函数的奇偶性(二)与对称性.尖子班

本讲分成三个板块：一、函数的奇偶性（二）；二、函数的对称性；三、函数的周期性；其中板块

一只有一道例题，引出板块二——函数的一般对称性；板块三只有目标班出现．本讲尖子班建议课时2小时，目标班建议课时3小时．

考点1：函数的奇偶性

<教师备案> 本板块复习一下上一讲的函数的奇偶性，从图象平移的角度与奇偶函数的本质角度理解一

般的奇偶性，并由此引出一般的对称性． 如(1)f x -是偶函数，

从图象平移角度来说：意味着函数()f x 的图象向右平移一个单位后，有对称轴0x =，故函数()f x 的图象有对称轴1x =-．

从偶函数本质角度来说，偶函数意味着自变量取相反数时，函数值相等，(1)f x -的自变量为x ，故意味着(1)(1)f x f x --=-．

这说明：(1)(1)f x f x --=-与()f x 关于1x =-对称是等价的命题．

满分晋级

4.1函数奇偶性（二）

第4讲 函数的奇偶性㈡

与对称性

函数12级 函数的单调性 与奇偶性（一）

函数13级 函数的奇偶性（二）

与对称性

函数14级 指数函数与相关

复合函数

【例1】

⑴ ① 若()1f x +是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项） ② 若()f x 是偶函数，下列结论正确的有 ．（写出所有正确的选项） A ．()()11f x f x --=+ B ．()()11f x f x -+=+

C ．()()11f x f x -=--

D ．()()

11f x f x -=+ E ．(1)(1)f x f x --=-+ F ．()()11f x f x -=-+

⑵ ①若(2)f x -是偶函数，则函数()f x 图象的对称轴为_______．

②若(2)f x -是奇函数，则函数()f x 图象的对称中心为_________． ⑶ ①若(1)1f x +-是偶函数，则函数(1)f x -图象的对称轴为_______．

②若(1)1f x +-是奇函数，则函数(1)f x -图象的对称中心为_________．

⑷ 若()3f x +的对称中心为()21，，则函数()21f x -+图象的对称中心为 ．

【解析】 ⑴ ①B ；②A 、F ；

⑵ ①2x =-；②(20)-，； ⑶ ①2x =；②(21)，

． ⑷ ()72，；

偶函数与奇函数代表着最基本的轴对称与中心对称，这两种最基本的对称可以拓展到一般的结论．首先说明的是这里所说的函数对称性指的是一个函数自身的对称性，而不是两个函数之间的对称．

一、轴对称

这里我们要讲的是研究方法：

先来看偶函数，偶函数的图形是关于y

()()f x f x =-，如何从

图象的对称性得到这个代数形式呢？若有两个互为相反数的自变量x 和x -，由于图象是关于y 轴对称的，所以在x 与x -处的函数值是相等的，但在这个过程中我们隐藏了一些想法：为什么要取互为相反数的两个自变量呢？因为对称轴是0x =，所以在对称轴左右两边找两个对称的东西，x 和x -可以理解为一个是0x +，一个是0x -，也可以理解为x 与x -中点为0．

由此角度可以想想，若将对称轴换成x a =呢？此时若想构造轴对称该如何构造？该取什么样的自变量？

())

x=

x a =①()()f a x f a x +=-

4.2函数的对称性

②若122x x a +=，则12()()f x f x =，一定要写成12x x +的形式，只需两个括号中的和为2a 即可． 第1种思考方式：若关于x a =对称，则关于x a =对称的两自变量所对应的函数值相等； 第2种思考方式：因为轴对称图形上对称两点连线的中点在对称轴上，所以若()()22x f x ，和

()()1

1

x f x ，两点关于y 轴对称()()1

2

f x f x =，则两自变量满足12

0x x

+=（∵中点在对称轴上）．

如：()()42f x f x -=+，括号中的和为6，∴()f x 的图象关于3x =对称．

一定是函数值相等才有轴对称这一说法，若两自变量和为常数且函数值相等，则可表达轴对称：

()()f a x f b x +=-，则()f x 关于2

a b

x +=轴对称． 再如：若()()4222f x f x -=+，此时()f x 是否有对称轴？有，仍然为3x =． 当讨论轴对称时，只要看括号内的和是否为常数就行，不要受其它因素的干扰．

例：若()2f x +是偶函数，则()f x 的对称轴为_____．

在上一个板块，我们已经从图象平移角度得到过对称轴，这里我们从函数方程角度出发，由()()()22f x f x f x -+=+⇒关于2x =对称．

上面的说法只是针对平常出现的，更变态的情况一般不可能出现，如若有1142f f x x ⎛

⎫⎛

⎫-=

+ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝

⎭，

则()f x 的图象否有对称性？不一定有，因为()4f 和()2f 的关系不能确定，但严格意义上还是关于

3x =对称，因为()4f 与()2f 可通过1

2

x =

去解决． 若()()

2242f x f x -=+，则()f x 的图象否有对称性？有，关于3x =对应．

有限制时，不一定对称，如()()

2242f x f x +=-，因为x ∈(24)，时，()f x 的情况无法确定．当然，这些问题本身就非常变态了，不必深究．

本质上来说，当24x -与22x +的值域的并集为R 时，可以得到对称，否则得不到．

一般的轴对称：

⑴ 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称⇔()(2)f x f a x =-()()f a x f a x ⇔-=+；

⑵ 若函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-，则()y f x =的图象关于直线2

a b

x +=成轴对称．

【练习1】⑴若函数()f x 满足：(1)(1)0f x f x +--=，则()f x 的图象的对称轴为________；

⑵若函数()f x 满足：()(4)f x f x -=-，则()f x 的图象的对称轴为________；

⑶若函数()f x 满足：(22)(22)0f x f x +--=，则()f x 的图象的对称轴为________． 【解析】 ⑴1x =；⑵2x =-；⑶2x =．

考点2：二次函数的对称性

知识点睛

经典精讲