条件概率,全概率公式,贝叶斯公式

合集下载

贝叶斯公式和全概率公式

贝叶斯公式和全概率公式贝叶斯公式是概率论中的重要公式，也就是所谓的贝叶斯定理。

贝叶斯定理是由十九世纪末英国数学家和统计家 Thomas Bayes 在 1763 年提出的，是概率论中最重要的原理之一，广泛应用于商业分析、医学诊断、决策分析、信息检索等多个领域中。

贝叶斯公式的公式表达形式为：<br/>P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)其中，P（A|B）表示“在B条件下A的概率”，P（B|A）表示“在A条件下B的概率”，P（A）表示“A的概率”，P（B）表示“B的概率”。

从此公式中可以看到，贝叶斯公式通过将一个条件概率分解成两个条件概率的乘积，加以组合，使得概率计算变得更加简便容易。

贝叶斯公式也可以表述为一种胆怯结论，即根据已知的条件来推断未知的结果，而不是僵化地按照既定的规则来推断结果。

即可以通过已知的条件来推断未知的结果，而不是僵化地按照既定的规则来推断结果。

全概率公式是贝叶斯公式的推广，它的公式表达式如下：<br/> P(A)=ΣP(A|B_i)P(B_i)其中，P(A)表示A的概率，P(A|B_i)表示B_i条件下A的概率，P(B_i)表示B_i的概率。

从此公式中可以看到，全概率公式把一个概率分解成多个子概率的和，每个子概率都是一个条件概率，加以组合，使得概率计算更加简便容易。

全概率公式也可以表述为一种更加灵活的结论，即根据已知的概率来推断未知的结果，而不是僵化地按照既定的规则来推断结果。

即可以通过已知的概率来推断未知的结果，而不是僵化地按照既定的规则来推断结果。

因此可以看出，贝叶斯公式和全概率公式是概率论中重要的公式，它们可以帮助我们更加有效地推断出未知的结果，提高我们的决策质量，从而获得更好的结果。

条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式

n), 则 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2Bn )
称为全概率公式.
B2
A
B1
Bn1 Bn
B3
证因为
A AS A( B1 B2 Bn )
B2
A
B1
Bn1 Bn
那么, 全概率公式和贝叶斯公式变为
P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B ),
P( A B )P(B ) P ( AB ) . P ( B A) P ( A) P ( A B ) P ( B ) P ( A B ) P ( B )
例5
某电子设备制造厂所用的元件是由三家
打破”.以B表示事件“透镜落下三次而未打破 ” .
因为B A1 A2 A3 , 故有 P ( B ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A2 A1 ) P ( A1 ) 7 1 9 1 1 1 2 10 10
P ( B1 ) 0.3,
P ( B2 ) 0.5,
P ( B3 ) 0.2,
P ( A B1 ) 0.02, P ( A B2 ) 0.01, P ( A B3 ) 0.01, 故 P ( A) P ( A B1 ) P ( B1 ) P ( A B2 ) P ( B2 ) P ( A B3 ) P ( B3 )
例4 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2, 若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率.（积事件概率）解以Ai ( i 1,2,3,4)表示事件“透镜第 i次落下

1-5全概率公式贝叶斯公式

= 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有人个具有阳性反应的人中大约只有87人即平均个具有阳性反应的人中大约只有患有癌症. 患有癌症
课堂练习
社会调查把居民按收入分为高、低三类, 社会调查把居民按收入分为高、中、低三类调查结果是这三类居民分别占总户数的10%，调查结果是这三类居民分别占总户数的， 60%，30%，而银行存款在一万元以上的户数，，在这三类居民中分别为100 %，60%，在这三类居民中分别为100 %，60%，5%. 1. 求存款在一万元以上的户数在全体居民中的比率. 2. 若已知某户的存款在一万元以上，求该户若已知某户的存款在一万元以上，属中等收入家庭的概率. 属中等收入家庭的概率
= P( A B0 ) P( B0 ) + P( A B1 ) P( B1 ) + P( A B2 ) P( B2 )
≈ 0.94
P( AB1 ) P( A B1 ) P ( B1 ) = P( B1 A) = P( A) P ( A)
≈ 0.0848
i =1 n
全概率公式
证明 B = BΩ = B I ( A U A U L A ) 1 2 n
= BA1 U BA2 U L U BAn .
由 Ai A j = ∅ ⇒ ( BAi )( BA j ) = ∅
⇒ P ( B ) = P ( BA1 ) + P ( BA2 ) + L + P ( BAn ) ⇒ P ( B ) = P ( A1 ) P ( B | A1 ) + P ( A2 ) P ( B | A2 ) + L + P ( An ) P ( B | An )
A2

