条直线都有倾斜角，但不是任何一条直线都有斜率 当倾斜角为90°时，斜率不存在 故选：BD小提示：本题考查的是直线的倾斜角和斜率，较简单.11、在平面直角坐标系xOy 中，已知F 为抛物线y 2=x 的焦点，点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则（ ） A ．x 1x 2=6B ．直线AB 过点(2,0)C ．△ABO 的面积最小值是2√2D ．△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是3 答案：BCD分析：设AB ：x =my +n ，联立方程后得关于y 的一元二次方程，由韦达定理写出y 1y 2=−n ，x 1x 2=y 12y 22=n 2，再由OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，即可得n 2−n =2，再结合y 1y 2<0，求解出n =2，从而判断AB ，再根据三角形面积公式表示出△ABO 与△AFO 的面积，由基本不等式可判断CD. 设AB ：x =my +n ，{x =my +n y 2=x，消x 可得y 2−my −n =0. y 1y 2=−n ，得x 1x 2=y 12y 22=n 2，∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴n 2−n =2，则n =2或−1∵y1y2<0，∴n>0，∴n=2，x1x2=4，故A错；AB：x=my+2过(2,0)，故B对；设定点P(2,0)，S△ABO=S△AOP+S△BOP=12⋅2⋅|y1|+12⋅2⋅|y2|=|y1−y2|=|y1+2y1|≥2√2，当且仅当y1=±√2时，取等号，故C对；又S△ABO+S△AFO=|y1−y2|+12⋅|y1|⋅14=|y1−y2|+18|y1|，不妨设y1>0，又F(14,0)，S△ABO+S△AFO=y1−y2+18y1=98y1−y2≥2√−98y1y2=3，当且仅当98y1=−y2时，取等号，故D对.故选：BCD.小提示：解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；（2）强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．填空题12、已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x1,y1)，Q(－x1,−y1)在椭圆C上，其中x1>0，y1>0，若|PQ|=2|OF2|，|QF1PF1|≥√33，则椭圆C的离心率的取值范围为_____．答案：(√22，√3−1]分析：设PF1=n，PF2=m，由已知得到mn的范围，再由椭圆的定义得到n，m间的关系，代入、换元，求出e的范围.设PF1=n，PF2=m，由x1>0，y1>0，知m<n，因为P，Q在椭圆C上，|PQ|=2|OF2|，所以四边形PF1QF2为矩形，QF1=PF2；由|QF1||PF1|≥√33，可得√33≤mn<1，由椭圆的定义可得m+n=2a，n2+m2=4c2①，平方相减可得mn=2(a2－c2)②，由①②得4c22(a2−c2)=m2+n2mn=mn+nm；令t=mn +nm，令v=mn ∈[√33，1)，所以t=v+1v ∈(2，4√33]，即2<4c22(a2−c2)≤4√33，所以a2－c2<c2≤2√33(a2－c2)，所以1－e2<e2≤2√33(1－e2)，所以12<e2≤4−2√3，解得√22<e≤√3−1.所以答案是：(√22，√3−1] .13、若曲线2x=√4+y2与直线y=m(x+1)有公共点，则实数m的取值范围是___________.答案：(−2,2)分析：由曲线2x=√4+y2，整理得x2−y24=1(x>0)表示以(√5,0)为焦点的双曲线的右支部分，利用直线y=m(x+1)与双曲线的渐近线的关系求解.如图，曲线2x=√4+y2，即为x2−y24=1(x>0)，表示以(√5,0)为焦点的双曲线的右支部分，此时该双曲线的渐近线为y=−2x与y=2x因为y=m(x+1)过定点(−1,0)，要使直线y=m(x+1)与双曲线右支有交点，则该直线的斜率一定在两渐近线之间，则−2<m<2所以答案是：(−2,2)14、从圆x2+y2−2x−2y+1=0外一点P(2,3)向圆引切线，则此切线的长为______．答案：2分析：作图，利用圆心到定点的距离、半径、切线长满足勾股定理可得.将圆化为标准方程：(x−1)2+(y−1)2=1，则圆心C(1,1)，半径1，如图，设P(2,3)，|PC|=√5，切线长|PA|=√5−1=2．所以答案是：2解答题+y2=1，过抛物线T的焦点F的直线l交抛物线于A，15、已知抛物线T：y2=2px（p∈N+）和椭圆C：x25B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点.(1)若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；(2)若MN恰好被AB平分，求△OAB面积的最大值答案：(1)4(2)3√2．2分析：（1）求出椭圆焦点，得抛物线焦点，从而得p的值；（2）设直线l 方程为x =my +p2，代入抛物线方程，结合韦达定理得中点坐标，根据椭圆的弦中点性质得出一个参数值，由中点在椭圆内部得出另一个参数的范围，然后求出三角形面积，得出最大值． （1）在椭圆中，c =√a 2−b 2=2， 所以p2=2，p =4；（2）设直线l 方程为x =my +p2，代入抛物线方程得y 2−2mpy −p 2=0， 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，AB 中点为G(x 0,y 0)，则y 1+y 2=2mp ，y 1y 2=−p 2， y 0=y 1+y 22=mp ，x 0=m 2p +p2，设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4)，则{x 325+y 32=1x 425+y 42=1，两式相减得(x 3+x 4)(x 3−x 4)5+(y 3+y 4)(y 3−y 4)=0，所以2x 0(x 3−x 4)5+2y 0(y 3−y 4)=0，k MN =y 3−y 4x 3−x 4=−x 05y 0，k MN =−1m，所以−15×m 2p+p2mp=−1m ，解得m 2=18，点G 在椭圆内部，所以(m 2p+p 2)25+(mp)2<1，得p 2<6413，因为p ∈N +，所以p =1或p =2，S △OAB =12×p2|y 1−y 2|=p4√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=p4√4m 2p 2+4p 2=3√28p 2，p =1时，S △OAB =3√28，p =2时，S △OAB =3√22， 所以△OAB 面积的最大值为3√22．小提示：本题考查求抛物线的方程，考查直线民椭圆、抛物线相交问题，考查圆锥曲线中的面积问题．解题方法采用设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，代入曲线方程后应用韦达定理，求得弦中点坐标，弦长等，把这个结论代入其他条件可求得参数关系，参数值，参数范围等．即设参数，利用韦达定理把目标用参数表示，进而求最值，证明一些结论．本题考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，对学生的要求较高，属于难题．。
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式易错题集锦(带答案)
高中数学第二章一元二次函数方程和不等式易错题集锦单选题1、已知函数y=x−4+9x+1(x>−1)，当x=a时，y取得最小值b，则a+b=（）A．−3B．2C．3D．8答案：C分析：通过题意可得x+1>0，然后由基本不等式即可求得答案解：因为x>−1，所以9x+1>0,x+1>0，所以y=x−4+9x+1=x+1+9x+1−5≥2√(x+1)⋅9x+1−5=1,当且仅当x+1=9x+1即x=2时，取等号，所以y的最小值为1，所以a=2,b=1，所以a+b=3，故选：C2、已知正数x，y满足x+y=4，则xy的最大值（）A． 2B．4C． 6D．8答案：B分析：直接使用基本不等式进行求解即可.因为正数x，y满足x+y=4，所以有4=x+y≥2√xy⇒√xy≤2⇒xy≤4，当且仅当x=y=2时取等号，故选：B3、不等式|5x−x2|<6的解集为（）A．{x|x<2,或x>3}B．{x|−1<x<2,或3<x<6}C．{x|−1<x<6}D．{x|2<x<3}答案：B分析：按照绝对值不等式和一元二次不等式求解即可.解：∵|5x −x 2|<6，∴−6<5x −x 2<6∴{x 2−5x −6<0x 2−5x +6>0⇒{−1<x <6x 〈2或x 〉3⇒−1<x <2或3<x <6则不等式的解集为：{x|−1<x <2或3<x <6} 故选：B.4、若正数a,b 满足a +b =ab ，则a +2b 的最小值为（ ） A ．6B ．4√2C ．3+2√2D ．2+2√2 答案：C分析：由a +b =ab ，可得1a +1b =1，则a +2b =(a +2b)(1a +1b )，化简后利用基本不等式可求得其最小值 因为正数a,b 满足a +b =ab ， 所以1a +1b =1，所以a +2b =(a +2b)(1a +1b )=3+a b +2ba≥3+2√ab ⋅2b a=3+2√2， 当且仅当a b =2b a，即a =√2+1,b =2+√22时取等号，故选：C5、已知使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(−∞,−13)B ．(−∞,−13] C ．[−13,+∞)D ．(−13,+∞) 答案：C分析：使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0，则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，求出两个不等式的解集，利用集合的包含关系列不等式求解. 解：由3x −1≤0得x ≤13，因为使不等式x 2+(a +1)x +a ≤0成立的任意一个x ，都满足不等式3x −1≤0 则不等式x 2+(a +1)x +a ≤0的解集是(−∞,13]的子集，又由x 2+(a +1)x +a ≤0得(x +a )(x +1)≤0， 当a =1，x ∈{−1}⊆(−∞,13]，符合；当a <1，x ∈[−1,−a ]⊆(−∞,13]，则−a ≤13，∴1>a ≥−13， 当a >1，x ∈[−a,−1]⊆(−∞,13]，符合， 故实数a 的取值范围为[−13,+∞).故选：C.6、设a >b >c >0，则2a 2+1ab +1a (a−b )−10ac +25c 2取得最小值时，a 的值为（ ） A ．√2B ．2C ．4D ．2√5 答案：A解析：转化条件为原式=1ab +ab +1a(a−b)+a(a −b)+(a −5c)2，结合基本不等式即可得解.2a 2+1ab +1a (a −b )−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)−ab −a(a −b)+2a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+(a −5c)2 ≥2√1ab ⋅ab +2√1a(a−b)⋅a(a −b)+0=4，当且仅当{ab =1a(a −b)=1a =5c ，即a =√2，b =√22，c =√25时，等号成立.故选：A.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7、已知a >b >0，下列不等式中正确的是（ ） A ．ca >cb B ．ab <b 2C ．a −b +1a−b ≥2D ．1a−1<1b−1 答案：C分析：由a >b >0，结合不等式的性质及基本不等式即可判断出结论. 解：对于选项A ，因为a >b >0,0<1a<1b，而c 的正负不确定，故A 错误；对于选项B ，因为a >b >0，所以ab >b 2，故B 错误；对于选项C ，依题意a >b >0，所以a −b >0,1a−b >0，所以a −b +1a−b ≥2√(a −b )×1a−b =2，故C 正确； 对于选项D ，因为a >b >0,a −1>b −1>−1,1a−1与1b−1正负不确定，故大小不确定，故D 错误； 故选：C.8、已知集合M ={x |−4<x <2}，N ={x |x 2−x −6<0}，则M ∩N = A ．{x |−4<x <3}B ．{x |−4<x <−2}C ．{x |−2<x <2}D ．{x |2<x <3} 答案：C分析：本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．由题意得，M ={x |−4<x <2},N ={x |−2<x <3}，则 M ∩N ={x |−2<x <2}．故选C ．小提示：不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 多选题9、已知实数a >0，b >0，且满足(a −1)(b −1)=4，则下列说法正确的是（ ）A．ab有最小值B．ab有最大值C．a+b有最小值D．a+b有最大值答案：AC分析：已知等式化简为ab=a+b+3,利用基本不等式转化a+b,得到关于ab的不等式，研究可得ab的最值情况，转化ab,得到关于a+b的不等式，研究可得a+b的最值情况，进而作出判定.ab=a+b+3≥2√ab+3，解不等式得√ab≤−1或√ab≥3，故ab≥9，等号当且仅当a=b=3时取得，故ab有最小值9，则A对，B错；ab=a+b+3≤(a+b2)2，解不等式得a+b≤−2或a+b≥6，又a>0，b>0，故a+b≥6，当且仅当a=b=3时取等号，故a+b有最小值6，则C对，D错，故选：AC．10、（多选题）下列命题为真命题的是（）A．若a>b>0，则ac2≥bc2B．若a<b<0，则a2>ab>b2C．若a>b>0且c>0，则ca2>cb2D．若a>b且1a>1b，则ab<0答案：ABD解析：由不等式的性质结合作差法，逐项判断即可得解.对于A，若a>b>0，则ac2−bc2=c2(a−b)≥0，即ac2≥bc2，故A正确；对于B，若a<b<0，则a2−ab=a(a−b)>0，ab−b2=b(a−b)>0，所以a2>ab>b2，故B正确；对于C，若a>b>0且c>0，则ca2−cb2=c(b2−a2)a2b2=c(b−a)(b+a)a2b2<0，所以ca2<cb2，故C错误；对于D，若a>b且1a >1b，则b−a<0，1a−1b=b−aab>0，所以ab<0，故D正确.