固体物理第二章4

一个物体处于受力状态，一般有两种情况： * 物体整个体积受力并且力的大小与物体的体积成正比，这称为彻 体力，例如重力； * 另一种情况是物体受到压缩、拉伸或扭转、弯曲的作用而发生形 变时，在物体内部的任一部分和它周围相邻部分之间将产生相互作 用力，这种力的大小与相接触部分表面积的大小成正比，而力与面 积之比就称为应力。 即在固体形变时，作用在固体中单位面积上的 力。
张量：（二阶）张量是具有9个分量的物理量。设直角坐标系的单
位基矢量为 e1 , e2 , e3
一般张量可写为
Tijeie j (i, j 1,2,3)
ij
ei e j 称为并矢，作为张量的9个基。
张量的9个分量写为 T11 ,T12 ,T13;T21 ,T22 ,T23;T31 ,T32 ,T33
xyz
z
Txx ( x x)
x
作用在单位体积上的力的x分量为：
y
作用在体积元上的应力
Tx
Txx x
Txy y
Txz z
同理，可得作用在单位体积上的力的 y、z 分量：
Tx
Txx x
Txy y
Txz
z
Ty
Tyx x
Tyy y
Tyz z
( 2)
Tz
Tzx x
Tzy y
Tzz z
二、应变张量
物理意义：当不存在体积转矩时， 在相互垂直的面上，垂直于该二 面交线的切应力相等。
y
Tyy
Tzy
Txy
Tyz Tzx
Txx
Tzz
Txz
x
z 作用在立方体上的应力张量元
Tyz Tzy ,Tzx Txz ,Txy Tyx
即，应力张量是对称的二级张量，它只有六个独立的张量元。 常用符号Th代表应力分量：
线段在长度方向上的相对伸长 （或缩短）量称为正应变，
PA的正应变为：
S xx
lim
ux
x 0
来自百度文库
ux dx x
x
ux
ux x
PB线段的正应变
S yy
uy y
坐标轴间夹角的变化：
从图可知，PA、PB线段发生正应变的同时，其方向也发生了变化:
PA转过的角度为
lim
uy
uy x
dx uy
Txx x x Txx xyz
Txx x
x
yz
Txy y y Txy y zx
Txy
y
y
zx
Txz z z Txz z xy
Txz z
z
xy
三式相加，可得作用在体积元ΔxΔyΔz上的力的x分量为：
Txx ( x )
Txx x
Txy y
Txz z
应力定义：
lim S 0
Tn S
Tn
直角坐标系中，（x,y,z）点，以 x,y,z为外法线的面积元上的应力
TyS y
分别为
x
Tx
Txxi Tyx
j
Tzx
k
Ty
Txyi
Tyy
j
Tzy
k
Tz Txzi Tyz j Tzzk
z
TxS x n
TnSn y
TzSz
此处 i, j = x, y, z
uy
x0
x
x
PB转过的角度为 ux
y
定义：PA与PB线段的偏转角之和为 切应变
S xy
S yx
1 ( 2
)
1 2
uy x
ux y
同理，对于yz和xz平面，可求得
S zz
uz z
,
S yz
S zy
1 2
u y z
uz y
,
S zx
S xz
1 uz 2 x
ux z
由以上可知，某一点的应变有9个分量，用矩阵表示，则为
T11 T12 T13
用矩阵表示 T T21
T22
T23
T31 T32 T33
一、应力张量
1、应力定义：固体受到外力时，内部产生的抵抗形变的弹性恢复力。
弹性恢复力：物体受外力作用发生形变，分子（质点）就偏离其平 衡位置。此时每个分子受周围分子的作用产生—个趋向于使其恢复 到平衡位置的力。
第一下标i表示应力的方向，第 二下标j表示应力所作用的面的法 向。
例如作用在垂直于X轴的单位面
积上沿X方向的应力是Txx 。这类应
力是垂直于表面的，称为正应力， 代表张力或压力;
作用在垂直于X轴的单位面 积上沿Y方向的应力是Tyx 。这类 应力是沿着表面的，即平行于表 面的切向，代表切应力。
y
Tyy
当晶体形变时，晶体内任意两点间的距离都会发生形变: 介质间发生的相对位移，称之为应变。 质点位移表示
u uxi uy j uzk
如图，在固体中取xy平面，P为任 一点，PA＝Δx，PB＝ Δy，PA平行x 轴，PB平行于y轴，由于形变，P，A， B三点分别移到
P, A, B
计算沿坐标轴方向线元的伸缩形变：
S4
u y z
uz y
2 S zx
2 S xz
S5
uz x
ux z
2 S xy
2 S yx
S6
ux y
u y x
则与应变有关的许多公式可进一步简化，运算中，应变张量常 被写成一个六元纵列矩阵。
S S1 S2 S3 S4 S5 S6 t
Tzy
Txy
Tyz Tzx
Tzz
Txz
Tyx Txx x
z 作用在立方体上的应力张量元
应力张量矩阵表达式
晶体中某点(x.y.z)的应力状态 对应9个应力分量用矩阵表示，即
Tn TTxyxx
Txy Tyy
Txz Tyz
Tzx Tzy Tzz
在静力平衡条件下，内应力 作用在物体上的总力矩等于零。
§2.8 应力、应变、胡克定律
固体的弹性性质： 固体的范性性质： 假设无形变的晶体内部粒子排列在其平衡位置，在外力作用下粒 子偏离原来的平衡位置。由于晶体结构的各向异性，各方向上粒子偏 移程度不同，从而使宏观的形变各向异性；--------------晶体内部粒子沿各方向偏移程度的差异，使粒子恢复到原来平衡 位置所产生的内应力也随方向不同。 显然，晶体的弹性性质也是各向异性的，需要用张量来描述。
S
S S
xx yx
S zx
S xy S yy S zy
S S
xz yz
S zz
应变张量是个对称二级张量，只有6个独立的元。
如果把双下标按下列对应关系换成单下标
xx 1, yy 2, zz 3, yz, zy 4, zx, xz 5, xy, yx 6
并规定：
2 S yz
2 S zy
T1 Txx ,T2 Tyy ,T3 Tzz , T4 Tyz ,T5 Tzx ,T6 Txy (1)
T1 T6 T5
Tn T6
T2
T4
T5 T4 T3
Txx ( x)
作用在单位体积元上的力与应力张
z
量元的关系
如图所示，沿x方向力的分量 Txx ( x x)
y
x
有三个：
作用在体积元上的应力