固体物理第二章4
固体物理 课后习题解答(黄昆版)第二章
黄昆 固体物理 习题解答第二章 晶体的结合2.1 证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为α = 2 2n解：设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号），用 r 表示相邻离子间的距离，于是有α= ∑ ′ ( 1)=2[1 1 1 1 −+−+ ...]r jr ijr 2r 3r 4r前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离 的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，i1 1 1故对一边求和后要乘 2，马德隆常数为234α = 2[1− + − + ...] 2 3 4xx xQl n(1 + x ) = −x + − + ... 当 x=1 时，有12 3 4 1 1 1...− + − + = l n2∴ =α 2 2n2 3 42.2 讨论使离子电荷加倍所引起的对 Nacl 晶格常数及结合能的影响（排斥势看作不变）α2e C解： u r ( )= −α2+rrnα2nC1du e nCenC 由| =−= 0 解得=+r e−1 r2n +12n 1( ) (=2)ndrrrrr 0nC11α e于是当 e 变为 2e 时，有 r−1= 4 −1 r e( )(2 ) (=2)nn= − α214α e结合能为 u r( )e (1−) 当 e 变为 2e 时，有4α e 2r0 1nnu e(2 )= −r (2 ) (1 −) = u e( ) 4 −n 1nu r( )= − α+βm n 2.3 若一晶体两个离子之间的相互作用能可以表示为计算: 1) 平衡间距r0解答（初稿）作者季正华- 1 -r r黄昆固体物理习题解答2) 结合能W（单个原子的）3) 体弹性模量4) 若取m = 2, n = 10, r= 0.3 , = 4 eV计算αβ, 的值解：1) 平衡间距r0的计算NαβdU= mαnβU r ( ) = (−+m n) dr0 −r m+1 + r n+1 = 0晶体内能nβ 12 r r平衡条件r r0 即0 0r0= ( )n m所以mα2) 单个原子的结合能W = −1u( )r u r( ) (0= −α+βm n) r nβ 1r r0=( ) n m2 0β−m r r0 αmW = 1 α(1−)( )m n n m2 n mα3）体弹性模量K = ∂2U(2)V⋅V0∂V0晶体的体积V = NAr3—— A 为常数，N 为原胞数目NαβU r ( ) = (−+m n)晶体内能∂=α2nβr rU∂U r∂N m− 1∂V ∂∂r V= 2 ( r m+1 r n+1 ) NAr23∂2 = ∂∂mαnβU N r[( −) 1 ]∂V 2 2 ∂∂V r rm+1 r n+1 3 N Ar2∂2U∂2UN1[2αmn2βmαnβK = (2)V⋅V0 ∂V2= 2 9V2−r m+ r n−r m+ r n]体弹性模量由平衡条件∂U∂V=N mα−V Vnβ 1= 00 0 0 0∂V 2 ( r m+1 r n+1 ) 3NAr2V V0解答（初稿）作者季正华0 0 0- 2 -α=n β∂2UN黄昆 固体物理 习题解答m 2αn 2βm r 0mr 0n ∂V 2V V=1[− 2 9V 02r 0m + r 0n ]体弹性模量 K= ∂2U(2)V⋅V 0∂2U=mn(−U )∂ V∂ V2 V V 9V 2mn K = U 0V 904）若取 m =β12, n = 10, r 0=0.3 ,= 4 eVβ−m计算 α β,的值r = n( ) −n mW = 1 α (1− )( )m n n mαm2 αn mβ =Wr 10α = r 2β+W 2[r 102 ]β =1.2 ×10-95eV ⋅m 103α =−7.5 ×1019eV ⋅ m 22.4 经过 sp 杂化后形成的共价键，其方向沿着立方体的四条对角线 的方向，求共价键之间的夹角。
固体物理学第二章
k : 简约波矢；n：能带标记
在每一个布里渊区中给出所有能带。 周期布里渊区图象：
由于认为 k 与 k G 等价，因此可以认为 En k 是以倒格 矢 G 为周期的周期函数，即对于同一能带n，有
En k En k G
E (k ) E (k kh )
En(k)函数的三种图象:
扩展布里渊区图象： 不同的能带在k空间中不同的布
里渊区中给出。每一个布里渊区
有中一个能带，第n个能带在第n 个布里渊区中。
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
简约布里渊区图象： 所有能带都在简约区中给出。
Ⅲ
Ⅱ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
电子能量： En k
要使波函数有异于零的非平凡解，需
1 iK eiKa iKeiKa 1 iK eiKa iKe iKa 1 F eik ( a b ) e Fb eik ( a b ) e Fb F 1 F eik ( a b ) e Fb eik ( a b ) e Fb F 0
原子能级与能带的对应
对于原子的内层电子，其电子 轨道很小，因而形成的能 带较窄。这时，原子能级与能带之间有简单的一一对应关
系。 对于外层电子，由于其电子轨道较大，形成的能带就较宽。
这时，原子能级与能带之间比较复杂，不一定有简单的一一 对应关系。一个能带不一定与孤立原子的某个能级相对应， 可能会出现能带的重叠。
所对应的平移算符本征值相同。
i k a 对于 k ： e
对于 k k G n
' e i k a
：
e
i k a
固体物理-第二章
本
如H2、N2、O2在低温时可以变成固体，室温下它们都是以气态分
特
子形式存在的，也就是说，室温的热能已足够破坏分子之间的结
点
合力，但分子内的结合力是很牢固的。这种分子间的力实际上是 范德瓦尔斯力，分子内的力就是共价键力，由于电子对键的客观
限制，使得H2、N2、O2只能以低配位的形式存在。
➢ 固态：存在一些相对高配位的共价键晶体结构，即整个晶体是靠 共价键力结合起来的，例如：金刚石的结构。
➢共价键与共价晶体
金刚石
典
➢ 和闪锌矿的结构有点类似：几何结构上两者的构型
型
完全相同（四配位），只是闪锌矿由S2-和Zn2+两种
的
离子组成，金刚石则全都是碳原子。
纯
共
价
键
晶
体
➢共价键与共价晶体
金刚石
典
型
➢ 两者存在本质差别：结合力不同。
的
✓ 闪锌矿是一种典型的离子晶体，同其它AB型离子结构一
纯
样，是由于S2-和Zn2+两种离子的相对大小恰好合适，使 得相等数目的阴、阳离子成为六方密堆积，即大个的阴
1 k
V
P V
T
V
2U
V
2
V
应 用
在T=0K时（忽略原子振动的影响），晶体平衡体积为V0，则：
2U
K
V0
V 2
V V0
➢原子间相互作用能
抗张强度的计算
抗张强度Pm：晶体所能承受的最大引力
结
合
当晶体所受张力处于r=rm处时，有效引力最大，此时张力
氢键与氢键晶体
离子晶体的结合力与结合能混合键与混合键晶体
固体物理课件2.4-2.6
机动
目录
上页
下页
返回
结束
晶体结构与离子半径的关系
机动 目录 上页 下页 返回 结束
离子晶体结合力 —— 库仑吸引力作用 —— 排斥力_靠近到一定程度，由于泡利不相容原理，两个 离子的闭合壳层电子云的交迭产生强大的排斥力 —— 排斥力和吸引力相互平衡时，形成稳定的离子晶体 正、负离子形成离子晶体时应遵循下面的原则： 一种离子的最近邻离子为异性离子 离子晶体的配位数越大越好（最多只能是8） 离子晶体结合的稳定性 —— 导电性能差、熔点高、 硬度高和膨胀系数小
§2.5 共价结合
共价结合是靠两个原子各贡献一个电子 —— 形成共价键 IV 族元素C、Si、Ge、Sn (灰锡)等，属金刚石结构 共价键的现代理论 —— 以氢分子的量子理论为基础 —— 两个氢原子A和B，在自由状态下时，各有一个电子 —— 成键态上可以填充两个自旋相反的电子，使体系的能 量下降，意味着有相互吸引的作用
机动 目录 上页 下页 返回 结束
氯化钠型 —— NaCl、KCl、AgBr、PbS、MgO (配位数6) 氯化铯型 —— CsCl、 TlBr、 TlI（配位数8）
机动
目录
上页
下页
返回
结束
离子结合成分较大的半导体材料ZnS等（配位数4）
机动
目录
上页
下页
返回
结束
机动
目录
上页
下页
返回
结束
几种常见的晶体晶格的马德隆常数 离子晶体 马德隆常数 NaCl 1.748 CsCl 1.763 ZnS 1.638
机动 目录 上页 下页 返回 结束
h
金刚石共价键的 基态由2s和2p波 函数的组合构成
固体物理学课件第二章