故选：ABD.11、若正实数a，b满足a+b=1，则下列说法正确的是（）A ．ab 有最大值14B ．√a +√b 有最大值√2C ．1a +1b 有最小值4D ．a 2+b 2有最小值√22 答案：ABC分析：由已知结合基本不等式及相关结论分别分析各选项即可判断．解：因为正实数a ，b 满足a +b =1，所以1=a +b ≥2√ab ，当且仅当a =b =12时取等号，所以ab ≤14，故ab 有最大值14，故A 正确；(√a +√b)2=a +b +2√ab =1+2√ab ≤1+2√14=2，当且仅当a =b =12时取等号，故√a +√b ≤√2，即√a +√b 有最大值√2，故B 正确； 1a+1b =a+b ab=1ab ≥4，当且仅当a =b =12时取等号，故1a +1b 有最小值4，故C 正确；a 2+b 2=(a +b )2−2ab =1−2ab ≥12，当且仅当a =b =12时取等号，所以a 2+b 2有最小值12，故D 错误． 故选：ABC ．12、已知关于x 的不等式ax 2+bx +c ≥0的解集为{x |x ≤3或x ≥4}，则下列结论中，正确结论的序号是（ ） A ．a >0B ．不等式bx +c >0的解集为{x |x <−4}C ．不等式cx 2−bx +a <0的解集为{x |x <−14或x >13}D ．a +b +c >0答案：AD分析：由一元二次不等式的解集可确定a >0，并知ax 2+bx +c =0两根为3和4，利用韦达定理可用a 表示b,c ，由此将不等式中b,c 用a 替换后依次判断各个选项即可得到结果.对于A ，由不等式的解集可知：a >0且{−ba =3+4=7ca =3×4=12，∴b =−7a ，c =12a ，A 正确；对于B ，bx +c =−7ax +12a >0，又a >0，∴x <127，B 错误；对于C ，cx 2−bx +a =12ax 2+7ax +a <0，即12x 2+7x +1<0，解得：−13<x <−14，C 错误； 对于D ，a +b +c =a −7a +12a =6a >0，D 正确. 故选：AD.13、下列说法正确的是（ ）A ．x +1x(x >0)的最小值是2B ．2√x 2+2的最小值是√2C ．2√x 2+4的最小值是2D ．2−3x −4x 的最小值是2−4√3 答案：AB分析：利用基本不等式直接判断A,利用根式判断B,利用等号不成立判断C,利用特值判断D 当x >0时，x +1x≥2√x ⋅1x=2（当且仅当x =1x，即x =1时取等号），A 正确；2√x 2+2=√x 2+2，因为x 2≥0，所以2√x 2+2=√x 2+2≥√2，B 正确；2√x 2+4=2√x 2+4=√x 2+4√x 2+4≥2，当且仅当√x 2+4=√x 2+4，即x 2=−3时，等号成立，显然不成立，故C 错误；当x =1时，2−3x −4x =2−3−4=−5<2−4√3，D 错误. 故选:AB. 填空题14、已知x >54，则函数y =4x +14x−5的最小值为_______. 答案：7分析：由x >54，得4x −5>0，构造导数关系，利用基本不等式即可得到. 法一：∵x >54，∴4x −5>0，y =4x +14x−5=(4x −5)+14x−5+5≥2+5=7， 当且仅当4x −5=14x−5，即x =32时等号成立， 所以答案是：7.法二：∵x >54，令yʹ=4−4(4x−5)2=0得x =1或x =32， 当54<x <32时y′<0函数单调递减，当x >32时y′>0函数单调递增，所以当x =32时函数取得最小值为：4×32+14×32−5=7，所以答案是：7.【点晴】此题考基本不等式，属于简单题.15、已知x,y ∈(0,+∞),a ∈R ，若(x −y +sin 2α+1)(x +3y −2sin 2α)=2，则3x +y 的最小值为______. 答案：2分析：利用基本不等式即可求解.∵(x −y +sin 2α+1)(x +3y −2sin 2α)=2，∴4=(2x −2y +2sin 2α+2)(x +3y −2sin 2α)即4=(2x −2y +2sin 2α+2)(x +3y −2sin 2α) ≤(2x−2y+2sin 2α+2+x+3y−2sin 2α2)2=(3x+y+2)24，所以(3x +y +2)2≥16，解得3x +y ≥2，当且仅当2x −2y +2sin 2α+2=x +3y −2sin 2α时，取等号， 所以3x +y 的最小值为2. 所以答案是：2小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 16、设a ＞0，b ＞0，给出下列不等式：①a 2＋1＞a ； ②(a +1a )(b +1b )≥4； ③(a ＋b )(1a +1b )≥4； ④a 2＋9＞6a . 其中恒成立的是________(填序号). 答案：①②③分析：利用做差法判断①，利用基本不等式判断②③，特殊值代入判断④即可得出结论. 由于a 2＋1－a ＝(a −12)2+34>0，故①恒成立；由于(a +1a )(b +1b )＝ab +1ab ＋b a ＋a b ≥2√ab ⋅1ab ＋2√b a ⋅ab ＝4， 当且仅当{ab =1abb a =a b 即a ＝b ＝1时等号成立，故②恒成立；由于(a ＋b )(1a +1b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2√b a ×a b ＝4.当且仅当a b ＝ba ，那么a ＝b ＝1时等号成立，故③恒成立； 当a ＝3时，a 2＋9＝6a ，故④不恒成立. 综上，恒成立的是①②③. 所以答案是：①②③.小提示：本题主要考查了利用做差法和基本不等式以及特殊值代入的方法，判断不等式是否成立的问题.属于较易题. 解答题17、某旅游公司在相距为100km 的两个景点间开设了一个游船观光项目．已知游船最大时速为50km/ℎ，游船每小时使用的燃料费用与速度的平方成正比例，当游船速度为20km/ℎ时，燃料费用为每小时60元．其它费用为每小时240元，且单程的收入为6000元．（1）当游船以30km/ℎ航行时，旅游公司单程获得的利润是多少？（利润=收入−成本） （2）游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利润最大，最大利润是多少？ 答案：（1）4750元；（2）游轮的航速应为40km/ℎ，最大利润是4800元．分析：（1）设游船的速度为v(km/ℎ)，旅游公司单程获得的利润为y （元)，根据利润=收入−成本建立函数关系式，所以y =6000−15v −24000v(0<v ⩽50)，代入v =30km/ℎ即可求得；（2）利用基本不等式求出最大利润即可．解：（1）设游船的速度为v(km/ℎ)，旅游公司单程获得的利润为y （元)， 因为游船的燃料费用为每小时k ·v 2元，依题意k ·202=60，则k =320．所以y =6000−(320v 2·100v+240·100v)=6000−15v −24000v(0<v ⩽50)．v =30km/ℎ时，y =4750元； （2）y =6000−15v −24000v⩽6000−2√15v ×24000v=4800，当且仅当15v =24000v，即v =40时，取等号．所以，旅游公司获得最大利润，游轮的航速应为40km/ℎ，最大利润是4800元． 18、设y =f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=2x −x 2. （1）求当x <0时，f (x )的解析式；（2）请问是否存在这样的正数a ，b ，当x ∈[a,b ]时，g (x )=f (x )，且g (x )的值域为[1b ,1a ]？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）当x <0时，f (x )=x 2+2x （2）a =1，b =1+√52分析：（1）根据函数的奇偶性f (x )=−f (−x )，求解解析式即可；（2）根据题意，结合函数单调性，将问题转化为a ，b (0<a <b )是方程−x 2+2x =1x 的两个根的问题，进而解方程即可得答案.（1）当x <0时，−x >0，于是f (−x )=2(−x )−(−x )2=−2x −x 2. 因为y =f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )=−f (−x )=−(−2x −x 2)=2x +x 2，即f (x )=2x +x 2(x <0). （2）假设存在正实数a 、b ，当x ∈[a,b ]时，g(x)=f(x)且g(x)的值域为[1b ,1a ]，根据题意，g (x )=−x 2+2x (x >0)， 因为g (x )=−x 2+2x =−(x −1)2+1≤1 ， 则0<1a≤1，得a ≥1.又函数g (x )在[1,+∞)上是减函数，所以{g(a)=1ag(b)=1b ，由此得到：a,b (1≤a <b )是方程−x 2+2x =1x 的两个根，解方程求得a =1,b =1+√52所以，存在正实数a =1,b =1+√52，当x ∈[a,b ]时，g(x)=f(x)且g(x)的值域为[1b ,1a ]。
高中数学第四章指数函数与对数函数重点易错题(带答案)
高中数学第四章指数函数与对数函数重点易错题单选题1、若√4a 2−4a +1=√(1−2a)33，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[12,+∞)B ．(−∞,12]C ．[−12,12]D ．R 答案：B分析：根据根式与指数幂的运算性质，化简得到√(2a −1)2=√(1−2a)33，即可求解. 根据根式和指数幂的运算性质，因为√4a 2−4a +1=√(1−2a)33， 可化为√4a 2−4a +1=√(1−2a)33，即√(2a −1)2=√(1−2a)33， 可得|2a −1|=1−2a ，所以1−2a ≥0，即a ≤12．故选：B.2、已知函数f(x)=3|x|+x 2+2，则f(2x −1)>f(3−x)的解集为（ ） A ．(−∞,43)B ．(43,+∞)C ．(−2,43)D ．(−∞,−2)∪(43,+∞)答案：D分析：根据函数奇偶性可得f(x)为偶函数，根据解析式直接判断函数在[0,+∞)上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.解：因为f(x)=3|x|+x 2+2，则x ∈R所以f(−x)=3|−x|+(−x)2+2=3|x|+x 2+2=f(x)，则f(x)为偶函数，当x ⩾0时，f(x)=3x +x 2+2，又y =3x ，y =x 2+2在[0,+∞)上均为增函数，所以f(x)在[0,+∞)上为增函数，所以f(2x −1)>f(3−x)，即|2x −1|>|3−x|，解得x <−2或x >43，所以f(2x −1)>f(3−x)的解集为(−∞,−2)∪(43,+∞). 故选：D.3、函数f(x)={a x ,(x <0)(a −2)x +3a,(x ≥0)，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）A．a∈(0,1)B．a∈[13,1)C．a∈(0,13]D．a∈[13,2)答案：C分析：根据条件可知f(x)在R上单调递减，从而得出{0<a<1a−2<03a⩽1，解出a的范围即可．解：∵f(x)满足对任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，∴f(x)在R上是减函数，因为f(x)={a x,(x<0)(a−2)x+3a,(x≥0)∴{0<a<1a−2<0(a−2)×0+3a⩽a0，解得0<a⩽13，∴a的取值范围是(0,13]．故选：C．4、已知函数y=a x、y=b x、y=c x、y=d x的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（）A．b+d>a+c B．b+d<a+c C．a+d>b+c D．a+d<b+c答案：B分析：如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，即得解.如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，所以b+d<a+c.故选：B5、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，900=18，故至少需要志愿者18名.50故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.6、函数y=log2(2x−x2)的单调递减区间为（）A．(1,2)B．(1,2]C．(0,1)D．[0,1)答案：A分析：先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果由2x −x 2>0，得0<x <2， 令t =2x −x 2，则y =log 2t ，t =2x −x 2在(0,1)上递增，在(1,2)上递减， 因为y =log 2t 在定义域内为增函数，所以y =log 2(2x −x 2)的单调递减区间为(1,2)， 故选：A7、化简√−a 3·√a 6的结果为（ ） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案. 由题意，可知a ≥0，∴√−a 3·√a 6=(−a )13⋅a 16=−a 13⋅a 16=−a 13+16=−a 12=−√a .故选：A.8、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a =5，b =log 83=13log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C. 多选题9、若实数a ,b 满足2a +3a =3b +2b ,则下列关系式中可能成立的是（ ） A ．0<a <b <1B ．b <a <0C ．1<a <b D ．a =b 答案：ABD解析：根据题目实数a ,b 满足2a +3a =3b +2b ,设f (x )=2x +3x ,g (x )=3x +2x ,画出函数图象,逐段分析比较解：因为实数a,b满足2a+3a=3b+2b.设f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x由图象可知①当x<0时,f(x)<g(x),所以2a+3a=3b+2b,即b<a<0,故B正确和②当x=0时,f(x)=g(x),所以2a+3a=3b+2b,即a=b=0,故D正确③当0<x<1时,f(x)>g(x),所以2a+3a=3b+2b,即0<a<b<1,故A正确④当x=1时,f(x)=g(x),所以2a+3a=3b+2b,即a=b=1,故D正确⑤当x>1时,f(x)<g(x),所以2a+3a=3b+2b,即1<b<a,故C错误.