全概率公式贝叶斯公式推导过程

全概率公式贝叶斯公式推导过程Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有：P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足，B2....两两互斥，即 Bi∩ Bj= ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....;∪B2∪....=Ω，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi ),P(A|Bi)(i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。

思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A 的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。

条件概率、全概公式、贝叶斯公式

应用定义
P(AB 3 36 1 ) P(A| B) = = = 。 P(B ) 6 36 2 解法2: 解法 P(A| B) = 3 = 1。 6 2
在B发生后的发生后的缩减样本空间中计算
设某种动物由出生算起活到20年以上的例2: 设某种动物由出生算起活到年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4。概率为，活到年以上的概率为。问现年20岁的这种动物它能活到25岁以上的岁的这种动物，现年岁的这种动物，它能活到岁以上的概率是多少？概率是多少？能活20年以上能活25年以上解:设A={能活年以上 B={能活年以上设能活年以上}, 能活年以上}, 所求为P(B|A) 。所求为依题意，依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4，，
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。” 先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的人机会大
我们用A 表示“ 个人抽到入场券个人抽到入场券” 我们用 i表示“第i个人抽到入场券”， i＝1,2,3,4,5。＝。表示“ 个人未抽到入场券个人未抽到入场券” 则 A “第i个人未抽到入场券”，表示 i 显然，P(A1)=1/5，P( A)＝4/5，显然，，， 1＝也就是说，也就是说，个人抽到入场券的概率是1/5。第1个人抽到入场券的概率是。个人抽到入场券的概率是
乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，例3: 甲、乙两厂共同生产个零件其中300 件是乙厂生产的。而在这300个零件中，有189个个零件中，件是乙厂生产的。而在这个零件中个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件中任取一个，是标准件，现从这个零件中任取一个个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？零件是乙厂生产}，设B={零件是乙厂生产，零件是乙厂生产 A={是标准件，是标准件}，是标准件所求为P(AB)。。所求为

1.4条件概率及有关公式

i 1
23
贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.
24
例 8 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大? 求解如下: 设 C={抽查的人患有癌症}， A={试验结果是阳性}，则 C 表示“抽查的人不患癌症”.
设B1,B2,…,Bn互不相容, A Bi ,
i 1
n
P(B )P( A | B )
i 1 i i
n
( k 1,2,..., n)
P ( ABk ) 分析: P ( Bk | A) P ( A) P ( Bk ) P ( A | Bk ) 乘法公式 n P ( Bi ) P ( A | Bi ) 全概率公式
5
分析: : n个样本点 B: m个样本点 AB: k个样本点在B已发生的条件下,试验结果为m 中的一个, 这时A发生当且仅当AB中的某一样本点发生,故 P ( AB ) k k / n P ( A | B) m m/n P( B) 相当于“缩小了样本空间”
6
条件概率的性质: (1)非负性: 0≤P(A|B)≤1 (2) 规范性: P(|B)=1 (3)可列可加性:若Ak (k=1, 2, …)两两互斥,则
(3)
11
推广到一般情形中: 若n个事件A1, A2, …, An满足条件： P(A1A2…Ak)>0 (k=1, 2, …, n1), 则： P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) … P(An|A1A2…An1)

1.3,1.4条件概率,全概率公式

解设 A表示抽到的为男子，B表示抽到的是女子。
C表示抽到的人有色盲症。
则
1 P( A) P( B) , P(C | A) 0.05, P(C | B) 0.0025 2
由Bayes公式有
P( A) P(C | A) 0.5 0.05 P( A | C ) P( A) P(C | A) P( B) P(C | B) 0.5 0.05 0.5 0.0025
2 1 3 2 2 , 5 4 5 4 5
P( A3 ) P( A3) P( A3 ( A1 A2 A1 A2 A1 A2 ))
P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 ) P ( A1 A2 A3 )
P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 A2 )
i 1 n
全概率公式
证明 B B B ( A A A ) 1 2 n
BA1 BA2 BAn .
由 Ai A j ( BAi )( BAj ) P( B) P( BA1 ) P( BA2 ) P( BAn ) P( B) P( A1 ) P( B | A1 ) P( A2 ) P( B | A2 )
解
设Ａ表示取得一等品，Ｂ表示取得合格品，则
（1）因为100 件产品中有 70 件一等品，所以 70 P( A) 0.7 100 因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以（2）方法1： 70 P( A B) 0.7368 95 方法2：