2.1 晶体结合的普遍特征
（5）当两个原子相距无限远时,
互作用势趋於零。粒子从远处
U(r)
靠近，互作用能降低，在r = r0
r0 rm
rHale Waihona Puke O处达极小值。随着r的进一步降
低，排斥作用加强，互作用势
f(r)
上升。
r
O
2.1 晶体结合的普遍特征
（6）当r = r0时， f(r0) = 0，粒
子间的吸引力和排斥力大小相
2.1.1 结合力的普遍性质
U(r)
（1）晶体的结合由于粒子间吸
引、排斥力达到平衡，形成稳
r0 rm
r
O
定的晶体。这种互作用力又称
为键力。两个原子间的相互作
f(r)
用势能U(r)和相互作用力f(r)随
原子间距的变化规律如图所示
r
O
2.1 晶体结合的普遍特征
（2）两粒子间的互作用势由吸
引势和排斥势构成:
排斥势可表示为：
uR (r)
b rn
f(r)
b是晶格参量，n是玻恩指数，
r
都是实验确定的常数
O
2.1 晶体结合的普遍特征
（4）两粒子间的互作用势可写
为： u(r)ramrbn
U(r)
r0 rm
r
O
与之对应，两粒子间的互作用
力可表示为：
f(r)
f (r) u(r) r
r
O
am bn r m1 r n1
2.1 晶体结合的普遍特征
(1)离子晶体： 通过正、负离子之间的静电库仑力作用结合。 (2)共价晶体：通过相邻原子间因共用电子对而形成的共价键
结合而成的。 (3)金属晶体：组成金属的原子失去最外层价电子被所有原子
固体物理学_答案(黄昆 原著 韩汝琦改编)
《固体物理学》习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章 晶体结构1.1、解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构。
因此，可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。
这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点阵排列堆积起来的。
它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n 和小球体积V 所得到的小球总体积nV 与晶体原胞体积Vc 之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx = （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r ， V=3r 34π，Vc=a 3，n=1 ∴52.06r 8r34a r 34x 3333=π=π=π= （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x 334a r 4a 3=⇒= n=2, Vc=a 3∴68.083)r 334(r 342a r 342x 3333≈π=π⨯=π⨯=（3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r 22a ,r 4a 2=⇒= n=4，Vc=a 374.062)r 22(r 344a r 344x 3333≈π=π⨯=π⨯= （4）对于六角密排：a=2r 晶胞面积：S=6260sin a a 6S ABO ⨯⨯=⨯∆=2a 233 晶胞的体积：V=332r 224a 23a 38a 233C S ==⨯=⨯ n=1232126112+⨯+⨯=6个 74.062r224r346x 33≈π=π⨯= （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG=3r 8a r 24a 3=⇒⨯= n=8, Vc=a 334.063r 338r 348a r 348x 33333≈π=π⨯=π⨯=1.2、试证：六方密排堆积结构中633.1)38(a c 2/1≈= 证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A 、B 、O 的中心联线形成一个边长a=2r 的正三角形，第二层硬球N 位于球ABO 所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R.即图中NABO 构成一个正四面体。
固体物理 第二章 结合能
固体物理第二章 23
固体物理第二章
17
固体物理第二章
18
3
典型的共价键是氢分子的共价键，两个氢原子 的价电子，围绕着两个氢原子核运动，形成 电子云。在两个氢核之间，为两个氢核所共 有。实际上，共价键的现代理论正是由氢分 子的量子理论开始的。 设想有原子A 和 B ，它们表示互为近邻的一对 原子。当它们是自由原子时，各有一个价电 子，归一化的波函数分别用 A 、 B 表示，即：
这一四体问题迄今还不能严格求解，需作近 似处理，常用的比较成功的做法是分子轨道 法 (Molecular Orbital Method) 。忽略电子 - 电 子间相互作用，且假定 ： (r1 , r2 ) 1 (r ) 2 (r )
固体物理第二章 20
2 2 2 2 1 2 VA1 VA 2 VB1 VB 2 V12 2m 2m
* H dr
* H aa * A H A dr B H B dr 0
* H ab * A H B dr B H A dr 0
* dr
2 2C ( H aa H ab )
+态波函数是对称的，可填充两个自旋相反的电子， +态的能量亦低于自由氢原子1s态的能量。较多出现
固体物理第二章 3
2-1 结合力的普遍性质与结合能
研究组成晶体的原子结构和它们之间的结合力与结 合力的性质，是固体物理中最基本、最重要的问题 之一。 不同的晶体具有不同的结合力类型，但它们的结合力 在定性上具有共同的普遍性质。 在晶体中，粒子的相互作用可分为吸引作用和排斥作 用两类。当粒子间距离较远时(大于几个A)，吸引作 用为主；当距离较近时 ( 小于平均粒子间距)，排斥 作用为主；当距离适当时，二者相等，相互抵消， 使晶体中的粒子处于平衡状态。 首先研究处于基态的两个相同的原子由相距无穷远处 移到一起时能量和结合能变化的情形。
2-4固体物理第二章
5 2
=
75ε
σ3
由于 l1 , l2 , l2 − l1 << r
q 2 l1l 2 p1 p 2 u12 ≈ − =− 3 2πε 0 r 2πε 0 r 3
在温度很高时，由于热运动，极性分子的平均 相互吸引势与 r 6 成反比，与温度T成反比 相互吸引势 反比
二、极性分子与非极性分子晶体的结合能
在偶极子轴线延长线上的电场为 电场
玻尔兹曼统计分布理论温度很低eukbt1?e?uktuktee00?bb?0一对分子间的互作用势能abur?612rr若令?b????a?61a4b2可得???12??6?ur4????????r?????r??雷纳德琼斯势平衡间距112平衡点的雷纳德琼斯势系统相互作用势能???n??u?4?rj2j????????????????????????rj????126若令rjajr6???12???可得ur2n?a12???a6????r?????r??11其中a12a12a6a6jjjja6a12简立方840620体心立方1225911面心立方14451213立方晶系结构的a6和a12根据平衡条件可以求得平衡时的原子间距为?2a12?r0???a6?16平衡时晶体总的相互作用势能u0u0?a262a12n?86n对于面心立方简单格子的分子晶体平衡间距r0109平衡时体积弹性模量4a12?a6?k3??a12????52753
面心立方 14.45 12.13
立方晶系结构的A6 和 A12
根据平衡条件，可以求得平衡时的原子间距为 平衡时 原子间距
⎛ 2A12 ⎞ R0 = σ ⎜ ⎟ A6 ⎠ ⎝
1 6
平衡时晶体总的相互作用势能U0
固体物理第二章答案