故选：ABD小提示：本题考查指数函数的图象和根据函数值大小比较指数,属于中档题.10、已知a>b>1>c>0，则（）A．1a−c >1b−cB．log c(a−c)>log c(b−c)C．(a−c)c−1<(b−c)c−1D．(1−c)a−c<(1−c)b−c分析：由条件可知a −c >b −c >0，再利用函数的单调性，判断选项. 因为a −c >b −c >0，A ：故1a−c <1b−c ，A 错误；B ：y =log c x 为减函数，故B 错误；C ：幂函数y =x c−1在(0,+∞)上为减函数，故C正确；D ：函数y =(1−c )x 为减函数，故D 正确. 故选：CD11、若函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，则必有（ ）． A ．0<a <1B ．a >1C ．b >0D ．b <0 答案：BC分析：对底数a 分情况讨论即可得答案.解：若0<a <1，则y =a x −(b +1)的图像必过第二象限，而函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，所以a >1．当a >1时，要使y =a x −(b +1)的图像过第一、三、四象限，则b +1>1，即b >0． 故选：BC小提示：此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.12、若f (x )满足对定义域内任意的x 1,x 2，都有f (x 1)+f (x 2)=f (x 1⋅x 2)，则称f (x )为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）A ．f (x )=2xB ．f (x )=(12)xC ．f (x )=log 12x D ．f (x )=log 3x答案：CD分析：利用“好函数”的定义，举例说明判断A ，B ；计算判断C ，D 作答.对于A ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=6，f (x 1⋅x 2)=4， 则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，A 不是；对于B ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=34，f (x 1⋅x 2)=14， 则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，B 不是；对于C ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 12x 1+log 12x 2=log 12(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，对于D ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 3x 1+log 3x 2=log 3(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，D 是． 故选：CD13、下列运算（化简）中正确的有（ ）． A ．(a 16)−1⋅(a−2)−13=a 12B ．(x a −1y)a⋅(4y −a )=4x C ．[(1−√2)2]12−(1+√2)−1+(1+√2)0=3−2√2D ．2a 3b 23⋅(−5a 23b 13)÷(4√a 4b 53)=−52a 73b −23 答案：ABD分析：根据指数幂的运算法则逐一验证即可 对于A ：(a 16)−1⋅(a −2)−13=a −16+23=a12，故A 正确；对于B ：(x a −1y)a⋅(4y −a )=4x 1a ×a y a−a =4xy 0=4x ，故B 正确； 对于C ：[(1−√2)2]12−(1+√2)−1+(1+√2)0=[(√2−1)2]12−1+√2+1=√2−1−(√2−1)+1=1，故C 错误；对于D ：2a 3b 23⋅(−5a 23b 13)÷(4√a 4b 53)=[2×(−5)÷4]a3+23−43b23+13−53=−52a 73b −23，故D 正确；故选：ABD 填空题14、已知5a =2，5b =3，则log 2594=___________（用a ､b 表示）. 答案：b −a ##−a +b分析：根据对数的运算性质可得log 2594=log 53−log 52，再由指对数关系有a =log 52，b =log 53，即可得答案.由log 2594=log 532=log 53−log 52，又5a =2，5b =3，∴a=log52，b=log53，故log2594=b−a.所以答案是：b−a.15、已知函数f(x)是指数函数，且f(2)=9，则f(12)=______．答案：√3分析：依题意设f(x)=a x（a>0且a≠1），根据f(2)=9即可求出a的值，从而求出函数解析，再代入计算可得.解：由题意，设f(x)=a x（a>0且a≠1），因为f(2)=9，所以a2=9，又a>0，所以a=3，所以f(x)=3x，所以f(12)=√3．所以答案是：√316、当x∈[k−12,k+12),k∈Z时，f(x)=k.若函数g(x)=xf(x)−mx−1没有零点，则正实数m的取值范围是___________.答案：[1,43)∪[85,2)分析：将问题转化为函数f(x)与ℎ(x)=1x+m图象的交点问题，结合图象得出正实数m的取值范围. 当x=0时，g(0)=−1≠0当x≠0时，xf(x)−mx−1=0可化为f(x)=1x+m作出函数f(x)与ℎ(x)=1x+m的图象由图可知当x <0时，要使得函数g(x)=xf(x)−mx −1没有零点 必须满足−1≤ℎ(−12)<0，解得1≤m <2当x >0时，要使得函数g(x)=xf(x)−mx −1没有零点必须满足1≤ℎ(32)<2或者2≤ℎ(52)<3，解得13≤m <43或85≤m <135综上，m ∈[1,43)∪[85,2) 所以答案是：[1,43)∪[85,2)小提示：关键点睛：解决本题的关键在于将问题转化为函数图象的交点问题，结合数形结合的思想方法解决问题. 解答题17、给出下面两个条件：①函数f (x )的图象与直线y =−1只有一个交点；②函数f (x )的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数f (x )的解析式确定. 已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (x +1)−f (x )=2x −1，且______. (1)求f (x )的解析式；(2)若对任意x ∈[19,27]，2f (log 3x )+m ≤0恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若函数g (x )=(2t −1)f (3x )−2×3x −2有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围. 答案：(1)选①f (x )=x 2−2x ，选②f (x )=x 2−2x (2)(−∞,−16] (3){−√3+12}∪(12,+∞) 分析：（1）利用已知条件求出a 、b 的值，可得出f (x )=x 2−2x +c .选①，由题意可得出f (1)=−1，可得出c 的值，即可得出函数f (x )的解析式； 选②，由根与系数的关系求出c 的值，即可得出函数f (x )的解析式；（2）ℎ=log 3x ，ℎ∈[−2,3]，由参变量分离法可得出m ≤[−2f (ℎ)]min ，结合二次函数的基本性质可求得实数m 的取值范围；（3）令n =3x >0，所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根，对实数t 的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数n 的不等式组，综合可解得实数t 的取值范围. （1）解：因为二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (x +1)−f (x )=2x −1，f (x +1)−f (x )=a (x +1)2+b (x +1)+c −ax 2−bx −c =2ax +a +b =2x −1， 所以{2a =2a +b =−1，解得{a =1b =−2，所以f (x )=x 2−2x +c .选①，因为函数f (x )的图象与直线y =−1只有一个交点，所以f (1)=1−2+c =−1，解得c =0， 所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x .选②，设x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则|x 1−x 2|=2，且Δ=4−4c >0，可得c <1， 由根与系数的关系可知x 1+x 2=2，x 1x 2=c ，所以|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4−4c =2，解得c =0， 所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x . （2）解：由2f (log 3x )+m ≤0，得m ≤−2f (log 3x )，当x ∈[19,27]时，log 3x ∈[−2,3]，令ℎ=log 3x ，则ℎ∈[−2,3]，所以对任意x ∈[19,27]，2f (log 3x )+m ≤0恒成立，等价于m ≤−2f (ℎ)在ℎ∈[−2,3]上恒成立， 所以m ≤[−2f (ℎ)]min =−2f (−2)=−16，所以实数m 的取值范围为(−∞,−16]. （3）解：因为函数g (x )=(2t −1)f (3x )−2×3x −2有且仅有一个零点，令n =3x >0，所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根， 因为f (x )=x 2−2x ，所以(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根， 当2t −1=0，即t =12时，方程可化为−2n −2=0，解得n =−1，不符合题意；当2t −1>0，即t >12时，函数y =(2t −1)x 2−4tx −2的图象是开口向上的抛物线，且恒过点(0,−2)， 所以方程(2t −1)n 2−4tn −2=0恒有一个正实根；当2t −1<0，即t <12时，要使得(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根，{�=16t 2+8(2t −1)=02t 2t−1>0，解得t =−√3+12. 综上，实数t 的取值范围为{−√3+12}∪(12,+∞).18、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现V 与log 3Q 100成正比，且当Q ＝900时，V ＝1.（1）求出V 关于Q 的函数解析式；（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数．答案：（1）V =12log 3Q 100；（2）2700个单位．分析：（1）根据成正比的性质，结合代入法进行求解即可；（2）利用代入法，结合对数与指数式互化公式进行求解即可.解：（1）设V ＝k ·log 3Q 100，∵当Q ＝900时，V ＝1，∴1＝k ·log 3900100， ∴k ＝12，∴V 关于Q 的函数解析式为V =12log 3Q 100;（2）令V ＝1.5，则1.5=12log 3Q 100⇒log 3Q 100=3⇒Q 100=33=27，∴Q ＝2 700，即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2700个单位．。
高中数学必修一第三章函数的概念与性质易错题集锦(带答案)
高中数学必修一第三章函数的概念与性质易错题集锦单选题1、现有下列函数：①y =x 3；②y =(12)x；③y =4x 2；④y =x 5+1；⑤y =(x −1)2；⑥y =x ；⑦y =a x (a >1)，其中幂函数的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B分析：根据幂函数的定义逐个辨析即可幂函数满足y =x a 形式，故y =x 3，y =x 满足条件，共2个故选：B2、若函数f (x +1x )=x 2+1x 2，且f (m )=4，则实数m 的值为（ ）A ．√6B ．√6或−√6C ．−√6D ．3答案：B分析：令x +1x =t ，配凑可得f (t )=t 2−2，再根据f (m )=4求解即可令x +1x =t （t ≥2或t ≤−2），x 2+1x 2=(x +1x )2−2=t 2−2，∴f (t )=t 2−2，f (m )=m 2−2=4，∴m =±√6.故选；B3、已知函数f (x )={x 2+a,x ≤0,2x ,x >0.若f[f (−1)]=4，且a >−1，则a =（ ） A ．−12B ．0C ．1D ．2 答案：C分析：根据函数的解析式求出f(−1)=1+a ，结合1+a >0即可求出f[f(−1)]，进而得出结果. 由题意知，f(−1)=(−1)2+a =1+a ，又a >−1，所以1+a >0，所以f[f(−1)]=f(1+a)=21+a =4，解得a =1.故选：C4、已知f(x)是一次函数，且f(x −1)=3x −5，则f(x)=（ ）A ．3x −2B ．2x +3C ．3x +2D ．2x −3答案：A分析：设一次函数y =ax +b(a ≠0)，代入已知式，由恒等式知识求解．设一次函数y =ax +b(a ≠0)，则f(x −1)=a(x −1)+b =ax −a +b ，由f(x −1)=3x −5得ax −a +b =3x −5，即{a =3b −a =−5 ，解得{a =3b =−2，∴f(x)=3x −2. 故选：A ．5、已知幂函数的图象经过点P (4,12)，则该幂函数的大致图象是（ ） A ．B ．C ．D ．答案：A 分析：设出幂函数的解析式，利用函数图象经过点求出解析式，再由定义域及单调性排除CDB 即可. 