立体几何高考真题大题

1．（2016高考新课标1卷）如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD, 90AFD ∠=o

,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60o

．

（Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；

（Ⅱ）19

- 【解析】

试题分析：（Ⅰ）先证明F A ⊥平面FDC E ,结合F A ⊂平面F ABE ,可得平面F ABE ⊥

平面FDC E ．（Ⅱ）建立空间坐标系,分别求出平面C B E 的法向量m u r

及平面C B E 的法

向量n r ,再利用cos ,n m n m n m

⋅=r r r r

r r 求二面角．

试题解析：（Ⅰ）由已知可得F DF A ⊥,F F A ⊥E ,所以F A ⊥平面FDC E ． 又F A ⊂平面F ABE ,故平面F ABE ⊥平面FDC E ．

（Ⅱ）过D 作DG F ⊥E ,垂足为G ,由（Ⅰ）知DG ⊥平面F ABE ．

以G 为坐标原点,GF u u u r

的方向为x 轴正方向,GF u u u r 为单位长度,建立如图所示的空间直

角坐标系G xyz -． 由（Ⅰ）知

DF ∠E 为二面角D F -A -E 的平面角,故DF 60∠E =o ,则

DF 2=,DG 3=,可得()1,4,0A ,()3,4,0B -,()3,0,0E -

,(D ．

由已知,//F AB E ,所以//AB 平面FDC E ．

又平面CD AB I 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ．

由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角,

C F 60∠E =o

．从而可得(C -．

所以(C E =u u u r ,()0,4,0EB =u u u r

,(C 3,A =--u u u r ,()4,0,0AB =-u u u r

．

设(),,n x y z =r

是平面C B E 的法向量,则

C

A

B

D

E

F

C 0

0n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =⎪⎩u u u r r u u u r r ,即

3040x z y ⎧+

=⎪⎨=⎪⎩, 所以可取()

3,0,3n =-r

．

设m r 是平面CD AB 的法向量,则C 0

m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩u u u r r u u u r

r , 同理可取()

0,3,4m =r ．则219cos ,19

n m n m n m ⋅==-r r

r r

r r ．

故二面角C E-B -A 的余弦值为21919

-

．

考点：垂直问题的证明及空间向量的应用

【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主．第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决．

2．（2016高考新课标2理数）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，

5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，5

4

AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将

DEF ∆沿EF 折到D EF '∆位置，10OD '=．

（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值． 【答案】（Ⅰ）详见解析；295

【解析】

试题分析：（Ⅰ）证//AC EF ，再证'

D H OH ⊥，最后证'D H ABCD ⊥平面；（Ⅱ）

用向量法求解．

试题解析：（Ⅰ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由AE CF =得

AE CF

AD CD

=，故//AC EF ．

因此

EF HD ⊥，从而EF D H

'⊥．由5AB =,

6

AC =

得

04DO B ==．

由//EF AC 得

1

4

OH AE DO AD ==．所以1OH =，3D H DH '==． 于是1OH =，2

2

2

2

3110D H OH D O ''+=+==， 故D H OH '⊥．

又D H EF '⊥，而OH EF H ⋂=， 所以D H ABCD '⊥平面．

B

y

（Ⅱ）如图，以H 为坐标原点，HF u u u r

的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系

H xyz -，

则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()0,0,3D '，(3,4,0)AB =-u u u r

，

()6,0,0AC =u u u r ，()3,1,3AD '=u u u u r ．设()111,,m x y z =u r

是平面ABD '的法向量，则

m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩u r u u u r

u r u u u u r ，即11111340330x y x y z -=⎧⎨

++=⎩， 所以可以取()4,3,5m =-u r ．设()222,,n x y z =r 是平面'

ACD 的法向量，则00

n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩r u u u r r u u u u r

， 即222260

330

x x y z =⎧⎨

++=⎩，

所

以可以取

()0,3,1n =-r ．于是cos ,25||||m n m n m n ⋅<>===⋅u r r

u r r u r r ，