第21. 有一晶体,平衡时体积为 0V ， 原子间相互作用势为0.如果相距为 r 的两原子互作用势为 ()n m r r a r u β+-= 证明(1) 体积弹性模量为 K=.90V mnU (2) 求出体心立方结构惰性分子的体积弹性模量.[解答]设晶体共含有 N 个原子,则总能量为U(r)=()∑∑i jij r u '21. 由于晶体表面层的原子数目与晶体内原子数目相比小得多,因此可忽略它们之间的基异,于是上式简化为 U=().2'∑jijr u N设最近邻原子间的距离为R 则有j ij a r =R再令 A ,1'∑=j m j m a A ,1'∑=jn j n a 得到 U=.200⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n m m R A R A N βα 平衡时R=R 0,则由已知条件U(R 0) = 0U 得0002U R A R A N n n m m =⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-βα 由平衡条件 0)(0=R dRR dU得021010=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++n nm m R A n R A m N βα. 由(1),(2)两式可解得.)(2,)(20000n n m m nR n m N U A nR n m N U A -=-=βα利用体积弹性模量公式[参见《固体物理教程》(2.14)式]K=0220209R R U V R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂得K= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-n n m m R A n n R A m m N V 000)1()1(291βα = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-)(2)1()(2)1(2910000000n m N mR U R n n n m N nR U R m m N V nnm m = .900V mn U - 由于,00<U 因此,00U U -= 于是 K= .90V mnU (1) 由《固体物理教程》(2.18)式可知,一对惰性气体分子的互作用能为.)(126r B r A r u +-=若令 61,42⎪⎭⎫⎝⎛==A B B A σε,则N 个惰性气体分子的互作用势能可表示为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=6612122)(R A R A N r U σσε.由平衡条件0)(0=R dRR dU 可得 R .2616120⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A σ进一步得 .2)(122600A A N R U U ε-==代入K=.900V mn U 并取 m =6，n =12，V 300334R N =得 K=5126123233⎪⎪⎭⎫⎝⎛A A A σε.对体心立方晶体有 A .11.9,25.12126==A 于是.1.703σε=K 2. 一维原子链,正负离子间距为a ,试证:马德隆常数为2=μ1n2. [解答] 相距ij r 的两个离子间的互作用势能可表示成.4)(2n ijij ij r br q r u +=πμ设最近邻原子间的距离为R 则有 R a r j ij =, 则总的离子间的互作用势能 U=()∑∑∑-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±-=jn jn j j j ij a bRa R q N r u N ''0'114[22πε. 基中 jja 1'±=∑μ 为离子晶格的马德隆常数,式中+;- 号分别对应于与参考离子相异和相同的离子.任选一正离子作为参考离子,在求和中对负离子到正号,对正离子取负号,考虑到对一维离子两边的离子是正负对称分布的,则有.413121112)1('⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=±=∑Λj ja μ利用正面的展开式 1n(1+x ),432432Λ+-+-x x x x 并令 1=x 得Λ+-+-41312111=1n(1+1)=1n2.于是,一维离子链的马德常数为2=μ1n23. 计算面心立方面简单格子的6A 和12A(1) 只计最近邻; (2) 计算到次近邻; (3) 计算到次近邻.[解答]图2.26示出了面心立方简单格子的一个晶胞.角顶O 原子周围有8个这样的晶胞,标号为1的原子是原子O 的最近邻标号为2的原子是O 原子的最近邻,标号为3的原子是O 原子的次次近邻.由此得到,面心立方简单格子任一原子有12个最近邻,6个次近邻及24个次次近邻.以最近邻距离度量,其距离分别为:.3,2,1===j j j a a a 由 .1,112'126'6⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑jj j j a A a A图2.6 面心立方晶胞得(1) 只计最近邻时1211*12)1(66=⎪⎭⎫⎝⎛=A ， 1211*12)1(1212\=⎪⎭⎫⎝⎛=A .(2) 计算到次近邻时.094.1221*611*12)2(,750.1221*611*12)2(121212666=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛==⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=A A(3) 计算到次次近邻时.127.12033.0094.1231*2421*611*12)3(,639.13899.0750.1231*2421*611*12)3(121212126666=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛==+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛=A A 由以上可以看出,由于12A中的幂指数较大,12A 收敛得很快,而6A 中的幂指数较小,因此 6A 收敛得较慢,通常所采用的面心立方简单格子的 6A 和 12A 的数值分别是14.45与12.13.4. 用埃夫琴方法计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数. [解答]马德隆常数的定义式为 jja 1'±=∑μ,式中+、-号分别对应于与参考离子相异和相同的离子,二维正方离子(正负两种)格子,实际是一个面心正方格子,图 2.7示出了一个埃夫琴晶胞.设参考离子O 为正离子,位于边棱中点的离子为负离子,它们对晶胞的贡献为4*(1/2).对参考离子库仑能的贡献为图2.7二维正方离子晶格.121*4顶角上的离子为正离子,它们对晶胞的贡献为4*(1/4), 对参考离子库仑能的贡献为 .241*4-因此通过一个埃夫琴晶胞算出的马德隆常数为 .293.1241*4121*4=-=ν再选取422=个埃夫琴晶胞作为考虑对象,这时离子O 的最的邻,次近邻均在所考虑的范围内,它们对库仑能的贡献为,2414-而边棱上的离子对库仑能的贡献为 ,521*8221*4+- 顶角上的离子对为库仑能的贡献为 ,841*4-这时算出的马德隆常数为图 2.8 4个埃夫琴晶胞同理对932=个埃夫琴晶胞进行计算,所得结果为611.11841*41321*81021*8321*48458242414=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=μ 对 1642=个埃夫琴晶胞进行计算,所得结果为614.13241*42521*81721*81021*8421*4184138108348458242414=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=μ当选取 n 2个埃夫琴晶胞来计算二维正方离子(正负两种)格子的马德隆常数,其计算公式(参见刘策军,二维NaC1 晶体马德隆常数计算,《大学物理》，Vo1.14,No.12,1995.)为 [][].1,8411>+++=--n D C B A n n n n μ其中 ,21)1(,1)1(11111nB t A n n n t t n +-=+--=-=∑,1)1(1)1()2()1(1)1()1(2112212221112122122222222221⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--+--+-+-+--++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---n n n n n C n n ΛΛ.121)1()1(2181222222+-+-++++-=n n n n n D n n Λ5. 用埃夫琴方法计算CsCl 型离子晶体的马德隆常数(1) 只计最近邻 (2) 取八个晶胞 [解答](1) 图2.29是CsCl 晶胸结构,即只计及最近邻的最小埃夫琴晶胞,图2.29()a 是将Cs +双在体心位置的结构,图2.9(a)是将 Cl -取在体心位置的结构,容易求得在只计及最近邻情况下,马德隆常数为1.