设幂函数为y =x α，因为该幂函数得图象经过点P (4,12)，所以4α=12，即22α=2−1，解得α=−12，即函数为y =x −12，则函数的定义域为(0,+∞)，所以排除CD ，因为α=−12<0，所以f(x)=x−12在(0,+∞)上为减函数，所以排除B，故选：A6、已知函数f(x)=2x2−6x+3，x∈[−1，2]，则函数的值域是（）A．[−32，11）B．[32，11）C．[ −1，11]D．[−32，11]答案：D分析：根据二次函数的对称轴和端点处的值即可求解值域.∵f(x)=2x2−6x+3=2(x−32)2-32,对称轴x=32,当x∈[−1，2],f(x)min=f(32)=−32,又因为f(−1)=11,f(2)=1,∴f(x)max=f(−1)=11,所以函数的值域为[−32，11].故选:D7、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，当x∈(0,1]时，f(x)=x2，则f(−2021)+f(2022)=（）A．−4B．4C．−1D．1答案：C分析：由已知条件可得x>1时f(x+2)=f(x)，然后利用f(−2021)+f(2022)=−f(1)+f(0)求解即可.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x>1时，满足f(2−x)=−f(x)，所以f(0)=0，f(2−x)=−f(x)=f(−x)，即可得x>1时f(x+2)=f(x)，因为当x∈(0,1]时，f(x)=x2，所以f(−2021)+f(2022)=−f(2×1010+1)+f(2×1011+0)=−f(1)+f(0)=−1+0=−1，故选：C8、若函数y=√ax2+4x+1的值域为[0,+∞)，则a的取值范围为（）A．(0,4)B．(4,+∞)C．[0,4]D．[4,+∞)答案：C分析：当a=0时易知满足题意；当a≠0时，根据f(x)的值域包含[0,+∞)，结合二次函数性质可得结果. 当a=0时，y=√4x+1≥0，即值域为[0,+∞)，满足题意；若a≠0，设f(x)=ax2+4x+1，则需f(x)的值域包含[0,+∞)，∴{a>0Δ=16−4a≥0，解得：0<a≤4；综上所述：a的取值范围为[0,4].故选：C.多选题9、幂函数f(x)=(m2−5m+7)x m2−6在(0,+∞)上是增函数，则以下说法正确的是（）A．m=3B．函数f(x)在(−∞,0)上单调递增C．函数f(x)是偶函数D．函数f(x)的图象关于原点对称答案：ABD分析：根据幂函数的定义与性质得到方程（不等式）组，解得m=3，即可得到f(x)，从而判断可得；解：因为幂函数f(x)=(m2−5m+7)x m2−6在(0,+∞)上是增函数，所以{m 2−5m+7=1m2−6>0，解得m=3，所以f(x)=x3，所以f(−x)=(−x)3=−x3=−f(x)，故f(x)=x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f(x)在(−∞,0)上单调递增；故选：ABD10、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)=−f(x)，且在[−1,0]上是增函数，则（）A．f(x)的图象关于直线x=1对称B．f(x)在[0,1]上是增函数C．f(x)在[1,2]上是减函数D．f(2)=f(0)答案：AD分析：由题可得分析可得f(x+1)=f(1−x)，进而可判断AD，利用函数的对称性结合条件可判断BC. 因为f(x+1)=−f(x)，f(x)是偶函数，所以f(−x)=−f(−x +1)=f(x)，即f(x +1)=f(1−x)，所以函数f(x)的图象关于直线x =1对称，故A 正确；由偶函数在对称区间上的单调性相反，得f(x)在[0,1]上是减函数，故B 错误； 因为函数f(x)的图象关于直线x =1对称，且f(x)在[0,1]上是减函数，所以f(x)在[1,2]上是增函数，故C 错误；由f(x +1)=f(1−x)，可得f(2)=f(0)，故D 正确.故选：AD.11、设α∈{−1,1,12,3}，则使函数y =x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值有（ ） A ．−1B ．1C ．3D ．12 答案：BC分析：根据α的取值，结合幂函数的性质，判断选项.α=−1时，y =x −1的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，不正确；α=1时，函数y =x 的定义域是R ，且是奇函数，故正确；α=3是，函数y =x 3的定义域是R ，且是奇函数，故正确；α=12时，函数y =x 12的定义域是[0,+∞)，不正确.故选：BC填空题12、若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是________． 答案：2分析：根据f (x )= f (-x )，简单计算可得结果.∵f (x )为偶函数，∴对于任意x ∈R ，有f (－x )＝f (x )，即(m －1)(－x )2＋(m －2)(－x )＋(m 2－7m ＋12)＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)， ∴2(m －2)x ＝0对任意实数x 均成立，∴m ＝2.所以答案是：2小提示：本题考查根据函数奇偶性求参数，掌握概念，细心计算，属基础题.13、（1）函数y=x45的定义域是________，值域是________；（2）函数y=x−25的定义域是________，值域是________；（3）函数y=x 32的定义域是________，值域是________；（4）函数y=x−34的定义域是________，值域是________．答案：R[0,+∞)(−∞,0)∪(0,+∞)(0,+∞)[0,+∞)[0,+∞)(0,+∞)(0,+∞)分析：画出对应幂函数的图像，结合幂函数的图像特征，写出定义域与值域（1）幂函数y=x 45图像如图所示，定义域为R，值域为[0,+∞),（2）幂函数y=x−25图像如图所示，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，值域为(0,+∞),（3）幂函数y=x 32图像如图所示，定义域为[0,+∞)，值域为[0,+∞),（4）幂函数y=x−34图像如图所示，定义域为(0,+∞)，值域为(0,+∞),所以答案是：（1）R;[0,+∞),（2）(−∞,0)∪(0,+∞);(0,+∞),（3）[0,+∞);[0,+∞),（4）(0,+∞);(0,+∞).14、若函数f(x)=(2m−1)x m是幂函数，则实数m=______.答案：1分析：根据幂函数定义列方程求解可得.因为f(x)=(2m−1)x m是幂函数，所以2m−1=1，解得m=1. 所以答案是：1解答题15、已知函数f(x)=x−1x+2，x∈[3,5].（1）判断函数f(x)的单调性，并证明；（2）求函数f(x)的值域.答案：（1）单调递增，证明见解析；（2）[25,4 7 ]分析：（1）利用函数单调性的定义即可证明函数f(x)在区间[3,5]上的单调性；（2）根据函数f(x)在区间[3,5]上的单调性即可求其值域.（1）f(x)=x−1x+2=x+2−3x+2=1−3x+2在区间[3,5]上单调递增，证明如下：任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2，f(x1)−f(x2)=(1−3x1+2)−(1−3x2+2)=3x2+2−3x1+2=3(x1+2)−3(x2+2) (x1+2)(x2+2)=3(x1−x2)(x1+2)(x2+2)，因为3≤x1<x2≤5，所以x1−x2<0，x1+2>0，x2+2>0，所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间[3,5]上单调递增.（2）由（1）知：f(x)在区间[3,5]上单调递增，所以f(x)min=f(3)=3−13+2=25，f(x)max=f(5)=5−15+2=47，所以函数f(x)的值域是[25,4 7 ].。
(完整版)高中数学易错题(含答案)
高中数学易错题一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．52．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=06．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是_________．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是_________．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_________．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为_________．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是_________．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为_________．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为_________．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=_________．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．高中数学易错题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（）A．2B．3C．4D．5考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，进而求得x和y的关系式，进而表示出xy的表达式，利用二次函数的性质求得xy的最大值．解答：解：如图，设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应的边有此比例关系，即=4，所以4x=12﹣3y，y=，求xy最大，也就是那个矩形面积最大．xy=x•=﹣•（x2﹣3x），∴当x=时，xy有最大值3故选B．点评：本题主要考查了三角函数的几何计算．解题的关键是通过题意建立数学模型，利用二次函数的性质求得问题的答案．2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）A．缺条件，不能求出B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：直接利用正弦定理，两角差的正弦函数，即可求出三角形的外接圆的直径即可．解答：解：由正弦定理可知：====．故选D．点评：本题是基础题，考查三角形的外接圆的直径的求法，正弦定理与两角差的正弦函数的应用，考查计算能力．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是（）A．3＜d＜4 B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：数形结合；转化思想．分析：画出图形，利用点到直线的距离之间的转化，三角形两边之和大于第三边，求出最小值与最大值．解答：解：由题意△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，在图（1）中，d=CE+PE+PF＞CD==，在图（2）中，d=CE+EP+FP＜CE+EG＜AC=4；∴d的取值范围是；故选D．点评：本题是中档题，考查不等式的应用，转化思想，数形结合，逻辑推理能力，注意，P为△ABC内任一点，不包含边界．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）A．B．C．D．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，利用正弦定理以及双曲线的定义化简即可得到答案．解答：解：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，由双曲线的定义可知BC﹣AB=2a=10，c=6，===；故选D．点评：本题是基础题，考查双曲线的定义，正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）A．4x﹣3y﹣10=0 B．4x+3y+10=0 C．3x+4y+5=0 D．3x﹣4y+5=0考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：通过向量求出直线的斜率，利用点斜式方程求出最新的方程即可．解答：解：过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的斜率为﹣，所以所求直线的方程为：y+2=﹣（x﹣1），即：3x+4y+5=0．故选C．点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，注意直线的方向向量与直线的斜率的关系，考查计算能力．6．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．其中正确的命题是（）A．①②④B．②④C．②③D．③④考点：三角形中的几何计算；恒过定点的直线．专题：应用题．分析：①由于基本不等式等号成立的条件不具备，故的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程，求出它与两坐标轴的交点，根据条件可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④若△ABC中，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形．解答：解：①∵≥2=2，（当且仅当x=0时，等号成立），故当x＞0时，的最小值大于2，故①不正确．②设过定点P（2，3）的直线的方程为y﹣3=k（x﹣2），它与两坐标轴的交点分别为（2﹣，0），（0，3﹣2k），根据直线与两坐标轴围成的面积为13=，化简可得4k2+14k+9=0，或4k2﹣38k+9=0．而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条，故②正确．③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=cos2（x﹣）=sin[﹣（2x﹣）]=sin（）=﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形，故④正确．