全概率公式、贝叶斯公式推导过程

全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。

思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。

条件概率、全概率公式、贝叶斯公式

因为 P ( A) 0.8,
P ( B ) 0.4,
P ( AB ) P ( B ),
P ( AB ) 0.4 1 . 所以 P ( B A) 0.8 2 P ( A)
第二节全概率公式
再回忆一下条件概率的定义:
P( AB ) P( B | A) P( A) 要求 P( A) 0 .
第三章
第三章条件概率与事件的独立性
一、条件概率二、全概率公式三、贝叶斯公式四、事件的独立性五、伯努利实验和二项概率
第一节条件概率
前面讲的概率问题没有什么附加条件，但实际中可能会经常遇到许多有条件的概率问题比如： (1)已知某人爱滋病检查为阳性，求他患爱滋病的概率； (2)在摸奖中已知第一人已经或未摸到一等奖，求第二人摸到一等奖的概率。 (3)人寿保险中常常会考虑：已知某人已经活了x岁，求他能再活y岁的概率。
完备事件组（样本空间的一个划分）定义1 设事件Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间的一组事件。 … A1 如果 A2 (1) Ai Aj= （i≠j）; (2)
An
A3 …
A
i 1
n
i

则称Ａ1，Ａ2，…，Ａn为样本空间的一个划分。
定理设试验Ｅ的样本空间为Ω，设事件A1，A2，…，An为样本空间Ω的一个划分，且P(Ａi)>0 (i =1,2, …,n)．则对任意事件B，有
古典概型
设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.
所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。记为 P B A
从而有
4 k AB P ( B | A) kA 7 k AB / n 4 /10 k A / n 7 /10

1.4条件概率、全概率公式、贝叶斯公式

条件概率相关公式

条件概率相关公式
条件概率是指在已知事件B发生的前提下，事件A发生的概率，用P(A|B)表示。

条件概率有以下公式：
1. 乘法公式：
当事件A和B都是独立事件时，P(A∩B) = P(A) * P(B)
当事件A和B不是独立事件时，P(A∩B) = P(A|B) * P(B)
2. 加法公式：
当事件A和B互不相交时，P(A∪B) = P(A) + P(B)
当事件A和B不互不相交时，P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
3. 全概率公式：
设事件B1、B2、…、Bn为样本空间S的一个划分，即B1∪B2∪…∪Bn = S，且P(Bi) > 0，则对任意事件A，有：
P(A) = ∑(i=1)^nP(A|Bi)*P(Bi)
其中，P(A|Bi)代表在Bi发生的条件下，A发生的概率。

4. 贝叶斯公式：
设事件B1、B2、…、Bn为样本空间S的一个划分，即B1∪B2∪…∪Bn = S，且P(Bi) > 0，则对任意事件A，有：
P(Bi|A) = P(A|Bi)*P(Bi)/∑(j=1)^nP(A|Bj)*P(Bj)
其中，P(Bi|A)代表在A发生的条件下，Bi发生的概率。

1.5条件概率、全概率公式和贝叶斯公式.

木球, 3只塑料球; 红球中有2只木球, 1只塑料
球. 现从袋中任取1球, 假设每个球被取到的可
能性相同. 若已知取到的球是白球, 问它是木
球的概率是多少？
古典概型
设 A 表示任取一球，取得白球； B 表示任取一球，取得木球.
所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件
B 发生的条件概率。记为 PB A
解据题意，样本空间为｛(男,男)，(男, 女)，(女,男), (女, 女)｝. 设A ｛已知一个是女孩｝
｛(男, 女)，(女,男), (女, 女)｝. B {另一个也是女孩｝｛(女, 女)｝.
于是所求事件的概率为
P（B | A） P(AB) 1/ 4 1. P(A) 3/ 4 3
假设每次乡试，范进考中的概率为0.3(非常小)，令Ai ｛第i次乡试未考中｝，i 1，2，，则他连考十次都不中的概率为 P( A1A2 A10 ) P( A1)P( A2 | A1) P( A10 | A1A2 A9 ) (1 0.3)10 0.0282.
10000小时未坏的概率为1 2，现有一只这种灯泡已经使
用了5000小时未坏，问它能用到10000小时的概率是多
少？
解设B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000小
时我们”知道用到10000小时的灯泡一定用了5000小时，
即
PB 3 , PA 1
4
2
A B, 所以AB=A， PAB PA
入场券
5张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写. 将它们放在一起,洗匀,让5个人依次抽取.
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”