图2.29 （a ）Cs 取为体心的CsC1晶胞,(b) C1取为体心的CsC1晶胞(2)图2.10是由8个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞,8个最近邻在埃夫琴晶胞内,每个离子对晶胞的贡献为1,它们与参考离子异号,所以这8个离子对马德隆常数的贡献为8埃夫琴晶胞6个面上的离子与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是21,它们与参考离子的距离为32R 它们对马德隆常数的贡献为-()3/2*621图 2.10 8个CsCl 晶胞构成的一个埃夫琴晶胞埃夫琴晶胞楞上的12个离子,与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是41它们与参考离子的距离为322R 它们对马德隆常数的贡献为-()3224/1*12埃夫琴晶胞角顶上的 8个离子,与参考离子同号,它们对埃夫琴晶胞的贡献是81它们与参考离子的距离为2R 它们对马德隆常数的贡献为 -()281*8,由8个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的马德隆常数.064806.32)8/1(*8322)4/1(*123/2)2/1(*68=---=μ 为了进一步找到马德常数的规律,我们以计算了由27个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞的马德隆常数,结果发现,由27个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞的马德隆常数是0.439665.马德隆常数的不收敛,说明CsCl 晶胞的结构的马德隆常数不能用传统的埃夫琴方法计算.为了找出合理的计算方法,必须首先找出采用单个埃夫琴晶胞时马德隆常数不收敛的原因.为了便于计算,通常取参考离子处于埃夫琴晶胞的中心.如果以Cs +作参考离子,由于埃夫琴晶胞是电中性的要求,则边长为pa 2(p 是大于或等于1的整数)的埃夫琴晶胞是由(2p )3个CsCl 晶胞所构成,埃夫琴晶胞最外层的离子与参考离子同号,而边长为(2p +1)的埃夫琴晶胞是由(2p +1)3 个 CsCl 晶胞所构成,但埃夫琴晶胞的最外层离子与参考离子异号,如果以C1-作参考离子也有同样的规律,设参考离子处于坐标原点O ,沿与晶胞垂直的方向(分别取为x,y,z 图2.11示出了z 轴)看去,与参考郭同号的离子都分布在距O 点ia 的层面上,其中i 是大于等于 1的整数,与 O 点离子异号的离子都分布在距O 点(i -0.5)a 的层面上,图 2.11(a) 示出了同号离子层,图2.11(b)示出了异号离子层.图2.11 离子层示意图(a)表示同号离子层, O 离子所在层与 O '离子所在层相距ia(b)表示异号离子层, O 离子所在层和O ' 离子所在层相距(i -0.5)a当 CsCl 埃夫琴晶胞边长很大时,晶胞最外层的任一个离子对参考离子的库仑能都变得很小,但它们对参考离子总的库仑能不能忽略.对于由(2p )3个CsCl 晶胞所构成的埃夫琴晶胞来说,最外层有6*(2p )2个与参考离子同号的离子,它们与参考离子的距离为(1/2)pa ~(23)pa ,它们与参考离子的库仑能为a pe 024πε量级,这是一个相对大的正值.对于由(2p +1)3个CsCl 晶胞所构成的埃夫琴晶胞来说,离外层有6*(2p +1)2个与参考离子异号的离子,它们与参考离子的库仑能为a pe 024πε-量级,这是一个绝对值相对大的负值,因此,由(2p )3个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能,与由(2p +1)3个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能会有较大的差异.即每一情况计算的库仑能都不能代表CsCl 晶体离子间相互作用的库仑能.因此这两种情况所计算的马德隆常数也必定有较大的差异,由1个CsCl 晶胞、8个CsCl 晶胞和27个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞的计算可知, CsCl 埃夫琴晶胞体积不大时,这种现象已经存在.为了克服埃夫琴方法在计算马德隆常数时的局限性,可采取以下方法,令由 (2p )3个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的库仑能为1U ，由(2p +1)3个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算的库仑能为1U ，则CsCl 晶体离子间相互作用的库仑能可近似取作 )(2121U U U +=(1) 因子1/2 的引入是考虑除了(2p +1)3个CsCl 晶胞构成的埃夫琴晶胞最外层离子外,其他离子间的库仑能都累计了两偏,计算1U 和2U 时要选取体积足够大的埃夫琴晶胞,此时埃夫琴晶胞最外层离子数与晶胞内的离子数相比是个很小的数,相应的马德隆常数应为 )(2121μμμ+=(2) 其中：=1μ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±∑i ja 1'是由(2p )3个CsC1晶胞构成的埃夫琴晶胞计算的值; =1μ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±∑i ja 1'由 (2p +1)3 个CsC1晶胞构成的埃夫琴晶胞所计算成本的值.为简化计算,特选取晶胞边长a 为计算单位,由于,32a R =所以,23'μμ= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±=∑'''1i i a μ (3) 其中'i a 是某一离子到参点的距离与a 的比值.考虑到对称性,对选定的埃夫琴晶胞,把晶胞的离子看成分布在一个个以参考离子为对称心的正六面体的六个面上,体积不同的正六面六个面上的离子分别计算.由(2p )3个CsC1晶胞构成埃夫琴晶胞时,由分析整理可得,231111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∑∑=-=p pi i p i i C B A μ (4) 由(2p +1)3个 CsC1 晶胸构成埃夫琴晶胞时,,231112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=∑∑=-=p pi i p i i D B A μ (5)其中：),1(''''22'2'p i i y x k A i x iy y x i <≤++-=∑∑(6)i A 表示与 O 点距离为ia 的6个面上所有的离子对马德隆常数的面贡献,因为这些离子与参考离子同号,故到负号.'x 、'y 是离子在平面 '''y x o 上的坐标, ''y x k 代表 6个面上等价离子的个数,其取值规则为:(1) 在角上(如E 点),即'x =i 且 'y = i. 时, ''y x k =8；(2) 在棱与坐标轴的交点(如 F 点)，'x =i 且'y = 0或 'x =0且'y = 0时, ''y x k =6 (3) 在棱上的其他点(如H 、I 点)即不满足上述条件,且'x =i 或'y = i.时, ''y x k =12 (4) 在'O 点,即'x =0且'y = 0时, ''y x k =6(5) 在除'O 点外的面上的点(如J 点),即不满足上述条件时，''y x k =24.),1()5.0(5.05.05.05.022'2''''''p i i y x k B i x i y yx i ≤≤-++=∑∑-=-=(7)i B 代表距O 点距离为(i -0.5)a 的6个面上的离子对马德隆常数的贡献,因为这种些离子与参考离子异号,故取正号. 'x ,'y 是离子在平面'''y x o 上的坐标, '''y x k 代表这6个面上等价离子的个数,其取值规则为:(1) 在角上(如K 点),即'x =i 且 'y = i.时, '''y x k =8;(2) 在棱下(如L 、M 点),即不满足不述条件,且'x =i 或'y = i 时，'''y x k =12； (3) 在面上(如N 点)好不满足上述条件时, '''y x k =24.),(0022'2'"''''p i i y x k C i x iy i yx =++-=∑∑==i C 表示在边长为2pa 的晶胞最外层,即与参考离子相距pa 的6个面上的离子对马德隆常数的贡献,应取负号,与iA 的不同在于"''y x k的取值: (1) 在角上, "''y x k =''y x k /8; (2) 在棱上, "''y x k =''y x k /4; (3) 在面上, "''y x k=''y x k /2.),()5.0(5.05.05.05.022'2''''''''p i i y x k D i x i y yx i =-++=∑∑-=-=i D 表示在边长为2a p )1(+的晶胞最外层,即与参考离子相距(p +0.5)a 的离子层对马德隆常数的贡献,应取正号,与i B 的不同在于'''''yx k 的取值: (1) 在角上, '''''y x k ='''y x k /8; (2) 在棱上, '''''y x k ='''y x k /4; (3) 在面上, '''''y x k ='''y x k /2.