故选B．点评：本题基本不等式取等号的条件，过定点的直线，三角函数的图象变换，诱导公式的应用，检验基本不等式等号成立的条件，是解题的易错点．二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是[，4]．考点：向量在几何中的应用；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：设三边分别为a，b，c，利用正弦定理和余弦定理结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长．欲求x+y+z的取值范围，利用坐标法，将三角形ABC放置在直角坐标系中，通过点到直线的距离将求x+y+z的范围转化为，然后结合线性规划的思想方法求出范围即可．解答：解：△ABC为Rt△ABC，且∠C=90°，设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a，b，c，∵（1）÷（2），得，令a=4k，b=3k（k＞0）则∴三边长分别为3，4，5．以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为4x+3y﹣12=0．设P点坐标为（m，n），则由P到三边AB、BC、AB的距离为x，y，z．可知，且，故，令d=m+2n，由线性规划知识可知，如图：当直线分别经过点A、O时，x+y+z取得最大、最小值．故0≤d≤8，故x+y+z的取值范围是．故答案为：[]．点评：本题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向量数量积的运算、简单线性规划思想方法的应用，综合性强，难度大，易出错．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=4．考点：二倍角的余弦；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：首先根据三角形的面积公式求出b的值，然后将所给的式子写成+=3进而得到acosC+ccosA+a+c=6，再根据在三角形中acosC+ccosA=b=2，即可求出答案．解答：解：∵S=absinC=asinC∴b=2∴acos2+ccos2=3∴+=3即a（cosC+1）+c（cosA+1）=6∴acosC+ccosA+a+c=6∵acosC+ccosA=b=2∴2+a+c=6∴a+c=4故答案为：4．点评：本题考查了二倍角的余弦以及三角形中的几何运算，解题的关键是巧妙的将所给的式子写成+=3的形式，属于中档题．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先根据求得sin（A+B）的值，进而求得sinC的值，根据同角三角函数的基本关系求得cosC，根据韦达定理求得a+b和ab的值，进而求得a2+b2，最后利用余弦定理求得c的值．解答：解：∵，∴sin（A+B）=∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=∴cosC==∵a，b是方程的两根∴a+b=2，ab=2，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=8∴c===故答案为：点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，余弦定理的应用，韦达定理的应用．考查了考生综合运用基础知识的能力．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：构造以BC为正三角形的外接圆，如图满足，即可观察推出|AM|的取值范围．解答：解：构造以BC为正三角形的外接圆，如图，显然满足题意，由图可知红A处，|AM|值最大为，A与B（C）接近时|AM|最小，所以|AM|∈．故答案为：．点评：本题考查三角形中的几何计算，构造法的应用，也可以利用A的轨迹方程，两点减距离公式求解．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．考点：棱柱的结构特征；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．解答：解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，已知正三棱柱的底面边长为AB=2，则该三角形的斜边EF上的中线DG=，∴斜边EF的长为2．故答案为：2．点评：本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形中的几何计算等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为1或．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2；再分∠A=30°以及∠C=30°两种情况分别求出对应的面积．解答：解：因为2，转化为边长和角所以有2acosB=c可得：cosB==⇒a2=b2⇒a=b=2．当∠A=30°=∠B时，∠C=120°，此时S△ABC=×2×2×sinC=；当∠C=30°时，∠A=∠B=75°，此时S△ABC=×2×2×sinC=1．故答案为：或1．点评：本题主要考查余弦定理的应用以及三角形中的几何计算．解决本题的关键在于利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据AB=AC可推断出B=C，进而利用三角形内角和可知cosA=cos（π﹣2B）利用诱导公式和二倍角公式化简整理，把cosB的值代入即可．解答：解：∵AB=AC，∴B=C∴cosA=cos（π﹣2B）=cos2B=2cos2B﹣1=﹣1=﹣故答案为：﹣点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，二倍角公式的应用．考查了学生综合运用三角函数基础知识的能力．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为x+y+z=3．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接，进而分别表示出三角形三部分的面积，相加应等于总的面积建立等式求得x+y+z的值．解答：解：设等边三角形的边长为a，高为h将P与三角形的各顶点连接根据面积那么：ax+ay+az=ah所以x+y+z=h因为等边三角形的边长为2，所以高为h=3所以x．y．z所满足的关系是为：x+y+z=3故答案为：3点评：本题主要考查了三角形中的几何计算．考查了学生综合分析问题的能力和转化和化归的思想．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：根据已知可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=2，则可以利用勾股定理求得AD的长．解答：解：（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA=AC=2，∵∠OAD=90°，∠D=30°，∴AD=•AO=．故答案为：．点评：本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，本题在数据运算中主要应用含有30°角的直角三角形的性质，本题是一个基础题．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：先利用三个内角成等差数列求得A，根据，∠B=30°求得C，然后利用tan30°=表示出a，代入三角形面积公式求得b．解答：解：三角形ABC中，三个内角A，B，C成等差数列A+B+C=3A=180°∴∠A=60°∵∠A=30°，∴C=90S=ab=∵tan30°=∴a=∴b=故答案为：点评：本题主要考查了三角形的几何计算．考查了学生基础知识综合运用的能力．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：设出BD，利用余弦定理分别在△ABC，△ABD中表示出AB，进而建立等式求得b﹣x=2acosC代入四边形ABCD的面积表达式中，利用正弦函数的性质求得问题的答案．解答：解：设BD=x，则由余弦定理可知b2+a2﹣2abcosC=AB2=a2+x2+2axcosC∴b﹣x=2acosC．∵S=（absinC）﹣（axsinC）=a（b﹣x）sinC=a2•sin2C，∴当C=时，S有最大值．点评：本题主要考查了三角形的几何计算．注意灵活利用正弦定理和余弦定理以及其变形公式．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；二倍角的正弦．专题：计算题．分析：（1）利用同角三角函数关系及三角形内角的范围可求；（2）利用正弦定理可知b=2a，再利用余弦定理，从而求出a、b的值，进而可求面积．解答：解：（1）由题意，，∴（2）由sinB=2sinA可知b=2a，又22=a2+b2﹣2abcosC，∴a=1，b=2，∴点评：此题考查学生灵活运用三角形的面积公式，灵活运用正弦、余弦定理求值，是一道基础题题．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角形中的几何计算；正弦定理的应用；余弦定理的应用．专题：计算题；综合题．分析：（1）由三角形的面积公式，结合余弦定理求出的值，进而有sinA=．（2）利用，结合正弦定理，求出b+c的值，利用三角形的面积公式和基本不等式求出面积的最大值．解答：解：（1）得进而有（2）∵，∴即所以故当b=c=8时，S最大=．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，逻辑推理能力．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算；正弦定理．专题：计算题．分析：（1）利用余弦定理和题设等式求得cosA的值，进而求得A．（2）利用正弦定理把题设中的正弦转化成边的关系，进而求得bc的值，最后利用三角形面积公式求得答案．解答：解：（1）因为b2+c2﹣a2=2bccosA=bc所以所以（2）因为sin2B+sin2C=2sin2A所以b2+c2=2a2=2因为b2+c2﹣a2=bc所以bc=1所以=点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．注意挖掘题设中关于边，角问题的联系．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？考点：三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由题意画出简图，设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h，利用三角形相似建立方程解德；（2）由题意当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E，则DE长即为所求的影长，利用三角形相似建立方程求解即可．解答：解：如图所示，设A、B为两路灯，小迪从MN移到PQ，并设C、D分别为A、B灯的底部．由题中已知得MN=PQ=1.6m，NQ=5m，CD=10m（1）设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h∵△CMN∽△CBD，即⇒又△PQD∽△ACD即⇒由①②式得x=2.5m，h=6.4m，即路灯高为6.4m．（2）当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E．则DE长即为所求的影长．∵△DEH∽△CEA⇒⇒解得DE=m，即他在A路灯下的身影长为m．点评：此题考查了学生理解题意的能力，还考查了利用三角形相似及方程思想求解变量及学生的计算能力．22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）求AB长，关键是求sinB，sinC，利用已知条件可求；（2）根据三角形的面积公式，故关键是求sinA的值，利用sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC可求解答：解：（1）设AB、BC、CA的长分别为c、a、b，，∴，∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）因为．∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）故所求面积﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题的考点是三角形的几何计算，主要考查正弦定理得应用，考查三角形的面积公式，关键是正确记忆公式，合理化简．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；（3）将以上结果填入下表．C A S情况①情况②考点：三角形中的几何计算．专题：计算题；分类讨论．分析：（1）先根据正弦定理以及大角对大边求出角C，再根据三角形内角和为180°即可求出角A．（2）分情况分别代入三角形的面积计算公式即可得到答案；（3）直接根据前两问的结论填写即可．解答：解：（1）∵，…（2分）∵c＞b，C＞B，∴C=60°，此时A=90°，或者C=120°，此时A=30°…（2分）（2）∵S=bcsinA∴A=90°，S=bcsinA=；A=30°，S=bcsinA=．…（2分）（3）点评：本题主要考查三角形中的几何计算．解决本题的关键在于根据正弦定理以及大角对大边求出角C．24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB 的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．考点：三角形中的几何计算；解三角形．专题：计算题；数形结合．分析：（1）由正弦定理知===2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；（2）若∠C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a2+b2＜c2＜（2R）2，即可证得结果；（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类讨论即可．