《概率论》第1章§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式

B1 B2 Bn S
P( Bi ) 0, i 1, 2, , n
则称 {B1, B2, , Bn}为样本空间 S 的一个分划将 P( A) 的计算分解到
B1, B2 , , Bn
B1 B2 B4 B3
A
Bn
上计算然后求和
第一章
事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
13/22
设 {B1, B2, , Bn} 为样本空间 S 的一个分划，即
S B1 B2 Bn
对任何事件 A 有
A AS AB1 AB2 ABn
于是
P( A) P( AB1 AB2 ABn ) P( AB1) P( AB2 ) P( ABn ) P( A | B1) P( B1) P( A | B2 ) P( B2 ) P( A | B n ) P( B n )
第一章
事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
P( | B)
P( A | B ) 0
3/22
设 P( B) 0, 有
对于任一事件 A有
对于必然事件 S 有
P( S | B) 1
设是 { Ak }两两不相容事件列，则有
P( Ak | B)
k 1 k 1
P( Ak | B)
条件概率是定义的，但条件概率的值通常是根据实际问题中的具体意义确定的
第一章事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
10/22
袋中有 1只红球、n 1只白球，依次将球一个个从袋中取出. 求第 k 次 (k 1, 2, , n ) 取出红球的概率. 记 Ak { 第 k 次取到红球 } , ( k 1, 2, , n) 则所求概率为 pk P(( A1 是不是所求概率？ P Ak ) Ak 1 Ak )

概率论-1-5条件概率,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式

3
P ( B) P ( Ai )P ( B｜Ai )
i 1
1 1 1 2 1 1 8 3 5 3 5 3 15
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.
2. 样本空间的划分及全概率公式
定义设S为试验E的样本空间， B1 B1, B2,, Bn 为E的一组事件，若
注意P(AB)与P(A | B)的区别！请看下面的例子
例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300 件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？
解设B={零件是乙厂生产}, A={是标准件}
PBi PA | Bi
i 1
当 n=2 时，划分 B1, B2 可写成划分 B, B ，于是 P( A) P(B)P( A | B) P(B)P( A | B))
3. 全概率公式的理解
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想是把一个未知的复杂事件
样本空间中的任一事件 A ,恒有
n
PA PBi PA | Bi
i 1
证明因为 A AS AB1 B2 Bn
AB1 AB2 ABn
并且 ABi AB j , i j ,所以
PA PAB1 PAB2 PABn
P n
B1
P
A
|
B1
PBn PA | Bn
解记 Ai={球取自i号箱}, i=1,2,3;
B ={取得红球}
12 3
其中 A1、A2、A3两两互斥 B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，

13条件概率全概公式贝叶斯公式

打破的概率是 7 ,若前两次未打破 , 第三次落下打
破的概率是
9
10 ,试求透镜落下三次未打破的概率 .
10
解设 Ai 透镜第 i 次落下打破,i 1,2,3 ,
B 透镜落下三次未打破 ,则 B A1A2 A3 .
PB PA1A2 A3 PA1 PA2 | A1 PA3 | A1A2
1
1 2
1
7 10
1
9 10
3 200
.
本题也可以先求 PB ,再由 PB 1 PB 求得 PB .
由于 B A1 A1 A2 A1 A2 A3 并 , 且 A1, A1A2 , A1A2 A3 为两两不相容事件, 故有
PB PA1 A1A2 A1A2 A3
PA1 PA1A2 PA1A2 A3
PB1 PA | B1 PBn PA | Bn n
PBi PA | Bi
i 1
n
PA PBi PA | Bi
i 1
全概率公式 .
全概率公式的基本思想是把一个未知的复杂事件分解为若干个已知的简单事件再求解 , 而这些简单事件组成一个互不相容事件组 ,使得某个未知事件 A 与这组互不相容事件中至少一个同时发生 ,故在应用此全概率公式时 ,关键是要找到一个合适的 S 的一个划分.
我们还可以从另一个角度去理解全概率公式.
某一事件A的发生有各种可能的原因，如果A 是由原因Bi (i=1,2,…,n) 所引起，则A发生的概率是
P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)
每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.
由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“ 作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系