表2.1给出了计算结果,给出的μ是由分别对应2p 和2p+1的1μ和2μ求得的,实际上, 1μ和2μ只需对应边长相近的埃夫琴晶胞即可,如取对应2p 和2p-1的埃夫琴晶胞也可得到一样的收敛结果,由以上数据可见,马德隆常数μ随晶胞边长的增大而迅速收敛.该方法适用于NaC1结构以外离子晶体马德隆常数的计算.6.只计及最近邻间的排斥作用时,一离子晶体离子间的互作用势为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±-=-)2(,)1(,)(22r e R e e r u R ρλ(1)最近邻(2)最近邻以外 式中ρλ,是常数,R 是最近邻距离,求晶体平衡时,原子间总的互作用势.[解 答]设离子数目为2N,以j ij a r =R 表示第j 个离子到参考离子i 的距离,忽略表面效应,则总的相互作用能可表示为U =N ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±-∑∑-ρλR j j e R a e 2' (∑表示最近邻)=N ,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--ρλμR e Z R e其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛±=∑j ia 1'μ 为马德隆常数,+号对应于异号离子,-号对应于同号离子;Z 为任一离子的最近邻数目,设平衡时R=R 0 ,由平衡条件,02020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-ρρλμR R e Z R e N dRdU 得.0202ρλμρR e Z R e -=平衡时的总相互作用为.1)(0020200⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-R R e N e Z R e N R U R ρμλμρ 7. 设离子晶体中,离子间的互作用势为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧±+-=最近邻以外最近邻,,)(22re R b R e r u m(1) 求晶体平衡时,离子间总的相互作用势能)(0R U (2) 证明: )(0R U 11-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∝m mZ μ其中μ是马德隆常数，Z 是晶体配位数 [解答](1)设离子数目为2N , 以j ij a r =R 表示第j 个离子到参考离子i 的距离,忽略表面效应,则总的相互作用能可表示U =N ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±-∑∑m j j R b R a e 2'(∑表示最近邻) =N ,2⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-m R b Z Re μ其中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±=∑j i a 1'μ,为马德隆常数,+号对应于异号离子,-号对应于同号离子.Z 为任一离子的最近邻数目,设平衡时R=R 0由平衡条件,0102020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+m R R Zmb R e N drdUμ得10-m R Zmb=2e μ即1120-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m e Zmb R μ.于是,晶体平衡时离子间总的相互作用势能0U =).1(000--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-m R NZbR b Z R Zmb N m m m(2)晶体平衡时离子间的相互作用势能可进一步化为0U =.)()()1()1(1111121211--------=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--m m m m mm m m m m mb Ze Nbm e Zmb ZNbm μμ由上式可知 .110-⎪⎪⎭⎫⎝⎛∝m mZ U μ8.一维离子链,其上等间距载有正负2N 个离子,设离子间的泡利排斥只出现在最近邻离子之间,且为b/R n,b,n 是常R 是两最近邻离子的间距,设离子电荷为q ,(1) 试证明平衡间距下 )(0R U =;114212002⎪⎭⎫⎝⎛--n R n Nq πε(2) 令晶体被压缩,使0R )1(0δ-→R , 试证明在晶体被压缩单位长度的过程中外力作功的主项为c 2δ其中c=;21)1(02R n q n -(3) 求原子链被压缩了2)1(0<<e e NR δδ时的外力[解答](1) 因为离子间是等间距的,且都等于R ,所以认定离子与第j 个离子的距离j r 总可表示成为R a r j j =ja 是一整数,于是离子间总的互作用势能⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=∑∑n i in j j j R b a R q N r b r q N R U 214242)('202'0πεπεμ,其中+、-分别对应相异离子和相同离子的相互作用.一维离子晶格的马德隆常数(参见本章习题2)为=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±∑i ia 1'21n2. 利用平衡条件0)(0=R dRR dU得到b=nq 01-n 0241n2R πε,)(R U =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---n n nR R R Nq 102141n22πε. 在平衡间距下⎪⎭⎫⎝⎛--n R Nq R U 1141n22)(0020πε.(2) 将互作用势能在平衡间距附近展成级数Λ+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+=202200)(21)()()(0R R dR U d R R dR dU R U R U R R 由外力作的功等于晶体内能的增量，可得外力作功的主项为W=20220)(21)()(0R R dR U d R U R U R-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-, 其中利用平衡条件，将R=R )1(0δ- ，代入上式，得到W=δδπε)2(421)1(2102002NR R n q n ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-. 晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项δ02W NR =δπε⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-2002421)1(21R n q n 令c=202421)1(R n q n πε-(CGS)得到在晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项为2δc . （3）设e δδ=时外力为F e ,由于在弹性范围内，外力与晶格的形变成正比，所以 F= )2(0δαNR , F e = )2(0e NR δα,其中α为比例系数离子链被压缩e NR δ02过程中外力作的功W e =δδαδδd NR NR Fdx e eNR e 020002)]2([0⎰⎰== e e e F NR NR δδα022022121)2(=.由于 W e =)2(20e eNR c δδ,所以离子链被压缩了e NR δ02时的外力为F e =202)1(21R n n q c ee δδ-=.9．设泡利排斥项的形式不变，讨论电荷加倍对NaC1晶格常数，体积弹性模量以及结合能的影响。
固体物理第二章复习ppt课件全省公开课一等奖
共价键的形成只在特定的方向上, 这些方向是配对电子波函数的对称轴方向, 在这个方向上交迭的电子云密度最大. 这就是共价结合的 “方向性”.