解答：解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°===2R⇒b=2sinA=∵A为锐角∴A=30°，B=45°∴C=75°∴AB=2Rsin75°=4sin75°=；（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1cosC=＜0∴a2+b2＜c2＜（2R）2即a2+b2＜4R2（8分）（3）a＞2R或a=b=2R时，△ABC不存在当时，A=90，△ABC存在且只有一个∴c=当时，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=时，△ABC存在且只有一个∴c=2RsinC=2Rsin2AC=当时，∠B总是锐角，∠A可以是钝角，可是锐角∴△ABC存在两个∠A＜90°时，c=∠A＞90°时，c=点评：本题考查三角形中的几何计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合性很强，尤其是第三问需要根据a，b两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强．难度较大．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．考点：三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据∥和两向量的坐标可求得，利用正弦定理把边转化成角的正弦，然后利用两角和公式化简整理求得cosA的值，进而求得A（Ⅱ）把A的值代入，利用两角和公式整理后，利用正弦函数的性质求得2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．解答：解：（Ⅰ）由得．由正弦定理得，．∴．∵A，B∈（0，π），∴sinB≠0，，∴．（Ⅱ）解：∵∴2cos2B+sin（A﹣2B）==，．2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值为点评：本题主要考查了三角形中的几何计算，正弦定理的应用和两角和公式的化简求值．注意综合运用三角函数的基础公式，灵活解决三角形的计算问题．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．考点：正弦定理的应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）由已知结合正弦与余弦定理=化简可求b，由余弦定理可得，cosA=代入可求cosA，及A（2）代入三角形的面积公式可求解答：解：（1）∵∵∴=化简可得，b2﹣2b﹣8=0∴b=4由余弦定理可得，cosA==∴；（2）==点评：本题主要考查了解三角形的基本工具：正弦定理与余弦定理的应用，解题的关键是具备综合应用知识解决问题的能力27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简（2a+c）cosB+bcosC=0，得到三角形的角的关系，通过两角和与三角形的内角和，求出B的值；（Ⅱ）通过S=，利用B=以及a+c=4，推出△ABC面积S的表达式，通过平方法结合a的范围求出面积的最大值．解答：解（Ⅰ）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0得2sinACcosB+sin（C+B）=0，因为A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0，因为sinA≠0，所以cosB=﹣，又B为三角形的内角，所以B=．（Ⅱ）因为S=，由B=及a+c=4得S===，又0＜a＜4，所以当a=2时，S取最大值…（3分）点评：本题是中档题，考查三角形面积的最值，三角形的边角关系，三角函数的公式的灵活应用，考查计算能力．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．考点：三角函数的恒等变换及化简求值；三角形中的几何计算．专题：综合题．分析：（1）由，推出，利用坐标表示化简表达式，结合余弦定理求角C；（2）利用（1）中c2=a2+b2﹣ab，应用正弦定理和基本不等式，求三角形ABC的面积S的最大值．解答：解答：解：（1）∵∴且，由正弦定理得：化简得：c2=a2+b2﹣ab由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC∴，∵0＜C＜π，∴（2）∵a2+b2﹣ab=c2=（2RsinC）2=6，∴6=a2+b2﹣ab≥2ab﹣ab=ab（当且仅当a=b时取“=”），所以，．点评：本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题．。
(易错题)高中数学必修一第一单元《集合》测试(包含答案解析)
一、选择题1．已知集合{}2230A x x x =--=，{}10B x ax =-=，若B A ⊆，则实数a 的值构成的集合是（ ） A ．11,03⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，B ．{}1,0-C ．11,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．103⎧⎫⎨⎬⎩⎭，2．若集合{}2560A x x x =+-=，{}222(1)30B x x m x m =+++-=.若{}1A B ⋂=,求实数m 的值为（ ） A ．0B ．-2C ．2D ．0或-23．设全集{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}2,5B =，则()U AC B ⋂等于（ ） A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3D ．{}1,34．已知集合{|25}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =+≤≤-．若B A ⊆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3m ≥B ．23m ≤≤C ．3m ≤D ．2m ≥5．已知集合302x A xx ⎧⎫+⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭，{}B y y m =<，若A B ⊆，则实数m 的取值范围为( ) A ．()2∞+， B ．[)2∞+，C ．()3∞-+，D ．[)3∞-+，6．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做A 的幂集，记为()P a ，用()n A 表示有限集A 的元素个数，给出下列命题：（1）对于任意集合A ，都有()A P A ∈；（2）存在集合A ，使得()3nP A =；（3）若AB =Φ，则()()P A P B ⋂=Φ；（4）若A B ⊆，则()()P A P B ⊆；（5）若()()1n A n B -=，则[][]()2()n P A n P B =.其中正确命题的序号为（ ）A ．（1）（2）（5）B ．（1）（3）（5）C ．（1）（4）（5）D ．（2）（3）（4）7．对于下列结论：①已知∅ 2{|40}x x x a ++=，则实数a 的取值范围是(],4-∞； ②若函数()1y f x =+的定义域为[)2,1-，则()y f x =的定义域为[)3,0-；③函数2y =的值域是(],1-∞；④定义：设集合A 是一个非空集合，若任意x A ∈，总有a x A -∈，就称集合A 为a 的“闭集”，已知集合{}1,2,3,4,5,6A ⊆，且A 为6的“闭集”，则这样的集合A 共有7个． 其中结论正确的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．38．已知全集U =R ，集合(){}{}20,1A x x x B x x =+<=≤，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．()2,1-B ．[][)1,01,2-C ．()[]2,10,1--D ．0,19．已知3(,)|32y M x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{(,)|20}N x y ax y a =++=，且M N ⋂=∅，则实数a =（ ） A ．6-或2-B ．6-C ．2或6-D ．210．集合{}{}A x||x-a|<1,x R ,|15,.A B B x x x R =∈=<<∈⋂=∅若，则实数a 的取值 范围是（ ） A ．{}a |0a 6≤≤ B ．{}|24a a a ≤≥或C ．{}|06a a a ≤≥或D ．{}|24a a ≤≤11．从含有3个元素的集合{},,a b c 的所有子集中任取一个，所取得子集是含有2个元素的集合的概率（ ） A ．310B ．112C ．4564D ．3812．已知集合{0,1,2,3,4},{|21,}A B x x n n A ===+∈，则A B 等于（ ）A ．{}1,3,5B ．{}3C ．{}5,7,9D ．{}1,3二、填空题13．对于任意集合X 与Y ，定义：①{}|X Y x x X x Y -=∈∉且，②()()X Y X Y Y X =--△∪，（X Y △称为X 与Y 的对称差）．已知{}{}2|2|33A y y x x x R B y y ==-∈=-，，≤≤，则A B =△______．14．设不等式20x ax b ++≤的解集为[]A m n =，，不等式()()2101x x x ++>-的解集为B ，若()(]213A B A B =-+∞=，，，∪∩，则m n +=__________.15．已知集合()2{}2|1A x log x =-<，{|26}B x x =<<，且AB =________．16．已知全集{}1,2,3,4,5,6U =，①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若U x A ∈，则2Ux A ∉，则同时满足条件①②③的集合A 的个数为______17．若规定{}1210E a a a =⋯，，，的子集{}12,,n k k k a a a 为E 的第k 个子集,其中12111222n k k k k ---=++⋯+，则E 的第211个子集是____________. 18．已知全集U =R 集合1|1A x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则UA_______.19．若集合2{320}A x ax x =++=中至多有一个元素，则a 的取值范围是__________．20．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]，即[k ]＝{5n ＋k | n ∈Z}，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 014∈[4]； ②－3∈[3]； ③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④整数a ，b 属于同一“类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．其中，正确的结论是________．三、解答题21．已知全集为R ，集合{}26A x x =≤≤， {}3782B x x x =-≥-. （1）求AB ， ()RC A B ⋂；（2）若{}44M x a x a =-≤≤+，且R A C M ⊆，求a 的取值范围.22．在①{}23B x x =-<<，②{}35RB x x =-<<，③{}26B x x a =≥+且{}A B x x a ⋃=>这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题． 问题：已知非空集合{}8A x a x a =<<-，______，若A B =∅，求a 的取值集合．23．已知集合{}2230A x x x =--≤，{}22210B x x mx m =-+-≤. （1）若332A B x x ⎧⎫⋃=-≤≤⎨⎬⎩⎭，求实数m 的值； （2）x A ∈是x B ∈的________条件，若实数m 的值存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由.(请在①充分不必要，②必要不充分，③充要；中任选一个，补充到空白处) 24．已知命题p ：x ∈A ＝{x|a －1＜x ＜a ＋1，x ∈R}，命题 q ：x ∈B ＝{x|x 2－4x ＋3≥0}． (1)或A∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，求实数a (2)若是p 的必要条件，求实数a.25．已知p ：x ∈A={x|x 2﹣2x ﹣3≤0，x ∈R}，q ：x ∈B={x|x 2﹣2mx+m 2﹣9≤0，x ∈R ，m ∈R}． （1）若A∩B=[1，3]，求实数m 的值；（2）若p 是¬q 的充分条件，求实数m 的取值范围．26．已知集合2211{|}A x x =-≤-≤，集合{}11B x a x a =-<<+.（1）若1a =，试通过运算验证：()()()RRR A B A B =；（2）若A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】解方程求得集合A ，分别在B =∅和B ≠∅两种情况下，根据包含关系构造方程求得结果. 【详解】由2230x x --=得：1x =-或3x =，即{}1,3A =-； ①当0a =时，B =∅，满足B A ⊆，符合题意； ②当0a ≠时，{}110B x ax a ⎧⎫=-==⎨⎬⎩⎭，B A ⊆，11a ∴=-或13a =，解得：1a =-或13a =； 综上所述：实数a 的值构成的集合是11,0,3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选：A . 【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数值的问题，易错点是忽略子集为空集的情况，造成求解错误.2．D解析：D 【分析】根据A ∩B ＝{1}可得出，1∈B ，从而得出1是方程x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0的根，1代入方程即可求出m 的值； 【详解】 A ＝{﹣6，1}； ∵A ∩B ＝{1}； ∴1∈B ；即1是方程x 2+2（m +1）x +m 2﹣3＝0的根； ∴1+2（m +1）+m 2﹣3＝0； ∴m 2+2m ＝0；∴m ＝0或m ＝﹣2；当m ＝0时，B ＝{﹣3，1}，满足A ∩B ＝{1}； 当m ＝﹣2时，B ＝{1}，满足A ∩B ＝{1}； ∴m ＝0或m ＝﹣2； 故选：D 【点睛】考查交集的定义及运算，元素与集合的关系，描述法、列举法的定义，一元二次方程实根的情况,是基础题．