概率论条件概率全概率公式贝叶斯公式

点的，而缩减为只包含40个样本点的 B=B. 35 P (C ) = P ( A B ) = = 0.875. 40
注 1 P ( A) = 0.85 P ( A B ).
B
A
2 P ( AB) = 0.35 P ( A B ).
P ( AB) : 以Ω为样本空间.
P ( A B ) : 以 B = B 为样本空间.
35 35 100 P ( AB ) 3 P( A B) = = = . 40 40 100 P ( B )

这是巧合吗？不是.
2. 定义1.8 (条件概率的定义)
设A，B是两个事件，且P(B) > 0, 则称 P ( AB) P( A B) = P( B) 为事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率. 注 1 计算 P ( A B)的两种方法 :
且等于它们的总和：出最终结果 . 义： n
i =1
P ( B ) = P ( Ai B ).
A2
B
An1
A1
An
A3
例3 甲、乙两个箱子,甲箱中装有两个白球,一个黑球;乙箱中装有一个白球,两个黑球.现由甲箱中任取一球放入乙箱,再从乙箱中任取一球, 问取到白球的概率是多少? 解以A1表示事件“从甲箱中取出一个白球”, A2表示“从甲箱中取出一个黑球”这一事件, 以B表示“从乙箱中取出一个白球”这一事件, 则: A1 A2 = , A1 A2 = , 且
(1) 取出的一个为正品； A (2) 取出的一个为甲车床加工的零件； B (3) 取出的一个为甲车床加工的正品； AB
(4) 已知取出的一个为甲车床加工的零件，其为正品. C
85 = = 0.85. (1) P ( A) 解 100 40 = 0.40. (2) P ( B) = 100 35 (3) P ( AB) = 100 = 0.35.

条件概率、全概率公式与贝叶斯公式

条件概率、全概率公式与贝叶斯公式一、背景一个随机事件的概率,确切地说,是指在某些给定的条件下,事件发生的可能性大小的度量.但如果给定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人们自然提出:如果增加某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与原来的概率之间有什么关系?显然这类现象是常有的.[例1] 设有一群共人,其中个女性,个是色盲患者. 个色盲患者中女性占个. 如果={从中任选一个是色盲}, ={从中任选一个是女性},此时, .如果对选取规则附加条件:只在女性中任选一位,换一句话说,发生之后,发生的概率(暂且记为) 自然是.[例2] 将一枚硬币抛掷,观察其出现正反面的情况.设事件为“两次掷出同一面”,事件为“至少有一次为正面H”.现在来求已知事件已经发生的条件下事件发生的概率.这里,样本空间.易知此属于古典概型问题.已知事件已发生,有了这一信息,知道不可能发生,即知试验所有可能结果所成的集合就是.中共有3个元素,其中只有属于.于是,在发生的条件下,发生的概率为对于例1,已知容易验证在发生的条件下,发生的概率对于例2,已知容易验证发生的条件下,发生的概率对一般古典概型, 容易验证:只要,则在发生的条件下, 发生的概率,总是成立的.在几何概率场合,如果向平面上单位正方形内等可能任投一点,则当发生的条件下, 这时发生的概率为由此可知对上述的两个等可能性的概率模型,总有成立.其实,还可以验证, 这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的一般定义.二、条件概率若是一个概率空间,,若,则对于任意的,称为已知事件发生的条件下, 事件发生的条件概率.[例3] 一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件为“第二次取到的是一等品”,事件为“第一次取到的是一等品”,试求条件概率解:易知此属古典概型问题.将产品编号：1,2,3号为一等品,4号为二等品.以表示第一次、第二次分别取到第号、第号产品.试验E (取产品两次,记录其号码)的样本空间为={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}={(1,2),(1,3),(1,4), (2,1),(2,3),(2,4), (3,1),(3,2),(3,4)}={(1,2),(1,3), (2,1),(2,3), (3,1),(3,2)}由条件概率公式得,[例4] 一个家庭中有两个小孩,已知其中有一个是女孩,问这时另一个小孩也是女孩的概率?(假定一个小孩是女孩还是男孩是等可能的)解:据题意样本空间为={(男,女),(男,男),(女,女),(女,男)}={已知有一个是女孩}={(男,女),(女,女),(女,男)}={另一个小孩也是女孩}={(女,女)}于是,所求概率为三、条件概率的性质(1)非负性:对任意的(2)规范性:(3)可列可加性:若为一列两两不相交的事件,有证明:(1) 因为所以(2)由于,所以(3)由于两两不相交,所以也必然两两不相交,所以四、乘法公式由条件概率的定义知: 设,则.于是,这就是概率的乘法公式.如果,同样有设且则证明因为,依条件概率的定义,上式的右边五、乘法公式的应用例子[例5] 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下时未打破, 第二次落下时打破的概率为7/10, 若前两次时未打破, 第三次落下时打破的概率为9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率.解:以表示事件“透镜第次落下时打破”,以表示事件“透镜三次落下而未打破”. 因为,故有[例6] 设袋中装有只红球,只白球.每次自袋中任取一只球,观察其颜色后放回,并再放入只与所取出的那个球同色的球.若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.解:以表示事件“第次取到红球”,分别表示事件第三、四次取到白球.所求概率为[例7] (卜里耶模型)罐中有只黑球,只红球,随机地取一只之后,把原球放回,并加进与抽出的球同色之球只,再摸第二次,这样下去共摸次.问前次出现黑球,后面次出现红球概率是多少?解:以表示事件“第k次取到黑球”,表示事件“第次取到红球”,则由一般乘法公式,1. 在例7中,最后答案与黑球和红球出现的次数有关,而与出现的顺序无关.2.卜里耶模型被卜里耶用来描述传染病的数学模型.当时,它是有放回的摸球模型.当时,它是不放回的摸球模型.思考题: 在卜里耶模型中,取次,问正好出现次红球概率是多少?[例8] 一批产品共100件,对其进行抽样调查,整批产品看作不合格的规定是:在被检查的5件产品中至少有一件是废品.如果在该批产品中有5%是废品,试问该批产品被拒绝接收的概率是多少?解:设表示被检查的第件产品是正品.表示该批产品被接收.则且因此, 该批产品被拒绝接收的概率是0.23。