10. 为什么许多金属为密积结构? 金属结合中, 受到最小能量原理的约束, 要求原子实与共有电子电子云间的
j aj 对于负离子取正号，正离子取负号，
r1 rA a, a1 1, r2 rB 2a, a2 2, r3 rC 3a, a3 3,
2( 1 1 1 1 ) ln( 1 x ) x x2 x3 x4
234
234
2(
1
1 2
1 3
1 4
)
2
ln
2
12
雷纳德-琼斯势的表达式：u(r )
V
r0
a (晶格常量)
2U
K V0(V2)V0
设由N个原子组成的晶体的体积为 VNR3
KV 0 V 2U 2 V 0
1 2U
9N R 0(R2)R 0
五种基本结合类型
1.离子晶体
(1)结构： 负电性相差较大的原子+库仑作用力。
(2)结合力：离子键。
(3)配位数； 最大为8 。 离子晶体一定是复式晶格。
(4)互作用势能：
UN( q2 B) 2 4π0R Rn
Nj '
1 aj
马德隆常数
马德隆常数的求法(埃夫琴--中性组合法)
+ -+ -+ - + - +- +- + + -+ -+ - + - +- +- + + -+ -+ - +
固体物理第二章1-2
6.00
7.88
9.87
9.750
11.84
13.996
有关电离能的规律：
（1）第二电离能一定大于第一电离能。
（2）在一个周期内，从左到右电离能不断增加。
（3）同一族， 自上而下电离能减小。
三、电子亲和能（affinity energy ）
电子的亲和能：一个中 性原子获得一个电子成为 负离子所释放出的能量。
五、分子结合
分子之间的结合力称为范德瓦尔斯力，一般可分为三种类型：
（1）极性分子间的结合 极性分子具有电偶极矩，极性分子间的作用力是库仑力，为了 使系统的能量最低，两分子靠近的两原子一定是异性的。 （2）极性分子与非极性分子的结合 极性分子的电偶极矩具有长程 作用，它使附近的非极性分子产 生极化 ，使非极性分子也成为一个偶极矩。极性分子的偶极矩与 非极性分子的诱导偶极矩的吸引力叫诱导力，是库仑力。 （3）非极性分子间的结合 非极性分子在低温下能形成晶体，其结合力是分子间瞬时电偶 极矩的一种相互作用。
能最小，一种离子附近必为异号离子。 离子晶体的特点：由于库仑力是强作用力，离子晶体结构 稳定，硬度高、熔点高、热膨胀小、导电性差。大多数离子晶 体对可见光是透明的，在远红外区有一特征吸收峰。
四、金属结合
成因：IA族、IIA族及过渡元素，电负 性小，最外层有一、两个容易失去的价电 子。构成元素晶体时，晶格上既有金属原 子，又有失去了电子的金属离子。但它们 都是不稳定的，价电子会向正金属离子运 动，即金属离子随时会变成金属原子，金 属原子随时会变成金属离子。 电负性小的元素晶体，即金属晶体中， 价电子不再属于个别原子，而是为所有原 子共有，在晶体中做共有化运动。
好的绝缘体，而硅和锗都仅在极低温下才是绝缘体，同时它们的电阻率随温 度的升高而急速下降，是人们熟知的半导体材料 ）
固体物理课件第二章
劳厄方程与布拉格反射方程关系
(k＋G)2=k2 2k·G=G2
2d cos n 布拉格方程
G可能含一公因 子n，则对应的 晶面也是(nh1 nh2 nh3),根据密 勒指数定义可知， 该面间距为 （h1h2h3）面间 距的1/n
2、劳厄方程与布里渊区 根据k2= k’2 2K· G=G2
粒子波参量：能量、波矢（波长）、角频率 常用的微观粒子：x射线、电子、中子
常见的几种探测手段
1.电子衍射 电子波受电子和原子核散射，散射很强透射力较弱，电子
衍射主要用来观察薄膜。 U 150V,λ ~0.1 nm
2.中子衍射 中子主要受原子核的散射，轻的原子对于中子的散射也很 强，所以常用来决定氢、碳在晶体中的位置。
几何结构因子消光的方向
G 对应某个面的消光
实例：消光方向
例1 面心立方晶格的几何结构因子。
面心立方平均每个布拉维原胞包含4个原子，将其坐标
代入公式:
得：
Fhkl
4 f , nh.nk .nl全 为 奇数 4 f , nh.nk .nl全 为 偶数 0, nh.nk .nl部 分 为奇 数 , 部 分 为偶 数 .
x射线从P出发，到目标Q。空间电荷不同点经入射波 激发后在各点产生的波函数的情况：
a. 以O为原点（参考点,参考电荷量为1），设其经入射波激发后， 在Q点产生的波函数为Ψ。 • 则点元A经入射波激发后在Q点产生的波函数情况是：
其中，k k ' k; r为点元距离原点的距离。
A
k’ k’
Q
k
P
点元产生的球面波 “波函数差”：
总强度（对整个空间积分）：
（ 1）
若 n(r)均匀分布 常数 若 n(r)具有波函数的表达形式附加位相差
固体物理第二章课件
立方
四方
正交
单斜 三角
晶体学术语：维格纳-塞茨原胞 (Wigner-Seitz)
以晶格中某一格点为中心，作其与近邻格点连线的垂直平分面，这 些平面所围成的以该点为中心的最小单元，为WS原胞。 WS原胞能表现对称性，但是界面上非格点。
立方晶系的维格纳-塞茨原胞
原胞、晶胞和维格纳-塞茨原胞（面心立方）
立方晶体的镜像面
三斜晶系的中心反演
C 1群： 1个 最简单的点群只含一个元素：不动操作
三斜
代表没有任何对称性 思考：不动操作的意义是什么？
Cn群（4个）
回转群：─只包含一个旋转轴 标记为C 2 ,， C 3，C 4 ，C 6。
单斜
三角
四方
六角
D n群（ 4个 ）
双面群：包含一个n重旋转轴和n个与之垂直的二重轴 标记为： D2 ，D 3， D4 ，D 6。
三斜晶系
α≠β≠γ a≠b≠c
群
对称元素
群元素数
C1
E
1
Ci
Ei
2
单斜晶系
α = γ =90 ° a≠b≠c
群
对称元素
群元素数
C2
E C2
2
C1h
E σh
2
C2h
E C2 i σh
4
正交晶系
α = β = γ =90 ° a≠b≠c
群
对称元素
群元素数
D2
E C2 2C2′
4
C1v
E C2 2σv
E 2 C3 3 σv
6
D3 d
E 2C3 3C2′ i 2S6 3 σv
12
六角晶系
α = β =90 °，γ = 2π / 3 a=b≠c
固体物理学（第二章）
2 正四面体的对称操作四个原子位于正四面体的四个顶角上，显然正四面体的对称操作包含在立方体操作之中。
如图XCH001_027所示。
1) 绕三个立方轴转动：π，共有3个对称操作；2) 绕4个立方体对角线轴转动34,32ππ，共有8个对称操作； 3) 正交变换也是一个对称操作；⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛1000100014) 绕三个立方轴转动：23,2ππ，加上中心反演，共有6个对称操作；5) 绕6条面对角线轴转动π，加上中心反演，共有6个对称操作；因此正四面体的对称操作共有24个。
3 正六面柱的对称操作1) 绕中心轴线转动：35,34,,32,3πππππ，共有5个对称操作；如图XCH001_028所示。
2) 绕对棱中点连线转动π，共有3个对称操作； 3) 绕相对面中心连线转动π，共有3个对称操作；4) 正交变换也是一个对称操作；⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛1000100015) 以上12个对称操作加中心反演仍是对称操作 因此正六面柱的对称操作共有24个。