3．D解析：D 【解析】 【分析】由集合的补集的运算，求得{1,3,4}U C B =，再利用集合间交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，{}2,5B =， 则{1,3,4}UC B =，所以(){}1,3U A C B ⋂=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记的集合的运算方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．C解析：C 【分析】讨论,B B =∅≠∅两种情况，分别计算得到答案. 【详解】当B =∅时：1212m m m +>-∴< 成立；当B ≠∅时：12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩解得：23m ≤≤.综上所述：3m ≤ 故选C 【点睛】本题考查了集合的关系，忽略掉空集的情况是容易发生的错误.5．B解析：B 【分析】求出集合A ，由A B ⊆，结合数轴，可得实数m 的取值范围.解不等式302x x +≤-，得32x -≤<，[)3,2A ∴=-. A B ⊆，可得2m ≥.故选：B . 【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题.6．C解析：C 【分析】直接利用新定义判断五个命题的真假即可． 【详解】由P （A ）的定义可知①正确，④正确， 设n （A ）＝n ，则n （P （A ））＝2n ，∴②错误， 若A ∩B ＝∅，则P （A ）∩P （B ）＝{∅}，③不正确； n （A ）﹣n （B ）＝1，即A 中元素比B 中元素多1个， 则n [P （A ）]＝2×n [P （B ）]．⑤正确， 故选：C ． 【点睛】本题考查集合的子集关系，集合的基本运算，新定义的理解与应用．7．D解析：D 【分析】A ．考虑方程有解的情况；B ．根据抽象函数定义域求解方法进行分析；C ．根据二次函数的取值情况分析函数值域；D ．根据定义采用列举法进行分析. 【详解】①由∅ 2{|40}x x x a ++=可得²40x x a ++=有解，即2440a ∆=-，解得4a ≤，故①正确；②函数()1y f x =+的定义域为[)2,1-，则21x，故112x -≤+<，故()y f x =的定义域为[)1,2-，故②错误；③函数21y ==[)1,+∞，故(]2,1y =--∞，故③正确；④集合{}1,2,3,4,5,6A ⊆且A 为6的“闭集”，则这样的集合A 共有{}3，{}1,5，{}2,4，{}1,3,5，{}2,4,6，{}1,2,4,5，{}1,2,3,4,5共7个，故④正确．故正确的有①③④． 故选：D ．本题考查命题真假的判定，考查集合之间的包含关系，考查函数的定义域与值域，考查集合的新定义，属于中档题．8．C解析：C 【分析】由集合描述求集合,A B ，结合韦恩图知阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，分别求出()U C A B 、()A B ⋃，然后求交集即可.【详解】(){}20{|20}A x x x x x =+<=-<<，{}1{|11}B x x x x =≤=-≤≤，由图知：阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，而{|10}A B x x ⋂=-≤<，{|21}A B x x ⋃=-<≤，∴(){|1U C A B x x ⋂=<-或0}x ≥，即()(){|21U C A B A B x x ⋂⋂⋃=-<<-或01}x ≤≤，故选：C 【点睛】本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.9．A解析：A 【解析】 【分析】先确定集合M,N,再根据M N ⋂=∅确定实数a 的值. 【详解】由题得集合M 表示(32)3y x -=-上除去(2)3，的点集，N 表示恒过(10)-，的直线方程． 根据两集合的交集为空集：M N ⋂=∅.①两直线不平行，则有直线20ax y a ++=过(2)3，，将2x =，代入可得2a =-， ②两直线平行，则有32a-=即6a =-， 综上6a =-或2-， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查集合的化简和集合的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10．C解析：C 【解析】|x-a|<1,∴a-1<x<a+1,∵A∩B=∅. ∴a-1≥5或a+1≤1,即a≤0或a≥6.故选C.11．D解析：D 【分析】含有3个元素的集合{},,a b c 共有子集个数328=，含有2个元素的子集有3个，根据古典概型即可计算. 【详解】因为含有3个元素的集合{},,a b c 共有子集个数328=，含有2个元素的子集有3个， 所以38P =,故选D. 【点睛】本题主要考查了集合子集的概念，古典概型，属于中档题.12．D解析：D 【分析】首先求得集合B ，然后进行交集运算即可. 【详解】由题意可得：{}1,3,5,7,9B =，则{}1,3A B =.故选D . 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题13．【分析】先求出和再计算【详解】由已知则∴故答案为：【点睛】本题考查集合的新定义解题关键是理解新定义运算把新运算转化为集合的运算 解析：[3,1)(3,)--+∞【分析】先求出A B -和B A -，再计算A B ∆ 【详解】由已知{|1}A y y =≥-，则{|3}(3,)A B y y -=>=+∞，{|31}[3,1)B A y y -=-≤<-=--，∴()()[3,1)(3,)A B A B B A ∆=--=--+∞， 故答案为：[3,1)(3,)--+∞【点睛】本题考查集合的新定义，解题关键是理解新定义运算，把新运算转化为集合的运算．14．【分析】计算得到根据得到得到答案【详解】则或即故故故答案为：【点睛】本题考查了不等式的解集根据集合的运算结果求参数意在考查学生的综合应用能力 解析：2【分析】计算得到()()2,11,B =--+∞，根据()(]213A B A B =-+∞=，，，∪∩得到[]1,3A =-，得到答案.【详解】()()2101x x x ++>-，则1x >或21x -<<-，即()()2,11,B =--+∞.()(]213A B A B =-+∞=，，，∪∩，故[]1,3A =-，故2m n +=. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了不等式的解集，根据集合的运算结果求参数，意在考查学生的综合应用能力.15．【解析】【分析】求出中不等式的解集确定出找出与的交集即可【详解】解：∵∴解得∴∵∴故答案为：【点睛】此题考查了交集及其运算熟练掌握交集的定义是解本题的关键 解析：()2,5【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，找出A 与B 的交集即可． 【详解】解：∵()2log 12x -<，∴1014x x ->⎧⎨-<⎩，解得15x <<，∴()1,5A =，∵2{|}()626B x x =<<=，，∴()2,5A B =，故答案为：()2,5. 【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．16．8【分析】由条件可得：当则即则即但元素3与集合的关系不确定3属于时6属于的补集；3属于的补集时6属于；而元素5没有限制【详解】由①；②若则；③若则当则即则即但元素3与集合的关系不确定3属于时6属于的解析：8 【分析】由条件可得：当1A ∈，则2A ∉，即2UA ∈，则4U A ∉，即4A ∈，但元素3与集合A的关系不确定，3属于A 时，6属于A 的补集；3属于A 的补集时，6属于A ；而元素5没有限制． 【详解】由①A U ⊆；②若x A ∈，则2x A ∉；③若Ux A ∈，则2Ux A ∉．当1A ∈，则2A ∉，即2UA ∈，则4U A ∉，即4A ∈，但元素3与集合A 的关系不确定，3属于A 时，6属于A 的补集；3属于A 的补集时，6属于A ； 而元素5没有限制．{1,4,6},{2,3,5},{2,3},{1,4,5,6},{1,3,4},{2,4,5},{2,A ∴=6},{1,3,4,5}，同时满足条件①②③的集合A 的个数为8个． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了集合的运算性质、元素与集合的关系，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．17．【分析】根据题意分别讨论的取值通过讨论计算的可能取值即可得出答案【详解】而的第个子集包含此时的第个子集包含此时的第个子集包含此时的第个子集包含此时的第个子集包含的第个子集是故答案为：【点睛】本题主要 解析：{}12578,,,,a a a a a【分析】根据题意，分别讨论2n 的取值，通过讨论计算n 的可能取值，即可得出答案. 【详解】72128211=<，而82256211=>，E ∴的第211个子集包含8a ，此时21112883-=，626483=<，7212883=>，E ∴的第211个子集包含7a ，此时836419-=，421619=<，523219=>，E ∴的第211个子集包含5a ，此时19163-=，1223=<，2243=>，E ∴的第211个子集包含2a ，此时321-=，021=E ∴的第211个子集包含1a ，E ∴的第211个子集是{}12578,,,,a a a a a .故答案为：{}12578,,,,a a a a a本题主要考查了与集合有关的信息题，理解条件的定义是解决本题的关键.18．【分析】先解分式不等式确定集合A 再求补集即可【详解】则故答案为：【点睛】本题考查补集运算准确求得集合A 是关键是基础题解析：[0,1)【分析】先解分式不等式确定集合A,再求补集即可【详解】()1|1=,0[1,)A x x ⎧⎫=≤-∞⋃+∞⎨⎬⎩⎭，则[0,1)U A故答案为：[0,1)【点睛】 本题考查补集运算，准确求得集合A 是关键，是基础题19．或【分析】分情况讨论:当时和当时两种情况;当时由即可求出答案分类讨论最后把的范围合并即可【详解】若则集合符合题意；若则解得故答案为：或【点睛】本题考查集合中元素个数问题;分类讨论和两种情况是求解本题 解析：98a ≥或0a = 【分析】分情况讨论:当0a =时和当0a ≠时两种情况;当0a ≠时由0∆≤即可求出答案.分类讨论最后把a 的范围合并即可.【详解】若0a =，则集合2{|320}3A x x ⎧⎫=+==-⎨⎬⎩⎭，符合题意；若0a ≠，则980a ∆=-≤，解得98a ≥． 故答案为：98a ≥或0a =． 【点睛】本题考查集合中元素个数问题;分类讨论0a =和0a ≠两种情况是求解本题关键; 0a =时易忽略;属于中档题，易错题. 20．①③④【分析】对各个选项分别进行分析利用类的定义直接求解【详解】在①中∵2014÷5＝402…4∴2014∈4故①正确；在②中∵﹣3＝5×（﹣1）+2∴﹣3∉3故②错误；在③中∵整数集中的数被5除的解析：①③④【分析】对各个选项分别进行分析，利用类的定义直接求解．在①中，∵2014÷5＝402…4，∴2014∈[4]，故①正确；在②中，∵﹣3＝5×（﹣1）+2，∴﹣3∉[3]，故②错误；在③中，∵整数集中的数被5除的数可以且只可以分成五类，∴Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，故③正确；在④中，∵2015÷5＝403，2010÷5＝402，∴2015与2010属于同一个“类”[0]，故④正确．故答案为①③④．【点睛】本题为同余的性质的考查，具有一定的创新，关键是对题中“类”的题解，属基础题．三、解答题21．（1）{}2A B x x ⋃=≥, (){}6R C A B x x x ⋂=或(2) ()(),210,-∞-⋃+∞【分析】（1）先求出集合B ，于是可得A B ⋃和A B ⋂，进而得到()R C A B ⋂；（2）先求出R C M ，再将R A C M ⊆转化为不等式求解，可得所求范围．【详解】（1）∵{}{}37823B x x x x x =-≥-=≥， ∴{}2A B x x ⋃=≥，{}36A B x x ⋂=≤≤，∴(){}3,6R C A B x x x ⋂=或． (2)由题意知M φ≠，且{}4,4R C M x x a x a =-+或. ∵{}26A x x =≤≤，R A C M ⊆，∴46a ->或42a +<，解得10a >或2a <-.故实数a 的取值范围为()(),210,-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查集合的基本运算，解题时根据要求逐步求解即可，其中解答（2）的关键是将集合间的包含关系转化为不等式来求解，容易出现的错误是忽视不等式中的等号能否成立． 22．答案见解析.【分析】选①：本题首先可根据A 是非空集合得出4a <，然后根据A B =∅得出3a ≥或82a -≤-，最后通过计算即可得出结果. 选②：本题首先可以根据A 是非空集合得出4a <，然后根据{}R35B x x =-<<求出集合B ，最后根据A B =∅列出不等式组，通过计算即可得出结果.选③：本题首先可以根据A 是非空集合得出4a <，然后根据题意得出268a a +=-，最后通过计算即可得出结果.【详解】选①：因为A 是非空集合，所以8a a ->，解得4a <， 因为{}23B x x =-<<，A B =∅，所以3a ≥或82a -≤-，解得3a ≥或10a ≥，综上所述，a 的取值集合是{}34a a ≤<.选②：因为A 是非空集合，所以8a a ->，解得4a <， 因为{}R 35B x x =-<<，所以{3B x x =≤-或}5x ≥，因为A B =∅，所以3854a a a ≥-⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，解得34a ≤<，故a 的取值集合是{}34a a ≤<.选③：因为A 是非空集合，所以8a a ->，解得4a <，因为A B =∅，{}26B x x a =≥+，{}A B x x a ⋃=>，所以268a a +=-，解得2a =-或1，故a 的取值集合是{}2,1-．