平面曲线的切线与法线

由此得到 L 在点 P0 处的切线与法线分别为：
( 2 3 3 2 )( x 3 ) (1 3 )( y 3 2 ) 0, (1 3 )( x 3 )(23 3 2 )( y 3 2 ) 0.
若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指 令, 便可画出上述切线与法线的图象 (如图).
一、平面曲线的切线与法线
曲线 L ：F( x, y) 0; 条件：P0( x0 , y0 ) 为 L 上一点, 在 P0 近旁, F 满足 隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数:
y y(x) ( 或 x x( y) ) ;
L 在 P0 处的切线： y y0 Fx (P0 ) Fy (P0 ) ( x x0 )
论( 这里 a 3 2 ), F 在点 P0 近旁满足隐函数定理
前页 后页 返回
的条件. 容易算出 ( Fx (P0 ), Fy (P0) ) (15, 12 ),
于是所求的切线与法线分别为 15( x 2) 12( y 1) 0, 即 5x 4 y 6 0; 12( x 2) 15( y 1) 0, 即 4x 5 y 13 0 .
若 P0( x0, y0 ) ( x(t0 ), y(t0 )) 是其上一点, 则曲线
在点 P0 处的切线为
y y0
y(t0 ) x(t0 )
(
x

x0
),
或
x x0 y y0 . x(t0 ) y(t0 )
下面讨论空间曲线.
前页 后页 返回
(A) 用参数方程表示的空间曲线:
例2 用数学软件画出曲线 L : x2 y sin x y 0
的图象；并求该曲线在点 P0 ( 3 , 3 2 ) 处的
切线与法线.
前页 后页 返回
解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令:
syms x,y; ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);
P0( x0 , y0 ) L . 试证 L 在点 P0 处的切线方程为 Ax0 x B( y0 x x0 y) Cy0 y D( x x0 ) E( y y0 ) F 0 .
证 令 G( x, y) Ax2 2Bxy Cy2 2Dx 2Ey F ,
y0 ) 0;
(1)

法线方程 : Fy (P0 )( x x0 ) Fx (P0 )( y y0 ) 0 .
例1 求笛卡儿叶形线
2(x3 y3) 9xy 0
在点 P0(2,1) 处的切线与法线. 解 设 F ( x, y) 2( x3 y3) 9x y. 由§1 例 2 的讨
: x x0 y y0 z z0 .
(2)
x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
过点 P0 且垂直于切线 的平面 , 称为曲线 L
在点 P0 处的法平面 .
前页 后页 返回
因为切线 的方向向量即为 法平面 的法向量, 所以法
平面的方程为
x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0 . (3)
hold on; a=(pi)^(1/3); b=a^2; ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)); ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))
前页 后页 返回
L P0
前页 后页 返回
例3 设一般二次曲线为 L : Ax2 2Bxy Cy2 2Dx 2Ey F 0,
或 x x0 Fy (P0 ) Fx (P0) ( y y0) .
前页 后页 返回
总之, 当 ( Fx (P0 ), Fy (P0 ) ) ( 0, 0 ) 时, 就有
法向量 : n ( Fx (P0 ), Fy (P0 ) ); 切线方程 : Fx (P0 )( x x0 ) Fy (P0 )( y
(B) 用直角坐标方程表示的空间曲线：
F(x, y, z) 0,
L:

G(
x,
就立即得到曲线 L 的图象 (见本例末页). 令 F ( x, y) x2 y sin x y , 容易求出:

Fx (P0 )

(2x

y cos xy )
P0

23


3
2
,
Fy (P0 ) (1 x cos xy ) P0 1 3 .
前页 后页 返回
则有
Gx (P0 ) 2Ax0 2By0 2D, Gy (P0 ) 2Bx0 2Cy0 2E .
前页 后页 返回
由此得到所求切线为 ( Ax0 By0 D)( x x0 ) (Bx0 Cy0 E )( y y0 ) 0,
利用 ( x0, y0 ) 满足曲线 L 的方程, 即 F ( Ax02 2Bx0 y0 Cy02 2Dx0 2Ey0 ),
L : x x(t), y y(t), z z(t), t .
若 P0( x0 , y0 , z0 ) ( x(t0 ), y(t0 ), z(t0 )) L, 且有
x2(t0 ) y2(t0 ) z2(t0 ) 0,
类似于平面曲线的情形, 不难求得 P0 处的切线为
整理后便得到 Ax0 x B( y0 x x0 y) Cy0 y D( x x0 ) E( y y0 ) F 0 .
前页 后页 返回
二、空间曲线的切线与法平面
先从参数方程表示的曲线开始讨论.
在第五章§3 已学过, 对于平面曲线
x x(t), y y(t), t ,