4 对称素为简洁明了地概括一个物体的对称性，不去一一列举所有的对称操作，而是描述它所具有的“对称素”。
对称素就是一个物体的旋转轴，以及旋转－反演轴。
一个物体绕某一个转轴转动nπ2，以及其倍数不变时，称该轴为物体n 重旋转轴，计为n 。
一个物体绕某一个转轴转动nπ2加上中心反演的联合操作，以及其联合操作的倍数不变时，称该轴为物体n 重旋转－反演轴轴，计为n 。
+ 立方体—— 立方轴（23,,2πππ）为4重轴，计为4；同时也是4重旋转－反演轴，计为4； —— 面对角线（π）为2重轴，计为2；同时也是2重旋转－反演轴，计为2；—— 体对角线轴（34,32ππ）为3重轴，计为3；同时也是3重旋转－反演轴，计为3；+ 正四面体—— 立方轴是4重旋转－反演轴，但不是4重轴； —— 面对角线是2重旋转－反演轴，但不是2重轴； —— 体对角线轴是3重轴，但不是3重旋转－反演轴。
固体物理基础2-4节固体电子态-bai底
如果晶格势场比较弱，从而对外层电子的束缚很弱，这些电子 的行为就接近于自由电子。此时，一个布里渊区的中心及边界角 顶的区域中，也就是在能带底部和顶部，等能面都近似为球面。
借助于一组特征波矢方向上的能量－波矢函 数曲线，完整表达材料的能带特征信息：能 带重叠，或能带间隙及其大小。为此，通常 都将布里渊区边界上的顶角位置给出，而立 方系的三个“基本”方向上的E(k)是必给的。
Al的能带曲线
GaAs Al
能带重叠
能带间隙
Si
GaAs
间接能带间隙
直接能带间隙
GaAs
其结果是：相变或者转变中，合金的体积尽量保持不变。晶 体结构的转变所带来的原子堆积密度的变化，将通过原子半 径的调整来补偿，使体积不变。故此，比较密排的结构中， 原子半径要相对较大一些（最外层电子离核的距离相对远一 些）。
布里渊区的边界上电子波矢满足Bragg衍射条件； 相邻布里渊区的边界上能量突变
形象地看，好像在两段正常台阶连接处出现一堵立墙，或者爬 山者中途遇到峭壁。
不同晶体的布里渊区 通过确定晶体中电子波因满足Bragg衍射条件而受到散射的能量
突变处，也就可以将布里渊区确定下来。 一维原子链晶体的布里渊区
布里渊区边界有什么规律可循？
晶格常数为a的2维正方晶体的布里渊区 正空间基矢(a1, a2)
g1 a1 2π g1 a2 0
倒易空间基矢(g1, g2)
不同晶体的布里渊区
固体物理讲义-第二章(第一和第二节)
弧线为 ω = 2(
β
M
1
) 2 sin
qa ；直线为 ω=Vq。 2
长波极限和短波极限下的原子位移示意图：
q 趋于 0, λ>>a
q 趋于 π/a, λ=2a
两种极限情况下，相邻原子的相对运动情况不同。
(3)格波的相速度(Vp)和群速度(Vg)。 两种速度存在不同的物理含义： 相速度(Vp)是特定频率为ω， 波矢为q的纯波 (单色波)的传播速度；而群速度(Vg)描述平均频率为ω，平均波矢为q的波包(复色
23
《固体物理学》
第二章 晶格振动和固体比热
利用欧拉公式： eiθ + e −iθ = 2 cos θ 和 1 − cos θ = 2sin 2
θ
2
ω2 =
2β 4β qa (1 − cos aq ) = sin 2 ( ) M M 2 1 β qa ⇒ ω = 2( ) 2 sin M 2
可以看出上式与n无关，表明n个联立方程都归结为同一个方程。只要ω和q 之间满足上式，就表示上式为联立方程的解。通常把之间的关系称为色散关系。 一维单原子链的色散曲线：
X m = Aei ( qma −ωt )
(2)格波波长：
= Aei ( qma + 2π −ωt ) = Aei ( qna −ωt ) = X n ; λ = 2π q
24
《固体物理学》 格波与连续介质波的差别：
第二章 晶格振动和固体比热
X = Aei ( qx −ωt ) ，式中，连续介质波中 x 表示空间的任一点，而在格波中只
U'= 1 2 β ∑ ( X n − X n +1 ) ， β = u "( a ) ， u ( x ) 表示一维原子链中距离为x的两原子 2 n
固体物理讲义第二章
第二章 晶体中的衍射主要内容：● 晶体的倒格子和布里渊区 ● 晶体衍射的条件✓ 劳厄方程、布拉格反射● 原子散射因子和几何结构因子 2.1 晶体结构的实验确定方法：利用入射的射线束受晶体内部原子的相干散射－衍射。
● X 射线衍射光子与电子作用，晶体内部结构测量● 电子衍射电子与电子作用，表面结构测量● 中子衍射中子与原子核作用，磁性物质结构测量● 一般性地讨论波动在晶体中的衍射 衍射的条件：波长与晶格常数同数量级现在，我们可以利用高分辨电子显微镜、场粒子显微镜和扫描遂穿显微镜直接观察原子排列和晶格结构，虽然往往只能看到表面和局部的原子排列，但无论如何这是一种直接的观察，一种对原子规则结构的周期排列的直接验证。
X 射线衍射：有关晶体在0.1纳米尺度结构的主要知识主要来源于此。
本课程的核心－周期结构中传播的波。
2.2 晶体的倒格子和布里渊区 倒格子的定义根据布拉菲格子的基矢量定义三个新的基矢量，它们之间的关系为：以 为基矢构成的格子称为正格子以 为基矢构成的格子称为倒格子正格子中每个格点的位置为：倒格子中每个格点的位置为：K h 称为倒格矢量，简称倒格矢倒格子空间也叫倒易点阵，每一个布拉菲正格子都有与之对应的倒格子。
[]321a a a ⨯=Ω∙321a a a 、、321b b b 、、()()⎩⎨⎧≠==⋅j i i=j j i j i 0 22 ππδb a[][][]Ω⨯=Ω⨯=Ω⨯=213132321222a a b a a b a a b πππ倒格子的性质1 正格子中的一族晶面(h 1h 2h 3)和倒格矢332211b b b Kh h h h ++= 正交2 倒格矢332211b b b K h h h h ++= 的长度正比于晶面族(h 1h 2h 3)面间距321h h h d 的倒数：34 倒格点与正格子中的一晶面相对应周期性物理量的傅里叶变换晶体中任一处r 的物理量具有晶格周期性:将其展开为傅里叶级数：比较以上两式，可得R,r+R 对于晶格平移保持不变的任何函数，都可以展成傅立叶级数 倒格子和正格子互相是对应的傅立叶空间。
固体物理二章知识点总结
固体物理二章知识点总结固体物理第二章是关于晶体结构的内容，围绕着晶体的结晶结构、晶体点阵和基本晶胞的概念来展开讨论。
晶体是由周期性排列的原子或分子组成的，具有高度有序的结构，其结晶结构决定了晶体的性质和行为。
在这一章中，我们将从晶体的基本概念出发，逐步展开对晶体结构的探讨。
晶体的结晶结构是指晶体中原子或分子的排列方式和规律。
晶体的结晶结构包括晶体点阵和晶体的基本晶胞。
晶体点阵描述了晶体原子或分子的周期性排列方式，而晶体的基本晶胞则是由最小的重复单元构成，可以描述晶体的整体结构。
在这一部分，我们将介绍常见的晶体点阵和基本晶胞的类型以及它们之间的关系。
晶体点阵包括简单立方晶体、体心立方晶体和面心立方晶体等多种类型。
这些不同类型的晶体点阵具有不同的原子或分子排列方式和周期性，从而导致了晶体具有不同的性质和行为。
而晶体的基本晶胞则由部分晶胞和全部晶胞构成，它们决定了晶体的整体结构和周期性。