【点睛】关键点点睛：本题考查根据集合的运算结果求参数的取值范围，若两个集合的交集为空集，则这两个集合没有相同的元素，考查集合的混合运算，考查计算能力，是中档题. 23．（1）12-；（2）答案见解析. 【分析】(1)首先求出集合A 、B ，再根据并集的结果得到方程，解得即可；（2）若选①，则A B ，若选②，B A ，若选③，A B =，得到不等式组，解得即可；【详解】解:（1）对()()2:23013013A x x x x x --≤⇒+-≤⇒-≤≤ 即{}13A x x =-≤≤对()()22:210110B x mx m x m x m -+-≤⇔--⋅-+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 11m x m ⇒-≤≤+，即{}11B x m x m =-≤≤+332A B x x ⎧⎫⋃=-≤≤⎨⎬⎩⎭，则312m -=-，即12m =- 经检验满足题意.（2）选①，1131m A B m -≤-⎧⇒⎨≤+⎩，此时m 必无解.即不存在实数m ，使得题意成立 选②，110213m B A m m -≤-⎧⇒⇒≤≤⎨+≤⎩ 选③，1113m A B m -=-⎧=⇒⇒⎨+=⎩此时m 无解，即不存在实数m ，使得题意成立； 【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，并集的结果求参数的值，以及集合的包含关系求参数的取值范围，属于中档题.24．(1) a ＝2；(2) a ＝2【详解】解：(1)由题意得B ＝{x|x≥3或x≤1}，由A∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，可知A ＝∁R B ＝(1,3)∴⇒a ＝2-(2)∵B ＝{x|x≥3或x≤1}，∴：x ∈{x|1＜x ＜3}．∵是p 的必要条件．即p ⇒， ∴A ⊆∁R B ＝(1,3) ∴⇒2≤a≤2⇒a ＝2. 本试题主要考查了命题的真值，以及集合的运算的综合运用，以及二次不等式的求解问题．25．(1)m=4;(2) m ＞6，或m ＜﹣4.【解析】试题分析：（1）化简A=x|﹣1≤x≤3}，B=x|m ﹣3≤x≤m+3}，由A∩B=[1，3]，得到：m=4；（2）若p 是¬q 的充分条件,即A ⊆C R B ，易得：m ＞6，或m ＜﹣4． 试题由已知得：A=x|﹣1≤x≤3}，B=x|m ﹣3≤x≤m+3}．（1）∵A∩B=[1，3]∴ ∴， ∴m=4；（2）∵p 是¬q 的充分条件，∴A ⊆C R B ，而C R B=x|x ＜m ﹣3，或x ＞m+3}∴m ﹣3＞3，或m+3＜﹣1，∴m ＞6，或m ＜﹣4．26．（1）见解析；（2）3(,2)2-【分析】（1）先解不等式得集合A ，再分别求并集、补集、交集，根据结果进行验证； （2）结合数轴先求AB =∅情况，再根据补集得结果.【详解】 解：A ={2211}x x -≤-≤=1{|1}2x x -≤≤． （1）当1a =时，B ={02}x x <<∴A B =1{|1}2x x -≤≤{02}x x <<=1{|2}2x x -≤< ()R C A B =1{|2x x <-或2}x ≥ 又R C A =1{|2x x <-或1}x >，R C B ={|0x x ≤或2}x ≥ ∴()()R R C A C B =1{|2x x <-或2}x ≥ ∴()R C A B =()()R R C A C B ． （2）若AB =∅，则：112a +≤-或11a -≥ ∴32a ≤-或2a ≥ ∴A B ⋂≠∅时，322a -<<，即实数a 的取值范围3(,2)2-． 【点睛】 本题考查集合交并补运算以及根据交集结果求参数，考查综合分析求解能力，属基础题.。
(易错题)高中数学选修三第一单元《计数原理》测试(包含答案解析)(3)
解析：D
【解析】
因为 ，所以 或 ，所以 或
，选D.
二、填空题
13．240【分析】首先利用约束条件得到可行域结合的几何意义求出其最大值然后对二项式的通项求常数项【详解】作出可行域如图：由变形为当此直线经过图中时直线在轴的截距最大最大所以的最大值为所以二项展开式中的通
解析：240
【分析】
首先利用约束条件得到可行域，结合 的几何意义求出其最大值，然后对二项式的通项求常数项．
(2) A有两座桥相连时，有C-A-B-D，D-A-B-C，D-A-C-B，B-A-C-D，
B-A-D-C，C-A-D-B共6种；
故共有12种.
故选：B
【点睛】
本题考查了分类计数原理的应用，考查了学生分析理解，逻辑推理的能力，属于中档题.
6．A
解析：A
【分析】
分两类解决，第一类：若开启3号，然后对2号和4号开启其中一个即可判断出1号和5号情况，第二类：若关闭3号，关闭2号关闭4号，对1号进行讨论，即可判断5号,由此可计算出结果.
【详解】
的展开式
取 得到
二项式系数之和为
取 值为-250
故答案选A
【点睛】
本题考查了二项式定理，计算出 的值是解题的关键.
11．C
解析：C
【分析】
由二项式定理展开项可得 ，再 利用基本不等式可得结果.
【详解】
二项式 的展开式的通项为
当 时，二次项系数为
而定积分
当且仅当 时取等号
故选C
【点睛】
本题考查了二项式定理，定积分和基本不等式综合，熟悉每一个知识点是解题的关键，属于中档题.
1．D
解析：D
【分析】
先把5名同学分成 组，有 两种情况，再将他们分配下去即可求出．
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高中数学易错题一．选择题（共6小题）2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）C D．3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是C D．4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）．C D．5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（）6．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是_________．8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=_________．9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是_________．10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是_________．11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为_________．12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为_________．13．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是_________．14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为_________．15．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为_________．16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=_________．三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD的面积最大，并求出最大值．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．高中数学易错题参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）=y==•时，2．在△ABC中，边AB=，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（）C D．==3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围是C D．CD==，；4．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线的左支上，则等于（）．C D．利用正弦定理以及双曲线的定义化简==；5．（2009•闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的方程是（），且与向量平行的直线的斜率为﹣（6．（2011•江西模拟）下面命题：①当x＞0时，的最小值为2；②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．由于基本不等式等号成立的条件不具备，故的图象向右平移﹣∵2时，﹣13=的图象向右平移﹣﹣（）的图象，故③二．填空题（共10小题）7．Rt△ABC中，AB为斜边，•=9，S△ABC=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边AB，BC，AC的距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是[，4]．范围转化为∵∴[8．（2011•武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值=4．+=3S=22=3∴++=39．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程的两个根，且，则c边的长是．解：∵cosC==是方程a+b=2，c==故答案为：10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是．为正三角形的外接圆，如图满足满足题意，由图可知红故答案为：11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为2．DG=12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为300，则△ABC的面积为1或．22cosB===；=故答案为：213．△ABC中，AB=AC，，则cosA的值是．﹣14．（2010•湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z 所满足的关系式为x+y+z=3．ax+ay+az=ah215．（2013•东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，AC=2，则AD的长为．AD=故答案为：16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b=．表示出ab=a=b=故答案为：三．解答题（共12小题）17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边形ABCD 的面积最大，并求出最大值．S=（）﹣a sinC=C=有最大值．18．（2010•福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．（1）求sinC；（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．）由题意，，∴，∴19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a2﹣（b﹣c）2和sinB+sinC=（a，b，c为角A，B，C所对的边）（1）求sinA；（2）求△ABC面积的最大值．）由三角形的面积公式，结合余弦定理求出sinA=．）利用）得进而有）∵，∴即=20．（2010•东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已知b2+c2﹣a2=bc．（1）求角A的大小；（2）若sin2B+sin2C=2sin2A，且a=1，求△ABC的面积．=21．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样的）求：（1）路灯的高度．（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？⇒m路灯下的身影长为m22．（2008•徐汇区二模）在△ABC中，已知．（1）求AB；（2）求△ABC的面积．）根据三角形的面积公式，∴∴．）因为=sinBcosC+cosBsinC=故所求面积23．在△ABC中，已知．（1）求出角C和A；（2）求△ABC的面积S；）∵S=S=bcsinA=S=bcsinA=．24．（2007•上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半径．（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB的长；（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a2+b2＜4R2；（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．）由正弦定理知==2R°==b=2∵；＜c=sinA=sinB=时，25．（2010•郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣c，cosC），=（a，cosA），且∥．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求2cos2B+sin（A﹣2B）的最小值．）根据∥和两向量的坐标可求得）由∴∴）解：∵26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知，．（1）求∠A；（2）求△ABC的面积S．=化简可求代入可求）代入三角形的面积公式）∵∵∴cosA==∴；=27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．，利用B=以及，又B=，由B==，取最大值28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量，，且．（1）求∠C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．）∵∴，由正弦定理得：∴，∴．。