第一章4节条件概率全概率公式与贝叶斯公式

返回主目录
第一章
事件与概率
设A、B是某随机试验中的两个事件，且
§5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
A 0 P
则
P AB BA P A P
称为在事件A已发生的条件下事件B的条件概率，简称为B在A之下的条件概率。
3 1 , P B B A 在例 1 中，我们已求得 P 16 4 4 1 还可求得 , P P A AB 16 16
第一章
事件与概率
多个事件的乘法公式
§5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
设 A ， A ，， A 为 n 个随机事件，且 1 2 n
P A A A 0 1 2 n 1
则有
P A A A P A P A A 1 2 n 1 2 1
这就是n个事件的乘法公式．
所以，由Bayes公式，得 P D P A D P D A P D P A D P D P A D 0 . 0004 0 . 95 0 . 0004 0 . 95 0 . 9996 0 . 10

0 .0038
返回主目录
第一章
事件与概率
§1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
目录索引一二条件概率乘法公式
§5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
三
全概率公式和贝叶斯公式
返回主目录
第一章
事件与概率
一条件概率
§5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
条件概率是概率论中一个重要而实用的概念。它所考虑的是事件 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。 B S

条件概率全概率和贝叶斯公式

条件概率全概率和贝叶斯公式
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

全概率公式是指在多个互不相交的事件中，计算某一事件的概率，需要将所有事件的概率加起来。

而贝叶斯公式是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件的概率如何进行修正。

具体来说，条件概率可以表示为P(A|B)，其中A和B分别是两
个事件，P(A|B)表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率。

全概率公式可以表示为
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+...+P(Bn)P(A|Bn)，其中B1~Bn
表示多个互不相交的事件，P(B1)~P(Bn)表示这些事件发生的概率。

贝叶斯公式可以表示为P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)，其中A和B
同样表示两个事件，P(A|B)表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。

P(B|A)表示在已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率。

贝叶斯公式可以用于更新先验概率，即在已知某些信息的情况下，通过新的证据来更新我们对某一事件的概率的估计。

条件概率、全概率公式和贝叶斯公式在实际应用中有广泛的应用，如在机器学习、数据分析、医学诊断等领域。

- 1 -。