在这一章中，我们将深入探讨不同类型的晶体点阵和基本晶胞的性质和特点，并对它们进行详细的介绍和比较。
此外，我们还将介绍晶体缺陷和晶体生长的原理。
晶体缺陷是指晶体中存在的一些不规则排列的原子或分子，这些缺陷对晶体的性质和行为有着重要的影响。
晶体生长则是指晶体通过物质的沉积和积累形成有序结构的过程，它是晶体的产生和发展的基本原理。
在这一章中，我们将对晶体缺陷和晶体生长的机制和规律进行详细的阐述和分析。
总的来说，固体物理第二章是关于晶体结构的内容，围绕着晶体的结晶结构、晶体点阵和基本晶胞的概念展开讨论，同时还包括晶体缺陷和晶体生长的原理。
这些知识点对于理解固体物质的结构和性质，以及相关材料的性能和应用有着重要的意义。
在今后的学习和研究中，我们需要深入掌握这些知识点，并不断拓展和深化自己的理解，以便更好地应用和发展固体物理的相关理论和方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线段在长度方向上的相对伸长 （或缩短）量称为正应变，
PA的正应变为：
S xx
lim
ux
x 0
ux dx x
x
ux
ux x
PB线段的正应变
S yy
uy y
坐标轴间夹角的变化：
从图可知，PA、PB线段发生正应变的同时，其方向也发生了变化:
PA转过的角度为
lim
uy
uy x
dx uy
S4
u y z
uz y
2 S zx
2 S xz
S5
uz x
ux z
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 S xy
2 S yx
S6
ux y
u y x
则与应变有关的许多公式可进一步简化，运算中，应变张量常 被写成一个六元纵列矩阵。
S S1 S2 S3 S4 S5 S6 t
张量：（二阶）张量是具有9个分量的物理量。设直角坐标系的单
位基矢量为 e1 , e2 , e3
一般张量可写为
Tijeie j (i, j 1,2,3)
ij
ei e j 称为并矢，作为张量的9个基。
张量的9个分量写为 T11 ,T12 ,T13;T21 ,T22 ,T23;T31 ,T32 ,T33
Tzy
Txy
Tyz Tzx
Tzz
Txz
Tyx Txx x
z 作用在立方体上的应力张量元
应力张量矩阵表达式
晶体中某点(x.y.z)的应力状态 对应9个应力分量用矩阵表示，即
Tn TTxyxx
Txy Tyy
Txz Tyz
Tzx Tzy Tzz
在静力平衡条件下，内应力 作用在物体上的总力矩等于零。
xyz
z
Txx ( x x)
x
作用在单位体积上的力的x分量为：
y
作用在体积元上的应力
Tx
Txx x
Txy y
Txz z
同理，可得作用在单位体积上的力的 y、z 分量：
Tx
Txx x
Txy y
Txz
z
Ty
Tyx x
Tyy y
Tyz z
( 2)
Tz
Tzx x
Tzy y
Tzz z
二、应变张量
§2.8 应力、应变、胡克定律
固体的弹性性质： 固体的范性性质： 假设无形变的晶体内部粒子排列在其平衡位置，在外力作用下粒 子偏离原来的平衡位置。由于晶体结构的各向异性，各方向上粒子偏 移程度不同，从而使宏观的形变各向异性；--------------晶体内部粒子沿各方向偏移程度的差异，使粒子恢复到原来平衡 位置所产生的内应力也随方向不同。 显然，晶体的弹性性质也是各向异性的，需要用张量来描述。
uy
x0
x
x
PB转过的角度为 ux
y
定义：PA与PB线段的偏转角之和为 切应变
S xy
S yx
1 ( 2
)
1 2
uy x
ux y
同理，对于yz和xz平面，可求得
S zz
uz z
,
S yz
S zy
1 2
u y z
uz y
,
S zx
S xz
1 uz 2 x
ux z
由以上可知，某一点的应变有9个分量，用矩阵表示，则为
S
S S
xx yx
S zx
S xy S yy S zy
S S
xz yz
S zz
应变张量是个对称二级张量，只有6个独立的元。
如果把双下标按下列对应关系换成单下标
xx 1, yy 2, zz 3, yz, zy 4, zx, xz 5, xy, yx 6
并规定：
2 S yz
2 S zy
一个物体处于受力状态，一般有两种情况： * 物体整个体积受力并且力的大小与物体的体积成正比，这称为彻 体力，例如重力； * 另一种情况是物体受到压缩、拉伸或扭转、弯曲的作用而发生形 变时，在物体内部的任一部分和它周围相邻部分之间将产生相互作 用力，这种力的大小与相接触部分表面积的大小成正比，而力与面 积之比就称为应力。 即在固体形变时，作用在固体中单位面积上的 力。
T1 Txx ,T2 Tyy ,T3 Tzz , T4 Tyz ,T5 Tzx ,T6 Txy (1)
T1 T6 T5
Tn T6
T2
T4
T5 T4 T3
Txx ( x)
作用在单位体积元上的力与应力张
z
量元的关系
如图所示，沿x方向力的分量 Txx ( x x)
y
x
有三个：
作用在体积元上的应力
当晶体形变时，晶体内任意两点间的距离都会发生形变: 介质间发生的相对位移，称之为应变。 质点位移表示
u uxi uy j uzk
如图，在固体中取xy平面，P为任 一点，PA＝Δx，PB＝ Δy，PA平行x 轴，PB平行于y轴，由于形变，P，A， B三点分别移到
P, A, B
计算沿坐标轴方向线元的伸缩形变：
第一下标i表示应力的方向，第 二下标j表示应力所作用的面的法 向。
例如作用在垂直于X轴的单位面
积上沿X方向的应力是Txx 。这类应
力是垂直于表面的，称为正应力， 代表张力或压力;
作用在垂直于X轴的单位面 积上沿Y方向的应力是Tyx 。这类 应力是沿着表面的，即平行于表 面的切向，代表切应力。
y
Tyy
T11 T12 T13
用矩阵表示 T T21
T22
T23
T31 T32 T33
一、应力张量
1、应力定义：固体受到外力时，内部产生的抵抗形变的弹性恢复力。
弹性恢复力：物体受外力作用发生形变，分子（质点）就偏离其平 衡位置。此时每个分子受周围分子的作用产生—个趋向于使其恢复 到平衡位置的力。
Txx x x Txx xyz
Txx x
x
yz
Txy y y Txy y zx
Txy
y
y
zx
Txz z z Txz z xy
Txz z
z
xy
三式相加，可得作用在体积元ΔxΔyΔz上的力的x分量为：
Txx ( x )
Txx x
Txy y
Txz z
物理意义：当不存在体积转矩时， 在相互垂直的面上，垂直于该二 面交线的切应力相等。
y
Tyy
Tzy
Txy
Tyz Tzx
Txx
Tzz
Txz
x
z 作用在立方体上的应力张量元
Tyz Tzy ,Tzx Txz ,Txy Tyx
即，应力张量是对称的二级张量，它只有六个独立的张量元。 常用符号Th代表应力分量：
应力定义：
lim S 0
Tn S
Tn
直角坐标系中，（x,y,z）点，以 x,y,z为外法线的面积元上的应力
TyS y
分别为
x
Tx
Txxi Tyx
j
Tzx
k
Ty
Txyi
Tyy
j
Tzy
k
Tz Txzi Tyz j Tzzk
z
TxS x n
TnSn y
TzSz
此处 i, j = x, y, z